Кристаллография, 2021, T. 66, № 3, стр. 341-368

1.1. Эффекты Фарадея и Коттона–Мутона

Эффект Фарадея заключается в повороте ПП линейно поляризованного света, проходящего через прозрачную среду, находящуюся в продольном МП [3–6]. Все материалы независимо от симметрии проявляют эффект Фарадея.

В простейшем случае (изотропная среда, МП параллельно световому лучу) магнитное вращение ПП света описывается законом Фарадея–Верде [6]:

где H – приложенное МП, l – толщина образца, V – постоянная Верде.

В тензорной форме выражение (1) можно записать в виде

где α_Ф – угол поворота ПП, обусловленного внешним МП, N_i – направляющие косинусы волновой нормали, H_j – компоненты постоянного МП, V_ij – тензор эффекта Фарадея, являющийся полярным тензором второго ранга. Вид тензора V_ij для кристаллов разной симметрии приведен в [6].

Важная особенность МЭ Фарадея состоит в его невзаимности, т.е. в нарушении принципа обратимости светового пучка. Изменение направления распространения света на противоположное (на пути “назад”) дает такой же угол поворота и в ту же сторону, как на пути “вперед”. Поэтому при многократном прохождении светового пучка между поляризатором и анализатором эффект накапливается. Это отличает эффект Фарадея от естественной ОА, при наличии которой в случае прохождения света в обратном направлении вращение ПП света компенсируется. Изменение направления индукции МП, напротив, изменяет направление вращения ПП на противоположное.

Отметим, что в основе эффектов Фарадея и естественной ОА лежат совершенно разные механизмы. За эффект Фарадея ответственна временная дисперсия, или дисперсия частоты. Она возникает в результате взаимодействия между электромагнитной волной и движущимся электрическим зарядом. Эффект Фарадея требует присутствия постоянного МП. Оптическая активность является результатом дисперсии другого вида – пространственной дисперсии [6]. Местное поле в любом участке твердого тела зависит не только от полей E и H электромагнитной волны, но и от наведенных дипольных полей, вызываемых соседними атомами. Если определенное расположение атомов ведет к хиральности структуры, следствием может стать разное поведение волн левой и правой круговых поляризаций внутри кристалла. Когда эти две волны складываются при выходе из кристалла, возникают ОА и круговой дихроизм.

Если световой луч перпендикулярен МП, эффект Фарадея исчезает. В этом случае проявляется эффект Коттона–Мутона – возникновение двойного лучепреломления, пропорционального квадрату МП [3–7]. При падении на кристалл волны линейной поляризации поляризация прошедшего света в общем случае является эллиптической.

1.2. Описание эффектов Фарадея и Коттона–Мутона

Рассмотрим более подробно теоретическое описание эффектов Фарадея и Коттона–Мутона, представленное в [3]. Для этого введем определение магнитных и немагнитных веществ.

Характеристиками отклика материала на МП являются намагниченность (магнитный дипольный момент m в единичном объеме) M = χH и плотность магнитного потока B = μH. Здесь χ – магнитная восприимчивость материала, μ = χ + + μ₀ – его магнитная проницаемость, μ₀ = 4π × × 10^–7 Гн/м – магнитная проницаемость вакуума. Обычно для удобства используют безразмерные величины: ${{\bar {\chi }}} = {{\chi /}}{{{{\mu }}}_{0}}$, ${{\bar {\mu }}} = {{\mu /}}{{{{\mu }}}_{0}} = 1 + {{\bar {\chi }}}$. В анизотропных средах магнитная восприимчивость и магнитная проницаемость описываются полярными тензорами второго ранга [6].

По типу магнитных свойств все вещества можно разделить на три группы: диамагнетики, парамагнетики и вещества, обладающие упорядоченной магнитной структурой. Большая часть материалов (в том числе большинство неорганических кристаллов) относится к диамагнетикам, которые обладают слабым магнитным эффектом, вызванным приложенным МП. Для диамагнетиков магнитная восприимчивость отрицательна, мала по абсолютной величине ($\left| {{{\bar {\chi }}}} \right|$ ~ 10^–6–10^–5) и практически не зависит от температуры. Например, для кварца при комнатной температуре ${{{{\bar {\chi }}}}_{{11}}} = {{{{\bar {\chi }}}}_{{22}}} = $ $ = --1.51{\text{\;}} \times {{10}^{{--5}}}$, ${{{{\bar {\chi }}}}_{{33}}} = --1.52{\text{\;}} \times {{10}^{{--5}}}$, для кальцита ${{{{\bar {\chi }}}}_{{11}}} = {{{{\bar {\chi }}}}_{{22}}} = --1.24{\text{\;}} \times {{10}^{{--5}}}$, ${{{{\bar {\chi }}}}_{{33}}} = --1.38{\text{\;}} \times {{10}^{{--5}}}$. Парамагнетики характеризуются положительной магнитной восприимчивостью, величина которой сильно зависит от температуры (при комнатной температуре ${{\bar {\chi }}}$ ~ 10^–6–10^–3). Вещества с упорядоченной магнитной структурой обладают суммарным макроскопическим магнитным моментом даже в отсутствие внешнего МП. Их магнитная восприимчивость положительна, велика и сложным образом зависит от температуры и МП. Магнитоупорядоченные состояния бывают трех типов – антиферромагнетизм, ферромагнетизм и ферримагнетизм [4, 6].

Распространение света в кристаллах характеризуется тензором диэлектрической проницаемости ε_ij и тензором гирации g_ij [6, 8]. В отсутствие внешнего МП или спонтанного магнитного упорядочения тензор ε_ij симметричен. Тензор гирации g_ij в некоторых кристаллах имеет антисимметричную часть, но эта часть не влияет на величину вращения ПП света [9]. Поэтому здесь ее не учитываем и считаем тензор g_ij в отсутствие МП симметричным.

