Химическая физика, 2019, T. 38, № 12, стр. 27-32

Магнитные свойства спиновой дельта-цепочки

В. Я. Кривнов 1*, Д. В. Дмитриев 1, Н. С. Эрихман 1

1 Институт биохимической физики им. Н.М. Эмануэля Российской академии наук
Москва, Россия

* E-mail: krivnov@deom.chph.ras.ru

Поступила в редакцию 05.06.2019
После доработки 05.06.2019
Принята к публикации 20.06.2019

Полный текст (PDF)

Аннотация

Изучена квантовая спиновая модель дельта-цепочки с обменными взаимодействиями ферро- и антиферромагнитного типов. Основное внимание уделено исследованию магнитных свойств в критической точке, разделяющей ферро- и ферримагнитные фазы основного состояния. Показано, что в этом случае основное состояние макроскопически вырождено и энтропия при нулевой температуре конечна. Щель в спектре возбуждений экспоненциально мала и сам спектр имеет многомасштабную структуру, определяющую низкотемпературную термодинамику. Полученные результаты используются для анализа магнитных свойств недавно синтезированных молекул с рекордным значением спина основного состояния.

Ключевые слова: спиновая дельта-цепочка, фрустрированные спиновые системы, молекулярный магнетизм.

ВВЕДЕНИЕ

В последнее время большой интерес вызывает изучение низкоразмерных магнетиков на геометрически фрустрированных (неальтернантных) решетках [13]. Фрустрация в таких решетках означает невозможность минимизации энергии выбором коллинеарной конфигурации спинов, в отличие от ситуации в стандартных альтернантных решетках. Важным классом таких объектов являются соединения, состоящие из треугольных кластеров магнитных ионов. Интересным и типичным примером такой системы является так называемая дельта-цепочка, представляющая собой линейную цепь треугольников с магнитными ионами в их узлах (рис. 1). Магнитные свойства такой системы описываются моделью Гейзенберга, имеющей вид:

(1)
$\begin{gathered} H = {{J}_{1}}\sum {\left( {{{{\mathbf{S}}}_{{(b)2n - 1}}}{{{\mathbf{S}}}_{{(a)2n}}} + {{{\mathbf{S}}}_{{(a)2n}}}{{{\mathbf{S}}}_{{(b)2n + 1}}} - 2{{s}_{a}}{{s}_{b}}} \right) + } \\ \quad \quad + \,\,{{J}_{2}}\sum {\left( {{{{\mathbf{S}}}_{{(b)2n - 1}}}{{{\mathbf{S}}}_{{(b)2n + 1}}} - s_{b}^{2}} \right)} , \\ \end{gathered} $
где S(a)n и S(b)n – операторы спинов вершин и оснований треугольников соответственно с квантовыми числами s = sa и s = sb, J1 – обменное взаимодействие между спинами основания и вершин треугольников, а J2 – взаимодействие между ближайшими спинами основания дельта-цепочки. Прямое взаимодействие между вершинными спинами отсутствует. Постоянные в выражении (1) выбраны так, чтобы энергия ферромагнитного состояния с параллельной конфигурацией спинов была равна нулю. Фрустрация в такой модели проявляется как конкуренция J1 и J2 взаимодействий. Как известно, взаимное влияние фрустрации и квантовых флуктуаций приводит к появлению новых необычных свойств систем и это в полной мере относится к спиновой дельта-цепочке.

Рис. 1.

Спиновая модель дельта-цепочки.

Магнитные свойства модели, описанные выражением (1) с обоими антиферромагнитными (AF) взаимодействиями (J1 > 0, J2 > 0), в зависимости от их соотношения были достаточно хорошо изучены, в особенности для случая sa = sb = 1/2 [2, 47]. В частности, если J1 = J2, то модель имеет двукратно вырожденное основное состояние, а пары спинов вершин и оснований треугольников образуют синглет. При J2 = J1/2 и магнитном поле, близком к насыщению, кривая намагниченности имеет плато со скачком намагниченности, а теплоемкость, наряду с широким высокотемпературным максимумом, имеет дополнительный низкотемпературный пик.

В отличие от AF дельта-цепочки, эта же модель с ферромагнитным взаимодействием J1 и антиферромагнитным J2 (J1 < 0, J2 > 0) (F-AF модель) до недавнего времени была изучена существенно меньше, даже для случая спинов sa = sb = 1/2. Было лишь известно, что основное состояние модели с sa = sb = 1/2 ферромагнитно, если параметр фрустрации α = J2/|J1| меньше 1/2 и ферримагнитно при α > 1/2. Критическая точка α = 1/2 разделяет эти фазы.

