1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Известия РАН. Механика твердого тела
  4. № 6, 2019

Известия РАН. Механика твердого тела, 2019, № 6, стр. 108-120

ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯ КОЛЕБАНИЯМИ СТРУНЫ С НЕРАЗДЕЛЕННЫМИ МНОГОТОЧЕЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ В ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ МОМЕНТЫ ВРЕМЕНИ

В. Р. Барсегян a, b, *

a Ереванский государственный университет
Ереван, Армения

b Институт механики НАН Армении
Ереван, Армения

* E-mail: barseghyan@sci.am

Поступила в редакцию 19.02.2019
После доработки 19.02.2019
Принята к публикации 21.03.2019

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассмотрена задача управления колебаниями струны с заданными неразделенными значениями функции прогиба и скоростей в промежуточные моменты времени. Методом разделения переменных задача сводится к задаче управления обыкновенных дифференциальных уравнений с заданными начальными, конечными и неразделенными многоточечными промежуточными условиями. Задача решается с помощью методов теории управления конечномерными системами с многоточечными промежуточными условиями. В качестве приложения предложенного подхода построено управляющее воздействие для задачи управления колебаниями струны с заданными неразделенными условиями на значения функции прогиба и скоростей струны в двух промежуточных моментах времени.

Ключевые слова: управление колебаниями, колебание струны, промежуточные значения, неразделенные многоточечные условия, управление

Введение. Одними из самых распространенных процессов в природе и технике являются колебательные процессы, которые моделируются волновым уравнением [1–3]. При этом на практике часто возникают задачи управления, когда нужно сгенерировать желаемую форму колебания, удовлетворяющую промежуточным условиям. Многие процессы управления из различных областей науки и техники приводят к необходимости исследования многоточечных краевых задач управления, характерной чертой которых является наличие неразделенных (нелокальных) условий в нескольких промежуточных точках интервала исследования. Благодаря многочисленным приложениям внимание исследователей привлекли многоточечные краевые задачи, в которых, наряду с классическими краевыми (начальное и конечное) условиями, заданы также неразделенные (нелокальные) многоточечные промежуточные условия [4–16]. Неразделенные многоточечные краевые задачи, с одной стороны, возникают как математические модели реальных процессов, а с другой – для многих уравнений невозможна корректная постановка локальных краевых задач. Неразделенность многоточечных условий может быть обусловлена, в частности, невозможностью на практике проводить замеры измеряемых параметров состояния объекта мгновенно или в его отдельно взятых точках. Подобные задачи имеют важные прикладные и теоретические значения, так что естественным образом возникает необходимость их исследования в различных постановках.

Многочисленные примеры технологических процессов, приводящих к задачам управления системами с распределенными параметрами, рассмотрены в [1–3] и предложены различные методы решения. Задачи управления колебательных процессов, как внешними, так и граничными управляющими воздействиями при различных типах граничных условий, рассмотрены в работах [8–15]. В работах [8–13] рассмотрены задачи об управлении колебаниями струны и мембраны с заданными промежуточными (локальными) состояниями с помощью внешних сил, действующих на системы. В работе [14] рассматривается многоточечная краевая задача в полислое и для нее доказывается теорема о существовании корректной краевой задачи. В работе [15] построены алгоритмы нахождения приближенного решения и установлены условия их сходимости. В [16] на основе метода параметризации исследуется линейная многоточечная краевая задача для системы нагруженных дифференциальных уравнений и предложен алгоритм нахождения решения.

В настоящей работе рассматривается задача управления для уравнения колебания струны с заданными начальными, конечными условиями и неразделенными значениями прогиба и скоростей точек струны в промежуточные моменты времени. Методом разделения переменных задача сводится к задаче управления со счетным числом обыкновенных дифференциальных уранений с заданными начальными, конечными и неразделенными многоточечными промежуточными условиями. Для каждой гармоники, используя методы теории управления конечномерными системами с многоточечными промежуточными условиями, построено управляющее воздействие. В качестве приложения предложенного конструктивного подхода построено управляющее воздействие для управления колебаниями струны с заданными неразделенными значениями функции прогиба и скоростей точек струны в двух промежуточных моментах времени, а также в случае, когда в один момент времени задано только значение прогиба, а в другой момент – значение скорости.

1. Постановка задачи. Рассмотрим однородную упругую натянутую струну длиной l, края которой закреплены. Пусть в вертикальной плоскости на струну действуют распределенные силы с плотностью u(x, t), которое является управляющим воздействием.

Пусть состояние распределенной колебательной системы (малые поперечные колебания струны), т.е. отклонения от состояния равновесия, описываются функцией $Q\,(x,t)$, $0 \leqslant x \leqslant l$, $0 < t < T$, которая подчиняется при $0 < x < l$ и $0 < t < T$ волновому уравнению

(1.1)
$\frac{{{{\partial }^{2}}Q}}{{\partial {{t}^{2}}}} = {{a}^{2}}\frac{{{{\partial }^{2}}Q}}{{\partial {{x}^{2}}}} + u(x,t)$
с начальными условиями
(1.2)
$Q(x,0) = {{{\varphi }}_{0}}(x),\quad {{\left. {\frac{{\partial Q}}{{\partial t}}} \right|}_{{t = 0}}} = {{{\psi }}_{0}}(x),\quad 0 \leqslant x \leqslant l$
и однородными граничными условиями

(1.3)
$Q(0,t) = 0,\quad Q(l,t) = 0,\quad 0 \leqslant t \leqslant T$

В уравнении (1.1) , где ${{T}_{0}}$ – натяжение струны, ${\rho }$ – плотность однородной струны. Функция $Q\,(x,t)$, удовлетворяющая уравнению (1.1), дважды непрерывно дифференцируема вплоть до границы области.

Пусть в некоторые промежуточные моменты времени $0 = {{t}_{0}} < {{t}_{1}} < ... < {{t}_{m}} < {{t}_{{m + 1}}} = T$ на значения функции прогиба струны и ее производные заданы неразделенные (нелокальные) условия в виде

(1.4)
$\sum\limits_{k = 1}^m {{{f}_{k}}Q(x,{{t}_{k}})} = {\alpha }(x)$
(1.5)
$\sum\limits_{k = 1}^m {{{e}_{k}}{{{\left. {\frac{{\partial Q(x,t)}}{{\partial t}}} \right|}}_{{t = {{t}_{k}}}}}} = {\beta }(x)$
где ${{f}_{k}}$ и ${{e}_{k}}$ – заданные величины $(k = 1,...,m)$, а ${\alpha }(x)$ и ${\beta }(x)$ – некоторые известные функции.

Вообще может быть, что в некоторые моменты времени tk $(k = 1,...,m)$ в условиях (1.4), (1.5) присутствует или значение функции прогиба или значение производной этой функции, т.е. необязательно, что в каждый моменты времени tk $(k = 1,...,m)$ в условиях (1.4), (1.5) одновременно присутствовали функции $Q(x,{{t}_{k}})$ и ${{\left. {\partial Q(x,t){\text{/}}\partial t} \right|}_{{t = {{t}_{k}}}}}$. В таких случаях будем считать, что соответствующие коэффициенты ${{f}_{k}}$ или ${{e}_{k}}$ равны нулю.

Задачу управления колебаниями струны с заданными неразделенными условиями (1.4), (1.5) в промежуточные моменты времени tk $(k = 1,...,m)$ можно сформулировать следующим образом: среди возможных управлений $u(x,t)$, $0 \leqslant x \leqslant l$, $0 \leqslant t \leqslant T$, требуется найти управление, переводящее колебания струны (1.1) с граничными условиями (1.3) из заданного начального состояния (1.2), обеспечивая удовлетворение неразделенных многоточечных промежуточных условий (1.4) и (1.5), в заданное конечное состояние

(1.6)
$Q(x,T) = {{{\varphi }}_{T}}(x) = {{{\varphi }}_{{m + 1}}}(x),\quad {{\left. {\frac{{\partial Q}}{{\partial t}}} \right|}_{{t = T}}} = {{{\psi }}_{T}}(x) = {{{\psi }}_{{m + 1}}}(x),\quad 0 \leqslant x \leqslant l$

Здесь ${{{\varphi }}_{0}}(x)$, ${{{\psi }}_{0}}(x)$, ${{{\varphi }}_{T}}(x)$, ${{{\psi }}_{T}}(x)$, ${\alpha }(x)$ и ${\beta }(x)$ – заданные гладкие функции, удовлетворяющие условиям согласования.

Предполагается, что система (1.1) при ограничениях (1.2)–(1.6) на промежутке времени [0, T] является вполне управляемой [5, 17]. Это означает, что на промежутке времени [0, T] можно выбрать управляющее воздействие $u(x,t)$, под воздействием которого функция прогиба струны $Q\,(x,t)$ удовлетворяет уравнению (1.1) и заданным условиям (1.2)–(1.6).

