Кристаллография, 2019, T. 64, № 1, стр. 117-119

Для решения обратной задачи в рефлектометрии тонких пленок часто используют автокорреляционную функцию (АКФ) [1], представляющую собой самосвертку профиля плотности ρ(z) или, в рамках кинематического приближения, являющуюся преобразованием Фурье интенсивности рассеяния I(q) (преобразование проводится по углу скольжения зондирующего излучения):

С помощью АКФ возможно определение координат областей, характеризующихся особенностями в поведении электронной плотности, а в некоторых случаях – и толщин слоев (координат границ разделов), составляющих структуру слоистой среды.

Вычисляя интеграл Фурье, можно показать, что в кинематическом приближении теории рассеяния в рамках ступенчатой модели профиля плотности АКФ аналитически представима в виде суммы функций $\operatorname{Sinc} {\text{(}}x{\text{)}} = \sin x{\text{/}}x$ [2]:

Здесь и далее C₀, A₀, A_i – амплитуды при соответствующих слагаемых, $Q_{z}^{{\max }}$ – максимальное значение измеряемого угла скольжения, N – количество слоев ступенчатой модели пленки, {d_i} – набор толщин отдельных слоев d₁, d₂, … d_N разной плотности и всех возможных сумм граничащих между собой слоев вида d₁ + d₂, d₂ + d₃, d₁ + d₂ + d₃ и т.п., всего M = N(N + 1)/2 элементов, которые и определяют пики АКФ (1).

Если учитывать неидеальность границ раздела слоев (шероховатость), используя, например, функцию ошибок для моделирования границ разделов, то выражение для АКФ приобретает вид суперпозиции гауссианов:

где σ – параметр, отвечающий за Гауссово размытие слоя (уширение пика).

В настоящей работе предложен метод определения набора {d_i}. Суть метода заключается в приближении АКФ, вычисляемой из экспериментальных данных по формуле (1), ее аналитическим выражением (3). Каждый гауссиан в (3) определяется тройкой параметров {d_i, A_i, σ_i}. Результатом процесса аппроксимации являются наборы значений координат пиков {d_i}, безразмерных амплитуд {A_i} и полуширин {σ_i}, формально связанных с шероховатостью границ разделов. Число слоев N используемой ступенчатой модели служит входным и основным варьируемым параметром задачи. Процесс подгонки осуществляется при помощи программного комплекса BARD с использованием реализованных в нем методов оптимизации и анализа [3].

Отметим, что в настоящей работе применяется модифицированная АКФ, отличающаяся от общепринятой множителем q⁶ вместо q⁴ в подынтегральном выражении (1). Использование этой функции имеет ряд преимуществ, основным из которых является корректный учет рассеяния в области больших углов (q_z > 1), когда интенсивность измеряемого сигнала падает на 7–8 и более порядков. Одновременно в области малых углов (q_z < 1) оказываются подавленными возможные артефакты обработки (осцилляции Гиббса). Такую функцию можно назвать “автокорреляционной функцией шестого порядка”.

В качестве примера использования предлагаемого метода рассмотрим модель пленки на кремниевой подложке, состоящую из трех слоев толщинами 10, 20 и 40 Å, электронная плотность δ которых равна 4.0, 5.6 и 3.0 × 10^–6 соответственно. Поглощением и шероховатостью пренебрегаем. Для этой модели представлены кривая рассеяния (рис. 1а) и АКФ (рис. 1б), вычисленная по формуле (1) для трех диапазонов угла скольжения q_z (q_z = $\frac{{4\pi }}{\lambda }$sin ϑ – проекция вектора рассеяния на нормаль к поверхности пленки, λ – длина волны излучения). Автокорреляционная функция имеет шесть пиков (M = 3(3 + 1)/2 = 6). Видно, что пики по-разному проявляются на кривых в зависимости от максимального значения $Q_{z}^{{{\text{max}}}}$ (0.5, 1 и 3 Å^–1). Чем меньше диапазон q_z в измерениях, тем больше уширяются и сдвигаются пики относительно своих реальных значений. Из-за ограниченности диапазона возникают паразитные осцилляции в вычислениях преобразования Фурье (называемые еще осцилляциями Гиббса или осцилляциями обрыва). Кривая расчетной АКФ при этом деформируется, что заметно усложняет определение координат и толщин слоев. В этом случае приходится прибегать к специальным методам расчета, позволяющим избежать такого рода затруднений. Например, можно использовать метод расчета фурье-образов финитных функций на ограниченной области определения, предложенный в [4].

На рис. 2 представлены результаты подгона АКФ экспериментальных кривых (1) для двух угловых диапазонов $Q_{z}^{{{\text{max}}}}$ аналитической модельной функцией (3). При $Q_{z}^{{{\text{max}}}}$ = 3 Å^–1 (рис. 2а) АКФ (кривая 2) имеет хорошо различимые пики, позволяющие однозначно определить значения толщин слоев пленки. Результат здесь практически полностью совпадает с входными данными (кривая 1) и приведен для наглядной демонстрации корректной работы предлагаемого метода. Для меньшего углового диапазона $Q_{z}^{{{\text{max}}}}$ = 0.5 Å^–1 (рис. 2б) ситуация усложняется. В этом случае по виду исходной АКФ (кривая 1) определить характерные величины z электронного профиля плотности пленки не представляется возможным. Результат подгона представлен кривой 2 на рис. 2б. Полученные численные значения {d_i} – это параметры толщин слоев (протяженности областей) пленки. В дальнейшем их можно использовать в качестве начальных значений обычной процедуры подгонки рефлектометрической кривой при помощи ступенчатой модели пленки. Кривая 2 была получена при количестве слоев N = 3, как в исходной модели. Очевидно, что среди набора {d_i} максимальное значение (максимальный по z пик) соответствует общей толщине пленки, а минимальное – самому тонкому (наименее протяженному по ширине) слою модели. Эти крайние значения не зависят от входного параметра N – количества слоев в модели. Так, кривая 4 на рис. 2б получена при N = 6, а результирующие значения d^max ≈ 68 и d^min ≈ 10 Å близки к истинным. Отметим, что расчетные кривые (рис. 2б) не всегда совпадают внешне с формой исходной кривой. Увеличение N как параметра модели приводит к их полному совпадению, что является побочным психологическим эффектом, положительно влияющим на восприятие результата.

Рассмотрим еще один аспект применения предлагаемого метода синтеза АКФ. Из формул (1)–(3) видно, что в АКФ всегда присутствует так называемый нулевой пик – максимум АКФ(z) при z = 0. Его наличие затрудняет выявление и анализ особенностей АКФ (других пиков). Авторам известна всего одна работа [5], в которой предпринята попытка учесть этот нулевой пик при анализе АКФ. В ней предложено вводить интегральную поправку в подынтегральное выражение в (1), исключающую влияние этого пика на конечное выражение для АКФ. Такой подход предполагает определенные вычислительные затраты, приводящие к дополнительным искажениям и расчетным ошибкам.

В предлагаемом методе синтеза АКФ учет нулевого пика носит простой и вполне формальный характер. После завершения процедуры подгона и определения всех параметров (3) окончательный результат рассчитывается без учета первого слагаемого суммы ${{A}_{0}}{{{\text{e}}}^{{ - {{{\left( {\frac{z}{{{{{\sigma }}_{0}}}}} \right)}}^{2}}}}}$, которое и определяет нулевой пик. В некоторых случаях такой способ позволяет повысить чувствительность метода (контраст) и стабилизировать пики АКФ при анализе серии измерений для различных угловых диапазонов. В качестве иллюстрации на рис. 2 (кривые 3) приведены две зависимости, рассчитанные без учета нулевого пика. Видно, что исключение из рассмотрения пика при z = 0 приводит к обострению остальных пиков, делая их более заметными на кривой АКФ.

Предлагаемый метод основан на синтезе АКФ суперпозицией гауссианов, параметры которых связаны с характеристиками слоев пленки и межслоевых границ. Такой синтез позволяет определить значения толщин слоев как в рамках ступенчатой модели профиля плотности пленки, так и, вообще говоря, в отсутствие каких-либо априорных знаний об исследуемом объекте. Единственными исходными данными для работы алгоритма метода является экспериментальная рефлектометрическая кривая (кривая зеркального рассеяния). Алгоритм отличается простотой применения и в настоящее время реализован в авторском программном комплексе BARD [3].

Дальнейшим шагом использования результатов данного метода может стать обычная процедура подгонки рефлектометрической кривой в рамках ступенчатой модели.

Работа выполнена при поддержке Федерального агентства научных организаций (соглашение № 007-ГЗ/Ч3363/26).