Космические исследования, 2020, T. 58, № 5, стр. 419-433

Конфигурация двигателей коррекции минимального состава для одновременного поддержания орбиты и разгрузки гироскопической системы ориентации

А. С. Охитина 1, Я. В. Маштаков 1*, С. С. Ткачев 1, С. А. Шестаков 1, М. Ю. Овчинников 1

1 Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН
г. Москва, Россия

* E-mail: YarMashtakov@gmail.com

Поступила в редакцию 17.09.2019
После доработки 17.09.2019
Принята к публикации 19.12.2019

Полный текст (PDF)

Аннотация

В работе рассматривается задача оптимального расположения двигателей орбитальной коррекции на борту геостационарного космического аппарата. Необходимо одновременно обеспечивать коррекцию орбиты и разгрузку избыточного кинетического момента маховиков, накопленного из-за действующих на спутник возмущений. Предлагается методика формализации задачи, удобная для получения необходимых и достаточных условий, накладываемых на расположение двигателей, а также методика поиска их оптимального расположения. Приводятся примеры расположения двигателей с учетом всех ограничений и требований как в случае штатной работы, так и в случае возможного отказа одного из двигателей. Учитывается влияние возможных ошибок установки и смещения центра масс.

ВВЕДЕНИЕ

В настоящий момент геостационарные спутники широко используются в прикладных и коммерческих целях. Геостационарные орбиты являются одним из наиболее привлекательных классов орбит. Это круговые орбиты, расположенные над экватором Земли (их наклонение равно нулю). Космические аппараты, находящиеся на таких орбитах, обращаются вокруг планеты с угловой скоростью, равной угловой скорости вращения Земли вокруг своей оси. Таким образом, геостационарные спутники всегда находятся над заданной точкой над экватором. Это позволяет, например, направить связную антенну или приемную антенну спутникового телевидения, установленную на Земле, на такой космический аппарат и не менять ее ориентацию для отслеживания сигнала, передаваемого со спутника, так как он всегда находится в одном и том же месте на небесной сфере. Неизменность относительного положения Земли и спутника также полезна для решения задачи дистанционного зондирования, когда нужно длительное время наблюдать за одним и тем же участком поверхности. Примером здесь может послужить спутник Электро-Л [1], который используется для гидрометеорологических наблюдений.

Следует отметить, что геостационарная орбита не является устойчивой. Помимо ошибок приведения в заданную точку орбиты, на эволюцию орбиты КА оказывает влияние ряд внешних возмущений со стороны Луны, Солнца и нецентральности гравитационного поля Земли. С течением времени параметры орбиты меняются, и она перестает быть геостационарной. Эволюция орбиты выражается в двух основных явлениях: спутник смещается вдоль орбиты (по направлению его скорости) от своего начального положения в сторону одной из точек устойчивого равновесия [2]; наклонение орбиты увеличивается (от первоначального нулевого значения) со скоростью порядка одного градуса в год [3].

Для поддержания орбиты и удержания спутника в заданном положении обычно используются реактивные двигатели, которые создают корректирующие импульсы в узлах орбиты: для компенсации роста наклонения в направлении “север–юг” (в плоскости, ортогональной радиус-вектору КА, рис. 1) и в направлении “запад–восток” для компенсации дрейфа вдоль орбиты. Существенным является тот факт, что для коррекции “север–юг” требуется значительно бóльшее изменение импульса, чем для коррекции “запад–восток”.

Рис. 1.

Коррекция орбиты вдоль направления “север-юг” для компенсации роста наклонения.

В общем случае оси тяги двигателей не проходят через центр масс аппарата, поэтому во время коррекции возникают дополнительные моменты сил, которые возмущают угловое движение аппарата. Эти моменты компенсируются системой ориентации. Как правило, в качестве ее исполнительных органов рассматриваются двигатели-маховики. Это означает, что при парировании моментов реактивных сил будет накапливаться избыточный кинетический момент. Для разгрузки маховиков также используются двигатели, при этом, очевидно, тоже необходимо потратить топливо.

В данной работе предлагается заранее выбрать положение двигателей и направление их осей тяги таким образом, чтобы можно было одновременно осуществлять коррекцию орбиты и разгружать избыточный кинетический момент, накопленный маховиками. Не ограничивая общности, будем полагать, что коррекция орбиты проводится один раз в сутки. Это позволит установить все двигатели на одной грани аппарата.

Следует отметить, что ранее в литературе рассматривались такие задачи, как, например, проблема одновременной разгрузки избыточного кинетического момента и выдачи необходимого корректирующего импульса [4, 5]. В [6] предлагается использовать магнитные катушки и двигатели для разгрузки маховиков. Новыми результатами настоящей работы являются рассмотрение ограничений на изменение импульса в направлении “запад-восток” и оптимизация конфигурации двигателей как для случая штатной работы, так и для случая возможного выхода из строя одного из двигателей.

В работе показано, как определить минимально необходимое количество двигателей для решения поставленной задачи, разработана методика поиска их оптимальной конфигурации с точки зрения максимизации возможного изменения кинетического момента и минимизации затрат топлива. Также рассматривается случай возможного выхода из строя одного из двигателей. Кроме того, проводится анализ чувствительности конфигурации к ошибкам установки двигателей на аппарате и ошибке смещения центра масс соответственно.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В работе рассматривается геостационарный спутник, имеющий несколько двигателей коррекции, которые расположены на одной из его граней. Используются следующие системы координат:

OXYZ – орбитальная система координат (ОрбСК). Начало координат O находится в центре масс спутника, ось OZ направлена вдоль вектора орбитального кинетического момента, ось OX – вдоль радиус-вектора КА, OY дополняет систему до правой ортогональной;

Oxyz – связанная со спутником система координат (ССК). Ось Oz перпендикулярна плоскости, в которой установлены двигатели коррекции, оси Ox и Oy дополняют ее до правой тройки.

Спутник стабилизирован в орбитальной системе так, что ССК совпадает с ОрбСК в каждый момент времени (рис. 2).

Рис. 2.

Орбитальная система координат.

Чтобы свести наклонение к нулю, двигатели должны выдавать импульс в узлах орбиты вдоль оси OZ. Для коррекции эксцентриситета и фазирования спутника необходимо создавать корректирующие импульсы вдоль касательной к орбите (по оси OY), то есть вдоль направления скорости КА. Обычно поправки вдоль направления радиус-вектора КА (вдоль оси OX) редки, поэтому будем рассматривать только ограничения на необходимый импульс коррекции в плоскости OYZ. При решении задачи следует учитывать, что: в центре грани, на которой устанавливаются двигатели, располагается солнечная панель; двигатели имеют конечный размер; величина проекции корректирующего импульса $\Delta {{V}_{z}}$ на направление нормали к орбите существенно больше, чем на направление скорости.

Перечисленные условия приводят к тому, что на расположение двигателей на аппарате ${{{\mathbf{r}}}_{i}}$ и направление их осей тяги ${{{\mathbf{e}}}_{i}}$ (рис. 2) накладываются ограничения: точки крепления двигателей должны быть расположены достаточно далеко от центра грани; двигатели должны быть расположены на достаточном расстоянии друг от друга; оси тяги двигателей не должны быть направлены на солнечную панель; для уменьшения расхода топлива угол между OZ и ${{{\mathbf{e}}}_{i}}$ должен быть достаточно мал.

