Известия РАН. Механика твердого тела, 2020, № 3, стр. 12-19

О РЕСУРСАХ ПОДШИПНИКОВ И О МЕХАНИКЕ СУБДУКЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ

В. А. Бабешко ab*, О. М. Бабешко b, О. В. Евдокимова a, В. С. Евдокимов a, С. Б. Уафа a

a Южный научный центр РАН
Ростов-на-Дону, Россия

b Кубанский государственный университет
Краснодар, Россия

* E-mail: babeshko41@mail.ru

Поступила в редакцию 17.12.2019
После доработки 23.12.2019
Принята к публикации 25.12.2019

Полный текст (PDF)

Аннотация

В статье рассматриваются две задачи, из которых, одна связана с инженерным направлением, посвященным исследованию ресурсов подшипников с покрытиями, получивших некоторый дефект. Вторая относится к механике природных явлений и связана с явлением субдукции. Субдукция это процесс продвижения океанических литосферных плит под континентальные в прибрежной зоне.

Именно явления субдукции приводят к землетрясениям, порождающим цунами.

Подсчитано, что протяженность прибрежных зон, где происходит субдукционный процесс, составляет 45 тысяч километров. Зоны субдукции – это зоны интенсивных прибрежных морских и океанических землетрясений, которые характерны наличием разломов у литосферных плит. Авторам удалось заметить, что обе это проблемы математически описываются одними и теми же граничными задачами. Для их исследования и решения применяется метод блочного элемента, позволяющий точно решать эти задачи. Исследование показало, что в зонах дефектов и разломов возникают высокие концентрации напряжений, приводящие к разрушениям покрытий. Исследованы последствия таких разрушений.

Ключевые слова: подшипники, дефекты, блочный элемент, пластины, трещины, граничные задачи, литосферные плиты, разломы, покрытия, субдукция, разрушения

Введение. Исследованию подшипниковых пар и возможных в них дефектов посвящено большое число фундаментальных работ. Некоторые из них приведены в работах [17]. В работе [8] изложен один из подходов исследования подшипников с дефектами, основанный на применении метода блочного элемента. В настоящей статье, исследуется усложненный вариант задачи [8] для подшипниковой пары. Этой же граничной задачей удается изучить проблему субдукционного процесса, принадлежащего направлению механики природных процессов и связанного с сейсмологией [917]. В инженерном направлении изучается подшипниковая пара с покрытием, которое приобрело дефект, состоящий в отслоении покрытия от основания. В результате на границе отслоения образовалась трещина, перпендикулярная границе покрытия. Контакт между покрытием и основанием подшипника по разные стороны от трещины – различный: с одной стороны он свободен от трения, а с другой – жестко связан с основанием. Встает вопрос о последствиях поведения такого подшипника. Подобная задача встает в механике природных процессов, связанная с явлением субдукции. Это явление, протекающее в прибрежных зонах океанов, состоит в продвижении океанических плит, под континентальные. Оно было открыто и описано исследователем Беньофом, а прибрежная область была названа сейсмофокальной зоной Беньофа, центром сосредоточения морских землетрясений. Литосферная плита изгибается, попав под континент, и приобретает разломы. С одной стороны от разлома часть плиты, попавшая под континент, оплавляется снизу высокой температурой и теряет контактные напряжения трения. По другую сторону от разлома плита остается жестко соединенной с основанием. Для обоих случаев ставится одна граничная задача, причем в качестве покрытия в подшипнике и литосферных плит принимаются, с учетом масштабов, пластины Кирхгофа. Применяется метод блочного элемента. В результате исследования и решения граничной задачи для разных размеров относительных расстояний между берегами дефектов найдены концентрации контактных напряжений и описаны последствия разрушений.

1. Постановка задачи. Считаем, что подшипник имитируется как полупрострнство, на котором имеется покрытие с дефектом, часть из которого отслоилась, и имеется трещина, перпендикулярная границе покрытия. В этой постановке охватывается и субдукционный процесс. Полагаем, что покрытия представляют собой полубесконечные пластины Кирхгофа в форме полуплоскостей, границы которых параллельны и находятся на дистанции , ${\theta } \geqslant {\text{0}}$, друг от друга, причем каждая обладает индивидуальными механическими свойствами. Примем оси координат ${{{\text{x}}}_{1}}0{{{\text{x}}}_{2}}$ лежащими в плоскости пластин, а ось ${{{\text{x}}}_{3}}$ направленной по внешней нормали к подложке. Рассмотрим случай статических воздействий на поверхность пластин, из которых левая контактирует с основанием без трения, а правая – с пренебрежимо малым вертикальным воздействием по сравнению с касательными контактными напряжениями. Тогда уравнения граничных задач для пластин представимы в виде

(1.1)

Здесь каждая пластина рассматривается как многообразие с краем, где ub = {u1b, ${{{\text{u}}}_{{{\text{2b}}}}}{\text{,}}{{{\text{u}}}_{{{\text{3b}}}}}\} $ – вектор перемещения точек пластин по горизонтальным ${{{\text{u}}}_{{{\text{1b}}}}}$, ${{{\text{u}}}_{{{\text{2b}}}}}$ и вертикальным ${{{\text{u}}}_{{{\text{3b}}}}}$ направлениям срединной плоскости, а ${\text{b}} = {\lambda }$ для левой плиты и b = r – для правой. Введем обозначения

