Космические исследования, 2021, T. 59, № 2, стр. 135-148

4. ПЕРИОДИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ОРИЕНТИРОВАННЫХ ДВИЖЕНИЙ

Базисные частоты установившегося режима магнитной ориентации: ${{f}_{0}}$ и ${{f}_{{\text{E}}}} \approx {{{{f}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{f}_{0}}} {16}}} \right. \kern-0em} {16}}$. Основываясь на этом свойстве и учитывая соотношение ${{f}_{0}} \gg {{f}_{{\text{E}}}}$, построим аппроксимацию такого режима последовательностью периодических движений с периодом ${1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {{{f}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{f}_{0}}}}$, отличающихся положением орбиты относительно МПЗ.

На каждом орбитальном витке (между последовательными прохождениями восходящего узла орбиты) построим аппроксимирующее периодическое движение. При построении этого движения гринвичскую систему координат примем инерциальной, зафиксировав ее положение в абсолютном пространстве на момент прохождения спутником восходящего узла орбиты на данном витке. Орбиту в “замороженной” гринвичской системе примем кеплеровой эллиптической. Элементы этой орбиты вычисляются по фазовому вектору реальной орбиты в начальном восходящем узле. Таким образом, от витка к витку долгота восходящего узла орбиты в “замороженной” гринвичской системе координат меняется, меняется и положение орбиты относительно МПЗ, но внутри витка эти долгота и положение относительно МПЗ остаются неизменными. Уравнения вращательного движения спутника возьмем в виде (1), положив в них ${{\omega }_{{\text{E}}}} = 0$ и приняв в формулах для расчета координат и компонент скорости центра масс в “замороженной” гринвичской системе формулы кеплерова движения. Получившуюся систему уравнений обозначим (1a). Время входит в эту систему периодически с орбитальным периодом $T$, поэтому можно поставить задачу об отыскании ее периодических решений. Интерес представляет такое периодическое решение, которое можно будет использовать как аппроксимацию установившегося решения исходной системы (1) на данном витке.

Построение периодического решения системы (1a) сводится к решению для этой системы периодической краевой задачи

Здесь ${{t}_{0}}$ – момент прохождения восходящего узла орбиты на витке аппроксимации. Задача (1a), (3) решается методом пристрелки. Краевые условия (3) рассматриваются как уравнения для определения неизвестных начальных условий ${\mathbf{\Omega }}({{t}_{0}})$, ${\mathbf{n}}({{t}_{0}})$. Первым приближением начальных условий периодического решения служат значения фазовых переменных аппроксимируемого решения в точке ${{t}_{0}}$. Можно также использовать начальное приближение ${\mathbf{\Omega }}({{t}_{0}}) = 0$, ${\mathbf{n}}({{t}_{0}}) = {{{\mathbf{B}}({{t}_{0}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\mathbf{B}}({{t}_{0}})} {\left| {{\mathbf{B}}({{t}_{0}})} \right|}}} \right. \kern-0em} {\left| {{\mathbf{B}}({{t}_{0}})} \right|}}$.

На рис. 5, 6 приведены результаты аппроксимации установившегося решения уравнений (1), рассмотренного в разделе 2 (${{k}_{\Omega }} = 0.00015$, рис. 1, 2). Здесь представлены графики зависимости от времени переменных ${{\Omega }_{i}}$, ${{n}_{i}}$ и угла $\gamma $. Графики аппроксимируемого решения – сплошные линии, графики аппроксимирующего решения – пунктирные. На рис. 5 аппроксимация показана на интервале решения краевой задачи (1a), (3). В принципе, аппроксимацию периодическими решениями можно построить на весьма продолжительном интервале времени, длина которого зависит от наличия подходящей орбиты спутника. На рис. 5 графики аппроксимирующего решения в малых окрестностях моментов прохождения восходящих узлов орбиты налегают друг на друга (кеплеров период несколько больше драконического), но при выбранном масштабе графиков на рис. 5 налегания практически не заметны. На рис. 6 показан стык решений задачи (1a), (3) на соседних витках (пунктирные линии) на фоне аппроксимируемого решения (сплошные линии). Строго говоря, в аппроксимирующую последовательность включается только отрезок периодического решения, расположенный между начальным и конечным на данном витке восходящими узлами. Отрезок решения за конечным восходящим узлом отбрасывается.

