Кристаллография, 2019, T. 64, № 3, стр. 386-392
Вырожденные отражения в акустике твердых тел. II. Ромбические кристаллы
1 Институт кристаллографии им. А.В. Шубникова ФНИЦ “Кристаллография и фотоника” РАН
Москва, Россия
* E-mail: lyubvn36@mail.ru
Поступила в редакцию 01.03.2018
После доработки 01.03.2018
Принята к публикации 15.03.2018
Аннотация
Анализируются условия, когда при некотором угле падения объемная акустическая волна в кристалле, отражаясь от его границы с вакуумом, порождает не три отраженные объемные волны, как в общем случае, а две или одну. Такие вырожденные отражения рассмотрены на примере ромбических кристаллов.
ВВЕДЕНИЕ
Когда акустическая объемная волна в кристалле отражается от его границы с вакуумом, возникает несколько отраженных волн. Здесь возможен ряд вариантов: три отраженные объемные волны; две отраженные объемные и одна сопутствующая волна, локализованная у границы; одна отраженная объемная и две локализованные волны.
Отметим, что только объемные парциальные волны являются отраженными. Это становится очевидным, если вспомнить о том, что физический образ плоской волны реализуется в виде акустического пучка с шириной, значительно превышающей длину волны. Таким образом, локализованная парциальная волна присутствует только в окрестности акустического “пятна” на поверхности, где она обеспечивает выполнение граничных условий всей суперпозицией волн, и к отражению, т.е. отводу энергии от границы, прямого отношения не имеет. Следовательно, среди парциальных волн должна существовать хотя бы одна объемная отраженная волна.
Реализуемость конкретного варианта с определенным числом отраженных волн зависит от симметрии кристалла, его упругой анизотропии, геометрии распространения (ориентации границы, направления падающей волны) и акустической ветви, к которой принадлежит падающая волна. При определенных сочетаниях этих факторов амплитуда одной из отраженных объемных волн может оказаться нулевой. Отражение оказывается вырожденным – в качестве отраженных могут быть две объемные волны, одна объемная вместе с локализованной и, наконец, одна объемная. Такие отражения в кубических кристаллах рассматривались в [1, 2], а в гексагональных – в [3]. Исследовались также варианты, при которых падающая волна порождает отраженную объемную волну, близкую к собственной моде, – особой объемной волне. При этом в условиях близости направления распространения отраженной волны к поверхности кристалла удается сконцентрировать всю энергию падающей волны в узком отраженном пучке, которому сопутствует лишь одна локализованная у поверхности волна. Такое отражение является вырожденным [4–6]. Вне связи с резонансами общая теория отражений в кристаллах произвольной симметрии развита в [7–11]. Вырожденные отражения существуют и в изотропных средах [12–15], с общих позиций описание таких отражений дано в [16].
В настоящей работе рассмотрены вырожденные отражения в анизотропных кристаллах. Общий анализ конкретизирован на примере ромбических кристаллов.
ВАРИАНТЫ ВЫРОЖДЕННЫХ ОТРАЖЕНИЙ В КРИСТАЛЛАХ
При падении на границу кристалла распространяющейся в нем акустической объемной волны ветви α (α = 1, 2, 3) с волновым вектором ${\mathbf{k}}_{{\alpha }}^{i}$ возникают в общем случае три парциальные волны (объемные и локализованные) с волновыми векторами ${\mathbf{k}}_{{\beta }}^{r}$ (β = 1, 2, 3). Соотношение между падающей и отраженными волнами удобно рассматривать, используя понятие поверхности рефракции. Это трехполостная поверхность, образованная концами волновых векторов объемных волн, когда эти векторы сканируют сферу всех возможных направлений распространения [7]. На рис. 1 представлено сечение такой поверхности плоскостью падения.
