Известия РАН. Механика твердого тела, 2020, № 2, стр. 147-158

Введение. Работа посвящена рассмотрению наиболее простого метода управления противоударным изолятором с наихудшими возмущениями. Рассматривается система с одной степенью свободы, состоящая из основания (базы) и расположенного на ней защищаемого объекта. Воздействие на основание характеризуется заданием ее ускорения и описывается функцией времени. Основание и защищаемый объект движутся вдоль одной прямой линии, и управляющая сила, создаваемая изолирующим устройством между основанием и объектом, ограничена по величине. В работах [1–3] ставилась задача о минимизации максимума модуля смещения объекта относительно основания при заданном возмущении. Основы теории оптимальной противоударной изоляции развивались в [4–7]. Возможности изоляции объекта, расположенного на подвижном основании, от кратковременных ударных воздействий с помощью активного изолятора с управлением без упреждения изучались в [8]. В [8] получена максимально возможная длительность возмущения ниже которой оптимально постоянное максимально возможное управление заданной длительности. При этом длительность управления определяется из условия остановки защищаемого объекта после действия возмущения и управления. Для некоторых конкретных возмущений оптимальные упреждающие управления были построены численно или аналитически в [9]. Для задач с заданной длительностью возмущений и фиксированным управлением в [9] было также доказано, что наихудшие возмущения представляют собой дельта-функции, действующие либо в начальный момент возмущения либо в конечный. В [10, 11] построено упреждающее управление с оптимизацией момента упреждения для наихудших возмущений на основе управления, полученного для дельта-возмущений (мгновенных ударов) и получено соответствующее значение функционала. В этих работах также построено гарантирующее упреждающее управление с одним переключением, позволяющее вычислять минимальную оценку максимальной величины смещения объекта относительно основания для целого класса возмущений. В данной работе показано, что введение упреждения и запаздывания для постоянного максимального управления заданной длительности, полученного в качестве оптимального для мгновенных ударов без упреждения, и использование этого управления с дальнейшей оптимизацией по моменту упреждения и величине запаздывания приводит к значительному уменьшению значения критерия качества по сравнению с задачей без упреждения. Проведено сравнение этого управления по критерию качества с оптимальным решением. Показано также, что введение упреждения и запаздывания для управления заданной длительности, полученного в качестве оптимального для мгновенных ударов с упреждением, и использование этого управления с дальнейшей оптимизацией по моменту упреждения и величине запаздывания приводит к меньшему значению критерия качества, чем использование постоянного управления с запаздыванием и упреждением. Выбор для изучения простых законов управления, не зависящих от длительности возмущения, обусловлен тем, что такие способы управления легче реализовать на практике, когда закон управления задан и выбирается только момент его начала действия в зависимости от длительности возмущения.

1. Механическая система. Пусть механическая система (рис. 1) состоит из основания 1 и объекта 3, соединенного с основанием посредством противоударного изолятора 2 – устройства, генерирующего управляющую силу f между основанием и объектом и предназначенного для защиты объекта при ударном воздействии на основание. Движения основания и объекта предполагаются поступательными вдоль одной прямой. Обозначим: $z$ – смещение основания относительно неподвижной (инерциальной) системы отсчета, $x$ – смещение объекта относительно основания, $m$ – масса объекта. Ударное воздействие на основание моделируется его ускорением $\ddot {z}$, функцией времени, некоторые характеристики которой предполагаются известными.

Движение объекта относительно основания описывается уравнением

Далее полагаем, что сила f удовлетворяет ограничению $\left| f \right| \leqslant {{F}_{0}}$, где ${{F}_{0}}$ – заданная величина, тогда величина $u$ удовлетворяет неравенству

Предполагается, что в начальный момент времени t = 0 основание и объект покоятся в положениях, отвечающих нулевым значениям координат $x$ и z:

В качестве допустимых управлений будем рассматривать кусочно-непрерывные функции $u(t),$ удовлетворяющие ограничению $\left| {u(t)} \right| \leqslant {{u}_{0}}$.

2. Внешние возмущения. Предполагается, что возмущение ${v}(t)$ имеет вид

где кусочно-непрерывная функция $V(\xi )$ определена для всех вещественных $\xi $, причем $V(\xi ) \equiv 0$ для $\xi < 0$, а ${{t}_{0}} \geqslant 0$ – некоторый момент времени, который может быть задан или подлежать определению. Таким образом, возмущение V начинает действовать на основание спустя время ${{t}_{0}}$ после включения системы противоударной изоляции (упреждающее управление).