(1.2)
${{{\text{s}}}_{{\text{b}}}}{\text{(}}{{{\text{x}}}_{{\text{1}}}}{\text{,}}{{{\text{x}}}_{{\text{2}}}}{\text{)}} = \left\| {\begin{array}{*{20}{c}} { - {{{\varepsilon }}_{{{\text{5b}}}}}{{{\text{s}}}_{{{\text{1b}}}}}{\text{(}}{{{\text{x}}}_{{\text{1}}}}{\text{,}}{{{\text{x}}}_{{\text{2}}}}{\text{)}}}&0&0 \\ 0&{ - {{{\varepsilon }}_{{{\text{5b}}}}}{{{\text{s}}}_{{{\text{2b}}}}}{\text{(}}{{{\text{x}}}_{{\text{1}}}}{\text{,}}{{{\text{x}}}_{{\text{2}}}}{\text{)}}}&0 \\ 0&0&{{{{\varepsilon }}_{{{\text{53b}}}}}{{{\text{s}}}_{{{\text{3b}}}}}{\text{(}}{{{\text{x}}}_{{\text{1}}}}{\text{,}}{{{\text{x}}}_{{\text{2}}}}{\text{)}}} \end{array}} \right\|,\quad {{{\text{s}}}_{{{\text{nb}}}}}{\text{(}}{{{\text{x}}}_{{\text{1}}}}{\text{,}}{{{\text{x}}}_{{\text{2}}}}{\text{) = (}}{{{\text{t}}}_{{{\text{nb}}}}}{\text{ + }}{{{\text{g}}}_{{{\text{nb}}}}}{\text{)}}$
(1.3)

С учетом характера взаимодействия покрытий с основанием, в формулах (1.1)(1.3) принято при ${\text{b}} = {\lambda }$

${{{\text{s}}}_{{{\text{nb}}}}}{\text{(}}{{{\text{x}}}_{{\text{1}}}}{\text{,}}{{{\text{x}}}_{{\text{2}}}}{\text{)}} = {\text{0,}}\quad {{{\text{u}}}_{{{\text{nb}}}}} = {\text{0,}}\quad {\text{n}} = 1,2$

Для случая ${\text{b}} = {\text{r}}$ обязано выполняться условие

${{{\text{s}}}_{{{\text{nb}}}}}{\text{(}}{{{\text{x}}}_{{\text{1}}}}{\text{,}}{{{\text{x}}}_{{\text{2}}}}{\text{)}} = {\text{0,}}\quad {{{\text{u}}}_{{{\text{nb}}}}} = {\text{0,}}\quad {\text{n}} = {\text{3}}$

Обозначим ${{{\mathbf{F}}}_{2}} \equiv {{{\mathbf{F}}}_{2}}{\text{(}}{{{\alpha }}_{{\text{1}}}}{\text{,}}{{{\alpha }}_{{\text{2}}}}{\text{)}}$, ${{{\mathbf{F}}}_{1}} \equiv {{{\mathbf{F}}}_{1}}{\text{(}}{{{\alpha }}_{{\text{1}}}}{\text{)}}$ – двумерный и одномерный операторы преобразования Фурье соответственно. Введем обозначения

${{{\mathbf{U}}}_{{\mathbf{b}}}} = {{{\mathbf{F}}}_{{\mathbf{2}}}}{{{\mathbf{u}}}_{{\mathbf{b}}}}{\mathbf{,}}\quad {{{\mathbf{G}}}_{{\mathbf{b}}}} = {{{\mathbf{F}}}_{{\mathbf{2}}}}{{{\mathbf{g}}}_{{\mathbf{b}}}}{\mathbf{,}}\quad {{{\mathbf{T}}}_{{\mathbf{b}}}} = {{{\mathbf{F}}}_{{\mathbf{2}}}}{{{\mathbf{t}}}_{{\mathbf{b}}}}\quad {\text{b}} = {\lambda ,r}$
${{{\mathbf{u}}}_{{\text{b}}}} = \left\{ {{{{\text{u}}}_{{{\text{1b}}}}}{\text{,}}{{{\text{u}}}_{{{\text{2b}}}}}{\text{,}}{{{\text{u}}}_{{{\text{3b}}}}}} \right\}{\text{,}}\quad {{{\mathbf{g}}}_{{\text{b}}}} = \left\{ {{{{\text{g}}}_{{{\text{1b}}}}}{\text{,}}{{{\text{g}}}_{{{\text{2b}}}}}{\text{,}}{{{\text{g}}}_{{{\text{3b}}}}}} \right\}{\text{,}}\quad {{{\mathbf{t}}}_{{\text{b}}}} = \left\{ {{{{\text{t}}}_{{{\text{1b}}}}}{\text{,}}{{{\text{t}}}_{{{\text{2b}}}}}{\text{,}}{{{\text{t}}}_{{{\text{3b}}}}}} \right\}$

Преобразование Фурье дифференциальной части системы уравнений (1.1) принимает вид