Ориентация границы кристалла задана единичным вектором нормали к ней n, направление распространения совокупного волнового поля вдоль поверхности – единичным вектором m (m ⊥ n). Число объемных волн, отраженных от свободной границы кристалла, зависит от той области (I–IV) поверхности медленностей, в которую попадает приведенная скорость $\text{v}$:
(1)
$\text{v} = {\omega /}k,\quad k = {\mathbf{k}}_{{\alpha }}^{i} \cdot {\mathbf{m}} = {\mathbf{k}}_{{\beta }}^{r} \cdot {\mathbf{m}},$В области IV (${\text{0}} < {{\text{v}}^{{ - 1}}} \leqslant \text{v}_{{L3}}^{{ - 1}}$) все волновые векторы вещественные. При этом векторы ${\mathbf{k}}_{{\alpha }}^{{i,r}}$ и совокупное волновое поле ${\mathbf{u}}(x,{\text{ }}y,{\text{ }}t)$ как функцию координат x, y и времени t можно представить в следующей форме:
(2)
$\begin{gathered} {\mathbf{k}}_{{\alpha }}^{{i,r}} = k({\mathbf{m}} + p_{{\alpha }}^{{i,r}}{\mathbf{n}}), \\ {\mathbf{u}}(x,y,t) = {\mathbf{A}}(y)\exp [ik(x - \text{v}t)], \\ {\mathbf{A}}(y) = C_{{\alpha }}^{i}{\mathbf{A}}_{{\alpha }}^{i}\exp (ikp_{{\alpha }}^{i}y) + \sum\limits_{{\beta } = 1}^3 {C_{{\beta }}^{r}{\mathbf{A}}_{{\beta }}^{r}\exp (ikp_{{\beta }}^{r}y),} \\ p_{{\alpha }}^{{i,r}} = {\mathbf{k}}_{{\alpha }}^{{i,r}} \cdot {\mathbf{n}}{\text{/}}k,\quad {\alpha ,\beta } = 1,2,3. \\ \end{gathered} $(3)
$\begin{gathered} C_{{\alpha }}^{i}{\mathbf{L}}_{{\alpha }}^{i} + C_{{\text{1}}}^{r}{\mathbf{L}}_{{\text{1}}}^{r} + C_{{\text{2}}}^{r}{\mathbf{L}}_{{\text{2}}}^{r} + C_{{\text{3}}}^{r}{\mathbf{L}}_{{\text{3}}}^{r} = 0, \\ {{({\mathbf{L}}_{{\beta }}^{{i,r}})}_{j}} = - {{c}_{{iqkl}}}{{n}_{q}}({{m}_{k}} + p_{{\beta }}^{{i,r}}{{n}_{k}}){{(A_{{\beta }}^{{i,r}})}_{l}}. \\ \end{gathered} $Используя амплитуды отраженных волн при падении на границу кристалла любой объемной волны ветви α с параметрами $C_{{\alpha }}^{i}$, ${\mathbf{k}}_{{\alpha }}^{i}$, ${\mathbf{L}}_{{\alpha }}^{i}$, получим следующие коэффициенты отражения [17]:
(4)
${{R}_{{2{\alpha }}}}(\text{v}) = \frac{{C_{2}^{r}}}{{C_{{\alpha }}^{i}}} = - \frac{{[{\mathbf{L}}_{1}^{r}{\mathbf{L}}_{{\alpha }}^{i}{\mathbf{L}}_{3}^{r}]}}{{[{\mathbf{L}}_{1}^{r}{\mathbf{L}}_{2}^{r}{\mathbf{L}}_{3}^{r}]}},$Рассмотрим случай, когда при падении на границу кристалла волны ветви α с волновым вектором ${\mathbf{k}}_{{\alpha }}^{i}$ отраженных волн не три, а две. Это означает обращение в ноль одного из коэффициентов (4) при некоторой скорости $\text{v} = {{\text{v}}_{{\text{0}}}}$. Например, требование $C_{1}^{r} = 0$ в соотношениях (4) означает, что ${{R}_{{1{\alpha }}}}({{\text{v}}_{{\text{0}}}}) = 0$, откуда следует соотношение
(5)
${{[{\mathbf{L}}_{{\alpha }}^{i}{\mathbf{L}}_{2}^{r}{\mathbf{L}}_{3}^{r}]}_{{{{\text{v}}_{0}}}}} = 0.$Рассмотрим возможность формирования подобного вырожденного отражения для всех коэффициентов (4). Возникающие при этом варианты можно разбить на две группы. Во-первых, это шесть отражений, в которых среди отраженных парциальных волн присутствует волна той же ветви, что и падающая:
(6)
$\begin{gathered} {{({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{i},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{1}^{r},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{{\text{2}}}^{r})}_{{{{\text{v}}_{0}}}}},\quad {{({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{i},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{1}^{r},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{{\text{3}}}^{r})}_{{{{\text{v}}_{0}}}}},\quad {{({\mathbf{k}}_{{\text{2}}}^{i},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{2}^{r},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{{\text{3}}}^{r})}_{{{{\text{v}}_{0}}}}}, \\ {{({\mathbf{k}}_{{\text{2}}}^{i},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{2}^{r},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{r})}_{{{{\text{v}}_{0}}}}},\quad {{({\mathbf{k}}_{{\text{3}}}^{i},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{3}^{r},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{r})}_{{{{\text{v}}_{0}}}}},\quad {{({\mathbf{k}}_{{\text{3}}}^{i},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{3}^{r},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{{\text{2}}}^{r})}_{{{{\text{v}}_{0}}}}}. \\ \end{gathered} $(7)
${{({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{i},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{2}^{r},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{3}^{r})}_{{{{\text{v}}_{0}}}}},\quad {{({\mathbf{k}}_{{\text{2}}}^{i},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{3}^{r},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{1}^{r})}_{{{{\text{v}}_{0}}}}},\quad {{({\mathbf{k}}_{{\text{3}}}^{i},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{1}^{r},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{2}^{r})}_{{{{\text{v}}_{0}}}}}.$(8)
${{({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{i},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{1}^{r},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{{\text{2}}}^{r})}_{{{{\text{v}}_{0}}}}},\quad {{({\mathbf{k}}_{{\text{2}}}^{i},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{2}^{r},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{r})}_{{{{\text{v}}_{0}}}}},$(9)
${{({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{i},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{1}^{r},{\text{ }}{{{\mathbf{k}}}_{3}})}_{{{{\text{v}}_{0}}}}},\quad {{({\mathbf{k}}_{{\text{2}}}^{i},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{2}^{r},{\text{ }}{{{\mathbf{k}}}_{3}})}_{{{{\text{v}}_{0}}}}},$(10)
