Кристаллография, 2020, T. 65, № 1, стр. 111-118
К вопросу о гидродинамической неустойчивости нематиков в магнитном поле. II. Линейный анализ устойчивости некоторых моделей магнитогидродинамических доменов
1 Институт элементоорганических соединений им. А.Н. Несмеянова РАН
Москва, Россия
* E-mail: gav@ineos.ac.ru
Поступила в редакцию 24.04.2018
После доработки 25.12.2018
Принята к публикации 28.01.2019
Аннотация
Методом линейного анализа устойчивости исследованы модели, описывающие появление гидродинамических доменов в нематиках при их переориентации в магнитном поле в случаях неограниченной среды и деформации поперечного изгиба. Для обеих моделей показано, что гидродинамическая неустойчивость, являющаяся причиной возникновения доменов, – это седловая неустойчивость. Построенные на основе анализа устойчивости интегральные кривые иллюстрируют полученные результаты.
ВВЕДЕНИЕ
К настоящему времени экспериментально и теоретически изучен процесс зарождения и развития магнитогидродинамических (МГД) доменов двух видов, возникающих в термотропных и лиотропных нематиках: полосатых (первого и второго рода) и паркетных. Полосатые домены первого рода представляют собой параллельные цилиндрические вихри, лежащие в плоскости слоя нематика [1], второго рода – вихревые линии с незамкнутыми линиями тока, расположенные перпендикулярно плоскости слоя нематика [2–4]. Паркетные домены – это цилиндрические вихри, расположенные под углом друг к другу в виде паркета [5, 6]. Появление доменной структуры происходит за порогом гидродинамической неустойчивости [7]. Нахождение порога неустойчивости (критичекого магнитного поля доменообразования) требует совместного решения уравнений движения директора и Навье–Стокса (НС), записанных в линейном приближении, но тип возникающей неустойчивости в этом случае не определяется.
Существует метод, известный как линейный анализ устойчивости (ЛАУ) динамических систем [8, 9]. Этот метод позволяет определять тип устойчивости/неустойчивости, реализующийся в системе при изменении управляющих параметров, и строить соответствующие фазовые траектории (интегральные кривые). Основой метода является оценка устойчивости стационарных решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих производную первого порядка по времени, называемых эволюционными уравнениями (ЭУ). Для получения ЭУ в моделях МГД-доменов необходимо учитывать член ${\rho }\frac{{\partial {v}}}{{\partial t}}$ в линеаризованном уравнении НС [10]. В моделях [1–3, 5, 6] этим членом пренебрегают, за исключением модели для переориентации в случае неограниченной среды [1].
Цель настоящей работы – получение ЭУ и определение типа гидродинамической неустойчивости для моделей, предложенных в [1].
РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ
Модель доменной структуры при переориентации нематика в случае неограниченной среды
В [1] учитывался член ${\rho }\frac{{\partial {v}}}{{\partial t}}$, но система уравнений в частных производных не была преобразована к ЭУ. В рамках модели получены зависимости обратного времени включения доменной структуры ${{s}_{ \pm }}$ от квадрата безразмерного волнового вектора $q_{x}^{2}$ и квадрата напряженности магнитного поля ${{H}^{2}}$, а также зависимость $q_{{xc}}^{2}({{H}^{2}})$.
В рассматриваемой модели неограниченный слой жидкого кристалла ориентируется магнитным полем вдоль оси x, затем поле быстро поворачивается в направлении оси z. Далее исследуется возможность появления вдоль оси x доменной структуры, сопровождаемой переходным потоком вещества. Скорость течения нематика задается одной компонентой ${{{v}}_{z}}$; компонентой ${{{v}}_{x}}$, обеспечивающей непрерывность поля скоростей на границах, пренебрегают. Кроме того, угол θ отклонения директора от положения равновесия и ${{{v}}_{z}}$ считаются не зависящими от z. Уравнения НС и движения директора в линейном приближении записываются в следующем виде:
(1)
$\left\{ \begin{gathered} {\rho }\frac{{\partial {{{v}}_{z}}}}{{\partial t}} = {{{\eta }}_{2}}\frac{{\partial _{{}}^{2}{{{v}}_{z}}}}{{\partial x_{{}}^{2}}} + {{\alpha }_{2}}\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\frac{{\partial {\theta }}}{{\partial t}}} \right), \hfill \\ {{{\gamma }}_{1}}\frac{{\partial {\theta }}}{{\partial t}} = {{{\chi }}_{a}}H_{{}}^{2}{\theta } + {{K}_{3}}\frac{{\partial _{{}}^{2}{\theta }}}{{\partial x_{{}}^{2}}} - {{\alpha }_{2}}\frac{{\partial {{{v}}_{z}}}}{{\partial x}}, \hfill \\ \end{gathered} \right.$В отличие от [1], где решения системы (1) искали в виде
(2)
$\left\{ \begin{gathered} {{{v}}_{z}} = {{{v}}_{0}}\sin ({{q}_{x}}x)\exp (st), \hfill \\ {\theta } = {{{\theta }}_{0}}\cos ({{q}_{x}}x)\exp (st), \hfill \\ \end{gathered} \right.$(5)
$\left\{ \begin{gathered} \frac{{d{{{\theta }}_{0}}}}{{dt}} = \frac{1}{{{{{\gamma }}_{1}}}}({{{\chi }}_{a}}H_{{}}^{2} - {{K}_{3}}q_{x}^{2}){{{\theta }}_{0}} - \frac{{{{\alpha }_{2}}}}{{{{{\gamma }}_{1}}}}{{q}_{x}}{{{v}}_{0}}, \hfill \\ \frac{{d{{{v}}_{0}}}}{{dt}} = \frac{{{{\alpha }_{2}}}}{{{\rho }{{{\gamma }}_{1}}}}({{K}_{3}}q_{x}^{2} - {{{\chi }}_{a}}H_{{}}^{2}){{q}_{x}}{{{\theta }}_{0}} + \hfill \\ + \;\frac{1}{{{\rho }{{{\gamma }}_{1}}}}(\alpha _{2}^{2} - {{{\eta }}_{2}}{{{\gamma }}_{1}})q_{x}^{2}{{{v}}_{0}}. \hfill \\ \end{gathered} \right.$Для проверки на устойчивость решений (6) и (8) задаем их возмущения
(10)
$\left\{ \begin{gathered} {{{\theta }}_{{0{\text{в}}}}} = {{{\theta }}_{{0{\text{ст}}}}} + {\Theta }(t) \hfill \\ {{{v}}_{{0{\text{в}}}}} = {{{v}}_{{0{\text{ст}}}}} + V(t) \hfill \\ \end{gathered} \right.,$(11)
$\left\{ \begin{gathered} \frac{{d{\Theta }}}{{dt}} = \frac{1}{{{{{\gamma }}_{1}}}}({{{\chi }}_{a}}H_{{}}^{2} - {{K}_{3}}q_{x}^{2}){{{\theta }}_{{0{\text{в}}}}} - \frac{{{{\alpha }_{2}}}}{{{{{\gamma }}_{1}}}}{{q}_{x}}{{{v}}_{{0{\text{в}}}}} = {{f}_{1}}, \hfill \\ \frac{{dV}}{{dt}} = \frac{{{{\alpha }_{2}}}}{{{\rho }{{{\gamma }}_{1}}}}({{K}_{3}}q_{x}^{2} - {{{\chi }}_{a}}H_{{}}^{2}){{q}_{x}}{{{\theta }}_{{0{\text{в}}}}} + \hfill \\ + \;\frac{1}{{{\rho }{{{\gamma }}_{1}}}}(\alpha _{2}^{2} - {{{\gamma }}_{1}}{{{\eta }}_{2}})q_{x}^{2}{{{v}}_{{0{\text{в}}}}} = {{f}_{2}}. \hfill \\ \end{gathered} \right.$(12)
$\left\{ \begin{gathered} \frac{{d{\Theta }}}{{dt}} = {{k}_{{11}}}{\Theta } + {{k}_{{12}}}V, \hfill \\ \frac{{dV}}{{dt}} = {{k}_{{21}}}{\Theta } + {{k}_{{22}}}V, \hfill \\ \end{gathered} \right.$(13)
$\begin{gathered} {{k}_{{11}}} = {{\left( {\frac{{\partial {{f}_{1}}}}{{\partial {{{\theta }}_{{0{\text{в}}}}}}}} \right)}_{{{\text{ст}}}}} = \frac{1}{{{{{\gamma }}_{1}}}}({{{\chi }}_{a}}H_{{}}^{2} - {{K}_{3}}q_{x}^{2}), \\ {{k}_{{12}}} = {{\left( {\frac{{\partial {{f}_{1}}}}{{\partial {{{v}}_{{0{\text{в}}}}}}}} \right)}_{{{\text{ст}}}}} = - \frac{{{{\alpha }_{2}}}}{{{{{\gamma }}_{1}}}}{{q}_{x}}, \\ {{k}_{{21}}} = {{\left( {\frac{{\partial {{f}_{2}}}}{{\partial {{{\theta }}_{{0{\text{в}}}}}}}} \right)}_{{{\text{ст}}}}} = \frac{{{{\alpha }_{2}}}}{{{\rho }{{{\gamma }}_{1}}}}({{K}_{3}}q_{x}^{2} - {{{\chi }}_{a}}H_{{}}^{2}){{q}_{x}}, \\ {\text{ }}{{k}_{{22}}} = {{\left( {\frac{{\partial {{f}_{2}}}}{{\partial {{{v}}_{{0{\text{в}}}}}}}} \right)}_{{{\text{ст}}}}} = \frac{1}{{{\rho }{{{\gamma }}_{1}}}}(\alpha _{2}^{2} - {{{\gamma }}_{1}}{{{\eta }}_{2}})q_{x}^{2}. \\ \end{gathered} $(14)
${{s}^{2}} - ({{k}_{{11}}} + {{k}_{{22}}})s + {{k}_{{11}}}{{k}_{{22}}} - {{k}_{{12}}}{{k}_{{21}}} = 0.$Рассмотрим стационарное решение (6). Для нахождения корней (14) исключаем ${{q}_{x}}$ из коэффициентов (13) с помощью (7). Получаем
(15)
$\begin{gathered} {{k}_{{11}}} = 0,\quad {{k}_{{12}}} = - \frac{{{{\alpha }_{2}}}}{{{{{\gamma }}_{1}}}}\sqrt {\frac{{{{{\chi }}_{a}}}}{{{{K}_{3}}}}} H, \\ {{k}_{{21}}} = 0,\quad {{k}_{{22}}} = \left( {\frac{{\alpha _{2}^{2}}}{{{{{\gamma }}_{1}}}} - {{{\eta }}_{2}}} \right)\frac{{{{{\chi }}_{a}}H_{{}}^{2}}}{{{\rho }{{K}_{3}}}}. \\ \end{gathered} $(16)
$\begin{gathered} {\Theta }(t) = {{c}_{{11}}} + {{c}_{{12}}}\exp ({{s}_{2}}t), \hfill \\ V(t) = {{c}_{{21}}} + {{c}_{{22}}}\exp ({{s}_{2}}t). \hfill \\ \end{gathered} $Как известно, исследование устойчивости нелинейных дифференциальных уравнений проводится также методом определения фазовых траекторий (интегральных кривых) в фазовой плоскости [8]. Исключая время в (5) с последующим интегрированием, получаем интегральную кривую вида ${{{v}}_{0}} = \frac{{{{k}_{{22}}}}}{{{{k}_{{12}}}}}{{{\theta }}_{0}} + {\text{const}}$. Она показана на рис. 1а. Стрелками обозначена совокупность интегральных кривых, отличающихся начальными условиями. Их направление указывает на движение системы к состоянию устойчивого равновесия.