Здесь для ${\text{b}} = {\lambda }$ нормальные напряжения ${{{\text{t}}}_{{{\text{3b}}}}}$ действует на покрытие сверху и ${{g}_{{3b}}}$ – снизу. Аналогично b = r напряжения ${{{\text{g}}}_{{{\text{1b}}}}}$, ${{{\text{g}}}_{{{\text{2b}}}}}$ и ${{{\text{t}}}_{{{\text{1b}}}}}$, ${{{\text{t}}}_{{{\text{2b}}}}}$ действуют в касательной плоскости в области контакта с основанием, причем ${{{\text{g}}}_{{{\text{1b}}}}}$ и ${{{\text{t}}}_{{{\text{1b}}}}}$ в направлении касательной к торцу литосферной плиты, а ${{{\text{g}}}_{{{\text{2b}}}}}$ и ${{{\text{t}}}_{{{\text{2b}}}}}$ – в направлении нормали.

Справедливы соотношения

$\begin{gathered} {{{\text{M}}}_{{\text{b}}}} = - {{{\text{D}}}_{{{\text{b1}}}}}\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}{{{\text{u}}}_{{{\text{3b}}}}}}}{{\partial {\text{x}}_{{\text{2}}}^{{\text{2}}}}} + {{{\nu }}_{{\text{b}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{{\text{u}}}_{{{\text{3b}}}}}}}{{\partial {\text{x}}_{{\text{1}}}^{{\text{2}}}}}} \right),\quad {{{\text{D}}}_{{{\text{b1}}}}}{\text{ = }}\frac{{{{{\text{D}}}_{{\text{b}}}}}}{{{{{\text{Н}}}^{{\text{2}}}}}}{\text{,}}\quad {{{\text{D}}}_{{{\text{b2}}}}}{\text{ = }}\frac{{{{{\text{D}}}_{{\text{b}}}}}}{{{{{\text{Н}}}^{{\text{3}}}}}} \\ {{{\text{Q}}}_{{\text{b}}}}{\text{ = }} - {{{\text{D}}}_{{{\text{b2}}}}}\left( {\frac{{{{\partial }^{3}}{{{\text{u}}}_{{{\text{3b}}}}}}}{{\partial {\text{x}}_{{\text{2}}}^{{\text{3}}}}} + {\text{(2}} - {{{\nu }}_{{\text{b}}}}{\text{)}}\frac{{{{\partial }^{3}}{{{\text{u}}}_{{{\text{3b}}}}}}}{{\partial {\text{x}}_{{\text{1}}}^{{\text{2}}}\partial {{{\text{x}}}_{{\text{2}}}}}}} \right),\quad {{{\text{u}}}_{{{\text{3b}}}}}{\text{,}}\quad \frac{{\partial {{{\text{u}}}_{{{\text{3b}}}}}}}{{{\text{Н}}\partial {{{\text{x}}}_{{\text{2}}}}}} \\ \end{gathered} $
${{{\text{D}}}_{{\text{b}}}}{\text{ = }}\frac{{{{{\text{E}}}_{{\text{b}}}}{{{\text{h}}}_{{\text{b}}}}^{{\text{3}}}}}{{{\text{12(1}} - {{{\nu }}_{{\text{b}}}}^{{\text{2}}}{\text{)}}}}\quad {{{\varepsilon }}_{{{\text{53b}}}}}{\text{ = }}\frac{{{\text{(1}} - {{{\nu }}_{{\text{b}}}}^{{\text{2}}}{\text{)12}}{{{\text{Н}}}^{{\text{4}}}}}}{{{{{\text{E}}}_{{\text{b}}}}{{{\text{h}}}_{{\text{b}}}}^{{\text{3}}}}}\quad {\varepsilon }_{{\text{6}}}^{{ - {\text{1}}}}{\text{ = }}\frac{{{\text{(1}} - {\nu )H}}}{{\mu }}$
${{{\varepsilon }}_{{{\text{1b}}}}} = {\text{0}}{\text{.5(1}} - {{{\nu }}_{{\text{b}}}}{\text{),}}\quad {{{\varepsilon }}_{{{\text{2b}}}}} = {\text{0}}{\text{.5(1}} + {{{\nu }}_{{\text{b}}}}{\text{),}}\quad {{{\varepsilon }}_{{{\text{5b}}}}} = \frac{{{\text{1}} - {\nu }_{{\text{b}}}^{{\text{2}}}}}{{{{{\text{E}}}_{{\text{b}}}}{{{\text{h}}}_{{\text{b}}}}}}$
$\begin{gathered} {{{\text{g}}}_{{{\text{1b}}}}} = {{{\mu }}_{{{\text{0b}}}}}\left( {\frac{{\partial {{{\text{u}}}_{{{\text{1b}}}}}}}{{\partial {{{\text{x}}}_{{\text{3}}}}}} + \frac{{\partial {{{\text{u}}}_{{{\text{3b}}}}}}}{{\partial {{{\text{x}}}_{{\text{1}}}}}}} \right),\quad {{{\text{g}}}_{{{\text{2b}}}}} = {{{\mu }}_{{{\text{0b}}}}}\left( {\frac{{\partial {{{\text{u}}}_{{{\text{2b}}}}}}}{{\partial {{{\text{x}}}_{{\text{3}}}}}} + \frac{{\partial {{{\text{u}}}_{{{\text{3b}}}}}}}{{\partial {{{\text{x}}}_{{\text{2}}}}}}} \right) \hfill \\ {{{\mu }}_{{{\text{0b}}}}} = \frac{{{{{\mu }}_{{\text{b}}}}}}{{\text{Н}}}{\text{,}}\quad {{{\text{x}}}_{{\text{3}}}} = {\text{0,}}\quad {\text{g}} = \left\{ {{{{\text{g}}}_{{{\text{1b}}}}}{\text{,}}{{{\text{g}}}_{{{\text{2b}}}}}} \right\} \hfill \\ \end{gathered} $