Интерес к изучению F-AF дельта-цепочки существенно возрос после появления реальных соединений, описываемых этой моделью. Примером такого рода соединений являются комплексы [CuH2O][Cu(mal)H2O](ClO4)2, содержащие магнитные ионы Cu2+ со спином 1/2 [8, 9]. Из анализа экспериментальных данных было установлено, что параметр фрустрации α в этом соединении примерно равен 1, т.е. оно является ферримагнетиком.

Однако вопрос о природе и магнитных свойствах F-AF модели в ферро- и ферримагнитных фазах и особенно при критическом значении параметра фрустрации оставался открытым. В наших работах [10, 11] эта проблема была изучена для модели дельта-цепочки со спинами sa = sb = 1/2. Было выяснено, что указанная модель при критическом значении α имеет ряд необычных свойств: основное состояние имеет гигантское вырождение, щель в спектре возбуждений экспоненциально мала и низкоэнергетическая часть спектра имеет многомасштабную структуру, определяющую низкотемпературную термодинамику модели. Интересным представляется обобщение этой модели на случай спинов с произвольными квантовыми числами. Оказывается, что вышеуказанные особенности в значительной мере характерны и для модели с произвольными значениями спинов и они будут рассмотрены в данной работе. Изучение этой модели интересно также и потому, что недавно синтезированные магнитные молекулы с рекордным значением спина основного состояния являются реализацией F-AF дельта-цепочки с достаточно большими значениями спинов sa и sb.

F-АF ДЕЛЬТА-МОДЕЛЬ В КРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКЕ

Как было отмечено выше, параметр фрустрации α = 1/2 в модели с sa = sb = 1/2 соответствует критическому значению, разделяющему ферро- и ферримагнитные фазы. Рассмотрим вопрос об основном состоянии модели с произвольными значениями спинов sa и sb. Если фрустрация отсутствует (α = 0), то модель, представленная уравнением (1), описывает ферромагнитную цепочку. Очевидно, что и при малом значении параметра α основное состояние будет ферромагнитным и имеющим нулевую энергию. Критическое значение αс, определяющее границу ферромагнитной фазы, может быть найдено из условия обращения в нуль энергии одномагнонных возбуждений, т.е. состояний с S = Smax – 1 (Smax = N(sb + sa)/2), соответствующих рождению одного магнона из полностью поляризованного ферромагнитного состояния. Их спектр имеет вид

(2)
${{E}_{ \pm }}\left( q \right) = {{s}_{a}} + {{s}_{b}} - \alpha {{s}_{b}}\left( {1 - \cos q} \right) \pm \sqrt {{{{\left( {{{s}_{a}} + {{s}_{b}} - {\alpha }{{s}_{b}}\left( {1 - \cos q} \right)} \right)}}^{2}} + 2\left( {1 - \cos q} \right)\left( {2{\alpha }s_{b}^{2} - {{s}_{a}}{{s}_{b}}} \right)} .\,$

В выражении (2) и далее мы принимаем J1 = –1 и J2 = α.

Энергия нижней ветви E(q) обращается в нуль при αс = sa/2sb. При α > αc энергия E становится отрицательной и основное состояние, как ожидается, будет ферримагнитным. Как следует из выражения (2), нижняя ветвь при α = αс является бездисперсионной (ее энергия не зависит от q). Как известно, это означает, что одномагнонные состояния этой ветви могут быть представлены как локализованные. В этом представлении они имеют вид

(3)
${{{\varphi }}_{i}} = \left( {s_{{\left( a \right)2i}}^{ - } + 2s_{{\left( b \right)2i + 1}}^{ - } + s_{{\left( a \right)2i + 2}}^{ - }} \right)\left| F \right\rangle ,\,\,\,i = 1,\,\,2...{N \mathord{\left/ {\vphantom {N 2}} \right. \kern-0em} 2},$

где $s_{{\left( a \right)}}^{ - }$ и $s_{{\left( b \right)}}^{ - }$ – операторы понижения спинов sa и sb, а $\left| F \right\rangle $ – ферромагнитное состояние. В состоянии (3) магнон “живет” в долине между соседними треугольниками.