С учетом этих ограничений необходимо определить минимальное количество двигателей, которые способны решить эту задачу, а также выбрать точки их крепления на верхней грани и направление осей тяги. При этом требуется как обеспечить нужное изменение импульса аппарата в плоскости OYZ, так и разгрузить маховики.

2. ФОРМАЛИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ

Моменты, создаваемые двигателями коррекции, имеют вид: ${{{\mathbf{M}}}_{i}} = {{{\mathbf{r}}}_{i}} \times {{{\mathbf{e}}}_{i}}f,$ где ${{{\mathbf{r}}}_{i}}$ – радиус-вектор точки приложения тяги, ${{{\mathbf{e}}}_{i}}$ – единичный вектор направления оси тяги i-го двигателя (рис. 2), $f = {\text{const}}$ – величина тяги.

Получим необходимые уравнения и формализуем заданные ограничения для решения поставленной задачи.

Изменение импульса КА вдоль осей OZ и OY описывается следующим образом:

$\sum\limits_{i = 1}^k {{{e}_{{i,z}}}\Delta {{t}_{i}}} = \frac{{\Delta {{V}_{z}}{{m}_{s}}}}{f},\,\,\,\,\sum\limits_{i = 1}^k {{{e}_{{i,y}}}\Delta {{t}_{i}}} = \frac{{\Delta {{V}_{y}}{{m}_{s}}}}{f}.$
Здесь ${{e}_{{i,z}}},$ ${{e}_{{i,y}}}$ – проекции орта тяги i-го двигателя ${{{\mathbf{e}}}_{i}}$ на оси OZ и OY соответственно ($i = \overline {1,k} $), $\Delta {{V}_{z}}$ – требуемое изменение скорости вдоль оси OZ, $\Delta {{V}_{y}}$ – вдоль оси OY, причем $\Delta {{V}_{y}} \in \left[ { - 0.05\Delta {{V}_{z}},\,\,0.05\Delta {{V}_{z}}} \right]$ в силу того, что для коррекции “запад-восток” требуется значительно меньшее изменение импульса, ${{m}_{s}}$ – масса аппарата.

В начальный момент времени суммарный кинетический момент ${{{\mathbf{h}}}_{0}},$ накопленный маховиками, может принимать значения $\left| {{{{\mathbf{h}}}_{0}}} \right| \leqslant {{h}_{{\max }}},$ где ${{h}_{{{\text{max}}}}}$ – максимальный запас кинетического момента системы маховиков. Тогда для обеспечения разгрузки маховиков необходимо, чтобы диапазон возможных изменений кинетического момента $\Delta {{{\mathbf{h}}}_{\Sigma }}$ содержал в себе некоторую окрестность нуля. Другими словами, должна быть возможность изменения кинетического момента аппарата в любом направлении. Таким образом, область всех возможных изменений кинетического момента записывается в следующем виде:

(1)
$\Delta {{{\mathbf{h}}}_{\Sigma }} = \sum\limits_{i = 1}^k {{{{\mathbf{M}}}_{i}}\Delta {{t}_{i}}} ,$
где $\Delta {{t}_{i}}$ удовлетворяет
(2)
$\begin{gathered} \sum\limits_{i = 1}^k {{{e}_{{i,z}}}\Delta {{t}_{i}}} = \frac{{\Delta {{V}_{z}}{{m}_{s}}}}{f},\,\,\,\,\sum\limits_{i = 1}^k {{{e}_{{i,y}}}\Delta {{t}_{i}}} = \frac{{\Delta {{V}_{y}}{{m}_{s}}}}{f}, \\ \Delta {{t}_{i}} \geqslant 0\,\,\,\,(i = \overline {1,k} ), \\ \end{gathered} $
должна содержать сферу ненулевого радиуса с центром в нуле. При этом $\Delta {{V}_{z}},$ ${{m}_{s}},$ $f$ заданы, $\Delta {{V}_{y}}$ может принимать любые значения из отрезка $[ - 0.05\Delta {{V}_{z}},\,\,0.05\Delta {{V}_{z}}],$ а ${{{\mathbf{e}}}_{i}},$ ${{{\mathbf{r}}}_{i}},$ и, как следствие, ${{{\mathbf{M}}}_{i}}$ – выбираемые параметры.

3. СВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ К ВЫПУКЛОЙ ОБОЛОЧКЕ

Первый этап в решении задачи – это определение минимально необходимого количества двигателей коррекции. Для этого сделаем замену переменных (введем нормированное время работы двигателей):

(3)
$\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{{e}_{{i,z}}}f}}{{\Delta {{V}_{z}}{{m}_{s}}}}\Delta {{t}_{i}} = \Delta {{\tau }_{i}}} \\ \Updownarrow \\ {\Delta {{t}_{i}} = \Delta {{\tau }_{i}}\frac{{\Delta {{V}_{z}}{{m}_{s}}}}{{{{e}_{{i,z}}}f}}} \end{array}$
и с учетом замены (3) перепишем (1) и (2) в следующем виде:
(4)
$\begin{gathered} \sum\limits_{i = 1}^k {{{{\mathbf{m}}}_{i}}\Delta {{\tau }_{i}}} = \Delta {{{\mathbf{h}}}_{\Sigma }},\,\,\,\,\sum\limits_{i = 1}^k {{{e}_{i}}\Delta {{\tau }_{i}}} = \frac{{\Delta {{V}_{y}}}}{{\Delta {{V}_{z}}}}, \\ \sum\limits_{i = 1}^k {\Delta {{\tau }_{i}}} = 1,\,\,\,\,\Delta {{\tau }_{i}} \geqslant 0\,\,\,\,(i = \overline {1,k} ), \\ \Delta {{V}_{z}}\,\, - \,\,{\text{фиксированное}},\,\,\,\,\frac{{\Delta {{V}_{y}}}}{{\Delta {{V}_{z}}}} \in \left[ { - 0.05,0.05} \right], \\ \end{gathered} $
где ${{{\mathbf{m}}}_{i}} = {{{\mathbf{M}}}_{i}}\frac{{\Delta {{V}_{z}}{{m}_{s}}}}{{{{e}_{{i,z}}}f}},$ ${{e}_{i}} = \frac{{{{e}_{{i,y}}}}}{{{{e}_{{i,z}}}}}.$

Далее, введем четырехмерные вектора ${{{\mathbf{\psi }}}_{i}} = {{\left( {{{m}_{{i,x}}},{{m}_{{i,y}}},{{m}_{{i,z}}},{{e}_{i}}} \right)}^{T}},$ $i = \overline {1,k} .$ Тогда (4) можно переписать в виде:

(5)
$\begin{gathered} \sum\limits_{i = 1}^k {{{{\mathbf{\psi }}}_{i}}\Delta {{\tau }_{i}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta {{{\mathbf{h}}}_{\Sigma }}} \\ {\frac{{\Delta {{V}_{y}}}}{{\Delta {{V}_{z}}}}} \end{array}} \right),\,\,\,\;\sum\limits_{i = 1}^k {\Delta {{\tau }_{i}}} = 1, \\ \Delta {{\tau }_{i}} \geqslant 0\,\,\,\,(i = \overline {1,k} ),\,\,\,\,\frac{{\Delta {{V}_{y}}}}{{\Delta {{V}_{z}}}} \in \left[ { - 0.05,0.05} \right]. \\ \end{gathered} $

Без последнего условия (5) представляет собой выпуклую оболочку векторов ${{{\mathbf{\psi }}}_{i}},$ то есть область всех возможных значений изменения кинетического момента и скорости. Далее будем обозначать ее CH (Convex Hull). Последнее условие в системе (5), совместно с необходимостью изменения кинетического момента в любом направлении, означает, что на CH наложено дополнительное ограничение: отрезок

$\begin{gathered} {\mathbf{\lambda }} = \left\{ {{\mathbf{x}} = \left( {{{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}}} \right){\kern 1pt} :{{x}_{1}} = {{x}_{2}} = {{x}_{3}} = 0,} \right. \\ \left. { - 0.05 \leqslant {{x}_{4}} \leqslant 0.05} \right\} \\ \end{gathered} $
должен целиком лежать внутри выпуклой оболочки, то есть необходимо, чтобы была возможность вписать в CH гиперцилиндр (декартово произведение отрезка и трехмерной сферы) с ненулевым радиусом основания, осью которого является отрезок ${\mathbf{\lambda }}.$ Для этого CH должна иметь ненулевой объем. Так как выпуклая оболочка векторов ${{{\mathbf{\psi }}}_{i}}$ – это некоторая область в четырехмерном пространстве, то необходимо по крайней мере $k = 5$ векторов, т.е. на один больше, чем размерность пространства. Для наглядности проиллюстрируем этот факт на двумерном случае (рис. 3).

Рис. 3.

Выпуклые оболочки двух и трех векторов на плоскости: (а) отрезок, (б) треугольник.

В дальнейшем будем рассматривать конфигурации из минимально необходимого количества двигателей, т.е. пяти. Перед решением задачи расположения двигателей коррекции и выбора направлений их осей тяги нужно формализовать процедуру проверки того, что конфигурация удовлетворяет заданным требованиям. CH является многогранником в четырехмерном пространстве. Согласно требованиям задачи, в него должен быть вписан гиперцилиндр с заданной осью ${\mathbf{\lambda }}$ и ненулевым радиусом основания. Рассмотрим сечение этого многогранника гиперплоскостью, которая задается в виде

$\begin{gathered} {{\Omega }_{{\gamma }}} = \left\{ {{\mathbf{x}} = \left( {{{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}}} \right){\kern 1pt} :{{x}_{4}} = \gamma } \right\}, \\ \gamma = {\text{const}},\,\,\,\,\left| \gamma \right| \leqslant 0.05. \\ \end{gathered} $

Если гиперцилиндр может быть вписан внутрь выпуклой оболочки, то для любого $\gamma $ в пересечении CH и ${{\Omega }_{{\gamma }}}$ содержится множество точек (в дальнейшем будем называть его сфера) вида

$\begin{gathered} S = \left\{ {{\mathbf{x}} = \left( {{{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}}} \right){\kern 1pt} :{{x}_{4}} = \gamma {{,}^{{}}}} \right. \\ \left. {x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = {{R}^{2}}} \right\}, \\ \end{gathered} $
где $R$ – радиус основания гиперцилиндра (а его физический смысл – максимальная величина кинетического момента, которую всегда можно разгрузить). Очевидно, что верно и обратное утверждение.

Таким образом, чтобы выяснить, удовлетворяет ли система двигателей заданным ограничениям, необходимой и достаточной является проверка того, что в каждом сечении содержится сфера радиуса $R.$ Однако требование на проверку всех сечений может быть ослаблено, так как многогранник является выпуклым. Учитывая этот факт, можно проверить лишь сечения гиперплоскостями, которые проходят через основания гиперцилиндра:

(6)
$\begin{gathered} {{\Omega }_{{left}}} = \left\{ {{\mathbf{x}} = \left. {{{{\left( {{{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}}} \right)}}^{T}}} \right|{{x}_{{4,left}}} = - 0.05} \right\}, \\ {{\Omega }_{{right}}} = \left\{ {{\mathbf{x}} = \left. {{{{\left( {{{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}}} \right)}}^{T}}} \right|{{x}_{{4,right}}} = 0.05} \right\}. \\ \end{gathered} $

Теперь для удобства перейдем к описанию CH в виде системы неравенств:

(7)
${{{\mathbf{A}}}_{0}}{\mathbf{x}} \leqslant {{{\mathbf{b}}}_{0}},$
где ${{{\mathbf{A}}}_{0}}$ – матрица размера $p \times 4,$ ${\mathbf{x}}$ – вектор в четырехмерном пространстве размера $4 \times 1$ и ${{{\mathbf{b}}}_{0}}$ – вектор размера $p \times 1$ (p – количество неравенств, описывающих рассматриваемую выпуклую оболочку). Каждое неравенство системы (7) описывает одно из p полупространств, пересечением которых является CH.

Таким образом, для того чтобы найти сечение CH гиперплоскостями ${{\Omega }_{{left}}}$ и ${{\Omega }_{{right}}},$ нужно зафиксировать четвертую компоненту (покажем на примере правой границы):

$\begin{gathered} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{a}_{{11}}}}&{{{a}_{{12}}}}&{{{a}_{{13}}}}&{{{a}_{{14}}}} \\ {{{a}_{{21}}}}&{{{a}_{{22}}}}&{{{a}_{{23}}}}&{{{a}_{{24}}}} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ {{{a}_{{p1}}}}&{{{a}_{{p2}}}}&{{{a}_{{p3}}}}&{{{a}_{{p4}}}} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{x}_{1}}} \\ {{{x}_{2}}} \\ {{{x}_{3}}} \\ {0.05} \end{array}} \right) \leqslant \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{b}_{1}}} \\ {{{b}_{2}}} \\ \vdots \\ {{{b}_{p}}} \end{array}} \right), \\ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{a}_{{11}}}}&{{{a}_{{12}}}}&{{{a}_{{13}}}} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ {{{a}_{{p1}}}}&{{{a}_{{p2}}}}&{{{a}_{{p3}}}} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{x}_{1}}} \\ {{{x}_{2}}} \\ {{{x}_{3}}} \end{array}} \right) \leqslant \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{b}_{1}}} \\ \vdots \\ {{{b}_{p}}} \end{array}} \right) - 0.05\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{a}_{{14}}}} \\ \vdots \\ {{{a}_{{p4}}}} \end{array}} \right). \\ \end{gathered} $
Обозначим ${\mathbf{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{a}_{{11}}}}&{{{a}_{{12}}}}&{{{a}_{{13}}}} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ {{{a}_{{p1}}}}&{{{a}_{{p2}}}}&{{{a}_{{p3}}}} \end{array}} \right){\kern 1pt} ,$ ${{{\mathbf{b}}}_{{right}}}\, = \,\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{b}_{1}}} \\ \vdots \\ {{{b}_{p}}} \end{array}} \right) - 0.05\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{a}_{{14}}}} \\ \vdots \\ {{{a}_{{p4}}}} \end{array}} \right),$ тогда система, описывающая правое сечение выпуклой оболочки, запишется следующим образом:

(8)
${\mathbf{Ax}} \leqslant {{{\mathbf{b}}}_{{right}}}.$

Аналогично на левой границе:

(9)
${\mathbf{Ax}} \leqslant {{{\mathbf{b}}}_{{left}}}.$
Итак, сечениями четырехмерной выпуклой оболочки гиперплоскостями являются трехмерные фигуры, которые описываются системами неравенств (8) и (9). В силу того, что CH – выпуклая фигура, то чтобы определить значение кинетического момента $\Delta {{{\mathbf{h}}}_{\Sigma }},$ которое гарантированно можно выдавать в любом направлении, нужно найти максимальные радиусы сфер, которые могут быть вписаны в сечения CH гиперплоскостями ${{\Omega }_{{left}}}$ и ${{\Omega }_{{right}}},$ и выбрать меньший из них. Он и определит $\Delta {{{\mathbf{h}}}_{\Sigma }}.$

В качестве примера рассмотрим плоский случай (рис. 4).

Рис. 4.

Область всевозможных значений изменения кинетического момента и изменения импульса с учетом заданных ограничений (пример на плоскости).

Здесь выпуклая оболочка представляет собой треугольную область, пунктирной линией обозначены левое и правое сечения. На плоскости сечения представляют собой отрезки, а точки пересечения этих отрезков с осью абсцисс являются проекциями начала координат на полученные сечения. Темным на каждом из них выделены отрезки, обозначающие наименьшее расстояние от проекций точки О на гиперплоскости ${{\Omega }_{{left}}}$ и ${{\Omega }_{{right}}}$ до границы выпуклой оболочки на левом и правом сечениях – ${{R}_{{left}}}$ и ${{R}_{{right}}}$ соответственно. Роль максимального радиуса сферы, которая может быть вписана в сечение, и самой сферы на плоскости выполняют эти красные отрезки. Выбрав минимальный радиус, получаем, что в выпуклую оболочку можно вписать прямоугольник (гиперцилиндр в четырехмерном пространстве), который задает область всевозможных значений изменения кинетического момента и изменения импульса с учетом заданных ограничений. Одна сторона прямоугольника отвечает за диапазон возможных изменений импульса, а другая (назовем ее основанием) – за максимально возможное значение изменения кинетического момента в любом направлении.

В четырехмерном пространстве нужно найти гиперцилиндр, длина оси которого будет отвечать за ограничения на изменение импульса, а в его основании будет находиться сфера максимально возможного радиуса (по аналогии с двумерным случаем). Таким образом, чтобы получить радиусы сфер в левом и правом сечениях, нужно найти минимальное расстояние от соответствующих проекций начала координат до каждой грани, задающей сечения. Грани описываются системами уравнений ${\mathbf{Ax}} = {{{\mathbf{b}}}_{{left}}}$ для левого сечения и ${\mathbf{Ax}} = {{{\mathbf{b}}}_{{right}}}$ – для правого. Перепишем каждое неравенство систем (8) и (9) в таком виде:

(10)
$\left( {\frac{{{{a}_{i}}}}{{\left\| {{{a}_{i}}} \right\|}},{\mathbf{x}}} \right) \leqslant \frac{{{{b}_{i}}}}{{\left\| {{{a}_{i}}} \right\|}},$
где ${{a}_{i}} = {{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{a}_{{i1}}}}&{{{a}_{{i2}}}}&{{{a}_{{i3}}}} \end{array}} \right)}^{T}}.$

Чтобы убедиться, что проекция нуля является внутренней точкой соответствующего сечения CH, необходимо проверить, что

(11)
${{b}_{i}} > 0,\,\,\,\,i = \overline {1,p} .$

В противном случае проекция начала координат лежит вне сечения или на его границе, что не удовлетворяет условию задачи.

Если условие (11) выполнено, то расстояние от проекции начала координат на правое (левое) сечения до i-ой грани можно найти из (10):

${{R}_{i}} = \frac{{{{b}_{i}}}}{{\left\| {{{a}_{i}}} \right\|}},\,\,\,\,i = \overline {1,p} .$
Из полученных p значений нужно выбрать минимальное, т.е. ${{R}_{{right}}}$ = $\min \left( {{{R}_{1}},{{R}_{2}}, \ldots ,{{R}_{p}}} \right)$ – искомый радиус сферы на правой границе. Аналогично находим радиус сферы на левой границе. Из двух полученных значений выбираем также минимальное $R$ = $\min \left( {{{R}_{{left}}},{{R}_{{right}}}} \right).$ Таким образом, получаем максимально возможный радиус сферы, являющейся основанием искомого гиперцилиндра, который можно вписать в выпуклую оболочку векторов рассматриваемой конфигурации.

4. ОПТИМИЗАЦИЯ РАСПОЛОЖЕНИЯ ДВИГАТЕЛЕЙ

4.1. Максимизация кинетического момента

Поскольку радиус полученной сферы напрямую связан с величиной кинетического момента, то есть с конкретной расстановкой двигателей, то рациональным является нахождение такой конфигурации, при которой радиус максимален. Для этого необходимо решить следующую оптимизационную задачу:

(12)
${{{\mathbf{Ф}}}_{1}} = \min \left( {{{R}_{{left}}},{{R}_{{right}}}} \right) \to \max .$

Следует отметить, что эта задача усложняется тем фактом, что компоненты в каждом из векторов ${{{\mathbf{\psi }}}_{i}},$ $\left( {i = \overline {1,5} } \right)$ не могут быть выбраны независимо друг от друга, так как они связаны следующим соотношением: ${{{\mathbf{M}}}_{i}} = {{{\mathbf{r}}}_{i}} \times {{{\mathbf{e}}}_{i}}f,$ где ${{{\mathbf{M}}}_{i}} = {{{\mathbf{m}}}_{i}}\frac{{{{e}_{{i,z}}}f}}{{\Delta {{V}_{z}}{{m}_{s}}}},$ ${{{\mathbf{r}}}_{i}} = {{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{r}_{{i,x}}}}&{{{r}_{{i,y}}}}&{{{r}_{{i,z}}}} \end{array}} \right)}^{T}},$ ${{{\mathbf{e}}}_{i}} = {{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{e}_{{i,x}}}}&{{{e}_{{i,y}}}}&{{{e}_{{i,z}}}} \end{array}} \right)}^{T}}.$ Это нужно учитывать при выборе расположения и направления осей тяги двигателей на спутнике.

Аналитическое решение поставленной задачи, по-видимому, невозможно, поэтому она решается численно с использованием метода внутренней точки [7]. В качестве варьируемых параметров выбираются векторы расположения двигателей на спутнике ${{{\mathbf{r}}}_{i}},$ $\left( {i = \overline {1,5} } \right)$ и направления их осей тяги ${{{\mathbf{e}}}_{i}},$ $\left( {i = \overline {1,5} } \right).$ Считаем, что все двигатели установлены на верхней грани КА (рис. 2), при этом все координаты ${{r}_{{i,z}}},$ $\left( {i = \overline {1,5} } \right)$ фиксированы. Проекцию вектора ${{{\mathbf{r}}}_{i}}$ на плоскость OXY зададим с помощью полярных координат ${{r}_{i}},{{\alpha }_{i}}{\text{:}}$

$\begin{gathered} {{r}_{{i,x}}} = {{r}_{i}}\cos {{\alpha }_{i}},\,\,\,\,{{r}_{{i,y}}} = {{r}_{i}}\sin {{\alpha }_{i}}, \\ {{{\mathbf{r}}}_{{i,xy}}} = {{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{r}_{{i,x}}}}&{{{r}_{{i,y}}}} \end{array}} \right)}^{T}}. \\ \end{gathered} $

Векторы ${{{\mathbf{e}}}_{i}}$ параметризуются двумя углами: ${{\varphi }_{i}}$ – угол между проекциями векторов ${{{\mathbf{r}}}_{i}}$ и ${{{\mathbf{e}}}_{i}}$ на плоскость OXY (рис. 5), ${{\theta }_{i}}$ – угол между ${{{\mathbf{e}}}_{i}}$ и осью OZ:

${{{\mathbf{e}}}_{i}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin {{\theta }_{i}}\cos \left( {{{\varphi }_{i}} + {{\alpha }_{i}}} \right)} \\ {\sin {{\theta }_{i}}\sin \left( {{{\varphi }_{i}} + {{\alpha }_{i}}} \right)} \\ {\cos {{\theta }_{i}}} \end{array}} \right).$
Рис. 5.

Параметризация вектора ${{{\mathbf{e}}}_{i}}$ в плоскости OXY (${{{\mathbf{e}}}_{{i,xy}}}$), прямая l перпендикулярна прямой, содержащей вектор ${{{\mathbf{r}}}_{{i,xy}}}.$

Тогда векторы ${{{\mathbf{\psi }}}_{i}}$ вычисляются однозначно.

Как отмечалось в п. 1, на параметры двигателей должны быть наложены ограничения, связанные как с конечными размерами аппарата, так и с его геометрией:

(13)
$\begin{gathered} {{\varphi }_{i}} \in \left[ { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right],\,\,\,\,{{\theta }_{i}} \in \left[ {0,\frac{\pi }{3}} \right],\,\,\,\,0.2\,\,{\text{м}} \leqslant {{r}_{i}} \leqslant 0.5\,\,{\text{м}}, \\ {{r}_{{i,z}}} = 0.5\,\,{\text{м,}}\,\,\,\,{{\alpha }_{i}} \in \left[ {0,2\pi } \right]{\text{,}}\,\,\,\,i = \overline {1,5} . \\ \end{gathered} $

Ограничение для ${{\varphi }_{i}}$ связано с наличием солнечных панелей, для ${{\theta }_{i}}$ – с требованиями по малому расходу рабочего тела на коррекцию в направлении “север–юг”, а для ${{r}_{i}}$ – с геометрическими размерами аппарата.

Далее приведены параметры аппарата, используемые при решении численной задачи:

$\begin{gathered} {{m}_{s}} = 5000\,\,{\text{кг,}}\,\,\,\,f = 0.1\,\,{\text{Н}},\,\,\Delta {{V}_{z}} = 0.03\,\,\frac{{\text{м}}}{{\text{с}}}, \\ \frac{{\Delta {{V}_{y}}}}{{\Delta {{V}_{z}}}} \in \left[ { - 0.05,0.05} \right]. \\ \end{gathered} $

Основная сложность численного решения задачи состоит в корректном выборе начальных данных для оптимизатора, т.е. такого начального распределения двигателей, для которого выполняются все указанные ограничения. Сразу подобрать такую конфигурацию не удалось, поэтому был реализован следующий итерационный подход (рис. 6):

Рис. 6.

Блок-схема, описывающая итерационный подход к решению оптимизационной задачи.

1) Варьируемые параметры выбираются на первой итерации для каждого из пяти двигателей случайным образом из интервалов (13), а возможные изменения импульса задаются в виде одного значения: $\frac{{\Delta {{V}_{y}}}}{{\Delta {{V}_{z}}}} = 0.$

2) Полученные векторы подаются на вход оптимизатору с функционалом (12). Строится выпуклая оболочка для k четырехмерных векторов. Далее она представляется в виде системы неравенств вида (7). Затем находится значение радиуса $R$ = $\min \left( {{{R}_{{right}}},{{R}_{{left}}}} \right),$ как описано в третьей главе. На первой итерации значения левой и правой границ совпадают и равны 0, т.е. ${{x}_{{4,left}}}$ = ${{x}_{{4,right}}} = 0,$ см. (6). При этом знак ${{b}_{i}}$ может быть как положительным, так и отрицательным, так как при произвольном выборе начальных данных начало координат может оказаться вне выпуклой оболочки, и радиус сферы в этом случае формально будет принимать отрицательное значение в начальный момент. В случае если и после оптимизации итоговое значение R останется отрицательным, такая конфигурация начальных данных считается неудачной и в дальнейшем не рассматривается.

3) Границы расширяются на каждой следующей итерации: $\begin{gathered} {{x}_{{4,left,i}}} = {{x}_{{4,left,i - 1}}} - 0.01, \\ {{x}_{{4,right,i}}} = {{x}_{{4,right,i - 1}}} + 0.01. \\ \end{gathered} $

4) Начальные данные для i-го шага задаются как значения, найденные после оптимизации на i-1 шаге.

5) Итоговая конфигурация получается после оптимизации с границами ${{x}_{{4,left}}} = - 0.05,$ ${{x}_{{4,right,i}}} = 0.05.$

6) Знак итогового значения R проверяется на последнем шаге. Проводится отбор полученных конфигураций: если после оптимизации искомый радиус оказывается отрицательным, то это означает, что в выпуклую оболочку векторов не удается вписать гиперцилиндр с заданной осью, и такая конфигурация не рассматривается в дальнейшем.

Пример полученных описанным способом результатов наглядно представлен на рис. 7, 8, а значения углов, описывающих оси тяги двигателей ${{{\mathbf{e}}}_{i}},$ и полярные координаты, задающие векторы ${{{\mathbf{r}}}_{i}},$ приведены в табл. 1.

Рис. 7.

Локальное оптимальное распределение пяти двигателей коррекции.

Рис. 8.

(а) Расположение двигателей ${{{\mathbf{r}}}_{i}},$ (б) направления осей тяги двигателей ${{{\mathbf{e}}}_{i}}.$

Таблица 1.  

Распределение пяти двигателей

${{\varphi }_{i}}$ ${{\theta }_{i}}$ ${{r}_{i}}$, м ${{\alpha }_{i}}$
1 –87.42° 59.62° 0.497 88.37°
2 85.17° 59.49° 0.209 165.67°
3 –82.09° 59.69° 0.496 267.03°
4 88.49° 58.98° 0.466 280.25°
5 52.03° 59.71° 0.471 117.49°

Для приведенной конфигурации максимально возможный кинетический момент равен 46.01 Нмс. На аппаратах схожей массы обычно используются маховики с максимально допустимым значением кинетического момента 10‒20 Нмс, например, ДМ-10-25 ДМ20-250 (АО “Корпорация “ВНИИЭМ”, [8]). Таким образом, рассматриваемая конфигурация двигателей позволяет за одну коррекцию целиком разгрузить избыточный кинетический момент, накопленный маховиками. В дальнейшем будем рассматривать маховики с максимальным запасом кинетического момента ${{h}_{{{\text{max}}}}}$ = 16 Нмс.

4.2. Оптимизация расхода топлива

Полученные в предыдущем пункте результаты показывают принципиальную возможность одновременной разгрузки маховиков и выдачи корректирующего импульса. Отметим важный результат: при решении оптимизационной задачи положение двигателей выходит на поставленные ограничения, а именно угол между осями их тяги и вертикалью становится равным практически шестидесяти градусам (рис. 8б). Это означает, что на коррекцию наклонения орбиты будет тратиться в два раза больше времени (а значит, и топлива), чем в случае использования вертикально расположенных двигателей. Это приводит к необходимости изменения целевого функционала: в дальнейшем будем рассматривать задачу минимизации расхода топлива. При этом требования на возможность выдачи управляющего воздействия в плоскости OYZ и изменения кинетического момента должны быть удовлетворены.

Для того чтобы найти конфигурацию, при которой затраты на топливо будут минимальны, но при этом сохранится возможность разгрузки маховиков, необходимо решить следующую оптимизационную задачу:

(14)
${{{\mathbf{Ф}}}_{2}} = \sum\limits_{i = 1}^5 {e_{{i,z}}^{2}} \to \max ,\,\,\,\,R > {{R}_{0}}.$

Физический смысл состоит в следующем: двигатели располагаются так, чтобы суммарная проекция векторов ${{{\mathbf{e}}}_{i}}$ на ось OZ была максимальна. При этом из второго уравнения системы (12), а именно

(15)
$\sum\limits_{i = 1}^5 {{{e}_{{i,z}}}\Delta {{t}_{i}}} = \frac{{\Delta {{V}_{z}}{{m}_{s}}}}{f},$
следует, что при фиксированной правой части уравнения (15) время работы двигателей $\Delta {{t}_{i}}$ можно уменьшить, т.е. израсходовать меньше топлива.

При решении этой оптимизационной задачи также следует учесть то, что нужно уметь выдавать ненулевое значение кинетического момента в любом направлении. В этом случае необязательно максимизировать сферу возможных изменений кинетического момента, важно лишь гарантированно выдавать значения из некоторого ограниченного диапазона:

$0 < \left| {\Delta {{{\mathbf{h}}}_{\Sigma }}} \right| \leqslant \frac{{{{h}_{{\max }}}}}{2}{\text{,}}\,\,\,\,{\text{где}}\,\,\,\,{{h}_{{\max }}} = 16\,\,{\text{Нмс}}{\text{.}}$

Как было показано в п. 4.1, кинетический момент может отличаться от заданного ограничения более чем в 5 раз, поэтому все значения, бóльшие $\frac{{{{h}_{{\max }}}}}{2},$ нужно искусственно обрезать. При этом нужно, чтобы функционал ${{{\mathbf{Ф}}}_{1}}$ оставался гладким, поэтому сделаем плавный переход, а именно, аппроксимацию кубическим сплайном (рис. 9).

Рис. 9.

Зависимость значения функционала ${{{\mathbf{Ф}}}_{1}}$ от значения кинетического момента.

Модифицированное выражение для функционала ${{{\mathbf{Ф}}}_{1}}$ выглядит следующим образом:

(16)
${{{\mathbf{Ф}}}_{1}} = \left\{ \begin{gathered} 8,\,\,\,\,\Delta {{{\mathbf{h}}}_{\Sigma }} \geqslant 8\,\,{\text{Нмс,}} \hfill \\ (2{{t}^{3}} - 3{{t}^{2}} + 1){{p}_{k}} + ({{t}^{3}} - 2{{t}^{2}} + t)({{x}_{{{{k}_{1}}}}} - {{x}_{k}}){{m}_{k}} + \hfill \\ + \,\,( - 2{{t}^{3}} + 3{{t}^{2}}){{p}_{{{{k}_{1}}}}} + ({{t}^{3}} - {{t}^{2}})({{x}_{{{{k}_{1}}}}} - {{x}_{k}}){{m}_{{{{k}_{1}}}}}, \hfill \\ 7 < \Delta {{{\mathbf{h}}}_{\Sigma }} < 8\,\,{\text{Нмс,}} \hfill \\ \Delta {{{\mathbf{h}}}_{\Sigma }},\,\,\,\,\Delta {{{\mathbf{h}}}_{\Sigma }} \leqslant 7\,\,{\text{Нмс,}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$
где $t = \Delta {{{\mathbf{h}}}_{\Sigma }} - 7,$ ${{p}_{k}} = 7,$ ${{p}_{{{{k}_{1}}}}} = 8,$ ${{x}_{k}} = 7,$ ${{x}_{{{{k}_{1}}}}} = 8,$ ${{m}_{k}} = 1,$ ${{m}_{{{{k}_{1}}}}} = 0.$

Для решения оптимизационной задачи (14) в качестве начальных данных выберем решение описанной в п. 4.1 оптимизационной задачи (12) с учетом модифицированной записи функционала ${{{\mathbf{Ф}}}_{1}}$ (16). Таким образом, решение этой задачи гарантированно обеспечит возможность разгрузки маховиков в любом направлении, а оптимизация при этом будет направлена только на уменьшение затрат топлива. Итерационный подход по расширению границ здесь использовать не нужно, так как начальные данные выбраны уже с корректными границами.

Пример полученных описанным способом результатов наглядно представлен на рис. 10, 11, а значения углов и ${{r}_{i}}$ приведены в табл. 2.

Рис. 10.

Локальное оптимальное (с точки зрения затрат топлива) распределение пяти двигателей коррекции: (а) начальные данные, (б) итоговое распределение.

Рис. 11.

Черным – начальные условия, серым – итоговое распределение (а) расположение двигателей ${{{\mathbf{r}}}_{i}},$ (б) направления осей тяги двигателей ${{{\mathbf{e}}}_{i}}.$

Таблица 2.  

Распределение пяти двигателей

(а) начальные данные (б) итоговое распределение
${{\varphi }_{i}}$ ${{\theta }_{i}}$ ${{r}_{i}}$, м ${{\alpha }_{i}}$ ${{\varphi }_{i}}$ ${{\theta }_{i}}$ ${{r}_{i}}$, м ${{\alpha }_{i}}$
1 –6.99° 19.62° 0.371 217.51° 1 20.99° 4.95° 0.406 264.07°
2 –33.51° 33.04° 0.351 61.75° 2 –47.04° 11.99° 0.391 146.71°
3 43.23° 41.51° 0.394 167.47° 3 62.49° 11.75° 0.377 179.72°
4 –29.11° 24.08° 0.382 297.26° 4 –62.43° 10.81° 0.394 334.62°
5 18.08° 40.75° 0.351 95.76° 5 48.73° 12.17° 0.378 34.47°

Для начальных данных в этой оптимизационной задаче значение функционала ${{{\mathbf{Ф}}}_{1}} = 8\,\,{\text{Нмс,}}$ т.е. достигнуто максимально допустимое значение. После решения оптимизационной задачи (14) функционал ${{{\mathbf{Ф}}}_{2}} = 4.83,$ а ${{{\mathbf{Ф}}}_{1}} = 5.65\,\,{\text{Нмс}}{\text{.}}$ По расходу топлива полученная конфигурация близка к глобальному максимуму функционала ${{{\mathbf{Ф}}}_{2}}$ без учета ограничений, поэтому ее использование является целесообразным. Максимальное значение ${{{\mathbf{Ф}}}_{{2,\max }}} = 5,$ так как он является суммой квадратов проекций единичных векторов ${{{\mathbf{e}}}_{i}}\left( {i = \overline {1,5} } \right)$ на ось OZ.

5. ВЫХОД ИЗ СТРОЯ ОДНОГО ИЗ ДВИГАТЕЛЕЙ

В предыдущих главах было сказано, что для обеспечения одновременной коррекции орбиты и разгрузки маховиков необходимо установить по крайней мере пять двигателей. Однако в случае выхода из строя одного из них будет невозможно удовлетворить всем условиям. Поэтому необходимо определить, какое минимальное количество двигателей должно быть установлено на аппарате, чтобы система сохраняла работоспособность даже в случае выхода из строя любого из них. Кроме того, нужно расположить двигатели оптимальным с точки зрения затрат топлива образом.

Докажем, что добавление одного двигателя не позволяет решить поставленную задачу. Проведем доказательство в общем случае для n-мерного пространства. Чтобы выпуклая оболочка из k точек в n-мерном пространстве имела ненулевой объем, необходимы как минимум $k = n + 1$ точек. При этом если один двигатель выйдет из строя, то, так как выпуклая оболочка n двигателей в n-мерном пространстве имеет нулевой объем, система перестанет быть работоспособной. Рассмотрим тогда $k = n + 2$ двигателей. Построим для них выпуклую оболочку и проведем в ней внутреннюю (не совпадающую с гранью выпуклой оболочки) гиперплоскость через произвольный набор из n точек. Тогда оставшиеся две точки будут лежать с противоположных сторон от гиперплоскости. Таким образом, гиперплоскость делит выпуклую оболочку на две n-мерные пирамиды с общим основанием, а в случае выхода из строя одного из двух двигателей, расположенных в вершинах, останется только одна пирамида. При этом невозможно гарантировать, что начало координат будет внутри выпуклой оболочки оставшихся точек, оно может являться внутренней точкой удаленной пирамиды или может лежать в гиперплоскости, что также не удовлетворяет условиям задачи. Следовательно, добавление одного двигателя не решает проблему. Для наглядности приведем пример на плоскости (рис. 12).

Рис. 12.

(а) Выпуклая оболочка k = 4 двигателей в двухмерном (n = 2) пространстве, BD – внутренняя гиперплоскость, ABD и CBD – 2-мерные пирамиды с общим основанием BD, (б) четвертый двигатель вышел из строя, начало координат – внешняя точка для выпуклой оболочки оставшихся векторов.

Покажем, что добавления двух двигателей достаточно. Для этого приведем пример такого расположения семи двигателей коррекции, при котором в случае отказа любого из них система сохранит свою работоспособность. Для получения конфигурации используется подход, аналогичный описанному в п. 4.1, с единственным отличием в том, что в случае семи двигателей с возможностью отказа одного из них нужно проверять каждый набор из шести двигателей в отдельности, имитируя отказ одного оставшегося (табл. 3 и рис. 13, 14, назовем полученную конфигурацию “Лебедь”).

Таблица 3.  

Распределение семи двигателей

${{\varphi }_{i}}$ ${{\theta }_{i}}$ ${{r}_{i}}$, м ${{\alpha }_{i}}$
1 –1.48° 36.31° 0.486 91.25°
2 75.23° 58.98° 0.405 114.56°
3 –83.04° 54.49° 0.483 223.78°
4 –78.99° 58.33° 0.422 309.72°
5 82.73° 56.21° 0.481 315.31°
6 –68.75° 59.02° 0.403 50.23°
7 76.06° 58.32° 0.439 222.72°
Рис. 13.

Конфигурация “Лебедь”.

Рис. 14.

(а) Расположение двигателей ${{{\mathbf{r}}}_{i}},$ (б) направления осей тяги двигателей ${{{\mathbf{e}}}_{i}}.$

Функционал и, соответственно, максимально возможный кинетический момент в полученной конфигурации равен $11.27\,\,{\text{Нмс,}}$ что сильно хуже, чем в случае пяти двигателей. Это связано с тем, что здесь любые шесть из семи двигателей должны обеспечивать выполнение целевой задачи, при этом одновременно увеличивать размер сферы кинетического момента для каждой из шестерок не представляется возможным.

Однако конфигурация “Лебедь” (см. рис. 13) не является оптимальной с точки зрения затрат топлива. Для того чтобы оптимизировать расположение двигателей, будем использовать численные методы оптимизации и подход, аналогичный описанному в п. 4.2 для пяти двигателей. Здесь также нужно проверять каждый набор из шести двигателей в отдельности. Кроме того, на расстояние между любой парой двигателей наложим дополнительное ограничение:

(17)
${\text{dis}}{{{\text{t}}}_{{ij}}} \geqslant {{\rho }_{0}}{\text{,}}\,\,\,\,i \ne j,$
где ${\text{dis}}{{{\text{t}}}_{{ij}}} = \left| {{{{\mathbf{r}}}_{{i,xy}}} - {{{\mathbf{r}}}_{{j,xy}}}} \right|,$ ${{\rho }_{0}} = 0.07\,\,{\text{м}}{\text{.}}$ Это ограничение связано с тем, что двигатели имеют конечный размер, поэтому они должны быть расположены на достаточном расстоянии друг от друга.

Результаты, полученные таким способом, приведены в табл. 4 и на рис. 15, 16.

Таблица 4.  

Распределение семи двигателей

а) начальные данные б) итоговое распределение
${{\varphi }_{i}}$ ${{\theta }_{i}}$ ${{r}_{i}}$, м ${{\alpha }_{i}}$ ${{\varphi }_{i}}$ ${{\theta }_{i}}$ ${{r}_{i}}$, м ${{\alpha }_{i}}$
1 –69.24° 36.68° 0.439 54° 1 –67.60° 26.96° 0.384 58.73°
2 –82.29° 31.43° 0.475 174.12° 2 –72.03° 21.09° 0.464 173.37°
3 75.89° 32.86° 0.493 117.55° 3 55.72° 21.67° 0.486 118.65°
4 –19.58° 37.06° 0.474 256.61° 4 –29.94° 26.23° 0.403 254.48°
5 65.49° 53.76° 0.450 270.71° 5 65.86° 32.18° 0.406 265.05°
6 81.87° 55.18° 0.332 354.04° 6 74.11° 39.88° 0.329 344.64°
7 –40.19° 4.74° 0.469 347.48° 7 –13.72° 4.09° 0.424 348.27°
Рис. 15.

Конфигурация “Пьеро”: (а) начальные данные, (б) итоговое распределение.

Рис. 16.

Черным – начальные условия, серым – итоговое распределение (а) расположение двигателей ${{{\mathbf{r}}}_{i}},$ (б) направления осей тяги двигателей ${{{\mathbf{e}}}_{i}}.$

Для начальных данных в этом случае значение кинетического момента равно $5.39\,\,{\text{Нмс,}}$ что в два раза меньше результатов конфигурации “Лебедь”. Это связано с наложением дополнительного ограничения (17) на расстояния между любыми двумя парами двигателей. В итоговом распределении ${{{\mathbf{Ф}}}_{1}} = 3.15\,\,{\text{Нмс,}}$ а ${{{\mathbf{Ф}}}_{2}} = 5.63,$ что составляет около 83% от глобального максимума без учета ограничений (в случае 7 двигателей ${{{\mathbf{Ф}}}_{{2,\max }}} = 7$).

6. ВЛИЯНИЕ ОШИБОК УСТАНОВКИ И СМЕЩЕНИЯ ЦЕНТРА МАСС АППАРАТА

6.1. Ошибки установки

Для примера рассмотрим итоговую конфигурацию для пяти двигателей, приведенную на рис. 10б и в табл. 2б, а также конфигурацию для семи двигателей, представленную на рис. 15б и в табл. 4б. Для анализа чувствительности конфигураций к ошибкам установки будем произвольно в заданном диапазоне варьировать все компоненты (20 параметров для пяти двигателей и 28 параметров для семи двигателей) и вычислять значения функционалов ${{{\mathbf{Ф}}}_{1}}$ и ${{{\mathbf{Ф}}}_{2}}.$ Формально диапазон отклонений для i-го двигателя зададим, как описано в [9]. Для функционала ${{{\mathbf{Ф}}}_{2}} = \sum\nolimits_i {e_{{i,z}}^{2}} $ можно посчитать значение при максимальном отклонении, так как значение функционала монотонно убывает с увеличением отклонения вектора ${{{\mathbf{e}}}_{i}}$ (направления оси тяги двигателя) от номинального положения (рис. 17). Таким образом, получены следующие результаты для трех различных отклонений ($0.1^\circ ,$ $1^\circ ,$ $5^\circ $):

$\begin{gathered} 5\,\,\,\,{\text{двигателей}},\,\,\,\,{{{\mathbf{Ф}}}_{2}} = 4.83\,\,\,\,({\text{номинальное}}){\kern 1pt} : \\ \begin{array}{*{20}{c}} {3{{\delta }_{1}} = 3 \cdot 0.1^\circ }&{{{{\mathbf{Ф}}}_{{2,1}}} = 4.82} \\ {3{{\delta }_{2}} = 3 \cdot 1^\circ }&{{{{\mathbf{Ф}}}_{{2,2}}} = 4.72} \\ {3{{\delta }_{3}} = 3 \cdot 5^\circ }&{{{{\mathbf{Ф}}}_{{2,3}}} = 4.08} \end{array}, \\ 7\,\,\,\,{\text{двигателей}},\,\,\,\,{{{\mathbf{Ф}}}_{2}} = 5.64\,\,\,\,({\text{номинальное}}){\kern 1pt} : \\ \begin{array}{*{20}{c}} {3{{\delta }_{1}} = 3 \cdot 0.1^\circ }&{{{{\mathbf{Ф}}}_{{2,1}}} = 5.61} \\ {3{{\delta }_{2}} = 3 \cdot 1^\circ }&{{{{\mathbf{Ф}}}_{{2,2}}} = 5.36} \\ {3{{\delta }_{3}} = 3 \cdot 5^\circ }&{{{{\mathbf{Ф}}}_{{2,3}}} = 4.10} \end{array}. \\ \end{gathered} $
Рис. 17.

Диапазон возможных отклонений для ${{{\mathbf{e}}}_{i}}.$

Из приведенных значений видно, что даже в случае самого большого отклонения ухудшение функционала ${{{\mathbf{Ф}}}_{2}}$ не превышает 15–20%.

Теперь для этих же значений проведем серию испытаний методом Монте-Карло (100 тысяч испытаний в каждом случае) и вычислим значения функционала ${{{\mathbf{Ф}}}_{1}}.$ Результаты моделирования влияния ошибок установки на функционал ${{{\mathbf{Ф}}}_{1}}$ показывают, что при малых отклонениях $\left( {{{\delta }_{1}} = 0.1^\circ } \right)$ система слабо чувствительна к ошибкам установки (в худшем случае значение функционала уменьшается на 15–35%), причем медиана измерений стремится к номинальному значению кинетического момента, как в случае штатной работы, так и в случае возможного отказа одного из двигателей. Для бóльших отклонений (${{\delta }_{2}} = 1^\circ ,$ ${{\delta }_{3}} = 5^\circ $) в полученной выборке присутствуют отрицательные значения. Это означает, что в некоторых случаях вписать гиперцилиндр внутрь выпуклой оболочки полученной конфигурации не удается, что не удовлетворяет условию задачи. Таким образом, функционал ${{{\mathbf{Ф}}}_{1}}$ сильно чувствителен к ошибкам установки.

6.2. Смещение центра масс

Необходимо исследовать также чувствительность полученных конфигураций к смещению положения центра масс, так как его реальное положение может отличаться от номинального, например, из-за расхода топлива и неравномерного опустошения топливных баков во время полета или из-за ошибок определения номинального положения центра масс. При этом изменяется момент, который создают двигатели, из-за смещения плеча силы.

Рассмотрим четыре разных случая. Первые три случая – это смещение центра масс только вдоль одной оси – OX, OY или OZ, а четвертый – произвольное смещение центра масс в пространстве (по всем трем осям). В каждом случае определим только значение функционала ${{{\mathbf{Ф}}}_{1}}.$ На функционал ${{{\mathbf{Ф}}}_{2}}$ влияние не оказывается, так как положение осей тяги двигателей остается неизменным.

Результаты моделирования показывают, что наиболее чувствительным для рассматриваемой конфигурации из пяти двигателей оказывается смещение центра масс вдоль оси OY, а для случая семи двигателей – вдоль OX, что связано с особенностями сложной геометрии построения выпуклой оболочки. В четвертом, более общем случае, смещение центра масс внутри сферы с центром в начале координат и радиусом 1 см (выборка – 10 000 нормально распределенных случайных величин) ухудшает значение функционала ${{{\mathbf{Ф}}}_{1}}$ на 20–35% как для конфигурации из пяти двигателей, так и для семи.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе рассмотрена задача оптимальной расстановки двигателей коррекции на геостационарном спутнике для одновременной коррекции орбиты и разгрузки маховиков. Предложен метод формализации задачи, включающий в себя построение и рассмотрение выпуклых оболочек. Показано, что в случае штатной работы системы для одновременной разгрузки маховиков и коррекции орбиты минимально необходимое количество двигателей равно пяти, а в случае возможного отказа одного двигателя это количество увеличивается до семи. Предложена методика поиска оптимального расположения двигателей для максимизации возможностей разгрузки и минимизации расхода топлива. Приведены примеры расположения двигателей с учетом всех ограничений и требований как в случае штатной работы, так и в случае возможного отказа одного из двигателей. Для найденных конфигураций проведен численный анализ чувствительности к ошибкам установки двигателей и смещению центра масс аппарата.

Авторы выражают благодарность А.В. Овчинникову за плодотворное участие в обсуждениях постановки задачи и полученных результатов, а также Д.С. Ролдугину за внесенные замечания и предложения.

Работа поддержана грантом РНФ № 17-71-20117.

Список литературы

  1. Космический аппарат “Электро-Л” [Электронный ресурс]. URL: https://electro.ntsomz.ru (доступ: 17.06.2019).

  2. Vallado D.A. Fundamentals of astrodynamics and applications. Springer Science & Business Media, 2001.

  3. Anderson P.V. et al. Operational considerations of GEO debris synchronization dynamics // 66th Int. Astronaut. Congr. IAC-15 A. V. 6. P. 7.

  4. Давыдов А.А., Игнатов А.И., Сазонов В.В. Применение реактивных двигателей для управления поступательным движением КА одновременно с разгрузкой кинетического момента электромеханических исполнительных органов. Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. 2006. № 82. С. 21.

  5. Платонов В.Н. Одновременное управление движением центра масс и вокруг центра масс при маневрах космических аппаратов на геостационарной и высокоэллиптических орбитах c использованием электрореактивных двигателей // Космическая техника и технологии. 2013. № 1. С. 58–67.

  6. Chen X. et al. Optimal Combined Reaction-Wheel Momentum Management for Earth-Pointing Satellite // J. Guid. Control Dyn. 1999. V. 22. № 4. P. 543–550.

  7. Boyd S., Vandenberghe L. Convex Optimization. Cambridge University Press, 2004.

  8. Двигатели-маховики производства ВНИИЭМ [Электронный ресурс]. URL: http://www.vniiem.ru/ ru/index.php?option=com_content&view=article&id= 288:2010-02-17-21-42-21&catid=39:2008-04-05-02-40-20 (доступ: 17.06.2019).

  9. Охитина А.С., Маштаков Я.В., Ткачев С.С., Шестаков С.А. Методика построения оптимального расположения двигателей для одновременной коррекции орбиты и разгрузки маховиков. 2019. № 77. С. 35.

Дополнительные материалы отсутствуют.