2. Решение задачи. Для построения решения поставленной задачи ищем решение уравнения (1.1) с граничными условиями (1.3) в виде

(2.1)
$Q(x,t) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{Q}_{n}}(t)\sin \frac{{{\pi }n}}{l}x} $

Представим функции $u(x,t)$, ${\alpha }(x)$ и ${\beta }(x)$ в виде рядов Фурье

(2.2)
$u(x,t) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{u}_{n}}} (t)\sin \frac{{{\pi }n}}{l}x,\quad {\alpha }(x) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{{\alpha }}_{n}}} \sin \frac{{{\pi }n}}{l}x,\quad {\beta }(x) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{{\beta }}_{n}}} \sin \frac{{{\pi }n}}{l}x$

Подставим разложения (2.1), (2.2) в соотношениях (1.1)–(1.6). В силу ортогональности системы собственных функции следует, что коэффициенты Фурье ${{Q}_{n}}(t)$ удовлетворяют счетному числу систем обыкновенных дифференциальных уранений

(2.3)
${{\ddot {Q}}_{n}}(t) + {\lambda }_{n}^{2}{{Q}_{n}}(t) = {{u}_{n}}(t),\quad {\lambda }_{n}^{2} = {{\left( {\frac{{a{\pi }n}}{l}} \right)}^{2}},\quad n = 1,2,...$
и следующим начальным, неразделенным многоточечным промежуточным и конечным условиям:
(2.4)
${{Q}_{n}}(0) = {\varphi }_{n}^{{(0)}},\quad {{\dot {Q}}_{n}}(0) = {\psi }_{n}^{{(0)}}$
(2.5)
$\sum\limits_{k = 1}^m {{{f}_{k}}{{Q}_{n}}({{t}_{k}})} = {{{\alpha }}_{n}},\quad \sum\limits_{k = 1}^m {{{e}_{k}}{{{\dot {Q}}}_{n}}({{t}_{k}})} = {{{\beta }}_{n}}$
(2.6)
${{Q}_{n}}(T) = {\varphi }_{n}^{{(T)}} = {\varphi }_{n}^{{(m + 1)}},\quad {{\dot {Q}}_{n}}(T) = {\psi }_{n}^{{(T)}} = {\psi }_{n}^{{(m + 1)}}$
где через ${{Q}_{n}}(t)$, ${\varphi }_{n}^{{(0)}}$, ${\psi }_{n}^{{(0)}}$, ${\varphi }_{n}^{{(m + 1)}}$, ${\psi }_{n}^{{(m + 1)}}$, ${{u}_{n}}(t)$, ${{{\alpha }}_{n}}$ и ${{{\beta }}_{n}}$ обозначены коэффициенты Фурье, соответствующие функциям $Q\,(x,t)$, ${{{\varphi }}_{0}}(x)$, ${{{\psi }}_{0}}(x)$, ${{{\varphi }}_{{m + 1}}}(x)$, ${{{\psi }}_{{m + 1}}}(x)$, $u(x,t)$, ${\alpha }(x)$ и ${\beta }(x)$.

Общее решение уравнения (2.3) с начальными условиями (2.4) и его производная по времени имеют вид

${{Q}_{n}}(t) = {\varphi }_{n}^{{(0)}}\cos {{{\lambda }}_{n}}t + \frac{1}{{{{{\lambda }}_{n}}}}{\psi }_{n}^{{(0)}}\sin {{{\lambda }}_{n}}t + \frac{1}{{{{{\lambda }}_{n}}}}\int\limits_0^t {{{u}_{n}}} ({\tau })\sin {{{\lambda }}_{n}}(t - {\tau })d{\tau }$
(2.7)
${{\dot {Q}}_{n}}(t) = - {{{\lambda }}_{n}}{\varphi }_{n}^{{(0)}}\sin {{{\lambda }}_{n}}t + {\psi }_{n}^{{(0)}}\cos {{{\lambda }}_{n}}t + \int\limits_0^t {{{u}_{n}}} ({\tau })\cos {{{\lambda }}_{n}}(t - {\tau })d{\tau }$

Теперь, учитывая промежуточные неразделенные (2.5) и конечные (2.6) условия, используя подходы, приведенные в работах [5, 7], из уравнения (2.7) получим, что функции ${{u}_{n}}({\tau })$ для каждого $n$ должны удовлетворять следующей системе равенств:

(2.8)
$\int\limits_0^T {{{u}_{n}}} ({\tau })\sin {{{\lambda }}_{n}}(T - {\tau })d{\tau } = {{C}_{{1n}}}(T),\quad \int\limits_0^T {{{u}_{n}}} ({\tau })\cos {{{\lambda }}_{n}}(T - {\tau })d{\tau } = {{C}_{{2n}}}(T)$
$\sum\limits_{k = 1}^m {{{f}_{k}}\int\limits_0^{{{t}_{k}}} {{{u}_{n}}} ({\tau })\sin {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{k}} - {\tau })d{\tau }} = C_{{1n}}^{{(m)}}({{t}_{1}},\,...,\,{{t}_{m}})$,
$\sum\limits_{k = 1}^m {{{e}_{k}}\int\limits_0^{{{t}_{k}}} {{{u}_{n}}} ({\tau })\cos {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{k}} - {\tau })d{\tau }} = C_{{2n}}^{{(m)}}({{t}_{1}},\,...,\,{{t}_{m}})$
(2.9)
${{C}_{{1n}}}(T) = {{{\lambda }}_{n}}{\varphi }_{n}^{{(m + 1)}} - {{{\lambda }}_{n}}{\varphi }_{n}^{{(0)}}\cos {{{\lambda }}_{n}}T - {\psi }_{n}^{{(0)}}\sin {{{\lambda }}_{n}}T$
${{C}_{{2n}}}(T) = {\psi }_{n}^{{(m + 1)}} + {{{\lambda }}_{n}}{\varphi }_{n}^{{(0)}}\sin {{{\lambda }}_{n}}T - {\psi }_{n}^{{(0)}}\cos {{{\lambda }}_{n}}T$
$C_{{1n}}^{{(m)}}({{t}_{1}},\,...,\,{{t}_{m}}) = {{{\lambda }}_{n}}\left[ {{{{\alpha }}_{n}} - \sum\limits_{k = 1}^m {{{f}_{k}}\left( {{\varphi }_{n}^{{(0)}}\cos {{{\lambda }}_{n}}{{t}_{k}} + \frac{1}{{{{{\lambda }}_{n}}}}{\psi }_{n}^{{(0)}}\sin {{{\lambda }}_{n}}{{t}_{k}}} \right)} } \right]$
$C_{{2n}}^{{(m)}}({{t}_{1}},\,...,\,{{t}_{m}}) = {{{\beta }}_{n}} - \sum\limits_{k = 1}^m {{{e}_{k}}( - {{{\lambda }}_{n}}{\varphi }_{n}^{{(0)}}\sin {{{\lambda }}_{n}}{{t}_{k}} + {\psi }_{n}^{{(0)}}\cos {{{\lambda }}_{n}}{{t}_{k}})} $

Введем следующие функции

(2.10)
$h{{{\kern 1pt} }_{{1n}}}({\tau }) = \sin {{{\lambda }}_{n}}(T - {\tau }),\quad {{h}_{{2n}}}({\tau }) = \cos {{{\lambda }}_{n}}(T - {\tau }),\quad 0 \leqslant {\tau } \leqslant T$
$h{\kern 1pt} _{{1n}}^{{(m)}}({\tau }) = \sum\limits_{k = 1}^m {{{f}_{k}}h_{{1n}}^{{(k)}}({\tau }),} \quad h_{{1n}}^{{(k)}}({\tau }) = \left\{ \begin{gathered} \sin {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{k}} - {\tau }),\quad 0 \leqslant {\tau } \leqslant {{t}_{k}} \hfill \\ 0,\quad {{t}_{k}} < {\tau } \leqslant {{t}_{{m + 1}}} = T \hfill \\ \end{gathered} \right.$
$h_{{2n}}^{{(m)}}({\tau }) = \sum\limits_{k = 1}^m {{{e}_{k}}h_{{2n}}^{{(k)}}({\tau })} ,\quad h_{{2n}}^{{(k)}}({\tau }) = \left\{ \begin{gathered} \cos {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{k}} - {\tau }),\quad 0 \leqslant {\tau } \leqslant {{t}_{k}} \hfill \\ 0,\quad {{t}_{k}} < {\tau } \leqslant {{t}_{{m + 1}}} = T \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Тогда интегральные соотношения (2.8) при помощи функции (2.10) запишутся следующим образом

(2.11)
$\begin{gathered} \int\limits_0^T {{{u}_{n}}} ({\tau }){{h}_{{1n}}}({\tau })d{\tau } = {{C}_{{1n}}}(T),\quad \int\limits_0^T {{{u}_{n}}} ({\tau }){{h}_{{2n}}}({\tau })d{\tau } = {{C}_{{2n}}}(T) \\ \int\limits_0^T {{{u}_{n}}} ({\tau })h_{{1n}}^{{(m)}}({\tau })d{\tau } = C_{{1n}}^{{(m)}}({{t}_{1}},...,{{t}_{m}}),\quad \int\limits_0^T {{{u}_{n}}} ({\tau })h_{{2n}}^{{(m)}}({\tau })d{\tau } = C_{{2n}}^{{(m)}}({{t}_{1}},...,{{t}_{m}}),\quad n = 1,2,...\, \\ \end{gathered} $

Таким образом, искомые функции ${{u}_{n}}({\tau })$, ${\tau } \in \left[ {0,\,T} \right]$ для каждого n должны удовлетворять интегральным соотношениям (2.11).