${{({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{i},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{2}^{r},{\text{ }}{{{\mathbf{k}}}_{3}})}_{{{{\text{v}}_{0}}}}},\quad {{({\mathbf{k}}_{{\text{2}}}^{i},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{1}^{r},{\text{ }}{{{\mathbf{k}}}_{3}})}_{{{{\text{v}}_{0}}}}}.$При ${{\text{v}}^{{ - 1}}} = \text{v}_{{L2}}^{{ - 1}}$ возникает новое вырождение: ${\mathbf{k}}_{{\text{2}}}^{i} = {\mathbf{k}}_{{\text{2}}}^{r}$, $p_{{\text{2}}}^{i} = p_{{\text{2}}}^{r}$, а при переходе в область II ($\text{v}_{{L2}}^{{ - 1}} < \text{v}_{{}}^{{ - 1}} \leqslant \text{v}_{{L1}}^{{ - 1}}$) эта вырожденная пара вещественных векторов превращается в комплексно сопряженную пару, поскольку теперь $p_{{\text{2}}}^{i} = p_{{\text{2}}}^{r} \to p_{2}^{'} \pm ip_{2}^{{''}}$. Как и выше, сохраняем лишь тот комплексный вектор ${{{\mathbf{k}}}_{2}}$, мнимая часть которого отвечает убыванию интенсивности соответствующей парциальной волны при удалении от поверхности в глубь кристалла. Таким образом, в области II вещественными остаются волновые векторы ${\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{i}$ и ${\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{r}$ ветви α = 1. Ветвям α = 2, 3 отвечают комплексные векторы ${{{\mathbf{k}}}_{2}}$ и ${{{\mathbf{k}}}_{3}}$. В данной области возможны только две различные трехпарциальные комбинации, которые отвечают чистым отражениям:
(11)
${{({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{i},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{1}^{r},{\text{ }}{{{\mathbf{k}}}_{2}})}_{{{{\text{v}}_{0}}}}},\quad {{({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{i},{\text{ }}{\mathbf{k}}_{1}^{r},{\text{ }}{{{\mathbf{k}}}_{3}})}_{{{{\text{v}}_{0}}}}}.$На правой границе области II ($\text{v}_{{}}^{{ - 1}} = \text{v}_{{L1}}^{{ - 1}}$) имеем ${\mathbf{k}}_{1}^{i} = {\mathbf{k}}_{1}^{r}$, а при переходе в область I ($\text{v}_{{L1}}^{{ - 1}} \leqslant {\text{ }}\text{v}_{{}}^{{ - 1}}$) волновые векторы всех трех ветвей комплексны. Объемные волны здесь невозможны. Реализуются лишь локализованные волновые поля, формирующие рэлеевскую волну, скорость которой находится из условия
(12)
${{\left[ {{{{\mathbf{L}}}_{1}}{{{\mathbf{L}}}_{2}}{{{\mathbf{L}}}_{3}}} \right]}_{{{{\text{v}}_{R}}}}} = 0.$ВЫРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯ В РОМБИЧЕСКИХ КРИСТАЛЛАХ
Рассматривая отражения в ромбических кристаллах, будем использовать стандартную кристаллографическую систему координат, оси которой $x$, $y$, $z$ направлены вдоль осей симметрии 2. Такие кристаллы характеризуются девятью независимыми модулями упругости [7]:
(13)
${{c}_{{11}}},\;{{c}_{{22}}},\;{{c}_{{33}}},\;{{c}_{{12}}},\;{{c}_{{13}}},\;{{c}_{{23}}},\;{{c}_{{44}}},\;{{c}_{{55}}},\;{{c}_{{66}}}.$(14)
