Химическая физика, 2019, T. 38, № 9, стр. 71-77

ВВЕДЕНИЕ

Каналы с переменным поперечным сечением находят широкое применение в различных областях науки и технологии. В частности, они используются для формирования высокоскоростных струй [1, 2] и более однородного перемешивания смесей несовместимых полимеров [3]. Особый интерес представляет применение таких каналов для турбулизации течения при небольших числах Рейнольдса [4–6]. Такие течения благоприятствуют интенсификации теплообмена [7, 8] и значительному увеличению эффективности работы химических реакторов [9, 10]. Частным случаем является канал с резким сужением и расширением, и в литературе можно найти достаточно много работ, посвященых исследованию структуры течений различных жидкостей в таких каналах (см., например, [3, 5, 11–17]). Исследования показали, что на выходе из зоны сужения образуются вихри, симметрия которых может нарушаться при увеличении числа Рейнольдса. Такое резкое изменение структуры течения называют бифуркацией. Дальнейшее увеличение числа Рейнольдса приводит к каскаду бифуркационных переходов с образованием все новых вихрей разных размеров вплоть до возникновения развитого турбулентного течения.

С учетом использования каналов с переменным сечением для переноса расплавов и растворов полимеров представляет значительный интерес исследовать их транспортные свойства. В данной работе ограничимся рассмотрением псевдопластических жидкостей. К ним относятся расплавы олигомеров и разбавленные растворы полиакриламида [18], ксантановой камеди [19] и карбоксиметил целлюлозы [20], а также суспезии с анизодиаметрической формой частиц, кровь [21]. Упругой реакцией таких жидкостей можно пренебречь, однако их вязкость, как правило, уменьшается с ростом скорости сдвига.

Для моделирования реологических свойств неупругих псевдопластических жидкостей зачастую используют степенную модель вязкости:

где $\eta \left( {\dot {\gamma }} \right)$ – динамическая вязкость, $\dot {\gamma }$ – скорость сдвига, а $K,$ n – параметры модели. Для псевдопластичных сред n < 1 [15–17, 22, 23]. Соотношение (1) использовалось также для описания течения псевдопластических сред в канале с резким сужением и расширением [15–17, 24]. Однако данная модель имеет ряд недостатков. В частности, она предсказывает неограниченное увеличение вязкости с уменьшением скорости сдвига и не описывает переход к ньютоновской жидкости с постоянной вязкостью, который наблюдается для большинства псевдопластических жидкостей. Кроме того, согласно (1), при больших скоростях сдвига вязкость стремится к нулю. Этих недостатков лишена модель Карро–Ясуда:

Параметр λ определяет скорость сдвига, при которой ньютоновское плато переходит в область снижения вязкости. При малых и больших скоростях сдвига $\dot {\gamma }$ вязкость такой модели остается конечной и принимает значения ${{\eta }_{0}}$ и ${{\eta }_{\infty }}$ соответственно. При больших скоростях сдвига и достаточно малой вязкости ${{\eta }_{\infty }}$ (${{\left( {\lambda \dot {\gamma }} \right)}^{a}} \gg 1$ и ${{\eta }_{\infty }}~ \to 0$) соотношение Карро–Ясуда (2) переходит в модель степенной жидкости (1):

Таким образом, $K = {{\eta }_{0}}{{\lambda }^{{n - 1}}}.$ Модель Карро–Ясуда успешно использовалась для описания реологических свойств псевдопластических сред [18–21], в том числе при течении в каналах с резким сужением и расширением при достаточно малых числах Рейнольдса [12].

Цель настоящей работы – изучение структуры течения в канале с резким сужением и расширением на примере псевдопластических жидкостей, реологические поведение которых описывается моделью Карро–Ясуда, соответствующих разным кривым вязкости. Мы не ограничиваемся исследованием симметричной моды течения, но также рассматриваем условия возникновения бифуркационных переходов к асимметричной картине течения. Подробно исследуются особенности бифуркаций течения (критические числа Рейнольдса и размеры угловых вихрей) различных псевдопластических жидкостей.

МОДЕЛЬ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Течение псевдопластической жидкости рассматривалось в 2D-канале с резким сужением и расширением (рис. 1). Канал состоит из двух широких камер одинаковой ширины w = 0.03 м, длиной l₁ = l₃ = 0.15 м и узкого зазора между ними шириной a = 0.002 м и длиной l₂ = 0.01 м. Таким образом, относительное сужение составило w/a = 15. Начало координат отсчитывалось от нижнего левого угла канала. Поэтому вход в сужение лежит при x  = 0.15 м. Центральная линия канала соответствует y = 0.015 м.

Скорость u и давление p несжимаемой псевдопластичной жидкости описываются уравнениями Навье–Стокса и условием несжимаемости:

Здесь ${\mathbf{D}} = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}\left( {\nabla {\mathbf{u}} + {{{\left( {\nabla {\mathbf{u}}} \right)}}^{T}}} \right)$ – тензор скоростей деформаций, а $\rho $ – плотность жидкости, которая принята равной 1000 кг/м³. В каналах сложной геометрии вязкость $\eta \left( {{{I}_{2}}} \right)$ неньютоновской жидкости удобно рассматривать как функцию второго инварианта тензора скоростей деформаций ${{I}_{2}} = {\mathbf{D}}~:{\mathbf{D}}.$ В этом случае соотношение (2) Карро–Ясуда представляется в виде

При течении простого сдвига соотношения (2) и (4) совпадают. На входе в канал задавалась постоянная скорость течения, а на выходе – постоянное давление и нулевой градиент скорости. На твердых стенках выполнялось условие прилипания: ${{{\mathbf{u}}}_{{wall}}} = 0.$

В качестве модельной жидкости в данной работе рассматривался 0.2%-ный (по массе) водный раствор ксантановой камеди, для которого ${{\eta }_{0}}$ = = 2.05 Па ⋅ с, ${{\eta }_{\infty }}$ = 0.00089 Па ⋅ с, $\lambda $ = 21.2 с, а = 2 и n = 0.406 [25]. Кривая вязкости такой среды соответствует штриховой линии на рис. 2. Сплошная и штрих-пунктирная линии соответствуют n = 0.6 и 0.2. Видно, что уменьшение параметра n приводит к более сильной зависимости вязкости от скорости сдвига, что соответствует большему наклону кривой вязкости.

Число Рейнольдса определяли формулой

где $\bar {u}$ – средняя скорость, а ${{\bar {\eta }}_{w}}$ – средняя вязкость среды в широкой части канала. Ее можно оценить как

При n = 1 ${{\bar {\eta }}_{w}} = ~{{\eta }_{0}}$ и формула (5) переходит в классическое определение числа Рейнольдса для ньютоновской жидкости с вязкостью ${{\eta }_{0}}.$

Систему уравнений (3) совместно с реологической моделью (4) решали в рамках открытой вычислительной платформы OpenFoam [26] при помощи метода конечных объемов и алгоритма PISO. На расчетную область накладывали регулярные прямоугольные сетки. С целью исследования влияния густоты сетки на получаемые решения провели расчеты для ньютоновской жидкости при Re = 16 для разного числа ячеек. Определили размеры l₁ и l₂ угловых вихрей, образующихся на выходе из узкой части канала в асимметричном режиме течения. В табл. 1 эти величины представлены в безразмерном виде относительно ширины канала L₁ = l₁/w и L₂= l₂/w. Видно, что, начиная с числа ячеек 1185 × 256, решение перестает заметно зависеть от густоты сетки. Такая расчетная сетка была использована в данной работе для дальнейших расчетов.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

Вначале рассмотрели профили скорости установившегося течения ньютоновской и ряда псевдопластических жидкостей Карро–Ясуда при разных значениях показателя n (соотношение (4)). В средней части входной камеры канала (x = 0.08 м) распределения скорости практически совпадают с таковыми в бесконечно длинной плоской щели. В частности, профиль скорости ньютоновской жидкости (n = 1) соответствует течению Пуазейля (параболическое распределение), а при n = 0 распределение скорости принимает пробкообразную форму (рис. 3). Отметим, что в последнем случае средняя скорость течения $\bar {u}$ близка к скорости в широкой части профиля. При 0 < n < 1 профили скорости занимают промежуточные положения. Представленные на рис. 3 профили скорости течения соответствуют $\bar {u}$ = 0.25 м/с. Они согласуется с результатами, полученным в работе [22] для $n \in \left[ {0.3;\,\,1} \right].$

При достаточно малых числах Re на выходе из зоны сужения формируются симметричные угловые вихри как для ньютоновских, так и для псевдопластических жидкостей. Их размеры возрастают по мере увеличения Re до тех пор, пока не достигнуто некоторое критическое число Рейнольдса Re_cr, выше которого симметричная картина течения резко нарушается и один из вихрей становится больше другого – возникает асимметричное течение. Такой бифуркационный переход продемонстрирован на рис. 4 на примере псевдопластичной среды Карро–Ясуда при n = 0.6, для которой, как оказалось, Re_cr = 3.06.

Для количественной оценки данного эффекта построили бифуркационные диаграммы в форме зависимости относительных размеров L₁= l₁/w и L₂= l₂/w угловых вихрей от числа Рейнольдса Re для разных значений показателя n = 0, 0.6, 0.9 и 1 (рис. 5). Видно, что с увеличением числа Рейнольдса размер большего вихря продолжает расти, в то время как меньший вихрь практически не изменяется, а его наибольший размер меньше критической длины L_cr в точке бифуркации. Рисунок 5 также показывает, что уменьшение n приводит к заметному снижению критического числа Рейнольдса Re_cr. Другими словами, у псевдопластических жидкостей бифуркационный переход происходит при гораздо меньших числах Рейнольдса по сравнению с ньютоновской жидкостью.

Это подтверждает рис. 6, который показывает, что Re_cr экспоненциально спадает при уменьшении показателя n, которое соответствует росту угла наклона кривой вязкости (см. рис. 2). Зависимость Re_cr от n хорошо аппроксимируется соотношением Re_cr = 0.43e^3.4n. Это говорит о том, что по сравнению с ньютоновскими жидкостями течение псевдопластических сред в каналах с резким сужением и расширением гораздо менее устойчиво.

Интересно отметить, что в точке бифуркации максимальные значения относительных размеров вихрей L_cr также зависят от типа жидкости, т.е величины показателя n в соотношении Карро–Ясуда (4). Эта зависимость приведена на рис. 7. Из графика можно сделать вывод, что при n > 0.6 критический размер вихрей практически не зависит от n и его значение составляет примерно 1.175. При n < 0.6 величина L_cr начинает расти вплоть до максимального значения при n = 0.

Поскольку для рассмотренных псевдопластичных жидкостей критические значения размеров вихрей L_cr и чисел Рейнольдса Re_cr сильно различаются, представляет интерес преобразовать бифуркационные диаграммы на рис. 5 в относительных координатах L/L_cr и Re/Re_cr. В этом случае все диаграммы имеют общую точку ветвления (рис. 8). При этом в асимметричной моде течения размер меньшего вихря практически не зависит от показателя n. Он примерно одинаков для ньютоновской (n = 1) и рассмотренных псевдопластичных жидкостей при $0 \leqslant n < 1.$ В то же время длина наибольшего вихря растет относительно L_cr с увеличением n. В симметричном режиме течения (Re < Re_cr) относительный размер угловых вихрей также увеличивается с увеличением числа Рейнольдса. Этот фрагмент диаграммы показан на рис. 9 в большем увеличении. Видно, что в этом случае зависимости L/L_cr от Re/Re_cr хорошо аппроксимируются линейной зависимостью при любом n:

Значения параметров α и β представлены в табл. 2 при разных n, а на рис. 10 показана зависимость $\alpha \left( n \right).$ Видно, что с увеличением n (уменьшением угла наклона кривой вязкости (см. рис. 2) скорость роста вихрей уменьшается линейно.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Методами численного моделирования в данной работе изучены особенности бифуркационных переходов различных псевдопластических сред в канале с резким сужением и расширением. Показано, что в точке бифуркации симметричное положение угловых вихрей скачкообразно переходит в асимметричное состояние, при котором их размеры становятся разными. Установлено, что с уменьшением показателя степени n в модели Карро–Ясуда, отвечающего за скорость уменьшения вязкости с ростом скорости сдвига, критическое число Рейнольдса Re_cr экспоненциально уменьшается. Последнее обстоятельство свидетельствует о том, что в канале с переменным сечением течение псевдопластических сред менее устойчиво по сравнению с ньютоновскими жидкостями. Совмещенная бифуркационная диаграмма в координатах относительного размера вихрей L/L_cr и относительного числа Рейнольдса Re/Re_cr показала, что в ассимметричном режиме течения размер меньшего из вихрей практически не зависит от вида кривой вязкости или параметра n, тогда как с его уменьшением относительный размер L/L_cr большего вихря снижается. В режиме симметричного течения относительный размер угловых вихрей линейно возрастает с ростом Re/Re_cr. Таким образом, перемешивание жидкостей в каналах с резким сужением и расширением, которое ассоциируется с динамикой вихрей на выходе из узкой зоны, существенно зависит от типа кривой вязкости.

Численные расчеты проводились с использованием вычислительных ресурсов Межведомственного суперкомпьютерного центра РАН.

Научно-исследовательская работа выполнена за счет субсидии, выделенной ИХФ РАН на выполнение государственного задания (тема № 0082-2014-0013) и ИПХФ РАН (тема № 0089-2019-0001), а также за счет гранта Российского фонда фундаментальных исследований № 18-29-17072.