С помощью следующих обозначений

(2.12)
${{H}_{n}}({\tau }) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{h}_{{1n}}}({\tau })} \\ {{{h}_{{2n}}}({\tau })} \\ {h_{{1n}}^{{(m)}}({\tau })} \\ {h_{{2n}}^{{(m)}}({\tau })} \end{array}} \right),\quad {{{\eta }}_{n}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{C}_{{1n}}}(T)} \\ {{{C}_{{2n}}}(T)} \\ {C_{{1n}}^{{(m)}}({{t}_{1}},...,{{t}_{m}})} \\ {C_{{2n}}^{{(m)}}({{t}_{1}},...,{{t}_{m}})} \end{array}} \right)$
запишем интегральные соотношения (2.11) следующим образом

(2.13)
$\int\limits_0^T {{{H}_{n}}(t)} {{u}_{n}}(t)dt = {{{\eta }}_{n}}$

Из соотношения (2.13) (или (2.11)) следует, что для каждой гармоники движение, описываемое уравнением (2.3) с условиями (2.4)–(2.6), вполне управляемо тогда и только тогда, когда для любого заданного вектора ${{{\eta }}_{n}}$ (2.12) можно найти управление ${{u}_{n}}(t)$, $t \in \left[ {0,T} \right]$, удовлетворяющее условию (2.13) (или (2.11)).

Следуя [5, 18], для каждого $n = 1,2,...$ функцию ${{u}_{n}}(t)$, $t \in \left[ {0,T} \right]$, удовлетворяющую интегральному соотношению (2.13), ищем в виде

(2.14)
${{u}_{n}}(t)\, = {{\left( {{{H}_{n}}(t)} \right)}^{T}}{{C}_{n}} + {{{\nu }}_{n}}(t)$
где Cn – постоянный вектор, подлежащий определению, ${{{\nu }}_{n}}(t)$ – некоторая вектор-функция, такая что

(2.15)
$\int\limits_0^T {{{H}_{n}}(t)} {{{\nu }}_{n}}(t)dt = 0$

Здесь и далее буква “T” в верхнем индексе означает операцию транспонирования.

Подставляя (2.14) в (2.13) и учитывая условия (2.15) получим

(2.16)
${{S}_{n}}{{C}_{n}} = {{{\eta }}_{n}}$
(2.17)
${{S}_{n}} = \int\limits_0^T {{{H}_{n}}(t){{{\left( {{{H}_{n}}(t)} \right)}}^{T}}dt} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {s_{{11}}^{{(n)}}}&{s_{{12}}^{{(n)}}}&{s_{{13}}^{{(n)}}}&{s_{{14}}^{{(n)}}} \\ {s_{{21}}^{{(n)}}}&{s_{{22}}^{{(n)}}}&{s_{{23}}^{{(n)}}}&{s_{{24}}^{{(n)}}} \\ {s_{{31}}^{{(n)}}}&{s_{{32}}^{{(n)}}}&{s_{{33}}^{{(n)}}}&{s_{{34}}^{{(n)}}} \\ {s_{{41}}^{{(n)}}}&{s_{{42}}^{{(n)}}}&{s_{{43}}^{{(n)}}}&{s_{{44}}^{{(n)}}} \end{array}} \right)$

Здесь ${{H}_{n}}(t){{({{H}_{n}}(t))}^{T}}$ – внешнее произведение векторов. Соотношение (2.16) является системой четырех алгебраических уравнений относительно неизвестных $C_{n}^{{(j)}}$, j = $1,...,4$, имеющей решение, если $\det {{S}_{n}} \ne 0$ либо ранг матрицы ${{S}_{n}}$ совпадает с рангом расширенной матрицы $\{ {{S}_{n}},{{{\eta }}_{n}}\} $.

Пусть $\det {{S}_{n}} \ne 0$, тогда решение уравнения (2.16) будет

(2.18)
${{C}_{n}} = S_{n}^{{ - 1}}{{{\eta }}_{n}}$

Следовательно, из (2.14) и (2.18) имеем

(2.19)
${{u}_{n}}(t) = {{\left( {{{H}_{n}}(t)} \right)}^{T}}S_{n}^{{ - 1}}{{\eta }_{n}} + {{\nu }_{n}}(t)$

Элементы матрицы ${{S}_{n}}$, согласно (2.17) и обозначениям (2.10), (2.12), имеют следующий вид

$s_{{11}}^{{(n)}} = \int\limits_0^T {{{{\left( {{{h}_{{1n}}}({\tau })} \right)}}^{2}}d{\tau }} = \int\limits_0^T {{{{\left( {\sin {{{\lambda }}_{n}}(T - {\tau })} \right)}}^{2}}d{\tau }} $
$s_{{12}}^{{(n)}} = s_{{21}}^{{(n)}} = \int\limits_0^T {{{h}_{{1n}}}({\tau }){{h}_{{2n}}}({\tau })d{\tau } = \int\limits_0^T {\sin {{{\lambda }}_{n}}(T - {\tau })\cos {{{\lambda }}_{n}}(T - {\tau })d{\tau }} } $ $s_{{13}}^{{(n)}} = s_{{31}}^{{(n)}} = \int\limits_0^T {{{h}_{{1n}}}({\tau })h_{{1n}}^{{(m)}}({\tau })d{\tau }} = \int\limits_0^T {\sin {{{\lambda }}_{n}}(T - {\tau })\left( {\sum\limits_{k = 1}^m {{{f}_{k}}h_{{1n}}^{{(k)}}({\tau })} } \right)d{\tau }} $
$\begin{gathered} s_{{14}}^{{(n)}} = s_{{41}}^{{(n)}} = \int\limits_0^T {{{h}_{{1n}}}({\tau })h_{{2n}}^{{(m)}}({\tau })d{\tau }} = \int\limits_0^T {\sin {{{\lambda }}_{n}}(T - {\tau })\left( {\sum\limits_{k = 1}^m {{{e}_{k}}h_{{2n}}^{{(k)}}({\tau })} } \right)d{\tau }} = \\ \, = \sum\limits_{k = 1}^m {{{e}_{k}}\int\limits_0^T {\sin {{{\lambda }}_{n}}(T - {\tau })h_{{2n}}^{{(k)}}({\tau })d{\tau }} } = \sum\limits_{k = 1}^m {{{e}_{k}}\int\limits_0^{{{t}_{k}}} {\sin {{{\lambda }}_{n}}(T - {\tau })\cos {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{k}} - {\tau })d{\tau }} } \\ \end{gathered} $
(2.20)
$s_{{23}}^{{(n)}} = s_{{32}}^{{(n)}} = \int\limits_0^T {{{h}_{{2n}}}({\tau })h_{{1n}}^{{(m)}}({\tau })d{\tau }} = \int\limits_0^T {\cos {{{\lambda }}_{n}}(T - {\tau })\left( {\sum\limits_{k = 1}^m {{{f}_{k}}h_{{1n}}^{{(k)}}({\tau })} } \right)d{\tau }} $
$s_{{22}}^{{(n)}} = \int\limits_0^T {{{{\left( {{{h}_{{2n}}}({\tau })} \right)}}^{2}}d{\tau }} = \int\limits_0^T {{{{\left( {\cos {{{\lambda }}_{n}}(T - {\tau })} \right)}}^{2}}d{\tau }} $
$\begin{gathered} s_{{24}}^{{(n)}} = s_{{42}}^{{(n)}} = \int\limits_0^T {{{h}_{{2n}}}({\tau })h_{{2n}}^{{(m)}}({\tau })d{\tau }} = \int\limits_0^T {\cos {{{\lambda }}_{n}}(T - {\tau })\left( {\sum\limits_{k = 1}^m {{{e}_{k}}h_{{2n}}^{{(k)}}({\tau })} } \right)d{\tau }} = \\ \, = \sum\limits_{k = 1}^m {{{e}_{k}}\int\limits_0^T {\cos {{\lambda }_{n}}(T - {\tau })h_{{2n}}^{{(k)}}({\tau })d{\tau }} } = \sum\limits_{k = 1}^m {{{e}_{k}}\int\limits_0^{{{t}_{k}}} {\cos {{{\lambda }}_{n}}(T - {\tau })\cos {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{k}} - {\tau })d{\tau }} } \\ \end{gathered} $
$s_{{33}}^{{(n)}} = \int\limits_0^T {{{{(h_{{1n}}^{{(m)}}({\tau }))}}^{2}}d{\tau }} = \int\limits_0^T {{{{\left( {\sum\limits_{k = 1}^m {{{f}_{k}}h_{{1n}}^{{(k)}}({\tau })} } \right)}}^{2}}d{\tau }} $
$s_{{34}}^{{(n)}} = s_{{43}}^{{(n)}} = \int\limits_0^T {h_{{1n}}^{{(m)}}({\tau })h_{{2n}}^{{(m)}}({\tau })d{\tau }} = \int\limits_0^T {\left( {\sum\limits_{k = 1}^m {{{f}_{k}}h_{{1n}}^{{(k)}}({\tau })} } \right)\left( {\sum\limits_{k = 1}^m {{{e}_{k}}h_{{2n}}^{{(k)}}({\tau })} } \right)d{\tau }} $
$s_{{44}}^{{(n)}} = \int\limits_0^T {{{{(h_{{2n}}^{{(m)}}({\tau }))}}^{2}}d{\tau }} = \int\limits_0^T {{{{\left( {\sum\limits_{k = 1}^m {{{e}_{k}}h_{{2n}}^{{(k)}}({\tau })} } \right)}}^{2}}d{\tau }} $

