Известия РАН. Механика твердого тела, 2020, № 3, стр. 104-113

Введение. Расчет прочности деталей машин и элементов конструкций при действии переменных напряжений основан на определении пределов выносливости и соответствующих им долговечностей. Наиболее надежным способом обоснования этих характеристик являются натурные испытания объектов, что зачастую оказывается непростой задачей в связи с объективной ограниченностью экспериментальных данных в условиях значительного рассеяния характеристик усталостных свойств, затруднениями, связанными с созданием специализированных испытательных стендов и необходимостью нестационарного нагружения объекта на стенде, временными и ценовыми ограничениями.

По этим причинам наиболее эффективными, особенно на этапе проектирования изделий, являются расчетно-экспериментальные методы, которые позволяют обосновать характеристики выносливости натурных деталей путем испытаний стандартных образцов различного типоразмера и конструктивно-подобных объектов. В основе подобных методов всегда лежит та или иная теория усталостного разрушения, достоверность которой должна быть подтверждена массовыми экспериментами. Одной из таких теорий является статистическая теория подобия усталостного разрушения Когаева-Серенсена [1, 2], основанная на теории “наиболее слабого звена” Вейбулла [3], теории прочности Н.Н. Афанасьева [4], результатах массовых усталостных испытаний сталей, легких и титановых сплавов. Теория подобия детально описывает влияние абсолютных размеров, конструктивных, эксплуатационных и технологических факторов на предел выносливости деталей машин и функцию его распределения путем интерполяции или экстраполяции в область допустимых значений критерия подобия. Эта теория послужила основой для создания системы справочной информации, предназначенной для определения расчетных характеристик сопротивления усталости деталей машин [5].

Необходимо отметить, что грамотное применение теории подобия при планировании, проведении и обработке усталостных испытаний позволяет постоянно дополнять расчетно-экспериментальные исследования ее авторов. Настоящая работа посвящена статистическому анализу экспериментальных данных усталостных испытаний образцов и деталей различного типоразмера, проведенных в разное время, а также коррективам, связанным с зависимостью некоторых важных параметров теории подобия от долговечности. Последнее обстоятельство не учитывается в классическом варианте теории подобия, но было давно замечено исследователями для легких сплавов [6, 7] и сталей [8, 9].

1. Основные уравнения. При выводе основного уравнения теории подобия пренебрегают влиянием второго и третьего главных напряжений:

где ${\xi } = {{{\sigma }}_{{{\text{max}}}}}$, ${\sigma }{{{\sigma }}_{{ - 1d}}}_{{_{{{\text{max}}}}}}$ – максимальное значение первого главного напряжения в зоне концентрации, соответствующее пределу выносливости детали ${{{\sigma }}_{{ - 1d}}}$, α_σ – теоретический коэффициент концентрации напряжений, $u = 0.5 \cdot {{{\sigma }}_{{ - 1}}}$ – значение предела выносливости гладкого круглого бруса бесконечно большого диаметра при изгибе с вращением, определяющего нижнюю границу повреждающих напряжений, z_p – квантиль нормированного нормального распределения уровня вероятности P, s – среднее квадратичное отклонение случайной величины $y = \lg ({\xi } - 1)$, L – часть периметра поперечного сечения, в котором действуют максимальные напряжения, $\bar {G}$ – относительный максимальный градиент первого главного напряжения в зоне концентрации напряжений, $\lg {{(L{\text{/}}\bar {G})}_{0}}$ – параметр подобия образца стандартного размера. Так, например, при изгибе с вращением для круглого гладкого образца диаметром d, $L = {\pi } \cdot d$, $\bar {G} = G{\text{/}}{{{\sigma }}_{{{\text{max}}}}}$. Для d = 7.5 мм $\lg {{(L{\text{/}}\bar {G})}_{0}}$ = 1.946.

Параметр $L{\text{/}}\bar {G}$ называется критерием подобия усталостного разрушения, а уравнение (1.1) уравнением подобия, так как если деталь и модель имеют различные абсолютные и относительные размеры, но имеют одинаковые значения параметра подобия, то функции их распределения совпадают. Эта закономерность, справедливость которой подтверждается многими экспериментами, имеет большое практическое значение, так как она дает возможность находить в первом приближении функции распределения натурных деталей на основе испытаний образцов и моделей.

В [10] обосновано уравнение подобия на основе распределения Вейбулла:

где ${{w}_{p}} = {\text{lgln(1/}}\left( {1 - P} \right)) - {\text{lgln}}2$, получающегося из условия, w_p = 0, при P = 0.5. Сравнение формул (1.1) и (1.2) приводит к соотношению: определяющему диапазон значений среднего квадратичного отклонения s в зависимости от величины ${{\nu }_{{\sigma }}}$. В табл. 1 представлены значения параметров ${{\nu }_{{\sigma }}}$ и s по справочной информации для некоторых конструкционных материалов, а также интервал значений s по формуле (1.3) в диапазоне вероятностей 0.01–0.99.

