Кристаллография, 2019, T. 64, № 2, стр. 270-274
Вырожденные отражения в акустике твердых тел. I. изотропные среды
1 Институт кристаллографии им. А.В. Шубникова ФНИЦ “Кристаллография и фотоника” РАН
Москва, Россия
* E-mail: lyubvn36@mail.ru
Поступила в редакцию 13.02.2018
После доработки 13.02.2018
Принята к публикации 16.02.2018
Аннотация
Описаны варианты отражений, при которых объемная акустическая волна в изотропном твердом теле, отражаясь от его границы с вакуумом, порождает лишь одну объемную волну. Данные вырожденные отражения реализуются как чистые, так и конверсионные. В первом случае падающая и отраженная волны принадлежат одной и той же акустической ветви, а во втором случае – разным.
ВВЕДЕНИЕ
Когда акустическая объемная волна в кристалле отражается от его границы с вакуумом, вследствие анизотропии упругих свойств возникают три отраженные волны. Отраженные волны возникают в следующих комбинациях: все три волны могут быть объемными; могут возникнуть две объемные волны вместе с сопутствующей, локализованной у границы; может возникнуть объемная волна в сопровождении двух локализованных.
Однако отраженных волн может быть меньше, чем три, если для этого обеспечить специальную геометрию распространения и подобрать падающую волну соответствующей поляризации. При этом отражение оказывается вырожденным. Такие отражения в кубических кристаллах рассматривались в [1, 2], а в гексагональных – в [3].
Исследованы также варианты отражений, при которых падающая волна порождает объемную волну, близкую к собственной моде, – особой объемной волне. При этом в условиях близости отраженной волны к поверхности кристалла удается сконцентрировать всю энергию падающей волны в узком отраженном пучке, которому сопутствует лишь одна локализованная у поверхности волна. Резонансное отражение становится вырожденным [4–6].
Вне связи с резонансами общая теория отражений в кристаллах произвольной симметрии развита в [7–11].
Для любого кристалла при стремлении упругой анизотропии к нулю возникает один и тот же универсальный предел, отвечающий изотропному телу. Вырожденные отражения в этом пределе сохраняются, их касались, в частности, в [12–15]. Дополняя эти сведения с общих позиций, приведем полное описание и классификацию таких отражений.
СПЕЦИФИКА ОТРАЖЕНИЙ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН В ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
Если вместо кристалла выступает изотропное тело, то отраженных волн даже в самом общем случае оказывается две, а не три, как в кристаллах. Это связано с тем, что в изотропном теле поперечные волны двух независимых поляризаций распространяются с одинаковыми скоростями – имеет место вырождение.
В изотропном теле при падении объемной волны на границу с вакуумом возникает несколько возможных вариантов отраженных волн: обе отраженные волны могут быть объемными; одна отраженная волна может быть объемной, а вторая – локализованной у границы; может возникнуть лишь одна отраженная объемная волна. Реализуемость конкретного варианта и его особенности зависят от направления падающей волны и от той акустической ветви, к которой она принадлежит. Варьирование угла падения при этом позволяет выявить все ситуации, при которых отражение оказывается вырожденным – отражается лишь одна объемная волна. Если падающая и отраженная объемные волны принадлежат одной и той же акустической ветви – это случай чистого отражения. Если эти волны принадлежат разным акустическим ветвям, это – конверсионное отражение (иногда, по аналогии с оптикой, подобные отражения называют брюстеровскими [1–3, 14, 15]).
Рассматривая различные варианты отражения, соотношения между падающими и отраженными волнами удобно анализировать, используя понятие поверхности медленностей [7]. В кристаллах это трехполостная поверхность, образованная концами волновых векторов объемных волн трех независимых поляризаций, когда эти векторы сканируют сферу всех возможных направлений распространения. В пределе перехода к изотропному телу эта поверхность становится двуполостной и представляет собой две концентрические сферы. Внешняя сфера отвечает поперечным, а внутренняя – продольным волнам. Сечение такой поверхности плоскостью падения (xy) представлено на рис. 1.
