Известия РАН. Механика твердого тела, 2020, № 5, стр. 138-150

ИССЛЕДОВАНИЯ ПРОБЛЕМ ДОЛГОВЕЧНОСТИ ОРТОТРОПНЫХ ПОЛИГОНАЛЬНЫХ ПЛАСТИН ПРИ ШИРОКОПОЛОСНОМ АКУСТИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ С УЧЕТОМ ЭФФЕКТОВ ИЗЛУЧЕНИЯ

С. Л. Денисов a*, В. Ф. Копьев a, А. Л. Медведский a**, Н. Н. Остриков a

a Центральный аэрогидродинамический институт им. Н.Е. Жуковского
Жуковский, Россия

* E-mail: stanislav.denisov@tsagi.ru
** E-mail: aleksandr.medvedskiy@tsagi.ru

Поступила в редакцию 11.01.2020
После доработки 18.01.2020
Принята к публикации 25.01.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

В работе рассматриваются задачи расчета долговечности ортотропных полигональных пластин, описываемых в рамках теории Кирхгофа и подвергающихся акустическому воздействию с широким спектром с учетом эффектов переизлучения звука. Предложен гибридный численно-аналитический метод решения задачи, основанный на определении собственных форм и частот колебаний пластины с помощью метода конечных элементов (МКЭ) с последующим расчетом моментов спектральной плотности среднеквадратичных напряжений с использованием квадратур Гаусса 5-го порядка. В работе выполнен расчет долговечности полигональной ортотропной стеклопластиковой пластины с помощью четырех различных методов (метод пересечений, метод Ковалевски, метод Болотина и метод Райхера) при диффузном распределении звукового поля по поверхности пластины и случайном широкополосном акустическом воздействии.

Ключевые слова: долговечность, акустическое нагружение, спектральная плотность обобщенных сил, метод конечных элементов (МКЭ), переизлучение звука, взаимная спектральная плотность

Введение. Общая теория расчета долговечности изотропных пластин и оболочек, подверженных внешнему широкополосному акустическому воздействию, без учета переизлучения звука была разработана в классических работах Майлса, Пауэлла и Кларксона [13]. Расчеты, выполненные на основе разработанных методов, показали удовлетворительное согласование с экспериментом. Указанные работы, дополненные экспериментальными данными, послужили основой для разработки различных инженерных методик расчета отклика пластин и оболочек при широкополосном акустическом воздействии. Большинство использующихся на сегодняшний день в авиации методов оценки долговечности элементов конструкции планера самолета базируются на этих работах с учетом экспериментально определенных коэффициентов [4].

Применение композитных или конструктивно ортотропных материалов в элементах конструкции летательных аппаратов приводит к необходимости доработки существующих расчетных моделей, поскольку их механические и физические свойства демонстрируют высокую чувствительность к таким факторам, как структура действующего акустического поля, звукоизлучательная способность, условия закрепления и т.д.

В работе разработан гибридный численно-аналитический метод расчета долговечности ортотропных полигональных пластин, подвергающихся широкополосному акустическому воздействию. В качестве основного объекта исследования рассматривается полигональная ортотропная пластина неканонической формы, которая расположена в бесконечном, акустически жестком экране. Источником акустического воздействия является шум, формирующий на поверхности пластины стационарное в статистическом смысле распределение звукового поля.

1. Постановка задачи. Рассматривается тонкая полигональная ортотропная пластина неканонической формы, которая расположена в бесконечном, акустически жестком экране. Предполагается, что пластина в прямоугольной декартовой системе координат $O{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}$ с ортонормированным базисом ${{{\mathbf{e}}}_{i}},i = 1,2,3$ описывается теорией Кирхгофа [5], при этом плоскость ${{x}_{3}} = 0$ разделяет акустическую среду Ω плотностью ${{\rho }_{0}}$ и скоростью звука ${{с}_{0}}$ на верхнее (I) и нижнее (II) полупространства.

В качестве источника акустических возмущений в среде $\Omega $ рассматривается сторонний источник звука мощностью q, который, в общем случае, может иметь как детерминированную, так и случайную природу, а также характеризоваться как тональным, полигармоническим или широкополосным спектром. В данной работе рассматриваются статистически стационарные источники шума, имеющие широкий частотный спектр и для которых на поверхности пластины определены их характеристики, такие как спектр мощности и функция взаимной спектральной плотности [6].

Полигональная пластина занимает область $D = \{ \left( {{{x}_{1}},{{x}_{2}}} \right) \in {{\mathbb{R}}^{2}}\} $, ограниченную прямыми ${{L}_{{\alpha }}}$, которые задаются координатами узлов ${{K}_{{\alpha }}}(x_{1}^{{\alpha }},x_{2}^{{\alpha }})$ в плоскости $O{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ и ${{\nu }_{{\alpha }}}$ – единичный вектор, нормальный к границе пластины, а ${{\tau }_{{\alpha }}}$ – единичный вектор, касательный к границе пластины (рис. 1, где цифрами обозначены: 1 – источник звука q, 2 – упругая пластина D, 3 – точка наблюдения, 4 – акустически жесткий экран и 5 – контур пластины Г). Тогда постановка задачи в частотном представлении имеет следующий вид [7]:

Рис. 1

– уравнения движения пластины:

(1.1)
$ - \rho h{{\omega }^{2}}w - i\beta w + {\text{L}}[w] = {{p}^{I}} - {{p}^{{II}}}$

– уравнения движения акустической среды:

(1.2)
$\begin{gathered} \Delta {{\varphi }^{I}} + k_{0}^{2}{{\varphi }^{I}} = - q\left( {{\mathbf{r}}{\text{,}}{{{\mathbf{r}}}_{{\text{0}}}},\omega } \right),\quad {{x}_{3}} > 0 \\ {\mathbf{r}} = {{x}_{i}}{{{\mathbf{e}}}_{i}},\quad {{{\mathbf{r}}}_{0}} = {{x}_{{0i}}}{{{\mathbf{e}}}_{i}} \\ \end{gathered} $
(1.3)
$\Delta {{\varphi }^{{II}}} + k_{0}^{2}{{\varphi }^{{II}}} = 0,\quad {{x}_{3}} < 0$
(1.4)
${{p}^{{I,II}}} = i\omega {{\rho }_{0}}{{\varphi }^{{I,II}}}$

– условия непротекания:

(1.5)
${{\left. {\frac{{\partial {{\varphi }^{I}}}}{{\partial {{x}_{3}}}}} \right|}_{{{{x}_{1}},{{x}_{2}} \in D}}} = 0,\quad {{\left. {\frac{{\partial {{\varphi }^{{II}}}}}{{\partial {{x}_{3}}}}} \right|}_{{{{x}_{1}},{{x}_{2}} \in D}}} = 0$

– условия излучения Зоммерфельда:

(1.6)
$\frac{{\partial {{\varphi }^{{I,II}}}}}{{\partial \left| {\mathbf{r}} \right|}} - i{{k}_{0}}{{\varphi }^{{I,II}}} = o\left( {\frac{1}{{\left| {\mathbf{r}} \right|}}} \right),\quad \left| {\mathbf{r}} \right| \to \infty $

– краевые условия на границе $\Gamma = \bigcup\limits_{\alpha = 1} {{{L}_{\alpha }}} $ формулируются в операторном виде:

(1.7)
${{\left. {{\mathbf{B}}[w]} \right|}_{\Gamma }} = 0,\quad {\mathbf{B}} = {{\left( {{{B}_{1}},{{B}_{2}}} \right)}^{{\text{T}}}}$
где оператор B на прямой ${{L}_{{\alpha }}}$ определяется следующим образом:

– шарнирное опирание:

(1.8)
$\begin{gathered} {{B}_{1}} = 1,\quad {{B}_{2}} = {{\nu }_{{\alpha }}}{\mathbf{M}}\nu _{{\alpha }}^{{\mathbf{T}}},\quad {\mathbf{M}} = {{\left( {{{M}_{{ij}}}} \right)}_{{2 \times 2}}},\quad {{\nu }_{{\alpha }}} = ({\nu }_{{\text{1}}}^{{\alpha }},{\nu }_{2}^{{\alpha }}) \\ {{M}_{{11}}} = - \left( {{{D}_{{11}}}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial x_{1}^{2}}} + {{D}_{{12}}}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial x_{2}^{2}}}} \right),\quad {{M}_{{22}}} = - \left( {{{D}_{{21}}}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial x_{2}^{2}}} + {{D}_{{22}}}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial x_{1}^{2}}}} \right) \\ {{M}_{{12}}} = {{M}_{{21}}} = - 2{{D}_{{66}}}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{x}_{1}}\partial {{x}_{2}}}} \\ \end{gathered} $

– жесткое защемление:

(1.9)
$\begin{gathered} {{B}_{1}} = 1,\quad {{B}_{2}} = \nu _{{\alpha }}^{{}}\Theta ,\quad \Theta = \left( {{{{\theta }}_{1}},{{{\theta }}_{2}}} \right)_{{}}^{{\mathbf{T}}} \\ {{{\theta }}_{1}} = \frac{\partial }{{\partial {{x}_{1}}}},\quad {{{\theta }}_{2}} = \frac{\partial }{{\partial {{x}_{2}}}} \\ \end{gathered} $

– свободное ребро панели:

(1.10)
$\begin{gathered} {{B}_{1}} = {{\nu }_{{\alpha }}}{\mathbf{M}}\nu _{{\alpha }}^{{\mathbf{T}}},\quad {{B}_{2}} = \left( {{\mathbf{Q}} + {\mathbf{D}}} \right)\nu _{{\alpha }}^{{\mathbf{T}}} \\ {\mathbf{D}} = \left( {\partial {{M}_{1}},\partial {{M}_{2}}} \right),\quad \partial {{M}_{k}} = \frac{{\partial M}}{{\partial {{x}_{k}}}},\quad M = {{\tau }_{{\alpha }}}{\mathbf{M}}\nu _{{\alpha }}^{{\mathbf{T}}} \\ \end{gathered} $
где ${{D}_{{ij}}}$ – жесткостные параметры ортотропной пластины. Здесь и далее введены следующие безразмерные параметры: w – нормальное перемещение срединной поверхности пластины, h – толщина пластины, β – постоянная, описывающая диссипацию энергии в пластине, ρ – плотность материала пластины, ${{p}^{I}}$ и ${{p}^{I}}$ – давление в верхнем и нижнем полупространствах соответственно, ${\text{L[}}w{\text{]}}$ – линейный дифференциальный оператор [5, 7], ${{M}_{{ij}}}$ – текущие изменения изгибающих моментов, ${{\rho }_{0}}$ – плотность акустической среды, ${{k}_{0}} = {\omega \mathord{\left/ {\vphantom {\omega {{{c}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{c}_{0}}}}$ – волновое число падающей волны, ${{\varphi }^{I}}$ и ${{\varphi }^{{II}}}$ – акустические потенциалы верхнего и нижнего полупространства соответственно, ${\mathbf{r}}$ – радиус-вектор точки наблюдения, ${{{\mathbf{r}}}_{0}}$ – радиус-вектор стороннего источника, q – мощность стороннего источника. Отметим также, что для ортотропной пластины Кирхгофа справедливы известные кинематические и физические соотношения [5].

Представим давления в верхнем ${{p}^{I}}$ и нижнем ${{p}^{{II}}}$ полупространствах в следующем виде:

(1.11)
${{p}^{I}} = p_{{{\text{INC}}}}^{{}} + (p_{{{\text{REF}}}}^{{}} - p_{{{\text{RAD}}}}^{{}}),\quad {{p}^{{II}}} = p_{{{\text{RAD}}}}^{{}}$
где $p_{{{\text{INC}}}}^{{}}$ – звуковое давление падающей полны, $p_{{{\text{REF}}}}^{I}$ – звуковое давление в волне, отраженной от абсолютно жесткого экрана без пластины, а $p_{{{\text{RAD}}}}^{{}}$ – волна излученная пластиной, причем знак минус обусловлен передачей энергии падающей волны колебаниям пластины.

Выражение для акустического потенциала звукового поля, излучаемого пластиной, представимо в виде [8, 9]:

(1.12)
$\begin{gathered} \varphi ({\omega },{\mathbf{r}}) = - \frac{{i\omega }}{{2\pi }}\iint\limits_D {w\left( \xi \right)g(\xi ,{\mathbf{r}})}d\xi \\ g(\xi ,{\mathbf{r}}) = {{z}^{{ - 1}}}(\xi ,{\mathbf{r}}){{e}^{{i{{k}_{0}}z({\mathbf{\xi }},{\mathbf{r}})}}},\quad z(\xi ,{\mathbf{r}}) = \sqrt {({{\xi }_{k}} - {{x}_{k}})({{\xi }_{k}} - {{x}_{k}})} \\ \xi = {{\xi }_{i}}{{{\mathbf{e}}}_{i}},\quad {{\xi }_{3}} = 0 \\ \end{gathered} $

Тогда с учетом (1.4), (1.11) и (1.12) выражение для разности давлений в правой части уравнения (1.1) примет вид:

(1.13)
$\begin{gathered} {{p}^{I}}(\omega ,{\mathbf{x}}) - {{p}^{{II}}}(\omega ,{\mathbf{x}}) = 2i\omega {{\rho }_{0}}\varphi _{{ПАД}}^{ + } + {{\pi }^{{ - 1}}}{{\rho }_{0}}{{\omega }^{2}}\iint\limits_D {w\left( \xi \right){{g}_{0}}(\xi {\mathbf{x}})\,}d{\mathbf{\xi }} \\ {{g}_{0}}(\xi ,{\mathbf{x}}) = {{\left. {g(\xi ,{\mathbf{r}})} \right|}_{{{{x}_{3}} = 0}}},\quad {\mathbf{x}} = {{x}_{i}}{{{\mathbf{e}}}_{i}},\quad {{x}_{3}} = 0 \\ \end{gathered} $
где учтен эффект удвоения давления при отражении звука от акустически абсолютно жесткой поверхности.