Отметим, что, согласно обозначениям (2.10), будем иметь

$h_{{1n}}^{{(m)}}(t) = \left\{ \begin{gathered} \sum\limits_{k = 1}^m {{{f}_{k}}\sin {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{k}} - t),\quad 0 \leqslant t \leqslant {{t}_{1}}} \hfill \\ \sum\limits_{k = 2}^m {{{f}_{k}}\sin {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{k}} - t),\quad {{t}_{1}} < t \leqslant {{t}_{2}}} \hfill \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,.\,\,.\,\,. \hfill \\ \sum\limits_{k = m - 1}^m {{{f}_{k}}\sin {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{k}} - t),\quad {{t}_{{m - 2}}} < t \leqslant {{t}_{{m - 1}}}} \hfill \\ {{f}_{m}}\sin {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{m}} - t),\quad {{t}_{{m - 1}}} < t \leqslant {{t}_{m}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$
$h_{{2n}}^{{(m)}}(t) = \left\{ \begin{gathered} \sum\limits_{k = 1}^m {{{e}_{k}}\cos {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{k}} - t),\quad } 0 \leqslant t \leqslant {{t}_{1}} \hfill \\ \sum\limits_{k = 2}^m {{{e}_{k}}\cos {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{k}} - t),\quad {{t}_{1}} < t \leqslant {{t}_{2}}} \hfill \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,.\,\,.\,\,. \hfill \\ \sum\limits_{k = m - 1}^m {{{e}_{k}}\cos {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{k}} - t),\quad {{t}_{{m - 2}}} < t \leqslant {{t}_{{m - 1}}}} \hfill \\ {{e}_{m}}\cos {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{m}} - t),\quad {{t}_{{m - 1}}} < t \leqslant {{t}_{m}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Следовательно, учитывая обозначения (2.10) и (2.12), управляющее воздействие ${{u}_{n}}(t)$, $t \in \left[ {0,T} \right]$, согласно (2.19), представляется в следующем виде:

${{u}_{n}}(t) = \left\{ \begin{gathered} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin {{{\lambda }}_{n}}(T - t)}&{{\text{cos}}{{{\lambda }}_{n}}(T - t)}&{\,\sum\limits_{k = 1}^m {{{f}_{k}}{\text{sin}}{{{\lambda }}_{n}}({{t}_{k}} - t)} \begin{array}{*{20}{c}} {\,\,\sum\limits_{k = 1}^m {{{e}_{k}}{\text{cos}}{{{\lambda }}_{n}}({{t}_{k}} - t)} } \end{array}} \end{array}} \right)S_{n}^{{ - 1}}{{{\eta }}_{n}} + {{{\nu }}_{n}}(t), \hfill \\ 0 \leqslant t \leqslant {{t}_{1}} \hfill \\ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\text{sin}}{{{\lambda }}_{n}}(T - t)}&{\,{\text{cos}}{{{\lambda }}_{n}}(T - t)}&{\,\sum\limits_{k = 2}^m {{{f}_{k}}{\text{sin}}{{{\lambda }}_{n}}({{t}_{k}} - t)} \begin{array}{*{20}{c}} {\,\sum\limits_{k = 2}^m {{{e}_{k}}{\text{cos}}{{{\lambda }}_{n}}({{t}_{k}} - t)} } \end{array}} \end{array}} \right)S_{n}^{{ - 1}}{{{\eta }}_{n}} + {{{\nu }}_{n}}(t), \hfill \\ {{t}_{1}} < t \leqslant {{t}_{2}} \hfill \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,.\,\,.\,\,. \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {(\sin {{{\lambda }}_{n}}(T - t)}&{\cos {{{\lambda }}_{n}}(T - t)}&{\,{{f}_{m}}\sin {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{m}} - t)}&{\,\,\,\,{{e}_{m}}{\text{cos}}{{{\lambda }}_{n}}({{t}_{m}} - t))S_{n}^{{ - 1}}{{{\eta }}_{n}} + {{{\nu }}_{n}}(t),} \end{array} \hfill \\ {{t}_{{m - 1}}} < t \leqslant {{t}_{m}} \hfill \\ (\begin{array}{*{20}{c}} {\sin {{{\lambda }}_{n}}(T - t)}&{\cos {{{\lambda }}_{n}}(T - t)}&{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0}&{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0} \end{array})S_{n}^{{ - 1}}{{{\eta }}_{n}} + {{{\nu }}_{n}}(t),\quad \hfill \\ {{t}_{m}} < t \leqslant {{t}_{{m + 1}}} = T \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Подставляя полученные выражения ${{u}_{n}}(t)$ в (2.7), получим ${{Q}_{n}}(t)$ на промежутке времени $t \in \left[ {0,T} \right]$, а из формул (2.1) и (2.2) – получим функции $Q\,(x,t)$ прогиба и $u(x,t)$ управления. Таким образом, явные выражения для функции управления $u(x,t)$ имеют вид:

при $0 \leqslant t \leqslant {{t}_{1}}$

$\begin{gathered} u(x,t) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left[ {\left( {sin{{{\lambda }}_{n}}(T - t)\;\cos {{{\lambda }}_{n}}(T - t)\;\sum\limits_{k = 1}^m {{{f}_{k}}\sin {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{k}} - t)} } \right.} \right.\left. {\sum\limits_{k = 1}^m {{{e}_{k}}\cos {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{k}} - t)} } \right) \times } \\ \times \,\left. {S_{n}^{{ - 1}}{{{\eta }}_{n}}\,{\text{ + }}\,{{{\nu }}_{n}}(t)} \right]\sin \frac{{{\pi }n}}{l}x; \\ \end{gathered} $

при ${{t}_{1}} < t \leqslant {{t}_{2}}$

$\begin{gathered} u(x,t) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left[ {\left( {sin{{{\lambda }}_{n}}(T - t)\;\cos {{{\lambda }}_{n}}(T - t)\;\sum\limits_{k = 2}^m {{{f}_{k}}\sin {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{k}} - t)} } \right.} \right.} \left. {\,\sum\limits_{k = 2}^m {{{e}_{k}}\cos {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{k}} - t)} } \right) \times \\ \times \left. {{}_{{_{{{}_{{}}^{{}}}}^{{}}}}^{{}}S_{n}^{{ - 1}}{{{\eta }}_{n}} + {{{\nu }}_{n}}(t)} \right]\sin \frac{{{\pi }n}}{l}x; \\ ... \\ \end{gathered} $

при ${{t}_{{m - 1}}} < t \leqslant {{t}_{m}}$

$u(x,t)\, = \,\sum\limits_{n = 1}^\infty {[(\begin{array}{*{20}{c}} {{\text{sin}}{{{\lambda }}_{n}}(T - t)}&{{\text{cos}}{{{\lambda }}_{n}}(T - t){{f}_{m}}}&{{\text{sin}}{{{\lambda }}_{n}}({{t}_{m}} - t){{e}_{m}}}&{{\text{cos}}{{{\lambda }}_{n}}({{t}_{m}} - t)} \end{array})S_{n}^{{ - 1}}{{{\eta }}_{n}}\, + \,{{{\nu }}_{n}}(t)]} {\kern 1pt} {\text{sin}}\frac{{{\pi }n}}{l}x;$

при ${{t}_{m}} < t \leqslant {{t}_{{m + 1}}} = T$

$u(x,t) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {[(\begin{array}{*{20}{c}} {sin{{{\lambda }}_{n}}(T - t)}&{\cos {{{\lambda }}_{n}}(T - t)}&0&0 \end{array})S_{n}^{{ - 1}}{{{\eta }}_{n}} + {{{\nu }}_{n}}(t)]} \sin \frac{{{\pi }n}}{l}x$

Видно, что управляющее воздействие, решающее поставленную задачу, является кусочно непрерывной функцией.