При наличии внешнего МП или спонтанного магнитного упорядочения в тензорах ε_ij и g_ij появляется антисимметричная часть, являющаяся линейной функцией МП H, магнитного момента m или антиферромагнитного вектора l (l – векторная разность магнитных моментов двух магнитных подрешеток кристалла):

Добавки в симметричную часть являются квадратичными функциями H, m, l. Симметричная часть ${{\varepsilon }}_{{ij}}^{s}$ тензора ε_ij определяет двупреломление света или эффект Коттона–Мутона, тензор гирации $g_{{ij}}^{s}$ описывает обратимое вращение ПП света или естественную ОА. Антисимметричная часть ${{\varepsilon }}_{{ij}}^{a}$ тензора ε_ij характеризует необратимое вращение ПП света или эффект Фарадея, а антисимметричный тензор $g_{{ij}}^{a}$ – необратое или гиротропное двупреломление [10].

Рассмотрим возможность возникновения эффекта Фарадея за счет ферро- и антиферромагнитного векторов, постоянного электрического поля и упругих деформаций. Представим ${{\varepsilon }}_{{ij}}^{a}$ в виде

где ${{m}_{k}}$ – компоненты ферромагнитного вектора или вектора магнитного момента, ${{l}_{k}}$ – компоненты антиферромагнитного вектора, ${{E}_{k}}$ – внешнее электрическое поле, ${{{{\sigma }}}_{{kn}}}$ – упругие деформации. Вид тензоров ${{\alpha }_{{ijk}}}$, ${{{{\beta }}}_{{ijk}}}$, ${{{{\gamma }}}_{{ijk}}}$, ${{{{\delta }}}_{{ijkn}}}$, эффекты, за которые они отвечают, и кристаллы, в которых присутствуют эти эффекты, представлены в табл. 1 [3]. Тензор называют i-тензором, если его компоненты остаются инвариантными при изменении знака времени, и c-тензором, если его компоненты меняют знак при изменении знака времени.

Отметим, что первый член в правой части (4) отвечает за эффект Фарадея, присутствующий во всех кристаллах в МП [3].

Аналогично (4) рассмотрим разложение симметричной части ${{\varepsilon }}_{{ij}}^{s}$, которое должно содержать только квадратичные по m и l члены:

Здесь ${{\varepsilon }}_{{ij}}^{0}$ – диэлектрическая проницаемость в отсутствие МП или спонтанного магнитного упорядочения. Двупреломление, определяемое полярным i-тензором четвертого ранга ${{a}_{{ijkn}}}$, симметричным по парам индексов i, j и k, n, определяет известный эффект Коттона–Мутона, возникающий во всех кристаллах в МП [11] или при наличии спонтанного магнитного момента [12]. Наличие антиферромагнитного вектора l приводит к добавкам, которые определяются тензорами ${{b}_{{ijkn}}}$ и ${{c}_{{ijkn}}}$ (табл. 1).

Аналогичным образом можно разложить в ряд симметричную и антисимметричную части тензора гирации g_ij [13].

Эффект Фарадея также называют магнитным круговым двупреломлением, так как в намагниченной среде показатели преломления n₊, n_– волн правой и левой круговых поляризаций различаются. Угол поворота ПП света можно записать в виде [4, 7]:

Отметим, что это выражение применимо и к изотропным средам, и к кристаллам в направлении оптических осей.

Помимо магнитного кругового двупреломления при наличии поглощения появляется магнитный круговой дихроизм – различие коэффициентов поглощения волн правой и левой круговых поляризаций. Это приводит к тому, что при падении на кристалл линейно поляризованного света прошедший свет становится эллиптически поляризованным.

Магнитное круговое двупреломление и магнитный круговой дихроизм можно объединить в общее понятие – комплексный эффект Фарадея [7].

Эффект Коттона–Мутона приводит к появлению магнитного линейного двупреломления, т.е. к различию показателей преломления компонент светового излучения, линейно поляризованных параллельно и перпендикулярно намагниченности, при распространении света в поперечно намагниченной среде (волновой вектор ортогонален намагниченности). Линейно поляризованный свет, ПП которого ориентирована под углом к направлению намагниченности, после прохождения через среду становится эллиптически поляризованным. Между компонентами, поляризованными параллельно и перпендикулярно намагниченности, возникает сдвиг фаз, удельная величина которого равна

При этом угол ориентации эллипса поляризации прошедшей волны в прозрачной среде постоянен и равен углу поляризации θ₀ падающего линейно поляризованного света [7].

В поглощающей среде возникает магнитный линейный дихроизм – различие коэффициентов поглощения ϰ_|| и ϰ_⊥ волн, линейно поляризованных параллельно и перпендикулярно намагниченности в поперечно намагниченной среде. Наличие магнитного линейного дихроизма приводит к повороту угла ориентации эллипса θ в процессе распространения волны:

где z – толщина кристалла.

Магнитное линейное двупреломление и магнитный линейный дихроизм вместе составляют комплексный эффект Коттона–Мутона [7].

Отметим, что в анизотропном кристалле при произвольном направлении m относительно осей симметрии кристалла главные направления и оси оптической индикатрисы зависят от направления m. В этом случае определения магнитного линейного двупреломления через n_|| – n_⊥, а магнитного линейного дихроизма – через ${{{{\kappa }}}_{\parallel }}--{{{{\kappa }}}_{ \bot }}$, вообще говоря, неприменимы.

В немагнитных материалах эффект Фарадея очень слаб, обычно намного слабее, чем ОА и естественное двупреломление. В магнитных материалах вращение ПП света, связанное с эффектом Фарадея, может принимать очень большие значения (табл. 2) [3].

В отличие от эффекта Фарадея исследованию квадратичных по намагниченности оптических эффектов посвящено значительно меньше работ. Однако магнитное двупреломление в ферро-, ферри- и антиферромагнетиках в отличие от парамагнетиков может достигать большой величины. В табл. 2 приведены примеры материалов, в которых двупреломление, вызванное эффектом Коттона–Мутона, оказалось одного порядка с эффектом Фарадея или превосходило его [3].