Ориентация границы твердого тела на рис. 1 задана единичным вектором нормали к ней n, а направление распространения совокупного волнового поля вдоль поверхности – единичным вектором m (${\mathbf{m}} \bot {\mathbf{n}}$). На рис. 1 ${\mathbf{k}}_{{\alpha }}^{i}$ и ${\mathbf{k}}_{{\alpha }}^{r}$ – волновые векторы падающих и отраженных волн ветвей ${\alpha } = 1{{,}_{{}}}3$. Соотношение между падающей и отраженными волнами зависит от угла падения ${\psi }_{{\alpha }}^{i} = \angle ({\mathbf{k}}_{{\alpha }}^{i},{\mathbf{m}})$ или, что эквивалентно, от приведенной скорости распространения совокупного волнового поля $v = {\omega /}k$ (здесь ${\omega }$ – частота, $k = {\mathbf{k}}_{{\alpha }}^{i} \cdot {\mathbf{m}} = {\mathbf{k}}_{{\alpha }}^{r} \cdot {\mathbf{m}}$). Ветвь ${\alpha } = 1$ отвечает поперечным волнам, распространяющимся со скоростью $v_{1}^{2} = {{c}_{{66}}}{/\rho }$ (здесь ${{c}_{{66}}}$ – модуль упругости, ${\rho }$ – плотность кристалла). При этом волновому вектору ${{{\mathbf{k}}}_{{\mathbf{1}}}}$ отвечают две независимые поляризации ${{{\mathbf{A}}}_{{1||}}}{\text{||}}(xy)$ и ${{{\mathbf{A}}}_{{1 \bot }}} \bot (xy)$. Вектор поляризации ${{{\mathbf{A}}}_{1}} = {{{\mathbf{A}}}_{{1||}}}\cos \varphi + $ $ + \;{{{\mathbf{A}}}_{{1 \bot }}}\sin \varphi $ $({\mathbf{A}}_{{1||}}^{2} = {\mathbf{A}}_{{1 \bot }}^{2} = 1)$ свободно вращается при изменении параметра $\varphi $, оставаясь ортогональным волновому вектору ${{{\mathbf{k}}}_{1}}$: ${{{\mathbf{A}}}_{1}} \bot {{{\mathbf{k}}}_{{\mathbf{1}}}}$. Ветвь ${\alpha } = 3$ отвечает продольным волнам $({{{\mathbf{A}}}_{3}}{\text{||}}{{{\mathbf{k}}}_{3}})$, распространяющимся со скоростью $v_{3}^{2} = {{c}_{{11}}}{/\rho }$.
Рассматривая волны ветвей ${\alpha } = 1{{,}_{{}}}3$, отметим, что падающая объемная волна с параметрами $({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{i},{\mathbf{A}}_{{{\text{1||}}}}^{i})$ или $({\mathbf{k}}_{{\text{3}}}^{i},{\mathbf{A}}_{{\text{3}}}^{i})$ порождает две отраженные волны с параметрами $({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{r}{{,}_{{}}}{\mathbf{A}}_{{{\text{1||}}}}^{r})$ и $({\mathbf{k}}_{{\text{3}}}^{r}{{,}_{{}}}{\mathbf{A}}_{{\text{3}}}^{r})$ [7, 12, 13] – рис. 1. При отражениях волн этих ветвей в континуальной области III $(0 < {{v}^{{ - {\text{1}}}}} \leqslant v_{3}^{{ - 1}})$ обе отраженные волны объемные, а в области II $(v_{3}^{{ - 1}} < {{v}^{{ - 1}}} \leqslant v_{1}^{{ - 1}})$ одна из отраженных волн $({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{r},{\mathbf{A}}_{{{\text{1||}}}}^{r})$ объемная, а вторая $({\mathbf{k}}_{{\text{3}}}^{r},{\mathbf{A}}_{{\text{3}}}^{r})$ – локализованная у границы кристалла. В то же время падающая волна ветви ${\alpha } = 1$ с параметрами $({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{i},{\mathbf{A}}_{{1 \bot }}^{i})$ порождает в объединенной области II–II $(0 < {{v}^{{ - 1}}} \leqslant v_{1}^{{ - 1}})$ лишь одну отраженную волну $({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{r},{\mathbf{A}}_{{1 \bot }}^{r})$. Этот вариант изначально отвечает чистому отражению при любом угле падения.