Будем предполагать, что возбуждение 1) действует только в одном направлении и не меняет знака ($V(t) \geqslant 0$), 2) имеет конечную длительность $T$ ($V(t) \equiv 0$, если $t > T$) и 3) только на одном интервале, ${{t}_{1}} < t < {{t}_{2}}$, величина абсолютного ускорения $V(t)$ основания превышает верхнюю границу ${{u}_{0}}$ абсолютного ускорения защищаемого объекта:

Один или оба из интервалов $0 \leqslant t < {{t}_{1}}$ и ${{t}_{2}} < t \leqslant T$ могут быть пустыми, если $V(0)$ > u₀ или $V(T) > {{u}_{0}}$. В случае, когда $V(t) \leqslant {{u}_{0}}$ для $0 \leqslant t \leqslant T$ оптимальное управление определяется тождеством $u(t) \equiv V(t)$ и обеспечивает тождественно равное нулю смещение объекта по отношению к основанию. Базовыми характеристиками ударного воздействия являются его длительность $T$ и интеграл

характеризующий величину скорости, приобретенной (или потерянной) основанием в результате удара. В дальнейшем параметры T и ${{{v}}_{0}}$ считаются известными. Класс описанных возмущений обозначим ${{V}_{*}}$.

3. Критерий качества. Будем считать, что возмущение $V(\xi )$ неизвестно, но известно множество $\Omega \subset {{V}_{*}}$, которому могут принадлежать возможные возмущения. Качество изоляции при заданных управлении $u(t)$ и времени упреждения ${{t}_{0}}$ будем оценивать функционалом J, характеризующим максимальную величину смещения объекта относительно основания при наихудшем возмущении:

где $x(t;u,V,{{t}_{0}})$ – решение уравнения (1.1) с начальными условиями (1.2) для заданных $u(t)$, $V(\xi )$ и ${{t}_{0}}$. Величину J желательно минимизировать выбором оптимального закона управления и времени упреждения.

4. Лемма о наихудшем возмущении. Вычисление функционала (3.1) предполагает определение наихудшего возмущения $V \in \Omega \subset {{V}_{*}}$, которое максимизирует максимум модуля отклонения защищаемого объекта относительно основания ($ma{{x}_{t}}\left| {x(t;u,V,{{t}_{0}})} \right|$) при заданных $u(t)$ и ${{t}_{0}}$.

Лемма [9]. Среди возмущений $V \in {{V}_{*}}$ наихудшее возмущение есть либо V(ξ) = ${{{v}}_{0}}\delta (\xi )$, либо $V(\xi ) = {{{v}}_{0}}\delta (\xi - T)$. Иными словами, наихудшее возмущение есть мгновенный удар интенсивности ${{{v}}_{0}}$, подаваемый в начальный или в конечный момент допустимого интервала возмущения.

Согласно этой лемме, для нахождения наихудшего возмущения при заданных $u(t)$ и ${{t}_{0}}$ надо решить дифференциальное уравнение (1.1) с начальными условиями (1.2) при ${v}(t) = {{{v}}_{0}}\delta (t - {{t}_{0}})$ и ${v}(t) = {{{v}}_{0}}\delta (t - {{t}_{0}} - T)$, для каждого из решений вычислить соответственно $ma{{x}_{t}}\left| {x(t;u,V,{{t}_{0}})} \right|$, $ma{{x}_{t}}\left| {x(t;u,V,T)} \right|$, сравнить получившиеся величины и выбрать возмущение, отвечающее большему значению.

Введем безразмерные переменные

Далее будем использовать безразмерные переменные, опуская штрихи. В безразмерных единицах параметры ${{u}_{0}}$ и ${{{v}}_{0}}$ равны единице.

5. Задачи оптимизации. Поскольку условия информированности управляющей стороны о внешнем возмущении и множества допустимых законов управления U могут быть различными, то и задачи оптимального управления должны быть сформулированы по-разному.

Задача 1. Для системы (1.1) с начальными условиями (1.2) найти допустимое управление ${{u}_{*}}$ и время упреждения $t_{0}^{*}$, которые минимизируют величину (3.1):

где U – множество законов управления $u(t)$, среди которых ищется оптимум.

Это задача о гарантирующем оптимальном упреждающем управлении противоударным изолятором, защищающим объект от ударных воздействий из множества $\Omega $. Она обобщает задачу, рассмотренную в [1–3] для заданного возмущения в отсутствие упреждения управления.