Как уже указывалось, параметр ${{\nu }_{{\sigma }}}$ существенно зависит от базовой долговечности. В [6, 10] показано, что, в первом приближении, в диапазоне долговечностей 10⁶–5 × 10⁷ этот параметр определяется соотношением:

где индексом N обозначены характеристики для текущей долговечности, а ${{{\sigma }}_{{ - 1}}}$ соответствует пределу выносливости для базовой долговечности, для которой определяется ${{\nu }_{{\sigma }}}$ (обычно в качестве такой долговечности принимается база N₀ = 10⁶ или 10⁷ циклов). Таким образом, для построения кривой усталости натурной детали необходимо располагать параметрами медианой кривой усталости гладких лабораторных образцов и справочным значением ${{\nu }_{{\sigma }}}$, параметра наклона уравнения подобия усталостного разрушения. Тогда функция распределения предела выносливости натурной детали будет иметь следующий вид:

В формуле (1.5) ${{{\sigma }}_{{ - 1N}}}$ определяется уравнением кривой усталости. В настоящей работе для обработки результатов усталостных испытаний применялось следующее уравнение кривой усталости [11]:

Отношение коэффициентов концентрации напряжений и масштабного фактора определяется из следующего уравнения [1, 5]:

Суммарный коэффициент, учитывающий также влияние технологических факторов равен [1, 5]:

где k_F – коэффициент состояния поверхности, ${{k}_{{v}}}$ – коэффициент упрочнения, k_cor – коэффициент, учитывающий состояния среды или коэффициент коррозионного воздействия.

В табл. 2, 3 приведены результаты статистической обработки усталостных испытаний образцов и натурных деталей из легких сплавов [11–16], проведенных в различное время в МАТИ им. К.Э. Циолковского, на агрегатном предприятии “Рубин” и образцов из легированных сталей [1, 2, 5, 8, 9], проведенных в ИМАШ АН СССР. В этих таблицах представлены теоретические коэффициенты концентрации напряжений, значения критерия подобия $\lg L{\text{/}}\bar {G}$ и расчетные значения пределов выносливости в диапазоне долговечностей 4 × 10⁴–5 × 10⁷ циклов. Относительный градиент для круглых образцов определялся по формуле: $\bar {G} = 2{\text{/}}r + 2{\text{/}}d$, где r – радиус надреза, d – диаметр рабочей части. Подробное описание испытательных установок, режимов и объемов испытаний, методики проведения и обработки результатов содержатся в выше цитированных работах. По результатам экспериментов в табл. 4, 5 определены значения параметра ν_σ уравнения подобия усталостного разрушения для различных долговечностей. Там же представлены параметры кривой усталости (6).

Анализ табл. 4 показывает, что параметр ν_σ изменяется не монотонно для легких сплавов, возрастая в диапазоне долговечностей 10⁵–10⁶ циклов, а затем постепенно снижаясь в соответствии с закономерностью (1.4). Для сталей и титанового сплава (табл. 4, 5) видно, что параметр ν_σ монотонно снижается во всем диапазоне долговечностей при испытаниях.

В настоящей работе выдвигается предположение, что такое поведение параметра наклона связано с изменением механизма усталостного разрушения в области малых долговечностей, граничащих с областью малоцикловой усталости. Эта область для разных сплавов составляет 10⁴–10⁵ циклов. Это предположение находит свое отражение в форме кривой усталости, если в него ввести четвертый параметр B:

Отметим, что параметр B на практике редко используется в уравнении кривой усталости, так как его определение требует весьма больших объемов испытаний и практически не сказывается на поведении кривой усталости в области больших долговечностей. В то же время наличие такого порогового значения подтверждается многими исследователями [17–19], и сопровождается существенной неравномерностью рассеяния характеристик сопротивления усталости в области 10⁴–10⁵ циклов.

Для аналитического описания указанных закономерностей воспользуемся приближенной формулой для дисперсии функции случайной величины $y = f\left( x \right)$:

Тогда среднее квадратичное отклонение предела выносливости по уравнениям (1.9), (1.10) будет иметь следующий вид:

С учетом (1.11) введем коррективы в формулу (1.4), заменяя значения пределов выносливости их средними квадратичными отклонениями:

где коэффициент η на основании (1.11) равен:

С учетом указанных поправок в табл. 4, 5 представлены расчеты параметра ${{\nu }_{{{\sigma }N}}}$ в связи с вариацией долговечности. Наблюдается вполне удовлетворительное соответствие опытных и расчетных значений. Лишь в некоторых случаях эти отклонения достигают 30%. Введение поправки (1.13) позволяет учесть немонотонное изменение параметра наклона для легких сплавов в области малых долговечностей. Расчетные значения B для сталей и титанового сплава ВТ3-1 равняются нулю, а для всех легких сплавов составляют 2 × 10⁵, за исключением сплава АК-6, для которого B равно 5 × 10⁴ циклов.