Выше приняты следующие обозначения: ${{{\mu }}_{{\text{b}}}}$ – модуль сдвига, ${{{\nu }}_{{\text{b}}}}$ – коэффициент Пуассона, ${{{\text{E}}}_{{\text{b}}}}$ – модуль Юнга, ${{{\text{h}}}_{{\text{b}}}}$ – толщина, ${{g}_{{\text{b}}}}$, ${{{\mathbf{t}}}_{{\text{b}}}}$ – векторы контактных напряжений и внешних горизонтальных, ${{{\text{g}}}_{{{\text{1b}}}}}$, ${{{\text{g}}}_{{{\text{2b}}}}}$, ${{{\text{t}}}_{{{\text{1b}}}}}$, ${{{\text{t}}}_{{{\text{2b}}}}}$ и вертикальных, ${{{\text{g}}}_{{{\text{3b}}}}}$, ${{{\text{t}}}_{{{\text{3b}}}}}$ воздействий соответственно, действующих по касательной к границе основания и по нормали к ней в областях ${{{\Omega }}_{{\text{b}}}}$. Выражения для нормальной ${{{\text{N}}}_{{{{{\text{x}}}_{{\text{2}}}}}}}$ и касательной ${{{\text{T}}}_{{{{{\text{x}}}_{{\text{1}}}}{{{\text{x}}}_{{\text{2}}}}}}}$ составляющих напряжений к срединной плоскости на торцах пластин даются соответственно соотношениями

$\begin{gathered} {{{\text{T}}}_{{{{{\text{x}}}_{{\text{1}}}}{{{\text{x}}}_{{\text{2}}}}}}} = {{{\varepsilon }}_{{\text{7}}}}\left( {\frac{{\partial {{{\text{u}}}_{{\text{2}}}}}}{{\partial {{{\text{x}}}_{{\text{1}}}}}} + \frac{{\partial {{{\text{u}}}_{{\text{1}}}}}}{{\partial {{{\text{x}}}_{{\text{2}}}}}}} \right),\quad {{{\text{N}}}_{{{{{\text{x}}}_{{\text{2}}}}}}} = {{{\varepsilon }}_{{\text{8}}}}\left( {\frac{{\partial {{{\text{u}}}_{{\text{2}}}}}}{{\partial {{{\text{x}}}_{{\text{2}}}}}} + \nu \frac{{\partial {{{\text{u}}}_{{\text{1}}}}}}{{\partial {{{\text{x}}}_{{\text{1}}}}}}} \right) \\ {{{\varepsilon }}_{{\text{7}}}} = \frac{{\text{E}}}{{{\text{2(1}} + {\nu )}{{{\text{H}}}^{{}}}}}{\text{,}}\quad {{{\varepsilon }}_{{\text{8}}}}{\text{ = }}\frac{{\text{E}}}{{{\text{(1}} - {{{\nu }}^{{\text{2}}}}{\text{)H}}}} \\ \end{gathered} $

Для деформируемого основания, описываемого граничной задачей, применимы различные модели, даваемые соотношениями

$\begin{gathered} {{{\Omega }}_{{\lambda }}}\left( {\left| {{{{\text{x}}}_{{\text{1}}}}} \right| \leqslant \infty {\text{;}}{{{\text{x}}}_{{\text{2}}}} \leqslant - {\theta }} \right),\quad {{\Omega }_{r}}\left( {\left| {{{{\text{x}}}_{{\text{1}}}}} \right| \leqslant \infty ;{\theta } \leqslant {{{\text{x}}}_{2}}} \right),\quad {{\Omega }_{{\theta }}}\left( {\left| {{{x}_{1}}} \right| \leqslant \infty ; - {\theta } \leqslant {{{\text{x}}}_{{\text{2}}}} \leqslant {\theta }} \right) \\ {\mathbf{K}} = \left\| {{{{\text{K}}}_{{mn}}}} \right\|,\quad {\text{m,n}} = 1,2,3,\quad {\mathbf{K}}({{{\alpha }}_{{\text{1}}}}{\text{,}}{{{\alpha }}_{{\text{2}}}}) = {\text{O}}({{{\text{A}}}^{{ - 1}}}),\quad {\text{A}} = \sqrt {{\alpha }_{{\text{1}}}^{{\text{2}}} + {\alpha }_{{\text{2}}}^{{\text{2}}}} \to \infty \\ {\varepsilon }_{{\text{6}}}^{{ - {\text{1}}}} = \frac{{{\text{(1}} - {\nu )H}}}{{\mu }},\quad {\mathbf{G}}({{{\alpha }}_{{\text{1}}}}{\text{,}}{{{\alpha }}_{{\text{2}}}}) = {{{\mathbf{F}}}_{2}}({{{\alpha }}_{{\text{1}}}}{\text{,}}{{{\alpha }}_{{\text{2}}}}){\mathbf{g}} \\ \end{gathered} $
${\mathbf{g}}$ – вектор касательных и нормальных напряжений под покрытиями на границе основания. Некоторые типы матриц-функций K1, α2) оснований, называемые символом системы интегральных уравнений, приведены в [18]. Например, для упругого слоя в статическом случае она имеет вид

