Известия РАН. Серия физическая, 2023, T. 87, № 4, стр. 511-516

ВВЕДЕНИЕ

Скирмионы в тонких ферромагнитных и антиферромагнитных пленках интенсивно исследуются в последние годы [1–8]. Их небольшой размер в диапазоне от 1 до 100 нм и очень слабый электронный ток около 106 А · м^–2, необходимый для приведения их в движение [1, 9], делают их идеальными кандидатами для будущих устройств считывания и хранения данных. В работе [10, 11] авторы обнаружили, что для интерфейсов в бислоях состава ${{{\text{Cr}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\text{Cr}}} {{\text{Mo}}{{{\text{S}}}_{2}}}}} \right. \kern-0em} {{\text{Mo}}{{{\text{S}}}_{2}}}},$ ${{{\text{Fe}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\text{Fe}}} {{\text{Mo}}{{{\text{S}}}_{2}}}}} \right. \kern-0em} {{\text{Mo}}{{{\text{S}}}_{2}}}}$ и ${{{\text{Fe}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\text{Fe}}} {{\text{WS}}{{{\text{e}}}_{2}}}}} \right. \kern-0em} {{\text{WS}}{{{\text{e}}}_{2}}}}$ скирмионные решетки могут возникать при наличии сравнительно слабых взаимодействиях Дзялошинского–Мория в диапазоне экспериментально достижимых значений напряженности внешнего магнитного поля, при этом показано, что размеры скирмионов и магнитных вихрей резко меняются при возрастании внешнего магнитного поля. Уменьшение размеров скирмионов, повышение их устойчивости к комнатным температурам, а также снижение энергозатрат на управление скирмионами являются актуальными проблемами спинтроники. Одним из способов решения указанных проблем является использование искусственных антиферромагнетиков [12], в которых два ферромагнитных слоя связаны антиферромагнитно через немагнитный слой: в таких системах согласно расчетам скирмионы меньше, стабильнее и требуют меньше энергии для манипуляций [13].

Экспериментальные фазовые диаграммы ряда материалов указывают на значительные переходные области между различными фазами (в том числе скирмионами и парамагнитными), что ставит задачу точного определения фазовых границ между скирмионами и геликоидальной структурой. В наноразмерных бислоях магнитоэлектрическое взаимодействие имеет определяющее значение для создания неколлинеарного дальнего спинового упорядочения [14, 15].

Настоящая работа посвящена поиску таких значений параметров взаимодействия и напряженности внешних полей в магнитоэлектрическом бислое, при которых нетривиальные топологические магнитные структуры устойчивы в основном состоянии.

МОДЕЛЬ

Рассмотрим бислой, состоящий из антиферромагнитной и сегнетоэлектрической нанопленки, обе пленки имеют структуру плоской треугольной решетки с одинаковой постоянной решетки. Гамильтониан запишем следующим образом

где H_m и H_f – гамильтонианы антиферромагнитной и сегнетоэлектрической подсистем соответственно, а ${{H}_{{mf}}}$ – гамильтониан магнитоэлектрического взаимодействия на границе раздела двух пленок. Опишем гамильтониан магнитной пленки с помощью спиновой модели Гейзенберга на простой треугольной решетке: где ${{\vec {S}}_{i}}~$ – спин на $i{\text{ - }}$м узле решетки, $\vec {H}$ – внешнее магнитное поле, направленное перпендикулярно плоскости пленки вдоль оси $z,$ $J_{{ij}}^{m} < 0$ параметр антиферромагнитного взаимодействия между спином и его ближайшими соседями, сумма берется по парам спинов ближайших соседей. Предполагаем $J_{{ij}}^{m} < 0$ одинаковым, а именно ${{J}^{m}},$ для всех спинов магнитной пленки в плоскости. Для сегнетоэлектрической подсистемы, для простоты, мы предполагаем, что электрические поляризации являются единичными векторами, направленными в направлении $ \pm ~z.$ Гамильтониан подсистемы зададим в виде где ${{\vec {P}}_{i}}$ – поляризация $i{\text{ - го}}$ узла плоской треугольной решетки, $J_{{ij}}^{f} > 0~$ – параметр взаимодействия между ближайшими соседями, сумма берется по соседним узлам. Аналогично антиферромагнитной подсистеме, мы возьмем одинаковое значение $J_{{ij}}^{f} = {{J}^{f}}$ для всех сегнетоэлектрических узлов. Гамильтониан магнитоэлектрического взаимодействия на границе раздела двух пленок зададим в виде В этом выражении $J_{{ijk}}^{{mf}}{{\vec {D}}_{{i,j}}}~$ играет роль вектора Дзялошинского–Мории, лежащего в плоскости xy.