Докажем теперь, что энергия основного состояния равна нулю при αc = sa/2sb. Для этого представим гамильтониан (1) при α = αс как сумму локальных гамильтонианов:

(4)
$H = \sum {{{H}_{i}}} ,$

где Hi – гамильтониан i-го треугольника, имеющий вид:

(5)
$\begin{gathered} {{H}_{i}} = - \left( {{{{\mathbf{S}}}_{{(b)2i - 1}}} + {{{\mathbf{S}}}_{{(b)2i + 1}}}} \right){{{\mathbf{S}}}_{{(a)2i}}} + \\ + \,\,\frac{1}{2}{{{\mathbf{S}}}_{{(b)2i - 1}}}{{{\mathbf{S}}}_{{(b)2i + 1}}} + 2{{s}_{a}}{{s}_{b}} - \frac{1}{2}s_{b}^{2}. \\ \end{gathered} $

Расчет собственных значений (5) показывает, что энергии состояния с максимальным спином треугольника S = (2sb + sa) и одного из состояний с S = (2sb + sa – 1) равны нулю, а энергии всех других состояний положительны. Поскольку гамильтонианы соседних треугольников не коммутируют, нижайшее собственное значение (5) E0 удовлетворяет неравенству

(6)
${{E}_{0}} \geqslant \sum {{{E}_{i}}} = 0,$

и, следовательно, энергия основного состояния всей системы неотрицательна. В действительности она равна нулю, так как уже ферромагнитное и одномагнонные состояния (1) имеют нулевую энергию? Возникает вопрос, есть ли еще состояния, имеющие нулевую энергию. Оказывается, что есть и их довольно много. Очевидно, что двухмагнонные состояния с S = Smax – 2, представляющие пары неперекрывающихся локализованных магнонов (не находящихся в соседних долинах) также имеют нулевую энергию. Подобным образом, k неперекрывающихся локализованных магнонов в состоянии S = Smaxk (kN/4) также являются точными состояниями с нулевой энергией. Оказывается также, что наряду с многомагнонными состояниями такого типа существует еще один класс состояний нулевой энергии, построенный из перекрывающихся состояний типа (3). Например, имеются двухмагнонные состояния вида

(7)
${{{\varphi }}_{i}}\left( {{{{\varphi }}_{{i - 1}}} + {{{\varphi }}_{i}} + {{{\varphi }}_{{i + 1}}}} \right).$

Можно показать, что эти состояния имеют нулевую энергию и принадлежат к основному состоянию. Аналогичным образом могут быть построены и многомагнонные волновые функции этого типа. Подсчет числа всех основных состояний с нулевой энергией представляет довольно сложную комбинаторную задачу, которая подобна возникающей в модели с sa = sb = 1/2 и решенная нами в работе [10]. Мы опустим соответствующие громоздкие выкладки и приведем окончательный ответ, который оказывается неожиданно простым. Число основных состояний Bk c фиксированным значением полного спина S = Smax – k равно

(8)
$\begin{gathered} {{B}_{k}} = C_{{{N \mathord{\left/ {\vphantom {N 2}} \right. \kern-0em} 2}}}^{k} - C_{{{N \mathord{\left/ {\vphantom {N 2}} \right. \kern-0em} 2}}}^{{k - 1}},\,\,\,\,0 \leqslant k \leqslant {N \mathord{\left/ {\vphantom {N 4}} \right. \kern-0em} 4} \\ {{B}_{k}} = 0,\,\,\,\,{N \mathord{\left/ {\vphantom {N 4}} \right. \kern-0em} 4} < k \leqslant {N \mathord{\left/ {\vphantom {N 2}} \right. \kern-0em} 2}. \\ \end{gathered} $

Согласно (8), полное число всех состояний F-AF дельта-цепочки со спинами sa и sb при критическом значении параметра фрустрации αс = sa/2sb равно:

(9)
$W = \left( {{{s}_{a}} + {{s}_{b}} - \frac{1}{2}} \right)NC_{{{N \mathord{\left/ {\vphantom {N 2}} \right. \kern-0em} 2}}}^{{{N \mathord{\left/ {\vphantom {N 4}} \right. \kern-0em} 4}}} + {{2}^{{{N \mathord{\left/ {\vphantom {N 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}.$

При N $ \gg $ 1 полное число всех состояний $W = {{2}^{{{N \mathord{\left/ {\vphantom {N 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}\sqrt {{N \mathord{\left/ {\vphantom {N {\pi }}} \right. \kern-0em} {\pi }}} ,$ а остаточная энтропия на узел равна 1/2ln2. Таким образом, основное состояние дельта-цепочки в критической точке α = αс макроскопически вырождено и энтропия на спин при нулевой температуре конечна.