Рассмотрим стационарное решение (8). Для анализа его устойчивости также необходимо исключить ${{q}_{x}}$ из (13). Это можно сделать, исследовав на экстремум функцию, являющуюся решением (14):
(17)
$\begin{gathered} {{s}_{{1,2}}} = \frac{1}{2}\{ A{{H}^{2}} + Bq_{x}^{2} \pm [{{A}^{2}}{{H}^{4}} + \\ + \;2C{{H}^{2}}q_{x}^{2} + Dq_{x}^{4}{{]}^{{1/2}}} \} , \\ \end{gathered} $(18)
$q_{x}^{2} = a{{H}^{2}},\quad {\text{где}}\quad a = \frac{{C + {{{\left[ {\frac{{{{B}^{2}}({{C}^{2}} - {{A}^{2}}D)}}{{{{B}^{2}} - D}}} \right]}}^{{1/2}}}}}{D}.$На рис. 2 в системе координат ${{q}_{x}}$, $H$, $s$ показаны функции (17), (18) и (7). Поверхность $s = f({{q}_{x}},\;H)$ составлена из кривых $s = f({{q}_{x}})$, параметризованных переменной H. Эти кривые имеют максимумы, через которые проходит прямая ${{q}_{x}} = \sqrt a H$. На рисунке через эти точки проходит плоскость $\sqrt a H - {{q}_{x}} = 0$. В плоскости ${{q}_{x}}$H расположена прямая ${{q}_{x}} = \sqrt {\frac{{{{{\chi }}_{a}}}}{{{{K}_{3}}}}} H$.
Подставляя (18) в (17), имеем
(19)
$\begin{gathered} {\Theta }(t) = {{c}_{{11}}}\exp ({{s}_{1}}t) + {{c}_{{12}}}\exp ({{s}_{2}}t), \hfill \\ V(t) = {{c}_{{21}}}\exp ({{s}_{1}}t) + {{c}_{{22}}}\exp ({{s}_{2}}t). \hfill \\ \end{gathered} $Анализ показывает, что при любом H > 0 существуют два набора волновых векторов (формулы (7) и (18)), которые соответствуют разным стационарным решениям (5). Из экспериментов [1, 2, 4–6] следует, что МГД-домены в отличие от электрогидродинамических доменов [10] являются переходными – возникают, развиваются и исчезают, когда поворот директора от положения равновесия (при заданном поле) достигает максимума. Поэтому устойчивое состояние (6) в случае появления доменов в неограниченной среде может возникнуть только после их исчезновения – директор повернулся на угол θ, и течение нематика прекратилось. Следовательно, волновые векторы, определяемые равенством (7), не реализуются, в том числе в силу того, что оно следует из условия s = 0.
Таким образом, реализуются только волновые векторы (18), связанные с неустойчивым состоянием ${{{\theta }}_{{0{\text{ст}}2}}} = {{{v}}_{{0{\text{ст}}2}}} = 0$, поскольку их значения в точности соответствуют точкам максимумов функции (17) (рис. 2).
Кроме того, отметим, что домены возникают при сколь угодно малых значениях магнитного поля, как следует из (18). Это говорит о том, что критического поля доменообразования в этой модели не существует.
Модель доменной структуры при переориентации нематика в геометрии деформации поперечного изгиба
В данной модели рассматривается планарный слой нематика с положительной анизотропией диамагнитной восприимчивости и бесконечно сильным сцеплением директора на границах. Вектор ${{n}_{0}}$ невозмущенной ориентации нематика направлен вдоль оси x декартовой системы координат, ось z перпендикулярна плоскости слоя, начало координат выбрано в центре слоя толщиной d (рис. 3). Магнитное поле H прикладывается перпендикулярно невозмущенной ориентации директора ${{n}_{0}}$ (вдоль оси z).
