Известия РАН. Механика твердого тела, 2020, № 6, стр. 101-110

О ВЛИЯНИИ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ НА ПАВ В ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННЫХ СЕГНЕТОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ГЕТЕРОСТРУКТУРАХ

Т. И. Белянкова a, В. В. Калинчук a*

a Южный научный центр РАН
Ростов-на-Дону, Россия

* E-mail: vkalin415@mail.ru

Поступила в редакцию 20.04.2020
После доработки 30.04.2020
Принята к публикации 15.05.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

Предложен подход к моделированию сегнетоэлектрической гетероструктуры с предварительно напряженным покрытием, выполненным из двухкомпонентного функционально-градиентного материала. В качестве материалов покрытия рассмотрены различные виды керамик на основе PZT с близкими значениями упругих модулей и значительным различием пьезоэлектрических и диэлектрических параметров. Начально-деформированное состояние (НДС) покрытия вызвано действием электрического поля и одноосным механическим растяжением. На примере задачи о распространении sh-волн исследовано влияние начального электростатического поля на особенности распространения ПАВ при различных соотношениях параметров материалов покрытия и характера локализации неоднородности

Ключевые слова пьезоэлектрическая структура, начальные напряжения, напряженность начального электрического поля, функционально-градиентный пьезоэлектрический материал (ФГПМ), поверхностные акустические волны (ПАВ)

1. Введение. Основы создания акустоэлектронных устройств были заложены в [15]. Особенности технологии получения новых типов сегнетоэлектрических структур из керамики с переменными свойствами или кристаллических пленок приводят к появлению деформаций, изменяющих физические свойства исходных материалов. В работах [68] построены линеаризованные определяющие соотношения динамики предварительно напряженной электро- [6, 7] и электротермоупругой [8] сред при наличии внешних электрических полей. Влияние электростатического поля на процессы распространения акустических волн в кристаллических пластинах рассмотрены в статьях [5, 9]. В работе [10] на примере структур “пьезоэлектрический кристалл/изотропная подложка” и “изотропный слой/пьезоэлектрическая подложка” исследовано влияние электростатического поля на параметры дисперсии и анизотропию распространения волн Рэлея и Лява. Особенности распространения сдвиговых волн в слоистых преднапряженных средах рассмотрены в [1115]. Изучено влияние начальных напряжений на скорости распространения волн Лява и Гуляева–Блюстейна [1114]. Исследованы процессы распространения волн в функционально-градиентных пьезоактивных средах, параметры которых допускают построение аналитического решения [1518]. В работе [19] исследованы особенности распространения sh-волн в зависимости от физических свойств покрытия, локализации неоднородности и величины зоны перехода одного материала покрытия в другой. В статьях [2023] использована обобщенная модель преднапряженной сегнетоэлектрической структуры, состоящей из однородного полупространства с неоднородным покрытием. Оно моделируется либо слоем из ФГПМ, либо пакетом однородных или неоднородных слоев [21, 22]. В работе [20] исследовано влияние характера, интенсивности и области локализации неоднородности на распространение ПАВ. В настоящей работе в рамках модели сегнетоэлектрической гетероструктуры с преднапряженным функционально-градиентным покрытием исследовано влияние начального электростатического поля и начальных деформаций на скорости ПАВ с учетом характера неоднородности и ее локализации.

2. Постановка задачи. Рассматривается задача о распространении в направлении ${{x}_{1}}$ sh-волн по поверхности составной пьезоактивной среды, представляющей собой однородное полупространство ${{x}_{2}} \leqslant 0$, $\left| {{{x}_{1}}} \right|,\left| {{{x}_{3}}} \right| \leqslant \infty $ с покрытием $0 < {{x}_{2}} \leqslant H$, изменение свойств которого определено выражениями:

