Космические исследования, 2020, T. 58, № 1, стр. 27-39
Исследование характеристик вероятной области соударения астероида Апофис с Землей в 2036 г.
В. В. Ивашкин 1, 2, *, П. Гуо 1, К. А. Стихно 2
1 Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН
г. Москва, Россия
2 Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана
г. Москва, Россия
* E-mail: ivashkin@keldysh.ru
Поступила в редакцию 26.12.2018
После доработки 26.03.2019
Принята к публикации 25.04.2019
Аннотация
В настоящей работе определено и исследовано возможное место соударения опасного астероида Апофис с Землей в 2036 г. Разработаны алгоритмы для поиска всего вероятного множества попадающих в Землю траекторий астероида Апофис с помощью методов Монте-Карло и градиентного спуска. Для данного множества произведен поиск нескольких вероятных семейств столкновительных с Землей в 2036 г. траекторий астероида, соответствующих подмножествам значений перигейного расстояния орбиты Апофиса от минимально возможного расстояния, ~2069 км, до максимального, соответствующего касанию поверхности Земли, ~6376 км. Получено отображение всего множества попадающих траекторий на поверхность Земли, а также построена на карте мира столкновительная полоса. Изучены особенности этой зоны соударения и свойства столкновительных траекторий Апофиса. Дано сравнение результатов данного исследования с другими работами.
1. ВВЕДЕНИЕ
Астероид (99942) Апофис (лат. Apophis) потенциально угрожает Земле в XXI в. С момента его открытия в 2004 г. теоретическая вероятность его столкновения с Землей в 2029 г. и связанные с резонансными возвратами к Земле возможные его соударения с нашей планетой многократно изучались отечественными и зарубежными учеными [1–16]. По результатам обработки наблюдений в 2005 г. было выявлено, что астероид Апофис тесно сближается с Землей в 2029 г. на расстояние ~38 ± 2.3 тыс. км от центра Земли и имеет некоторую малую вероятность его столкновения с Землей при следующем сближении в 2036 г. Однако эта вероятность практически исключена NASA после существенного уточнения его орбиты из новых наблюдений в 2012–2013 гг., когда Апофис опять сближался с Землей [8, 13]. Несмотря на это, изучение и выявление характеристик возможной зоны падения астероида Апофис на Землю в 2036 г. важны как сами по себе, для анализа структуры и характеристик попадающих траекторий астероида, так и для разработки методик и алгоритмов, которые могут понадобиться в любой момент при тесном сближении с Землей других опасных небесных тел. Поэтому исследование характеристик зоны падения Апофиса представляется важной и актуальной задачей в комплексной проблеме астероидно-кометной опасности.
В настоящей работе определена и исследована вероятная область соударения опасного астероида Апофис с Землей в 2036 г., а также проанализированы характеристики этой области падения астероида. Задача выполнялась в два этапа. На первом этапе работы разработаны алгоритмы для поиска траекторий опасного астероида Апофис, попадающих в Землю в 2036 г. с учетом влияния реального гравитационного поля и давления Солнечного света. Произведен поиск нескольких семейств попадающих в Землю траекторий Апофиса, для каждого из которых перигейное расстояние траектории близко к некоторому фиксированному перигейному расстоянию из диапазона rπ = {2069–2100; 2500 ± 1; 3000 ± 1; …; 6360 ± 1; 6375 ± 1} км – от минимального, ~2069 км, до максимального, ~6376 км. Далее, на втором этапе, определено множество точек пересечения этих траекторий с поверхностью Земли и на основе этого построена столкновительная полоса на карте мира. Исследованы геометрические, временные и энергетические характеристики столкновительных траекторий Апофиса и полосы точек соударения астероида с Землей, в частности, ее ширина и длина, ориентация в пространстве, углы входа астероида в атмосферу, время и скорость столкновения, направление подлета астероида к Земле. Выполнено сравнение с результатами других авторов по данной проблеме. Данная работа развивает [6].
2. МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ МНОЖЕСТВА ПОПАДАЮЩИХ ТРАЕКТОРИЙ АПОФИСА
Для поиска попадающих в Землю траекторий астероида Апофис использованы методы Монте-Карло и градиентного спуска. При этом траектории Апофиса определялись численным интегрированием уравнений движения астероида с учетом возмущений от реального гравитационного поля и давления солнечного света при варьировании начальных данных в допустимом множестве [1–6]. Разработаны также алгоритмы для поиска множества попадающих в Землю траекторий Апофиса с заданными значениями перигейного расстояния.