По данным, представленным в табл. 2, 3 на рис. 1(a) построены кривые усталости стандартных образцов из легких сплавов 1-АВ, 2-АК-6, 3-МЛ5, 4-ВМ65-1, на рис. 1(b) кривые усталости стандартных образцов из легированных сталей: 1-45ХН2МФА, 2‑12Х2НФА, 3-30ХГСА, и титанового сплава ВТ3-1 (1.4). На рисунках значками отмечены опытные значения пределов выносливости. По данным табл. 4, 5 на рис. 2 (a,b,с) построены зависимости $\lg ({\xi } - 1)$ от $\lg L{\text{/}}\bar {G}$ для сплавов АВ, МЛ-5, ВМ65-1 соответственно в диапазоне долговечностей 10⁵–5 × 10⁷, на рис. 3 для сплава АК-6 в диапазоне долговечностей 10⁵–10⁷.

На рис. 4 (a,b,с) для сталей 12Х2НФА, 30ХГСА, 45ХН2МФА соответственно в диапазоне долговечностей 4 × 10⁴–10⁶ и на рис. 5 для сплава ВТ3-1 в диапазоне долговечностей 10⁵–5 × 10⁷. Точками на рисунках отмечены опытные значения lg(ξ – 1).

Как видно из рисунков, наблюдается вполне удовлетворительное соответствие опытных данных расчетным зависимостям. Оценка параметра ${{\nu }_{{{\sigma }N}}}$ производилась методом наименьших квадратов. При этом необходимо учитывать, что параметр ${{\nu }_{{{\sigma }N}}}$ является единственным оцениваемым параметром в регрессионном уравнении (1.2), этим объясняется специфический вид регрессионных кривых, как бы сходящихся к одной точке. Но даже при таком минимальном количестве оцениваемых параметров сходимость зависимостей следует признать удовлетворительной, что является следствием качественных теоретических предпосылок, служащих основанием для статистической теории подобия и коррекциях, связанных с вариацией долговечности, предлагаемых в данной работе.

Для полноты методики отметим, что теория подобия в рассмотренном виде является по сути градиентной с точки зрения распределения напряжений по сечению, то есть не позволяет определять пределы выносливости объектов без концентрации напряжений при переменном растяжении-сжатии (например, крупногабаритных валов). Это означает, что при переменном растяжении-сжатии и отсутствии у натурной детали концентрации напряжений основные уравнения (1.1), (1.2) использоваться не могут, так как в выражении для параметра подобия относительный максимальный градиент отсутствует. По этой причине в [7] предлагается коррекция параметра подобия с целью использования критерия подобия в случае отсутствия градиента в распределении напряжений:

где $~{\xi } = {{{\sigma }}_{{{\text{max}}}}}$, коэффициент 1.3722 представляет собой логарифм периметра гладкого лабораторного образца диаметром 7.5 мм, $\nu _{{\sigma }}^{{\text{'}}} = {{\nu }_{{\sigma }}}{\text{/}}\left( {1 - {{\nu }_{{\sigma }}}} \right)$ Остальные параметры в формуле (1.14) аналогичны тем, которые использовались выше.

Выводы. 1. Выполнен статистический анализ большого объема экспериментальных данных усталостных испытаний конструкционных алюминиевых, титановых сплавов и легированных сталей, позволивший определить параметры уравнения подобия усталостного разрушения в широком диапазоне долговечностей 4 × 10⁴–5 × 10⁷.

2. Результаты анализа показали, что параметр наклона уравнения подобия ${{\nu }_{{\sigma }}}$ изменяется не монотонно для легких сплавов, возрастая в диапазоне долговечностей 10⁵‒10⁶ циклов, а затем, снижается. Для сталей и титанового сплава ${{\nu }_{{\sigma }}}$ монотонно снижается во всем диапазоне долговечностей при испытаниях.

3. Так как подобные изменения ${{\nu }_{{\sigma }}}$ не учитываются в классическом варианте теории подобия в настоящей работе предложено уравнение, связывающее изменение параметра наклона с формой кривой усталости, позволившее учесть поведение ${{\nu }_{{\sigma }}}$ в связи с вариацией долговечности и вероятности. Оценки параметра ${{\nu }_{{\sigma }}}$, выполненные методом наименьших квадратов, показали удовлетворительное соответствие опытных и расчетных значений.

4. Разработанная методика позволяет, в первом приближении, производить обоснование кривых усталости деталей и натурных элементов конструкций в широком диапазоне долговечностей и вероятностей разрушения, используя лишь параметры медианной кривой усталости стандартных образцов и справочные значения параметров уравнения подобия.