Цель дальнейшего рассмотрения – описать условия, при которых объемная волна с параметрами $({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{i}{{,}_{{}}}{\mathbf{A}}_{{{\text{1||}}}}^{i})$ или $({\mathbf{k}}_{{\text{3}}}^{i}{{,}_{{}}}{\mathbf{A}}_{{\text{3}}}^{i})$ порождает лишь одну объемную волну – либо $({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{r},{\mathbf{A}}_{{{\text{1||}}}}^{r})$, либо $({\mathbf{k}}_{{\text{3}}}^{r},{\mathbf{A}}_{{\text{3}}}^{r})$. Здесь возникают варианты конверсионных отражений $({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{i},{\mathbf{A}}_{{{\text{1||}}}}^{i}) \to ({\mathbf{k}}_{{\text{3}}}^{r},{\mathbf{A}}_{{\text{3}}}^{r})$ и $({\mathbf{k}}_{{\text{3}}}^{i},{\mathbf{A}}_{{\text{3}}}^{i}) \to ({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{r},{\mathbf{A}}_{{{\text{1||}}}}^{r})$, а также варианты чистых отражений $({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{i},{\mathbf{A}}_{{{\text{1||}}}}^{i})\; \to $ $ \to \;({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{r},{\mathbf{A}}_{{{\text{1||}}}}^{r})$ и $({\mathbf{k}}_{{\text{3}}}^{i},{\mathbf{A}}_{{\text{3}}}^{i}) \to ({\mathbf{k}}_{{\text{3}}}^{r},{\mathbf{A}}_{{\text{3}}}^{r})$ – рис. 1. Такие отражения могут быть реализованы при конкретных значениях угла падения. Далее будет рассмотрена реализуемость этих вариантов.
СОВОКУПНОЕ ВОЛНОВОЕ ПОЛЕ ПРИ ОТРАЖЕНИЯХ
Выпишем основные характеристики парциальных волн, участвующих в рассматриваемых отражениях. Волновые векторы $({\mathbf{k}}_{{{\text{1,3}}}}^{{i,r}})$, нормированные амплитуды $({\mathbf{A}}_{{{\text{1||}}}}^{{i,r}},{\mathbf{A}}_{{{\text{1}} \bot }}^{{i,r}},{\mathbf{A}}_{{\text{3}}}^{{i,r}})$, векторы механических сил $({\mathbf{L}}_{{{\text{1||}}}}^{{i,r}},{\mathbf{L}}_{{{\text{1}} \bot }}^{{i,r}},{\mathbf{L}}_{{\text{3}}}^{{i,r}})$, создаваемых данными волнами, а также углы падения и отражения ${\psi }_{{{\text{1,3}}}}^{{i,r}}$ – функции модулей упругости и приведенной скорости $v$ записываются в виде:
(1)
$\begin{gathered} {\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{{i,r}} = (1, \mp {{p}_{1}},0)k, \\ {\mathbf{A}}_{{{\text{1||}}}}^{{i,r}} = ( \pm {{p}_{1}},1,0){{v}_{1}}{\text{/}}v,\quad {\mathbf{A}}_{{{\text{1}} \bot }}^{{i,r}} = (0,0,1), \\ {\mathbf{L}}_{{{\text{1||}}}}^{{i,r}}\,{\text{||}}\,(2{{c}_{{66}}} - {\rho }{{v}^{2}}, \mp 2{{c}_{{66}}}{{p}_{1}},0){{v}_{1}}{\text{/}}v, \\ {\mathbf{L}}_{{{\text{1}} \bot }}^{{i,r}}\,{\text{||}}\,(0, \mp 2{{c}_{{66}}}{{p}_{1}},0),\quad \psi _{{\text{1}}}^{{i,r}} = \mp \operatorname{arctg} ({{p}_{1}}), \\ {{p}_{1}}{\text{(}}{{v}^{2}}) = \sqrt {{{v}^{2}}{\text{/}}v_{1}^{2} - 1} ,\quad v_{1}^{2} = {{c}_{{66}}}{/\rho }{\text{.}} \\ \end{gathered} $(2)
$\begin{gathered} {\mathbf{k}}_{{\text{3}}}^{{i,r}} = (1, \mp {{p}_{3}},0)k, \\ {\mathbf{A}}_{{\text{3}}}^{{i,r}} = (1, \mp {{p}_{3}},0){{v}_{3}}{\text{/}}v, \\ {\mathbf{L}}_{{\text{3}}}^{{i,r}}\,{\text{||}}\,( \mp 2{{c}_{{66}}}{{p}_{3}},{\rho }{{v}^{2}} - 2{{c}_{{66}}},0){{v}_{3}}{\text{/}}v, \\ {\psi }_{{\text{3}}}^{{i,r}} = \mp {\text{arctg}}({{p}_{3}}), \\ {{p}_{3}}{\text{(}}{{v}^{2}}) = \sqrt {{{v}^{2}}{\text{/}}v_{3}^{2} - 1} ,\quad v_{3}^{2} = {{c}_{{11}}}{/\rho }{\text{.}} \\ \end{gathered} $В этих соотношениях предполагается, что все парциальные волны объемные. Это справедливо для области III, в которой параметры ${{p}_{1}}$ и ${{p}_{3}}$ вещественны – рис. 1. В областях II и I параметр ${{p}_{3}}$ становится мнимым $({{p}_{3}} = i{{q}_{3}}{{,}_{{}}}{{q}_{3}} > 0)$, а в области I мнимым оказывается и параметр ${{p}_{1}}$ $({{p}_{1}} = i{{q}_{1}},$ ${{q}_{1}} > 0)$. Во всех этих случаях, очевидно, в (1), (2) следует провести замену ${\mathbf{k}}_{{{\text{1,3}}}}^{r} \to {{{\mathbf{k}}}_{{1,3}}} = (1{{,}_{{}}}i{{q}_{{1,3}}}{{,}_{{}}}0)k$ и сделать соответствующие изменения в остальных параметрах: $ + {{p}_{{1,3}}} \to i{{q}_{{1,3}}}$.
Падающая и отраженные волны формируют совокупное волновое поле, зависящее от координат и времени t:
Здесь $y \geqslant 0,\; - {\kern 1pt} \infty \leqslant x \leqslant \infty $, а векторная амплитуда общего волнового поля определяется амплитудами отдельных парциальных волн:(4)
${\mathbf{A}}(y) = \left\{ \begin{gathered} \left. {\begin{array}{*{20}{c}} {C_{{{\text{1||}}}}^{i}{\mathbf{A}}_{{{\text{1||}}}}^{i}\exp ( - ik{{p}_{1}}y)} \\ {C_{{\text{3}}}^{i}{\mathbf{A}}_{{\text{3}}}^{i}\exp ( - ik{{p}_{3}}y)} \end{array}} \right\} + \hfill \\ + \;C_{{{\text{1||}}}}^{r}{\mathbf{A}}_{{{\text{1||}}}}^{r}\exp (ik{{p}_{1}}y) + \hfill \\ + \;C_{{\text{3}}}^{r}{\mathbf{A}}_{{\text{3}}}^{r}\exp (ik{{p}_{3}}y), \hfill \\ C_{{{\text{1}} \bot }}^{i}{\mathbf{A}}_{{{\text{1}} \bot }}^{i}\exp ( - ik{{p}_{1}}y) + \hfill \\ + \;C_{{{\text{1}} \bot }}^{r}{\mathbf{A}}_{{{\text{1}} \bot }}^{r}\exp (ik{{p}_{1}}y). \hfill \\ \end{gathered} \right.$КОЭФФИЦИЕНТЫ ОТРАЖЕНИЯ
Условия механической свободы границы среды при падении на нее объемных волн различных поляризаций можно представить в следующей форме:
(5)
$\begin{gathered} \left. \begin{gathered} {\mathbf{L}}_{{1{\text{||}}}}^{i}C_{{1||}}^{i} \hfill \\ {\mathbf{L}}_{{\text{3}}}^{i}C_{3}^{i} \hfill \\ \end{gathered} \right\} + {\mathbf{L}}_{{1{\text{||}}}}^{r}C_{{1{\text{||}}}}^{i} + {\mathbf{L}}_{{\text{3}}}^{r}C_{3}^{i} = 0, \\ {\mathbf{L}}_{{1 \bot }}^{i}C_{{1 \bot }}^{i} + {\mathbf{L}}_{{1 \bot }}^{r}C_{{1 \bot }}^{i} = 0. \\ \end{gathered} $Конкретизируя эти соотношения, имеем
(6)