2.1. Модель движения астероида. Чтобы повысить точность определения траекторий астероида Апофис, была использована достаточно полная модель его движения. Применены уравнения движения астероида в гелиоцентрической геоэкваториальной прямоугольной невращающейся системе координат (СК) OXYZ на эпоху J2000 с учетом возмущений от притяжения всех больших планет и Луны, как точечных тел, сжатия Земли (с точностью до второй зональной гармоники J2), а также давления солнечного света:
(1)
$\begin{gathered} \frac{{{{d}^{2}}{{{\mathbf{r}}}_{{\text{A}}}}}}{{d{{t}^{2}}}} = - \frac{{{{\mu }_{{\text{S}}}} + {{\mu }_{{\text{A}}}}}}{{r_{{\text{A}}}^{3}}}{{{\mathbf{r}}}_{{\text{A}}}} + \sum\limits_i {{{\mu }_{i}}\left( {\frac{{{{{\mathbf{r}}}_{i}} - {{{\mathbf{r}}}_{{\text{A}}}}}}{{{{{\left| {{{{\mathbf{r}}}_{i}} - {{{\mathbf{r}}}_{{\text{A}}}}} \right|}}^{3}}}} - \frac{{{{{\mathbf{r}}}_{i}}}}{{{{{\left| {{{{\mathbf{r}}}_{i}}} \right|}}^{3}}}}} \right)} + \\ + \,\,{{\Delta }_{{\text{E}}}} + {{{\mathbf{a}}}_{{SP}}}, \\ \end{gathered} $В силу большого объема вычислений интегрирование выполнено методом предиктор-корректора 8-ого порядка, эффективным по быстродействию, разработанным и используемым в ИПМ им. М.В. Келдыша РАН [17]. В качестве номинальных начальных данных r0n, v0n для уравнений движения на начальный момент t0 в эпоху JD2453400.5 (30.I.2005 г.) и их возможных отклонений были использованы результаты ИПА РАН по обработке оптических и радиолокационных наблюдений астероида [1], причем:
(2)
$3{{\sigma }_{0}}\left( {x,y,z} \right) = 3\,{\text{км}},\,\,\,\,3{{\sigma }_{0}}\left( {{{{v}}_{x}},{{{v}}_{y}},{{{v}}_{z}}} \right) = 2{\text{ мм}}/{\text{с}},$2.2. Поиск попадающих в Землю траекторий астероида Апофис. Чтобы как можно более полно и за приемлемое время оценить множество опасных траекторий, не перебирая при этом с очень мелким малом все множество начальных состояний, был применен комплексный метод их поиска.
Распределение начальных данных для траекторий из эллипсоида рассеивания (2) было нами принято нормальным с диагональной ковариационной матрицей. В соответствии с этим, случайным образом смоделировано ~104 начальных векторов состояния астероида z = (r0, v0). При этом нормальное распределение моделировалось на основе равномерно распределенных случайных величин на отрезке [0, 1], согласно [18].
Каждая траектория была проинтегрирована до сближения с Землей в 2036 г. Затем из общего множества траекторий было выделено подмножество из около 50 траекторий с перигейным расстоянием в 2036 г. вблизи сферы действия Земли.
Для этих траекторий их перигейное расстояние в 2036 г. рассматривалось как минимизируемый параметр, зависящий от начального состояния астероида z = (r0, v0):
(3)
${{r}_{\pi }}({\mathbf{z}},{{t}_{k}},\Delta t) = \mathop {\min }\limits_{t \in ({{t}_{k}} - \Delta t,{{t}_{k}} + \Delta t)} \left| {{{{\mathbf{r}}}_{{AE}}}(t)} \right|,$(4)
$\tilde {z} = {\mathbf{z}} - {{\vartheta }_{k}} \cdot {\text{grad}}({{r}_{\pi }}({\mathbf{z}})),$Таким образом было получено соответствующее количество (~50) траекторий с перигейным расстоянием меньше радиуса Земли [2–5]. Для начальных состояний найденных траекторий был посчитан диапазон интеграла энергии h0 задачи двух тел гелиоцентрического движения астероида:
(5)
${{h}_{0}} = {v}_{0}^{2} - 2{{{{\mu }_{S}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\mu }_{S}}} {{{r}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{r}_{0}}}},$Затем снова методом Монте-Карло проводился перебор достаточно большого множества траекторий (порядка 107) из начального эллипсоида (2) и выбирались траектории с величиной интеграла энергии в начальный момент времени, близкой к его значениям в указанном диапазоне для определенных выше столкновительных траекторий. Последующее поверочное интегрирование до 2036 г. проводилось только в том случае, когда интеграл энергии исследуемой траектории не выходил далеко за рамки диапазона, задаваемого ранее найденными попадающими траекториями. Так было найдено уже ~5000 траекторий с пролетом внутри сферы действия Земли. Для получившегося множества траекторий снова варьированием начального состояния и минимизацией перигейного расстояния в 2036 г. было сгенерировано соответствующее множество попадающих траекторий.
Найденные попадающие в Землю в 2036 г. траектории Апофиса были значительно разбросаны вдоль всего эллипсоида рассеивания начальных данных. На рис. 2 приведены “сферически-симметричное” множество исследовавшихся точек, соответствующих исходному множеству (2), и множество точек, образующих “отрезок прямой” и соответствующих попадающим в Землю орбитам астероида. Здесь dr = |r0–r0n|, dv = |v0–v0n|, где r0n, v0n соответствуют номинальной траектории [1], r0, v0 соответствуют траектории в эллипсоиде (2).
2.3. Детализация множества попадающих траекторий. Главной характеристикой каждой траектории построенного семейства является ее перигейное расстояние в 2036 г. Для всех траекторий этого множества оно варьируется в диапазоне от минимального значения, равного ~2069 км [2–6] до максимального, соответствующего предельной величине для “касания” траекторией Земли, ~6376 км. Для дальнейшего изучения всего множества попадающих траекторий были построены его подмножества, семейства, объединяющие траектории с одинаковым перигейным расстоянием rπ в 2036 г. для нескольких значений rπ из указанного диапазона. При этом было выявлено, что каждое данное семейство с перигейным расстоянием, большим минимального, состоит из двух несвязных частей, для которых место падения на Землю лежит по разные стороны от места падения для траектории с минимальным перигейным расстоянием.
Эти траектории с заданным значением перигейного расстояния получались из полученных ранее попадающих траекторий как порождающих. Перигейное расстояние rπ в 2036 г. рассматривалось как функция начального состояния астероида rπ(z). Затем, в отличие от [2–5], выбиралось два направления – вдоль градиента интеграла энергии задачи двух тел и противоположное ему:
(6)
${{{\mathbf{g}}}_{1}} = {\text{gra}}{{{\text{d}}}_{{({{{\mathbf{r}}}_{0}},{{{\mathbf{v}}}_{0}})}}}({{h}_{0}}),\,\,\,\,{{{\mathbf{g}}}_{2}} = - {\text{gra}}{{{\text{d}}}_{{({{{\mathbf{r}}}_{0}},{{{\mathbf{v}}}_{0}})}}}({{h}_{0}}).$Вдоль этих направлений производился поиск нуля функции fi = rπ(r0, v0) – ci, где ci – требуемое значение rπ на изолинии. Подобный однопараметрический поиск быстро приводил к траектории, удовлетворяющей требуемым свойствам. Затем каждая траектория семейства отображалась на поверхность Земли в момент столкновения в 2036 г., т.е. для нее определялась точка падения (ее координаты) на поверхности Земли.
Минимальное перигейное расстояние rπ множества попадающих траекторий астероида Апофис в 2036 г. оценено, как ~2069 км. Для нашей задачи было получено 11 семейств попадающих траекторий, для каждого из которых значение перигейного расстояния меняется в некотором диапазоне из множества rπ = {2069–2100; 2500 ± 1; 3000 ± 1; …; 6360 ± 1; 6375 ± 1} км. Для каждой попадающей траектории получены векторы состояния на момент прохождения условного перигея в 2036 г.:
3. АНАЛИЗ ХАРАКТЕРИСТИК ЗОНЫ СОУДАРЕНИЯ И СТОЛКНОВИТЕЛЬНЫХ ТРАЕКТОРИЙ АСТЕРОИДА АПОФИС
Рассматривается задача отображения множества сталкивающихся траекторий астероида Апофис на поверхность Земли в момент столкновения. Разработаны алгоритмы для определения географических координат точек соударения с Землей. Анализируются характеристики множества точек соударения астероида Апофис, в том числе, зоны падения, угол входа в атмосферу, время и скорость столкновения, а также характеристики столкновительной полосы на Земле. Выполнен анализ влияния прецессии и нутации на определение точки падения. На данном этапе анализа нами не учитывалось влияние атмосферы Земли на точки падения астероида (некоторые вопросы анализа характеристик движения астероида типа Апофис после его входа в атмосферу Земли ранее изучены в работе [16]).
3.1. Определение точек соударения Апофиса с Землей. Интегрируя уравнения движения астероида (1) с начальными данными (7), полученными в п. 2, можем получить на любой момент времени t радиус-вектор rA и вектор скорость vA астероида. Отметим, что в данном разделе применен метод интегрирования Рунге–Кутты 7(8) порядка, с использованием эфемерид DE421. При этом было предварительно выполнено сравнение с методом интегрирования в п. 2. Оно показало хорошую близость результатов этих обоих методов. Отсюда определяем радиус-вектор и вектор скорость астероида относительно центра масс Земли в геоэкваториальной системе координат r(x, y, z), v(vx, vy, vz):
(8)
${\mathbf{r}} = {{{\mathbf{r}}}_{{\text{A}}}} - {{{\mathbf{r}}}_{{\text{E}}}},\,\,\,\,{\mathbf{v}} = {{{\mathbf{v}}}_{{\text{A}}}} - {{{\mathbf{v}}}_{{\text{E}}}},$Для перевода во вращающуюся систему координат сначала находим среднее Гринвичское звездное время на момент времени t [19–23]. Используя его, переходим к Гринвичской вращающейся системе координат, находим радиус-вектор rG, геоцентрические широту φ' и долготу λ астероида. Далее с учетом сжатия Земли вычисляем географическую широту φ и высоту H астероида над поверхностью земного эллипсоида [19–25]. В качестве формы Земли принят земной эллипсоид, характеризуемый средним экваториальным радиусом Rэ = 6378.137 км и полярным сжатием αе = 1/298.25.
Считаем, что при H = 0 астероид достигает поверхность Земли. Обозначим соответственно время попадания, географические широту и долготу точки падения через tc, φс и λс. При H = 100 км астероид проходит границу атмосферы. Обозначим соответственно время входа в атмосферу через tатм.
В данной работе для определения времен tатм и tc, соответствующих H = 100 км и H = 0, построен итерационный процесс, использующий интегрирование, при заданной точности по высоте 1 мм. В качестве начального времени интегрирования выбран момент времени прохождения перигея tπ для каждой попадающейся траектории. Интегрируя уравнения движения астероида до времен tатм и tc, получим радиус-векторы и векторы скорости астероида в геоцентрической СК: rатм, vатм и rc, vc, переводим их в географическую СК. Если Ω − угловая скорость вращения Земли, то компоненты скорости астероида vr(vxr, vyr, vzr) относительно поверхности Земли:
(9)
${{{v}}_{{xr}}} = {{{v}}_{x}} + \Omega y;\,\,\,\,{{{v}}_{{yr}}} = {{{v}}_{y}}--\Omega x;\,\,\,\,{{{v}}_{{zr}}} = {{{v}}_{z}}.$При t = tc, получаем скорость соударения vcr астероида с Землей с учетом вращения Земли. Вводя орты (ξ, η, ζ) по нормали к поверхности от центра Земли, по параллели на Восток, по меридиану на Север, определим соответствующие составляющие относительной скорости vξ, vη, vζ, ее проекцию на поверхность vηζ, угол наклона проекции к параллели ψr. При t = tатм получим относительную скорость астероида при входе в атмосферу Земли vатмr.
(10)
$\begin{gathered} \sin {{\psi }_{r}} = \frac{{{{{v}}_{{r{\zeta }}}}}}{{\sqrt {{v}_{{r{\eta }}}^{2} + {v}_{{r{\zeta }}}^{2}} }}, \\ cos{{\psi }_{r}} = \frac{{{{{v}}_{{r{\eta }}}}}}{{\sqrt {{v}_{{r{\eta }}}^{2} + {v}_{{r{\zeta }}}^{2}} }},\,\,\,\,0 \leqslant {{\psi }_{r}} < 2\pi . \\ \end{gathered} $Для всех полученных траекторий соударения определяем указанные характеристики соударения, в частности, время и скорость tc, vc = |vc|, vcr, географические широту и долготу точки падения φс и λс, углы входа в атмосферу θa, θr:
(11)
$\begin{gathered} {{\theta }_{а}} = \frac{\pi }{2} - \arccos \left( {\frac{{{{{\mathbf{r}}}_{{{\text{атм}}}}} \cdot {{{\mathbf{v}}}_{{{\text{атм}}}}}}}{{{{r}_{{{\text{атм}}}}} \cdot {{{v}}_{{{\text{атм}}}}}}}} \right), \\ {{\theta }_{r}} = \frac{\pi }{2} - \arccos \left( {\frac{{{{{\mathbf{r}}}_{{{\text{атм}}}}} \cdot {{{\mathbf{v}}}_{{{\text{атм}}\;r}}}}}{{{{r}_{{{\text{атм}}}}} \cdot {{{v}}_{{{\text{атм}}\;r}}}}}} \right), \\ \end{gathered} $3.2. Построение столкновительной полосы на поверхности Земли. Были построены 11 семейств попадающих траекторий An (n = 0, 1, …, 9), Bn (n = = 1, 2, …, 10), для каждого из которых значение перигейного расстояния меняется в некотором узком диапазоне: A0 = {rπ: 2069–2100 км}, (A1, B1) = = {rπ: 2500 ± 1 км}, (A2, B2) = {rπ: 3000 ± 1 км}, (A3, B3) = {rπ: 3500 ± 1 км}, (A4, B4) = {rπ: 4000 ± 1 км}, (A5, B5) = {rπ: 4500 ± 1 км}, (A6, B6) = {rπ: 5000 ± ± 1 км}, (A7, B7) = {rπ: 5500 ± 1 км}, (A8, B8) = {rπ: 6000 ± 1 км}, (A9, B9) = {rπ: 6360 ± 1 км}, B10 = {rπ: 6375 ± 1 км}, и получены точки соударения астероида с Землей для каждого из всех указанных семейств An, Bn.
На рис. 3 в плоскости географических углов (φ, λ) приведена область точек падения астероида для попадающих траекторий семейства A0 с перигейным расстоянием rπ из диапазона [2069; 2100] км. Центр этой области (ее также обозначим через A0) отмечен крестиком. При этом связна только часть семейства A0 = {rπ: 2069 км ≤ rπ ≤ 2100 км}, примыкающая к орбите T0 c минимальным rπ, для этой части 2069 км ≤ rπ ≤ 2085 км. При rπ > 2085 км множества {rπ = const} несвязны, они состоят из двух подмножеств. Для одного: точки падения лежат правее центра области A0, оно соответствует уменьшению гелиоцентрической энергии h до соударения по сравнению с траекторией T0. Для другого точки падения лежат левее области А0, оно соответствует увеличению энергии по сравнению с траекторией T0.
В качестве примера на рис. 4 приведены области точек падения астероида для семейств А9 и B9 с rπ из диапазона [6360 ± 1] км на плоскости (δλ cosφ, δφ), где δλ, δφ – долгота и широта точки падения относительно координат центра этой области падения. Здесь же указаны изолинии rπ = = const. Каждая область падения А9 и B9 разделена этими изолиниями на четыре подмножества по перигейному расстоянию rπ, так что на каждом из этих подмножеств rπ меняется на 0.5 км. Например, для крайних темных областей rπ меняется в диапазоне [6360.5; 6361] км.
Все множество столкновительных орбит астероида порождает столкновительную полосу на Северном полушарии Земли. Она приведена на рис. 5. Для лучшего анализа полосы падения астероида полученные результаты сохраняются в файле формата “.kml”, который позволяет отображать трехмерные геопространственные данные и другую полезную информацию в программе “Google Earth”, а также на двухмерных картах Google.
На рис. 6 приведена эта полоса, построенная нами на карте мира с помощью системы “Google my maps” (здесь учтены прецессия и нутация в соответствии с анализом в п. 3.5), ее можно посмотреть на сайте по ссылке (https://drive.google.com/open?id=1VXX1dxJO2e6hn51FFTVf_wbk9gs&usp=sharing). Увеличивая масштаб этого изображения, можно просмотреть все точки данной полосы. Ее начало (Start, семейство А9) – вблизи Омска, Томска, Новосибирска. Далее она последовательно проходит через Красноярский край, Якутию, Дальний восток и Камчатку России, вблизи Алеутских островов, через Тихий океан, Центральную Америку, Южную Америку (Колумбия, Венесуэла), и уходит дальше в Атлантику, до конца (The End, семейство В10) у западного побережья Африки, вблизи Дакара (см. рис. 6).
Ниже, в табл. 2 указаны угловые координаты, широты и долготы (с учетом прецессии и нутации), а также местонахождение на Земле центров областей падения An, Bn. Область падения для траекторий семейства A0 с наименьшими значениями rπ находится примерно в центре столкновительной полосы – в Тихом океане, в 1000 км от западного побережья Мексики. Для каждого семейства (An, Bn) при 2085 км < rπ < 6364 км получим две области падения, находящиеся примерно симметрично относительно центра области А0, к западу (An) и востоку (Bn) от него, см. рис. 5 и 6. Отметим, что ранее эту столкновительную полосу привели R. Schweickart, et al. [9], D.B. Gennery [10]. Сравнение данных [9, 10] с нашими результатами показывает, что они практически полностью совпадают, что говорит, в частности, о совпадении отечественных и зарубежных результатов в определении орбиты Апофиса и в его модели движения.
На рис. 7 приведены некоторые энергетические, временные и геометрические характеристики столкновительных траекторий для центров областей падения An, Bn. Области Аn порождаются орбитами астероида с большей энергией перед соударением, чем в области А0, h ∈ (−799.7689, −799.7554] км2/с2, здесь большая полуось a ∈ (а0, а0 + 2784] км, а0 ≈ 165 938 501 км, см. рис. 7, кривая h(λ). Области Bn порождаются орбитами с меньшей энергией, h ∈ [−799.7824, −799.7689) км2/с2, a ∈ [а0−2817, а0) км. Из-за несферичности Земли и наклонности траекторий и полосы к экватору, расстояния от центра Земли до центров областей А9 и В9 различны и составляют ~6364 и ~6376 км, т.е. траектории астероида из семейства А9 почти касаются поверхности Земли, а траектории из семейства В9 еще не касаются Земли, так как в этих областях rπ = 6360 ± 1 км. Поэтому построено еще семейство В10 с rπ из диапазона 6375 ± 1 км, создающее восточную область В10.
Для кривой времени tc – tc0 (λ) на рис. 7 опорное время tc0 = 9 ч, 13.IV.2036 г., это, примерно, среднее время падения. Для всего множества траекторий время столкновения tc находится в диапазоне от tc0 – 17 мин до tc0 + 13.8 мин, см. рис. 7, кривая tc – tc0 (λ). Абсолютная скорость столкновения астероида с Землей составляет Vca ≈ 12.6 км/c, аналогично [2, 4–7, 10]. Учет вращения Земли приводит к увеличению скорости соударения в западной части полосы до ~12.9 км/c и к ее уменьшению на восточной части до ~12.2 км/c, рис. 7, кривая vcr (λ). На рис. 3, 6 для областей A9, A0 и B10 показаны скорости vηζ, дающие направления подлета астероида к Земле.
На рис. 8 приведены угол входа астероида в атмосферу θr, Δθ = θa − θr и перигейное расстояние rπ в зависимости от долготы центров областей падения An, Bn; где Δθ − разность углов входа в атмосферу для абсолютной и относительной скоростей. Наибольший угол входа, около 60° – в области А0. С увеличением rπ угол входа монотонно уменьшается, до ~8° для областей A9 и B10.
3.3. Геометрия столкновительной полосы. Рассмотрим геометрию столкновительной полосы в гринвичской вращающейся СК. Радиус-векторы центров трех областей падения Аi, А0 и Вi (i = 1, …, 9) задают в этой СК плоскости Пi с векторами нормали к ним ni. Углы между этими векторами nj (j = 1, …, 8) и n9 = [0.1909, –0.3842, 0.9033]Т малы, до 2.7°. Поэтому можно считать, что полоса столкновений лежит примерно в одной плоскости П9. Угол наклона вектора n9 к плоскости экватора Земли составляет 64.6°, и ~87.6° – к плоскости эклиптики (в момент tc0), т.е. плоскость полосы примерно параллельна плоскости эклиптики в этот момент.
Выполнен анализ по оценке длины и ширины полосы на поверхности Земли. Считаем приближенно, что пересечение плоскости полосы и Земного шара является окружностью, ее радиус RП = = 5370 км. Тогда центральный угол полосы ϕ ≈ ≈ 4.534 рад = 259.8°, а ее длина LП ≈ ϕ RП = 24 347 км. Для оценки ширины столкновительной полосы построены системы координат oixiyizi, начало каждой системы находится в центре ее области падения. При этом ось oixi направлена вдоль продольной оси полосы на восток, и ось oizi направлена по нормали к местному горизонту. Ось oiyi, направленная “поперек” полосы, дополняет СК до правой. Плоскость oixiyi соответствует местному горизонту. Преобразуя координаты точек падения в СК oixiyi, и определяя диапазон координаты yi для точек области, получим оценку ширины полосы в этой области. Ширина области А0 максимальна, она оценена в ~27 км. Для областей Ai и Bi (i ≥ 1) ее оценка дала 10–22 км. В среднем, ширина полосы составляет ~20 км. Отметим, что ранее ширина полосы падения Апофиса оценивалась в 30–50 км [14, 15], т.е. близко. Выявлено, что ширина полосы зависит от принятых разбросов начального вектора состояния (1). Для анализа этого фактора рассмотрены СКО начального состояния, в два раза большие и в два раза меньшие прежних значений (2), для множества траектории с rπ = 6000 км, A8 и B8 (см. табл. 1). Анализ показал, что ширина полосы примерно прямо пропорциональна СКО начального состояния.
Таблица 1.
СКО начального состояния | Ширина зоны падения, км | |
---|---|---|
А8 | В8 | |
σ = σ0/2 | 7.21 | 7.51 |
σ = σ0 | 14.32 | 14.96 |
σ = 2σ0 | 28.22 | 29.52 |
Таблица 2.
Область падения | ${\tilde {\varphi }}$с, град | $\tilde {\lambda }$с, град | Название места падения |
---|---|---|---|
А9 | 54.3 | 75.2 | Омская обл, около г. Черлак |
А9–А8 | Около Томска, р. Ангара | ||
А8 | 60.0 | 114.6 | Около г. Хамра (Якутия, Сибирь) |
А7 | 58.5 | 140.7 | г. Курун-Урях (Хабаровский край, Дальний Восток) |
А6 | 55.3 | 158.3 | Камчатский край РФ, ~300 км от Петропавловска-Камчатского |
А5 | 51.6 | 171.7 | Северная часть Тихого океана, ~ к югу от Алеутских островов |
А4 | 47.6 | –177.2 | |
А3 | 43.3 | –167.1 | Северная часть Тихого океана, к югу от Аляски, у Западного побережья США |
А2 | 38.7 | –157.3 | |
А1 | 33.2 | –146.1 | |
A0 | 23.7 | –126.0 | Тихий океан, 1000 км от западного побережья Мексики |
B1 | 16.3 | –106.8 | Тихий океан между Гавайскими островами и Центральной Америкой |
B2 | 13.5 | –96.8 | |
B3 | 11.8 | –88.4 | |
B3–B4 | Пересекает Центральную Америку по Никарагуа, вблизи Манагуа | ||
B4 | 10.7 | –80.6 | Карибское море |
B5 | 10.1 | –72.7 | г. Мачике (Венесуэла) |
B6 | 10.0 | –64.4 | г. Барселона (Венесуэла) |
B7 | 10.4 | –54.8 | Атлантический океан |
B8 | 11.7 | –42.3 | |
B9 | 14.5 | –23.4 | Около г. Прая (Кабо-Верде), острова Зеленого Мыса |
B10 | 15.1 | –19.4 | Атлантический океан, вблизи от Дакара (Сенегал, Западная Африка) |
Определена также ориентация продольной оси полосы вдоль всей зоны падения. Угол χ наклона продольной оси полосы относительно восточной параллели меняется в диапазоне от +26° для семейства А9 (+ соответствует повороту вокруг оси + oizi против часовой стрелки) до –32° для семейств А2, А3, т.е. продольная ось полосы близка к параллели, см. рис. 9.
3.4. Качественный анализ подлета к Земле столкновительных траекторий Апофиса. Чтобы лучше понять качественные особенности множества орбит соударения астероида с Землей, рассмотрим векторы прицельной дальности b и векторы скорости “на бесконечности” v∞ гиперболических орбит Апофиса перед столкновением с Землей [24, 25]. Численный анализ показал, что для всех столкновительных орбит Апофиса концы векторов b, отложенных из одной точки, лежат практически на одной прямой L, единичный вектор направления которой L0 = [–0.2443, 0.8776, 0.4124]T. Векторы v∞ почти постоянны и образуют практически плоскость, проходящую через L, она переходит затем в плоскость полосы. Среднее значение векторов v∞ составляет вектор v∞ = = [5.5849, 0.7923, 1.6077]T км/c, |v∞| = 5.87 км/c. На рис. 10 показано геоцентрическое движение астероида Апофис для всего множества траекторий столкновения с Землей в 2036 г. Здесь приведены векторы прицельной дальности и векторы скорости “на бесконечности”, а также столкновительная полоса на поверхности Земли. Изолинии rπ = = const будут примерно перпендикулярны соответствующему вектору b. Так, для области А0, при rπ ≈ rπmin ≈ 2069 км изолиниями rπ = const будут дуги, идущие вдоль оси полосы (см. на рис. 3), примерно перпендикулярно среднему для области A0 вектору прицельной дальности b0. С увеличением перигейного расстояния rπi векторы bi поворачиваются, поэтому наклон изолиний rπi = const к продольной оси столкновительной полосы монотонно возрастает. На рис. 3 виден небольшой начальный поворот этих изолиний при смещении от центра А0. На краях полосы, в областях А9, В9, В10, изолинии, будучи перпендикулярными к вектору bi, становятся почти перпендикулярными к оси полосы, что видно на рис. 4. Для других областей эти повороты изолиний можно проследить на рис. 6 при увеличении его масштаба с помощью системы “Google my maps” по ссылке (https:// drive.google.com/open?id=1VXX1dxJO2e6hn51FFTVf_ wbk9gs&usp=sharing).
3.5. Определение точки падения с учетом прецессии и нутации. Для уточненного перехода от геоэкваториальной инерциальной системы координат на эпоху J2000 (вектор r) к гринвичской системе координат текущего момента (вектор rG) применяется модель преобразования координат точки с учетом прецессии, нутации и движения полюса Земли [19–23]:
где W − матрица движения полюса; R − матрица суточного вращения Земли; N − матрица нутации; P − матрица прецессии. При прецессии земная ось описывает конус вокруг Северного полюса эклиптики со скоростью ~50.37″ в год. Нутация представляет собой колебания с амплитудой ~9.21″, накладываемые на прецессионное движение.Матрицы прецессии и нутации определяются в соответствии с моделью прецессии-нутации МАС2000 [19, 20, 23]. Отметим, что по теории нутации МАС2000 разложения нутации в долготе и в наклоне экватора включают 1365 членов (678 лунно-солнечных и 687 планетных), здесь мы учитывали лишь 10 главных членов для вычисления лунно-солнечной нутации [23]. Так как изменения координат полюса достаточно малы, то влияние движения земных полюсов на преобразование координат точки падения в нашей задаче не учитывалось. При этом преобразование (12) учитывает вращение Земли, прецессию и нутацию. Для проверки матрица перехода (12) определена также по сайту (http://hpiers.obspm.fr/eop-pc/ index.php?index=matrice_php&lang=en). Сопоставление результатов показывает, что они хорошо совпадает, точность по элементам матрицы составляет ~10–5.
На основании этой методики выполнен численный анализ определения координат точек падения Апофиса в рамках данной модели. В табл. 2 приведены географические широта и долгота ${{{\tilde {\varphi }}}_{с}},$ ${{\tilde {\lambda }}_{с}}$ точки падения Апофиса в центрах областей падения астероида Апофис на Землю с учетом прецессии и нутации. Изменение величины географической широты и долготы (по сравнению со случаем без учета прецессии и нутации) составило Δφ ≈ –0.22°–0.15°, Δλ ≈ 0.4°–0.8°, изменение координат точек составляет примерно 50 км. Полоса соударения астероида Апофис с Землей в 2036 г., помещенная на сайте [26], также сделана с учетом прецессии и нутации.
ВЫВОДЫ
Разработаны алгоритмы для поиска всего вероятного множества попадающих в Землю траекторий астероида, а также для определения координат точек пересечения орбит Апофиса с поверхностью Земли и построения полосы падения астероида на Землю. Определено это множество столкновительных с Землей в 2036 г. траекторий астероида Апофис. Получено несколько вероятных семейств столкновительных с Землей в 2036 г. траекторий астероида, соответствующих подмножествам значений перигейного расстояния орбиты Апофиса от минимально возможного расстояния до максимального, для касания поверхности Земли. На поверхности Земли построена вероятная область падения астероида Апофис в 2036 г., имеющая вид узкой длинной полосы. Исследованы геометрические, временные и энергетические характеристики столкновительных траекторий Апофиса и полосы точек соударения астероида с Землей, в частности, ее ширина и длина, ориентация в пространстве, угол входа астероида в атмосферу, время и скорость столкновения, направление подлета астероида к Земле. Выполнен анализ влияния учета прецессии и нутации на определение координат точек падения Апофиса.
Авторы признательны д.ф.-м.н. В.В. Чазову, к. ф.-м. н. В.А. Степаньянцу, сотруднику НПО “Комета” Ю.П. Кулешову за обсуждение настоящей работы и ряд полезных советов.
Список литературы
Ягудина Э.И., Шор В.А. Орбита АСЗ (99942) Apophis = 2004 MN4 из анализа оптических и радарных наблюдений // Всероссийская конференция “Астероидно-кометная опасность-2005 (АКО-2005)”. Санкт-Петербург. 3–7 октября 2005 г. Материалы конференции. СПб: ИПА РАН, 2005. С. 355–358.
Ivashkin V.V., Stikhno C.A. An Analysis of the Correction Problem for the Near-Earth Asteroid (99942) Apophis = 2004 MN4. // 2007 Planetary Defense Conference. G. Washington University, Washington, D.C., USA. March 5–8, 2007.
Ивашкин В.В., Стихно К.А. Анализ проблемы коррекции орбиты астероида Apophis. В кн. “Околоземная астрономия 2007” // Труды Международной конференции. 3–7 сент. 2007. Терскол. КБНЦ РАН, Нальчик. 2008. С. 44–48.
Ивашкин В.В., Стихно К.А. О проблеме коррекции орбиты сближающегося с Землей астероида (99942) Apophis // Доклады Академии наук. 2008. Т. 419. № 5. С. 624–627.
Ивашкин В.В., Стихно К.А. О предотвращении возможного столкновения астероида Apophis с Землей // Астрономический вестник. 2009. Т. 43. № 6. С. 502–516.
Ивашкин В.В., Стихно К.А., Гуо П. О структуре множества вероятных траекторий соударения астероида Апофис с Землей в 2036 г. // ДАН. 2017. Т. 475. № 4. С. 389–394.
Соколов Л.Л., Башаков А.А., Борисова Т.П. и др. Траектории соударения астероида Апофис с Землей в XXI в. // Астрон. вестн. 2012. Т. 46. № 4. С. 311–320.
Соколов Л.Л., Кутеева Г.А. Возможные соударения астероида Апофис после уточнения его орбиты // Вестник СПБГУ. 2015. Сер. 1. Т. 2(60). Вып. 1. С. 148–156.
Russell Schweickart et al. Threat Characterization: Trajectory Dynamics (White Paper 39). B612 Foundation. 2006 // URL: https://www.researchgate.net/ publication/2176734_Threat_Characterization_Trajectory_Dynamics
Gennery D.B. Scenarios for dealing with Apophis // 2007 Planetary Defense Conference. Washington, DC. 2007.
Giorgini J.D., Benner L.A.M., Ostro S.J. et al. Predicting the Earth encounters of (99942) Apophis // Icarus. 2008. V. 193. № 1. P. 1–19.
Chesley S.R. Potential Impact Detection for Near-Earth Asteroids: The Case of 99942 Apophis (2004 MN4) // Proc. 229th IAU Symp., 2005 / Eds. Ferraz Mello, S., Lazaro, D., and Fernandes, J. New York, Melbourne, Madrid: Cambridge Univ. Press, 2006. P. 215–228.
Wlodarczyk I. The potentially dangerous asteroid (99 942) Apophis // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2013. V. 434. P. 3055–3060.
GALSPACE Малые тела Солнечной системы. Столкновение Земли с астероидом – проблема Апофиса http://galspace.spb.ru/index129.html
Wikipedia / B612 Foundation https://en.wikipedia.org/ wiki/B612_Foundation
Ferrier L., Vérant J.-L., Moschetta J.-M. AeroThermodynamical Study for the Entry of an Apophis-Like Asteroid // 49th AIAA Aerospace Sciences Meeting including the New Horizons Forum and Aerospace Exposition, Aerospace Sciences Meetings. AIAA 2011-1037.
Степаньянц В.А., Львов Д.В. Эффективный алгоритм решения системы дифференциальных уравнений движения. // Математ. модел. 2000. Т. 12. № 6. С. 9–14.
Математика в техническом университете / Под ред. Зарубина В.С. Выпуск XVI. Теория вероятностей. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999.
Kaplan G.H. The IAU Resolutions on Astonomical Reference Systems, Time Scales, and Earth Rotation Models. Explanation and Implementation. U.S. Naval Observatory. Circular № 179. Washington, D.C. 20392. 2005.
Аксенов Е.П., Чазов В.В. Модель движения ИСЗ. Главная проблема. Основные алгоритмы. М.: ГАИШ МГУ, 2011.
Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М. и др. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. Т. IV-22 / Под ред. Легостаева В.П. М.: Машиностроение, 2012. С. 15–26.
Жаров В.Е. Сферическая астрономия. М.: Фрязино, 2006.
Крылов В.И. Координатно-временные преобразования в геодезии: учебное пособие. М.: МИИГАиК, 2014.
Аким Э.Л., Энеев Т.М. Определение параметров движения космического летательного аппарата по данным траекторных измерений // Космич. исслед. 1963. Т. 1. Вып. 1. С. 5–50.
Абалакин В.К., Аксенов Е.П., Гребенников Е.А. и др. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. М.: Наука, 1976.
Сайт рисунка столкновительной полосы Апофиса на поверхности Земли в 2036 г.: https://drive.google. com/open?id=1VXX1dxJO2e6hn51FFTVf_wbk9gs& usp=sharing
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Космические исследования