Известия РАН. Механика твердого тела, 2020, № 2, стр. 88-95

ЭВОЛЮЦИЯ ВРАЩЕНИЙ СФЕРОИДА С ПОЛОСТЬЮ, ЗАПОЛНЕННОЙ ЖИДКОСТЬЮ БОЛЬШОЙ ВЯЗКОСТИ

Л. Д. Акуленко a*, Д. Д. Лещенко b**, Е. С. Палий c***

a Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН
Москва, Россия

b Одесская государственная академия строительства и архитектуры
Одесса, Украина

c Одесская государственная академия строительства и архитектуры
Одесса, Украина

* E-mail: gavrikov@ipmnet.ru
** E-mail: leshchenko_d@ukr.net
*** E-mail: eschernyakova@gmail.com

Поступила в редакцию 15.04.2019
После доработки 18.07.2019
Принята к публикации 04.10.2019

Полный текст (PDF)

Аннотация

В нестандартной постановке рассматривается движение относительно центра масс сфероида с полостью, заполненной жидкостью большой вязкости. Момент сил, действующих на тело со стороны вязкой жидкости в полости, определен по методике, развитой в работах Ф.Л. Черноусько. В результате оригинальных асимптотического и численного расчетов получены решения, описывающие эволюцию движения тела на бесконечном интервале времени с асимптотически малой погрешностью.

Ключевые слова: сфероид, полость, вязкая жидкость, твердое тело, усреднение

DOI: 10.31857/S0572329920020026

1. Введение. Спутник или космический корабль в своем движении относительно центра масс подвержен влиянию моментов сил различной природы. На них действуют, например, моменты сил, обусловленные движением некоторых масс внутри тела. Эти движения могут быть связаны с наличием жидкости в полостях, расположенных в теле (например, жидкого топлива или окислителя в баках ракет).

Задачи динамики твердого тела с полостями, содержащими вязкую жидкость, представляют бо́льшие трудности, чем в случае идеальной жидкости. Важный вклад в решение этих задач внесли работы Ф.Л. Черноусько с соавторами [1, 2]. В них рассматриваются движения тела с полостью, заполненной вязкой жидкостью. Получено асимптотическое решение, описывающее эволюцию движения тела, имеющего полость с жидкостью большой вязкости, на большом интервале времени.

В работе А.И. Кобрина [3] методом пограничного слоя исследован начальный участок вращения тела с полостью, содержащей жидкость большой вязкости. Статья [4] посвящена изучению стабилизирующего влияния вязкой жидкости в полости на вращение волчка вокруг заданной оси. В работе [5] исследуются колебания на эллиптической орбите твердого тела со сферической полостью, заполненной вязкой жидкостью, при малых числах Рейнольдса. В статье [6] асимптотическим методом изучается движение по инерции твердого тела со сферической или эллипсоидальной полостью, заполненной вязкой жидкостью. В статьях [7, 8, 10] и книге [9] исследуются быстрые вращательные движения относительно центра масс динамически несимметричного спутника с полостью, целиком заполненной жидкостью большой вязкости, под действием моментов сил гравитации, светового давления и сопротивления среды. В работе [11] проведен численный анализ изменения вектора кинетического момента твердого тела с полостью, заполненной вязкой жидкостью. В [12] представлено численное решение задачи о движении тела с полостью кубической формы, заполненной вязкой жидкостью, вокруг неподвижной точки. В статье [13] представлены аналитические и численные результаты, полученные при исследовании системы, состоящей из твердого тела с полостью, заполненной вязкой жидкостью. В работе [14] предложен подход для моделирования динамики твердого тела с полостью, целиком заполненной жидкостью большой вязкости. Хаотические движения твердого тела и спутника с полостью, заполненной жидкостью, исследуются в статьях [15, 16]. Книга [17] посвящена аналитическим приближенным методам в нелинейной динамике твердого тела с полостями, частично заполненными жидкостью. В [18] рассматриваются некоторые задачи управления вращающимися твердыми телами с полостями, заполненными идеальной или вязкой жидкостью. В статье [19] исследуется оптимальное торможение вращающегося несимметричного тела с полостью, заполненной вязкой жидкостью, в среде с сопротивлением. В [20] получены и исследованы уравнения движения системы n связанных твердых тел с полостями, заполненными вязкой жидкостью.

