Известия РАН. Механика твердого тела, 2019, № 3, стр. 54-63
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ТРЕЩИН В ТРАНСВЕРСАЛЬНО ИЗОТРОПНОМ ТЕЛЕ
Д. А. Пожарский *
Донской государственный технический университет
Ростов-на-Дону, Россия
* E-mail: pozharda@rambler.ru
Поступила в редакцию 15.03.2018
После доработки 01.09.2018
Принята к публикации 26.09.2018
Аннотация
Изучены трехмерные задачи о периодических цепочках эллиптических трещин, ориентированных вдоль одной из осей координат, лежащих в плоскости, которая перпендикулярна плоскостям изотропии трансверсально изотропного упругого неограниченного тела. При помощи интегрального преобразования Фурье задачи сведены к интегро-дифференциальным уравнениям, ядра которых представлены в виде рядов и не содержат квадратур. Для решения использован регулярный асимптотический метод В.М. Александрова с введением основного безразмерного параметра, характеризующего относительную удаленность соседних трещин друг от друга. Границы применимости метода зависят от параметров анизотропии и расположения трещин, метод эффективен для относительно удаленных друг от друга трещин. Получены асимптотики для коэффициента интенсивности напряжений, отнесенного к случаю одной трещины. Сделаны расчеты параметров асимптотических решений для разных трансверсально изотропных материалов.
Введение. Многие современные материалы можно отнести к трансверсально изотропным (5 независимых упругих параметров) [1, 2]. Ранее была получена функция Грина в квадратурах для трансверсально изотропного неограниченного тела с трещиной, когда плоскости изотропии перпендикулярны плоскости трещины [3] (случай назван “нетрадиционным”; в более простом случае, когда плоскости изотропии параллельны плоской трещине нормального отрыва, функция Грина с точностью до множителя совпадает с известной для изотропного материала). Было показано [4], что, используя метод теории обобщенных функций, удается освободиться от квадратур в этой функции Грина, служащей ядром интегро-дифференциального уравнения (ИДУ) задачи о трещине. В “нетрадиционной” контактной задаче для транстропного полупространства (плоскости изотропии перпендикулярны площадке контакта) [5] также удалось освободиться от квадратур в функции Грина для нормального контакта [6] (в случае касательных нагрузок функция Грина сводится к однократному сингулярному интегралу). Метод [4, 6] освобождения от квадратур в функциях Грина для пространства и полупространства распространен для произвольной анизотропии (21 независимый упругий параметр) [7, 8], а также для ортотропного полупространства (9 независимых параметров) [9].
Полученное в свободной от квадратур форме ядро ИДУ [4] используется ниже при исследовании задач о периодической системе трещин в транстропном теле: такой вид ядра существенно облегчает применение регулярного асимптотического метода [10, 11], основанного на разложении гладкой части ядра в ряд по степеням малого параметра. Ранее изучались периодические системы трещин (разрезов) в упругой плоскости [12], изотропном пространстве [10, 13]. Для численного решения ИДУ рассматриваемого типа может применяться вариационный метод [14]. Изучалась возможность искривления трещины нормального разрыва в анизотропной плоскости [15].
1. Постановка задачи. Рассмотрим транстропное упругое пространство с плоскостями изотропии z = const. Закон Гука имеет вид [3]
(1.1)
$\begin{gathered} {{\sigma }_{x}} = {{A}_{{11}}}\frac{{\partial {{u}_{x}}}}{{\partial x}} + ({{A}_{{11}}} - 2{{A}_{{66}}})\frac{{\partial {{u}_{y}}}}{{\partial y}} + {{A}_{{13}}}\frac{{\partial {{u}_{z}}}}{{\partial z}}, \hfill \\ {{\sigma }_{y}} = ({{A}_{{11}}} - 2{{A}_{{66}}})\frac{{\partial {{u}_{x}}}}{{\partial x}} + {{A}_{{11}}}\frac{{\partial {{u}_{y}}}}{{\partial y}} + {{A}_{{13}}}\frac{{\partial {{u}_{z}}}}{{\partial z}} \hfill \\ {{\sigma }_{z}} = {{A}_{{13}}}\frac{{\partial {{u}_{x}}}}{{\partial x}} + {{A}_{{13}}}\frac{{\partial {{u}_{y}}}}{{\partial y}} + {{A}_{{33}}}\frac{{\partial {{u}_{z}}}}{{\partial z}} \hfill \\ \end{gathered} $В случае изотропного материала в формулах (1.1) следует положить (G – модуль сдвига, ν – коэффициент Пуассона)
(1.2)
${{A}_{{11}}} = {{A}_{{33}}} = \frac{{2G(1 - \nu )}}{{1 - 2\nu }},\quad {{A}_{{13}}} = \frac{{2G\nu }}{{1 - 2\nu }},\quad {{A}_{{44}}} = {{A}_{{66}}} = G$Пусть в плоскости x = 0 имеется периодическая система одинаковых эллиптических трещин нормального отрыва (разрезов), расположенных в направлении оси y или z и вытянутых вдоль одной из этих осей (возможны четыре случая a–d, см. фиг. 1). Расстояние между центрами соседних эллипсов равно 2h. К берегам разрезов приложена заданная нагрузка σx(±0, y, z) = –q(y, z), задачи симметричны относительно плоскости x = 0. При известных упругих параметрах Aij, полуосях эллипсов a и b и периоде 2h требуется определить величину раскрытия берегов разрезов ux(±0, y, z) = = ±u(y, z) и найти коэффициент интенсивности напряжений (КИН) на контуре трещин.
При помощи двойного интегрального преобразования Фурье [3] и методики освобождения от квадратур [4] сведем задачи к ИДУ
(1.3)
$ \cdot \;{{F}_{i}}(y - {{y}_{0}},z - {{z}_{0}})d{{y}_{0}}d{{z}_{0}},\quad (y,z) \in \Omega = \left\{ {\frac{{{{y}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}} + \frac{{{{z}^{2}}}}{{{{b}^{2}}}} \leqslant 1} \right\},\quad \Delta = \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{y}^{2}}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{z}^{2}}}}$Здесь для случаев a и c (i = 1, цепочки трещин вдоль оси y)
(1.4)
${{F}_{1}}(y,z) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\Delta \left[ {K(y + 2hn,z) + K(y - 2hn,z)} \right]} $(1.5)
${{F}_{2}}(y,z) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\Delta \left[ {K(y,z + 2hn) + K(y,z - 2hn)} \right]} $Главная часть ядра имеет вид ([4], см. первую формулу (1.16), где следует исправить опечатку – вставить множитель $ - {{[{{(y - {{y}_{0}})}^{2}} + {{(z - {{z}_{0}})}^{2}}]}^{{ - 1}}}$ под знаком интеграла)
(1.6)
$K(y,z) = \frac{{{{m}_{2}}h_{1}^{2}{{\zeta }_{2}} - {{m}_{1}}h_{2}^{2}{{\zeta }_{1}} - 4({{m}_{2}} - {{m}_{1}}){{z}^{2}}{{\zeta }_{1}}{{\zeta }_{2}}{{\zeta }_{3}}}}{{({{m}_{2}} - {{m}_{1}}){{y}^{2}}{{\zeta }_{1}}{{\zeta }_{2}}({{y}^{2}} + {{z}^{2}})}}$Параметры $\gamma _{1}^{2}$, $\gamma _{2}^{2}$ являются корнями характеристического уравнения
Справедливо важное тождество
Предельный переход от ядра (1.6) к ядру для изотропного случая осуществляется при ${{\gamma }_{1}} \to {{\gamma }_{2}} \to 1$, ${{\gamma }_{{\text{3}}}} = 1$ с учетом соотношений (1.2). При этом следует положить
и воспользоваться значениями пределов
В результате получим известное ядро (${{\gamma }_{{\text{3}}}} = 1$) [10]:
2. Асимптотический метод. Для решения ИДУ (1.3)–(1.5) применим регулярный асимптотический метод [10, 11]. Далее для простоты ограничимся случаем q(y, z) = = q0 = const. При a ≥ b (случаи a и b) введем безразмерные обозначения по формулам
(2.1)
$y{\text{'}} = \frac{y}{a},\quad z{\text{'}} = \frac{z}{a},\quad \lambda = \frac{h}{a},\quad \varepsilon = \frac{b}{a},\quad q_{0}^{'} = \frac{{\gamma _{3}^{2}}}{{{{A}_{{66}}}}}{{q}_{0}},\quad u{\text{'}}(y',z{\text{'}}) = \frac{{u(y,z)}}{a}$В обозначениях (2.1) в формулах (1.4), (1.5) для гладких частей ядер ИДУ следует заменить h на λ, применить оператор Лапласа Δ, вынести λ–3 за скобки и затем разложить функции в скобках в ряды Тейлора по переменным y/λ и z/λ. Для удобства почленного дифференцирования в формулах (1.4), (1.5) можно, учитывая соотношение (1.7), представить функцию (1.6) в форме
В результате получим (λ → ∞)
(2.2)
${{F}_{k}}(y,z) = \frac{{{{A}_{k}}\zeta (3)}}{{4{{\lambda }^{3}}}} + O\left( {\frac{1}{{{{\lambda }^{5}}}}} \right)\quad (k = 1,2),\quad \zeta (3) \approx 1.202$Разложения вида (2.2) для функций
(2.3)
$\lambda > {{\gamma }_{{\max }}}$ (случай b), $\lambda > \max (1,\varepsilon {{\gamma }_{{\max }}})$ (случай d)Неравенства (2.3) показывают, что область применимости регулярного асимптотического метода зависит не только от расположения трещин, но и от параметров анизотропии.
Разложение (2.2) при ${{\gamma }_{1}} \to {{\gamma }_{2}} \to 1$, ${{\gamma }_{{\text{3}}}} = 1$ в точности совпадает с разложением для изотропного случая ([10], см. формулы (18.16), (18.17), где следует перейти к пределу при t → ∞). Именно, используя значения пределов
В таблице даны значения параметров ${{\gamma }_{{\max }}}$, $\gamma _{{\min }}^{{ - 1}}$, ${{A}_{1}}$, ${{A}_{2}}$ вида (2.2), (2.3) для ряда известных трансверсально изотропных материалов, упругие параметры которых Aij были измерены экспериментально ([1], с. 22–23). Для материалов 3, 4, 9, 15, 16, 18, 19 и 23 из таблицы значения $\gamma _{1}^{2}$ и $\gamma _{{\text{2}}}^{{\text{2}}}$ (а также m1 и m2) являются комплексно сопряженными.
Асимптотическое решение ИДУ (1.3), (2.1) с ядром (2.2) будем искать в виде (λ → ∞)
(2.4)
$u(y,z) = \sum\limits_{k = 0}^4 {\frac{{{{u}_{k}}(y,z)}}{{{{\lambda }^{k}}}}} + O\left( {\frac{1}{{{{\lambda }^{5}}}}} \right)$Подставляя представления (2.2) и (2.4) в ИДУ (1.3), (2.1) и приравнивая члены при одинаковых степенях λ, получим цепочку ИДУ для последовательного определения функций uk(y, z). Левые части этих уравнений такие же, как в (1.3), а правые части постоянные. Для таких уравнений известны точные решения [3], получаемые с использованием представления ядра (1.6) в форме двукратного интеграла Фурье. В результате для случаев a (k = 1) и b (k = 2) найдем (λ → ∞)
(2.5)
$u(y,z) = \sqrt {1 - {{y}^{2}} - \frac{{{{z}^{2}}}}{{{{\varepsilon }^{2}}}}} \frac{{{{q}_{0}}}}{{{{R}_{1}}}}\left( {1 + \frac{{\varepsilon {{A}_{k}}\zeta (3)}}{{3{{R}_{1}}{{\lambda }^{3}}}} + O\left( {\frac{1}{{{{\lambda }^{5}}}}} \right)} \right)\quad {\text{(}}k = 1,2{\text{)}}$Аналогичное решение для случаев c (k = 1) и d (k = 2) имеет вид (λ → ∞)
(2.6)
$u(y,z) = \sqrt {1 - \frac{{{{y}^{2}}}}{{{{\varepsilon }^{2}}}} - {{z}^{2}}} \frac{{{{q}_{0}}}}{{{{R}_{2}}}}\left( {1 + \frac{{\varepsilon {{A}_{k}}\zeta (3)}}{{3{{R}_{2}}{{\lambda }^{3}}}} + O\left( {\frac{1}{{{{\lambda }^{5}}}}} \right)} \right)\quad {\text{(}}k = 1,2{\text{)}}$Подынтегральные выражения в формулах (2.5) и (2.6) для R1 и R2 содержат устранимые особенности при φ = π/2.
Для круговых трещин (ε = 1) значения ${{R}_{1}} = {{R}_{2}} = {{R}_{ * }}$ приведены в предпоследнем столбце табл. 1.
Таблица 1.
№ | Материал | ${{\gamma }_{{\max }}}$ | $\gamma _{{\min }}^{{ - 1}}$ | ${{A}_{1}}$ | ${{A}_{2}}$ | ${{R}_{ * }}$ | ${{K}_{0}}$ |
---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | Al2O3 | 1.669 | 1.586 | 0.2627 | 0.2717 | 1.908 | 1.06 |
2 | BaTiO3 | 5.313 | 5.010 | 0.06032 | –0.09960 | 0.1980 | 0.617 |
3 | Be | 1.106 | 1 | 0.3237 | 0.3913 | 2.172 | 1.10 |
4 | Cd | 1.029 | 1.229 | 0.2795 | 0.4718 | 2.929 | 0.710 |
5 | CdS | 1.785 | 1.707 | 0.2321 | 0.3485 | 2.376 | 1.09 |
6 | Co | 1.808 | 1.674 | 0.1802 | 0.4292 | 2.699 | 1.17 |
7 | GaS | 2.018 | 4.215 | 0.07088 | 2.342 ⋅ 10–3 | 0.1798 | 0.278 |
8 | GaSe | 1.814 | 3.156 | 0.1097 | 0.01768 | 0.3856 | 0.410 |
9 | InSe | 1 | 1.384 | 0.2105 | 0.05447 | 0.9306 | 0.567 |
10 | Mg | 1.432 | 1.408 | 0.3114 | 0.3467 | 2.231 | 1.03 |
11 | MoS2 | 1.532 | 3.278 | 0.01523 | –1.816 ⋅ 10–3 | 0.1179 | 0.320 |
12 | NbSe2 | 1.157 | 1.621 | 0.1324 | 0.02405 | 0.6257 | 0.586 |
13 | SiC | 1.691 | 1.621 | 0.2203 | 0.1778 | 1.412 | 1.01 |
14 | Ti | 1.326 | 1.257 | 0.3122 | 0.6851 | 3.605 | 1.17 |
15 | TiB2 | 1.336 | 1.119 | 0.8843 | 1.212 | 8.112 | 0.531 |
16 | Zn | 1 | 1.266 | 0.2319 | 0.1076 | 1.035 | 0.528 |
17 | ZnO | 1.510 | 1.506 | 0.3041 | 0.3712 | 2.410 | 1.03 |
18 | Бедренная кость сырая бычья | 2.280 | 1.728 | 0.1573 | 0.4589 | 2.843 | 1.45 |
19 | Бедренная кость человека | 2.039 | 1.894 | 0.05231 | 0.3913 | 2.840 | 1.17 |
20 | Бетон, состарен циклами нагрев-охлаждение | 1.047 | 1 | 0.3099 | 0.3429 | 2.029 | 1.06 |
21 | Бетон, состарен химически | 1.125 | 1 | 0.3474 | 0.4498 | 2.426 | 1.15 |
22 | Гнейс влажный | 1.621 | 1.638 | 0.2333 | 0.07913 | 1.144 | 0.778 |
23 | Гнейс сухой | 1 | 1.365 | 0.2256 | 0.08747 | 0.8883 | 0.463 |
24 | Графит | 10.25 | 54.87 | 4.758 ⋅ 10–3 | –1.458 ⋅ 10–4 | 9.301 ⋅ 10–4 | 0.0109 |
25 | Древесина (ель Дугласа) | 3.713 | 2.855 | –0.5898 | 0.1547 | 1.863 | 1.47 |
26 | Керамика PZT-4 | 1.095 | 1.203 | 0.3554 | 0.2633 | 1.961 | 0.866 |
27 | Композит (60% волокон) | 4.724 | 1.452 | 0.03790 | 1.174 | 5.578 | 4.07 |
28 | Сапфир | 1.528 | 1.526 | 0.2679 | 0.2565 | 1.816 | 0.996 |
29 | Углеволокно | 2.737 | 1 | 0.2704 | 6.623 | 18.74 | 4.68 |
30 | Эпоксидное стекло | 2.915 | 1.638 | 0.1970 | 0.4605 | 2.787 | 1.96 |
31 | Эпоксидный графит | 4.564 | 1.343 | 0.1035 | 1.442 | 6.284 | 4.29 |
Для случая одной трещины формула для КИН на ее контуре получена Фабрикантом [3]. На основе решений (2.5), (2.6) КИН для системы трещин, отнесенный к КИН для случая одной трещины, получим в виде (λ → ∞)
(2.7)
${{K}_{{kn}}} = 1 + \frac{{\varepsilon {{A}_{k}}\zeta (3)}}{{3{{R}_{n}}{{\lambda }^{3}}}} + O\left( {\frac{1}{{{{\lambda }^{5}}}}} \right)\quad {\text{(}}k,n = 1,2{\text{)}}$При полиномиальной нагрузке на берегах трещин, а также в случае увеличения асимптотической точности в формулах (2.2), (2.5)–(2.7), возникает необходимость решения ИДУ вида (снова используем размерные обозначения)
(2.8)
$\begin{gathered} - \Delta \iint\limits_\Omega {u({{y}_{0}},{{z}_{0}})K(y - {{y}_{0}},z - {{z}_{0}})d{{y}_{0}}d{{z}_{0}} = }\frac{{2\pi \gamma _{3}^{2}}}{{{{A}_{{66}}}}}{{Q}_{m}}(y,z), \\ {\text{(}}y,z{\text{)}} \in \Omega = \left\{ {\frac{{{{y}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}} + \frac{{{{z}^{2}}}}{{{{b}^{2}}}} \leqslant 1} \right\} \\ \end{gathered} $(2.9)
$u(y,z) = \sqrt {1 - \frac{{{{y}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}} - \frac{{{{z}^{2}}}}{{{{b}^{2}}}}} {\text{ }}{{U}_{m}}(y,z)$Доказательство проведем методом математической индукции. Представим ядро (1.6) двойным интегралом Фурье [4]
(2.10)
$K(y,z) = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \infty }^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{D\exp ( - iz\xi - iy\eta )d\xi d\eta }}{{({{m}_{2}} - {{m}_{1}}){{\xi }^{2}}\zeta _{1}^{ * }\zeta _{2}^{ * }({{\xi }^{2}} + {{\eta }^{2}})}}} } $После подстановки (2.9) в ИДУ (2.8) с ядром (2.10) сперва применяется оператор Лапласа под знаком интеграла, затем берется интеграл по области Ω. Для случая ${{Q}_{0}}(y,z)$ = q0, ${{U}_{0}}(y,z) = {{u}_{0}}$ используется формула [3]
(2.11)
$ = \;\frac{{2\pi ab}}{{{{a}^{2}}{{\eta }^{2}} + {{b}^{2}}{{\xi }^{2}}}}\left( {\frac{{\sin \sqrt {{{a}^{2}}{{\eta }^{2}} + {{b}^{2}}{{\xi }^{2}}} }}{{\sqrt {{{a}^{2}}{{\eta }^{2}} + {{b}^{2}}{{\xi }^{2}}} }} - \cos \sqrt {{{a}^{2}}{{\eta }^{2}} + {{b}^{2}}{{\xi }^{2}}} } \right)$(2.13)
$\int\limits_0^\infty {\cos (\rho \theta )\cos \rho d\rho = 0,\quad } \int\limits_0^\infty {\cos (\rho \theta )\frac{{\sin \rho }}{\rho }d\rho = \frac{\pi }{2}\quad (\theta < 1)} $Пусть результат (2.9) справедлив, когда Um(y, z) – полином степени m. Тогда после подстановки (2.9) в ИДУ (2.8) с ядром (2.10) интегралы по области Ω вычисляются при помощи m-кратного почленного дифференцирования формулы (2.11) по ξ и η. Для полинома Um + 1(y, z) требуется еще раз продифференцировать формулу (2.11). Перед проведением (m + 1)-го дифференцирования сделаем замену (2.12), переходя к дифференцированию по ρ и φ, например (аналогично для производной по η)
(2.14)
$\frac{\partial }{{\partial \xi }} = b\cos \varphi \frac{\partial }{{\partial \rho }} - b\frac{{\sin \varphi }}{\rho }\frac{\partial }{{\partial \varphi }}$Затем, после добавления оператора (2.14) в уравнение (2.8), (2.10), следует член с экспонентой проинтегрировать по частям по ρ для первого слагаемого в правой части (2.14) и продифференцировать по φ для второго слагаемого. Эти операции сводят случай Um + 1(y, z) к случаю Um(y, z), увеличивая степень результата на 1. При этом важно, что подынтегральная функция
В качестве примера рассмотрим случай
(2.15)
${\text{ }}{{Q}_{1}}(y,z) = {{q}_{0}} + {{q}_{1}}y + {{q}_{2}}z,\quad {{U}_{1}}(y,z) = {{u}_{0}} + {{u}_{1}}y + {{u}_{2}}z$Пусть для определенности a ≥ b. Используя обозначения (2.1), (2.5), а также
3. Выводы. Использованный метод имеет смысл при λ > 1, но является эффективным при λ ≥ 1.4 (при этом, как показывает численный анализ, погрешность формулы (2.7) для материалов из таблицы не превышает 5%), если только указанные интервалы не противоречат условиям (2.3). Аналогичный результат установлен для цепочки трещин в однородном теле ([10], с. 138). Для большинства материалов из таблицы интервалы (2.3) включают значения λ < 2. Например, для системы круговых трещин (ε = 1) в титане при λ = 1.4 по формуле (2.7) найдем ${{K}_{{11}}} = {{K}_{{12}}} = 1.013$, ${{K}_{{21}}} = {{K}_{{22}}} = 1.028$. При увеличении эксцентриситета эллипсов (уменьшении ε) значения Q1 и Q2 возрастают, а значения КИН (2.7) стремятся к 1. Для материалов из таблицы при λ ≥ 2 взаимодействие трещин проявляется весьма слабо, значение приведенного КИН близко к 1. В некоторых случаях (при Ak < 0, такие значения в таблице встречаются трижды) КИН для цепочки трещин может оказаться даже меньше, чем для одиночной трещины. Например, для древесины при ε = 1, λ = 2.9 получим ${{K}_{{11}}} = {{K}_{{12}}} = 0.995$.
При сближении трещин (λ близко к 1 в случаях a и d; λ близко к ε в случаях b и c) КИН должен существенно возрастать в наиболее опасной точке, лежащей на оси цепочки трещин. Здесь можно воспользоваться рекомендацией, данной для цепочки в однородном теле ([10], с. 139), и для получения первого приближения решить более простую плоскую задачу о цепочке полосовых равномерно нагруженных трещин (возможны 2 случая ориентации полос перпендикулярных плоскостям изотропии, известны приближенные решения для одной полосовой трещины [4]).
Сравним КИН для цепочек круговых трещин в неограниченном упругом теле, расположенных параллельно и перпендикулярно плоскостям изотропии. Для первого случая ИДУ и его асимптотическое решение получается заменой в соответствующих формулах для изотропного материала [10] множителя G/(1 − ν) на [1]
При постоянной нагрузке на берегах трещин, используя формулы (2.1), (2.5), (2.6), найдем отношение КИН для цепочки круговых трещин перпендикулярных плоскостям изотропии к КИН для цепочки трещин параллельных плоскостям изотропии в виде
Значения K0 даны в последнем столбце таблицы. При K0 > 1 и достаточно больших значениях λ опаснее трещины, перпендикулярные плоскостям изотропии.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (18-01-00017) и Минобрнауки РФ (проект 9.8082.2017/БЧ).
Список литературы
Ding H., Chen W., Zhang L. Elasticity of transversely isotropic materials. Dordrecht: Springer, 2006. 435 p.
Pan E., Chen W. Static Green’s functions in anisotropic media. N.Y. etc.: Cambridge Univ. Press, 2015. 356 p.
Fabrikant V.I. Non-traditional crack problem for transversely-isotropic body // Europ. J. Mech. A: Solids. 2011. V. 30. P. 902–912.
Артамонова Е.А., Пожарский Д.А. О полосовом разрезе в трансверсально изотропном упругом теле // ПММ. 2013. Т. 77. Вып. 5. С. 768–777.
Fabrikant V.I. Non-traditional contact problem for transversely isotropic half-space // Quart. J. Mech. Appl. Math. 2011. V. 64. № 2. P. 151–170.
Давтян Д.Б., Пожарский Д.А. Действие полосового штампа на трансверсально изотропное полупространство // ПММ. 2012. Т. 76. Вып. 5. С. 783–794.
Fabrikant V.I. Relationship between contact and crack problems for generally anisotropic bodies // Int. J. Eng. Sci. 2016. V. 102. P. 27–35.
Fabrikant V.I. Relationship between green’s functions of tangential contact and crack problems for generally anisotropic bodies // ZAMM. 2016. V. 96. № 12. P. 1423–1433.
Пожарский Д.А. Контактная задача для ортотропного полупространства // Изв. РАН. МТТ. 2017. № 3. С. 100–108.
Александров В.М., Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. М.: Наука, 1993. 224 с.
Alexandrov V.M., Pozharskii D.A. Three-dimensional contact problems. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2001.
Саврук М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. Киев: Наук. думка, 1981. 324 с.
Андрейкив А.Е. Пространственные задачи теории трещин. Киев: Наук. думка, 1982. 345 с.
Гольдштейн Р.В., Спектор А.А. Вариационный метод исследования пространственных смешанных задач о плоском разрезе в упругой среде при наличии проскальзывания и сцепления его поверхностей // ПММ. 1983. Т. 47. Вып. 2. С. 276–285.
Гольдштейн Р.В., Шифрин Е.И. О возможности искривления трещины нормального разрыва в анизотропной плоскости // Изв. РАН. МТТ. 2006. № 6. С. 173–184.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Известия РАН. Механика твердого тела