3. Пример. Предположим, что m = 2 (т.е. $0 < {{t}_{1}} < {{t}_{2}} < {{t}_{3}} = T$), тогда для ${{{\nu }}_{n}}(t) = 0$ из выражения для ${{u}_{n}}(t)$ будем иметь:

при $0 \leqslant t \leqslant {{t}_{1}}$

$\begin{gathered} {{u}_{n}}(t) = \left( {\sin {{{\lambda }}_{n}}(T - t)\;\cos {{{\lambda }}_{n}}(T - t)\;{{f}_{1}}\sin {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{1}} - t) + {{f}_{2}}\sin {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{2}} - t)\,\,{{e}_{1}}\cos {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{1}} - t) + } \right. \\ \, + \left. {{{e}_{2}}\cos {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{2}} - t)} \right)S_{n}^{{ - 1}}{\eta }; \\ \end{gathered} $

при ${{t}_{1}} < t \leqslant {{t}_{2}}$

${{u}_{n}}(t) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin {{{\lambda }}_{n}}(T - t)}&{\cos {{{\lambda }}_{n}}(T - t)}&{{{f}_{2}}\sin {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{2}} - t)}&{{{e}_{2}}\cos {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{2}} - t)} \end{array}} \right)S_{n}^{{ - 1}}{{{\eta }}_{n}};$

при ${{t}_{2}} < t \leqslant {{t}_{3}} = T$

${{u}_{n}}(t) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin {{{\lambda }}_{n}}(T - t)}&{\cos {{{\lambda }}_{n}}(T - t)}&0&0 \end{array}} \right)S_{n}^{{ - 1}}{{{\eta }}_{n}}$

Из формулы (2.20) получим

$s_{{11}}^{{(n)}} = \frac{T}{2} - \frac{1}{{4{{{\lambda }}_{n}}}}\sin 2{{{\lambda }}_{n}}T,\quad s_{{12}}^{{(n)}} = s_{{21}}^{{(n)}} = \frac{{{{{\sin }}^{2}}{{{\lambda }}_{n}}T}}{{2{{{\lambda }}_{n}}}},\quad s_{{22}}^{{(n)}} = \frac{T}{2} + \frac{1}{{4{{{\lambda }}_{n}}}}\sin 2{{{\lambda }}_{n}}T$
$\begin{gathered} s_{{13}}^{{(n)}} = s_{{31}}^{{(n)}} = {{f}_{1}}\int\limits_0^{{{t}_{1}}} {\sin {{{\lambda }}_{n}}(T - {\tau })\sin {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{1}} - {\tau })d{\tau }} + {{f}_{2}}\int\limits_0^{{{t}_{2}}} {\sin {{{\lambda }}_{n}}(T - {\tau })\sin {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{2}} - {\tau })d{\tau }} = \\ \, = \frac{1}{2}\left[ {{{f}_{1}}{{t}_{1}}\cos {{{\lambda }}_{n}}(T - {{t}_{1}}) + {{f}_{2}}{{t}_{2}}\cos {{{\lambda }}_{n}}(T - {{t}_{2}})} \right] - \frac{{\cos {{{\lambda }}_{n}}T}}{{2{{{\lambda }}_{n}}}}\left[ {{{f}_{1}}\sin {{{\lambda }}_{n}}{{t}_{1}} + {{f}_{2}}\sin {{{\lambda }}_{n}}{{t}_{2}}} \right] \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} s_{{14}}^{{(n)}} = s_{{41}}^{{(n)}} = {{e}_{1}}\int\limits_0^{{{t}_{1}}} {\sin {{{\lambda }}_{n}}(T - {\tau })\cos {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{1}} - {\tau })d{\tau }} + {{e}_{2}}\int\limits_0^{{{t}_{2}}} {\sin {{{\lambda }}_{n}}(T - {\tau })\cos {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{2}} - {\tau })d{\tau }} = \\ \, = \frac{1}{2}\left[ {{{e}_{1}}{{t}_{1}}\sin {{{\lambda }}_{n}}(T - {{t}_{1}}) + {{e}_{2}}{{t}_{2}}\sin {{{\lambda }}_{n}}(T - {{t}_{2}})} \right] + \frac{{\sin {{{\lambda }}_{n}}T}}{{2{{{\lambda }}_{n}}}}\left[ {{{e}_{1}}\sin {{{\lambda }}_{n}}{{t}_{1}} + {{e}_{2}}\sin {{{\lambda }}_{n}}{{t}_{2}}} \right] \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} s_{{23}}^{{(n)}} = s_{{32}}^{{(n)}} = {{f}_{1}}\int\limits_0^{{{t}_{1}}} {\cos {{{\lambda }}_{n}}(T - {\tau })\sin {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{1}} - {\tau })d{\tau }} + {{f}_{2}}\int\limits_0^{{{t}_{2}}} {\cos {{{\lambda }}_{n}}(T - {\tau })\sin {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{2}} - {\tau })d{\tau }} = \\ \, = \frac{1}{{4{{{\lambda }}_{n}}}}\left\{ {2{{f}_{1}}\sin {{{\lambda }}_{n}}T\sin {{{\lambda }}_{n}}{{t}_{1}} - 2{{{\lambda }}_{n}}\left[ {{{f}_{1}}{{t}_{1}}\sin {{{\lambda }}_{n}}(T - {{t}_{1}}) + {{f}_{2}}{{t}_{2}}\sin {{{\lambda }}_{n}}(T - {{t}_{2}})} \right]} \right. + \\ \, + 2{{f}_{2}}\sin {{{\lambda }}_{n}}T\sin {{{\lambda }}_{n}}{{t}_{2}} \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} s_{{33}}^{{(n)}} = f_{1}^{2}\int\limits_0^{{{t}_{1}}} {{{{\left( {\sin {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{1}} - {\tau })} \right)}}^{2}}d{\tau }} + 2{{f}_{1}}{{f}_{2}}\int\limits_0^{{{t}_{1}}} {\sin {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{1}} - {\tau })\sin {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{2}} - {\tau })d{\tau }} + \\ \, + f_{2}^{2}\int\limits_0^{{{t}_{2}}} {{{{\left( {\sin {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{2}} - {\tau })} \right)}}^{2}}d{\tau }} = \frac{1}{{4{{{\lambda }}_{n}}}}[2{{{\lambda }}_{n}}(f_{1}^{2}{{t}_{1}} + f_{2}^{2}{{t}_{2}}) + 4{{f}_{1}}{{f}_{2}}{{t}_{1}}{{{\lambda }}_{n}}\cos {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{1}} - {{t}_{2}}) - \\ \, - f_{1}^{2}\sin 2{{{\lambda }}_{n}}{{t}_{1}} - 2{{f}_{2}}\cos {{{\lambda }}_{n}}{{t}_{2}}\left( {2{{f}_{1}}\sin {{{\lambda }}_{n}}{{t}_{1}} + {{f}_{2}}\sin {{{\lambda }}_{n}}{{t}_{2}}} \right)] \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} s_{{24}}^{{(n)}} = s_{{42}}^{{(n)}} = {{e}_{1}}\int\limits_0^{{{t}_{1}}} {\cos {{{\lambda }}_{n}}(T - {\tau })\cos {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{1}} - {\tau })d{\tau }} + {{e}_{2}}\int\limits_0^{{{t}_{2}}} {\cos {{{\lambda }}_{n}}(T - {\tau })\cos {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{2}} - {\tau })d{\tau }} = \\ \, = \frac{1}{{2{{{\lambda }}_{n}}}}\left\{ {{{{\lambda }}_{n}}\left[ {{{e}_{1}}{{t}_{1}}\cos {{{\lambda }}_{n}}(T - {{t}_{1}}) + {{e}_{2}}{{t}_{2}}\cos {{{\lambda }}_{n}}(T - {{t}_{2}})} \right] + \cos {{{\lambda }}_{n}}T\left( {{{e}_{1}}\sin {{{\lambda }}_{n}}{{t}_{1}} + {{e}_{2}}\sin {{{\lambda }}_{n}}{{t}_{2}}} \right)} \right\} \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} s_{{34}}^{{(n)}} = s_{{43}}^{{(n)}} = \int\limits_0^T {\left[ {{{f}_{1}}\sin {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{1}} - {\tau }) + {{f}_{2}}\sin {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{2}} - {\tau })} \right] \times } \\ \, \times \left[ {{{e}_{1}}\cos {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{1}} - {\tau }) + {{e}_{2}}\cos {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{2}} - {\tau })} \right]d{\tau } = {{e}_{1}}{{f}_{1}}\int\limits_0^{{{t}_{1}}} {\sin {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{1}} - {\tau })\cos {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{1}} - {\tau })d{\tau }} + \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \, + {{e}_{2}}{{f}_{1}}\int\limits_0^{{{t}_{1}}} {\sin {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{1}} - {\tau })\cos {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{2}} - {\tau })d{\tau }} + {{e}_{1}}{{f}_{2}}\int\limits_0^{{{t}_{1}}} {\sin {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{2}} - {\tau })\cos {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{1}} - {\tau })d{\tau }} + \\ \, + {{e}_{2}}{{f}_{2}}\int\limits_0^{{{t}_{1}}} {\sin {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{2}} - {\tau })\cos {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{2}} - {\tau })d{\tau }} = \frac{1}{{2{{{\lambda }}_{n}}}}\left[ {\left( {{{e}_{2}}f_{1}^{{}} + {{e}_{1}}{{f}_{2}}} \right)\sin {{{\lambda }}_{n}}{{t}_{1}}\sin {{{\lambda }}_{n}}{{t}_{2}} + } \right. \\ \left. {\, + {{e}_{1}}{{f}_{1}}{{{\sin }}^{2}}{{{\lambda }}_{n}}{{t}_{1}} + {{e}_{2}}{{f}_{2}}{{{\sin }}^{2}}{{{\lambda }}_{n}}{{t}_{2}} + {{{\lambda }}_{n}}{{t}_{1}}\left( {{{e}_{1}}{{f}_{2}} - {{e}_{2}}{{f}_{1}}} \right)\sin {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{2}} - {{t}_{1}})} \right] \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} s_{{44}}^{{(n)}} = e_{1}^{2}\int\limits_0^{{{t}_{1}}} {{{{\left( {\cos {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{1}} - {\tau })} \right)}}^{2}}d{\tau }} + 2{{e}_{1}}{{e}_{2}}\int\limits_0^{{{t}_{1}}} {\cos {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{1}} - {\tau })\cos {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{2}} - {\tau })d{\tau }} + \\ \, + e_{2}^{2}\int\limits_0^{{{t}_{2}}} {{{{\left( {\cos {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{2}} - {\tau })} \right)}}^{2}}d{\tau }} = \frac{1}{{4{{{\lambda }}_{n}}}}[2{{\lambda }_{n}}(e_{1}^{2}{{t}_{1}} + e_{2}^{2}{{t}_{2}}) + 4{{e}_{1}}{{e}_{2}}{{t}_{1}}{{{\lambda }}_{n}}\cos {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{1}} - {{t}_{2}}) + \\ \, + 4{{e}_{1}}{{e}_{2}}{{t}_{2}}\cos {{{\lambda }}_{n}}{{t}_{2}}\sin {{{\lambda }}_{n}}{{t}_{1}} + e_{1}^{2}\sin 2{{{\lambda }}_{n}}{{t}_{1}} + e_{2}^{2}\sin 2{{{\lambda }}_{n}}{{t}_{2}}] \\ \end{gathered} $