В основе астрометрических исследований лежит динамическая теория вращения Земли относительно центра масс [21, 22]. В работе [23] отмечается, что с позиций теоретической механики проблема анализа процесса колебаний полюса Земли аналогична задаче исследования движений оси гироскопа под действием возмущающих моментов сил и с учетом вязкоупругих деформаций в квазистатическом приближении.

2. Постановка задачи. Рассмотрим свободное движение в пространстве твердого тела с вязкой жидкостью относительно центра инерции. Здесь O1y1y2y3 – движущаяся поступательно система координат с началом, связанным с центром инерции системы. Тензор P = (Pij) задается в виде Pij = P0δij, где δij – символ Кронекера, скалярный коэффициент P0 > 0. Данный вид тензор P имеет в случае сферической полости, для которой согласно [1, 2] значение параметра P0 = 8πb7/525, где b – радиус полости. Через A, B, C обозначим главные центральные моменты инерции системы, через p, q, r – проекции абсолютной угловой скорости ω на главные центральные оси инерции. Уравнения движения запишем в проекциях на главные центральные оси инерции (точка – производная по времени t):

(2.1)
$A\dot {p} + \left( {C - B} \right)qr = \frac{{{\rho }{{P}_{0}}}}{{{\nu }ABC}}p[C\left( {A - C} \right)\left( {A + C - B} \right){{r}^{2}} + B\left( {A - B} \right)\left( {A + B - C} \right){{q}^{2}}]$

Выражение в правой части (2.1) определяет в асимптотическом приближении момент сил вязкой жидкости в полости тела [1, 2].

Остальные уравнения получаются из (2.1) циклической перестановкой символов A, B, C и p, q, r.

Рассмотрим случай сфероида, т.е. тела, когда главные центральные моменты инерции “замороженного” твердого тела близки друг к другу и представим их в виде:

(2.2)
$A = {{J}_{0}} + \varepsilon A',$$B = {{J}_{0}} + \varepsilon B{\text{',}}$$C = {{J}_{0}}$
где 0 < ε $ \ll $ 1 – малый параметр. При ε = 0 уравнения (2.1) описывают движение сферически симметричного тела.

Предположим также, что имеют место оценки:

(2.3)
$\left| {A{\text{'}} - B{\text{'}}} \right| = O(\varepsilon {{J}_{*}}),$$\left| {A - B} \right| = O({{\varepsilon }^{2}}{{J}_{*}})$, ${{J}_{*}} \sim {{J}_{0}}$

Тогда, следуя (2.2), (2.3), имеют место выражения:

(2.4)
$A - B = \varepsilon \left( {A{\text{'}} - B{\text{'}}} \right) = {{\varepsilon }^{2}}{{J}_{*}},$$A - C = {\varepsilon }A{\text{',}}$$B - C = {\varepsilon }B{\text{'}}$

После перехода к медленному времени τ = εt (далее точка – производная по времени τ) и формальных преобразований системы (2.1) с учетом соотношений (2.2)–(2.4) получим возмущенную систему типа Эйлера вида:

$\frac{{dp}}{{d{\tau }}} = \frac{{B{\text{'}}}}{{{{J}_{0}}}}\left( {1 - {\varepsilon }\frac{{A{\text{'}}}}{{{{J}_{0}}}}} \right)qr + {\varepsilon }{{f}_{p}}\left( {p,q,r} \right),$$p(0) = {{p}_{0}}$
(2.5)
$\frac{{dq}}{{d{\tau }}} = \frac{{A{\text{'}}}}{{{{J}_{0}}}}\left( { - 1 + {\varepsilon }\frac{{B{\text{'}}}}{{{{J}_{0}}}}} \right)rp + {\varepsilon }{{f}_{q}}\left( {p,q,r} \right),$$q(0) = {{q}_{0}}$
$\frac{{dr}}{{d{\tau }}} = \frac{{\varepsilon }}{{{{J}_{0}}}}\left( {A{\text{'}} - B{\text{'}}} \right)qp + {\varepsilon }{{f}_{r}}\left( {p,q,r} \right),$$r(0) = {{r}_{0}}$

В системе уравнений (2.5) введены возмущения. Здесь r – медленная переменная в медленном времени τ. Система дифференциальных уравнений (2.5) – существенно нелинейная система, в которой частота зависит от медленной переменной r.