Предположим для нашей модели $J_{{ijk}}^{{mf}}$ = = $J_{{ij}}^{{mf}}{{P}_{k}},J_{{ijk}}^{{mf}}$ – это параметр магнитоэлектрического взаимодействия (играет роль вектора Дзялошинского - Мории) между электрической поляризацией ${{P}_{k}}$ на интерфейсном сегнетоэлектрическом слое и двумя ближайшими спинами ${{\vec {S}}_{i}}$ и ${{\vec {S}}_{j}},$ на интерфейсном антиферромагнитном слое. Предполагаем, что величина $J_{{ij}}^{{mf}} = {{J}^{{mf}}}$ независима от $\left( {i;~j} \right).$ Выражение для магнитоэлектрического взаимодействия тогда примет вид

Как можно видеть из последнего выражения параметр взаимодействия на интерфейсе пропорционален среднему значению $\left\langle {{{P}_{k}}} \right\rangle ,$ в свою очередь зависящему от $T.$ Если $\left\langle {{{P}_{k}}} \right\rangle $ примет нулевое значение до разрушения скирмионной структуры, в этом случае скирмионная структура не формируется. Поэтому сегнетоэлектрическую пленку мы задаем моделью Изинга с параметром сегнетоэлектрического взаимодействия ${{J}^{f}},$ а поляризацию определяем Изинговским вектором, это связано с тем, что необходимо, чтобы температура перехода в сегнетоэлектрической пленке была выше, чем у магнитной подсистемы. Следует отметить, что переходы в магнитной подсистеме определяются конкуренцией между $T~$ и магнитным упорядочением (скирмионами), которое, в свою очередь, является результатом конкуренции между обменным взаимодействием, магнитоэлектрическим взаимодействием, (а именно $\left\langle {{{P}_{k}}} \right\rangle $) и внешним магнитным полем $H.$ Предполагаем, что магнитоэлектрическое взаимодействие имеет место только для ближайших соседей.

ОСНОВНОЕ СОСТОЯНИЕ

Для определения основного состояния спиновой конфигурации, нужно определить минимальную энергию системы. В самом простом случае (${{J}^{m}} = {{J}^{f}} = 0$) минимум энергии достигается за счет того, что соседние спины, находящиеся в плоскости интерфейса перпендикулярны друг к другу, при отсутствии обменных взаимодействий (см. рис. 1).

Но с появлением обменного взаимодействия спины начинают образовывать неколлинеарную структуру за счет конкуренции коллинеарной конфигурации с перпендикулярной конфигурацией магнитоэлектрического взаимодействия.

Аналитический подсчет конфигурации основного состояния при наличии рассматриваемого числа конкурирующих взаимодействий является затруднительным, поэтому расчет основного состояния выполняется с помощью численного метода наискорейшего спуска. Этот метод является усовершенствованным методом градиентного спуска. Его преимущество заключается в большой скорости нахождения минимума функции, метод состоит в минимизации энергии всей системы, путем уменьшения энергии взаимодействия каждого спина с его ближайшими соседними узлами. Алгоритм заключается в следующем:

1) Задаем случайную спиновую конфигурацию.

2) За точку отсчета выбираем первый спин и для того чтобы энергия взаимодействия этого спина была минимальной, рассчитывается локальное поле с учетом всех взаимодействий, действующих на данный спин.

3) Выравниваем рассматриваемый спин вдоль вычисленного локального поля. Таким образом, достигается минимальное значение энергии взаимодействия спина с его ближайшими соседями.

4) Далее переходим к следующему узлу и повторяем эту процедуру до тех пор, пока мы не рассмотрим все узлы решетки (в работе рассматривались решетки размерами 60 × 60, 100 × 100, 400 × 400. Эти шаги повторяются до тех пор, пока полная энергия не станет минимальной – это одна итерация.

В работе представлены результаты моделирования, выполненные в результате 100 000 итераций.

ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Результаты расчетов основного состояния бислоя антиферромагнетик/сегнетоэлектрик на треугольной решетке в рамках рассматриваемой модели позволяют сделать вывод о том, что скирмионная решетка формируется при ${{J}^{m}} = - 1,$ ${{J}^{f}} = 1$ для следующего диапазона значений параметра магнитоэлектрического взаимодействия ${{J}^{{mf}}} \in \left( { - 0.75, - 0.35} \right)$ и напряженности внешнего магнитного поля, приложенного перпендикулярно плоскости бислоя в диапазоне $H \in (2,4).$ На рис. 2 изображен пример такой структуры при ${{J}^{{mf}}} = ~ - 0.5$ и $H = 3.5.$ Это срез бислоя с линейными размерами 120 × 120, можем видеть, что скирмионы формируют решетку, причем каждая из скирмионных структур состоит из двух скирмионов с противоположным друг другу направлением вращения спинов. На рис. 3 показана зависимость Z-компоненты спина вдоль диаметра скирмиона. Результаты моделирования подтверждают, что спины за пределами вихря направлены вдоль внешнего поля, спин в центре вихря направлен противоположно внешнему полю, а вдоль диаметра скирмиона наблюдается разворот спина в плоскости, что подтверждает блоховскую скирмионную структуру (см. рис. 3). Результаты расчетов свидетельствуют о том, что при возрастании значения напряженности магнитного поля больше $H = 4~$ скирмионная конфигурация основного состояния становится менее совершенной и затем исчезает при $H = 4.5$ для диапазона значений параметра магнитоэлектрического взаимодействия ${{J}^{{mf}}} \in \left( { - 0.75, - 0.35} \right).$

Для моделирования фазовых переходов и расчета динамики физических величин в зависимости от температуры в магнитоэлектрическом бислое методами Монте-Карло используем алгоритм Метрополиса. В основном расчеты проводятся для системы с размерами $N \times N \times 2,$ где $N = 100.$ Для достижения статистического равновесия на каждом узле алгоритм Метрополиса выполняет $5 \cdot {{10}^{5}}$ Монте-Карло шагов и $9 \cdot {{10}^{5}}$ Монте-Карло итераций на каждом узле для выполнения усреднения. Проследим за динамикой упорядочения системы от $T = 0,$ поэтому мы должны сравнить конфигурацию при температуре $T$ в момент времени $t$ с конфигурацией основного состояния, исходя из которой осуществляется медленный нагрев системы при процедуре Монте-Карло моделирования.

Сравним фактическую конфигурацию, полученную при медленном нагреве с конфигурацией основного состояния, для этого выполним усреднение проекции фактической конфигурации на выбранное основное состояние спина на этом же узле $\vec {S}_{i}^{0}\left( {T = 0} \right).$ На рис. 4 показаны температурные зависимости проекции усреднения скалярного произведения спиновой конфигурации при заданной температуре на спиновую конфигурацию основного состояния для различных значений параметра магнитоэлектрического взаимодействия ${{J}^{{mf}}} = - 0.40,$ ${{J}^{{mf}}} = - 0.50,$ ${{J}^{{mf}}} = - 0.75,$ ${{J}^{{mf}}} = - 0.85,$ $H = 2.0.$ После фазового перехода спины выравниваются в направлении поля, что приводит к ненулевым значениям параметра порядка после перехода (рис. 4).

Графики зависимостей параметра порядка магнитной пленки от температуры указывают на то, что при больших значениях $~{{J}^{{mf}}}~$ в магнитной пленке происходят фазовые переходы первого рода при $T_{C}^{m} = 1.05$ для $~({{J}^{{mf}}} = - 0.45$, ${{H}^{{~z}}} = 2)$ (фиолетовый график), при $T_{C}^{m} = 1.12$ для (${{J}^{{mf}}} = - 0.5,$ ${{H}^{{~z}}} = 2.0$) (зеленый график) и при $T_{C}^{m} = 1.25$ для (${{J}^{{mf}}} = - 0.75,$ ${{H}^{{~z}}} = 2$) (голубой график). В случае отсутствия внешнего магнитного поля, а именно для частного случая (${{J}^{{mf}}} = - 0.75,$ ${{H}^{{~z}}} = 0$) (желтый график), фазовый переход первого рода типа “порядок–беспорядок”, происходит при $T_{C}^{m} = 2.3.$

Остановимся на природе перехода, показанного на рис. 4. В случае наличия внешнего магнитного поля первый фазовый переход при температуре ($T\sim 1.05 - 1.25$) обусловлен разрушением упорядоченной скирмионной магнитной структуры. При дальнейшем повышении температуры скирмионы аннигилируют. После этого перехода $z$-компоненты векторов спина, не являющиеся нулевыми при воздействии внешнего поля, стремятся к нулю только при высоких $T \approx 2.3,$ (результаты моделирования свидетельствуют о том, что при $T \approx 2.3$ происходит переход порядок-беспорядок в сегнетоэлектрическом слое). Отметим, что в случае отсутствия воздействия внешнего магнитного поля (желтый график), не происходит формирования скирмионов и, следовательно, при возрастании температуры не происходит фазового перехода, связанного с разрушением скирмионной структуры, но при $T_{C}^{m} = 2.3$ осуществляется фазовый переход из упорядоченной в разупорядоченную фазу, когда происходит одновременное разрушение магнитного и коллинеарного сегнетоэлектрического упорядочения. Происходящий переход первого рода объясняется тем, что рассматриваемая система является фрустрированной из-за наличия сильных конкурирующих взаимодействий.

Скирмионная решетка в фрустрированном антиферромагнитном/сегнетоэлектрическом бислое на треугольной решетке стабильна в большом диапазоне значений внешнего магнитного поля и в температурном диапазоне (0.95; 1.3). На данном этапе следует отметить, что приведенные выше результаты представлены в безразмерных единицах, а именно энергия в единицах обменного антиферромагнитного взаимодействия ${{J}^{m}},$ и температура в единицах ${{{{J}^{m}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{J}^{m}}} {{{k}_{B}}}}} \right. \kern-0em} {{{k}_{B}}}}.$ Результаты работы могут быть использованы для сравнения материалов с различными значениями ${{J}^{m}}.$ Например, если известно из экспериментальных данных [12], что фазовый переход, связанный с разрушением скирмионов происходит при $T_{c}^{{exp}} = 200\,\,{\text{K}},$ мы можем вычислить эффективный обмен ${{J}^{{eff}}},$ используя, например, уравнение среднего поля

Здесь принято, что $Z = 6$ для треугольной решетки, $S = 1~$ (амплитуда спина), $~{{k}_{B}}$ = $1.3807 \cdot {{10}^{{ - 23}}}\,\,{{{\text{Дж}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\text{Дж}}} {\text{К}}}} \right. \kern-0em} {\text{К}}}.{\text{\;}}$ ${{J}^{{eff}}}$ представляет собой комбинацию обменного антиферромагнитного и магнитоэлекрического взаимодействия. Зная основное состояние, и температуру перехода можно определить эти значения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, рассмотрены процессы формирования и условия стабильности скирмионной решетки при термодинамических флуктуациях в магнитоэлектрических пленках, а именно, в фрустрированном антиферромагнитном/сегнетоэлектрическом бислое на треугольной решетке. Рассматриваемая модель допускает существование устойчивой скирмионной решетки, с помощью математического моделирования установлены диапазоны значений параметров взаимодействия и напряженности внешнего магнитного поля в магнитоэлектрическом бислое, при которых нетривиальные топологические магнитные структуры устойчивы в основном состоянии.

С помощью адаптированного метода наискорейшего спуска вычислены конфигурации основного состояния с заданными параметрами. С помощью Монте-Карло моделирования исследовано влияние термодинамических флуктуаций, внешнего магнитного поля на конфигурации основного состояния, рассмотрены фазовые переходы, происходящие в рассматриваемой модели.

Ш.И.Ф., Н.А.Г, Б.А.Х, Ю.А.Р благодарят за финансовую поддержку в ходе данной работы государственное задание на выполнение научных исследований молодежными лабораториями (приказ MN-8/1356 от 20.09.2021).