$\begin{gathered} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2{{c}_{{66}}} - {\rho }{{v}^{2}}} \\ {2{{с }_{{66}}}{{p}_{1}}} \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {2{{с }_{{66}}}{{p}_{3}}} \\ {{\rho }{{v}^{2}} - 2{{c}_{{66}}}} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {C_{{1||}}^{r}{{v}_{1}}} \\ {C_{3}^{r}{{v}_{3}}} \end{array}} \right) = \\ = \; - {\kern 1pt} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2{{c}_{{66}}} - {\rho }{{v}^{2}}} \\ { - 2{{с }_{{66}}}{{p}_{1}}} \end{array}} \right)C_{{1||}}^{i}{{v}_{1}},} \\ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2{{с }_{{66}}}{{p}_{3}}} \\ {{\rho }{{v}^{2}} - 2{{c}_{{66}}}} \end{array}} \right)C_{3}^{i}{{v}_{3}},} \end{array}} \right. \\ 2{{c}_{{66}}}{{p}_{1}}C_{{1 \bot }}^{r} = 2{{c}_{{66}}}{{p}_{1}}C_{{1 \bot }}^{i}. \\ \end{gathered} $Отсюда вытекают следующие выражения для коэффициентов отражения:
(7)
$\begin{gathered} \frac{{C_{3}^{r}}}{{C_{{1||}}^{i}}} = R_{{31}}^{{||}} = \frac{{4{{c}_{{66}}}{{p}_{1}}{{v}_{1}}}}{{{{f}_{ + }}{{{\text{v}}}_{3}}}}g, \\ \frac{{C_{{1||}}^{r}}}{{C_{3}^{i}}} = R_{{13}}^{{||}} = \frac{{ - 4{{c}_{{66}}}{{p}_{3}}{{v}_{3}}}}{{{{f}_{ + }}{{{\text{v}}}_{1}}}}g, \\ \end{gathered} $В этих выражениях введены функции
(8)
$\begin{gathered} {{f}_{ \pm }}({{v}^{2}}) = {{g}^{2}} \pm 4с _{{66}}^{2}{{p}_{1}}{{p}_{3}}, \\ g({{v}^{2}}) = {\rho }{{v}^{2}} - 2{{c}_{{66}}}. \\ \end{gathered} $Знание коэффициентов отражения (7) упрощает дальнейший анализ отражений различных типов.
КОНВЕРСИОННЫЕ ОТРАЖЕНИЯ
При конверсионных отражениях падающая и отраженная волны принадлежат разным акустическим ветвям, так что в (7) $R_{{13}}^{{||}},\;R_{{31}}^{{||}} \ne 0$, в то время как $R_{{11}}^{{||}} = R_{{33}}^{{||}} = 0$. Отсюда следует
Здесь функция ${{f}_{ - }}{\text{(}}{{v}^{2}})$ задана в (8). После освобождения от иррациональностей соотношение (9) сводится к бикубическому уравнению(10)
$\begin{gathered} {{{\xi }}^{6}} - 8{{{\xi }}^{4}} + 8(3 - 2{\kappa }){{{\xi }}^{2}} - 16(1 - {\kappa }) = 0, \hfill \\ { \kappa } = {{с }_{{66}}}{\text{/}}{{с }_{{11}}},\quad {{{\xi }}^{{\text{2}}}} = {\rho }{{v}^{2}}{\text{/}}{{c}_{{66}}}{\text{.}} \hfill \\ \end{gathered} $ЧИСТЫЕ ОТРАЖЕНИЯ
При чистых отражениях падающая и отраженная волны принадлежат одной и той же акустической ветви. Так, падающая волна ветви ${\alpha } = 1$ с параметрами $({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{i},{\mathbf{A}}_{{1 \bot }}^{i})$ порождает в объединенной области III–II лишь одну отраженную волну $({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{r},{\mathbf{A}}_{{1 \bot }}^{r})$ той же ветви ${\alpha } = 1$. Для волн ветвей ${\alpha } = 1{{,}_{{}}}3$ с параметрами $({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{i},{\mathbf{A}}_{{1||}}^{i})$, $({\mathbf{k}}_{{\text{3}}}^{i},{\mathbf{A}}_{{3|}}^{i})$ возникает несколько вариантов, которые и рассмотрим далее.
Наклонное падение. Чистым отражениям отвечают соотношения $R_{{11}}^{{||}}{{,}_{{}}}R_{{33}}^{{||}} \ne 0$, $R_{{13}}^{{||}} = R_{{31}}^{{||}} = 0$, которые, согласно (7), будут удовлетворены при условии
где функция $g({{v}^{{\text{2}}}})$ определена в (8). Условие (12) будет удовлетворено, когда Следовательно, при одной и той же скорости $v_{{\text{0}}}^{{\text{2}}} = 2{{c}_{{66}}}{/\rho }$ чистые отражения должны одновременно реализоваться как в ветви ${\alpha } = 1$, так и в ветви ${\alpha } = 3$, когда соответственно(15)
$С _{3}^{i} = С _{3}^{r},\quad {{p}_{3}}\,{\text{|}}\,{{v}_{0}} = \sqrt { - {{с }_{{12}}}{\text{/}}{{c}_{{11}}}} .$(16)
$\begin{gathered} {\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{{i,r}}\,{\text{||}}\,(1, \mp 1,0),\quad {\mathbf{A}}_{{{\text{1||}}}}^{{i,r}}\,{\text{||}}\,( \pm 1,1,0), \\ \psi _{{\text{1}}}^{{i,r}} = \mp {\text{arctg}}(1) = \mp \pi {\text{/}}4. \\ \end{gathered} $Что касается чистых отражений продольных волн, то выражение ${{p}_{3}}\,{\text{|}}\,{{v}_{0}}$ (15) может иметь смысл лишь при ${{с }_{{12}}} < 0$. Это не противоречит условиям устойчивости $(0 < {\kappa } < {\text{3/4)}}$, хотя выглядит достаточно экзотичным, а при ${{с }_{{12}}} > 0$ параметр ${{p}_{3}}{\text{|}}{{v}_{0}}$ оказывается мнимым, что отвечает нефизическому решению.
Нормальное падение. При нормальном падении объемной волны на границу среды приведенная скорость $v$ стремится к бесконечности: $v = $ $ = \;{{({\omega /}k)}_{{k \to 0}}} \to \infty $. При этом, как вытекает из соотношений (7) и (8), в соответствии с [12] имеем
(17)
$\begin{gathered} R_{{11}}^{{||}} = R_{{33}}^{{||}} = - 1,\quad R_{{13}}^{{||}} = R_{{31}}^{{||}} = 0, \hfill \\ {\text{ }}С _{{1||}}^{i} = - С _{{1||}}^{r},\quad С _{3}^{i} = - С _{3}^{r}. \hfill \\ \end{gathered} $(18)
$\begin{gathered} {\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{{i,r}}\,{\text{||}}\, \mp {\kern 1pt} {\mathbf{n}},\quad {\mathbf{A}}_{{{\text{1||}}}}^{{i,r}}\,{\text{||}}\, \pm {\kern 1pt} {\mathbf{m}}, \\ {\mathbf{k}}_{{\text{3}}}^{{i,r}}\,{\text{||}}\, \mp {\kern 1pt} {\mathbf{n}},\quad {\mathbf{A}}_{{{\text{3||}}}}^{{i,r}}\,{\text{||}}\, \mp {\kern 1pt} {\mathbf{n}}. \\ \end{gathered} $(19)
${\mathbf{u}}(y,t) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {C_{{{\text{1||}}}}^{i}{\mathbf{m}}\cos [({\omega /}{{v}_{1}})y]} \\ {C_{{\text{3}}}^{i}{\mathbf{n}}\cos [({\omega /}{{v}_{3}})y]} \end{array}} \right\}\exp ( - i\omega t).$(20)
${\mathbf{u}}(x,t) = C_{{{\text{1}} \bot }}^{i}{{{\mathbf{A}}}_{{1 \bot }}}\exp [ik(x - {{v}_{1}}t)],\quad k = {\omega /}{{v}_{1}}.$На рис. 1 точка, отвечающая этой волне, выделена крестом.
Кроме такой особой объемной волны может существовать вторая подобная волна – продольная [16]. Действительно, из соотношения (15) следует, что при ${{с }_{{12}}} = 0$, когда ${\rho }v_{{\text{0}}}^{{\text{2}}} = 2{{с }_{{66}}} = {{c}_{{11}}}$,
Тогда из (2) вытекает ${\mathbf{L}}_{{\text{3}}}^{i} = {\mathbf{L}}_{{\text{3}}}^{r} = 0$, хотя при этом $С _{3}^{i} = С _{3}^{r} \ne 0$. Таким образом, в данном случае граничным условиям удовлетворяет собственное решение, имеющее вид(22)
$\begin{gathered} {\mathbf{u}}(x,t) = C_{3}^{i}{\mathbf{m}}\exp [ik(x - {{v}_{3}}t)], \\ k = {\omega /}{{v}_{3}},\quad {{v}_{3}} = \sqrt[{}]{{{{c}_{{11}}}{\text{/}}\rho }}. \\ \end{gathered} $ОБСУЖДЕНИЕ
Отметим, что в изотропном теле вектор поляризации поперечных волн ${{{\mathbf{A}}}_{1}} = {{{\mathbf{A}}}_{{1||}}}\cos \varphi + $ ${{{\mathbf{A}}}_{{1 \bot }}}\sin \varphi $ при изменении параметра $\varphi $ может иметь различную ориентацию. Рассмотренные чистые отражения волны с поляризацией ${{{\mathbf{A}}}_{{1||}}}$ при наклонном падении характеризуются приведенной скоростью $v_{{\text{0}}}^{{\text{2}}} = 2{{c}_{{66}}}{/\rho }$ (13). Такое чистое отражение сохраняется и в более общем случае, когда вместо вектора ${{{\mathbf{A}}}_{{1||}}}$ выступает полный вектор ${{{\mathbf{A}}}_{1}} = {{{\mathbf{A}}}_{{1||}}}\cos \varphi + {{{\mathbf{A}}}_{{1 \bot }}}\sin \varphi $, поскольку отражение поперечной волны с вектором поляризации ${{{\mathbf{A}}}_{{1 \bot }}}$ при любом угле падения является чистым: $R_{{11}}^{ \bot } \equiv 1$ (7).
С другой стороны, конверсионное отражение поперечной волны с вектором поляризации ${{{\mathbf{A}}}_{1}} = {{{\mathbf{A}}}_{{1||}}}\cos \varphi + {{{\mathbf{A}}}_{{1 \bot }}}\sin \varphi $ оказывается невозможным, поскольку при отражении обязательно возникает отраженная компонента с вектором поляризации ${{{\mathbf{A}}}_{{1 \bot }}}$.
Автор выражает благодарность В.И. Альшицу за ряд ценных замечаний.
Работа выполнена при поддержке Федерального агентства научных организаций (соглашение № 007-ГЗ/Ч3363/26).
Список литературы
Любимов В.Н., Филиппов В.В. // Акуст. журн. 1980. Т. 26. Вып. 2. С. 225.
Любимов В.Н., Филиппов В.В. // Изв. АН БССР. 1980. Вып. 5. С. 121.
Любимов В.Н., Альшиц В.И. // Кристаллография. 1982. Т. 27. Вып. 5. С. 851.
Любимов В.Н., Бессонов Д.А., Альшиц В.И. // Кристаллография. 2018. Т. 63. № 4. С. 593.
Альшиц В.И., Бессонов Д.А., Любимов В.Н. // Письма в ЖЭТФ. 2017. Т. 106. Вып. 1. С. 45.
Альшиц В.И., Бессонов Д.А., Любимов В.Н. // ЖЭТФ. 2016. Т. 149. Вып. 4. С. 796.
Федоров Ф.И. Теория упругих волн в кристаллах. М.: Наука, 1965. 388 с.
Alshits V.I., Lothe J. // Wave Motion. 1981. V. 3. P. 297.
Lothe J., Wang L. // Wave Motion. 1995. V. 21. P. 163.
Wang L., Lothe J. // Wave Motion. 1992. V. 16. P. 89.
Gundersen S.A., Wang L., Lothe J. // Wave Motion. 1991. V. 14. P. 129.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука, 1965. 204 с.
Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 343 с.
Викторов И.А. // Докл. АН СССР. 1976. Т. 228. Вып. 3. С. 67.
Викторов И.А. // Акуст. журн. 1976. Т. 22. Вып. 5. С. 675.
Любимов В.Н., Бессонов Д.А., Альшиц В.И. // Кристаллография. 2016. Т. 61. Вып. 3. С. 439.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Кристаллография