В (2.5) введены возмущения:

${\varepsilon }{{f}_{p}}\left( {p,q,r} \right) = \frac{{{\rho }{{P}_{0}}p}}{{{\nu }J_{0}^{3}}}\left\{ {A{\text{'}}\left[ {{{J}_{0}} - {\varepsilon }(A{\text{'}} + 2B{\text{'}})} \right]{{r}^{2}} + \left( {A{\text{'}} - B{\text{'}}} \right)\left[ {{{J}_{0}} - {\varepsilon }(A{\text{'}} - B{\text{'}})} \right]{{q}^{2}}} \right\}$
(2.6)
${\varepsilon }{{f}_{q}}\left( {p,q,r} \right) = \frac{{{\rho }{{P}_{0}}q}}{{{\nu }J_{0}^{3}}}\left\{ {(B{\text{'}} - A{\text{'}})\left[ {{{J}_{0}} - {\varepsilon }(B{\text{'}} - A{\text{'}})} \right]{{p}^{2}} + B{\text{'}}\left[ {{{J}_{0}} - {\varepsilon }(2A{\text{'}} + B{\text{'}})} \right]{{r}^{2}}} \right\}$
${\varepsilon }{{f}_{r}}\left( {p,q,r} \right) = \frac{{{\rho }{{P}_{0}}r}}{{{\nu }J_{0}^{3}}}\left\{ {B{\text{'}}\left[ {{\varepsilon }(2A{\text{'}} - B{\text{'}}) - {{J}_{0}}} \right]{{q}^{2}} + A{\text{'}}\left[ {{\varepsilon }(2B{\text{' -- }}A{\text{'}}) - {{J}_{0}}} \right]{{p}^{2}}} \right\}$

Момент сил трения вязкой жидкости в полости тела является малым [1, 2, 7, 9, 11].

Решение невозмущенной системы (2.5) при значениях ε = 0, 1/ν = 0 имеет вид:

(2.7)
$p = a\sin {\varphi ,}$$q = a\sqrt {\frac{{A{\text{'}}}}{{B{\text{'}}}}} \cos {\varphi }$

Здесь $a = \sqrt {p_{0}^{2} + {{{({{{\dot {p}}}_{0}}{\text{/}}w)}}^{2}}} $ – амплитуда (медленная переменная), φ – фаза, w = = $\sqrt {A{\text{'}}B{\text{'}}} {{r}_{0}}{\text{/}}{{J}_{0}}$, $A{\text{'}}B{\text{'}} > 0$ по предположению.

Проведем переход от медленных переменных (p, q, r) к новым стандартным медленным переменным a, r и фазе φ. Используем для этого замену переменных:

(2.8)
$q = - \frac{{{{J}_{0}}aw\sin {\varphi }}}{{B{\text{'}}r}},$$r = r$

Продифференцируем выражения (2.8) в силу возмущенной системы. После ряда преобразований получим систему в стандартной форме:

$ - \dot {a}\cos {\varphi } - a{\dot {\varphi }}\sin {\varphi } = - \frac{{ar\sqrt {A{\text{'}}B{\text{'}}} \sin {\varphi }}}{{{{J}_{0}}}} + {\varepsilon }{{f}_{{1p}}}$
(2.9)
$ - \dot {a}\sin {\varphi } - a\left( {{\dot {\varphi }} - \frac{{\sqrt {A{\text{'}}B{\text{'}}} }}{{{{J}_{0}}}}r} \right)\cos {\varphi } = {\varepsilon }\sqrt {\frac{{B{\text{'}}}}{{A{\text{'}}}}} {{f}_{{1q}}}$
$\dot {r} = - \frac{{A{\text{'}} - B{\text{'}}}}{{{{J}_{0}}}}\sqrt {\frac{{A{\text{'}}}}{{B{\text{'}}}}} {{a}^{2}}\cos {\varphi }\sin {\varphi } + {\varepsilon }{{f}_{{1r}}}$
$\begin{gathered} {\varepsilon }{{f}_{{1p}}} = {\varepsilon }\frac{{A{\text{'}}\sqrt {A{\text{'}}B{\text{'}}} }}{{J_{0}^{2}}}ar\sin {\varphi } + \frac{{{\rho }{{P}_{0}}a}}{{{\nu }J_{0}^{3}}}\cos {\varphi } \times \\ \times \;\left\{ {{{a}^{2}}\frac{{A{\text{'}}}}{{B{\text{'}}}}\left( {A{\text{'}} - B{\text{'}}} \right)\left[ {{{J}_{0}} - {\varepsilon }\left( {A{\text{'}} - B{\text{'}}} \right)} \right]{{{\sin }}^{2}}{\varphi } + {{r}^{2}}A{\text{'}}\left[ {{{J}_{0}} - {\varepsilon }\left( {A{\text{'}} + 2B{\text{'}}} \right)} \right]} \right\} \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {\varepsilon }{{f}_{{1q}}} = {\varepsilon }\frac{{A{\text{'}}B{\text{'}}}}{{J_{0}^{2}}}ar\cos {\varphi } - \frac{{{\rho }{{P}_{0}}}}{{{\nu }J_{0}^{3}}}\sqrt {\frac{{A{\text{'}}}}{{B'}}} a\sin {\varphi } \times \\ \times \;\{ {{a}^{2}}\left( {B{\text{'}} - A{\text{'}}} \right)[{{J}_{0}} - {\varepsilon }\left( {B{\text{'}} - A{\text{'}}} \right)]{{\cos }^{2}}{\varphi } + {{r}^{2}}B{\text{'}}[{{J}_{0}} - {\varepsilon }\left( {2A{\text{'}} + B{\text{'}}} \right)]\} \\ \end{gathered} $
${\varepsilon }{{f}_{{1r}}} = \frac{{{\rho }{{P}_{0}}}}{{{\nu }J_{0}^{3}}}A{\text{'}}{{a}^{2}}r\{ {\varepsilon }\left( {2A{\text{'}} - B{\text{'}}} \right){{\sin }^{2}}{\varphi } + {\varepsilon }\left( {2B{\text{'}} - A{\text{'}}} \right){{\cos }^{2}}{\varphi } - {{J}_{0}}\} $

Разрешим уравнения (2.9) относительно $\dot {a}$ и $\dot {\varphi }$. Получим систему вида:

$\dot {a} = {\varepsilon }{{f}_{{1p}}}\cos {\varphi } - {\varepsilon }\sqrt {\frac{{B{\text{'}}}}{{A{\text{'}}}}} {{f}_{{1q}}}\sin {\varphi }$
(2.10)
${\dot {\varphi }} = w\left( r \right) - \frac{{{\varepsilon }{{f}_{{1p}}}}}{a}\sin {\varphi } - \frac{{\varepsilon }}{a}\sqrt {\frac{{B{\text{'}}}}{{A{\text{'}}}}} {{f}_{{1q}}}\cos {\varphi }$

Подставим (2.8) в третье уравнение (2.5) для переменной r. С учетом стандартных преобразований получим следующую систему уравнений:

$\begin{gathered} \dot {a} = {\varepsilon }\left( {A{\text{'}} - B{\text{'}}} \right)\frac{{\sqrt {A{\text{'}}B{\text{'}}} }}{{J_{0}^{2}}}ar\sin {\varphi }\cos {\varphi } + \\ + \;\frac{{{\rho }{{P}_{0}}a}}{{{\nu }J_{0}^{3}}}\left\{ {{{a}^{2}}{{{\sin }}^{2}}{\varphi }{{{\cos }}^{2}}{\varphi }\frac{{{{{(A{\text{'}} - B{\text{'}})}}^{2}}}}{{B{\text{'}}}}[{{J}_{0}} - {\varepsilon }\left( {A{\kern 1pt} ' + B{\kern 1pt} '} \right)] + } \right. \\ \left. {_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} + \,{{r}^{2}}[A{\text{'}}\left( {{{J}_{0}} - {\varepsilon }A{\text{'}}} \right){{{\cos }}^{2}}{\varphi } - 2{\varepsilon }A{\text{'}}B{\text{'}} + B{\text{'}}\left( {{{J}_{0}} - {\varepsilon }B{\text{'}}} \right){{{\sin }}^{2}}{\varphi }]} \right\} \\ \end{gathered} $
(2.11)
$\begin{gathered} {\dot {\varphi }} = w\left( r \right) - {\varepsilon }\frac{{\sqrt {A{\text{'}}B{\text{'}}} }}{{J_{0}^{2}}}r(A{\text{'}}{{\sin }^{2}}{\varphi } + B{\text{'}}{{\cos }^{2}}{\varphi }) + \frac{{{\rho }{{P}_{0}}}}{{{\nu }J_{0}^{3}}}\cos {\varphi }\sin {\varphi } \times \\ \times \;\left\{ {{{r}^{2}}[{{J}_{0}}\left( {B{\text{'}} - A{\text{'}}} \right) + 2{\varepsilon }(A{\kern 1pt} {{'}^{2}} - B{\kern 1pt} {{'}^{2}})] - {\varepsilon }{{J}_{0}}\left( {A{\text{'}} - B{\text{'}}} \right){{a}^{2}}\left( {\frac{{A{\text{'}}}}{{B{\text{'}}}}{{{\sin }}^{2}}{\varphi } + {{{\cos }}^{2}}{\varphi }} \right)} \right\} \\ \end{gathered} $

Здесь величина $w\left( r \right) = \sqrt {A{\text{'}}B{\text{'}}} r{\text{/}}{{J}_{0}}$ имеет смысл возмущенной частоты преобразованной системы. После усреднения системы (2.11) по фазе φ [2426] находим:

(2.12)
$\dot {a} = \frac{{{\rho }{{P}_{0}}}}{{{\nu }J_{0}^{3}}}a({\alpha }{{a}^{2}} + {\beta }{{r}^{2}}),$$\dot {r} = \frac{{{\rho }{{P}_{0}}}}{{2{\nu }J_{0}^{3}}}r{{a}^{2}}{\gamma }$

Здесь введены обозначения:

${\alpha } = {\varepsilon }{{\left( {A{\text{'}} - B{\text{'}}} \right)}^{2}}\left[ {{{J}_{0}} - {\varepsilon }\left( {A{\text{'}} + B{\text{'}}} \right)} \right]{\text{/}}8B{\text{',}}$${\beta } = A{\text{'}}\left( {{{J}_{0}} - {\varepsilon }A{\text{'}}} \right){\text{/}}2 - 2{\varepsilon }A{\text{'}}B{\text{'}} + B{\text{'}}\left( {{{J}_{0}} - {\varepsilon }B{\text{'}}} \right){\text{/}}2,$
${\gamma } = {{{\varepsilon }(A{\kern 1pt} {{'}^{2}} + A{\text{'}}B{\text{'}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\varepsilon }(A{\kern 1pt} {{'}^{2}} + A{\text{'}}B{\text{'}})} {2 - {{J}_{0}}A{\text{'}}}}} \right. \kern-0em} {2 - {{J}_{0}}A{\text{'}}}}$

Систему (2.12) преобразуем к виду:

(2.13)
$\dot {x} = 2{\eta }x\left( {{\alpha }x + {\beta }y} \right),$$\dot {y} = {\eta \gamma }xy$

Здесь введены переменные $x = {{a}^{2}}$, $y = {{r}^{2}} > 0$ и параметр .

Отметим, что в системе (2.13) x, y – медленные переменные. Разделим первое уравнение (2.13) на второе; получим скалярное уравнение, допускающее элементарное аналитическое интегрирование

(2.14)
$\frac{{dx}}{{dy}} = \frac{{2{\alpha }}}{{\gamma }}\frac{x}{y} + \frac{{2{\beta }}}{{\gamma }}$

Для этого обозначим: $z = x{\text{/}}y$.

Имеем параметры ${\tilde {\alpha }} = 2{\alpha /\gamma }$, и выражение для производной $z{\text{'}} = dz{\text{/}}dy$.