1.3. Эффекты Керра

Наряду с МЭ, возникающими при прохождении света через намагниченное вещество, существует ряд эффектов, проявляющихся при отражении света. Эти эффекты называют магнитооптическими эффектами Керра. В зависимости от взаимной ориентации намагниченности, направления распространения световой волны и нормали к поверхности образца различают три вида эффектов Керра: полярный – намагниченность перпендикулярна поверхности образца; меридиональный – намагниченность параллельна поверхности образца и параллельна плоскости падения света; экваториальный – намагниченность параллельна поверхности образца и перпендикулярна плоскости падения света [7]. Полярный и меридиональный эффекты Керра заключаются во вращении ПП и появлении эллиптичности при отражении от образца линейно поляризованного света. Экваториальный эффект Керра наблюдается только в поглощающих материалах и проявляется в изменении интенсивности и сдвиге фазы при отражении линейно поляризованного света.

2.1. Примеры проявления магнитооптических эффектов

Эффект Фарадея в SiO₂. В немагнитных кристаллах эффект Фарадея обычно очень мал. В качестве примера приведем эффект Фарадея в кристалле кварца [15, 17]. Постоянная Верде в направлении оптической оси равна V = 3.06 × 10^–4 град/А при длине волны λ = 0.633 мкм [15]. Это соответствует при напряженности МП H = 1.43 × 10⁵ А/м углу поворота ПП света α_Ф = 0.044 град/мм. При этом естественная ОА дает угол поворота ρ = = 18.7 град/мм [18]. Сравнение дисперсий ОА и угла Фарадея для кварца приведено на рис. 1а.

Эффект Фарадея в α-TeO₂. Среди немагнитных кристаллов достаточно большой эффект Фарадея наблюдается в кристалле парателлурита α-TeO₂. В [19] измерено значение угла оптического вращения в α-TeO₂, связанного с эффектом Фарадея, при длине волны λ = 0.355 мкм. При величине напряженности МП H = 1.43 × 10⁵ А/м получено значение угла поворота α_Ф = 1.46 град/мм. Соответствующая величина постоянной Верде в направлении оптической оси V = 97.4 × 10^–4 град/А. Отметим, что при длине волны λ = 0.633 мкм постоянная Верде α-TeO₂ равна V = 22.5 × 10^–4 град/А [14, 20], что соответствует углу вращения α_Ф = = 0.32 град/мм при H = 1.43 × 10⁵ А/м. Таким образом, парателлурит обнаруживает вблизи края фундаментального поглощения резкое усиление магнитооптических свойств. Высокое значение константы Верде кристаллов α-TeO₂ может быть использовано для создания модуляторов лазерного излучения с длиной волны 0.355 мкм, изготовляемых из кристаллов α-TeO₂ и основанных не на акустооптическом взаимодействии, а на эффекте Фарадея.

Дисперсионную зависимость постоянной Верде в направлении оптической оси можно записать в виде [21]:

где А = 1.3 × 10^–5 мкм²⋅рад/А, В =1.06 × 10^–6 мкм⁴ рад/А. Иллюстрация дисперсии эффекта Фарадея в α-TeO₂ приведена на рис. 1б.

Отметим, что, хотя кристалл α-TeO₂ обладает достаточно большим значением постоянной Верде, его магнитное вращение значительно уступает по величине естественной ОА. При λ = 0.355 мкм в [19] получено значение вращения ПП света ρ = = 783 град/мм. Это превышает полученное значение вращения за счет эффекта Фарадея более чем в 500 раз.

Эффект Фарадея в KH₂PO₄. В [14] рассчитан эффект Фарадея при разных направлениях распространения света для диамагнитного кристалла KH₂PO₄ (симметрия $\bar {4}2m$). На рис. 2 приведена зависимость угла Фарадея от угла между волновой нормалью и оптической осью кристалла. Угол Фарадея в направлениях, отличных от оптической оси, вычисляли по приближенной формуле

где n₂ – n₁ – двупреломление кристалла для данного направления, d – толщина кристалла, $\alpha _{\Phi }^{0}$ = = π∆n_Ф/λ – угол вращения Фарадея при распространении света в направлении оптической оси, ∆n_Ф – циркулярное двупреломление, связанное с эффектом Фарадея. При небольшом отклонении волнового вектора от оптической оси угол Фарадея представляет собой угол поворота большой оси эллипса поляризации прошедшего эллиптически поляризованного света.

Отметим, что, хотя кристалл KH₂PO₄ обладает естественной ОА, в направлении оптической оси она не проявляется в связи с симметрией $\bar {4}2m$ [9].

Эффект Фарадея в двуосных кристаллах AgGaGe₃Se₈ и Sn₂P₂S₆. В [22] проведено измерение эффекта Фарадея в ромбическом кристалле AgGaGe₃Se₈ (класс симметрии mm2). Этот кристалл является прозрачным в диапазоне длин волн 0.6–16 мкм. Измерения проводили при распространении света в направлении одной из оптических осей в МП, параллельном этой оптической оси, при длине волны света λ = 0.633 мкм. Полученная зависимость угла Фарадея от величины МП приведена на рис. 3. Эта зависимость является линейной в соответствии с формулами (1), (2). Постоянная Верде для AgGaGe₃Se₈ в направлении оптической оси V = 5 × 10^–3 град/А при λ = = 0.633 мкм [22], что является достаточно большой величиной среди немагнитных кристаллов. Таким образом, кристалл AgGaGe₃Se₈ может быть эффективным магнитооптическим материалом.

Для произвольного направления распространения света тензор эффекта Фарадея для класса симметрии mm2 записывается в виде [6]:

Исходя из вида тензора (11), вращение Фарадея в направлении разных оптических осей будет одинаковым при условии одинаковой величины МП, направленного вдоль оптической оси. Это отличает эффект Фарадея от естественной ОА; вращение, обусловленное ОА, в направлении разных оптических осей одинаково по модулю и противоположно по знаку.

В [23] исследован эффект Фарадея в моноклинном кристалле Sn₂P₂S₆ (класс симметрии m). Измерения проводили при распространении света в направлении одной из оптических осей в параллельном МП. Зависимость полученного угла Фарадея от приложенного МП, как и в случае кристалла AgGaGe₃Se₈, является линейной. При напряженности МП H = 9.5 кЭ = 7.6 × 10⁵ А/м получено значение α_Ф = 7.1 град/мм при длине волны λ = 0.633 мкм. Постоянная Верде в направлении оптической оси равна V = 9.3 × 10^–3 град/А [23]. Таким образом, кристалл Sn₂P₂S₆ может использоваться в качестве магнитооптического материала. Отметим, что помимо значительного эффекта Фарадея кристалл Sn₂P₂S₆ обладает достаточно большой естественной ОА, ρ ~ ±44 град/мм при комнатной температуре. При температуре 337 К в этом кристалле имеет место фазовый переход, при этом симметрия меняется на 2/m и естественная ОА пропадает.