${\mathbf{K}}{(}\alpha _{1}^{{}},\alpha _{2}^{{}}{)} = \left\| {\begin{array}{*{20}{c}} {\alpha _{1}^{2}{\rm M} + \alpha _{2}^{2}{\rm N}}&{\alpha _{1}^{{}}\alpha _{2}^{{}}({\rm M} - {\rm N})}&{i\alpha _{1}^{{}}{\text{P}}} \\ {\alpha _{1}^{{}}\alpha _{2}^{{}}({\rm M} - {\rm N})}&{\alpha _{1}^{2}{\rm N} + \alpha _{2}^{2}{\rm M}}&{i\alpha _{2}^{{}}{\text{P}}} \\ { - i\alpha _{1}^{{}}P}&{ - i\alpha _{2}^{{}}P}&{\rm K} \end{array}} \right\|$
${\text{M(u)}} = \frac{{\left( {1 - \nu } \right)(3 - 4\nu )\left( {{\text{sh4u + 4u}}} \right)}}{{{{{\text{u}}}^{2}}\Delta }},\quad {\text{N}}\left( {\text{u}} \right) = \frac{{{\text{2sh2u}}}}{{{{{\text{u}}}^{{\text{3}}}}{\text{ch2u}}}}$

Матрица (2.3) граничной задачи является блочно-диагональной, состоящей из расположенной на диагонали матрицы второго порядка, представляющей матричный оператор или векторный оператор, и отдельного на диагонали скалярного оператора. Поскольку операторы независимы, это существенно облегчает исследование граничной задачи на этапе внешнего анализа, позволяя воспользоваться результатами, выполненными в работах [19, 20].

2. Внешний анализ граничной задачи. Граничные задачи для каждого блока блочной структуры погружаются в топологическое пространство, индуцированное трехмерным евклидовым пространством, после чего применением формулы Стокса в топологическом пространстве, сводятся к функциональным уравнениям. Приведем представления функциональных уравнений, отвечающих перечисленным операторам граничной задачи. Функциональные уравнения скалярного оператора для левой плиты, ${\text{b}} = {\lambda }$, имеют вид [19, 20]

${{{\text{S}}}_{{{\text{3b}}}}}{\text{(}}{{{\alpha }}_{{\text{1}}}}{\text{,}}{{{\alpha }}_{{\text{2}}}}{\text{)}} = {{{\varepsilon }}_{{{\text{53b}}}}}{{{\text{F}}}_{{\text{2}}}}{\text{(}}{{{\alpha }}_{{\text{1}}}}{\text{,}}{{{\alpha }}_{{\text{2}}}}{\text{)(}}{{{\text{t}}}_{{{\text{3b}}}}} + {{{\text{g}}}_{{{\text{3b}}}}}{\text{),}}\quad {\text{b}} = {\lambda ,r}$

Здесь ${{\omega }_{{3b}}}$ – участвующие в представлении внешние формы, имеющие для левой плиты выражение

Функциональные уравнения граничной задачи для векторного случая, представленные для правой плиты, b = r являются матричными и имеют вид