Задача 2. Для системы (1.1) при начальных условиях (1.2) и заданном возмущении (2.1) найти кусочно-непрерывное управление $u(t)$, удовлетворяющее ограничению

и время упреждения ${{t}_{0}}$, которые минимизируют максимальную величину смещения объекта относительно основания (функционал J):

Эту задачу можно трактовать как задачу 1, в которой множество допустимых возмущений $\Omega $ состоит из одного элемента.

Множество допустимых законов управления может представлять собой параметрическое семейство управлений ${{u}_{s}}(t) \in {{U}_{s}}$, зависящих от параметра $s,s \in S.$

Задача 3. Для заданного класса допустимых управлений ${{u}_{s}}(t) \in {{U}_{s}}$ найти время упреждения $t_{0}^{*}$ и значение параметра s*, минимизирующие величину (3.1):

Решение задачи 3 дает возможность улучшать качество противоударной защиты путем изменения времени упреждения и параметра при заданном семействе законов управления ${{u}_{s}}(t)$, которое, например, может быть построено на основе оптимального управления для некоторого возмущения $V \in \Omega $ и представлено аналитическими выражениями.

6. Параметрическая оптимизация. В данной работе рассматриваются четыре параметрических множества допустимых законов управления: ${{U}_{\tau }}$ – класс управлений с одним переключением, ${{U}_{c}}$ – класс управлений с запаздыванием, основанный на оптимальном управлении для мгновенного удара с упреждением, ${{U}_{d}}$ – класс постоянных управлений заданной длительности с запаздыванием, основанный на оптимальном управлении для мгновенного удара без упреждения, ${{U}_{0}}$ – класс постоянных управлений заданной длительности без запаздывания, состоящий из одного элемента ${{u}_{{0d}}}$ – оптимального управления для мгновенного удара без упреждения, определяемого далее.

Решение задачи 3 для класса управлений ${{U}_{\tau }}$. Класс управлений ${{U}_{\tau }}$ описывается в размерных переменных параметрическим семейством допустимых релейных управлений ${{u}_{\tau }}(t)$ с переключением c $ - {{u}_{0}}$ на ${{u}_{0}}$ в момент времени $\tau $ и с ${{u}_{0}}$ на 0 в момент времени ${{{v}}_{0}}{\text{/}}{{u}_{0}}$ + 2τ, т.е. примем ${{U}_{\tau }} = \{ {{u}_{\tau }}\} $, где

Для управлений вида (6.1) имеем

Длина отрезков управления в (6.1) выбрана из условия $\dot {x} \to 0$ при $t \to + \infty ,$ что приводит к конечному смещению объекта относительно основания.

В безразмерных переменных соотношения (6.1), (6.2) приобретают вид

Для класса управлений ${{U}_{\tau }} = \{ {{u}_{\tau }}\} $ решение задачи 3 получено в [10, 11]. Оптимальное управление определяется формулой (6.3) с значением параметра $\tau $

Значение функционала и момент упреждения определяются формулами

Заметим, что приведенное решение задачи 1 при $T > 1{\text{/}}2$ неединственно. Значение функционала $J = T{\text{/}}2$ для этого случая обеспечивается моментом переключения $\tau $ и моментом упреждения ${{t}_{0}}$, удовлетворяющими соотношениям

Решение задачи 3 для класса управлений ${{U}_{c}}$. Класс управлений ${{U}_{c}} = \{ {{u}_{c}}\} $ описывается параметрическим семейством допустимых управлений ${{u}_{c}}(t)$, где ${{u}_{c}}(t)$ в размерных и безразмерных переменных задается соответственно соотношениями (6.5) и (6.6)

Управление ${{u}_{c}}(t)$ при c = 0 обозначим ${{u}_{\delta }}(t)$ и будем называть дельта-управлением, поскольку управление ${{u}_{\delta }}(t)$ с моментом упреждения ${{t}_{0}} = 1$ представляет собой оптимальное управление с оптимальным упреждением для задачи 2 при возмущении V(ξ) = $\delta (\xi )$. Очевидное равенство ${{u}_{c}}(t) = {{u}_{\delta }}(t - c)$ означает, что управление ${{u}_{c}}(t)$ представляет собой дельта-управление с запаздыванием c. Отметим также справедливость равенства

Использование методики работ [10, 11] приводит к решению задачи 3 для класса управлений ${{U}_{c}}$:

Заметим, что значение функционала ${{J}_{c}}(T)$ из (6.8) обеспечивается не единственным образом. Оптимальные минимально возможные момент упреждения $t_{c}^{*}$ и величина запаздывания c* определяются соотношениями

Решение задачи 3 для класса управлений ${{U}_{d}}$. Класс управлений ${{U}_{d}} = \{ {{u}_{d}}\} $ описывается параметрическим семейством допустимых управлений ${{u}_{d}}(t)$, где ${{u}_{d}}(t)$ в размерных и безразмерных переменных задается соответственно соотношениями (6.10) и (6.11)

Управление ${{u}_{d}}(t)$ при $d = 0$ обозначим ${{u}_{{0d}}}(t)$ и будем называть d-управлением. Управление ${{u}_{{0d}}}(t)$ с моментом упреждения ${{t}_{0}} = 0$ представляет собой оптимальное управление без оптимального упреждения для задачи 2 при возмущении $V(\xi ) = \delta (\xi )$.

Введем функцию ${{J}_{{dd}}}(t*)$, определяемую как значение функционала J, отвечающее управлению ${{u}_{d}}(t)$ и возмущению ${v}(t) = \delta (t - {{t}_{*}})$, т.е. мгновенному удару, действующему на основание в момент времени $t*$. Эта функция задается выражением

Формула (6.12) позволяет оценить влияние ошибки в определении момента удара при расчете упреждающего оптимального управления на величину критерия качества противоударной изоляции. Функция из (6.12) непрерывна, монотонно убывает от значения $1{\text{/}}2 + d$ до $3{\text{/}}2 - \sqrt 2 $ при $t* \in [0,d + \sqrt 2 - 1)$ и монотонно возрастает от $3{\text{/}}2 - \sqrt 2 $ до бесконечности при $t* > d + \sqrt 2 - 1$. Формула (6.12) является обобщением формулы для величины ${{J}_{{0d}}}(t*)$, определяемой как максимум модуля отклонения объекта относительно основания для мгновенного удара ${v}(t) = \delta (t - t*)$ при управлении ${{u}_{{0d}}}(t)$, $t* \geqslant 0$

Очевидное равенство ${{J}_{{dd}}}(t*) = {{J}_{{0d}}}(t{\text{*}} - d)$ при $t* \geqslant d$ означает, что график функции ${{J}_{{dd}}}(t*)$ получается смещением графика ${{J}_{{dd}}}(t*)$ на величину c вдоль оси абсцисс с доопределением на интервале $[0,d)$ согласно формуле (6.12).

График функции ${{J}_{{0d}}}(t*)$ изображен на рис. 2.

Из полученной формулы (6.13) можно сделать следующие выводы.

Для дельта-возмущения $V(\xi ) = \delta (\xi )$ при заданных значениях параметров $T = 0$, $t{\text{*}}$ = 0 и при заданном управлении ${{u}_{{0d}}}(t)$ получаем минимальное значение функционала ${{J}_{{00}}}$ в задаче без упреждения

Для дельта-возмущения $V(\xi ) = \delta (\xi )$ при заданном значении параметра T = 0 и при заданном управлении ${{u}_{{0d}}}(t)$ получаем минимальное значение функционала ${{J}_{0}}$ при оптимальном времени упреждения $t_{0}^{*}$

Это вырожденные случаи задачи 3, когда возмущение является дельта-функцией, подаваемой в известный момент времени, а множество управлений состоит из одного элемента ${{u}_{{0d}}}(t)$. Решение (6.15) представляет собой приближенное решение задачи 2 для дельта-возмущения, задаваемого формулами

и приведенного в [6]. Относительная разность решения (6.15) и точного (6.16) составляет

Приведем также отношения значения функционала J₀₀ в задаче без упреждения к значениям J₀ и ${{J}_{\delta }}$

Тем самым, мы получили, что оптимизация только по моменту упреждения позволяет уменьшить максимальное смещение в 5.8 раза, а оптимизация по моменту упреждения и по управлению в классе управлений с одним переключением позволяет уменьшить максимальное смещение в 8 раз.

Для решения задачи 3 надо, с учетом леммы о наихудшем возмущении, для заданного $T$ найти минимум по переменным ${{t}_{0}}$, $d$ величины

Минимум величины из (6.17) достигается при выполнении условий

которые приводят к решению задачи 3 для класса управлений ${{U}_{{dd}}}$:

Заметим, что значение функционала ${{J}_{d}}(T)$ из (6.20) обеспечивается не единственным образом. Оптимальные минимально возможные момент упреждения $t_{d}^{*}$ и величина запаздывания $d{\text{*}}$ определяются соотношениями

Значение функционала $J({{u}_{{0d}}}(t),0)$ для класса управлений ${{U}_{0}}$. Представляет интерес не только сравнить полученные решения задачи 3 между собой, но и сравнить эти решения с значением функционала из (3.1) при использовании управления ${{u}_{{0d}}}(t)$ без упреждения и запаздывания. Это значение вычисляется согласно формуле

7. Сравнение качества изоляции для различных способов управления. Нетрудно убедиться в справедливости следующих соотношений

Зависимости величин ${{J}_{\tau }}$, ${{J}_{c}}$, ${{J}_{d}}$ и ${{J}_{0}}$ от 1/T изображены на рис. 3. Все четыре графика пересекаются в точке B. Левее точки B графики ${{J}_{\tau }}(1{\text{/}}T)$, ${{J}_{c}}(1{\text{/}}T)$ и ${{J}_{d}}(1{\text{/}}T)$ совпадают, а левее точки A совпадают графики ${{J}_{\tau }}(1{\text{/}}T)$, ${{J}_{c}}(1{\text{/}}T)$.

На рис. 4 представлена зависимость величины $\eta = ({{J}_{c}} - {{J}_{\tau }}){\text{/}}{{J}_{\tau }}$ от длительности возмущения T. Величина $\eta $ характеризует относительное отличие гарантированных значений критерия качества, обеспечиваемых управлением ${{u}_{c}}(t)$ при оптимальном выборе моментов времени упреждения и запаздывания, и оптимальным управлением ${{u}_{\tau }}(t)$ с оптимальным моментом упреждения ${{t}_{{0\tau }}}$. Установлено, что $\eta \equiv 0$ при $T \geqslant 7{\text{/}}8$ и $\eta $ < 0.1 для $T \in [0,7{\text{/}}8]$.

На рис. 5 представлена зависимость величины $\mu = ({{J}_{d}} - {{J}_{\tau }}){\text{/}}{{J}_{\tau }}$ от длительности возмущения T. Величина $\mu $ характеризует относительное отличие гарантированных значений критерия качества, обеспечиваемых управлением ${{u}_{d}}(t)$ при оптимальном выборе моментов времени упреждения и запаздывания, и оптимальным управлением ${{u}_{\tau }}(t)$ с оптимальным моментом упреждения ${{t}_{{0\tau }}}$. Установлено, что $\mu \equiv 0$ при $T \geqslant 1$ и $\mu $ < < 0.372 для $T \in [0,1]$.

Таким образом, управление ${{u}_{c}}(t)$ с моментами времени упреждения и запаздывания, определяемыми формулами (6.7)–(6.9), обеспечивает качество противоударной защиты, не более чем на 10% отличающееся от оптимального на всем диапазоне длительностей ударного воздействия, и оптимально для $T \in [7{\text{/}}8, + \infty )$.

Управление ${{u}_{d}}(t)$ с моментами времени упреждения и запаздывания, определяемыми формулами (6.19)–(6.21), обеспечивает качество противоударной защиты, не более чем на 37.2% отличающееся от оптимального на всем диапазоне длительностей ударного воздействия, и оптимально для $T \in [1, + \infty )$.

Величина $\nu = ({{J}_{0}} - {{J}_{\tau }}){\text{/}}{{J}_{\tau }}$ характеризует относительное отличие гарантированных значений критерия качества, обеспечиваемых управлением ${{u}_{{0d}}}(t)$ без упреждения и запаздывания, и оптимальным управлением ${{u}_{\tau }}(t)$ с оптимальным моментом упреждения ${{t}_{{0\tau }}}$. Установлено, что $\nu < 1$ при $T \geqslant 1$ и $\nu \leqslant 7.0$ для $T \in [0,1]$, т.е. оптимизация по управлению и моменту упреждения приводит к уменьшению максимального смещение объекта относительно основания в 8 раз как и для случая $T = 0$.

Заключение. Рассмотрена задача изоляции объекта на подвижном основании от ударов, которым может подвергаться основание. Изучалась возможность применения управлений, предназначенных для мгновенного удара как с варьированием момента начала управления так и с фиксированным моментом начала управления, к задаче о наихудших возмущениях с заданными длительностью и интегралом от возмущения. Проведено сравнение полученных решений по критерию качества (максимальное смещение объекта относительно основания) с оптимальным решением с одним переключением.

Работа выполнена по теме государственного задания АААА-А20-120011690138-6 при частичной финансовой поддержке РФФИ (проекты 17-01-00538-а и 17-08-00742-а).