Полагая, что ${{t}_{1}} = {l \mathord{\left/ {\vphantom {l a}} \right. \kern-0em} a}$, ${{t}_{2}} = 2{l \mathord{\left/ {\vphantom {l a}} \right. \kern-0em} a}$, $T = 4{l \mathord{\left/ {\vphantom {l a}} \right. \kern-0em} a}$, получим, что ${{t}_{1}}{{{\lambda }}_{n}} = {\pi }n$, ${{t}_{2}}{{{\lambda }}_{n}} = 2{\pi }n$, Tλn = = $4{\pi }n$. Следовательно, из вышеприведенных выражений получим

$s_{{11}}^{{(n)}} = s_{{22}}^{{(n)}} = \frac{{2l}}{a},\quad s_{{12}}^{{(n)}} = s_{{21}}^{{(n)}} = s_{{14}}^{{(n)}} = s_{{41}}^{{(n)}} = s_{{23}}^{{(n)}} = s_{{32}}^{{(n)}} = s_{{34}}^{{(n)}} = s_{{43}}^{{(n)}} = 0$
$s_{{13}}^{{(n)}} = s_{{31}}^{{(n)}} = \frac{l}{{2a}}[{{( - 1)}^{n}}{{f}_{1}} + 2{{f}_{2}}],\quad s_{{33}}^{{(n)}} = \frac{l}{{2a}}[f_{1}^{2} + 2f_{2}^{2} + 2{{( - 1)}^{n}}{{f}_{1}}{{f}_{2}}]$
$s_{{24}}^{{(n)}} = s_{{42}}^{{(n)}} = \frac{l}{{2a}}[{{( - 1)}^{n}}{{e}_{1}} + 2{{e}_{2}}],\quad s_{{44}}^{{(n)}} = \frac{l}{{2a}}[e_{1}^{2} + 2e_{2}^{2} + 2{{( - 1)}^{n}}{{e}_{1}}{{e}_{2}}]$
или

${{S}_{n}}\, = \,\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{2l}}{a}}&0&{\frac{l}{{2a}}[{{{( - 1)}}^{n}}{{f}_{1}} + 2{{f}_{2}}]}&0 \\ 0&{\frac{{2l}}{a}}&0&{\frac{l}{{2a}}[{{{( - 1)}}^{n}}{{e}_{1}} + 2{{e}_{2}}]} \\ {\frac{l}{{2a}}[{{{( - 1)}}^{n}}{{f}_{1}}\, + \,2{{f}_{2}}]}&0&{\frac{l}{{2a}}[f_{1}^{2}\, + \,2f_{2}^{2}\, + \,2{{{( - 1)}}^{n}}{{f}_{1}}{{f}_{2}}]}&0 \\ 0&{\frac{l}{{2a}}[{{{( - 1)}}^{n}}{{e}_{1}} + 2{{e}_{2}}]}&0&{\frac{l}{{2a}}[e_{1}^{2}\, + \,2e_{2}^{2}\, + \,2{{{( - 1)}}^{n}}{{e}_{1}}{{e}_{2}}]} \end{array}} \right)$

Отсюда будем иметь, что $\det {{S}_{n}} = {{\left( {\frac{l}{{2a}}} \right)}^{4}}[2f_{1}^{2} + {{({{( - 1)}^{n}}{{f}_{1}} + 2{{f}_{2}})}^{2}}][2e_{1}^{2} + {{({{( - 1)}^{n}}{{e}_{1}} + 2{{e}_{2}})}^{2}}]$. Ясно, что при ${{f}_{1}} \ne 0$, ${{f}_{2}} \ne 0$, ${{e}_{1}} \ne 0$ и ${{e}_{2}} \ne 0$ следует $\det {{S}_{n}} \ne 0$. Следовательно, для обратной матрицы получим

$S_{n}^{{ - 1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {s_{{11}}^{{ - (n)}}}&0&{s_{{13}}^{{ - (n)}}}&0 \\ 0&{s_{{22}}^{{ - (n)}}}&0&{s_{{24}}^{{ - (n)}}} \\ {s_{{31}}^{{ - (n)}}}&0&{s_{{33}}^{{ - (n)}}}&0 \\ 0&{s_{{42}}^{{ - (n)}}}&0&{s_{{44}}^{{ - (n)}}} \end{array}} \right)$
$s_{{11}}^{{ - (n)}} = \frac{{2a}}{l}\frac{{f_{1}^{2} + 2{{{( - 1)}}^{n}}{{f}_{1}}{{f}_{2}} + 2f_{2}^{2}}}{{2f_{1}^{2} + {{{[{{{( - 1)}}^{n}}{{f}_{1}} + 2{{f}_{2}}]}}^{2}}}},\quad s_{{13}}^{{ - (n)}} = - s_{{31}}^{{ - (n)}} = \frac{{2a}}{l}\frac{{{{{( - 1)}}^{n}}{{f}_{1}} + 2{{f}_{2}}}}{{2f_{1}^{2} + {{{[{{{( - 1)}}^{n}}{{f}_{1}} + 2{{f}_{2}}]}}^{2}}}}$
$s_{{22}}^{{ - (n)}} = \frac{{2a}}{l}\frac{{e_{1}^{2} + 2{{{( - 1)}}^{n}}{{e}_{1}}{{e}_{2}} + 2e_{2}^{2}}}{{2e_{1}^{2} + {{{[{{{( - 1)}}^{n}}{{e}_{1}} + 2{{e}_{2}}]}}^{2}}}},\quad s_{{24}}^{{ - (n)}} = s_{{42}}^{{ - (n)}} = \frac{{2a}}{l}\frac{{ - [{{{( - 1)}}^{n}}{{e}_{1}} + 2{{e}_{2}}]}}{{2e_{1}^{2} + {{{[{{{( - 1)}}^{n}}{{e}_{1}} + 2{{e}_{2}}]}}^{2}}}}$
$s_{{33}}^{{ - (n)}} = \frac{{8a}}{l}\frac{1}{{2f_{1}^{2} + {{{[{{{( - 1)}}^{n}}{{f}_{1}} + 2{{f}_{2}}]}}^{2}}}},\quad s_{{44}}^{{ - (n)}} = \frac{{8a}}{l}\frac{1}{{2e_{1}^{2} + {{{[{{{( - 1)}}^{n}}{{e}_{1}} + 2{{e}_{2}}]}}^{2}}}}$