Здесь ${{{\mathbf{\omega }}}_{b}}$ – вектор внешних форм, имеющих представление

$\begin{gathered} {{{\omega }}_{{{\text{1r}}}}} = {{{\text{e}}}^{{{\text{i}}\langle {\mathbf{\alpha ,x}}\rangle }}}\left\{ { - \left( {{{{\varepsilon }}_{{{\text{1r}}}}}\frac{{\partial {{{\text{u}}}_{{{\text{1r}}}}}}}{{\partial {\text{x}}_{{\text{2}}}^{{}}}} + {{{\varepsilon }}_{{{\text{2r}}}}}\frac{{\partial {{{\text{u}}}_{{{\text{2r}}}}}}}{{\partial {\text{x}}_{{\text{1}}}^{{}}}} - {\text{i}}{{{\varepsilon }}_{{{\text{1r}}}}}{{{\alpha }}_{{\text{2}}}}{{{\text{u}}}_{{{\text{1r}}}}}} \right)} \right.{\text{d}}{{{\text{x}}}_{{\text{1}}}} + \left. {\left( {\frac{{\partial {{{\text{u}}}_{{{\text{1r}}}}}}}{{\partial {\text{x}}_{{\text{1}}}^{{}}}} - {\text{i}}{{{\alpha }}_{{\text{1}}}}{{{\text{u}}}_{{{\text{1r}}}}} - {\text{i}}{{{\varepsilon }}_{{{\text{2r}}}}}{{{\alpha }}_{{\text{2}}}}{{{\text{u}}}_{{{\text{2r}}}}}} \right){\text{d}}{{{\text{x}}}_{{\text{2}}}}} \right\} \\ {{{\omega }}_{{{\text{2r}}}}} = {{{\text{e}}}^{{{\text{i}}\langle {\mathbf{\alpha ,x}}\rangle }}}\left\{ { - \left( {{{{\varepsilon }}_{{{\text{2r}}}}}\frac{{\partial {{{\text{u}}}_{{{\text{1r}}}}}}}{{\partial {\text{x}}_{{\text{1}}}^{{}}}} + \frac{{\partial {{{\text{u}}}_{{{\text{2r}}}}}}}{{\partial {\text{x}}_{{\text{2}}}^{{}}}} - {\text{i}}{{{\alpha }}_{{\text{2}}}}{{{\text{u}}}_{{{\text{2r}}}}}} \right)} \right.{\text{d}}{{{\text{x}}}_{{\text{1}}}} + \left. {\left( {{{{\varepsilon }}_{{{\text{1r}}}}}\frac{{\partial {{{\text{u}}}_{{{\text{2r}}}}}}}{{\partial {\text{x}}_{{\text{1}}}^{{}}}} - {\text{i}}{{{\varepsilon }}_{{{\text{1r}}}}}{{{\alpha }}_{{\text{1}}}}{{{\text{u}}}_{{{\text{2r}}}}}{\text{ - i}}{{{\varepsilon }}_{{{\text{2r}}}}}{{{\alpha }}_{{\text{2}}}}{{{\text{u}}}_{{{\text{1r}}}}}} \right){\text{d}}{{{\text{x}}}_{{\text{2}}}}} \right\} \\ \end{gathered} $

Совершив над этими функциональными уравнениями операции внешнего анализа [19, 20], включающие факторизацию коэффициента функционального уравнения – матрицы-функции и просто функции, вычисление форм-вычетов Лере, построение псевдодифференциальных уравнений, извлечение из них необходимых, поставленными граничными задачами, интегральных уравнений и решение последних. Найденные таким образом решения вносятся во внешние формы функциональных уравнений каждого покрытия, после чего сопрягаются с основанием, формируя новое топологическое пространство, называемое фактор-топологическим.

3. Основные результаты. В процессе выполнения этой, достаточно детально описанной в указанных работах части исследования, вводятся сокращенные обозначения применяемых ниже параметров напряженно-деформируемого состояния блочной структуры. Именно, введена следующая система обозначений для скалярного оператора левой плиты

Аналогично для векторного случая правой плиты

$\begin{gathered} {{{\text{Y}}}_{{\text{r}}}} = \left\{ {{{{\text{y}}}_{{{\text{1r}}}}}{\text{,}}{{{\text{y}}}_{{{\text{2r}}}}}} \right\}{\text{,}}\quad {{{\text{Z}}}_{{\text{r}}}} = \left\{ {{{{\text{z}}}_{{{\text{1r}}}}}{\text{,}}{{{\text{z}}}_{{{\text{2r}}}}}} \right\}{\text{,}}\quad {{{\text{F}}}_{{\text{1}}}}{\text{g}} = {{{\text{F}}}_{{\text{1}}}}{\text{(}}{{{\alpha }}_{{\text{1}}}}{\text{)g,}}\quad {{{\text{F}}}_{{\text{2}}}}{\text{g}} = {{{\text{F}}}_{{\text{2}}}}{\text{(}}{{{\alpha }}_{{\text{1}}}}{\text{,}}{{{\alpha }}_{{\text{2}}}}{\text{)g}} \\ {{{\text{y}}}_{{{\text{1r}}}}} = {{{\text{F}}}_{{\text{1}}}}{{{\text{T}}}_{{{{{\text{x}}}_{{\text{1}}}}{{{\text{x}}}_{{\text{2}}}}}}}_{{\text{r}}}{\text{,}}\quad {{{\text{y}}}_{{{\text{2r}}}}} = {{{\text{F}}}_{{\text{1}}}}{{{\text{N}}}_{{{{{\text{x}}}_{{\text{2}}}}}}}_{{\text{r}}}{\text{,}}\quad {{{\text{z}}}_{{{\text{1r}}}}} = {{{\text{F}}}_{{\text{1}}}}{{{\text{u}}}_{{{\text{1r}}}}}{\text{,}}\quad {{{\text{z}}}_{{{\text{2r}}}}} = {{{\text{F}}}_{{\text{1}}}}{{{\text{u}}}_{{{\text{2r}}}}} \\ \end{gathered} $

Чтобы осуществить сопряжение покрытий с трехмерным основанием, имеющим на границе трехмерные векторы перемещений и напряжений, необходимо в такой же форме представить параметры напряженно-деформированного состояния покрытий. Для этого введем в рассмотрение объединенный вектор внешних форм и параметра внешних нагрузок