Для произвольного направления распространения света в кристалле класса m тензор эффекта Фарадея имеет вид [6]:

При таком тензоре V оптическое вращение, связанное с эффектом Фарадея, может быть и одинаковым, и разным в направлении разных оптических осей при одинаковой величине параллельного оптической оси МП. Это зависит от расположения оптических осей. При этом оптическое вращение, обусловленное естественной ОА, в кристалле класса m может быть только одинаковым по модулю и противоположным по знаку в направлении разных оптических осей.

Препятствием к практическому применению двуосных кристаллов является необходимость точного определения положения оптической оси, которое зависит не только от длины волны, но и от температуры и приложенного МП.

Эффекты Фарадея и Керра в кристалле Bi₁₂SiO₂₀. Отметим, что не во всех кристаллах зависимость эффекта Фарадея от МП является линейной. В [24] исследованы эффект Фарадея и полярный МЭ Керра в нелегированном нецентросимметричном кристалле Bi₁₂SiO₂₀, пр. гр. I23. На рис. 4а представлена зависимость угла поворота ПП света (λ = 0.633 мкм) от величины индукции МП для кристалла Bi₁₂SiO₂₀ вдоль направления 〈100〉. Данная зависимость является нелинейной, присутствует асимметрия ветвей кривой. На рис. 4б представлена одна из петель “динамического” (изменяющегося во времени) гистерезиса угла поворота ПП. В любой точке петли при остановке сканирования наблюдалось явление релаксации верхней ветви кривой к нижней (время релаксации τ = 100 с), совпадающей с кривой, представленной рис. 4а. На рис. 4в представлена зависимость от МП угла поворота ПП луча, отраженного от образца Bi₁₂SiO₂₀ (полярный МЭ Керра). Данная зависимость также является нелинейной, присутствуют выраженная асимметрия ветвей кривой и “динамический” гистерезис.

Полученные для Bi₁₂SiO₂₀ результаты интерпретированы в [24] в рамках модели комбинированного электромагнитогирационного эффекта. Электрогирационная часть вклада в угол поворота связывается с формированием продольного внутреннего электрического поля, индуцированного оптической ориентацией спинов. Показано, что в суммарный гирационный эффект вносит вклад магнетизм неподеленных электронных пар (Bi–O)-гептаэдров.

Эффект Фарадея в кристаллах редкоземельных гранатов. Изучению МЭ в кристаллах со структурой граната посвящено достаточно много работ [25–30]. Приведем пример проявления эффекта Фарадея для парамагнитного кристалла Tb₃Ga₅O₁₂, имеющего достаточно большое значение постоянной Верде (табл. 3). При комнатной температуре и длине волны 0.633 мкм получим V = = 94.0 град/А [16], что соответствует углу поворота ПП α_Ф = 7.5 град/мм при В = 1 Тл (H = 7.96 × × 10⁵ А/м).

Угол поворота α_Ф ПП света в Tb₃Ga₅O₁₂ равен сумме вкладов парамагнитных ионов Tb³⁺ и матрицы, образованной диамагнитными ионами галлия и кислорода. Диамагнитная составляющая угла α_Ф в отличие от парамагнитной не зависит от температуры [27].

В [27] исследован эффект Фарадея в кристалле Tb₃Ga₅O₁₂ в сильном импульсном МП (до 75 Тл) со скоростью нарастания поля 10⁷ Тл/с. На рис. 5 приведена экспериментальная зависимость угла Фарадея α_Ф от величины МП B, направленного вдоль 〈110〉, при начальной температуре образца 6 К. Также показаны теоретические зависимости α_Ф(В) при низких температурах. Видно, что величина α_Ф достигает насыщения при МП ~ 40 Тл.

Отметим, что в других кристаллах гранатов с редкоземельными элементами также наблюдается достаточно большой эффект Фарадея. Например, для кристалла Tb₃Al₅O₁₂ величина постоянной Верде в ~1.3 раза больше, чем для Tb₃Ga₅O₁₂ [16, 28]. В [29] проведено сравнение значений постоянных Верде в тербий–скандий алюминиевых гранатах разного состава. Самая большая из полученных величин превышает постоянную Верде для Tb₃Ga₅O₁₂ приблизительно в 1.4 раза. В [30] исследован эффект Фарадея при низких температурах в кристалле Sm₃Ga₅O₁₂.

Кристаллы с большим эффектом Фарадея используются для создания вращателей Фарадея – устройств, поворачивающих ПП линейно поляризованного света в результате эффекта Фарадея. Вращатель Фарадея является основным элементом оптического изолятора Фарадея [31]. Для создания изолятора Фарадея толщина пластинки и величина МП подбираются таким образом, чтобы угол вращения был равен 45°. С обеих сторон от вращателя помещаются поляризаторы, оси которых повернуты друг относительно друга на 45°. При распространении света в прямом направлении его поляризация на выходе из вращателя совпадает с направлением оси второго поляризатора, и свет свободно проходит. Но при распространении света в обратном направлении, так как угол Фарадея не зависит от направления распространения света, вышедший луч оказывается поляризован под углом 90° к оси первого поляризатора и полностью поглощается. Оптические изоляторы широко применяются в лазерной технике для защиты устройств лазеров от вредного воздействия отраженных сигналов [32].

3.1. Примеры эффектов Фарадея и Керра

Эффекты Фарадея и Керра в FeBO₃. Борат железа FeBO₃ активно исследуется благодаря редкому комплексу свойств – магнитных, резонансных, оптических, магнитооптических, магнитоупругих. Сочетание некоторых из этих свойств в борате железа уникально. Так, прозрачность в видимой области спектра сосуществует в FeBO₃ с магнитным упорядочением. Кристалл FeBO₃ имеет тригональную кристаллическую структуру, пр. гр. $R\bar {3}c$ [34]. Этот кристалл является антиферромагнетиком со слабым ферромагнетизмом [35].

На рис. 6 представлены оптические спектры коэффициента поглощения и эффекта Фарадея для FeBO₃ [36]. Наименьшее поглощение приходится на длину волны 514.5 нм (рис. 6а). Видно, что кристалл FeBO₃ обладает значительным эффектом Фарадея в видимом диапазоне спектра (рис. 6б).

Эффективным средством изучения поверхностных магнитных свойств кристаллов являются отражательные МЭ – эффекты Керра [7]. Экваториальный эффект Керра состоит в изменении интенсивности света, отраженного от ферромагнетика при его намагничивании. Он характеризуется величиной δ = (I – I₀)/I₀, где I₀ и I – интенсивности света, отраженного размагниченным и намагниченным ферромагнитным зеркалом соответственно. Величина δ пропорциональна компоненте намагниченности, лежащей в плоскости зеркала перпендикулярно плоскости падения света. Полярный эффект Керра состоит в повороте ПП отраженного света при намагничивании кристалла; угол поворота пропорционален перпендикулярной к плоскости ферромагнитного зеркала составляющей намагниченности. В [38] проведено измерение полярного и экваториального эффектов Керра для кристалла FeBO₃. Примеры полученных зависимостей приведены на рис. 7.

Эффекты Керра пропорциональны компонентам намагниченности, а глубина формирования магнитооптического сигнала очень мала (~10^–2 мкм [37]). Поэтому измерение различных эффектов Керра позволяет изучать полевые зависимости всех трех компонент намагниченности на поверхности образцов.

Эффект Фарадея в α-Fe₂O₃. Магнитные полупроводники – вещества, сочетающие в себе полупроводниковый тип проводимости с магнитным упорядочением – обладают рядом необычных физических свойств и находят активное практическое применение [39, 40]. В частности, они необходимы для создания нового поколения систем записи информации, магнитных головок, датчиков и т.д. К магнитным полупроводникам, представляющим особый интерес, относится гематит α-Fe₂O₃. По этой причине представляют интерес и МЭ в этом кристалле. На рис. 8а показана зависимость эффекта Фарадея от МП для гематита α-Fe₂O₃ при комнатной температуре [3]. Видно, что данная зависимость является линейной, но при определенной величине МП (около 4 кЭ) наклон прямой резко меняется. Кристалл α-Fe₂O₃ является антиферромагнетиком со слабым ферромагнетизмом. При комнатной температуре гематит обладает небольшим спонтанным магнитным моментом в базисной плоскости, составляющим ~0.1% от намагниченности подрешетки [3].

Эффект Фарадея в MnF₂. Кристалл MnF₂ представляет интерес в качестве антиферромагнитного материала. На рис. 8б представлена зависимость эффекта Фарадея в MnF₂ от величины МП при Т = 20 К [41]. Скачок эффекта связан с перестройкой магнитной структуры антиферромагнетика MnF₂, индуцированной сильным внешним МП. В данном случае эффект Фарадея является индикатором, позволяющим проследить этот процесс. В антиферромагнитном состоянии магнитные моменты ионов в MnF₂ ориентируются вдоль тетрагональной (оптической) оси. При наложении внешнего МП H_кр = 95 кЭ скачком происходит перестройка магнитной структуры. При H > H_кр намагниченность подрешеток устанавливается перпендикулярно приложенному полю. Магниторезонансный эффект Фарадея связан с магнитными восприимчивостями χ_|| при H < H_кр и χ_⊥ при H > H_кр. Скачок фарадеевского вращения обусловлен тем, что χ_|| < χ_⊥ при Т = 20 К приблизительно в 5 раз [42].

3.2. Магнитная анизотропия кубических ферромагнетиков

Отметим, что при появлении намагниченности кубические кристаллы перестают быть оптически изотропными [3, 4, 7]. Под действием намагниченности происходит деформация оптической индикатрисы кристалла, которую можно выразить через изменение обратного тензора диэлектрической проницаемости B_ij [3]:

где ρ_ijkl – магнитооптический тензор четвертого ранга, M_k, M_l – компоненты тензора намагниченности. В кубических кристаллах $B_{{ij}}^{0}$ = $1{\text{/}}n_{0}^{2}$, где n₀ – показатель преломления кубического кристалла в отсутствие намагниченности, а тензор ρ_ijkl имеет три ненулевые компоненты ρ₁₁₁₁ = ρ₁₁, ρ₁₁₂₂ = ρ₁₂, ρ₂₃₃₂ = ρ₄₄ [43]. Для характеристики магнитооптической анизотропии кубических ферромагнетиков вводится соотношение [3]:

Если а = 1, то при любой ориентации намагниченности двупреломление будет одинаковым – такой кристалл является магнитооптически изотропным. При а ≠ 1 двупреломление наблюдается даже при распространении света вдоль направления намагниченности, что в сочетании с эффектом Фарадея приводит к гироанизотропии среды – сосуществованию двупреломления и гиротропии.

В общем случае под действием намагниченности кубический кристалл из оптически изотропного превращается в двуосный, а положение оптических осей зависит от знака и величины параметра магнитооптической анизотропии а [44].

На рис. 9а показано изменение величины β = = 2π∆n/λ, где ∆n – магнитное двупреломление, при вращении кристалла вокруг направления распространения света для двух ферритов-гранатов с разными величинами а: для Eu₃Fe₅O₁₂ с а = = 0.98 и Sm₃Fe₅O₁₂ с а = 0.62 [44]. Видно, что во втором случае изменение β при повороте кристалла гораздо существеннее.

В сложнокомпонентных ферритах-гранатах типа (Gd,Tb,Eu)₃Fe₅O₁₂ могут проявляться отклонения от кубической симметрии и в отсутствие внешнего МП [45]. На рис. 9б показано изменение величины двупреломления света при вращении пластинки (Gd,Tb,Eu)₃Fe₅O₁₂, вырезанной параллельно естественной грани (110), вокруг направления распространения света. В отсутствие внешнего поля кривая вращения симметрична относительно нулевой линии. При наличии внешнего поля кривая становится несимметричной относительно нулевой линии, однако характер ее симметрии сохраняется [3]. Видно, что приведенные на рис. 9б зависимости существенно отличаются от соответствующих зависимостей для кубических ферритов-гранатов (рис. 9а).

3.3. Зависимость эффекта Фарадея от температуры

Магнитооптические эффекты чувствительны к изменению магнитной структуры кристаллов. Поэтому они существенно зависят от температуры. Изучение изменения эффектов Фарадея и Коттона–Мутона в зависимости от температуры может дать информацию о магнитных фазовых переходах в исследуемом кристалле [3].

На рис. 10а проиллюстрировано изменение угла Фарадея в кристалле Gd₃Fe₅O₁₂ в зависимости от температуры при прохождении точки компенсации намагниченности. В этой точке угол Фарадея меняет знак, а свет становится частично деполяризованным [46].

В [47] проведено исследование эффекта Фарадея в ромбическом кристалле TbAlO₃ вдоль разных кристаллографических осей. На рис. 10б показана измеренная в направлении [110] зависимость от температуры угла θ поворота большой оси эллипса поляризации света при эффекте Фарадея в TbAlO₃. Так как TbAlO₃ – двуосный кристалл, полученная величина зависит от двупреломления и имеет осциллирующий характер. Амплитуда осцилляций пропорциональна углу фарадеевского вращения α_Ф, а их период – величине естественного двупреломления Δn. На вставке к рис. 10б изображена температурная зависимость величины VT, где V – постоянная Верде. Данная величина в пределах погрешности измерений остается постоянной, из чего следует, что для данного направления V ~ 1/T [47]. Такая зависимость существенно отличается от зависимости V ~ χ (χ – магнитная восприимчивость), полученной в [48] при исследовании эффекта Фарадея вдоль оси a этого же кристалла. Такое различие, по-видимому, обусловлено малостью вклада не зависящего (или слабо зависящего) от температуры механизма ван-флековского “смешивания” в фарадеевское вращение TbAlO₃, измеренное вдоль оси [110] [47].

4.1. Фемтосекундная динамика эффекта Фарадея в пленках

В [58] впервые зарегистрирована сверхбыстрая динамика эффекта Фарадея в фемтосекундном (1 фс = 10^–15 с) временном диапазоне при прохождении лазерных импульсов через наноструктуры, в которых свет замедляется в десятки раз. Показано, что эффект Фарадея в одиночном лазерном импульсе может как расти, так и убывать со временем, это зависит от величины набега фазы внутри наноструктуры. По мнению ученых, полученные результаты открывают совершено новые перспективы для систем оптической обработки информации, в том числе для создания световых компьютеров, в которых вместо электронов работают исключительно фотоны. Также возможна разработка фемтосекундного поляризатора, которым можно будет управлять при помощи МП. Подобное устройство требуется для квантовых вычислений, молекулярной химии, а также оптической передачи данных.

В [58] использована авторская методика детектирования интенсивности и поляризации коротких лазерных импульсов с разверткой по времени, а также новый алгоритм моделирования наблюдаемых эффектов. Схема экспериментальной установки показана на рис. 14.

На рис. 15 приведена экспериментальная фемтосекундная динамика фарадеевского вращения для тонкой магнитной пленки феррита-граната (Bi,Lu,Eu,Tm)₃(Fe,Ga,Al)₅O₁₂ на подложке из гадолиний-галиевого граната Gd₃Ga₂(GaO₄)₃ [58, 59]. Центральная длина волны фемтосекундного лазерного импульса перестраивается в диапазоне 790–810 нм. Имеется спектральная периодичность ввиду интерференции Фабри–Перо для различных моментов времени. Период осцилляций сохраняется, а амплитуда со временем растет. Из рис. 15 видно, что для подобной структуры угол Фарадея может как увеличиваться, так и уменьшаться со временем при разных длинах волн.

7.1. Эффекты Фарадея и Керра в графене

Теоретически графен (или “двумерный графит”) изучался и широко использовался для описания свойств различных материалов на основе углерода с середины ХХ века [84–86]. Графен был известен как неотъемлемая часть 3D-материалов. Возможность существования двумерных (2D) кристаллов долгое время ставили под сомнение, ссылаясь на авторитет Л.Д. Ландау и Р. Пайерлса, показавших в 30-х годах прошлого века, что силы межатомного взаимодействия неизбежно должны свернуть их в трубку или смять в гармошку [87, 88]. Однако в 2004 г. К.С. Новоселов и А.К. Гейм сумели получить приемлемые для исследования и практического использования монослои графена простым отшелушиванием от графита при помощи обыкновенного скотча [89]. В 2010 г. А.К. Гейму и К.С. Новоселову присуждена Нобелевская премия по физике “за новаторские эксперименты по исследованию двумерного материала графена”. Позднее были предложены другие способы получения графена: термическим разложением SiC, химическим расслоением графита, под действием серной или соляной кислот, в растворе аммиака [80, 90, 91].

Графен представляет собой двумерную аллотропную модификацию углерода (рис. 25) [92]. Кристаллическая решетка графена состоит из правильных шестиугольников. В элементарной ячейке кристалла CDEF (рис. 25) находятся два атома, обозначенные A и B и относящиеся к разным подрешеткам. Кратчайшее расстояние а₀ между двумя соседними атомами в решетке равно 0.142 нм. Постоянная решетки равна 2a₀sin(60°) = = 0.246 нм. Площадь элементарной ячейки составляет 0.051 нм², концентрация атомов 3.9 × × 10¹⁵ см^–2.

Каждый атом четырехвалентного углерода связан ковалентно с тремя соседними атомами углерода, расположенными в плоскости, поэтому угол между связями составляет 120°, а четвертый электрон делокализован по всему кристаллу. Такая конфигурация 2s и двух 2p атомных орбиталей называется sp²-гибридизацией [79]. Четвертый электрон находится в 2p_z-состоянии, его орбиталь ориентирована перпендикулярно плоскости графена. Именно эти электроны отвечают за уникальные электронные свойства графена и формируют π-зону [80].

Главная особенность графена – это линейный закон дисперсии энергии Е носителей заряда от волнового вектора k (для полупроводников зависимость E(k) параболическая). Поскольку валентная зона и зона проводимости в графене соприкасаются, графен, также как и графит, является полуметаллом [84].

К настоящему времени проведено много теоретических и экспериментальных исследований физических свойств графена, в том числе МЭ Фарадея.

В [93] приведены результаты измерений проводимости и угла поворота поляризованного излучения, прошедшего через образец. Для измерений эффекта Фарадея были использованы образцы одно- и многослойного (четыре слоя) графена, эпитаксиально выращенные соответственно на Si-конце [94] и C-конце [95] поверхности 6H–SiC. В [94, 95] показано, что такой графен хорошо адаптирован для магнитооптических исследований из-за его контролируемой морфологии и достаточно большого размера.

Исследуемый образец [93] устанавливали в сверхпроводящий магнит с разделенной катушкой, прикрепленный к спектрометру с фурье-преобразованием. Использовался ИК-источник света и болометр с He-охлаждением. Перед и за образцом были установлены два поляризатора. Нормализованная по подложке пропускная способность определялась как отношение интенсивностей света, проходящего через графен на SiC и через голую подложку.

Особенностью графена является то, что в нем возбуждения на квазичастотах удовлетворяют уравнению Дирака, в котором скорость света c заменяется скоростью Ферми ${{{v}}_{{\text{F}}}}$ ≃ c/300. В рамках теории Дирака при сохранении только членов, линейных по проводимости [96, 97], получены следующие выражения для вычисления поглощения и угла Фарадея [93]:

где B – магнитная индукция, ω – циклотронная частота, σ_ij – компоненты тензора проводимости, T – нормализованное по подложке пропускание, Z₀ ≈ 377Ω – полное сопротивление в вакууме и f_s(ω) – спектрально гладкая безразмерная функция. В проведенных измерениях интерференция Фабри–Перо в подложке не учитывалась.

Уровень легирования и напряженность поля, используемые в [93], ставят систему в классический режим, где расстояние между уровнями Ландау для энергий Ферми намного меньше, чем энергия Ферми ε_F [98, 99]. Чтобы в этом режиме проявился классический эффект циклотронного резонанса, нужны квазичастицы Дирака. В этом случае классические формулы Друде имеют вид

где D = 2σ₀|ε_F|/h – весовой множитель Друде, σ₀ = = e²/(4h) – электропроводность 2D-электронного газа, e – элементарный заряд, h – постоянная Планка, ω_c = eB${v}_{{\text{F}}}^{2}$/ε_F – циклотронная частота (положительная для электронов и отрицательная для дырок), ${{{v}}_{{\text{F}}}}$ и ε_F – соответственно скорость и энергия Ферми носителей заряда, τ – время рассеяния.

На рис. 26 приведены результаты измерений фарадеевского вращения и магнитооптические спектры пропускания однослойного графена [93]. Из рис. 26а видно, что угол Фарадея α_Ф сильно зависит от поля и при низких энергиях положителен, а при высоких – отрицателен. Максимальное значение α_Ф составляет около 0.1 рад (∼6°), что является исключительно большим эффектом, учитывая, что это происходит из одного слоя. Нормированные спектры пропускания T(B)/T(0) также сильно зависят от МП (рис. 26б). На вставке показано поглощение (1 – T) при 0 и 7 Tл. Хорошо виден сильный пик Друде, сигнализирующий о высоком уровне легирования. Центр пика сдвигается от нуля до конечной энергии при 7 Тл, что происходит из-за циклотронного резонанса.

Согласно [93] “гигантский эффект Фарадея” обусловлен спецификой дисперсионных свойств электронов в графене. В МП они ведут себя как безмассовые частицы (дираковские фермионы), скорость которых не зависит от энергии, что проявляется и в неэквидистантном расположении уровней Ландау, переходы между которыми определяют частоты циклотронного резонанса и влияют на прохождение поляризованного излучения [80]. Полосы проводимости и валентности в графене показывают релятивистскую безмассовую дисперсию и хиральный характер электронной волновой функции, что приводит к неэквидистантным уровням Ландау (n = 0; ±1; ±2 …) [91].

Те же измерения были проведены на образце четырехслойного графена, выращенном на С-поверхности 6H–SiC. Результаты приведены на рис. 27 [93].

Из рис. 27 видно, что в многоcлойном графене кривые, соответствующие углам Фарадея и спектрам поглощения, разительно отличаются от тех же зависимостей для однослойного графена (рис. 26). Они показывают дополнительные, похожие на резонансные структуры, отмеченные стрелками. Как было показано в [96, 100], эти особенности спектров соответствуют оптическим переходам между отдельными уровнями Ландау. Низкочастотная часть спектров имеет структуру, подобную циклотронному резонансу. Знак угла Фарадея здесь соответствует электронному легированию.

В [101] приведены результаты теоретического исследования магнитооптических свойств монослоя графена с помощью методов квантовой теории поля в рамках модели Дирака квазичастиц в графене. Показано хорошее согласие между моделью Дирака и экспериментом по гигантскому вращению Фарадея в циклотронном резонансе (рис. 26) [93]. В [101] предсказаны другие режимы, когда эффекты хорошо выражены, и выявлена общая зависимость фарадеевского вращения и поглощения от различных параметров образцов как для подвешенного, так и для эпитаксиального графена.

В [102] приведены результаты измерений квантовых МЭ Фарадея и Керра в графене в терагерцовом диапазоне частот. Во вращении Фарадея наблюдается плато Холла (рис. 28а) – одинаковые значения угла вращения при больших МП.

Для определения МЭ Керра в геометрии отражения в [102] использовалась следующая схема. Короткий пробный импульс терагерцового диапазона пропускают через монослой графена на подложке SiC, при этом появляется задержанный второй импульс, который многократно отражается внутри подложки после первого основного импульса с разницей по времени Δt = 2n_subd/c, где d – толщина подложки, n_sub – показатель преломления подложки, а c – скорость света. Второй импульс испытывает вращение Керра (φ_К), когда он отражается на границе раздела между подложкой и графеном, и испытывает эффект Фарадея, когда выходит из графена. В пределе слабого сигнала полный угол поворота равен сумме вращений Фарадея и Керра. Таким образом, вращение Керра можно определить из задержанного второго импульса, вычитая фарадеевское вращение, определенное из поляризации первого импульса. Из рис. 28б видно, что выше 5.5 Тл на частоте 1 ТГц угол φ_К имеет фиксированное значение (φ_К = = ‒15 мрад), не зависящее от МП.