$\begin{gathered} {\mathbf{k}}_{{\text{3}}}^{{i,r}} = k({\mathbf{m}} \mp {{p}_{3}}{\mathbf{n}}), \\ {{p}_{3}}{\text{(}}{{\text{v}}^{2}}) = \sqrt {{\text{(}}{{\text{v}}^{2}} - \text{v}_{{L3}}^{2}){\text{/}}({{c}_{{44}}}{/\rho })} , \\ C_{3}^{r} = C_{3}^{i}{{R}_{{{\text{33}}}}}(\text{v}) \equiv 1. \\ \end{gathered} $Парциальные волны двух других акустических ветвей (α = 1, 2) имеют векторы поляризации, лежащие в плоскости падения (xy). Поскольку при рассматриваемой геометрии распространения SH-волна отщепилась, на рис. 2 теперь три различных области изменения скорости $\text{v}$ (I, II, III), а не четыре, как в более общем случае, представленном на рис. 1.
В области III, когда ${\text{0}} < {{\text{v}}^{{ - 1}}} \leqslant \text{v}_{{L2}}^{{ - 1}}$, ${\rho }\text{v}_{{L2}}^{{\text{2}}} = {{c}_{{11}}}$ (далее будем считать, как обычно, ${{c}_{{{\text{11}}}}} > {{c}_{{66}}}$), волновые векторы рассматриваемых двух ветвей α = 1, 2 вещественны. Здесь векторы ${\mathbf{k}}_{{\alpha }}^{{i,r}}$ и ${\mathbf{A}}_{{\alpha }}^{{i,r}}$ задаются соотношениями
(15)
$\begin{gathered} {\mathbf{k}}_{{\alpha }}^{{i,r}} = (1,\;\mu {{p}_{{\alpha }}},\;0)k\quad {(\alpha } = 1,2), \\ {\mathbf{A}}_{{\alpha }}^{{i,r}}\,||\,\{ {\rho }{{\text{v}}^{2}} - {{c}_{{22}}}p_{{\alpha }}^{2} - {{c}_{{66}}},\; \mp {\kern 1pt} ({{c}_{{12}}} + {{c}_{{66}}}){{p}_{{\alpha }}},\;0\} . \\ \end{gathered} $(16)
$\begin{gathered} { \rho }{{\text{v}}^{2}}{\text{/}}{{c}_{{{\text{66}}}}} = {{{\xi }}^{{\text{2}}}}{\text{,}} \hfill \\ {\text{ }}{{c}_{{66}}}{\text{/}}{{c}_{{22}}} = {{a}_{1}},\quad {{c}_{{11}}}{\text{/}}{{c}_{{22}}} = {{a}_{2}},\quad {{c}_{{12}}}{\text{/}}{{c}_{{22}}} = {{a}_{3}}. \hfill \\ \end{gathered} $(17)
${{p}_{{1,2}}}({{{\xi }}^{2}},{{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}}) = \sqrt {( - P \pm \sqrt {{{P}^{2}} - 4Q} ){\text{/}}2} ,$(18)
$\begin{gathered} Q({{{\xi }}^{2}}) = ({{{\xi }}^{2}} - 1)({{{\xi }}^{2}}{{a}_{1}} - {{a}_{2}}), \\ - P({{{\xi }}^{2}}) = {{{\xi }}^{2}}({{a}_{1}} + 1) + g{\text{,}} \\ g = (a_{3}^{2} + 2{{a}_{1}}{{a}_{3}} - {{a}_{2}}){\text{/}}{{a}_{1}}. \\ \end{gathered} $(19)
${{\left. { - P} \right|}_{{{{{\xi }}^{2}} = 1}}} = \frac{{[{{{({{a}_{1}} + {{a}_{3}})}}^{2}} + {{a}_{1}}] - {{a}_{2}}}}{{{{a}_{1}}}} < 0.$В каждом отражении для акустических ветвей α = 1, 2 (когда $\text{v}$ – континуальный параметр) теперь участвуют три парциальные волны – падающая и две отраженные. Тогда по аналогии с (3) имеем
(20)
$C_{{\alpha }}^{i}{\mathbf{L}}_{{\alpha }}^{i} + C_{1}^{r}{\mathbf{L}}_{1}^{r} + C_{2}^{r}{\mathbf{L}}_{2}^{r} = 0,$(21)
$\begin{gathered} {\mathbf{L}}_{{\alpha }}^{{i,r}} \equiv {\mathbf{L}}_{{\alpha }}^{{i,r}}(p_{{\alpha }}^{{i,r}}),\quad p_{{\alpha }}^{{i,r}} = \mu {{p}_{{\alpha }}}({{{\xi }}^{2}}), \\ {\mathbf{L}}_{{\alpha }}^{{i,r}}\,||\,\{ \mu {{p}_{{\alpha }}}( - p_{{\alpha }}^{2} + {{a}_{1}}{{{\xi }}^{2}} + {{a}_{3}}),\;p_{{\alpha }}^{2} + {{a}_{3}}({{{\xi }}^{2}} - 1),\;0\} . \\ \end{gathered} $(22)
$\begin{gathered} {{R}_{{1{\alpha }}}}(\text{v}) = \frac{{C_{1}^{r}}}{{C_{{\alpha }}^{i}}} = - \frac{{[{\mathbf{L}}_{{\alpha }}^{i} \times {\mathbf{L}}_{2}^{r}]}}{{[{\mathbf{L}}_{1}^{r} \times {\mathbf{L}}_{2}^{r}]}}, \\ {{R}_{{2{\alpha }}}}(\text{v}) = \frac{{C_{3}^{r}}}{{C_{{\alpha }}^{i}}} = - \frac{{[{\mathbf{L}}_{1}^{r} \times {\mathbf{L}}_{{\alpha }}^{i}]}}{{[{\mathbf{L}}_{1}^{r} \times {\mathbf{L}}_{2}^{r}]}}. \\ \end{gathered} $(23)
$\begin{gathered} {{({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{i},{\mathbf{k}}_{1}^{r})}_{{{{\text{v}}_{0}}}}},\quad {{R}_{{11}}}\, \ne \,0,\quad {{R}_{{21}}}\, = \,[{\mathbf{L}}_{1}^{r}(p_{1}^{r})\, \times \,{\mathbf{L}}_{{\text{1}}}^{i}(p_{{\text{1}}}^{i})]\, = \,0, \\ {{({\mathbf{k}}_{{\text{2}}}^{i},{\mathbf{k}}_{2}^{r})}_{{{{\text{v}}_{0}}}}},\quad {{R}_{{22}}}\, \ne \,0,\quad {{R}_{{12}}}\, = \,[{\mathbf{L}}_{{\text{2}}}^{i}(p_{{\text{2}}}^{i})\, \times \,{\mathbf{L}}_{2}^{r}(p_{2}^{r})]\, = \,0. \\ \end{gathered} $(24)
$\begin{gathered} {\xi }_{{\text{0}}}^{{\text{2}}} = \frac{{{\rho }\text{v}_{0}^{2}}}{{{{c}_{{66}}}}} = \frac{A}{{{{a}_{3}} + 1}}, \\ A = ({{a}_{2}} - a_{3}^{2}){\text{/}}{{a}_{1}} = {\text{ }}({{c}_{{11}}}{{c}_{{22}}} - c_{{12}}^{2}){\text{/}}{{c}_{{22}}}{{c}_{{66}}}. \\ \end{gathered} $(25)
${\xi }_{{\text{0}}}^{{\text{2}}} = {\xi }_{{\text{0}}}^{{\text{2}}}({{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}}) = {\xi }_{{\text{0}}}^{{\text{2}}}(A,{{a}_{3}}).$В пределе перехода к изотропной среде вместо девяти независимых модулей упругости (13) ромбического кристалла остаются независимыми лишь два модуля – ${{c}_{{11}}}$ и ${{c}_{{66}}}$:
(27)
$\begin{gathered} {{c}_{{11}}} = {{c}_{{22}}} = {{c}_{{33}}},\quad {{c}_{{12}}} = {{c}_{{13}}} = {{c}_{{23}}} = {{c}_{{11}}} - 2{{c}_{{66}}}, \\ {{c}_{{44}}} = {{c}_{{55}}} = {{c}_{{66}}}. \\ \end{gathered} $Для конверсионных отражений из формул (22) вытекают следующие варианты:
(29)
$\begin{gathered} {{({\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{i},{\mathbf{k}}_{2}^{r})}_{{{{\text{v}}_{0}}}}},\quad {{R}_{{31}}}\, \ne \,0,\quad {{R}_{{11}}}\, = \,[{\mathbf{L}}_{1}^{i}(p_{1}^{i})\, \times \,{\mathbf{L}}_{2}^{r}(p_{2}^{r})]\, = \,0, \\ {{({\mathbf{k}}_{{\text{2}}}^{i},{\mathbf{k}}_{1}^{r})}_{{{{\text{v}}_{0}}}}},\quad {{R}_{{12}}}\, \ne \,0,\quad {{R}_{{22}}}\, = \,[{\mathbf{L}}_{1}^{r}(p_{1}^{r}) \times {\mathbf{L}}_{{\text{2}}}^{i}(p_{{\text{2}}}^{i})]\, = \,0. \\ \end{gathered} $(30)
${{{\xi }}^{2}}\left( {1 - \sqrt {\frac{{{{a}_{1}}{{{\xi }}^{2}} - {{a}_{2}}}}{{{{{\xi }}^{2}} - 1}}} } \right) = A.$Освобождаясь от иррациональностей в уравнении (30), сводим его к полиномиальной форме – бикубическому уравнению для параметра ${{{\xi }}^{2}}$:
Коэффициенты $a$, $b$, $c$, $d$ выражаются через параметры ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $A$:(32)
$\begin{gathered} a = 1 - {{a}_{1}},\quad b = {{a}_{2}} - 1 - 2A, \\ c = A(A + 2),\quad d = - {{A}^{2}}. \\ \end{gathered} $(33)
$\begin{gathered} {\text{ }}{{{\xi }}^{6}} - 8{{{\xi }}^{4}} + 8(3 - 2{\kappa }){{{\xi }}^{2}} - \\ - \;16(1 - {\kappa }) = 0\quad ({\kappa } = {{с }_{{66}}}{\text{/}}{{с }_{{11}}}). \\ \end{gathered} $(34)
${\text{ }}D({{a}_{1}},{{a}_{2}},A) = {{\left( {\frac{{{{b}^{3}}}}{{27}} - \frac{{abc}}{6} + \frac{{{{a}^{2}}d}}{2}} \right)}^{2}} + {{\left( {\frac{{3ac - {{b}^{2}}}}{9}} \right)}^{3}}.$В области II ($\text{v}_{{L2}}^{{ - 1}} < {{\text{v}}^{{ - 1}}} \leqslant \text{v}_{{L1}}^{{ - 1}}$, ${\rho }\text{v}_{{L1}}^{{\text{2}}} = {{c}_{{66}}}$) ветви α = 1 отвечают вещественные векторы ${\mathbf{k}}_{{\text{1}}}^{i}$ и ${\mathbf{k}}_{1}^{r},$ а ветви α = 2 – комплексный вектор ${{{\mathbf{k}}}_{2}}$. Когда величина $\text{v}$ – континуальный параметр, при отражении возникает объемная волна в сопровождении локализованной. Здесь возможен единственный вариант вырожденного отражения:
а вырождение сводится к тому, что исчезает локализованная волна.ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
Полученные соотношения для поверхности кристалла (xz) и направления распространения х совокупного поля в ромбическом кристалле позволяют дать аналогичное описание для другого направления распространения – z – на той же поверхности. Фактически все сводится к переобозначению осей координат ($x \to z$, $z \to - x$) и, как следствие, к изменению индексов модулей упругости:
(36)
$\begin{gathered} {\text{ }}{{{\xi }}^{{\text{2}}}}\, = \,{\rho }{{\text{v}}^{2}}{\text{/}}{{{\text{c}}}_{{{\text{66}}}}}\, \to \,{\rho }{{\text{v}}^{2}}{\text{/}}{{{\text{c}}}_{{{\text{44}}}}},\quad {{a}_{1}}{\text{ }}\, = \,{{c}_{{66}}}{\text{/}}{{c}_{{22}}}\, \to \,{{c}_{{44}}}{\text{/}}{{c}_{{22}}}, \\ {{a}_{2}}\, = \,{{c}_{{11}}}{\text{/}}{{c}_{{22}}}\, \to \,{{c}_{{33}}}{\text{/}}{{c}_{{22}}},\quad {{a}_{3}}\, = \,{{c}_{{12}}}{\text{/}}{{c}_{{22}}}\, \to \,{{c}_{{32}}}{\text{/}}{{c}_{{22}}}. \\ \end{gathered} $(37)
$\begin{gathered} 1 \to 2,\quad 2 \to 3,\quad 3 \to 1, \\ 4 \to 5,\quad 5 \to 6,\quad 6 \to 4, \\ \end{gathered} $В таблице 1 приведены конкретные значения ключевых параметров вырожденных отражений для ромбических кристаллов топаза, арагонита и сегнетовой соли. Численные оценки для кристаллов топаза и арагонита (их модули упругости взяты из [22]) показали, что для всех шести вариантов геометрии распространения функция $D({{a}_{1}},{{a}_{2}},A)$ (34) отрицательна. Соответственно здесь реализуются конверсионные отражения. Для кристаллов сегнетовой соли для всех шести геометрий распространения, наоборот, $D({{a}_{1}},{{a}_{2}},A) > 0$ – конверсионные отражения существовать не могут. В то же время условие существования чистых отражений ${{a}_{3}} + 1 > 0$ (26) для исследованных геометрий во всех рассматриваемых кристаллах не нарушено. Скорости ${{\text{v}}_{0}}$, отвечающие таким отражениям, для данных кристаллов попадают в область II. При этом вырождение фактически сводится к ликвидации локализованной у поверхности кристаллов волны.
Таблица 1.
Кристалл | n || | m || | ${\rho }\text{v}_{0}^{{\text{2}}}$ | ${\rho }\text{v}_{{\text{I}}}^{{\text{2}}}$ | ${\rho }\text{v}_{{{\text{II}}}}^{{\text{2}}}$ | ${\rho }\text{v}_{R}^{{\text{2}}}$ |
---|---|---|---|---|---|---|
Топаз | y | x | 17.9 | 31.5 | 39.2 | 9.98 |
z | 22.3 | 31.2 | 41.8 | 9.28 | ||
z | y | 26.1 | 41.5 | 53.7 | 8.07 | |
x | 20.5 | 29.2 | 56.7 | 10.1 | ||
x | z | 21.2 | 30.2 | 62.0 | 10.3 | |
y | 21.3 | 38.8 | 58.9 | 10.4 | ||
Арагонит | y | x | 10.1 | 16.4 | 29.7 | 3.60 |
z | 6.91 | 8.40 | 19.9 | 3.17 | ||
z | y | 7.06 | 8.65 | 20.8 | 3.17 | |
x | 15.7 | 16.0 | 24.1 | 2.43 | ||
x | z | 8.35 | 8.47 | 10.7 | 2.42 | |
y | 6.34 | 8.93 | 11.6 | 3.40 | ||
Сегнетова соль | y | x | 1.46 | 0.78 | ||
z | 2.04 | 0.63 | ||||
z | y | 2.10 | 0.63 | |||
x | 1.62 | 0.28 | ||||
x | z | 2.04 | 0.28 | |||
y | 1.89 | 0.81 |
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Полученные соотношения позволяют по заданным модулям упругости ромбического кристалла для рассмотренных шести геометрий распространения определить конкретные значения скоростей волн, при которых реализуются чистые и конверсионные отражения, а также распространяются рэлеевские волны.
При определенных соотношениях между модулями упругости полученные выражения переходят в аналогичные соотношения для тетрагональных, гексагональных и кубических кристаллов.
Автор выражает благодарность В.И. Альшицу за ряд полезных советов.
Список литературы
Любимов В.Н., Филиппов В.В. // Акуст. журн. 1980. Т. 26. Вып. 2. С. 225.
Любимов В.Н., Филиппов В.В. // Изв. АН БССР. 1980. Вып. 5. С. 121.
Любимов В.Н., Альшиц В.И. // Кристаллография. 1982. Т. 27. Вып. 5. С. 851.
Любимов В.Н., Бессонов Д.А., Альшиц В.И. // Кристаллография. 2018. Т. 63. № 4. С. 593.
Альшиц В.И., Бессонов Д.А., Любимов В.Н. // Письма в ЖЭТФ. 2017. Т. 106. Вып. 1. С. 45.
Альшиц В.И., Бессонов Д.А., Любимов В.Н. // ЖЭТФ. 2016. Т. 149. Вып. 4. С. 796.
Федоров Ф.И. Теория упругих волн в кристаллах. М.: Наука, 1965. 388 с.
Alshits V.I., Lothe J. // Wave Motion. 1981. V. 3. P. 297.
Lothe J., Wang L. // Wave Motion. 1995. V. 21. P. 163.
Wang L., Lothe J. // Wave Motion. 1992. V. 16. P. 89.
Gundersen S.A., Wang L., Lothe J. // Wave Motion. 1991. V. 14. P. 129.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука, 1965. 204 с.
Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 343 с.
Викторов И.А. // Докл. АН СССР. 1976. Т. 228. Вып. 3. С. 67.
Викторов И.А. // Акуст. журн. 1976. Т. 22. Вып. 5. С. 675.
Любимов В.Н. // Кристаллография. 2019. Т. 64. № 2. В печати.
Альшиц В.И., Бессонов Д.А., Любимов В.Н. // ЖЭТФ. 2013. Т. 143. Вып. 6. С. 1077.
Barnett D.M., Lothe J. // J. Phys. F: Met. Phys. 1974. V. 4. P. 671.
Lothe J., Barnett D.M. // J. Appl. Phys. 1976. V. 47. P. 428.
Barnett D.M., Lothe J. // Proc. R. Soc. London. A. 1985. V. 402. P. 135.
Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М.: Наука, 1981. 723 с.
Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. М.: Наука, 1975. 680 с.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Кристаллография