Из формулы (2.12) с учетом (2.9) получим

${{{\eta }}_{n}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\eta }_{1}^{{(n)}}} \\ {{\eta }_{2}^{{(n)}}} \\ {{\eta }_{3}^{{(n)}}} \\ {{\eta }_{4}^{{(n)}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\lambda }}_{n}}({\varphi }_{n}^{{(3)}} - {\varphi }_{n}^{{(0)}})} \\ {{\psi }_{n}^{{(3)}} - {\psi }_{n}^{{(0)}}} \\ {{{{\lambda }}_{n}}[{{{\alpha }}_{n}} - {\varphi }_{n}^{{(0)}}({{{( - 1)}}^{n}}{{f}_{1}} + {{f}_{2}})]} \\ {{{{\beta }}_{n}} - {\psi }_{n}^{{(0)}}[{{{\left( { - 1} \right)}}^{n}}{{e}_{1}} + {{e}_{2}}]} \end{array}} \right)$

Выполняя произведение $S_{n}^{{ - 1}}$ и ${{{\eta }}_{n}}$, будем иметь

$S_{n}^{{ - 1}}{{{\eta }}_{n}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {s_{{11}}^{{ - (n)}}{\eta }_{1}^{{(n)}} + s_{{13}}^{{ - (n)}}{\eta }_{3}^{{(n)}}} \\ {s_{{22}}^{{ - (n)}}{\eta }_{2}^{{(n)}} + s_{{24}}^{{ - (n)}}{\eta }_{4}^{{(n)}}} \\ {s_{{31}}^{{ - (n)}}{\eta }_{1}^{{(n)}} + s_{{33}}^{{ - (n)}}{\eta }_{3}^{{(n)}}} \\ {s_{{42}}^{{ - (n)}}{\eta }_{2}^{{(n)}} + s_{{44}}^{{ - (n)}}{\eta }_{4}^{{(n)}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {s_{{11}}^{{ - (n)}}{{{\lambda }}_{n}}({\varphi }_{n}^{{(3)}} - {\varphi }_{n}^{{(0)}}) + s_{{13}}^{{ - (n)}}{{{\lambda }}_{n}}[{{{\alpha }}_{n}} - {\varphi }_{n}^{{(0)}}({{{( - 1)}}^{n}}{{f}_{1}} + {{f}_{2}})]} \\ {s_{{22}}^{{ - (n)}}({\psi }_{n}^{{(3)}} - {\psi }_{n}^{{(0)}}) + s_{{24}}^{{ - (n)}}[{{{\beta }}_{n}} - {\psi }_{n}^{{(0)}}[{{{( - 1)}}^{n}}{{e}_{1}} + {{e}_{2}}]]} \\ {s_{{31}}^{{ - (n)}}{{{\lambda }}_{n}}({\varphi }_{n}^{{(3)}} - {\varphi }_{n}^{{(0)}}) + s_{{33}}^{{ - (n)}}{{{\lambda }}_{n}}[{{{\alpha }}_{n}} - {\varphi }_{n}^{{(0)}}({{{( - 1)}}^{n}}{{f}_{1}} + {{f}_{2}})]} \\ {s_{{42}}^{{ - (n)}}({\psi }_{n}^{{(3)}} - {\psi }_{n}^{{(0)}}) + s_{{44}}^{{ - (n)}}[{{{\beta }}_{n}} - {\psi }_{n}^{{(0)}}[{{{( - 1)}}^{n}}{{e}_{1}} + {{e}_{2}}]]} \end{array}} \right)$

Таким образом, получим выражения для функции управления $u(x,t)$ в виде:

при $0 \leqslant t \leqslant {l \mathord{\left/ {\vphantom {l a}} \right. \kern-0em} a}$

$\begin{gathered} u(x,t) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left\{ {(s_{{11}}^{{ - (n)}}{\eta }_{1}^{{(n)}} + s_{{13}}^{{ - (n)}}{\eta }_{3}^{{(n)}})\sin {{{\lambda }}_{n}}(T - t) + (s_{{22}}^{{ - (n)}}{\eta }_{2}^{{(n)}} + s_{{24}}^{{ - (n)}}{\eta }_{4}^{{(n)}})\cos {{{\lambda }}_{n}}(T - t) + } \right.} \\ \, + (s_{{31}}^{{ - (n)}}{\eta }_{1}^{{(n)}} + s_{{33}}^{{ - (n)}}{\eta }_{3}^{{(n)}})\left[ {{{f}_{1}}\sin {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{1}} - t) + {{f}_{2}}\sin {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{2}} - t)} \right] + \\ \,\left. { + \,(s_{{42}}^{{ - (n)}}{\eta }_{2}^{{(n)}} + s_{{44}}^{{ - (n)}}{\eta }_{4}^{{(n)}})\left[ {{{e}_{1}}\cos {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{1}} - t) + {{e}_{2}}\cos {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{2}} - t)} \right]} \right\}\sin \frac{{{\pi }n}}{l}x; \\ \end{gathered} $

при ${l \mathord{\left/ {\vphantom {l a}} \right. \kern-0em} a} < t \leqslant 2{l \mathord{\left/ {\vphantom {l a}} \right. \kern-0em} a}$

$\begin{gathered} u(x,t) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left\{ {(s_{{11}}^{{ - (n)}}{\eta }_{1}^{{(n)}} + s_{{13}}^{{ - (n)}}{\eta }_{3}^{{(n)}})\sin {{{\lambda }}_{n}}(T - t) + (s_{{22}}^{{ - (n)}}{\eta }_{2}^{{(n)}} + s_{{24}}^{{ - (n)}}{\eta }_{4}^{{(n)}})\cos {{{\lambda }}_{n}}(T - t) + } \right.} \\ \, + (s_{{31}}^{{ - (n)}}{\eta }_{1}^{{(n)}} + s_{{33}}^{{ - (n)}}{\eta }_{3}^{{(n)}}){{f}_{2}}\sin {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{2}} - t) + \left. {(s_{{42}}^{{ - (n)}}{\eta }_{2}^{{(n)}} + s_{{44}}^{{ - (n)}}{\eta }_{4}^{{(n)}}){{e}_{2}}\cos {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{2}} - t)} \right\}\sin \frac{{{\pi }n}}{l}x; \\ \end{gathered} $

при $2{l \mathord{\left/ {\vphantom {l a}} \right. \kern-0em} a} < t \leqslant 4{l \mathord{\left/ {\vphantom {l a}} \right. \kern-0em} a}$

$u(x,t) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\{ (s_{{11}}^{{ - (n)}}{\eta }_{1}^{{(n)}} + s_{{13}}^{{ - (n)}}{\eta }_{3}^{{(n)}})\sin {{{\lambda }}_{n}}(T - t) + (s_{{22}}^{{ - (n)}}{\eta }_{2}^{{(n)}} + s_{{24}}^{{ - (n)}}{\eta }_{4}^{{(n)}})\cos {{{\lambda }}_{n}}(T - t)\} \sin \frac{{{\pi }n}}{l}x} $

В предположении, что ${{f}_{2}} = {{e}_{1}} = 0$, а ${{f}_{1}} = {{e}_{2}} = 1$, условия (1.4) и (1.5) принимают вид

$Q(x,{{t}_{1}}) = {\alpha }(x),\quad {{\left. {\frac{{\partial Q(x,t)}}{{\partial t}}} \right|}_{{t = {{t}_{2}}}}} = {\beta }(x)$

В этом случае для матриц ${{S}_{n}}$ и $S_{n}^{{ - 1}}$ будем иметь

${{S}_{n}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{2l}}{a}}&0&{\frac{{{{{( - 1)}}^{n}}l}}{{2a}}}&0 \\ 0&{\frac{{2l}}{a}}&0&{\frac{l}{a}} \\ {\frac{{{{{( - 1)}}^{n}}l}}{{2a}}}&0&{\frac{l}{{2a}}}&0 \\ 0&{\frac{l}{a}}&0&{\frac{l}{a}} \end{array}} \right),\quad S_{n}^{{ - 1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{2a}}{{3l}}}&0&{ - \frac{{2{{{( - 1)}}^{n}}a}}{{3l}}}&0 \\ 0&{\frac{a}{l}}&0&{ - \frac{a}{l}} \\ { - \frac{{2{{{( - 1)}}^{n}}a}}{{3l}}}&0&{\frac{{8a}}{{3l}}}&0 \\ 0&{ - \frac{a}{l}}&0&{\frac{{2a}}{l}} \end{array}} \right)$