Представленные результаты обнаруживают квантовые плато во вращениях Фарадея и Керра именно на тех энергиях, которые характерны для электронов Дирака, с углом вращения, определяемым постоянной тонкой структуры. Устойчивые квантовые плато Холла в оптическом режиме, помимо того, что представляют интерес с концептуальной точки зрения, могут открыть возможности для новых оптоэлектронных приложений на основе графена.

В [103] показано, что в графене в терагерцевом диапазоне гигантское вращение Фарадея, обусловленное циклотронным резонансом, дополнительно увеличивается благодаря конструктивной интерференции Фабри–Перо в поддерживающей подложке. В частности, в дальних ИК-спектрах эпитаксиального многослойного графена, выращенного на С-грани 6H–SiC, где спектрально разрешены интерференционные полосы, фарадеевское вращение увеличивается до 0.15 рад (∼9°).

Эффект Фарадея и связанный с ним МЭ Керра широко используются в оптической связи, при хранении данных и вычислениях. Возможность осуществления в графене легкого и быстрого амбиполярного допинга вместе с сильным эффектом Фарадея в широком диапазоне частот представляют собой уникальную комбинацию, не представленную в других известных материалах.

7.2. Эффект Фарадея в супракристаллах

Теоретически доказана возможность существования и более сложных, чем графен, 2D-углеродных сетей из sp²-гибридизированных атомов углерода [104], образующих структуры, состоящие из трех-, четырех-, шести- и двенадцатиугольников. Их можно рассматривать как двумерные кристаллы, образованные квадратными или шестиугольными ячейками, в узлах которых находятся не отдельные атомы или ионы, а правильные многоугольники из атомов (ионов). Такие атомные сети были названы 2D-супракристаллами (от лат. supra – над), т.е. надкристаллами [105].

Трехмерным обобщением 2D-супракристаллов являются 3D-супракристаллы [106]. Они содержат кубические элементарные ячейки, в узлах которых находятся правильные или полуправильные многогранники (тела Платона и тела Архимеда). Атомы (ионы) располагаются в вершинах многогранников и связаны друг с другом валентными химическими связями.

В принципе, супракристаллы могут быть созданы не только из атомов углерода. Обратим внимание, что 3D-супракристаллы могут быть получены путем кристаллизации четырех-, пяти- или шестивалентных атомов, в то время как для получения 2D-супракристаллов требуются трех- или четырехвалентные атомы.

В 1991 г. появилась первая статья о нанотрубках [107]. Нанотрубки (НТ) представляют собой скрученную в виде цилиндра гексагональную графеновую сетку [108]. Все НТ можно разделить на две группы – ахиральные и хиральные, их принцип кодирования представлен в [109]. Тип проводимости НТ зависит от их хиральности, т.е. от группы симметрии, которой принадлежит конкретная НТ, и подчиняется простому правилу: если индексы НТ равны между собой или их разность делится на три, НТ является полуметаллом, в любом другом случае – полупроводником.

Полупроводниковые модификации углеродных нанотрубок (УНТ) (разность индексов хиральности не кратна трем) являются прямозонными полупроводниками. Это означает, что в них может происходить непосредственная рекомбинация электрон-дырочных пар, приводящая к испусканию фотона. Прямозонность автоматически включает УНТ в число материалов оптоэлектроники, фотолюминесценции, электролюминесценции как потенциальный источник излучения для проведения квантовых вычислений [110–112].

В 2000 г. было предсказано существование нового класса УНТ-структур, состоящих либо из пяти- и семиугольников, либо из пяти-, шести- и семиугольников [113]. Такие НТ, состоящие не только из шестиугольников, были названы “хаекилитными”. В [113] выявлено, что углеродные “хаекилитные” структуры являются энергетически более выгодными по сравнению с фуллереном С₆ (графеном) и обладают металлическим типом проводимости. Различные возможные типы УНТ типа “хаекелит” рассмотрены в [114].

На рис. 29 [115] приведены примеры атомных моделей графеноподобных 2D-супракристаллов. Можно подробно описать и привести различные примеры 2D- и 3D-супракристаллов, разнообразных видов НТ и конусов, хаекелитных структур, фуллеренов и Т-углеродов, но на этом останавливаться не будем.

Приведем один из результатов [115], где рассмотрена возможность усиления эффекта Фарадея в 2D-супракристаллах в МП.

Используем выражение (16) для угла фарадеевского вращения α_Ф ПП проходящего через образец графена монохроматического электромагнитного излучения частоты ω. После подстановки в это выражение формулы (18) для σ_xy(ω, B) получим [115]:

где α = (1/4πε₀)e²/(hc) ≈ 1/137 – постоянная тонкой структуры, ħ – приведенная постоянная Планка, а – не зависящая от вида 2D-кристалла универсальная безразмерная функция безразмерной частоты ω* = ω/ω_c и безразмерного времени рассеяния τ* = |ω_c|τ = μ|B| (μ – подвижность носителей заряда). Вид функции (20) для различных значений τ* показан на рис. 30.

В случае линейного закона дисперсии ε_F = = ~k_F${{{v}}_{{\text{F}}}}$ выражение (19) принимает вид [115]:

где верхний знак относится к электронам, а нижний – к дыркам, k_F – волновое число Ферми.

Из формул (19), (21) следует, что фарадеевское вращение возможно лишь в допированных графеноподобных материалах, когда ε_F ≠ 0 и k_F ≠ 0. Удобной подложкой для формирования эпитаксиального графена является кристаллический карбид кремния. Путем термодесорбции на его поверхности создается графеновая пленка.

Для достижения наибольшего гигантского фарадеевского вращения в графене и графеноподобных 2D-супракристаллах лучше использовать их допирование затворным напряжением. Поскольку подвижность носителей и их скорость Ферми в графеноподобных 2D-супракристаллах меньше, чем в графене, то при одинаковых затворных напряжениях фарадеевское вращение в них должно происходить при больших значениях индукции МП.