Намагниченность (спин основного состояния) при нулевой температуре T = 0 определяется усреднением Sz по ансамблю вырожденных основных состояний и магнитный момент на спин равен m = (sa + sb)/2 – 1/4. Заметим, что в ферримагнитной фазе m также равна этому значению, а в ферромагнитной фазе m = (sa + sb)/2, т.е. при α = αс происходит скачок намагниченности Δm = 1/4. Таким образом, в критической точке происходит квантовый фазовый переход первого рода.

Дельта-цепочка в критической точке является одним из немногочисленных примеров многочастичной квантово-механической системы с макроскопически вырожденным основным состоянием и остаточной энтропией. Спектр возбужденных состояний модели в критической точке также весьма необычен. Например, в одномагнонном спиновом секторе S = Smax 1 модели с sa = sb = 1/2 щель ΔE в спектре возбуждений равна единице, а в двухмагнонном S = Smax 2 она становится ΔE = 0.022. Такое резкое уменьшение величины щели связано с тем, что минимальной энергии возбуждения соответствуют не состояния рассеяния двух магнонов, а их связанное состояние. Низколежащие многомагнонные возбуждения также сформированы связанными состояниями и щель в спектре состояний с фиксированным значением спина S = Smax – k драматически уменьшается с ростом k. Например, при k = 6 щель ΔE < 10–9. Это свидетельствует об экспоненциальной малости щели при k $ \gg $ 1. Подобно модели с sa = sb = 1/2 щель в спектре возбуждений экспоненциально мала и в случае других sa и sb. Оказывается также, что полный спектр нижайших возбуждений состоит из участков (подзон), соответствующих энергиям связанных состояний двух, трех и более магнонов. Другими словами, спектр имеет многомасштабную структуру, которая определяет особенности низкотемпературной термодинамики. Например, теплоемкость имеет пики, определяемые вкладом соответствующих подзон спектра.

Как следует из приведенных выше результатов, поведение F-AF дельта-цепочки в критической точке имеет ряд необычных свойств, касающихся прежде всего гигантского вырождения основного состояния и остаточной энтропии, экспоненциально малых щелей в спектре возбуждений и особенностей низкотемпературной термодинамики. Хотя все эти особенности относятся, строго говоря, к модели в самой критической точке, тем не менее при значении параметра фрустрации, близким к критическому, “следы” этих особенностей все еще заметны. Например, континуум вырожденных при α = αс основных состояний расщепляется и превращается в огромное число экспоненциально близких уровней, а спектр возбуждений имеет, хотя и менее выраженную, но многомасштабную структуру.

На первый взгляд, все необычные свойства модели при α ≈ αс хотя и весьма интересны, но представляют скорее академический интерес, поскольку существование реальных соединений со структурой F-AF дельта-цепочки с параметром фрустрации, близким к критическому, представлялось маловероятным. Тем более неожиданным оказалось недавнее сообщение, приведенное в работе [12] о синтезе соединения, содержащего магнитные молекулы с рекордным на тот момент значением спина основного состояния, S = 60! Эти молекулы представляют собой циклические координационные кластеры, в которых десять магнитных ионов Fe и десять ионов Gd образуют структуру циклической дельта-цепочки Fe10Gd10, (показанной на рис. 2), состоящей из десяти треугольников с ионами Gd в вершинах и ионами Fe в основаниях. Ожидается, что это соединение весьма перспективно для использования в молекулярной спинтронике и для создания эффективных магнитоохладающих устройств.

Рис. 2.

Структура синтезированной магнитной молекулы Fe10Gd10.

Анализ экспериментальных данных для кривой намагниченности и магнитной восприимчивости соединений Fe10Gd10 позволил установить [12], что обменное взаимодействие ионов Fe антиферромагнитно и составляет J2 ~ 0.65K, а взаимодействие ионов Fe и Gd ферромагнитно с величиной J1 ~ 1 K, тогда как прямое взаимодействие между ионами Gd пренебрежимо мало. На основании этих данных можно заключить, что молекула Fe10Gd10 является практически идеальной конечно-размерной реализацией F-AF дельта-цепочки с параметром фрустрации α = J2/J1 = 0.65. Поскольку спины магнитных ионов Fe (sb) и Gd (sa) равны 5/2 и 7/2 соответственно, критическое значение параметра фрустрации равно αс = 0.7. Таким образом, молекула Fe10Gd10 находится в ферромагнитной области фазовой диаграммы модели (что объясняет рекордное значение спина основного состояния), но очень близко от критической точки. Как предполагают авторы работы [12], химическая модификация молекулы Fe10Gd10 может сдвинуть ее параметр α прямо к критическому значению и даже пересечь его.

Таким образом, понимание магнитных свойств молекулы Fe10Gd10 связано с задачей исследования магнитных свойств дельта-цепочки в ферромагнитной фазе, но с параметром фрустрации, близким к критическому. Точное аналитическое решение такой квантово-механической модели не представляется возможным и в таком случае естественно использовать численные расчеты. К сожалению, относительно большие значения спинов ионов Fe и Gd являются серьезной проблемой на этом пути, поскольку размерность Гильбертова пространства соответствующей матрицы для модели с N = 20 слишком велика (≈ 6 ∙ 1016). Даже высокоэффективные приближенные методы на основе метода Ланцоша (Lanczos Method) позволяют провести расчет лишь для гипотетической молекулы Fe6Gd6. Эти расчеты, выполненные в работе [12], показали, что даже для модели с N = 12 и параметром α = 0.65 спектр низкоэнергетических состояний имеет квазивырожденную структуру. В то же время эта система слишком мала для исследования термодинамических свойств, особенно при низких температурах. С другой стороны, в случае относительно больших значений спинов sa = 7/2, sb = 5/2 представляется вполне оправданным использование классического приближения, когда спины заменяются векторами с длинами sa и sb. Легко убедиться, что фазовые диаграммы основного состояния квантовой и классической дельта-цепочки совпадают. Энергия классической модели равна

(10)
$E = \left( { - {{s}_{a}}{{s}_{b}}\cos {\varphi } + {\alpha }s_{b}^{2}\cos \left( {2{\varphi }} \right)} \right)\frac{N}{2},$

где φ – угол между векторами sa и sb. Минимизация E по φ приводит к условию

(11)
$\cos {\varphi } = \frac{{{{s}_{a}}}}{{2{\alpha }{{s}_{b}}}},$

из которого следует, что при α < αc основное состояние ферромагнитно (все векторы параллельны), а при α > αc ферримагнитно и магнитный момент на спин равен m = sa(1 + (2α)–1)/2. Значение αс = sa/2sb определяет точку перехода между двумя фазами как в классической, так и в квантовой модели. Статистическая сумма и свободная энергия классической модели может быть вычислена точно. Мы не будем останавливаться здесь на деталях этих вычислений и приводить соответствующие довольно громоздкие формулы, а обсудим некоторые наиболее важные особенности, относящиеся к магнитным свойствам модели в ферромагнитной фазе, которая реализуется для молекулы Fe10Gd10. Одной из важных характеристик системы являются спиновые корреляционные функции, определяющие ее магнитные свойства. При нулевой температуре спины выстроены параллельно, т.е. имеется дальний порядок, который разрушается при T ≠ 0 и корреляционные функции падают экспоненциально с расстоянием между спинами и радиус корреляции при низких температурах равен ${{r}_{0}} = \left( {1 - 2{\alpha }\frac{{{{s}_{a}}}}{{{{s}_{b}}}}} \right)\frac{{{{s}_{a}}{{s}_{b}}}}{T}.$ Такое поведение корреляторов определяет, в частности, реакцию системы на внешние возмущения. Например, намагниченность при низких температурах и малых магнитных полях ведет себя как m ~ hr0/T, (h – безразмерное магнитное поле), а магнитная восприимчивость в нулевом поле χ0 = (∂m/∂h)h =0 как χ ~ r0/T. Точное выражение для ведущего члена χ0(T) при T → 0 имеет вид:

(12)
${{{\chi }}_{0}} = \left( {1 - 2{\alpha }\frac{{{{s}_{a}}}}{{{{s}_{b}}}}} \right)\frac{{{{s}_{a}}{{s}_{b}}{{{\left( {{{s}_{a}} + {{s}_{b}}} \right)}}^{2}}}}{{6{{T}^{2}}}}.$