Так как $z = x{\text{/}}y$, то получим линейное уравнение для переменной x:

(2.15)
$\frac{{dx}}{{dy}} = yz{\text{'}} + z$
где $yz{\text{'}} = y\frac{{dz}}{{dy}} = \frac{{dz}}{{d{\theta }}}$; здесь введен аргумент ${\theta } = \ln y$. С учетом введенных ранее обозначений имеет место выражение:

$yz{\text{'}} + z = {\tilde {\alpha }}z + {\tilde {\beta }}$

Получим в итоге линейное неоднородное уравнение элементарного вида:

(2.16)
$\frac{{dz}}{{d{\theta }}} = \left( {{\tilde {\alpha }} - 1} \right)z + {\tilde {\beta }}$

Его решение записывается следующим образом:

(2.17)
$z = \frac{{{\tilde {\beta }}}}{{1 - {\tilde {\alpha }}}} + {{C}_{1}}{{e}^{{\left( {{\tilde {\alpha }} - 1} \right){\theta }}}},$${{C}_{1}} = const$

Раньше было получено уравнение вида:

(2.18)
$\frac{{dx}}{{dy}} = {\tilde {\alpha }}z + {\tilde {\beta }}$

Здесь согласно принятому выше обозначению x/y = z.

В результате интегрирования находим первый интеграл:

(2.19)
$x = \frac{{{\tilde {\beta }}}}{{1 - {\tilde {\alpha }}}}y + {{C}_{1}}{{y}^{{{\tilde {\alpha }}}}},$${{C}_{1}} = const$

Подставим выражение (2.19) во второе уравнение системы (2.13), получим следующее уравнение:

$\dot {y} = {\eta \gamma }{{y}^{2}}\left( {\frac{{{\tilde {\beta }}}}{{1 - {\tilde {\alpha }}}} + {{C}_{1}}{{y}^{{{\tilde {\alpha }} - 1}}}} \right)$

Оно допускает разделение переменных y, τ и интегрирование в квадратурах.

3. Численное интегрирование. Система (2.13) в первом расчетном случае (рис. 1) в силу выбранных значений параметров имеет следующие коэффициенты:

η = 0.0224, α = 0, β = –20, γ = –60
и начальные условия: x(0) = 1, y(0) = 1.

Рис. 1

Во втором расчетном случае (рис. 2):

η = 0.6048, α = 0.03125, β = 0.65, γ = –4.5
при тех же начальных условиях: x(0) = 1, y(0) = 1.

Рис. 2

В обоих случаях y = r2 убывает на интервале [0; 10] асимптотически приближаясь к нулю (рис. 1, 2).

В первом случае (рис. 1) x = a2 убывает на интервале [0; 10], асимптотически приближаясь к стационарному значению 0.3359. Во втором случае (рис. 2) переменная x возрастает, достигая значения 2.4816 на интервале [0; 10].

Заключение. Исследовано движение близкого к динамически сферическому твердого тела (сфероида) с полостью, целиком заполненной вязкой жидкостью, при малых числах Рейнольдса. Получена уточненная в квадратическом приближении по малому параметру система уравнений движения в стандартной форме. Проанализирована задача Коши для системы, определенной после усреднения. Эволюция движения твердого тела на бесконечном интервале времени описывается решениями, полученными асимптотически, аналитически и численно.

Исследуемая в работе модель представляет определенный естественнонаучный, познавательный интерес для динамики фигуры Земли.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 16-11-10343).

Список литературы

  1. Черноусько Ф.Л. Движение твердого тела с полостями, содержащими вязкую жидкость. М.: Изд-во ВЦ АН СССР, 1968. 230 с.

  2. Chernousko F.L., Akulenko L.D., Leshchenko D.D. Evolution of Motions of a Rigid Body About its Center of Mass. Cham: Springer, 2017. 241 p.

  3. Кобрин А.И. К задаче о движении тела с полостью, заполненной вязкой жидкостью, относительно центра масс в потенциальном поле массовых сил // ПММ. 1969. Т. 33. Вып. 3. С. 431–440.

  4. Смирнова Е.П. Стабилизация свободного вращения асимметрического волчка с полостями, целиком заполненными жидкостью // ПММ. 1974. Т. 38. Вып. 6. С. 980–985.