Тогда уравнение движения пластины (1.1) с учетом выражений (1.4) и (1.13) примет вид:

(1.14)
$ - \rho h{{\omega }^{2}}w - i\beta w + {\text{L}}[w] - {{\pi }^{{ - 1}}}{{\rho }_{0}}{{\omega }^{2}}\iint\limits_D {w\left( \xi \right){{g}_{0}}(\xi ,{\mathbf{x}})}d\xi = 2p_{{INC}}^{{}}(\omega ,{\mathbf{x}})$

Выражение (1.14) представляет собой интегро-дифференциальное уравнение относительно Фурье-образа прогиба пластины $w({\mathbf{x}})$ при произвольном виде действующей акустической нагрузки ${{p}_{{INC}}}(\omega ,x)$, распределенной по поверхности пластины.

2. Долговечность ортотропной пластины. Расчет долговечности пластины в данной работе проводится с помощью четырех различных методов: метода пересечений [10], метода Болотина [11], метода Ковалевски [10, 12] и метода, основанного на гипотезе спектрального суммирования (метод Райхера [12]). Ниже представлены основные расчетные выражения для этих методов:

– метод пересечений:

(2.1)
${{T}_{{{\alpha \beta }}}} = \frac{{2{\pi }{{A}_{{{\alpha \beta }}}}}}{{\sqrt {{{M_{{{\alpha \beta }}}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{M_{{{\alpha \beta }}}^{2}} {M_{{{\alpha \beta }}}^{0}}}} \right. \kern-0em} {M_{{{\alpha \beta }}}^{0}}}} {{{(2M_{{{\alpha \beta }}}^{0})}}^{{{{{{m}_{{{\alpha \beta }}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{m}_{{{\alpha \beta }}}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}Г\left( {{{{{m}_{{{\alpha \beta }}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{m}_{{{\alpha \beta }}}}} 2}} \right. \kern-0em} 2} + 1} \right)}}$

– метод Болотина:

(2.2)
${{T}_{{{\alpha \beta }}}} = \frac{{2{\pi }{{A}_{{{\alpha \beta }}}}}}{{\sqrt {{{M_{{{\alpha \beta }}}^{4}} \mathord{\left/ {\vphantom {{M_{{{\alpha \beta }}}^{4}} {M_{{{\alpha \beta }}}^{2}}}} \right. \kern-0em} {M_{{{\alpha \beta }}}^{2}}}} {{{(2M_{{{\alpha \beta }}}^{0})}}^{{{{{{m}_{{{\alpha \beta }}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{m}_{{{\alpha \beta }}}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}Г\left( {{{{{m}_{{{\alpha \beta }}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{m}_{{{\alpha \beta }}}}} 2}} \right. \kern-0em} 2} + 1} \right)}}$

– метод Ковалевски:

(2.3)
${{T}_{{{\alpha \beta }}}} = \frac{{2{\pi }{{A}_{{{\alpha \beta }}}}}}{{{{{(\sqrt {{{{{{(M_{{{\alpha \beta }}}^{2})}}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{(M_{{{\alpha \beta }}}^{2})}}^{2}}} {(M_{{{\alpha \beta }}}^{0}M_{{{\alpha \beta }}}^{4})}}} \right. \kern-0em} {(M_{{{\alpha \beta }}}^{0}M_{{{\alpha \beta }}}^{4})}}} )}}^{{{{m}_{{{\alpha \beta }}}}}}}\sqrt {{{M_{{{\alpha \beta }}}^{4}} \mathord{\left/ {\vphantom {{M_{{{\alpha \beta }}}^{4}} {M_{{{\alpha \beta }}}^{2}}}} \right. \kern-0em} {M_{{{\alpha \beta }}}^{2}}}} {{{(2M_{{{\alpha \beta }}}^{0})}}^{{{{{{m}_{{{\alpha \beta }}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{m}_{{{\alpha \beta }}}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}Г({{{{m}_{{{\alpha \beta }}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{m}_{{{\alpha \beta }}}}} 2}} \right. \kern-0em} 2} + 1)}}$

– метод Райхера:

(2.4)
${{T}_{{{\alpha \beta }}}} = \frac{{2{\pi }{{A}_{{{\alpha \beta }}}}}}{{{{{\left[ {\int\limits_0^\infty {{{{{S}_{{\sigma }}}({\omega }){{{\omega }}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 {{{m}_{{{\alpha \beta }}}}}}} \right. \kern-0em} {{{m}_{{{\alpha \beta }}}}}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{S}_{{\sigma }}}({\omega }){{{\omega }}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 {{{m}_{{{\alpha \beta }}}}}}} \right. \kern-0em} {{{m}_{{{\alpha \beta }}}}}}}}}} {M_{{{\alpha \beta }}}^{0}}}} \right. \kern-0em} {M_{{{\alpha \beta }}}^{0}}}d{\omega }} } \right]}}^{{{{{{m}_{{{\alpha \beta }}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{m}_{{{\alpha \beta }}}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}{{{(2M_{{{\alpha \beta }}}^{0})}}^{{{{{{m}_{{{\alpha \beta }}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{m}_{{{\alpha \beta }}}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}Г\left( {{{{{m}_{{{\alpha \beta }}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{m}_{{{\alpha \beta }}}}} 2}} \right. \kern-0em} 2} + 1} \right)}}$

Здесь ${{A}_{{{\alpha \beta }}}}$ и ${{m}_{{{\alpha \beta }}}}$ – постоянные, определяемые усталостной кривой Велера для рассматриваемых компонент напряжений [11], $Г\left( {{{{{m}_{{{\alpha \beta }}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{m}_{{{\alpha \beta }}}}} 2}} \right. \kern-0em} 2} + 1} \right)$ – гамма-функция, $М_{k}^{{{\alpha \beta }}}$ – моменты спектральной плотности к-го порядка, определяемые следующим образом [1012]:

(2.5)
$M_{{\alpha \beta }}^{k}\left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{y}}} \right) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{{\omega }^{k}}S_{{\alpha \beta }}^{\sigma }\left( {\omega ,{\mathbf{x}},{\mathbf{y}}} \right)d\omega } $
где функция $S_{{\alpha \beta }}^{\sigma }\left( {\omega ,{\mathbf{x}},{\mathbf{y}}} \right)$ – взаимная спектральная плотность среднеквадратичных напряжений, определяемая для стационарных и эргодических процессов с помощью соотношения [6, 13] (здесь и далее, знак * обозначает комплексное сопряжение):

(2.6)
$S_{{\alpha \beta }}^{\sigma }\left( {\omega ,{\mathbf{x}},{\mathbf{y}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{T \to \infty } \frac{{{{\sigma }_{{\alpha \beta }}}\left( {\omega ,{\mathbf{x}}} \right)\sigma _{{\alpha \beta }}^{*}\left( {\omega ,{\mathbf{y}}} \right)}}{{2\pi \,T}}$

3. Объемная функция влияния для ортотропной пластины. Построим объемную функцию влияния $G({\omega },{\mathbf{x}},\xi )$ для ортотропной пластины, а затем на ее основе получим соотношения для моментов спектральной плотности $М_{{{\alpha \beta }}}^{k}$, используемых при расчете долговечности пластины на основе выражений (2.1) – (2.5).

Краевая задача для определения $G({\omega },{\mathbf{x}},\xi )$ имеет следующий вид [14]:

(3.1)
$\begin{gathered} {\text{L}}\left[ G \right] - ({\rho }h{{{\omega }}^{2}} - i{\omega \beta })G = {\delta }\left( {{\mathbf{x}} - \xi } \right){\delta }\left( {{\omega } - {\eta }} \right) \\ {\delta }\left( {{\mathbf{x}} - \xi } \right) = {\delta }\left( {{{x}_{1}} - {{{\xi }}_{1}}} \right){\delta }\left( {{{x}_{2}} - {{{\xi }}_{2}}} \right) \\ \end{gathered} $
(3.2)
${{\left. {{\mathbf{B}}[G]} \right|}_{\Gamma }} = 0$
где ${\delta }\left( \centerdot \right)$ – дельта-функция Дирака.

Будем искать фундаментальное решение $G({\omega },{\mathbf{x}},\xi )$ в виде ряда по собственным функциям ${{w}_{n}}({\mathbf{x}})$ упругого оператора задачи L[w] при заданных граничных условиях (1.7), предполагая, что система собственных функций является полной, а спектр оператора невырожденным. Тогда фундаментальное решение $G({\omega },{\mathbf{x}},\xi )$ представимо в виде:

(3.3)
$G({\omega },{\mathbf{x}}\xi ) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{a}_{n}}({\omega },\xi ){{w}_{n}}({\mathbf{x}})} $

Подставим разложение (3.3) в выражение (3.1) и, умножив скалярно обе части уравнения (3.1) на собственную функцию ${{w}_{m}}(\xi )$, получим следующее выражение:

(3.4)
${{a}_{m}}({\omega },\xi )( - {\rho }h{{{\omega }}^{2}} - i{\omega \beta } + {{{\lambda }}_{m}}) - {\rho }h\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{a}_{n}}({\omega },\xi ){{Z}_{{mn}}}} = {{{{w}_{m}}(\xi )} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{w}_{m}}(\xi )} {{{{\left\| {{{w}_{m}}} \right\|}}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{{\left\| {{{w}_{m}}} \right\|}}^{2}}}}$
(3.5)
${{Z}_{{mn}}} = \frac{{{{{\rho }}_{0}}{{{\omega }}^{2}}}}{{{\pi }\,{\rho }h{{{\left\| {{{w}_{m}}} \right\|}}^{2}}}}\iint\limits_D {\iint\limits_D {{{w}_{m}}({\mathbf{x}}){{w}_{n}}(\xi ){{g}_{0}}(\xi ,{\mathbf{x}})\,}d{\mathbf{\xi }}\,}d{\mathbf{x}}$
где учтено, что${\text{L}}\left[ {{{w}_{n}}} \right] = {{{\lambda }}_{n}}{{w}_{n}}$, ${{{\lambda }}_{n}}$ – собственное значение оператора ${\text{L[}}w{\text{]}}$.

Величина Zmn в (3.4) является характеристическим импедансом излучения пластины и описывает эффективность преобразования энергии упругих колебаний пластины в звуковое излучение [79]. При этом величины Zmm являются собственными импедансами излучения для m-й формы колебаний, а величины Zmn представляют собой импеданс взаимодействия между различными формами колебаний пластины.

Рассмотрим случай, когда импедансы излучения намного превосходят импедансы взаимодействия, т.е. ${{Z}_{{mm}}} \gg {{Z}_{{mn}}}$ (применимость такого условия обсуждается в [8, 9]). Тогда система линейных уравнений (3.4) становится диагональной и выражение для коэффициентов ${{a}_{m}}({\omega },\xi )$ принимает вид:

(3.6)
$\begin{gathered} {{a}_{m}}({\omega },\xi ) = \frac{{{{w}_{m}}(\xi )}}{{{\rho }h \cdot {{{\left\| {{{w}_{m}}} \right\|}}^{2}}\left( {H({\omega },{{\Omega }_{m}}) - {{Z}_{{mm}}}} \right)}} \\ H({\omega },{{\Omega }_{m}}) = ( - {{{\omega }}^{2}} - i{\omega \delta } + \Omega _{m}^{2}) \\ \end{gathered} $
где $\Omega _{m}^{2} = {{{{{\lambda }}_{m}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{\lambda }}_{m}}} {\left( {{\rho }h} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {{\rho }h} \right)}}$ – квадрат собственной частоты колебаний пластины, ${\delta } = {{\beta } \mathord{\left/ {\vphantom {{\beta } {\left( {{\rho }h} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {{\rho }h} \right)}}$ – величина, описывающая механическую диссипацию энергии при колебаниях пластины.

Тогда для фундаментального решения (3.3) получим окончательное выражение:

(3.7)
$G({\omega },{\mathbf{x}},\xi ) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{w}_{n}}({\mathbf{x}}){{w}_{n}}(\xi )}}{{{\rho }h \cdot {{{\left\| {{{w}_{n}}} \right\|}}^{2}}\left( {H({\omega },{{\Omega }_{m}}) - {{Z}_{{mm}}}} \right)}}} $

Если фундаментальное решение $G({\omega },{\mathbf{x}},{\mathbf{\xi }})$ известно, то решение задачи (1.1)–(1.7) имеет вид:

(3.8)
$w({\omega },{\mathbf{x}}) = \iint\limits_D {p({\omega },\xi ){{G}_{w}}({\omega },{\mathbf{x}},\xi )d\xi } = \frac{1}{{{\rho }h}}\iint\limits_D {p({\omega },\xi \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{w}_{n}}({\mathbf{x}}){{w}_{n}}(\xi )}}{{\left( {H({\omega },{{\Omega }_{m}}) - {{Z}_{{mm}}}} \right){{{\left\| {{{w}_{n}}} \right\|}}^{2}}}}} d\xi }$

С использованием кинематических и физических соотношений для ортотропной пластины [5] получим следующие интегральные представления для компонент тензора напряжений ${{\sigma }_{{ij}}}$:

(3.9)
$\begin{gathered} {{{\sigma }}_{{ij}}}({\omega },{\mathbf{x}}) = \iint\limits_D {P({\omega },\xi )\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{G}_{{ij,n}}}({\mathbf{x}},\xi )}}{{\left( {H({\omega },{{\Omega }_{m}}) - {{Z}_{{mm}}}} \right)}}} d\xi } \\ {{G}_{{ij,n}}}({\mathbf{x}},\xi ) = \frac{{{{w}_{n}}(\xi )}}{{{\rho }h \cdot {{{\left\| {{{w}_{n}}} \right\|}}^{2}}}} \cdot \partial _{x}^{{(ij)}}\left[ {{{w}_{n}}({\mathbf{x}})} \right],\quad i,j \in \left\{ {1,2} \right\} \\ \end{gathered} $
где дифференциальные операторы $\partial _{x}^{{(ij)}}$ имеют вид:

(3.10)
$\begin{gathered} \partial _{x}^{{(11)}}\left[ f \right] = \pm \frac{6}{{{{h}^{2}}}}\left( {{{D}_{{11}}}\frac{{{{\partial }^{2}}f}}{{\partial x_{1}^{2}}} + {{D}_{{12}}}\frac{{{{\partial }^{2}}f}}{{\partial x_{2}^{2}}}} \right),\quad \partial _{x}^{{(22)}}\left[ f \right] = \pm \frac{6}{{{{h}^{2}}}}\left( {{{D}_{{12}}}\frac{{{{\partial }^{2}}f}}{{\partial x_{1}^{2}}} + {{D}_{{22}}}\frac{{{{\partial }^{2}}f}}{{\partial x_{2}^{2}}}} \right) \\ \partial _{x}^{{(12)}}\left[ f \right] = \pm \frac{6}{{{{h}^{2}}}}\left( {2{{D}_{{66}}}\frac{{{{\partial }^{2}}f}}{{\partial x_{1}^{{}}\partial x_{2}^{{}}}}} \right) \\ \end{gathered} $

Учет излучения звука приводит к сдвигу собственной частоты колебаний пластины, а также к изменению диссипации энергии излучения по сравнению со случаем, когда излучение не рассматривается. Как видно из соотношений (3.8) и (3.9) сдвиг частоты и изменение диссипации определяется знаками действительной и мнимой части импеданса излучения и зависит от частоты звукового поля ω. В рассмотренном приближении ${{Z}_{{mm}}} \gg {{Z}_{{mn}}}$, выражения (3.9) и (3.10) позволяют полностью определить напряженно-деформированное состояние полигональной ортотропной пластины при произвольном акустическом воздействии. Тогда, предполагая акустическое нагружение стационарным [6, 7] и используя определение для функции взаимной спектральной плотности среднеквадратичных напряжений в виде (2.6), получим:

(3.11)
$\begin{gathered} S_{{\alpha \beta }}^{\sigma }\left( {\omega ,{\mathbf{x}},{\mathbf{y}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{T \to \infty } \frac{{{{\sigma }_{{\alpha \beta }}}\left( {\omega ,{\mathbf{x}}} \right)\sigma _{{\alpha \beta }}^{*}\left( {\omega ,{\mathbf{y}}} \right)}}{{2\pi \,T}} = \\ \, = \iint\limits_D {\iint\limits_D {\mathop {\lim }\limits_{T \to \infty } \frac{{P(\omega ,\xi )P{\text{*}}(\omega ,\eta )}}{{2\pi T}}{{G}_{{\alpha \beta }}}(\omega ,{\mathbf{x}},\xi G_{{\alpha \beta }}^{*}(\omega ,{\mathbf{y}},\eta )d\xi d}}\eta = \\ \, = \iint\limits_D {\iint\limits_D {{{S}^{P}}(\omega ,\xi ,{\mathbf{\eta }}){{G}_{{\alpha \beta }}}(\omega ,{\mathbf{x}},\xi )G_{{\alpha \beta }}^{*}(\omega ,{\mathbf{y}},\eta )d\xi d\eta }} \\ \end{gathered} $
где $S_{{\alpha \beta }}^{\sigma }\left( {\omega ,{\mathbf{x}},{\mathbf{y}}} \right)$ – функция взаимной спектральной плотности среднеквадратичных напряжений в пластине, а ${{S}^{P}}(\omega ,\xi ,\eta )$ – функция взаимной спектральной плотности звукового давления, описывающая распределение энергии звукового поля по спектру, а также пространственное распределение звукового поля по поверхности пластины. Отметим, что в выражении (3.11) произведение комплексно сопряженных функций ${{G}_{{\alpha \beta }}}(\omega ,{\mathbf{x}},\xi )G_{{\alpha \beta }}^{*}(\omega ,{\mathbf{y}},\eta )$ является объемной функцией влияния ортотропной пластины, позволяющей определить спектральную плотность напряжений в пластине при заданной функции взаимной спектральной плотности звукового давления ${{S}^{P}}(\omega ,\xi ,\eta )$.

Используя выражения (3.9) и (3.10) представим (3.11) в эквивалентном виде, более удобном для дальнейшего анализа:

(3.12)
$\begin{gathered} S_{{\alpha \beta }}^{\sigma }\left( {\omega ,{\mathbf{x}},{\mathbf{y}}} \right) = \iint\limits_D {\iint\limits_D {{{S}^{P}}(\omega ,\xi ,\eta ){{G}_{{\alpha \beta }}}(\omega ,{\mathbf{x}};\xi )G_{{\alpha \beta }}^{*}(\omega ,{\mathbf{y}};\eta )d\xi d\eta }} = \\ \, = \iint\limits_D {\iint\limits_D {{{S}^{P}}(\omega ,\xi ,\eta )\left[ {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{G}_{{\alpha \beta ,n}}}({\mathbf{x}},\xi )}}{{\left( {H(\omega ,{{\Omega }_{n}}) - {{Z}_{{nn}}}} \right)}}\sum\limits_{m = 1}^\infty {\frac{{G_{{\alpha \beta ,m}}^{*}({\mathbf{y}},\eta )}}{{\left( {H(\omega ,{{\Omega }_{m}}) - {{Z}_{{mm}}}} \right){\text{*}}}}} } } \right]d\xi d\eta }} \\ \end{gathered} $

Изменив порядок суммирования и интегрирования в (3.12) и приведем его к виду:

(3.13)
$S_{{\alpha \beta }}^{\sigma }\left( {\omega ,{\mathbf{x}},{\mathbf{y}}} \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\sum\limits_{m = 1}^\infty {\frac{{{{G}_{{\alpha \beta ,n}}}({\mathbf{x}}) \cdot {{G}_{{\alpha \beta ,m}}}({\mathbf{y}}) \cdot J_{{nm}}^{2}(\omega )}}{{\left( {H(\omega ,{{\Omega }_{n}}) - {{Z}_{{nn}}}} \right) \cdot \left( {H(\omega ,{{\Omega }_{m}}) - {{Z}_{{mm}}}} \right){\text{*}}}}} } $
где $J_{{nm}}^{2}(\omega )$ является спектральной плотностью обобщенных сил:

(3.14)
$J_{{nm}}^{2}(\omega ) = \frac{1}{{{{{(\rho h \cdot {{{\left\| {{{w}_{n}}} \right\|}}^{2}})}}^{2}}}}\iint\limits_D {\iint\limits_D {{{S}^{P}}(\omega ,\xi ,\eta ){{w}_{n}}(\xi ){{w}_{m}}(\eta )d\xi d\eta }}$

Из выражения (3.14) следует, что спектральная плотность обобщенных сил зависит от номера моды и частоты, но не зависит от координат пластины и импедансов излучения. Физический смысл спектральной плотности обобщенных сил состоит в том, что она характеризует эффективность преобразования энергии акустической волны в упругие колебания пластины.

Из выражений (3.13) и (3.14) получим следующее соотношение для моментов спектральной плотности $M_{{\alpha \beta }}^{k}\left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{y}}} \right)$, удобное для практического использования:

(3.15)
$\begin{gathered} M_{{\alpha \beta }}^{k}\left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{y}}} \right) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{{\omega }^{k}}} \left[ {\iint\limits_D {\iint\limits_D {{{S}^{P}}(\omega ,\xi ,\eta {{G}_{{\alpha \beta }}}(\omega ,{\mathbf{x}};\xi )G_{{\alpha \beta }}^{*}(\omega ,{\mathbf{y}};\eta )d{\mathbf{\xi }}d\eta }}} \right]d\omega = \\ = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\sum\limits_{m = 1}^\infty {{{G}_{{\alpha \beta ,n}}}({\mathbf{x}}){{G}_{{\alpha \beta ,m}}}({\mathbf{y}}) \cdot I_{{nm}}^{k}} } \\ \end{gathered} $
где в рассмотрение введен частотный интеграл $I_{{nm}}^{k}$, имеющий вид:

(3.16)
$I_{{nm}}^{k} = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{{{\omega }^{k}}J_{{nm}}^{2}(\omega )}}{{\left( {H(\omega ,{{\Omega }_{n}}) - {{Z}_{{nn}}}} \right) \cdot \left( {H(\omega ,{{\Omega }_{m}}) - {{Z}_{{mm}}}} \right){\text{*}}}}d\omega } $

Выражения (3.14)–(3.16), с учетом выражения (3.5), решают задачу определения напряженно-деформированного состояния и долговечности упругой ортотропной пластины на акустическое воздействие с широким спектром с учетом переизлучения звука. Именно эти выражения будут использоваться далее для построения гибридного численно-аналитического метода.

4. Гибридный численно-аналитический метод расчета долговечности. Выражение для моментов спектральной плотности (3.15) зависит от собственных значений ${{\lambda }_{n}}$ и собственных функций ${{w}_{n}}\left( {\mathbf{x}} \right)$. При произвольной геометрии пластины и граничных условий на краях вида (1.7)–(1.10) аналитические выражения в замкнутом виде для ${{\lambda }_{n}}$ и ${{w}_{n}}\left( {\mathbf{x}} \right)$ получить достаточно сложно. В этом случае эффективным методом расчета собственных частот и форм колебаний пластины является метод конечных элементов (МКЭ) [15].

Далее, представим область $D$, занимаемую пластиной, в виде объединения N треугольных областей ${{K}_{l}}$: $D = \bigcup\limits_{l = 1}^N {{{K}_{l}}} $ и предположим, что собственные функции ${{w}_{n}}$ аппроксимируются на каждой треугольной области ${{K}_{l}}$ следующим образом:

(4.1)
$w_{n}^{l}({{{\mathbf{x}}}^{l}}) = {{N}_{k}}({{{\mathbf{x}}}^{l}})q_{{kn}}^{l},\quad k = 1...M$
где $q_{{kn}}^{l}$ – компоненты вектора-столбца обобщенных узловых перемещений l-го элемента, соответствующего n-й моде колебаний, ${{N}_{k}}({{{\mathbf{x}}}^{l}})$- функции формы для прогиба элемента, $M$ – число степеней свободы конечного элемента${{K}_{l}}$.

Тогда с использованием (4.1) получение выражений для вычисления импеданса излучения (3.5), спектральной плотности обобщенных сил (3.14) и нормы собственных функций ${{\left\| {{{w}_{m}}} \right\|}^{2}}$ не вызывает затруднений. Для квадратур Гаусса 5-го порядка [15, 16] получим следующие расчетные выражения:

(4.2)
${{Z}_{{mn}}} = \frac{{{{{\rho }}_{0}}{{{\omega }}^{2}}}}{{{\pi }\,{\rho }h{{{\left\| {{{w}_{m}}} \right\|}}^{2}}{{{\left\| {{{w}_{n}}} \right\|}}^{2}}}}\sum\limits_{i = 1}^N {\sum\limits_{j = 1}^N {\sum\limits_{p = 1}^7 {\sum\limits_{r = 1}^7 {{{\alpha }_{p}}{{\alpha }_{r}}{{N}_{k}}({\mathbf{x}}_{p}^{i}){{N}_{k}}(\xi _{r}^{j})q_{{kn}}^{i}q_{{km}}^{j}{{g}_{0}}(\xi _{r}^{j},{\mathbf{x}}_{p}^{i})\Delta {{s}_{i}}\Delta {{s}_{j}}} } } } $
(4.3)
$J_{{mn}}^{2}({\omega }) = \frac{1}{{{{{\left( {{\rho }h} \right)}}^{2}}{{{\left\| {{{w}_{m}}} \right\|}}^{2}}{{{\left\| {{{w}_{n}}} \right\|}}^{2}}}}\sum\limits_{i = 1}^N {\sum\limits_{j = 1}^N {\sum\limits_{p = 1}^7 {\sum\limits_{r = 1}^7 {{{\alpha }_{p}}{{\alpha }_{r}}{{N}_{k}}({\mathbf{x}}_{p}^{i}){{N}_{k}}(\xi _{r}^{j})q_{{km}}^{j}q_{{kn}}^{i}{{S}^{P}}({\omega },{\mathbf{x}}_{p}^{i},\xi _{r}^{j})\Delta {{s}_{i}}\Delta {{s}_{j}}} } } } $
(4.4)
${{\left\| {{{w}_{n}}} \right\|}^{2}} = \sum\limits_{l = 1}^N {{{\alpha }_{p}}{{{[{{N}_{n}}({\mathbf{x}}_{p}^{l})q_{n}^{l}]}}^{2}}\Delta {{s}_{l}}} $
где $\Delta {{s}_{i}}$ и $\Delta {{s}_{j}}$ – площади элементов ${{K}_{i}}$ и ${{K}_{j}}$ соответственно, ${{\alpha }_{p}},{{\alpha }_{r}}$ – коэффициенты квадратур Гаусса, ${\mathbf{x}}_{p}^{i}$ и $\xi _{r}^{j}$ – координаты точек интегрирования в элементах ${{K}_{i}}$ и ${{K}_{j}}$ соответственно, ${{S}^{P}}({\omega },{\mathbf{x}}_{p}^{i},\xi _{r}^{j})$ – значения функции взаимной спектральной плотности в узлах элементов ${{K}_{i}}$ и ${{K}_{j}}$.

Вычисление частотного интеграла (3.15) проводится по конечному интервалу частот $\left[ { - {{\Omega }_{\infty }},{{\Omega }_{\infty }}} \right]$ с использованием квадратурных формул Симпсона [16], что приводит следующему выражению:

(4.5)
$\begin{gathered} \tilde {I}_{{nm}}^{k} = \frac{h}{3}\sum\limits_{j = 1}^{2{\text{N}}} {\frac{{{{\beta }_{j}} \cdot \omega _{j}^{k} \cdot S({{\omega }_{j}}) \cdot J_{{nm}}^{2}({{\omega }_{j}})}}{{\left( {H({{\omega }_{j}},{{\Omega }_{n}}) - {{Z}_{{nn}}}({{\omega }_{j}})} \right) \cdot \left( {H({{\omega }_{j}},{{\Omega }_{m}}) - {{Z}_{{mm}}}({{\omega }_{j}})} \right){\text{*}}}}} \\ {{\omega }_{j}} = {{\omega }_{0}} + jh,\quad h = {{\left( {{{\omega }_{{2{\text{N}}}}} - {{\omega }_{0}}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {{{\omega }_{{2{\text{N}}}}} - {{\omega }_{0}}} \right)} {\left( {2{\text{N}}} \right)2}}} \right. \kern-0em} {\left( {2{\text{N}}} \right)2}},\quad {{\omega }_{{2N}}} = {{\Omega }_{\infty }},\quad {{\omega }_{0}} = - {{\Omega }_{\infty }} \\ {{\beta }_{0}} = {{\beta }_{{2{\text{N}}}}} = 1,\quad {{\beta }_{j}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2,\quad j = 2n} \\ {4,\quad j = 2n + 1} \end{array}} \right.,\quad n \in \mathbb{N} \\ \end{gathered} $
где N – число интервалов, на которые разбивается расчетная область, а ${{\Omega }_{\infty }}$ – граничная частота рассматриваемого диапазона частот.

Для вычисления моментов спектральной плотности $M_{{\alpha \beta }}^{k}\left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{y}}} \right)$ с помощью выражения (3.15) необходимо построить конечно-элементную аппроксимацию для функций ${{G}_{{ij,n}}}({\mathbf{x}},\xi )$ с помощью дифференциальных операторов $\partial _{x}^{{(ij)}}\left[ {{{w}_{n}}({\mathbf{x}})} \right]$ в (3.10). Для этого с помощью (4.1) запишем выражения для операторов (3.10) в отдельном элементе ${{K}_{l}}$ в виде:

(4.6)
$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\partial _{x}^{{(11)}}} \\ {\partial _{x}^{{(22)}}} \\ {\partial _{x}^{{(12)}}} \end{array}} \right] = \pm \frac{6}{{{{h}^{2}}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{D}_{{11}}}}&{{{D}_{{12}}}}&0 \\ {{{D}_{{12}}}}&{{{D}_{{22}}}}&0 \\ 0&0&{2{{D}_{{66}}}} \end{array}} \right] \cdot {{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{{\partial }^{2}}{{N}_{k}}({{{\mathbf{x}}}^{l}})}}{{\partial x_{1}^{2}}},}&{\frac{{{{\partial }^{2}}{{N}_{k}}({{{\mathbf{x}}}^{l}})}}{{\partial x_{2}^{2}}},}&{\frac{{{{\partial }^{2}}{{N}_{k}}({{{\mathbf{x}}}^{l}})}}{{\partial x_{1}^{{}}\partial x_{2}^{{}}}}} \end{array}} \right]}^{{\text{T}}}}q_{{kn}}^{l}$

Входящие в выражение (4.6) вторые производные от функции формы определяют распределение напряжений в отдельном конечном элементе ${{K}_{l}}$ для n-й собственной функции. Суммирование по всем элементам $l = 1...N$ позволяет получить распределение напряжений во всей пластине для каждой собственной функции ${{w}_{n}}\left( {\mathbf{x}} \right)$. Из выражения (4.6) следует, что распределение напряжений в рассматриваемой пластине явно зависит от точности аппроксимации второй производной для рассматриваемого конечного элемента, поэтому в данной работе для расчета прогибов ${{w}_{n}}\left( {\mathbf{x}} \right)$ использовались треугольные BCIZ – элементы [15], а для расчета среднеквадратичных напряжений треугольные DKT – элементы [17]. При расчете также учитывалось, что спектральная плотность обобщенных сил имеет наибольшее значение при $m = n$ [13], и расчет долговечности проводится в точке ${\mathbf{x}}$, где напряжения достигают максимальных значений.

Таким образом, выражения (4.2)–(4.5) позволяют вычислить частотный интеграл (3.16), а выражение (4.6) момент спектральной плотности k-порядка (3.15), на основе которых проводится расчет долговечности по различным методикам (2.1)–(2.4).

Верификация рассмотренного гибридного численно-аналитического метода проводилась для допускающего точное решение случая прямоугольной выполненной из стеклопластика ортотропной шарнирно-опертой по периметру пластины размером 500 × 100 мм толщиной 1 мм. Расчеты, выполненные в [7, 18] для полностью коррелированного поля, дельта-коррелированного поля, поля с конечными масштабами корреляции и диффузного полей, показали, что для сеток, состоящих из 800, 840 и 1600 элементов, точность расчетов напряженно-деформированного состояния в точке максимальных напряжений составляет не ниже 5%, а точность расчета долговечности – не ниже 10% для всех рассмотренных типов распределений звукового поля, конечно-элементных сеток и методик расчета долговечности.

5. Долговечность ортотропной полигональной пластины. Далее представлены результаты расчета спектральной плотности среднеквадратичных напряжений и долговечности для полигональной пластины неканонической формы, подвергающихся воздействию диффузного звукового поля с широким спектром, для которого функция взаимной спектральной плотности звукового давления ${{S}^{P}}(\omega ,\xi ,\eta )$ имеет вид [7, 18]:

(5.1)
$\begin{gathered} {{S}^{P}}(\omega ,\xi ,\eta ) = {{S}^{P}}(\omega ) \cdot F(\omega ,\xi ,\eta ) \\ {{S}^{P}}(\omega ) = {{Ф}_{0}}{{\left( {{\omega \mathord{\left/ {\vphantom {\omega {\omega {\text{*}}}}} \right. \kern-0em} {\omega {\text{*}}}}} \right)}^{2}}\exp [ - {{\left( {{\omega \mathord{\left/ {\vphantom {\omega {\omega {\text{*}}}}} \right. \kern-0em} {\omega {\text{*}}}}} \right)}^{2}}] \\ F(\omega ,\xi ,\eta ) = \frac{{\sin \left( {k\left( {{{\xi }_{1}} - {{\eta }_{1}}} \right)} \right)}}{{k\left( {{{\xi }_{1}} - {{\eta }_{1}}} \right)}} \cdot \frac{{\sin \left( {k\left( {{{\xi }_{2}} - {{\eta }_{2}}} \right)} \right)}}{{k\left( {{{\xi }_{2}} - {{\eta }_{2}}} \right)}} \\ k = {\omega \mathord{\left/ {\vphantom {\omega {{{c}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{c}_{0}}}},\quad {{\Phi }_{0}} = \frac{4}{{\omega {\text{*}}\sqrt \pi }}p_{0}^{2} \cdot {{10}^{{{{SPL} \mathord{\left/ {\vphantom {{SPL} {10}}} \right. \kern-0em} {10}}}}} \\ \end{gathered} $
где ${{S}^{P}}(\omega )$ – спектр мощности звукового поля, ω* – характеристическая частота, на которой достигается максимум, SPL – суммарный уровень шума в дБ, $F(\omega ,\xi ,\eta )$ – функция, определяющая пространственную структуру диффузного звукового поля на поверхности пластины [7, 14], и $p_{0}^{{}}$ опорное давление, равное 20 мкПа.

Геометрия пластины в плане представлена на рис. 2, координаты вершин пластины имели следующие значения: ${{K}_{1}}\left( {0.0,\,\,0.0} \right)$, ${{K}_{2}}\left( {0.03,\,\,0.1} \right)$, ${{K}_{3}}\left( {0.48,\,\,0.2} \right)$, ${{K}_{4}}\left( {0.5,\,\,0.0} \right)$, края ${{L}_{1}}$ и ${{L}_{3}}$ предполагались шарнирно-опертыми, край ${{L}_{2}}$ – свободный, а край ${{L}_{4}}$ – защемленный. Пластина была выполнена из стеклопластика толщиной 4 мм, и при дискретизации была разбита на 3500 конечных элементов (1836 узлов).

Рис. 2

Расчеты проводились для характеристической частоты $\omega {\text{*}} = 10{{\omega }_{0}}$, где ${{\omega }_{0}}$ первая собственная частота колебаний пластины, частотный диапазон располагался от 10 Гц до 1 кГц, а суммарный уровень шума предполагался равным 140 дБ. При расчете рассматривалось 11 форм колебаний пластины, а постоянная конструкционного демпфирования принималась равной ${\delta } = 0.017 \cdot {{{\omega }}_{{11}}}$. Механические и усталостные характеристики рассматриваемого материала были следующими [19]: ${{E}_{{11}}}$ = 5620 МПа; ${{E}_{{22}}}$  =  4 590 МПа; ${{{\mu }}_{{11}}}$ = 0.22; ${{G}_{{12}}}$ = 2330 МПа; ${\rho }$ = 1860 кг/м3; ${{m}_{{11}}}$ = 7.042; ${{10}^{{\gamma }}}$ = = 47.635 $({\gamma } = {\text{A}}_{{{\text{Veler}}}}^{{11}})$; ${{m}_{{11}}}$ = 7.042; ${{10}^{{\theta }}}$ = 47.325 $(\theta = {\text{A}}_{{{\text{Veler}}}}^{{22}})$ и ${{\omega }_{0}} = {\text{379}}{\text{.8186}}$ с–1.

На рис. 3 и 4 представлен выраженный в секундах расчет долговечности пластины ${{{\text{T}}}_{{11}}}$ и ${{{\text{T}}}_{{22}}}$ вдоль защемленного края L4 при ${{x}_{2}} = 0.01$ мм, выполненный с помощью четырех методик для компонент напряжений $\left\langle {{{{\sigma }}_{{11}}}} \right\rangle $ и $\left\langle {{{{\sigma }}_{{22}}}} \right\rangle $ соответственно. Из рис. 3 и 4 следует, что для обеих компонент напряжений максимальное значение долговечности наблюдается для расчета, выполненного с помощью метода Ковалевски (кривая 3), а минимальное – с помощью метода Болотина (кривая 2). Расчеты, выполненные с помощью метода Райхера (кривая 4) и метода пересечений (кривая 1), носят близкие значения. На шарнирно-опертых краях пластины ${{L}_{1}}$ и ${{L}_{3}}$ долговечность имеет максимальные значения, что обусловлено минимальными значениями изгибающих моментов, и, как следствие, напряжений [7, 8].

Рис. 3
Рис. 4

На рис. 5 представлено сравнение выраженной в секундах долговечности ${{{\text{T}}}_{{22}}}$ в точке максимальных напряжений ${{K}_{{MAX}}}\left( {0.3,0.0} \right)$ с учетом и без учета переизлучения звука в зависимости от числа учитываемых форм колебаний для методик Болотина и Ковалевски.

Рис. 5

Кривые 1 и 2 на рис. 5 соответствует методике Болотина для случаев без учета переизлучения и с учетом переизлучения звука соответственно, а кривые 3 и 4 соответствуют методике Ковалевски также для случаев без учета переизлучения и с учетом переизлучения звука соответственно. Как следует из графиков, для метода Болотина увеличение числа рассматриваемых форм колебаний приводит, как и ожидалось, к уменьшению долговечности примерно на порядок. Однако для методики Ковалевски наблюдается иная картина – увеличение числа рассматриваемых форм колебаний пластины приводит к увеличению долговечности, начиная с 7 формы. Это приводит к тому, что при учете 1 формы колебаний разница между вычисленными значениями долговечности для методик Болотина и Ковалевски составляла два порядка, а при учете 9 форм колебаний уже 3 порядка. Отметим, что для метода пересечений и метода Райхера зависимость долговечности от числа учитываемых мод имеет вид, аналогичный методике Болотина.

Заключение. Расчет долговечности ортотропной полигональной пластины с комбинированными условиями закрепления, выполненный с помощью четырех различных методов для диффузного распределения звукового поля продемонстрировал, что увеличение числа учитываемых форм колебаний пластины приводит к уменьшению долговечности, как и учет переизлучения звука пластиной.

Использование различных методик расчета долговечности позволяют установить минимальные и максимальные значения долговечности пластины, причем минимальные значения долговечности имеют место для метода Болотина, а максимальные – для метода Ковалевски.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ (код проекта № 18-08-01153 А).

Список литературы

  1. Miles J.W. On Structural Fatigue Under Random Loading // Journal of the Aeronautical Sciences. 1954. V. 21. №. 11. P. 753–762.

  2. Powell A. On the Fatigue Failure of Structure due to the Vibration Excited by Random Pressure Fields // Journal Acoustic Society of America. 1958. V. 30. P. 1130–1135.

  3. Clarkson B.L. The design of Structures to Resist Jet Noise Fatigue // Journal Royal Aeronautic Society. 1962. V. 66. No. 622. P. 603–616.

  4. Ballentine J.R. et al. Refinement of Sonic Fatigue Structural Design Criteria // Jan. 1968. AFFDL-TR-67-156, Air Force Dynamics Laboratory, Wright-Patterson Air Force Base, Ohio. P. 232.

  5. Бажанов В.Л., Гольденблат И.И., Копнов В.А., Поспелов А.Д., Синюков А.М. Пластинки и оболочки из стеклопластиков. М.: “Высшая школа”, 1970. 408 с.

  6. Рытов С.М., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику. Часть II. Случайные поля. М.: Наука, 1978. 463 с.

  7. Медведский А.Л., Копьев В.Ф., Остриков Н.Н., Денисов С.Л. Влияния акустического излучения крупномасштабных когерентных структур типа волн неустойчивости на отклик и долговечность полигональных ортотропных пластин // XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, Уфа, 2019. С. 225–232.

  8. Плахов Д.Д. Прохождение акустической волны сквозь многослойную пластину, подкрепленную ребрами жесткости // Акустический журнал, 1967. Т. 13. № 4. С. 597–603.

  9. Шендеров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 348 с.

  10. Lee Yung-Li, Pan Jwo, Hathaway R.B., Barkley M.E. Fatigue Testing and Analysis (Theory and Practice), ELSEVIER, 2005. P.402.

  11. Болотин В.В. Случайные колебания упругих систем. М.: Наука. 1979. 335 с.

  12. Райхер В.Л. Гипотеза спектрального суммирования и ее применение для определения усталостной долговечности при действии случайных нагрузок // Труды ЦАГИ. 1969. Вып. 1134. 40 с.

  13. Мунин А.Г., Квитка В.Е. Авиационная акустика. М.: Машиностроение, 1973. 437 с.

  14. Горшков А.Г., Медведский А.Л., Рабинский Л.Н., Тарлаковский Д.В. Волны в сплошных средах. М.: Физматлит, 2004. 472 с.

  15. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The Finite Element Method. Vol. 2: Solid Mechanics. Fifth edition published by Butterworth/Heinemann, 2000. P. 478.

  16. Мэтьюз Д.Г., Финк К.Д. Численные методы. Использование Matlab. Третье издание. Издательский дом “Вильямс”, 2001. 713 с.

  17. Белкин А.Е., Гаврюшин С.С. Расчет пластин методом конечных элементов: Учеб. пособ. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. 232 с.

  18. Денисов С.Л., Медведский А.Л. Разработка и верификация численно-аналитического метода расчета отклика пластин на широкополосное акустическое воздействие // Электронный журнал “Труды МАИ”. 2016. Вып. 91, www.mai.ru/science/trudy

  19. Моваггар А.Н., Львов Г.И. Экспериментальное исследование усталостной прочности стекловолоконного композита СТЭФ-1 // Проблемы прочности, 2012. № 2. С. 145–155.

Дополнительные материалы отсутствуют.