Отметим, что $\det {{S}_{n}} = \frac{3}{4}{{\left( {\frac{l}{a}} \right)}^{4}}$. Следовательно, из (2.12) с учетом (2.9) получим

${{{\eta }}_{n}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\lambda }}_{n}}({\varphi }_{n}^{{(3)}} - {\varphi }_{n}^{{(0)}})} \\ {{\psi }_{n}^{{(3)}} - {\psi }_{n}^{{(0)}}} \\ {{{{\lambda }}_{n}}[{{{\alpha }}_{n}} - {\varphi }_{n}^{{(0)}}{{{( - 1)}}^{n}}]} \\ {{{{\beta }}_{n}} - {\psi }_{n}^{{(0)}}} \end{array}} \right),\quad S_{n}^{{ - 1}}{{{\eta }}_{n}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{2a}}{{3l}}{{{\lambda }}_{n}}[{\varphi }_{n}^{{(3)}} - {{{( - 1)}}^{n}}{{{\alpha }}_{n}}]} \\ {\frac{a}{l}({\psi }_{n}^{{(3)}} - {{{\beta }}_{n}})} \\ {\frac{{2a}}{{3l}}{{{\lambda }}_{n}}[4{{{\alpha }}_{n}} - {{{( - 1)}}^{n}}({\varphi }_{n}^{{(3)}} + 3{\varphi }_{n}^{{(0)}})]} \\ {\frac{a}{l}(2{{{\beta }}_{n}} - {\psi }_{n}^{{(3)}} - {\psi }_{n}^{{(0)}})} \end{array}} \right)$,

Таким образом, имея значение вектора $S_{n}^{{ - 1}}{{{\eta }}_{n}}$, получим явные выражения для функции управления $u(x,t)$ в виде:

при $0 \leqslant t \leqslant {l \mathord{\left/ {\vphantom {l a}} \right. \kern-0em} a}$

$\begin{gathered} u(x,t) = \frac{a}{l}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left\{ {\frac{2}{3}{{{\lambda }}_{n}}[{\varphi }_{n}^{{(3)}} - {{{( - 1)}}^{n}}{{{\alpha }}_{n}}]\sin {{{\lambda }}_{n}}(T - t) + ({\psi }_{n}^{{(3)}} - {{{\beta }}_{n}})\cos {{{\lambda }}_{n}}(T - t) + } \right.} \\ \, + \frac{2}{3}{{{\lambda }}_{n}}[4{{{\alpha }}_{n}} - {{( - 1)}^{n}}({\varphi }_{n}^{{(3)}} + 3{\varphi }_{n}^{{(0)}})]\sin {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{1}} - t) + \\ \left. {\mathop + \limits_{}^{} \;(2{{{\beta }}_{n}} - {\psi }_{n}^{{(3)}} - {\psi }_{n}^{{(0)}})\cos {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{2}} - t)} \right\}\sin \frac{{{\pi }n}}{l}x; \\ \end{gathered} $

при ${l \mathord{\left/ {\vphantom {l a}} \right. \kern-0em} a} < t \leqslant 2{l \mathord{\left/ {\vphantom {l a}} \right. \kern-0em} a}$

$\begin{gathered} u(x,t) = \frac{a}{l}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left\{ {\frac{2}{3}{{{\lambda }}_{n}}[{\varphi }_{n}^{{(3)}} - {{{( - 1)}}^{n}}{{{\alpha }}_{n}}]\sin {{{\lambda }}_{n}}(T - t) + ({\psi }_{n}^{{(3)}} - {{{\beta }}_{n}})\cos {{{\lambda }}_{n}}(T - t) + } \right.} \\ \left. {\mathop + \limits_{}^{} \;(2{{{\beta }}_{n}} - {\psi }_{n}^{{(3)}} - {\psi }_{n}^{{(0)}})\cos {{{\lambda }}_{n}}({{t}_{2}} - t)} \right\}\sin \frac{{{\pi }n}}{l}x; \\ \end{gathered} $

при $2{l \mathord{\left/ {\vphantom {l a}} \right. \kern-0em} a} < t \leqslant 4{l \mathord{\left/ {\vphantom {l a}} \right. \kern-0em} a}$

$u(x,t) = \frac{a}{l}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left\{ {\frac{2}{3}{{{\lambda }}_{n}}[{\varphi }_{n}^{{(3)}} - {{{( - 1)}}^{n}}{{{\alpha }}_{n}}]\sin {{{\lambda }}_{n}}(T - t) + ({\psi }_{n}^{{(3)}} - {{{\beta }}_{n}})\cos {{{\lambda }}_{n}}(T - t)} \right\}\sin \frac{{{\pi }n}}{l}x} $

Таким образом, имея явные выражения функций управления, с помощью вышеприведенных формул можно найти функцию прогиба стуны.

Заключение. Задача управления колебаниями струны с заданными неразделенными значениями функции прогиба и скоростей в промежуточные моменты времени методом разделения переменных сводится к задаче управления со счетным числом обыкновенных дифференциальных уранений с заданными начальными, конечными и неразделенными многоточечными промежуточными условиями. Задача решается с помощью методов теории управления конечномерными системами с многоточечными промежуточными условиями. В качестве приложения предложенного подхода построено управляющее воздействие для колебания струны с заданными неразделенными значениями прогиба и скоростей точек струны в двух промежуточных моментах времени.

Список литературы

  1. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975. 568 с.

  2. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1977. 480 с.

  3. Знаменская Л.Н. Управление упругими колебаниями. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 176 с.

  4. Ащепков Л.Т. Оптимальное управление системой с промежуточными условиями // ПММ. 1981. Т. 45. Вып. 2. С. 215–222.

  5. Барсегян В.Р. Управление составных динамических систем и систем с многоточечными промежуточными условиями. М.: Наука, 2016. 230 с.

  6. Барсегян В.Р. Задача управления для поэтапно меняющихся линейных систем нагруженных дифференциальных уравнений с неразделенными многоточечными промежуточными условиями // Изв. РАН. МТТ. 2018. № 6. С. 21–29.

  7. Барсегян В.Р., Барсегян Т.В. Об одном подходе к решению задач управления динамических систем с неразделенными многоточечными промежуточными условиями // Автоматика и телемеханика. 2015. № 4. С. 3–15.

  8. Барсегян В.Р., Саакян М.А. Оптимальное управление колебаниями струны с заданными состояниями в промежуточные моменты времении // Известия НАН РА. Механика. 2008. Т. 61. № 2. С. 52–60.

  9. Барсегян В.Р. Об оптимальном управлении колебаниями мембраны при фиксированных промежуточных состояниях // Уч. записки ЕГУ. 1998. № 1(188). С. 24–29.

  10. Барсегян В.Р. О задаче граничного управления колебаниями струны с заданными состояниями в промежуточные моменты времени // XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Сборник докладов. Казань, 20–24 августа 2015. С. 354–356.

  11. Барсегян В.Р. Об одной задаче граничного оптимального управления колебаниями струны с ограничениями в промежуточные моменты времени // “Аналитическая механика, устойчивость и управление”: труды XI Международной Четаевской конференции. Т. 3. Ч. I. Казань, 13–17 июня 2017 г. Казань: КНИТУ-КАИ, 2017. С. 119–125.

  12. Корзюк В.И., Козловская И.С. Двухточечная граничная задача для уравнения колебания струны с заданной скоростью в некоторый момент времени // I. Труды Ин-та мат. НАН Беларуси. 2010. Т. 18. № 2. С. 22–35.

  13. Корзюк В.И., Козловская И.С. Двухточечная граничная задача для уравнения колебания струны с заданной скоростью в некоторый момент времени // II. Труды Ин-та мат. НАН Беларуси. 2011. Т. 19. № 1. С. 62–70.

  14. Макаров А.А., Левкин Д.А. Многоточечная краевая задача для псевдодифференциальных уравнений в полислое // Вісник Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна. Серія: Математика, прикладна математика і механіка. 2014. № 1120. Вып. 69. С. 64–74.

  15. Асанова А.Т., Иманчиев А.Е. О разрешимости нелокальной краевой задачи для нагруженных гиперболических уравнений с многоточечными условиями // Вестник Карагандинского университета. Серия Математика. 2016. № 1(81). С. 15–20.

  16. Бакирова Э.А., Кадирбаева Ж.М. О разрешимости линейной многоточечной краевой задачи для нагруженных дифференциальных уравнений // Изв. HАH PК. Сеp.физ.-мат. 2016. № 5. С. 168–175.

  17. Красовский Н.Н. Теория управления движением, М.: Наука, 1968. 476 с.

  18. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. 496 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Механика твердого тела

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал