Кристаллография, 2019, T. 64, № 3, стр. 386-392

Вырожденные отражения в акустике твердых тел. II. Ромбические кристаллы

В. Н. Любимов 1*

1 Институт кристаллографии им. А.В. Шубникова ФНИЦ “Кристаллография и фотоника” РАН
Москва, Россия

* E-mail: lyubvn36@mail.ru

Поступила в редакцию 01.03.2018
После доработки 01.03.2018
Принята к публикации 15.03.2018

Полный текст (PDF)

Аннотация

Анализируются условия, когда при некотором угле падения объемная акустическая волна в кристалле, отражаясь от его границы с вакуумом, порождает не три отраженные объемные волны, как в общем случае, а две или одну. Такие вырожденные отражения рассмотрены на примере ромбических кристаллов.

ВВЕДЕНИЕ

Когда акустическая объемная волна в кристалле отражается от его границы с вакуумом, возникает несколько отраженных волн. Здесь возможен ряд вариантов: три отраженные объемные волны; две отраженные объемные и одна сопутствующая волна, локализованная у границы; одна отраженная объемная и две локализованные волны.

Отметим, что только объемные парциальные волны являются отраженными. Это становится очевидным, если вспомнить о том, что физический образ плоской волны реализуется в виде акустического пучка с шириной, значительно превышающей длину волны. Таким образом, локализованная парциальная волна присутствует только в окрестности акустического “пятна” на поверхности, где она обеспечивает выполнение граничных условий всей суперпозицией волн, и к отражению, т.е. отводу энергии от границы, прямого отношения не имеет. Следовательно, среди парциальных волн должна существовать хотя бы одна объемная отраженная волна.

Реализуемость конкретного варианта с определенным числом отраженных волн зависит от симметрии кристалла, его упругой анизотропии, геометрии распространения (ориентации границы, направления падающей волны) и акустической ветви, к которой принадлежит падающая волна. При определенных сочетаниях этих факторов амплитуда одной из отраженных объемных волн может оказаться нулевой. Отражение оказывается вырожденным – в качестве отраженных могут быть две объемные волны, одна объемная вместе с локализованной и, наконец, одна объемная. Такие отражения в кубических кристаллах рассматривались в [1, 2], а в гексагональных – в [3]. Исследовались также варианты, при которых падающая волна порождает отраженную объемную волну, близкую к собственной моде, – особой объемной волне. При этом в условиях близости направления распространения отраженной волны к поверхности кристалла удается сконцентрировать всю энергию падающей волны в узком отраженном пучке, которому сопутствует лишь одна локализованная у поверхности волна. Такое отражение является вырожденным [46]. Вне связи с резонансами общая теория отражений в кристаллах произвольной симметрии развита в [711]. Вырожденные отражения существуют и в изотропных средах [1215], с общих позиций описание таких отражений дано в [16].

В настоящей работе рассмотрены вырожденные отражения в анизотропных кристаллах. Общий анализ конкретизирован на примере ромбических кристаллов.

ВАРИАНТЫ ВЫРОЖДЕННЫХ ОТРАЖЕНИЙ В КРИСТАЛЛАХ

При падении на границу кристалла распространяющейся в нем акустической объемной волны ветви α (α = 1, 2, 3) с волновым вектором ${\mathbf{k}}_{{\alpha }}^{i}$ возникают в общем случае три парциальные волны (объемные и локализованные) с волновыми векторами ${\mathbf{k}}_{{\beta }}^{r}$ (β = 1, 2, 3). Соотношение между падающей и отраженными волнами удобно рассматривать, используя понятие поверхности рефракции. Это трехполостная поверхность, образованная концами волновых векторов объемных волн, когда эти векторы сканируют сферу всех возможных направлений распространения [7]. На рис. 1 представлено сечение такой поверхности плоскостью падения.

Рис. 1.

Сечения трех полостей (α = 1, 2, 3) поверхности рефракции кристалла плоскостью падения (xy). В интервале IV приведенных скоростей $\text{v}$ показаны возможные варианты ориентаций вещественных волновых векторов падающих на границу кристалла (${\mathbf{k}}_{{\alpha }}^{i}$) и отраженных от нее (${\mathbf{k}}_{{\beta }}^{r}$) волн.

Ориентация границы кристалла задана единичным вектором нормали к ней n, направление распространения совокупного волнового поля вдоль поверхности – единичным вектором m (mn). Число объемных волн, отраженных от свободной границы кристалла, зависит от той области (IIV) поверхности медленностей, в которую попадает приведенная скорость $\text{v}$:

(1)
$\text{v} = {\omega /}k,\quad k = {\mathbf{k}}_{{\alpha }}^{i} \cdot {\mathbf{m}} = {\mathbf{k}}_{{\beta }}^{r} \cdot {\mathbf{m}},$
здесь ${\omega }$ – частота. Границы между областями I, II, III, IV на рис. 1 определяются значениями предельных скоростей ${{\text{v}}_{{L{\alpha }}}}$. Каждой такой скорости отвечает вертикальная касательная (параллельная n) к соответствующей линии медленностей в рассматриваемом сечении. Как вытекает из уравнений движения и граничных условий для свободной поверхности кристалла, каждому значению скорости $\text{v}$ отвечают в общем случае шесть различных волновых векторов. Конечно, единственную падающую волну α надлежит выбрать из трех возможных, так что суперпозиция отражения будет включать в себя не более четырех парциальных волн, а в исследуемых случаях вырождения – даже меньше.

В области IV (${\text{0}} < {{\text{v}}^{{ - 1}}} \leqslant \text{v}_{{L3}}^{{ - 1}}$) все волновые векторы вещественные. При этом векторы ${\mathbf{k}}_{{\alpha }}^{{i,r}}$ и совокупное волновое поле ${\mathbf{u}}(x,{\text{ }}y,{\text{ }}t)$ как функцию координат x, y и времени t можно представить в следующей форме:

(2)
$\begin{gathered} {\mathbf{k}}_{{\alpha }}^{{i,r}} = k({\mathbf{m}} + p_{{\alpha }}^{{i,r}}{\mathbf{n}}), \\ {\mathbf{u}}(x,y,t) = {\mathbf{A}}(y)\exp [ik(x - \text{v}t)], \\ {\mathbf{A}}(y) = C_{{\alpha }}^{i}{\mathbf{A}}_{{\alpha }}^{i}\exp (ikp_{{\alpha }}^{i}y) + \sum\limits_{{\beta } = 1}^3 {C_{{\beta }}^{r}{\mathbf{A}}_{{\beta }}^{r}\exp (ikp_{{\beta }}^{r}y),} \\ p_{{\alpha }}^{{i,r}} = {\mathbf{k}}_{{\alpha }}^{{i,r}} \cdot {\mathbf{n}}{\text{/}}k,\quad {\alpha ,\beta } = 1,2,3. \\ \end{gathered} $
Нормированные амплитуды ${\mathbf{A}}_{{\alpha }}^{{i,r}}(\text{v})$ и вещественные параметры $p_{{\alpha }}^{{i,r}}(\text{v})$ находятся из стандартных уравнений движения [7, 12, 13] как функции приведенной скорости $\text{v}$, от которой зависят углы падения и отражения $\angle ({\mathbf{k}}_{{\alpha }}^{{i,r}},{\mathbf{m}}) = {\text{arctg[}}p_{{\alpha }}^{{i,r}}(\text{v}){\text{]}}$. Амплитудные коэффициенты $C_{{\alpha }}^{i}$ и $C_{{\beta }}^{r}$ в (2) связаны между собой условием отсутствия силы, действующей на границу кристалла со стороны парциальных волн:
(3)
$\begin{gathered} C_{{\alpha }}^{i}{\mathbf{L}}_{{\alpha }}^{i} + C_{{\text{1}}}^{r}{\mathbf{L}}_{{\text{1}}}^{r} + C_{{\text{2}}}^{r}{\mathbf{L}}_{{\text{2}}}^{r} + C_{{\text{3}}}^{r}{\mathbf{L}}_{{\text{3}}}^{r} = 0, \\ {{({\mathbf{L}}_{{\beta }}^{{i,r}})}_{j}} = - {{c}_{{iqkl}}}{{n}_{q}}({{m}_{k}} + p_{{\beta }}^{{i,r}}{{n}_{k}}){{(A_{{\beta }}^{{i,r}})}_{l}}. \\ \end{gathered} $
Здесь ${\mathbf{L}}_{{\alpha }}^{{i,r}}(\text{v})$ – силы, созданные отдельными парциальными волнами на границе y = 0, ${{c}_{{ijkl}}}$ – модули упругости кристалла.

Используя амплитуды отраженных волн при падении на границу кристалла любой объемной волны ветви α с параметрами $C_{{\alpha }}^{i}$, ${\mathbf{k}}_{{\alpha }}^{i}$, ${\mathbf{L}}_{{\alpha }}^{i}$, получим следующие коэффициенты отражения [17]:

${{R}_{{1{\alpha }}}}(\text{v}) = \frac{{C_{1}^{r}}}{{C_{{\alpha }}^{i}}} = - \frac{{[{\mathbf{L}}_{{\alpha }}^{i}{\mathbf{L}}_{2}^{r}{\mathbf{L}}_{3}^{r}]}}{{[{\mathbf{L}}_{1}^{r}{\mathbf{L}}_{2}^{r}{\mathbf{L}}_{3}^{r}]}},$
(4)
${{R}_{{2{\alpha }}}}(\text{v}) = \frac{{C_{2}^{r}}}{{C_{{\alpha }}^{i}}} = - \frac{{[{\mathbf{L}}_{1}^{r}{\mathbf{L}}_{{\alpha }}^{i}{\mathbf{L}}_{3}^{r}]}}{{[{\mathbf{L}}_{1}^{r}{\mathbf{L}}_{2}^{r}{\mathbf{L}}_{3}^{r}]}},$
${{R}_{{3{\alpha }}}}(\text{v}) = \frac{{C_{3}^{r}}}{{C_{{\alpha }}^{i}}} = - \frac{{[{\mathbf{L}}_{1}^{r}{\mathbf{L}}_{2}^{r}{\mathbf{L}}_{{\alpha }}^{i}]}}{{[{\mathbf{L}}_{1}^{r}{\mathbf{L}}_{2}^{r}{\mathbf{L}}_{3}^{r}]}},$
где $\text{v}$ – параметр, изменяющийся в границах области IV. Поскольку падающая волна может принадлежать любой из трех ветвей α, соотношения (4) описывают девять различных коэффициентов отражения.

Рассмотрим случай, когда при падении на границу кристалла волны ветви α с волновым вектором ${\mathbf{k}}_{{\alpha }}^{i}$ отраженных волн не три, а две. Это означает обращение в ноль одного из коэффициентов (4) при некоторой скорости $\text{v} = {{\text{v}}_{{\text{0}}}}$. Например, требование $C_{1}^{r} = 0$ в соотношениях (4) означает, что ${{R}_{{1{\alpha }}}}({{\text{v}}_{{\text{0}}}}) = 0$, откуда следует соотношение

(5)
${{[{\mathbf{L}}_{{\alpha }}^{i}{\mathbf{L}}_{2}^{r}{\mathbf{L}}_{3}^{r}]}_{{{{\text{v}}_{0}}}}} = 0.$
При скорости ${{\text{v}}_{{\text{0}}}}$, определенной этим соотношением, отраженными будут только две объемные волны, для которых $C_{2}^{r}{{,}_{{}}}C_{3}^{r} \ne 0$. Скорость ${{\text{v}}_{{\text{0}}}}$ задает при этом ориентации волновых векторов всех волн, участвующих в рассматриваемом трехпарциальном отражении. Однако, поскольку гарантий существования такого решения нет, следует анализировать каждый кристалл отдельно, конкретизируя его модули упругости и геометрию распространения.

Рассмотрим возможность формирования подобного вырожденного отражения для всех коэффициентов (4). Возникающие при этом варианты можно разбить на две группы. Во-первых, это шесть отражений, в которых среди отраженных парциальных волн присутствует волна той же ветви, что и падающая:

(6)
$\begin{gathered} {{({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{i},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{1}^{r},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{{\text{2}}}^{r})}_{{{{\text{v}}_{0}}}}},\quad {{({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{i},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{1}^{r},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{{\text{3}}}^{r})}_{{{{\text{v}}_{0}}}}},\quad {{({\mathbf{k}}_{{\text{2}}}^{i},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{2}^{r},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{{\text{3}}}^{r})}_{{{{\text{v}}_{0}}}}}, \\ {{({\mathbf{k}}_{{\text{2}}}^{i},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{2}^{r},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{r})}_{{{{\text{v}}_{0}}}}},\quad {{({\mathbf{k}}_{{\text{3}}}^{i},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{3}^{r},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{r})}_{{{{\text{v}}_{0}}}}},\quad {{({\mathbf{k}}_{{\text{3}}}^{i},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{3}^{r},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{{\text{2}}}^{r})}_{{{{\text{v}}_{0}}}}}. \\ \end{gathered} $
Во-вторых, это три отражения, в которых среди отраженных волн не присутствуют парциальные волны той ветви, к которой принадлежит падающая волна:
(7)
${{({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{i},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{2}^{r},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{3}^{r})}_{{{{\text{v}}_{0}}}}},\quad {{({\mathbf{k}}_{{\text{2}}}^{i},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{3}^{r},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{1}^{r})}_{{{{\text{v}}_{0}}}}},\quad {{({\mathbf{k}}_{{\text{3}}}^{i},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{1}^{r},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{2}^{r})}_{{{{\text{v}}_{0}}}}}.$
При ${{\text{v}}^{{ - 1}}} = \text{v}_{{L3}}^{{ - 1}}$ возникает вырождение: ${\mathbf{k}}_{{\text{3}}}^{i} = {\mathbf{k}}_{{\text{3}}}^{r}$, $p_{{\text{3}}}^{i} = p_{{\text{3}}}^{r}$, а при переходе в область III ($\text{v}_{{L3}}^{{ - 1}} < {{\text{v}}^{{ - {\text{1}}}}} \leqslant $ $ \leqslant \;\text{v}_{{L2}}^{{ - 1}}$) эта вырожденная пара вещественных векторов превращается в комплексно сопряженную пару, поскольку теперь $p_{{\text{3}}}^{i} = p_{{\text{3}}}^{r} \to p_{3}^{'} \pm ip_{3}^{{''}}$. При этом следует выбирать тот комплексный вектор ${{{\mathbf{k}}}_{3}}$, мнимая часть которого отвечает убыванию интенсивности соответствующей парциальной волны при удалении от границы в глубь кристалла. В области III парциальные волны ветвей α = 1, 2 остаются объемными. В качестве падающей волны здесь может быть любая из двух объемных парциальных волн с волновыми векторами ${\mathbf{k}}_{1}^{i}$ и ${\mathbf{k}}_{2}^{i}$. Отраженными объемными волнами могут быть парциальные волны тех же двух ветвей. При этом в соотношениях (6) остаются четыре комбинации:
(8)
${{({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{i},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{1}^{r},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{{\text{2}}}^{r})}_{{{{\text{v}}_{0}}}}},\quad {{({\mathbf{k}}_{{\text{2}}}^{i},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{2}^{r},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{r})}_{{{{\text{v}}_{0}}}}},$
(9)
${{({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{i},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{1}^{r},{\text{ }}{{{\mathbf{k}}}_{3}})}_{{{{\text{v}}_{0}}}}},\quad {{({\mathbf{k}}_{{\text{2}}}^{i},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{2}^{r},{\text{ }}{{{\mathbf{k}}}_{3}})}_{{{{\text{v}}_{0}}}}},$
в соотношениях (7) – две комбинации:
(10)
${{({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{i},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{2}^{r},{\text{ }}{{{\mathbf{k}}}_{3}})}_{{{{\text{v}}_{0}}}}},\quad {{({\mathbf{k}}_{{\text{2}}}^{i},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{1}^{r},{\text{ }}{{{\mathbf{k}}}_{3}})}_{{{{\text{v}}_{0}}}}}.$
В соотношениях (8) падающая волна порождает две объемные отраженные волны, в (9) и (10) – одну объемную волну, сопровождаемую локализованной компонентой. В (9) падающая и отраженная объемные волны принадлежат одной и той же акустической ветви, т.е. это случаи чистых отражений, а в (10) они принадлежат разным акустическим ветвям – это случаи конверсионных отражений.

При ${{\text{v}}^{{ - 1}}} = \text{v}_{{L2}}^{{ - 1}}$ возникает новое вырождение: ${\mathbf{k}}_{{\text{2}}}^{i} = {\mathbf{k}}_{{\text{2}}}^{r}$, $p_{{\text{2}}}^{i} = p_{{\text{2}}}^{r}$, а при переходе в область II ($\text{v}_{{L2}}^{{ - 1}} < \text{v}_{{}}^{{ - 1}} \leqslant \text{v}_{{L1}}^{{ - 1}}$) эта вырожденная пара вещественных векторов превращается в комплексно сопряженную пару, поскольку теперь $p_{{\text{2}}}^{i} = p_{{\text{2}}}^{r} \to p_{2}^{'} \pm ip_{2}^{{''}}$. Как и выше, сохраняем лишь тот комплексный вектор ${{{\mathbf{k}}}_{2}}$, мнимая часть которого отвечает убыванию интенсивности соответствующей парциальной волны при удалении от поверхности в глубь кристалла. Таким образом, в области II вещественными остаются волновые векторы ${\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{i}$ и ${\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{r}$ ветви α = 1. Ветвям α = 2, 3 отвечают комплексные векторы ${{{\mathbf{k}}}_{2}}$ и ${{{\mathbf{k}}}_{3}}$. В данной области возможны только две различные трехпарциальные комбинации, которые отвечают чистым отражениям:

(11)
${{({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{i},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{1}^{r},{\text{ }}{{{\mathbf{k}}}_{2}})}_{{{{\text{v}}_{0}}}}},\quad {{({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{i},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{1}^{r},{\text{ }}{{{\mathbf{k}}}_{3}})}_{{{{\text{v}}_{0}}}}}.$
Эти варианты отличаются друг от друга лишь локализованными у поверхности кристалла компонентами. При варьировании значений параметра $\text{v}$ в области II, когда отражение уже не является вырожденным ${\text{(}}\text{v} \ne {{\text{v}}_{{\text{0}}}})$, падающая волна порождает объемную отраженную волну той же ветви, что и падающая, и две локализованные у поверхности волны ветвей α = 2, 3. Такое отличие от вырожденного отражения не является принципиальным.

На правой границе области II ($\text{v}_{{}}^{{ - 1}} = \text{v}_{{L1}}^{{ - 1}}$) имеем ${\mathbf{k}}_{1}^{i} = {\mathbf{k}}_{1}^{r}$, а при переходе в область I ($\text{v}_{{L1}}^{{ - 1}} \leqslant {\text{ }}\text{v}_{{}}^{{ - 1}}$) волновые векторы всех трех ветвей комплексны. Объемные волны здесь невозможны. Реализуются лишь локализованные волновые поля, формирующие рэлеевскую волну, скорость которой находится из условия

(12)
${{\left[ {{{{\mathbf{L}}}_{1}}{{{\mathbf{L}}}_{2}}{{{\mathbf{L}}}_{3}}} \right]}_{{{{\text{v}}_{R}}}}} = 0.$
Наличие решения для скорости $\text{v} = {{\text{v}}_{R}}$ ($\text{v}_{{L1}}^{{ - 1}} < \text{v}_{R}^{{ - 1}}$) гарантировано теоремами существования и единственности [1820].

ВЫРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯ В РОМБИЧЕСКИХ КРИСТАЛЛАХ

Рассматривая отражения в ромбических кристаллах, будем использовать стандартную кристаллографическую систему координат, оси которой $x$, $y$, $z$ направлены вдоль осей симметрии 2. Такие кристаллы характеризуются девятью независимыми модулями упругости [7]:

(13)
${{c}_{{11}}},\;{{c}_{{22}}},\;{{c}_{{33}}},\;{{c}_{{12}}},\;{{c}_{{13}}},\;{{c}_{{23}}},\;{{c}_{{44}}},\;{{c}_{{55}}},\;{{c}_{{66}}}.$
Выберем в качестве поверхности кристалла и плоскости падения координатные плоскости (xz) и (xy) соответственно. Для такой симметричной геометрии распространения на рис. 2 представлено сечение поверхности рефракции плоскостью падения. На рис. 2 не показана отщепившаяся чисто поперечная SH-волна (α = 3), для которой вектор поляризации ${\mathbf{A}}_{3}^{i} = {\mathbf{A}}_{3}^{r} = (0,0,1)$ ортогонален плоскости падения. В континуальной области изменения приведенной скорости $0 < \text{v} \leqslant \text{v}_{{L3}}^{{ - 1}}$, ${\rho }\text{v}_{{L3}}^{{\text{2}}} = {{c}_{{55}}}$ (здесь ${\rho }$ – плотность кристалла) происходит чистое отражение данной объемной волны:
(14)
$\begin{gathered} {\mathbf{k}}_{{\text{3}}}^{{i,r}} = k({\mathbf{m}} \mp {{p}_{3}}{\mathbf{n}}), \\ {{p}_{3}}{\text{(}}{{\text{v}}^{2}}) = \sqrt {{\text{(}}{{\text{v}}^{2}} - \text{v}_{{L3}}^{2}){\text{/}}({{c}_{{44}}}{/\rho })} , \\ C_{3}^{r} = C_{3}^{i}{{R}_{{{\text{33}}}}}(\text{v}) \equiv 1. \\ \end{gathered} $
При ${{\text{v}}^{2}} = \text{v}_{{L3}}^{2}$, когда ${{p}_{3}} = 0{{,}_{{}}}$ имеем ${\mathbf{k}}_{{\text{3}}}^{i} = {\mathbf{k}}_{{\text{3}}}^{r} = k{\mathbf{m}}$ – вдоль границы распространяется особая объемная волна, удовлетворяющая граничным условиям.

Рис. 2.

Схемы вырожденных отражений в ромбических кристаллах. Показаны сечения двух полостей (α = 1, 2) поверхности рефракции плоскостью падения (xy); ${{\text{v}}_{{L{\alpha }}}}$ – скорости предельных волн, ${{({\mathbf{k}}_{1}^{i},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{1}^{r})}_{{{{\text{v}}_{0}}}}}$ – чистое отражение, ${{({\mathbf{k}}_{1}^{i},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{2}^{r})}_{{{{\text{v}}_{{\text{I}}}}}}}$, ${{({\mathbf{k}}_{2}^{i},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{1}^{r})}_{{{{\text{v}}_{{\text{I}}}}}}}$ – конверсионные отражения.

Парциальные волны двух других акустических ветвей (α = 1, 2) имеют векторы поляризации, лежащие в плоскости падения (xy). Поскольку при рассматриваемой геометрии распространения SH-волна отщепилась, на рис. 2 теперь три различных области изменения скорости $\text{v}$ (I, II, III), а не четыре, как в более общем случае, представленном на рис. 1.

В области III, когда ${\text{0}} < {{\text{v}}^{{ - 1}}} \leqslant \text{v}_{{L2}}^{{ - 1}}$, ${\rho }\text{v}_{{L2}}^{{\text{2}}} = {{c}_{{11}}}$ (далее будем считать, как обычно, ${{c}_{{{\text{11}}}}} > {{c}_{{66}}}$), волновые векторы рассматриваемых двух ветвей α = 1, 2 вещественны. Здесь векторы ${\mathbf{k}}_{{\alpha }}^{{i,r}}$ и ${\mathbf{A}}_{{\alpha }}^{{i,r}}$ задаются соотношениями

(15)
$\begin{gathered} {\mathbf{k}}_{{\alpha }}^{{i,r}} = (1,\;\mu {{p}_{{\alpha }}},\;0)k\quad {(\alpha } = 1,2), \\ {\mathbf{A}}_{{\alpha }}^{{i,r}}\,||\,\{ {\rho }{{\text{v}}^{2}} - {{c}_{{22}}}p_{{\alpha }}^{2} - {{c}_{{66}}},\; \mp {\kern 1pt} ({{c}_{{12}}} + {{c}_{{66}}}){{p}_{{\alpha }}},\;0\} . \\ \end{gathered} $
Для дальнейшего анализа вместо $\text{v}$ и ${{c}_{{{\alpha \beta }}}}$ удобно ввести безразмерные параметры
(16)
$\begin{gathered} { \rho }{{\text{v}}^{2}}{\text{/}}{{c}_{{{\text{66}}}}} = {{{\xi }}^{{\text{2}}}}{\text{,}} \hfill \\ {\text{ }}{{c}_{{66}}}{\text{/}}{{c}_{{22}}} = {{a}_{1}},\quad {{c}_{{11}}}{\text{/}}{{c}_{{22}}} = {{a}_{2}},\quad {{c}_{{12}}}{\text{/}}{{c}_{{22}}} = {{a}_{3}}. \hfill \\ \end{gathered} $
Запишем компоненты ${{p}_{{\alpha }}}$, входящие в (15), как функции параметров (16):
(17)
${{p}_{{1,2}}}({{{\xi }}^{2}},{{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}}) = \sqrt {( - P \pm \sqrt {{{P}^{2}} - 4Q} ){\text{/}}2} ,$
где введены обозначения
(18)
$\begin{gathered} Q({{{\xi }}^{2}}) = ({{{\xi }}^{2}} - 1)({{{\xi }}^{2}}{{a}_{1}} - {{a}_{2}}), \\ - P({{{\xi }}^{2}}) = {{{\xi }}^{2}}({{a}_{1}} + 1) + g{\text{,}} \\ g = (a_{3}^{2} + 2{{a}_{1}}{{a}_{3}} - {{a}_{2}}){\text{/}}{{a}_{1}}. \\ \end{gathered} $
Выпуклость всех кривых медленностей на рис. 2 обеспечивается требованием
(19)
${{\left. { - P} \right|}_{{{{{\xi }}^{2}} = 1}}} = \frac{{[{{{({{a}_{1}} + {{a}_{3}})}}^{2}} + {{a}_{1}}] - {{a}_{2}}}}{{{{a}_{1}}}} < 0.$
При обратном знаке этого неравенства на внешней кривой медленностей возникают экстремумы.

В каждом отражении для акустических ветвей α = 1, 2 (когда $\text{v}$ – континуальный параметр) теперь участвуют три парциальные волны – падающая и две отраженные. Тогда по аналогии с (3) имеем

(20)
$C_{{\alpha }}^{i}{\mathbf{L}}_{{\alpha }}^{i} + C_{1}^{r}{\mathbf{L}}_{1}^{r} + C_{2}^{r}{\mathbf{L}}_{2}^{r} = 0,$
(21)
$\begin{gathered} {\mathbf{L}}_{{\alpha }}^{{i,r}} \equiv {\mathbf{L}}_{{\alpha }}^{{i,r}}(p_{{\alpha }}^{{i,r}}),\quad p_{{\alpha }}^{{i,r}} = \mu {{p}_{{\alpha }}}({{{\xi }}^{2}}), \\ {\mathbf{L}}_{{\alpha }}^{{i,r}}\,||\,\{ \mu {{p}_{{\alpha }}}( - p_{{\alpha }}^{2} + {{a}_{1}}{{{\xi }}^{2}} + {{a}_{3}}),\;p_{{\alpha }}^{2} + {{a}_{3}}({{{\xi }}^{2}} - 1),\;0\} . \\ \end{gathered} $
Коэффициенты отражения принимают вид
(22)
$\begin{gathered} {{R}_{{1{\alpha }}}}(\text{v}) = \frac{{C_{1}^{r}}}{{C_{{\alpha }}^{i}}} = - \frac{{[{\mathbf{L}}_{{\alpha }}^{i} \times {\mathbf{L}}_{2}^{r}]}}{{[{\mathbf{L}}_{1}^{r} \times {\mathbf{L}}_{2}^{r}]}}, \\ {{R}_{{2{\alpha }}}}(\text{v}) = \frac{{C_{3}^{r}}}{{C_{{\alpha }}^{i}}} = - \frac{{[{\mathbf{L}}_{1}^{r} \times {\mathbf{L}}_{{\alpha }}^{i}]}}{{[{\mathbf{L}}_{1}^{r} \times {\mathbf{L}}_{2}^{r}]}}. \\ \end{gathered} $
Поскольку здесь α = 1, 2, данные соотношения описывают четыре коэффициента отражения. Если потребовать, чтобы при отражении возникала лишь одна отраженная волна, то для чистых отражений, как вытекает из (22), оказываются возможными следующие варианты:
(23)
$\begin{gathered} {{({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{i},{\mathbf{k}}_{1}^{r})}_{{{{\text{v}}_{0}}}}},\quad {{R}_{{11}}}\, \ne \,0,\quad {{R}_{{21}}}\, = \,[{\mathbf{L}}_{1}^{r}(p_{1}^{r})\, \times \,{\mathbf{L}}_{{\text{1}}}^{i}(p_{{\text{1}}}^{i})]\, = \,0, \\ {{({\mathbf{k}}_{{\text{2}}}^{i},{\mathbf{k}}_{2}^{r})}_{{{{\text{v}}_{0}}}}},\quad {{R}_{{22}}}\, \ne \,0,\quad {{R}_{{12}}}\, = \,[{\mathbf{L}}_{{\text{2}}}^{i}(p_{{\text{2}}}^{i})\, \times \,{\mathbf{L}}_{2}^{r}(p_{2}^{r})]\, = \,0. \\ \end{gathered} $
Оказалось, что оба варианта (23) приводят к одному и тому же результату, определяя параметр ${ \xi }_{{\text{0}}}^{{\text{2}}}$, отвечающий чистым отражениям как в ветви ${\alpha } = 1$, так и в ветви ${\alpha } = 2$:
(24)
$\begin{gathered} {\xi }_{{\text{0}}}^{{\text{2}}} = \frac{{{\rho }\text{v}_{0}^{2}}}{{{{c}_{{66}}}}} = \frac{A}{{{{a}_{3}} + 1}}, \\ A = ({{a}_{2}} - a_{3}^{2}){\text{/}}{{a}_{1}} = {\text{ }}({{c}_{{11}}}{{c}_{{22}}} - c_{{12}}^{2}){\text{/}}{{c}_{{22}}}{{c}_{{66}}}. \\ \end{gathered} $
Эти соотношения описывают поверхность в пространстве параметров (${\xi }_{{\text{0}}}^{{\text{2}}}$, ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, ${{a}_{3}}$) или (${\xi }_{{\text{0}}}^{{\text{2}}}$, $A$, ${{a}_{3}}$):
(25)
${\xi }_{{\text{0}}}^{{\text{2}}} = {\xi }_{{\text{0}}}^{{\text{2}}}({{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}}) = {\xi }_{{\text{0}}}^{{\text{2}}}(A,{{a}_{3}}).$
Вследствие условий устойчивости [7] заведомо $A > 0$, тогда решение (24) существует при условии
(26)
${{a}_{3}}{\text{ }} + {\text{ }}1 > 0\quad ({{c}_{{12}}} + {\text{ }}{{c}_{{22}}} > 0).$
Это условие может быть нарушено лишь в экзотических случаях, поскольку всегда ${{c}_{{22}}} > 0$ [7] и обычно ${{c}_{{12}}} > 0$.

В пределе перехода к изотропной среде вместо девяти независимых модулей упругости (13) ромбического кристалла остаются независимыми лишь два модуля – ${{c}_{{11}}}$ и ${{c}_{{66}}}$:

(27)
$\begin{gathered} {{c}_{{11}}} = {{c}_{{22}}} = {{c}_{{33}}},\quad {{c}_{{12}}} = {{c}_{{13}}} = {{c}_{{23}}} = {{c}_{{11}}} - 2{{c}_{{66}}}, \\ {{c}_{{44}}} = {{c}_{{55}}} = {{c}_{{66}}}. \\ \end{gathered} $
При этом результат (24) существенно упрощается:
(28)
${\xi }_{{\text{0}}}^{{\text{2}}} = {\rho }\text{v}_{0}^{2}{\text{/}}{{c}_{{66}}} = 2.$
Этот предельный вариант непосредственно рассматривался в [16].

Для конверсионных отражений из формул (22) вытекают следующие варианты:

(29)
$\begin{gathered} {{({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{i},{\mathbf{k}}_{2}^{r})}_{{{{\text{v}}_{0}}}}},\quad {{R}_{{31}}}\, \ne \,0,\quad {{R}_{{11}}}\, = \,[{\mathbf{L}}_{1}^{i}(p_{1}^{i})\, \times \,{\mathbf{L}}_{2}^{r}(p_{2}^{r})]\, = \,0, \\ {{({\mathbf{k}}_{{\text{2}}}^{i},{\mathbf{k}}_{1}^{r})}_{{{{\text{v}}_{0}}}}},\quad {{R}_{{12}}}\, \ne \,0,\quad {{R}_{{22}}}\, = \,[{\mathbf{L}}_{1}^{r}(p_{1}^{r}) \times {\mathbf{L}}_{{\text{2}}}^{i}(p_{{\text{2}}}^{i})]\, = \,0. \\ \end{gathered} $
Оба варианта приводят к одному и тому же уравнению, из которого определяется параметр ${{{\xi }}^{{\text{2}}}} = $ $ = \;{\rho }{{\text{v}}^{2}}{\text{/}}{{{\text{c}}}_{{{\text{66}}}}}$:
(30)
${{{\xi }}^{2}}\left( {1 - \sqrt {\frac{{{{a}_{1}}{{{\xi }}^{2}} - {{a}_{2}}}}{{{{{\xi }}^{2}} - 1}}} } \right) = A.$
Это уравнение справедливо не только в области III. При замене в исходных соотношениях (29) $p_{1}^{{i,r}} \to ip_{1}^{{''}},$ $p_{2}^{{i,r}} \to ip_{2}^{{''}}$ (параметры $p_{{\alpha }}^{{i,r}}$ здесь мнимые) уравнение (30) остается справедливым в области I. Оно справедливо и тогда, когда внешняя кривая рефракции на рис. 2 имеет экстремумы. В этом случае речь идет о волновых полях, локализованных у границы кристалла, – рэлеевских волнах. Другими словами, уравнение (30) описывает как конверсионные отражения, так и рэлеевские волны.

Освобождаясь от иррациональностей в уравнении (30), сводим его к полиномиальной форме – бикубическому уравнению для параметра ${{{\xi }}^{2}}$:

(31)
$a{{{\xi }}^{6}} + b{{{\xi }}^{4}} + c{{{\xi }}^{2}} + d = 0.$
Коэффициенты $a$, $b$, $c$, $d$ выражаются через параметры ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $A$:
(32)
$\begin{gathered} a = 1 - {{a}_{1}},\quad b = {{a}_{2}} - 1 - 2A, \\ c = A(A + 2),\quad d = - {{A}^{2}}. \\ \end{gathered} $
В пределе изотропной среды (28) уравнение (31) сводится к классическому соотношению [7, 12, 13]:
(33)
$\begin{gathered} {\text{ }}{{{\xi }}^{6}} - 8{{{\xi }}^{4}} + 8(3 - 2{\kappa }){{{\xi }}^{2}} - \\ - \;16(1 - {\kappa }) = 0\quad ({\kappa } = {{с }_{{66}}}{\text{/}}{{с }_{{11}}}). \\ \end{gathered} $
Заключения о характере трех корней ${{{\xi }}^{{\text{2}}}}$ уравнений (31) и (33) могут быть сделаны на основе анализа знака функции $D({{a}_{1}},{{a}_{2}},A)$, которая имеет вид [21]:
(34)
${\text{ }}D({{a}_{1}},{{a}_{2}},A) = {{\left( {\frac{{{{b}^{3}}}}{{27}} - \frac{{abc}}{6} + \frac{{{{a}^{2}}d}}{2}} \right)}^{2}} + {{\left( {\frac{{3ac - {{b}^{2}}}}{9}} \right)}^{3}}.$
Здесь величины $a$, $b$, $c$, $d$ выражаются через параметры ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $A$, согласно (32). При любом знаке функции D один из трех корней уравнений (31) и (33) вещественный и положительный (${\xi }_{R}^{2} > 0$), лежит в области I ($\text{v}_{{L1}}^{{ - 1}} < \text{v}_{R}^{{ - 1}}$рис. 2) и отвечает рэлеевской волне. Теоремы [1820] гарантируют существование такого корня. В области $D \leqslant 0$ другие два корня ${\xi }_{{\text{I}}}^{2}$ и ${\xi }_{{{\text{II}}}}^{2}$ вещественные. Если они положительны, то отвечают конверсионным отражениям. В области $D > 0$ корни ${\xi }_{{\text{I}}}^{2}$ и ${\xi }_{{{\text{II}}}}^{2}$ комплексно сопряженные и отвечают нефизическим решениям. При $D = 0$ из трех действительных корней два совпадают. Таким образом, в пространстве положительных переменных ${{a}_{1}},{{a}_{2}},A > 0$ уравнение $D({{a}_{1}},{{a}_{2}},A) = 0$ определяет поверхность вырождения. В пределе изотропной среды, когда справедливо уравнение (33), точка вырождения корней ${\xi }_{{\text{I}}}^{2} = {\xi }_{{{\text{II}}}}^{2} = {\xi }_{d}^{{\text{2}}}$ на плоскости (${\kappa }$, ${{{\xi }}^{{\text{2}}}}$) отвечает значениям ${\text{(}}{{{\kappa }}_{d}},{\xi }_{d}^{{\text{2}}}) \approx (0.321,\;3.6)$ [13, 1216].

В области II ($\text{v}_{{L2}}^{{ - 1}} < {{\text{v}}^{{ - 1}}} \leqslant \text{v}_{{L1}}^{{ - 1}}$, ${\rho }\text{v}_{{L1}}^{{\text{2}}} = {{c}_{{66}}}$) ветви α = 1 отвечают вещественные векторы ${\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{i}$ и ${\mathbf{k}}_{1}^{r},$ а ветви α = 2 – комплексный вектор ${{{\mathbf{k}}}_{2}}$. Когда величина $\text{v}$ – континуальный параметр, при отражении возникает объемная волна в сопровождении локализованной. Здесь возможен единственный вариант вырожденного отражения:

(35)
${{({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{i},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{1}^{r})}_{{{{\text{v}}_{0}}}}},\quad {{R}_{{11}}} \ne 0,\quad {{R}_{{21}}}({{\text{v}}_{0}}) = 0,$
а вырождение сводится к тому, что исчезает локализованная волна.

ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Полученные соотношения для поверхности кристалла (xz) и направления распространения х совокупного поля в ромбическом кристалле позволяют дать аналогичное описание для другого направления распространения – z – на той же поверхности. Фактически все сводится к переобозначению осей координат ($x \to z$, $z \to - x$) и, как следствие, к изменению индексов модулей упругости:

(36)
$\begin{gathered} {\text{ }}{{{\xi }}^{{\text{2}}}}\, = \,{\rho }{{\text{v}}^{2}}{\text{/}}{{{\text{c}}}_{{{\text{66}}}}}\, \to \,{\rho }{{\text{v}}^{2}}{\text{/}}{{{\text{c}}}_{{{\text{44}}}}},\quad {{a}_{1}}{\text{ }}\, = \,{{c}_{{66}}}{\text{/}}{{c}_{{22}}}\, \to \,{{c}_{{44}}}{\text{/}}{{c}_{{22}}}, \\ {{a}_{2}}\, = \,{{c}_{{11}}}{\text{/}}{{c}_{{22}}}\, \to \,{{c}_{{33}}}{\text{/}}{{c}_{{22}}},\quad {{a}_{3}}\, = \,{{c}_{{12}}}{\text{/}}{{c}_{{22}}}\, \to \,{{c}_{{32}}}{\text{/}}{{c}_{{22}}}. \\ \end{gathered} $
Более того, последовательно используя циклическую перестановку индексов модулей упругости
(37)
$\begin{gathered} 1 \to 2,\quad 2 \to 3,\quad 3 \to 1, \\ 4 \to 5,\quad 5 \to 6,\quad 6 \to 4, \\ \end{gathered} $
получаем соотношения для двух других поверхностей ромбического кристалла (yx) и (zy), причем на каждой из них для двух направлений распространения. В итоге проведенное рассмотрение охватывает шесть неэквивалентных геометрий распространения. В полученных при этом соотношениях в разных комбинациях задействованы все девять модулей упругости (13) ромбических кристаллов.

В таблице 1 приведены конкретные значения ключевых параметров вырожденных отражений для ромбических кристаллов топаза, арагонита и сегнетовой соли. Численные оценки для кристаллов топаза и арагонита (их модули упругости взяты из [22]) показали, что для всех шести вариантов геометрии распространения функция $D({{a}_{1}},{{a}_{2}},A)$ (34) отрицательна. Соответственно здесь реализуются конверсионные отражения. Для кристаллов сегнетовой соли для всех шести геометрий распространения, наоборот, $D({{a}_{1}},{{a}_{2}},A) > 0$ – конверсионные отражения существовать не могут. В то же время условие существования чистых отражений ${{a}_{3}} + 1 > 0$ (26) для исследованных геометрий во всех рассматриваемых кристаллах не нарушено. Скорости ${{\text{v}}_{0}}$, отвечающие таким отражениям, для данных кристаллов попадают в область II. При этом вырождение фактически сводится к ликвидации локализованной у поверхности кристаллов волны.

Таблица 1.  

Значения параметров ${\rho }\text{v}_{0}^{{\text{2}}}$, $\rho \text{v}_{{\text{I}}}^{{\text{2}}}$, ${\rho }\text{v}_{{{\text{II}}}}^{{\text{2}}}$, ${\rho }\text{v}_{R}^{{\text{2}}}$ ряда кристаллов

Кристалл n || m || ${\rho }\text{v}_{0}^{{\text{2}}}$ ${\rho }\text{v}_{{\text{I}}}^{{\text{2}}}$ ${\rho }\text{v}_{{{\text{II}}}}^{{\text{2}}}$ ${\rho }\text{v}_{R}^{{\text{2}}}$
Топаз y x 17.9 31.5 39.2 9.98
z 22.3 31.2 41.8 9.28
z y 26.1 41.5 53.7 8.07
x 20.5 29.2 56.7 10.1
x z 21.2 30.2 62.0 10.3
y 21.3 38.8 58.9 10.4
Арагонит y x 10.1 16.4 29.7 3.60
z 6.91 8.40 19.9 3.17
z y 7.06 8.65 20.8 3.17
x 15.7 16.0 24.1 2.43
x z 8.35 8.47 10.7 2.42
y 6.34 8.93 11.6 3.40
Сегнетова соль y x 1.46     0.78
z 2.04     0.63
z y 2.10     0.63
x 1.62     0.28
x z 2.04     0.28
y 1.89     0.81

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Полученные соотношения позволяют по заданным модулям упругости ромбического кристалла для рассмотренных шести геометрий распространения определить конкретные значения скоростей волн, при которых реализуются чистые и конверсионные отражения, а также распространяются рэлеевские волны.

При определенных соотношениях между модулями упругости полученные выражения переходят в аналогичные соотношения для тетрагональных, гексагональных и кубических кристаллов.

Автор выражает благодарность В.И. Альшицу за ряд полезных советов.

Список литературы

  1. Любимов В.Н., Филиппов В.В. // Акуст. журн. 1980. Т. 26. Вып. 2. С. 225.

  2. Любимов В.Н., Филиппов В.В. // Изв. АН БССР. 1980. Вып. 5. С. 121.

  3. Любимов В.Н., Альшиц В.И. // Кристаллография. 1982. Т. 27. Вып. 5. С. 851.

  4. Любимов В.Н., Бессонов Д.А., Альшиц В.И. // Кристаллография. 2018. Т. 63. № 4. С. 593.

  5. Альшиц В.И., Бессонов Д.А., Любимов В.Н. // Письма в ЖЭТФ. 2017. Т. 106. Вып. 1. С. 45.

  6. Альшиц В.И., Бессонов Д.А., Любимов В.Н. // ЖЭТФ. 2016. Т. 149. Вып. 4. С. 796.

  7. Федоров Ф.И. Теория упругих волн в кристаллах. М.: Наука, 1965. 388 с.

  8. Alshits V.I., Lothe J. // Wave Motion. 1981. V. 3. P. 297.

  9. Lothe J., Wang L. // Wave Motion. 1995. V. 21. P. 163.

  10. Wang L., Lothe J. // Wave Motion. 1992. V. 16. P. 89.

  11. Gundersen S.A., Wang L., Lothe J. // Wave Motion. 1991. V. 14. P. 129.

  12. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука, 1965. 204 с.

  13. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 343 с.

  14. Викторов И.А. // Докл. АН СССР. 1976. Т. 228. Вып. 3. С. 67.

  15. Викторов И.А. // Акуст. журн. 1976. Т. 22. Вып. 5. С. 675.

  16. Любимов В.Н. // Кристаллография. 2019. Т. 64. № 2. В печати.

  17. Альшиц В.И., Бессонов Д.А., Любимов В.Н. // ЖЭТФ. 2013. Т. 143. Вып. 6. С. 1077.

  18. Barnett D.M., Lothe J. // J. Phys. F: Met. Phys. 1974. V. 4. P. 671.

  19. Lothe J., Barnett D.M. // J. Appl. Phys. 1976. V. 47. P. 428.

  20. Barnett D.M., Lothe J. // Proc. R. Soc. London. A. 1985. V. 402. P. 135.

  21. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М.: Наука, 1981. 723 с.

  22. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. М.: Наука, 1975. 680 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.