${{{\mathbf{\omega }}}_{{\text{b}}}} = \left\{ {{{{\omega }}_{{{\text{1b}}}}}{\text{,}}{{{\omega }}_{{{\text{2b}}}}}{\text{,}}{{{\omega }}_{{{\text{3b}}}}}} \right\}{\text{,}}\quad {{{\mathbf{S}}}_{{\text{b}}}} = \left\{ {{{{\text{S}}}_{{{\text{1b}}}}}{\text{,}}{{{\text{S}}}_{{{\text{2b}}}}}{\text{,}}{{{\text{S}}}_{{{\text{3b}}}}}} \right\}$
где для

Тогда решения в каждом покрытии можно представить в виде

(3.1)

Сопрягая все три компоненты перемещений обоих полубесконечных покрытий, как нормальные, так и касательные, с перемещениями верхней границы основания, получаем соотношения вида

(3.2)

Здесь ${{{\mathbf{P}}}_{{\mathbf{\lambda }}}}$, ${{{\mathbf{P}}}_{{\mathbf{r}}}}$,${{{\mathbf{P}}}_{{\mathbf{\theta }}}}$ – проекторы на левую, правую полуплоскости и на срединный промежуток, являющиеся носителями соответствующих покрытий и описывающего промежуток $\left| {{{{\text{x}}}_{{\text{2}}}}} \right| \leqslant {\theta }$. Внося соотношения (3.1) в левые части (3.2) и применив преобразования Фурье, получим соотношения вида

Вектор-функции ${{{\mathbf{G}}}_{{\lambda }}}{\text{(}}{{{\alpha }}_{{\text{1}}}}{\text{,}}{{{\alpha }}_{{\text{2}}}}{\text{)}}$, ${{{\mathbf{G}}}_{{\text{r}}}}{\text{(}}{{{\alpha }}_{{\text{1}}}}{\text{,}}{{{\alpha }}_{{\text{2}}}}{\text{)}}$, являющиеся преобразованиями Фурье функций, с носителями в полуплоскостях, есть регулярные функции параметров ${{{\mathbf{\alpha }}}_{{\mathbf{2}}}}$ при фиксированном ${{{\mathbf{\alpha }}}_{{\mathbf{1}}}}$ в нижней и верхней полуплоскостях соответственно. В связи с этим можем обозначить вектор-функции, регулярные по параметру ${{{\mathbf{\alpha }}}_{{\mathbf{2}}}}$ в нижней, знак минус, и в верхней, знак плюс, полуплоскостях, положив

${{{\mathbf{G}}}_{{\lambda }}}{\text{(}}{{{\alpha }}_{{\text{1}}}}{\text{,}}{{{\alpha }}_{{\text{2}}}}{\text{)}} = {{{\mathbf{G}}}_{{\text{ - }}}}{\text{(}}{{{\alpha }}_{{\text{1}}}}{\text{,}}{{{\alpha }}_{{\text{2}}}}{\text{),}}\quad {{{\mathbf{G}}}_{{\text{r}}}}{\text{(}}{{{\alpha }}_{{\text{1}}}}{\text{,}}{{{\alpha }}_{{\text{2}}}}{\text{)}} = {{{\mathbf{G}}}_{{\text{ + }}}}{\text{(}}{{{\alpha }}_{{\text{1}}}}{\text{,}}{{{\alpha }}_{{\text{2}}}}{\text{)}}$

Внося эти обозначения в предыдущее соотношение, приходим к матричному обобщенному функциональному уравнению Винера–Хопфа,

которое, наряду с наличием неизвестных ${{{\mathbf{G}}}_{{ \pm }}}{\text{(}}{{{\alpha }}_{{\text{1}}}}{\text{,}}{{{\alpha }}_{{\text{2}}}}{\text{)}}$, содержит в качестве неизвестных также и их функционалы вида , нуждающиеся в последующем определении из некоторой системы алгебраических уравнений [19, 20]. В этих же работах изложены способы определения функционалов, входящих во внешние формы. Для исследования особенностей решения функционального уравнения был использован факторизационный подход, изложенный в [18]. Исследование свойств решений этого матричного функционального уравнения привело наряду с изложенным в [19, 20] результатам, также к новым, не встречавшимся ранее. При ${\theta } > {\text{0}}$, то есть, когда торцы плит удалены на расстояние , контактные напряжения на краях пластин имеют представление [19, 20] вида

(3.3)

При ${\theta } = {\text{0}}$, то есть, когда торцы плит полностью сблизились, контактные напряжения имеют вид

(3.4)

В обоих случаях вектор-функции , ${{{\mathbf{\sigma }}}_{{{\text{2r}}}}}{\text{(}}{{{\text{x}}}_{{\text{1}}}}{\text{,}}{{{\text{x}}}_{{\text{2}}}}{\text{)}}$ непрерывны по обоим параметрам.

Анализ полученного решения показывает, что возникает более сложная подвижка в зоне дефекта, охватывающая рассмотренные в [19, 20] случаи.

В результате вычисления перемещений в зоне дефекта или поверхности Земли, вызванных сингулярными составляющими контактных напряжений, получается картина, в которой левая плита испытывает вертикальное перемещение, а правая – горизонтальный сдвиг в одном из направлений, вызываемых внешними воздействиями, породив разрушение зоны дефекта, что приводит из состояния (3.4) в состояние (3.3). Последнее, как известно из теории контактных задач [18], приводит лишь к точечному излому в точках ${{{\text{x}}}_{{\text{2}}}} = \pm {\theta }$ поверхности основания подшипника, на котором находится покрытие или основание, на котором расположены литосферные плиты.