При быстром включении магнитного поля величиной больше ${{H}_{D}}$ (критическое поле доменообразования) через некоторое время в слое жидкого кристалла появляется периодическая структура, состоящая из темных и светлых полос – доменов. Для описания доменов рассматриваются малые возмущения директора и вектора скорости течения нематика
Для заданной геометрии уравнения движения директора и НС в линейном приближении имеют вид:(20)
$\left\{ \begin{gathered} {{{\gamma }}_{1}}\frac{{\partial {\theta }}}{{\partial t}} = {{{\chi }}_{a}}{{H}^{2}}{\theta } + {{K}_{1}}\frac{{{{\partial }^{2}}{\theta }}}{{\partial {{z}^{2}}}} + {{K}_{3}}\frac{{{{\partial }^{2}}{\theta }}}{{\partial {{x}^{2}}}} - \hfill \\ - \;{{\alpha }_{2}}\frac{{\partial {{{v}}_{z}}}}{{\partial x}} - {{\alpha }_{3}}\frac{{\partial {{{v}}_{x}}}}{{\partial z}}, \hfill \\ {\rho }\frac{{\partial {{{v}}_{x}}}}{{\partial t}} = - \frac{{\partial p}}{{\partial x}} + {{{\eta }}_{1}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{{v}}_{x}}}}{{\partial {{z}^{2}}}} + {{{\eta }}_{4}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{{v}}_{z}}}}{{\partial x\partial z}} + \hfill \\ + \;{{{\eta }}_{5}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{{v}}_{x}}}}{{\partial {{x}^{2}}}} + {{\alpha }_{3}}\frac{\partial }{{\partial z}}\left( {\frac{{\partial {\theta }}}{{\partial t}}} \right), \hfill \\ {\rho }\frac{{\partial {{{v}}_{z}}}}{{\partial t}} = - \frac{{\partial p}}{{\partial z}} + {{{\eta }}_{2}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{{v}}_{z}}}}{{\partial {{x}^{2}}}} + {{{\eta }}_{6}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{{v}}_{x}}}}{{\partial x\partial z}} + \hfill \\ + \;{{\alpha }_{4}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{{v}}_{z}}}}{{\partial {{z}^{2}}}} + {{\alpha }_{2}}\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\frac{{\partial {\theta }}}{{\partial t}}} \right), \hfill \\ \end{gathered} \right.$Для уменьшения числа переменных в (20) введем в рассмотрение функцию тока Лагранжа ${\psi }(x,\;z,\;t)$:
(21)
$\left\{ \begin{gathered} \frac{{\partial {\theta }}}{{\partial{ \tilde {t}}}} = {{h}^{2}}{\theta } + \frac{{{{\partial }^{2}}{\theta }}}{{\partial {{{\tilde {z}}}^{2}}}} + K\frac{{{{\partial }^{2}}{\theta }}}{{\partial {{{\tilde {x}}}^{2}}}} + \frac{{{{\alpha }_{3}}}}{{{{\alpha }_{2}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}{\tilde {\psi }}}}{{\partial {{{\tilde {z}}}^{2}}}} - \frac{{{{\partial }^{2}}{\tilde {\psi }}}}{{\partial {{{\tilde {x}}}^{2}}}}, \hfill \\ \frac{\partial }{{\partial{ \tilde {t}}}}\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}{\tilde {\psi }}}}{{\partial {{{\tilde {x}}}^{2}}}}} \right) + \frac{\partial }{{\partial{ \tilde {t}}}}\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}{\tilde {\psi }}}}{{\partial {{{\tilde {z}}}^{2}}}}} \right) = \frac{{{{{\gamma }}_{{\text{1}}}}{{{\eta }}_{1}}}}{{{\rho }{{K}_{1}}}}\frac{{{{\partial }^{4}}{\tilde {\psi }}}}{{\partial {{{\tilde {z}}}^{4}}}} + \hfill \\ + \;\frac{{{{{\gamma }}_{{\text{1}}}}{{{\eta }}_{7}}}}{{{\rho }{{K}_{1}}}}\frac{{{{\partial }^{4}}{\tilde {\psi }}}}{{\partial {{{\tilde {x}}}^{2}}\partial {{{\tilde {z}}}^{2}}}} - \frac{{{{{\gamma }}_{{\text{1}}}}{{{\eta }}_{{\text{2}}}}}}{{{\rho }{{K}_{1}}}}\frac{{{{\partial }^{4}}{\tilde {\psi }}}}{{\partial {{{\tilde {x}}}^{4}}}} + \hfill \\ + \;\frac{{\alpha _{2}^{2}}}{{{\rho }{{K}_{1}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{{\tilde {x}}}^{2}}}}\left( {\frac{{\partial {\theta }}}{{\partial{ \tilde {t}}}}} \right) - \frac{{{{\alpha }_{{\text{2}}}}{{\alpha }_{3}}}}{{{\rho }{{K}_{1}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{{\tilde {z}}}^{2}}}}\left( {\frac{{\partial {\theta }}}{{\partial{ \tilde {t}}}}} \right), \hfill \\ \end{gathered} \right.$Граничные условия задачи имеют вид
(22)
${{\left. {\frac{{\partial {\tilde {\psi }}}}{{\partial{ \tilde {x}}}}} \right|}_{{\tilde {z} = \pm \tfrac{{\pi }}{2}}}} = 0;\quad {{\left. {\frac{{{{\partial }^{2}}{\tilde {\psi }}}}{{\partial {{{\tilde {z}}}^{2}}}}} \right|}_{{\tilde {z} = \pm \tfrac{{\pi }}{{\text{2}}}}}} = 0;\quad {{\left. {\theta } \right|}_{{\tilde {z} = \pm \tfrac{{\pi }}{{\text{2}}}}}} = 0.$Решения уравнений (21) будем искать в виде функций, периодических вдоль оси x:
(23)
$\left\{ \begin{gathered} {\tilde {\psi }} = {{{{\tilde {\psi }}}}_{0}}(\tilde {t})\cos ({{{\tilde {q}}}_{x}}\tilde {x})\cos {\text{(}}{{{\tilde {q}}}_{z}}\tilde {z}), \hfill \\ {\theta } = {{{\theta }}_{0}}(\tilde {t})\cos ({{{\tilde {q}}}_{x}}\tilde {x})\cos {\text{(}}{{{\tilde {q}}}_{z}}\tilde {z}), \hfill \\ \end{gathered} \right.$Далее повторяем процедуру, описанную в предыдущей части, и получаем ЭУ
(24)
$\left\{ \begin{gathered} \frac{{d{{{\theta }}_{0}}}}{{d\tilde {t}}} = (h_{{}}^{2} - K\tilde {q}_{x}^{2} - 1){{{\theta }}_{0}} + (\tilde {q}_{x}^{2} - a){{{{\tilde {\psi }}}}_{0}}, \hfill \\ \frac{{d{{{{\tilde {\psi }}}}_{0}}}}{{d\tilde {t}}} = \frac{{{\nu }(h_{{}}^{2} - K\tilde {q}_{x}^{2} - 1)(\tilde {q}_{x}^{2} - a)}}{{\tilde {q}_{x}^{2} + 1}}{{{\theta }}_{0}} + \hfill \\ + \;\frac{{[{\nu }{{{(\tilde {q}_{x}^{2} - a)}}^{2}} - {{{\nu }}_{1}}(b\tilde {q}_{x}^{4} + c\tilde {q}_{x}^{2} + 1)]}}{{\tilde {q}_{x}^{2} + 1}}{{{{\tilde {\psi }}}}_{0}}, \hfill \\ \end{gathered} \right.$(29)
$\left\{ \begin{gathered} \frac{{d{\Theta }}}{{d\tilde {t}}} = {{k}_{{11}}}{\Theta } + {{k}_{{12}}}{\tilde {\Psi },} \hfill \\ \frac{{d{\tilde {\Psi }}}}{{d\tilde {t}}} = {{k}_{{21}}}{\Theta } + {{k}_{{22}}}{\tilde {\Psi },} \hfill \\ \end{gathered} \right.$(30)
$\begin{gathered} {{k}_{{11}}} = (h_{{}}^{2} - K\tilde {q}_{x}^{2} - 1),\quad {{k}_{{12}}} = (\tilde {q}_{x}^{2} - a), \\ {{k}_{{21}}} = \frac{{{\nu }(h_{{}}^{2} - K\tilde {q}_{x}^{2} - 1)(\tilde {q}_{x}^{2} - a)}}{{\tilde {q}_{x}^{2} + 1}}, \\ {{k}_{{22}}} = \frac{{{\nu }{{{(\tilde {q}_{x}^{2} - a)}}^{2}} - {{{\nu }}_{1}}(b\tilde {q}_{x}^{4} + c\tilde {q}_{x}^{2} + 1)}}{{\tilde {q}_{x}^{2} + 1}}. \\ \end{gathered} $(31)
${{k}_{{11}}} = 0,\quad {{k}_{{12}}} = \frac{{(h_{{}}^{2} - 1)}}{K} - a,\quad {{k}_{{21}}} = 0,\quad {{k}_{{22}}} = \frac{{({\nu } - b{{{\nu }}_{1}}){{{(h_{{}}^{2} - 1)}}^{2}}\frac{1}{K} - (2a{\nu } + c{{{\nu }}_{1}})(h_{{}}^{2} - 1) + K({\nu }a_{{}}^{2} - {{{\nu }}_{1}})}}{{h_{{}}^{2} - 1 + K}}.$Рассмотрим стационарное решение (27). Решением уравнения (14) для $\tilde {s}$ – обратного безразмерного времени включения доменной структуры – является функция $\tilde {s}({{h}^{2}},\tilde {q}_{x}^{2})$, которая имеет следующий вид:
(32)
${{\tilde {s}}_{{1,2}}} = \frac{1}{2}\left\{ {\frac{{h_{{}}^{2}(\tilde {q}_{x}^{2} + 1) + A\tilde {q}_{x}^{4} - B\tilde {q}_{x}^{2} + {\nu }a_{{}}^{2} - {{{\nu }}_{1}} - 1}}{{\tilde {q}_{x}^{2} + 1}} \pm {{{\left[ \begin{gathered} {{\left( {\frac{{h_{{}}^{2}(\tilde {q}_{x}^{2} + 1) + A\tilde {q}_{x}^{4} - B\tilde {q}_{x}^{2} + {\nu }a_{{}}^{2} - {{{\nu }}_{1}} - 1}}{{\tilde {q}_{x}^{2} + 1}}} \right)}^{2}} + \hfill \\ + \;\frac{{4(h_{{}}^{2} - K\tilde {q}_{x}^{2} - 1)(C\tilde {q}_{x}^{4} + D\tilde {q}_{x}^{2} + {{{\nu }}_{1}})}}{{\tilde {q}_{x}^{2} + 1}} \hfill \\ \end{gathered} \right]}}^{{1/2}}} } \right\},$Зависимость $\;\tilde {q}_{x}^{2}({{h}^{2}})$ для MBBA найдена экспериментально в [1]. Показано, что экспериментальные точки $(h_{i}^{2},\tilde {q}_{{xi}}^{2})$ группируются около кривой, проводимой через точки максимумов семейства кривых $\tilde {s}(\tilde {q}_{x}^{2})$, параметризованных переменной $\;{{h}^{2}}$. В ходе эксперимента изменение значений $\;{{h}^{2}}$ в пределах от 17 до 400 приводило к изменению значений $\;\tilde {q}_{x}^{2}$ в пределах от 4 до 32. Эти данные позволяют определить знаки ${{\tilde {s}}_{{1.2}}}$, не исследуя (32) на экстремум для получения зависимости $\;\tilde {q}_{x}^{2}({{h}^{2}})$. Так как соотношение $\frac{{{{h}^{2}}}}{{\tilde {q}_{x}^{2}}}\;$ лежит в диапазоне значений ∼4–10, то выражение $h_{{}}^{2} - K\tilde {q}_{x}^{2} - 1$ для измеренных значений ${{h}^{2}}$ и$\;\tilde {q}_{x}^{2}$ не отрицательно, поэтому второе слагаемое в (32) больше первого. Следовательно, ${{\tilde {s}}_{1}} > 0$ и ${{\tilde {s}}_{2}} < 0$.
Поскольку решением (29) являются функции
В данной модели также имеются два набора волновых векторов для двух стационарных состояний исследуемой системы, определяемых формулами (26) и (28). Экспериментально показано, что волновые векторы, определяемые равенством (26), не реализуются [1].
Стационарное состояние (25) для ограниченной среды может возникнуть в двух случаях. Во-первых, если на границах задана жесткая наклонная ориентация директора, которая при отсутствии внешнего поля или течения задает наклонную ориентацию всего слоя нематика [10]. Во-вторых, оно возникает после исчезновения доменов – течение прекратилось, а директор повернулся на угол θ. Поскольку в модели не задана наклонная ориентация директора на границах, то реализуется второй случай.
Итак, анализ показывает наличие в каждой из рассмотренных моделей двух стационарных состояний, одно из которых является устойчивым, другое – неустойчивым. Очевидным является следующий сценарий, описывающий динамику переориентации в обеих моделях. При включении магнитного поля, большего или равного критическому полю доменообразования, для второй модели (сколь угодно малое поле для первой модели) в слое нематика возникает гидродинамическая неустойчивость по типу седловой, которая приводит к возникновению доменов. Домены развиваются и исчезают. Система приходит к новому устойчивому состоянию.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
С помощью линейного анализа устойчивости показано, что при переориентации нематика в магнитном поле в случае неограниченной среды и деформации поперечного изгиба возникает гидродинамическая неустойчивость, являющаяся седловой. За порогом этой неустойчивости возникают МГД-домены.
Учет члена ${\rho }\frac{{\partial {v}}}{{\partial t}}$ в уравнении НС позволяет помимо возможности применять ЛАУ ввести в модель доменной структуры числа Рейнольдса R = = $\frac{{{\rho }{v}l}}{{\eta }}$ и Эриксона E = $\frac{{{\eta }{v}l}}{K}$ – безразмерные соотношения параметров среды (вязкостей η, констант упругости K, плотности ρ нематика), а также характерных скорости ${v}$ и расстояния l модели. Соотношение чисел Рейнольдса и Эриксена ${\mu } = \frac{{{\rho }K}}{{{{{\eta }}^{2}}}}$ (или обратное соотношение ${\nu } = \frac{{{{{\eta }}^{2}}}}{{{\rho }K}}$) исключает из модели характерные величины и оставляет лишь параметры среды (24). Получение значений этих чисел и их соотношений в экспериментах по наблюдению за МГД-доменами позволяет оценить вклад сил различной природы в уравнениях НС и движения директора с целью возможного упрощения моделей.
При построении рис. 1 и 4 использовалась подпрограмма <phaseportrait> математического пакета Maple 17.
Список литературы
Guyon E., Meyer R., Salan J. // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 1979. V. 54. P. 261.
Lonberg F., Fraden S., Hurd A., Meyer R. // Phys. Rev. Lett. 1984 .V. 52. № 21. P. 1903.
Kaznacheev A.V. // Mol. Mater. 1993. V. 2. P. 283.
Golovanov A., Kaznacheev A., Sonin A. // Mol. Mater. 1993. V. 3. P. 147.
Hurd A.J., Fraden S., Lonberg F., Meyer R.B. // J. Phys. France. 1985. V. 46. № 6. P. 905.
Fraden S., Hurd A., Meyer R. et al. // J. Phys. Colloque C3. 1985. V. 46. P. C3-85.
Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистическом подходе к турбулентности. М.: Мир, 1991. 368 с.
Баблоянц А. Молекулы, динамика и жизнь. Введение в самоорганизацию материи. М.: Мир, 1990. 375 с.
Шаповалов В.И. Моделирование синергетических систем: Метод пропорций и другие математические методы. М.: Проспект, 2016. 136 с.
Пикин С.А. Структурные превращения в жидких кристаллах. М.: Наука, 1981. 336 с.
Блинов Л.М. Электро- и магнитооптика жидких кристаллов. М.: Наука, 1978. 384 с.
Leslie F.M. // Theory of Phenomena in Liquid Crystals. Advances in Liquid Crystals. V. 4. New York: Acad. Press, 1979. P. 1.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Кристаллография