  5. Осипов В.З., Суликашвили Р.С. О колебании твердого тела со сферической полостью, целиком заполненной вязкой жидкостью, на эллиптической орбите // Тр. ин-та / Тбилис. мат. ин-т АН. Груз. ССР. 1978. Т. 58. С. 175–186.

  6. Баранова Е.Ю., Вильке В.Г. Эволюция движения твердого тела с неподвижной точкой и эллипсоидальной полостью, заполненной вязкой жидкостью // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., механ. 2013. № 1. С. 44–50.

  7. Акуленко Л.Д., Лещенко Д.Д., Рачинская А.Л. Эволюция вращений спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью // Механика твердого тела. 2007. Вып. 37. С. 126–139.

  8. Акуленко Л.Д., Зинкевич Я.С., Лещенко Д.Д., Рачинская А.Л. Быстрые вращения спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью, под действием моментов сил гравитации и светового давления // Космич. исслед. 2011. Т. 49. № 5. С. 453–463.

  9. Акуленко Л.Д., Лещенко Д.Д., Рачинская А.Л., Зинкевич Я.С. Возмущенные и управляемые вращения твердого тела. Одесса: Одесский национальный университет им. И.И. Мечникова, 2013. 288 с.

  10. Акуленко Л.Д., Лещенко Д.Д., Рачинская А.Л., Щетинина Ю.С. Эволюция возмущенных вращений несимметричного гиростата в гравитационном поле и среде с сопротивлением. Изв. РАН. МТТ. 2016. № 4. С. 43–52.

  11. Рачинская А.Л. Движение твердого тела с полостью, заполненной вязкой жидкостью // Космич. исслед. 2015. Т. 53. № 6. С. 516–520.

  12. Боталов А.Ю. Движение полости, заполненной вязкой жидкостью, вокруг неподвижной точки // В мире научных открытий. Математика, механика, информатика. 2013. № 2.1 (38). С. 9–23.

  13. Disser K., Galdi G.R., Mazzone G., Zunino P. Inertial motions of a rigid body with a cavity filled with a viscous liquid // Arch. Rational Mech. Anal. 2016. V. 221. № 1. P. 487–526.

  14. Ramodanov S.M., Sidorenko V.V. Dynamics of a rigid body with an ellipsoidal cavity filled with viscous fluid // Intern. J. of Non-Linear Mech. 2017. V. 95. P. 42–46.

  15. Leung A.Y.T., Kuang J.L. Chaotic rotation of a liquid-filled solid // J. Sound Vib. 2007. V. 302. № 3. P. 540–563.

  16. Baozeng Y., Xie J. Chaotic attitude maneuvers in spacecraft with completely liquid-filled cavity // J. Sound Vib. 2007. V. 302. № 4–5. P. 643–656.

  17. Lukovsky I.A. Mathematical Models for Rigid Bodies with a Liquid. Walter de Gruyter GmbH Co KG. 2015. 394 p.

  18. Gurchenkov A.A., Nosov M.B., and Tsurkov V.I. Control of Fluid-Containing Rotating Rigid Bodies. Boca Raton CRC Press, 2013. 160 p.

  19. Rachinskaya A.L., Rumyantseva E.A. Optimal deceleration of a rotating asymmetrical body in a resisting medium // Intern. Appl. Mech. 2018. V. 54. № 6. P. 710–717.

  20. Кононов Ю.Н. О движении системы связанных твердых тел с полостями, содержащими жидкость // Механика твердого тела. 2000. Вып. 30. С. 207–216.

  21. Авсюк Ю.Н. Приливные силы и природные процессы. М.: Изд-во ОИФЗ РАН. 1996. 188 с.

  22. Сидоренков Н.С. Физика нестабильностей вращения Земли. М.: Наука; Физматлит, 2002. 384 с.

  23. Климов Д.М., Акуленко Л.Д., Кумакшев С.А. Механическая модель возмущенного движения Земли относительно центра масс // ДАН. 2013. Т. 453. № 3. С. 277–281.

  24. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988. 328 с.

  25. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. 503 с.

  26. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. М.: Изд-во МГУ, 1971. 507 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.