Химическая физика, 2020, T. 39, № 8, стр. 28-34

ВВЕДЕНИЕ

Определение параметров воздушных ударных волн (УВ) в цилиндрической симметрии (далее – цилиндрических волн) представляет значительный интерес, в том числе для оценки последствий аварийных разрывов газопроводов. Современные трубопроводные системы для транспортировки природного газа характеризуются большими диаметрами (до 1.4 м) и высокими давлениями (до 20 МПа и выше). При разрушении такого трубопровода в воздухе могут возникать мощные УВ. Ситуация усугубляется тем, что разрушение газопровода обычно происходит в виде протяженного раскрытия трубы, которая раскрывается на линейном участке протяженностью до 20 диаметров. В результате газ за время раскрытия трещины начинает расширяться в атмосферу из объема, имеющего существенно различающиеся продольный и поперечный размеры.

Соответственно, УВ вблизи места разрушения не может рассматриваться как сферическая волна, по крайней мере на расстояниях от трубопровода порядка длины разрыва. Понятно также, что именно в этой области достигаются высокие давления, которые могут создавать значительные разрушения. Поэтому, для оценки степени этих разрушений, необходимо корректно описывать профиль давления в изначально несферической УВ.

Наиболее общим решением такой проблемы может быть многомерное численное моделирование процесса истечения сжатого природного газа, двигавшегося по трубе, при соответствующем динамическом разрушении стенки трубопровода. Однако в ряде случаев выполнение таких расчетов весьма затруднительно. Например, при анализе риска, когда моделируется множество – до десятков и даже сотен тысяч – различных ситуаций. Поэтому было бы желательно иметь аппроксимации в виде простых формул для определения зависимости давления от расстояния.

Как известно, такие зависимости широко распространены в приложении к оценке давления в сферически-симметричных УВ. В качестве примера существующих можно привести следующие зависимости:

– аппроксимации опытов по взрыву зарядов конденсированного взрывчатого вещества (ВВ) [1–5], в том числе модели, адаптированные для взрывов газовых смесей с учетом размера облака и изменения величины тротилового эквивалента газового взрыва в зависимости от расстояния [6–9];

– аппроксимации опытов по детонации газовых облаков [10, 11];

– аппроксимация расчетных данных для задач, моделирующих различные взрывные процессы, которые включают стадию разлета сжатого газа [4], газовую детонацию [12], точечный взрыв [13] и детонацию конденсированных взрывчатых веществ (ВВ) [1, 2];

– результаты аналитических решений на основе теории подобия [14, 15].

К сожалению, эти модели в сферической симметрии напрямую не применимы к цилиндрической. Тем не менее, в двух из перечисленных выше методов предусмотрены варианты расчета параметров цилиндрических волн [4, 14]. Причем в работе [4] учет цилиндрической волны проводится путем введения поправочных коэффициентов в зависимость давления от расстояния для сферической волны, а в работе [14] рассматривается сосредоточенный взрыв. Наряду с этими подходами можно отметить наличие эмпирической корреляции давления в воздушной УВ при взрыве цилиндрических зарядов конденсированных ВВ [16].

Очевидно, что такие рассмотрения цилиндрической волны [4, 14, 16] являются лишь определенным приближением задачи при отыскании параметров УВ при расширении объема сжатого газа цилиндрической формы (далее – цилиндрического объема). Например, в работе [4] в полной мере не учитывается расхождение возникающего цилиндрического потока. В работе [14] не учитывается конечный размер области высокого давления. А в работе [16] не учитываются особенности передачи энергии воздушной УВ, характерные для расширения сжатого газа. В такой ситуации для цилиндрической волны, возникающей при расширении сжатого газа метана, целесообразно получить простые аналитические зависимости давления во фронте УВ от расстояния. В настоящей работе они строятся на основе результатов численного моделирования.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Предлагается рассмотреть задачу о расширении цилиндрического объема сжатого метана. Задача рассматривается в одномерной постановке. Течение описывается системой одномерных газодинамических уравнений Эйлера для цилиндрической симметрии, выражающих законы сохранения массы, импульса и энергии в лагранжевых массовых координатах:

В качестве исходного как для метана, так и для воздуха использовалось уравнение состояния идеального газа:

В формулах (1)–(4) t – время, r – расстояние, m – лагранжева массовая координата, V – удельный объем, p – давление, u – скорость, i – удельная внутренняя энергия, γ – показатель адиабаты, равный 1.4 для воздуха и 1.32 для метана соответственно.

В качестве начального рассматривается бесконечный цилиндрический объем радиусом R₀ сжатого до давления P₀ метана, находящийся в воздухе. В расчетах давление P₀ варьировалось от 0.4 до 50 МПа, а радиус – от 0.1 ⋅ $\sqrt 2 $ до 0.7 ⋅ $\sqrt 2 .$ Температура воздуха и метана полагалась равной Т₀ = 273 К, давление в воздухе Р_sur = 101325 Па.

Поскольку решение данной задачи рассматривается в контексте его возможного приложения к оценке параметров УВ при аварийных разрывах газопроводов, следует особо отметить консерватизм данной постановки задачи в приложении к практике.

Во-первых, при разрушении реальных газопроводов, лежащих на поверхности либо незначительно заглубленных, часть энергии сжатого газа передается УВ, уходящей в грунт. Оставшаяся энергия передается УВ, распространяющейся в полупространстве над землей. В связи с этим используемый в постановке задачи радиус R₀ должен быть разделен на $\sqrt 2 ,$ и именно эту величину следует относить к реальному трубопроводу, пренебрегая энергией, уходящей в грунт.

Во-вторых, в реальной системе газопровод–грунт–воздух есть потери энергии сжатого газа на разрушение трубопровода и на метание грунта (при подземной прокладке трубопровода). В рассматриваемой постановке энергия сжатого газа идет на формирование УВ без таких потерь. Заметим, что пренебрежение этими факторами означает, что вся энергия сжатого природного газа участвует в формировании УВ. Последнее должно приводить к завышению рассчитываемых давлений на фронте УВ. Система уравнений (1)–(4) с соответствующими начальными условиями решалась численно с использованием разностных методов [17–19].

РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

Численные расчеты проводились на разностной сетке с шагом 0.2 мм для области сжатого газа и 10 мм для воздуха. Размер расчетной области составлял 500 м по радиусу (в некоторых расчетах – 1000 м). Этому расстоянию соответствовали избыточные давления на фронте УВ в несколько кПа.

Выбранное разбиение позволяло получить точность расчета избыточного давления на фронте УВ в 1–2%. Именно такая разница в численных решениях проявлялась при уменьшении перечисленных выше разностных шагов еще в 2 раза.

Результаты различных вариантов расчетов приведены на рис. 1. Расстояние отсчитывается от оси цилиндрического объема сжатого газа. Обезразмеривание проведено для перепада давления на фронте УВ и расстояния следующим образом:

где E_g – энергия сжатого газа на единицу длины, определяемая с использованием формулы (4). Для наглядности все кривые проведены от границы области сжатого газа (R₀, P₀).

Из рис. 1 видно, что все кривые в безразмерном виде имеют примерно один и тот же характерный вид, причем на каждой кривой можно выделить три различных участка:

– резкий спад давления на начальном участке, когда ход каждой кривой определяется начальным давлением P₀ и в меньшей степени размером области изначально сжатого газа;

– плавный спад давления до $\bar {r} = 2,$ когда кривые, соответствующие одинаковым начальным давлениям в изначально сжатой области, идут близко друг к другу, и их ход слабо зависит от размеров области изначально сжатого газа;

– автомодельный спад давления при $\bar {r} > 2,$ когда все кривые, независимо от начальных данных, начинают сливаться.

Можно выделить три характерные точки, определяющие границы этих интервалов:

– точка 1, соответствующая начальному давлению P₀ в области сжатого газа и начальному размеру R₀ этой области;

– точка 2, соответствующая завершению быстрого спада давления и отстоящая от точки 1 на несколько радиусов R₀;

– точка 3 с безразмерным радиусом, равным двум, начиная с которой задача становится автомодельной.

Безразмерные расстояния и давления в этих точках можно обозначить как (${{\bar {r}}_{1}},$ ${{\bar {p}}_{1}}$), (${{\bar {r}}_{2}},$ ${{\bar {p}}_{2}}$), (${{\bar {r}}_{3}},$ ${{\bar {p}}_{3}}$) соответственно. Резкий спад давления на начальных участках безразмерных кривых от точки 1 до точки 2 обусловлен тем, что на этом участке энергия изначально сжатого газа только в малой степени перешла в энергию волны. Поэтому при наличии расхождения потока за УВ в цилиндрической симметрии ударная волна может быстро затухать. Основная доля энергии сжатого газа передается УВ на втором участке, и переход к автомодельным решениям происходит к моменту перехода основной доли энергии сжатого газа в УВ.

На рис. 2 для случая P₀ = 22.1 Па и R₀ = 0.6 ⋅ $\sqrt 2 $ м показаны зависимости долей полной энергии в метане и в воздушной УВ от безразмерного расстояния. Полная энергия воздуха вычислялась с поправкой на его начальную энергию. Такое разбиение позволяет увидеть, как энергия сжатого газа переходит в энергию УВ, которая, как следует из вышесказанного, оценивается по изменению полной энергии воздуха. Из этого рисунка следует, что до $\bar {r} = 2$ основная доля энергии сжатого газа уже перешла в УВ.

Обращаясь теперь ко второму участку зависимостей на рис. 1, можно заметить, что безразмерные кривые, полученные при одном значении начального давления и разных начальных размерах области исходного сжатия, лежат достаточно близко друг другу. То есть безразмерное давление в этом интервале зависит главным образом от начального давления и слабо – от размера начальной области сжатого метана. Это обстоятельство упрощает построение безразмерной функции давления от безразмерного расстояния для всех начальных условий R₀, P₀ и позволяет представить ее в виде единой параметрической зависимости.

ПОСТРОЕНИЕ БЕЗРАЗМЕРНОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ЗАВИСИМОСТИ ДАВЛЕНИЯ ОТ РАССТОЯНИЯ ДЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ УВ, ФОРМИРУЮЩЕЙСЯ ПРИ РАЗЛЕТЕ СЖАТОГО МЕТАНА

Из сказанного выше можно сделать заключение о возможности представить все семейство кривых на рис. 1 в виде общей безразмерной зависимости с параметрами, определяющими различный характер хода кривых до расстояния $\bar {r} = 2.$ В качестве таких параметров полагается использовать безразмерные параметры в точке 2 как функции начального давления в области сжатого метана. Это подтверждается зависимостями ${{\bar {r}}_{2}}$ и ${{\bar {p}}_{2}}$ от величины отношения ${{{{P}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{P}_{0}}} {{{Р}_{{sur}}}}}} \right. \kern-0em} {{{Р}_{{sur}}}}},$ полученными при обработке функций $\bar {p}\left( {\bar {r}} \right),$ представленных на рис. 1 для различных значений R₀, P₀. Эти зависимости, полученные методом наименьших квадратов, выглядят следующим образом:

где ${{\bar {P}}_{0}} = {{{{P}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{P}_{0}}} {{{P}_{{sur}}}}}} \right. \kern-0em} {{{P}_{{sur}}}}}.$ Зависимости (5) представлены на рис. 3а и б соответственно для точки ${{\bar {p}}_{2}}$ и ${{\bar {r}}_{2}}.$

Значения ${{\bar {p}}_{{\,1}}}$ и ${{\bar {r}}_{{\,1}}}$ определялись по начальным характеристикам области сжатого газа

Значение ${{\bar {p}}_{3}}$ при ${{\bar {r}}_{3}}$ = 2 принималось равным максимальному из всех рассчитанных значений давления (см. рис. 1):

Аппроксимация $\bar {p}(\bar {r})$ состоит из трех кусочных участков, первый и второй из которых описываются степенными функциями от расстояния $\bar {r},$ а третий – полиномом от $\ln \left( {\bar {r}} \right){\text{:}}$

где

Таким образом, соотношения (8)–(10) позволяют оценить давление в цилиндрической УВ, исходя из начальных параметров – давления и размера области изначально повышенного давления. Следует также отметить, что данный подход может быть распространен и на волны в иных средах, например в водной среде [20–22].

СРАВНЕНИЕ С РАНЕЕ ПОЛУЧЕННЫМИ РЕЗУЛЬТАТАМИ

Как отмечалось во Введении, существует несколько методов оценки параметров цилиндрических УВ с использованием простых аппроксимаций [4, 14, 16]. В связи с этим возникает вопрос, как соотносятся давления в УВ, рассчитанные по предложенному подходу (8)–(10), с данными высокоточных расчетов и расчетов по ранее предложенным подходам.

На рис. 4 для одной из расчетных ситуаций (см. кривую 4 на рис. 1) приведены зависимости, полученные как с помощью высокоточного численного моделирования – линия 1, так и с использованием предложенных соотношений (8)–(10) – линия 2. Как видно из рис. 4, предложенный подход дает оценку давления в УВ с определенным завышением (консерватизмом). Вместе с тем следует отметить, что предложенные соотношения точнее передают изменение давления в зависимости от расстояния: например, предложенные ранее соотношения [4] демонстрируют более высокие значения давления в ближней к области сжатого газа зоне (линия 3 на рис. 4).

Еще более искаженную картину изменения давления в зависимости от расстояния дает расчет по отраслевому документу [5] (линия 4 на рис. 4). Существенная ошибка расчета по этой методике связана с использованием в зависимости данных для случая сферической УВ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе проанализировано существующее положение дел в части расчета параметров цилиндрических УВ с использованием простых параметрических зависимостей. Показано, что существующие подходы упрощены и не дают полного представления о параметрах цилиндрических УВ. С другой стороны, существует большая практическая необходимость в таких зависимостях, прежде всего для предсказания последствий аварийного разрыва трубопроводов с природным газом.

Исходя из этого, был предложен вариант универсальной зависимости для расчета давлений в цилиндрической УВ, формирующейся при расширении сжатого метана. Эта зависимость построена по результатам газодинамических расчетов в практически актуальном диапазоне начальных размеров и давлений области изначально высокого давления (0.1–1.5 м и 2–500 атм).

Зависимость представляет собой кусочную функцию безразмерного давления от безразмерного расстояния. В отличие от ранее предложенных аналогов на кривых этой зависимости выделено три участка.

В качестве параметров для построенной аппроксиации были выбраны: безразмерные радиус и давление начальной области, а также безразмерные радиус и давление в точке перехода от первого участка ко второму, т.е. в точке завершения быстрого спада. Показано, что полученная зависимость хорошо описывает результаты высокоточных численных расчетов. Проведено ее сравнение с имеющимися аналогами. Показана более высокая точность предложенной зависимости.