4. Выводы. Таким образом, в случае принятых разнотипных контактов покрытия с деформируемым основанием, имеет место дальнейшее разрушение зоны контакта сингулярными концентрациями напряжений. Разрушение приводит к уничтожению части покрытия в окрестности дефекта и обнажению основания, на котором оно находится. В случае подшипников это означает износ оголенной части основания. В случае зоны Беньофа оно провоцирует прибрежные землетрясения, различной бальности, и дает свободу отделившейся левой части литосферной плиты более свободно уйти под континентальную, и расплавиться, попав уже в следующий тектонический процесс, называемый спредингом.

Отдельные фрагменты работы выполнены в рамках реализации Госзадания Мин-обрнауки на 2020 г., проекты (9.8753.2017/8.9) и ЮНЦ РАН проект (00-19-13) № госрег. 01201354241, Программ президиума РАН № 7, проект (00-19-03) и № 20 проект (00-19-10), и при поддержке грантов РФФИ (19-41-230003), (19-41-230004), (19-48-230014), (18-08-00465), (18-01-00384), (18-05-80008).

Список литературы

  1. Горячева И.Г., Фельдштейн И.В. Анализ влияния внутренней системы дефектов на напряженное состояние упругих тел // Изв. РАН. МТТ. 1996. № 5. С. 55–61.

  2. Maugis D. Contact Adhesion and Rupture of Elastic Solids. Berlin: SpringerrVerlag, 2000.

  3. Горячева И.Г. Механика фрикционного взаимодействия. М.: Наука, 2001. 478 с.

  4. Горячева И.Г., Добычин М.Н. Контактные задачи в трибологии. М.: Машиностроение, 1988. 256 с.

  5. Горячева И.Г., Маховская Ю.Ю. Моделирование трения на разных масштабных уровнях // Изв. РАН. МТТ. 2010. № 3. С. 117–127.

  6. Ноздрин М.А., Маховская Ю.Ю., Шептунов Б.В. Расчет деформационной составляющей силы трения при скольжении тела по вязкоупругому основанию // Вестник ИГЭУ. 2009. № 3. С. 48–50.

  7. Александров В.М., Горячева И.Г., Торская Е.В. Пространственная задача о движении гладкого штампа по вязкоупругому полупространству // Докл. РАН. 2010. Т. 430. № 4. С. 490–493.

  8. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М., Елецкий Ю.Б., Уафа С.Б. О прочностных свойствах смазываемых подшипников с дефектными покрытиями // Изв. РАН. МТТ. 2019. № 6. С. 48–54. https://doi.org/10.1134/S05723299190600359

  9. Райс Дж. Механика очага землетрясения. М.: Мир. 1982. 217 с.

  10. Гамбурцев Г.А Перспективный план исследований по проблеме “Изыскание и развитие прогноза землетрясений” // Развитие идей Г.А. Гамбурцева в геофизике. М.: Наука, 1982. С. 304–311.

  11. Садовский М.А., Болховитинов Л.Г., Писаренко В.Ф. Деформирование геофизической среды и сейсмический процесс. М.: Наука, 1987. 104 с.

  12. Алексеев А.С., Геза Н.И., Еманов А.Ф., Кашун В.Н., Ковалевский В.В., Манштейн А.К., Михайленко Б.Г., Селезнев В.С., Сердюков С.В., Собисевич А.Л., Собисевич Л.Е., Соловьев В.М., Хайретдинов М.С., Чичинин И.С., Юшин В.И. Активная сейсмология с мощными вибрационными источниками. Коллективная монография. Изд-во СО РАН, 2004. 388 с.

  13. Соболев Г.А. Основы прогноза землетрясений. М.: Наука, 1993. 313 с.

  14. Кейлис-Борок В.А. Динамика литосферы и прогноз землетрясений // Природа, 1989. № 12. С. 10–18.

  15. Di Toro G. Fault lubrication during earthquake // Natire. 2011. 471(7339). P. 494–498.

  16. Никонов А.А. Современные движения Земной коры. М.: Наука, 1979. 184 с.

  17. Mitchell E., Fialko Y, and Brown K. Temperature dependence of frictional healing of Westerly granite: Experimental observations and numerical Simulations // Geochemistry, Geophysics, Geosystems. 2013. № 14. P. 567–582.

  18. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1979. 320 с.

  19. Babeshko V.A., Evdokimova O.V., Babeshko O.M. On the possibility of predicting some types of earthquake by a mechanical approach // Acta Mechanica. 2018. V. 229. № 5. P. 2163–2175. https://doi.org/10.1007/s00707-017-2092-0

  20. Babeshko V.A., Evdokimova O.V., Babeshko O.M. On a mechanical approach to the prediction of earthquakes during horizontal motion of litospheric plates // Acta Mechanica. 2018. V. 229. № 11. P. 4727–4739. https://doi.org/10.1007/s00707-018-2255-7

Дополнительные материалы отсутствуют.