Построенная аппроксимация оказалась достаточно точной. Это обусловлено двумя обстоятельствами. Во-первых, кеплерова аппроксимация орбиты в данной задаче приемлема для построения вращательного движения спутника на орбитальном витке. Во-вторых, МПЗ в “замороженной” системе $C{{y}_{1}}{{y}_{2}}{{y}_{3}}$ в течение витка меняется сравнительно мало, поскольку оно близко к полю диполя, момент которого расположен вблизи точки $C$ и составляет с осью $ - C{{y}_{3}}$ малый угол (~12°). Поле прямого диполя в таком случае вообще не менялось бы.

Последовательность периодических решений уравнений (1a) позволяет сформировать идеальный режим одноосной ориентации спутника в случае ${{k}_{\Omega }} = 0$, ${\mathbf{n}} \cdot {\mathbf{\Omega }} = 0$. Этот режим обеспечивает те же ошибки ориентации, что и при ${{k}_{\Omega }} > 0$, но не может быть реализован в действительности на продолжительном отрезке времени (см. ниже). Графики переменных ${{\Omega }_{i}}(t)$, ${{n}_{i}}(t)$ и угла $\gamma (t)$ в этом режиме изображены пунктирными линиями на рис. 7 на фоне черных графиков, иллюстрирующих решение уравнений (1) при ${{k}_{\Omega }} = 0$, ${\mathbf{n}} \cdot {\mathbf{\Omega }} = 0$ из раздела 2 (рис. 3).

5. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ СПУТНИКА

Удобство аппроксимации решений уравнений (1) последовательностью периодических решений заключается в том, что, последние допускают детальное параметрическое исследование. Построив семейства решений краевой задачи (1a), (3) для различных значений ${{l}_{0}}$, ${{k}_{\Omega }}$ и долготы ${{\Omega }_{G}}$ восходящего узла орбиты в “замороженной” гринвичской системе координат можно в сжатом виде получить достаточно полное представление о решениях уравнений (1) на продолжительных интервалах времени, выбрать нужные параметры спутника.

Результаты решения задачи (1a), (3) представлены на рис. 8–10 графиками зависимости начальных условий от параметров ${{l}_{0}}$ и ${{\Omega }_{G}}$. Графики построены при ${{k}_{\Omega }} = 0$, ${\mathbf{n}} \cdot {\mathbf{\Omega }} = 0$ (сплошные линии) и ${{k}_{\Omega }} = 0.00015\,\,{{{\text{c}}}^{{ - 1}}}$ (пунктирные линии). В (3) принято ${{t}_{0}} = 0$, элементы используемой в уравнениях (1a) кеплеровой орбиты (кроме долготы восходящего узла) совпадают с элементами орбиты спутника в момент $t = 0$. Решения найдены методом пристрелки, первое приближение разыскиваемых начальных условий: ${\mathbf{\Omega }}(0) = 0$, ${\mathbf{n}}(0) = {{{\mathbf{B}}(0)} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\mathbf{B}}(0)} {\left| {{\mathbf{B}}(0)} \right|}}} \right. \kern-0em} {\left| {{\mathbf{B}}(0)} \right|}}$.

Графики на рис. 8, 9 построены при ${{\Omega }_{G}} = 11.67^\circ $ и $2 \leqslant {{l}_{0}} \leqslant 6$. Здесь $[{{l}_{0}}] = {\text{A}}$/кг. В случае ${{k}_{\Omega }} = 0$, ${\mathbf{n}} \cdot {\mathbf{\Omega }} = 0$ решения задачи (1a), (3) удалось найти не для всех значений ${{l}_{0}}$. Лакуны обусловлены резонансами в системе (1a) и связанным с ними ветвлением периодических решений [2–4, 7]. Резонансы возникают между вращением вектора ${\mathbf{B}}$ вдоль орбиты спутника и колебаниями орта ${\mathbf{n}}$ относительно этого вектора.

Графики на рис. 10 построены при ${{l}_{0}} = 4$ А/кг и $0^\circ \leqslant {{\Omega }_{G}} \leqslant 360^\circ $. В случае ${{k}_{\Omega }} = 0$, ${\mathbf{n}} \cdot {\mathbf{\Omega }} = 0$ решения этой задачи найдены не для всех значений ${{\Omega }_{G}}$. Причина та же, что и у лакун графиков, показанных сплошными линиями на рис. 8, 9 – резонансы в системе (1a). Указанные резонансы проявляются не только в системе (1a), но в системе (1).

Из-за таких резонансов невозможно продолжительное существование режима магнитной ориентации спутника при ${{k}_{\Omega }} = 0$. Изменение режима магнитной ориентации в процессе суточного вращения Земли можно приближенно рассматривать, как изменение периодического решения системы (1a в функции угла ${{\Omega }_{G}}$. Решения задачи (1a), (3) с малым углом ${{\gamma }_{{\max }}} = \max \left| {\gamma (t)} \right|$ ($0 \leqslant t \leqslant T$) образуют однопараметрические семейства с параметром ${{\Omega }_{G}}$. При ${{k}_{\Omega }} > 0$ существует одно такое семейство. Оно непрерывно зависит от ${{\Omega }_{G}}$ на интервале изменения этого параметра, охватывающем многие сутки полета. Как следствие, режим поддерживается продолжительное время. В случае ${{k}_{\Omega }} = 0$, ${\mathbf{n}} \cdot {\mathbf{\Omega }} = 0$ существует достаточно много семейств периодических решений, непрерывных по ${{\Omega }_{G}}$ и имеющих на некоторых отрезках малый угол ${{\gamma }_{{\max }}}$. При каждом ${{\Omega }_{G}}$ существует не более одного решения с ${{\gamma }_{{\max }}} \ll 1$. Лакуны – интервалы значений ${{\Omega }_{G}}$, на которых нет решений задачи (1a), (3) с малым ${{\gamma }_{{\max }}}$, – весьма коротки. Отрезок $0 \leqslant {{\Omega }_{G}} \leqslant 2\pi $ на рис. 10 содержит две таких лакуны. При изменении ${{\Omega }_{G}}$ в течение суток при переходе через лакуны аппроксимирующее периодическое решение перескакивает с одного семейства на другое. Указанные скачки приводят к постепенному нарушению ориентации (рис. 3).

Если в уравнениях (1) и (1a) принять модель МПЗ в виде прямого диполя и подходящее значение ${{l}_{0}}$, то резонансы при изменении ${{\Omega }_{G}}$ не возникают. В этом случае режим магнитной ориентации существует продолжительное время. На интервале времени 20 сут нарастания амплитуды колебаний угла $\gamma $ не наблюдается [8].

Резонансы в задаче (1a), (3) проявляются и при ${{k}_{\Omega }} > 0$. Рис. 11 содержит графики компонент векторов ${\mathbf{\Omega }}(t)$ и ${\mathbf{n}}(t)$, $0 \leqslant t \leqslant T$ решений этой задачи, вычисленных при ${{k}_{\Omega }} = 0.00015$ с^–1, ${{\Omega }_{G}} = 11.67^\circ $ и двух значениях ${{l}_{0}}$: 4 А/кг (сплошные линии) и 4.186 А/кг (пунктирные линии). Амплитуды высокочастотных колебаний ${{\Omega }_{i}}$ решений при ${{l}_{0}}$ = = 4.186 А/кг значительно выше, чем при ${{l}_{0}}$= 4 А/кг. Это объясняется наличием в системе (1a) резонанса при ${{l}_{0}} = $ 4.186 А/кг (см. рис. 8, 9). Однако вследствие указанной выше непрерывности по ${{\Omega }_{G}}$ при ${{k}_{\Omega }} > 0$ такие резонансы не приводят к разрушению ориентированного движения.

6. СУЩЕСТВОВАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ

Чтобы строго доказать существование периодических решений, о которых говорилось разделах 4 и 5, уравнения (1a) запишем иначе. Введем две новые системы координат. Первая система связана с вектором ${\mathbf{B}}$ индукции МПЗ в центре масс спутника – точке $O$. Эту систему обозначим $O{{X}_{1}}{{X}_{2}}{{X}_{3}}$. Орты ${{{\mathbf{e}}}_{i}}$ осей $O{{X}_{i}}$ $(i = 1,\;2,\;3)$ задаются соотношениями

Здесь $B = \left| {\mathbf{B}} \right|$, ${\mathbf{N}}$ – орт нормали к плоскости орбиты, направленный по вектору орбитального кинетического момента спутника. Так как орбита спутника считается кеплеровой, ${\mathbf{N}} = {\text{const}}$. Проекции абсолютной угловой скорости системы $O{{X}_{1}}{{X}_{2}}{{X}_{3}}$ на ее собственные оси имеют вид

Вторая система координат $O{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}$ образованна осями Резаля спутника. Ее ось $O{{x}_{1}}$ направлена по орту n. Система $O{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}$ получаются из осей системы $O{{X}_{1}}{{X}_{2}}{{X}_{3}}$ двумя поворотами. Сначала на угол $\alpha $ вокруг оси $O{{X}_{2}}$, затем на угол $\beta $ вокруг оси $O{{X}_{3}}$, получившейся после первого поворота. Компоненты абсолютной угловой скорости спутника в системе $O{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}$ обозначим ${{\omega }_{1}},\;{{\omega }_{2}},\;{{\omega }_{3}}$. Уравнения (1) с использованием введенных систем координат можно записать в виде [3, 9]

Здесь ${{x}_{i}}$ – компоненты геоцентрического вектора точки $O$ в системе $O{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}$. Так как орбита спутника считается кеплеровой эллиптической, время входит в систему (4) периодически с орбитальным периодом $T$. Исследование периодических решений этой системы при ${{k}_{\Omega }} = 0$ и при ${{k}_{\Omega }} > 0$ проводится по-разному. Рассмотрим сначала случай ${{k}_{\Omega }} = 0$. Доказательство существования периодических решений системы (4) в этом случае практически идентично доказательству работы [4]. В [4] использована модель МПЗ в виде прямого диполя, и орбита спутника принята круговой, но эти упрощения не принципиальны.

Так как ${{\omega }_{1}} = {\text{const}}$ при ${{k}_{\Omega }} = 0$, первое уравнение системы (4) рассматривать не будем, а в остальных ее уравнениях ${{\omega }_{1}}$ будем считать параметром. Введем новую независимую переменную $\tau $ и постоянную $b$, положив

Исключим ${{\omega }_{2}},\;{{\omega }_{3}}$ из последних четырех уравнений (4) и перейдя к независимой переменной $\tau $, получим систему, которую запишем в векторном виде [4]

Здесь штрихом обозначено дифференцирование по $\tau $, $q = {{(\alpha ,\,\beta )}^{{\text{T}}}}$,

$B$ и ${{\Phi }_{1}}$ выражаются в функции $\tau $, $\left\| {{\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} } \right\|$ – евклидова норма. Переменная $\tau $ входит в систему (5) периодически с периодом $2b$. Рассмотрим начальную задачу $2Y{\kern 1pt} ' = CY$, $Y(0) = {{E}_{2}} \equiv {\text{diag}}\,(1,\;1)$. Ее решение

Представим его в виде произведения Y(τ) = Y₁(τ) · $ \cdot \,\,{{Y}_{2}}(\tau )$, где

Функция $\tilde {\psi }(\tau )$ и матрица ${{Y}_{1}}(\tau )$ – периодические по $\tau $ с периодом $2b$, матрицы ${{Y}_{1}}(\tau )$, ${{Y}_{2}}(\tau )$ удовлетворяют уравнениям

В системе (5) сделаем замену переменных $q \mapsto y$: $q = {{Y}_{1}}(\tau )y$. Получим систему

в которой гладкие $2b$-периодические по $\tau $ функции ${{f}_{1}}$ и $F$ допускают оценки

Введем множество $I(\varepsilon ) = \{ \mu :\mu > 0,$ $\left| {\sin b(\mu + a)\sin b(\mu - a)} \right| \geqslant \varepsilon \} $, $\varepsilon \in (0,\;1)$. Оно не пусто и не ограниченно. При $\varepsilon \ll 1$ оно представляет собой интервал $(0,\; + \infty )$ из которого удалены попавшие в него малые окрестности точек вида $\mu = \pm a + {{\pi m} \mathord{\left/ {\vphantom {{\pi m} b}} \right. \kern-0em} b}$ при целом $m$. Справедлива следующая теорема.

Для любого $\varepsilon \in (0,\;1)$ существуют такие положительные числа $M$, ${{C}_{1}}$ и ${{C}_{2}}$, что при $\mu \geqslant M$, $\mu \in I(\varepsilon )$ система (6) имеет единственное решение ${{y}_{ * }}(\tau ,\mu )$, непрерывно зависящее от $\mu $ и удовлетворяющее неравенствам

К типу таких решений относятся рассмотренные выше решения в случае ${{k}_{\Omega }} = 0$. При ${{k}_{\Omega }} \ne 0$ периодические решения системы (4) могут существовать только при ${{\omega }_{1}} = 0$. Последнее соотношение позволяет отбросить первое уравнение этой системы и перейти к системе вида (5), в матрице $C(\tau )$ которой

Решение начальной задачи $2Y{\kern 1pt} ' = CY$, $Y(0) = {{E}_{2}}$ теперь имеет вид

Представим это решение в виде произведения $Y(\tau ) = {{Y}_{1}}(\tau ){{Y}_{2}}(\tau )$, где

Функции $\tilde {\varphi }(\tau )$ $\tilde {\psi }(\tau )$ и матрица ${{Y}_{1}}(\tau )$ зависят от $\tau $ периодически с периодом $2b$, матрицы ${{Y}_{1}}(\tau )$, ${{Y}_{2}}(\tau )$ удовлетворяют уравнениям

В новой системе (5) сделаем замену переменных $q \mapsto y$: $q = {{Y}_{1}}(\tau )y$. Поучим систему вида (6), в которой $2b$-периодические по $\tau $ функции ${{f}_{1}}$ и $F$ допускают указанные выше оценки.

Введем множество

$0 < \varepsilon < \;\sqrt {1 + {\text{s}}{{{\text{h}}}^{{\text{2}}}}db} $. Оно не пусто и не ограниченно. При $\varepsilon < {\text{sh}}\,db$ оно совпадает с интервалом $(0,\; + \infty )$. С новым множеством $I(\varepsilon )$ сформулированная выше теорема справедлива и для новой системы (6). Взяв $\varepsilon < {\text{sh}}\,db$, можно игнорировать резонансы, существующие при ${{k}_{\Omega }} = 0$, но это потребует увеличения постоянных $M$, ${{C}_{1}}$ и ${{C}_{2}}$. В случае ${{k}_{\Omega }} > 0$ влияние резонансов уменьшается по мере увеличения $\mu $.

Множество $I(\varepsilon )$ можно рассматривать в плоскости $(\mu ,{{\Omega }_{G}})$. На этом множестве решение ${{y}_{*}}(\tau ,\mu )$ непрерывно зависит от обоих параметров. Именно такие решения имелись в виду в заключительной части предыдущего раздела, где говорилось о семействах решений задачи (1'), (3), зависящих от ${{\Omega }_{G}}$.

7. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ

Исследование устойчивости сводилось к вычислению мультипликаторов соответствующей системы уравнений в вариациях. Мультипликаторы обозначим ${{\rho }_{k}}$ $(k = 1,\;2,\; \ldots ,\;6)$. Пусть сначала ${{k}_{\Omega }} = 0$. В этом случае система (1a) имеет первый интеграл ${\mathbf{\Omega }} \cdot {\mathbf{n}} = {\text{const}}$ и интегральное соотношение ${\mathbf{n}} \cdot {\mathbf{n}} = 1$, поэтому два ее мультипликатора ${{\rho }_{1}} = {{\rho }_{2}} = 1$. Систему (1a) при ${{k}_{\Omega }} = 0$ можно привести к гамильтоновой форме. Следовательно, необходимые условия устойчивости ее периодических решений выражаются равенствами $\left| {{{\rho }_{k}}} \right| = 1$. Последние равенства проверялись при $k = 3,\;4,\;5,\;6$ вместе с равенствами ${{\rho }_{1}} = {{\rho }_{2}} = 1$ для каждого найденного решения задачи (1a), (3). Необходимые условия устойчивости оказались выполненными для всех таких решений. Но расчеты были сделаны для дискретного набора значений ${{l}_{0}}$ и ${{\Omega }_{G}}$, поэтому малые области неустойчивости в плоскости этих параметров могли быть пропущены. В таких возможных областях $\left| {{{\rho }_{k}}} \right| \approx 1$, и неустойчивость слабая.

При ${{k}_{\Omega }} > 0$ система (1a) имеет интегральное соотношение ${\mathbf{n}} \cdot {\mathbf{n}} = 1$, а скалярное произведение ${\mathbf{\Omega }} \cdot {\mathbf{n}} = \xi $ удовлетворяет соотношению $\dot {\xi } + {{k}_{\Omega }}\xi = 0$. Отсюда находим два мультипликатора ${{\rho }_{1}} = 1$, $\rho {}_{2}\, = \exp ( - {{k}_{\Omega }}T)$. По теореме Лиувилля $\prod\nolimits_{k = 1}^6 {{{\rho }_{k}}} = \exp ( - 3{{k}_{\Omega }}T)$, поэтому $\prod\nolimits_{k = 3}^6 {{{\rho }_{k}}} $ = $ = \exp ( - 2{{k}_{\Omega }}T)$. Достаточные условия устойчивости решений задачи (1a), (3) выражаются неравенствами $\left| {{{\rho }_{k}}} \right| < 1$ ($k = 3,\;4,\;5,\;6$). Эти неравенства, а также выписанные соотношения для ${{\rho }_{1}}$, $\rho {}_{2}$ и $\prod\nolimits_{k = 3}^6 {{{\rho }_{k}}} $ оказались выполненными для всех найденных решений. Во всех этих решениях мультипликаторы ${{\rho }_{k}}$ ($k = 3,\;4,\;5,\;6$) образуют две комплексно-сопряженные пары, причем $\left| {{{\rho }_{k}}} \right| \approx \exp ({{ - {{k}_{\Omega }}T} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - {{k}_{\Omega }}T} 2}} \right. \kern-0em} 2})$.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Построены установившиеся движения спутника, в которых его продольная ось симметрии составляет малый угол с вектором напряженности МПЗ. Рассмотрены установившиеся движения спутника при наличии и при отсутствии демпфирования.

2. Предложен способ аппроксимации ориентированного движения спутника посредством набора периодических решений. Такая аппроксимация упрощает параметрическое исследование этого движения. Приведены результаты исследований устойчивости периодических движений спутника при наличии и при отсутствии демпфирования.