Формула (12) определяет поведение восприимчивости и намагниченности классической модели. Известно, однако [13], что для одномерной ферромагнитной цепочки (α = 0) поведение намагниченности при малых полях и температурах является универсальным, зависящим только от скейлинговой переменной $x = \frac{{h{{s}_{a}}{{s}_{b}}{{{\left( {{{s}_{a}} + {{s}_{b}}} \right)}}^{2}}}}{{6{{T}^{2}}}},$ m = f(x). Универсальность означает, что сама функция f(x) не зависит от величин sa и sb и, в частности, сохраняет свой функциональный вид в классическом пределе sa, sb → ∞. Есть основания ожидать, что и для фрустрированной модели в ферромагнитной фазе такая универсальность имеет место, но скейлинговая переменная x модифицируется в $x* = \left( {1 - 2{\alpha }\frac{{{{s}_{a}}}}{{{{s}_{b}}}}} \right)x.$ Таким образом, можно ожидать, что классическое приближение вполне адекватно для описания магнитных термодинамических функций квантовой дельта-цепочки, по крайней мере, в ферромагнитной фазе. Действительно, полученная нами в классической модели зависимость m(h, T) (при малых значениях h и T) хорошо согласуется с экспериментальными данными, полученными в работе [12] для молекулы Fe10Gd10. Интересным с точки зрения “универсальности” было бы также сравнение низкотемпературного поведения зависимости магнитной восприимчивости χ0(T) (описываемой формулой (12)) с восприимчивостью молекулы Fe10Gd10 в нулевом магнитном поле, но в работе [12] восприимчивость определялась как отношение χ = m/h в ненулевом поле. Что же касается определенной таким образом восприимчивости, то ее температурная зависимость при фиксированном поле (точнее, зависимость величины mT/h), вычисленная нами в классическом приближении, показана на рис. 3. Она имеет максимум и затем падает до нуля. Кривая на рис. 3 очень хорошо воспроизводит экспериментальную зависимость для Fe10Gd10, приведенную в работе [12].

Рис. 3.

Зависимость mT/h от температуры.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Мы изучили модель дельта-цепочки с ферро- и антиферромагнитными обменными взаимодействиями. Конкуренция взаимодействий приводит к фрустрации. Взаимное влияние квантовых эффектов и фрустрации приводит к ряду необычных свойств, которые проявляются особенно заметно при критическом значении параметра фрустрации. Основное состояние в этом случае макроскопически вырождено и имеется остаточная энтропия. Спектр возбуждений имеет экспоненциальную щель и многомасштабную структуру, которая проявляется в низкотемпературном поведении термодинамических величин. Недавно синтезированное циклическое соединение Fe10Gd10 является реализацией этой модели с параметром фрустрации, близким к критическому, и для описания ее магнитных свойств может быть использовано классическое приближение.

Список литературы

  1. Diep H.T. Frustrated Spin Systems. Singapore: World Scientific, 2013.

  2. Derzhko O., Richter J., Maksymenko M. // Int. J. Mod. Phys. B. 2015. V. 29(12). P. 1530007.

  3. Дмитриев Д.В., Кривнов В.Я. // Хим. физика. 2009. Т. 28. № 3. C. 24.

  4. Zhitomirsky M.E., Tsunetsugu H. // Phys. Rev. B. 2004. V. 70. P. 100403.

  5. Schnack J., Schmidt H.-J., Richter J., Schulenberg J. // Eur. Phys. J. B. 2001. V. 24. P. 475.

  6. Richter J., Schulenburg J., Honecker A., Schnack J., Schmidt H.J. // J. Phys.: Condens. Matter. 2004. V. 16. P. S779.

  7. Derzhko O., Richter J. // Phys. Rev. B. 2004. V. 70. P. 104415.

  8. Ruiz-Perez C., Hernandez-Molina M., Lorenzo-Luis P. et al. // Inorg. Chem. 2000. V. 39. P. 3845.

  9. Inagaki Y., Narumi Y., Kindo K. et al. // J. Phys. Soc. Jpn. 2005. 2005. V. 74. P. 2831.

  10. Krivnov V.Ya., Dmitriev D.V., Nishimoto S., Drechsler S.-L., Richter J. // J. Phys. Rev. B. 2014. V. 90. P. 014441.

  11. Dmitriev D.V., Krivnov V.Ya. // Phys. Rev. B. 2015. V. 82. P. 054407.

  12. Baniodeh A., Magnani N., Lan Y. et al. // npj Quantum Materials. 2018. V. 3.1. P. 10.

  13. Takahashi M., Nakamura H., Sachdev S. // Phys. Rev. B. 1996. V. 54. P. R744.

Дополнительные материалы отсутствуют.