(2.1)
${{\rho }^{{\left( 1 \right)}}} = \rho _{0}^{{}}f_{\rho }^{{\left( 1 \right)}}\left( {{{x}_{2}}} \right),\quad c_{{ij}}^{{\left( 1 \right)}} = c_{{ij}}^{0}f_{c}^{{\left( 1 \right)}}\left( {{{x}_{2}}} \right),\quad e_{{ij}}^{{\left( 1 \right)}} = e_{{ij}}^{0}f_{e}^{{\left( 1 \right)}}\left( {{{x}_{2}}} \right),\quad \varepsilon _{{ij}}^{{\left( 1 \right)}} = \varepsilon _{{ij}}^{0}f_{\varepsilon }^{{\left( 1 \right)}}\left( {{{x}_{2}}} \right)$
${{\rho }_{0}}$, $с_{{ij}}^{0}$, $e_{{ij}}^{0}$, $\varepsilon _{{ij}}^{0}$ – соответственно плотность и упругие, пьезоэлектрические и диэлектрические модули материала полупространства, в качестве которого использован пьезоэлектрик класса 6 mm с осью симметрии направленной вдоль оси ${{x}_{3}}$, векторы поляризации полупространства и покрытия совпадают. НДС покрытия однородно и наводится за счет действия начальных механических напряжений и однородного электростатического поля [68]:

(2.2)
${\mathbf{R}} = {\mathbf{r}} \cdot {\mathbf{\Lambda }},\quad {\mathbf{G}} = {\mathbf{\Lambda }} \cdot {{{\mathbf{\Lambda }}}^{{\text{т}}}}{\text{,}}\quad {\mathbf{\Lambda }} = {{\delta }_{{ij}}}{{{v}}_{i}}{{{\mathbf{r}}}_{i}}{{{\mathbf{r}}}_{j}},\quad {{\varphi }_{0}} = - {{{\mathbf{E}}}_{0}} \cdot {\mathbf{R}},\quad {{{v}}_{i}} = {\text{const}}$

Здесь R, r – радиус-векторы точки среды в НДС и естественном состоянии (ЕС), соответственно, ${{{v}}_{i}} = 1 + {{\delta }_{i}}$, ${{\delta }_{i}}$ – главные относительные удлинения, ${{\delta }_{{ij}}}$ – символ Кронекера, ${{\varphi }_{0}}$ – электрический потенциал, E0 – напряженность электрического поля в НДС.

Колебания среды вызваны действием удаленного источника, характер колебаний – гармонический, режим – установившийся, динамический процесс удовлетворяет условиям

(2.3)
${{u}_{1}}^{{\left( n \right)}} = {{u}_{2}}^{{\left( n \right)}} = 0,\quad {\partial \mathord{\left/ {\vphantom {\partial {\partial {{x}_{3}}}}} \right. \kern-0em} {\partial {{x}_{3}}}} = 0,\quad {{u}_{k}}^{{\left( n \right)}} = u_{k}^{{\left( n \right)}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}),\quad k = 3,4,\quad n = 1,2$

Задача о распространении ПАВ в составной преднапряженной электроупругой среде с металлизированной поверхностью описывается уравнениями [68] (${{{\mathbf{\Theta }}}^{{(1)}}} = {{{\mathbf{\Pi }}}^{{(1)}}}$ + + m(1)):

(2.4)
${{\nabla }_{0}} \cdot {{{\mathbf{\Theta }}}^{{\left( n \right)}}} = \rho _{0}^{{\left( n \right)}}{{{\mathbf{\ddot {u}}}}^{{{\mathbf{e}}\left( n \right)}}},\quad {{\nabla }_{0}} \cdot {{{\mathbf{d}}}^{{\left( n \right)}}} = 0$
с граничными условиями на поверхности:
(2.5)
${\mathbf{n}} \cdot {{{\mathbf{\Theta }}}^{{(1)}}} = 0,\quad {{\varphi }^{{(1)}}} = 0$
на границе раздела сред:
(2.6)
${{{\mathbf{u}}}^{{\mathbf{e}}}}^{{(1)}} = {{{\mathbf{u}}}^{{\mathbf{e}}}}^{{(2)}},\quad {\mathbf{n}} \cdot {{{\mathbf{\Theta }}}^{{(1)}}} = {\mathbf{n}} \cdot {{{\mathbf{\Theta }}}^{{(2)}}},\quad {\mathbf{n}} \cdot {{{\mathbf{d}}}^{{(1)}}} = {\mathbf{n}} \cdot {{{\mathbf{d}}}^{{(2)}}}$
на бесконечности:

(2.7)
${{\left. {{{{\mathbf{u}}}^{{\mathbf{e}}}}^{{(2)}}} \right|}_{{{{x}_{2}} \to - \infty }}} \to 0$

Здесь ${{\nabla }_{0}}$ – оператор Гамильтона, ${{{\mathbf{u}}}^{{\mathbf{e}}}}^{{(n)}} = \{ u_{3}^{{(n)}},u_{4}^{{(n)}} = {{\varphi }^{{\left( n \right)}}}\} $ – расширенный вектор перемещений, φ(n) – электрический потенциал, n – вектор внешней нормали к поверхности структуры в системе координат, связанной с ЕС; $\rho _{0}^{{\left( n \right)}}$ – плотность материала n – составляющей в ЕС (n = 1, 2 – покрытие и полупространство); $\Delta $ – оператор Лапласа. Компоненты линеаризованных тензоров напряжений Пиолы ${{{\mathbf{\Pi }}}^{{\left( n \right)}}}$, Пиолы–Максвелла m(n) и “материального” вектора индукции d(n) [68] представляются в виде

$\begin{gathered} \Theta _{{lk}}^{{\left( n \right)}} = \Pi _{{lk}}^{{\left( n \right)}} + m_{{lk}}^{{\left( n \right)}},\quad \Pi _{{lk}}^{{\left( n \right)}} = c_{{lksp}}^{{\left( n \right)*}}u_{{s,p}}^{{\left( n \right)}} + e_{{lkp}}^{{\left( n \right)*}}\varphi _{{,p}}^{{\left( n \right)}}, \\ m_{{lk}}^{{\left( n \right)}} = \zeta _{{lksp}}^{{\left( n \right)*}}u_{{s,p}}^{{\left( n \right)}} + \psi _{{lkp}}^{{\left( n \right)*}}\varphi _{{,p}}^{{\left( n \right)}},\quad d_{l}^{{\left( n \right)}} = g_{{lsp}}^{{\left( n \right)*}}u_{{s,p}}^{{\left( n \right)}} - \eta _{{lp}}^{{\left( n \right)*}}\varphi _{{,p}}^{{\left( n \right)}} \\ \end{gathered} $

Для преднапряженного покрытия вид коэффициентов $c_{{lksp}}^{{\left( 1 \right)*}}$, $e_{{lsp}}^{{\left( 1 \right)*}}$, $g_{{lsp}}^{{\left( 1 \right)*}}$, $\eta _{{lp}}^{{\left( 1 \right)*}}$ приведен в [7, 8].

Для однородного материала подложки в ЕС выполняются соотношения:

$c_{{lksp}}^{{\left( 2 \right)*}} = c_{{lksp}}^{{\left( 2 \right)}},\quad e_{{lsp}}^{{\left( 2 \right)*}} = g_{{lsp}}^{{\left( 2 \right)*}} = e_{{lsp}}^{{\left( 2 \right)}},\quad \eta _{{lp}}^{{\left( 2 \right)*}} = \varepsilon _{{lp}}^{{\left( 2 \right)}} = {{\varepsilon }_{0}}{{\delta }_{{lp}}} + \beta _{{lp}}^{{\left( 2 \right)}}$

Далее для удобства изложения используем более компактное представление тензора напряжений и вектора индукции:

$\Theta _{{lk}}^{{\left( n \right)}} = \theta _{{lksp}}^{{\left( n \right)}}u_{{s,p}}^{{\left( n \right)}} + \,\,\theta _{{lksp}}^{{\left( n \right)}}\varphi _{{,p}}^{{\left( n \right)}},\quad d_{l}^{{\left( n \right)}} = \theta _{{l4sp}}^{{\left( n \right)}}u_{{s,p}}^{{\left( n \right)}} + \theta _{{l44}}^{{\left( n \right)}}\varphi _{{,p}}^{{\left( n \right)}}$
с обозначениями:

$\theta _{{lksp}}^{{\left( n \right)}} = c_{{lksp}}^{{\left( n \right)*}} + \xi _{{lksp}}^{{\left( n \right)*}},\,\,\,\,\theta _{{lk4p}}^{{\left( n \right)}} = e_{{lkp}}^{{\left( n \right)*}} + \psi _{{lkp}}^{{\left( n \right)*}},\,\,\,_{{l4sp}}^{{\left( n \right)}} = п_{{lsp}}^{{\left( n \right)*}},\,\,\,\theta _{{l44p}}^{{\left( n \right)}} = - \eta _{{lp}}^{{\left( n \right)*}},\quad k,l,s,p = 1,2,3$

С учетом выражений (2.1) и (2.3) задача (2.4)–(2.7) о колебаниях составной электроупругой среды с предварительно напряженным неоднородным покрытием имеет вид [1921, 23]:

(2.8)
$\begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{k = 1}^2 {[\theta _{{k33k}}^{{\left( 1 \right)}}u_{{3,kk}}^{{\left( 1 \right)}} + \theta _{{k34k}}^{{\left( 1 \right)}}u_{{4,kk}}^{{\left( 1 \right)}}]} + \sum\limits_{k = 3}^4 {\theta _{{23k2,2}}^{{\left( 1 \right)}}u_{{k,2}}^{{\left( 1 \right)}}} = {{\rho }^{{\left( 1 \right)}}}\frac{{{{\partial }^{2}}u_{3}^{{\left( 1 \right)}}}}{{\partial {{t}^{2}}}},\,\,\,\,0 < {{x}_{2}} \leqslant H:} \\ {\sum\limits_{k = 1}^2 {[\theta _{{k43k}}^{{\left( 1 \right)}}u_{{3,kk}}^{{\left( 1 \right)}} + \theta _{{k44k}}^{{\left( 1 \right)}}u_{{4,kk}}^{{\left( 1 \right)}}]} + \sum\limits_{k = 3}^4 {\theta _{{24k2,2}}^{{\left( 1 \right)}}u_{{k,2}}^{{\left( 1 \right)}}} = 0} \end{array}$
(2.9)
$\begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{k = 1}^2 {[\theta _{{k33k}}^{{\left( 2 \right)}}u_{{3,kk}}^{{\left( 2 \right)}} + \theta _{{k34k}}^{{\left( 2 \right)}}u_{{4,kk}}^{{\left( 2 \right)}}]} = {{\rho }^{{\left( 2 \right)}}}\frac{{{{\partial }^{2}}u_{3}^{{\left( 2 \right)}}}}{{\partial {{t}^{2}}}},\,\,\,{{x}_{2}} \leqslant 0:} \\ {\sum\limits_{k = 1}^2 {[\theta _{{k43k}}^{{\left( 2 \right)}}u_{{3,kk}}^{{\left( 2 \right)}} + \theta _{{k44k}}^{{\left( 2 \right)}}u_{{4,kk}}^{{\left( 2 \right)}}]} = 0} \end{array}$

С граничными условиями:

(2.10)
$\Theta _{{23}}^{{\left( 1 \right)}}\left| {_{{{{x}_{2}} = H}}} \right. = \sum\limits_{k = 3}^4 {[\theta _{{23k2}}^{{\left( 1 \right)}}u_{{k,2}}^{{\left( 1 \right)}}]} \left| {_{{{{x}_{2}} = H}}} \right. = 0$
(2.11)
${{\left. {u_{4}^{{\left( 1 \right)}}} \right|}_{{{{x}_{2}} = H}}} = 0$
(2.12)
${{\left. {{{{\mathbf{u}}}^{e}}^{{\left( 1 \right)}}} \right|}_{{{{x}_{2}} = 0}}} = {{\left. {{{{\mathbf{u}}}^{e}}^{{\left( 2 \right)}}} \right|}_{{_{{{{x}_{2}} = 0}}}}},\quad {{\left. {\Theta _{{23}}^{{(1)}}} \right|}_{{{{x}_{2}} = 0}}} = {{\left. {\Theta _{{23}}^{{(2)}}} \right|}_{{{{x}_{2}} = 0}}},\quad {{\left. {d_{2}^{{(1)}}} \right|}_{{{{x}_{2}} = 0}}} = {{\left. {d_{2}^{{(2)}}} \right|}_{{{{x}_{2}} = 0}}}$
(2.13)
${{\left. {{{{\mathbf{u}}}^{{\mathbf{e}}}}^{{(2)}}} \right|}_{{{{x}_{2}} \to - \infty }}} \to 0$

В рамках предположений (2.2), участвующие в (2.8)–(2.10) коэффициенты $\theta _{{lksp}}^{{\left( n \right)}}$ имеют вид:

$\begin{gathered} \theta _{{1331}}^{{\left( 1 \right)}} = c_{{44}}^{{\left( 1 \right)}}{v}_{3}^{2} + {{P}_{{11}}} - {{\varepsilon }_{0}}\frac{{{{{v}}_{2}}{{{v}}_{3}}}}{{{{{v}}_{1}}}}E_{3}^{2},\quad \theta _{{2332}}^{{\left( 1 \right)}} = c_{{44}}^{{\left( 1 \right)}}{v}_{3}^{2} + {{P}_{{22}}} - {{\varepsilon }_{0}}\frac{{{{{v}}_{1}}{{{v}}_{3}}}}{{{{{v}}_{2}}}}E_{3}^{2} \\ \theta _{{1341}}^{{\left( 1 \right)}} = \theta _{{1431}}^{{\left( 1 \right)}} = e_{{15}}^{{\left( 1 \right)}}{v}_{3}^{{}} - {{\varepsilon }_{0}}\frac{{{{{v}}_{2}}{{{v}}_{3}}}}{{{{{v}}_{1}}}}E_{3}^{{}},\quad \theta _{{2342}}^{{\left( 1 \right)}} = \theta _{{2432}}^{{\left( 1 \right)}} = e_{{15}}^{{\left( 1 \right)}}{v}_{3}^{{}} - {{\varepsilon }_{0}}\frac{{{{{v}}_{1}}{{{v}}_{3}}}}{{{{{v}}_{2}}}}E_{3}^{{}} \\ \theta _{{1441}}^{{\left( 1 \right)}} = - {{\varepsilon }_{0}}\frac{{{{{v}}_{2}}{{{v}}_{3}}}}{{{{{v}}_{1}}}} - \beta _{{11}}^{{\left( 1 \right)}},\quad \theta _{{2442}}^{{\left( 1 \right)}} = - {{\varepsilon }_{0}}\frac{{{{{v}}_{1}}{{{v}}_{3}}}}{{{{{v}}_{2}}}} - \beta _{{11}}^{{\left( 1 \right)}},\quad {{\beta }_{{kn}}} = {{\varepsilon }_{{kn}}} - {{\varepsilon }_{0}}{{\delta }_{{kn}}},\quad {{E}_{k}} = {{{v}}_{k}}{{W}_{k}} \\ \end{gathered} $
$\theta _{{lksp}}^{{\left( 2 \right)}} = c_{{lksp}}^{{\left( 2 \right)}},\quad \theta _{{lk4p}}^{{\left( 2 \right)}} = e_{{plk}}^{{\left( 2 \right)}},\quad \theta _{{l4sp}}^{{\left( 2 \right)}} = e_{{lsp}}^{{\left( 2 \right)}},\quad \theta _{{l44p}}^{{\left( 2 \right)}} = - \varepsilon _{{lp}}^{{\left( 2 \right)}}$

Компоненты Pij тензора начальных напряжений Кирхгофа и тензора деформаций ${\mathbf{S}}$ определяются выражениями [68]:

${\mathbf{P}} = {{P}_{{ij}}}{{{\mathbf{i}}}_{i}}{{{\mathbf{i}}}_{j}},\quad {{P}_{{ij}}} = с_{{ijkk}}^{{\left( 1 \right)}}{{S}_{k}} - e_{{ijk}}^{{\left( 1 \right)}}{{W}_{k}},\quad {\mathbf{S}} = {{S}_{k}}{{{\mathbf{i}}}_{k}}{{{\mathbf{i}}}_{k}},\quad {{S}_{k}} = {{({v}_{k}^{2} - 1)} \mathord{\left/ {\vphantom {{({v}_{k}^{2} - 1)} 2}} \right. \kern-0em} 2}$

Для дальнейших исследований используются безразмерные параметры [1923]: l' = l/H, ρ'(n) = ρ(n)(2), $c_{{ij}}^{{'\left( n \right)}} = {{c_{{ij}}^{{\left( n \right)}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{c_{{ij}}^{{\left( n \right)}}} {c_{{44}}^{{\left( 2 \right)}}}}} \right. \kern-0em} {c_{{44}}^{{\left( 2 \right)}}}}$, $e_{{ij}}^{{'\left( n \right)}} = {{e_{{ij}}^{{\left( n \right)}}\xi } \mathord{\left/ {\vphantom {{e_{{ij}}^{{\left( n \right)}}\xi } {c_{{44}}^{{\left( 2 \right)}}}}} \right. \kern-0em} {c_{{44}}^{{\left( 2 \right)}}}}$, $\varepsilon _{{ij}}^{{'\left( n \right)}} = {{\varepsilon _{{ij}}^{{\left( n \right)}}{{\varepsilon }^{{\left( 0 \right)}}}{{\xi }^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\varepsilon _{{ij}}^{{\left( n \right)}}{{\varepsilon }^{{\left( 0 \right)}}}{{\xi }^{2}}} {c_{{44}}^{{\left( 2 \right)}}}}} \right. \kern-0em} {c_{{44}}^{{\left( 2 \right)}}}}$, φ'(n) = φ(n)/(ξH), $E_{k}^{'} = {{{{E}_{k}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{E}_{k}}} \xi }} \right. \kern-0em} \xi }$, ξ = 1010 В/м; ε(0) – диэлектрическая проницаемость вакуума; κ2 = $\omega h{\text{/}}V_{S}^{{(2)}}$ и ${{\kappa }_{{2e}}} = \omega h{\text{/}}V_{{Se}}^{{\left( 2 \right)}}$ – безразмерные частоты, $V_{S}^{{\left( 2 \right)}} = \sqrt {c_{{44}}^{{\left( 2 \right)}}{\text{/}}{{\rho }^{{\left( 2 \right)}}}} $ и $V_{{Se}}^{{(2)}}$ = $\sqrt {(c_{{44}}^{{(2)}} + {{{(e_{{15}}^{{(2)}})}}^{2}}{\text{/}}\varepsilon _{{11}}^{{(2)}}){\text{/}}{{\rho }^{{(2)}}}} $ – скорости объемных сдвиговых волн без учета и с учетом пьезоэлектрических свойств. Далее штрихи опускаем.

3. Дисперсионное уравнение задачи. Решение задачи (2.8)–(2.13) строим в пространстве образов Фурье (α – параметр преобразования координаты x1):

(3.1)
$U_{p}^{{\left( 1 \right)}}\left( {\alpha ,{{x}_{2}}} \right) = \sum\limits_{k = 1}^4 {c_{k}^{{\left( 1 \right)}}y_{{kp}}^{{\left( 1 \right)}}\left( {\alpha ,{{x}_{2}}} \right)} ,\quad U_{p}^{{(2)}}(\alpha ,{{x}_{2}}) = \sum\limits_{k = 1}^2 {f_{{pk}}^{{(2)}}c_{k}^{{\left( 2 \right)}}{{\operatorname{e} }^{{\sigma _{k}^{{(2)}}{{x}_{2}}}}}} $

Функции $y_{{kp}}^{{\left( 1 \right)}}\left( {\alpha ,{{x}_{2}}} \right)$ являются линейно независимыми решениями задачи Коши с начальными условиями $y_{{kp}}^{{\left( 1 \right)}}\left( {\alpha ,\,0} \right) = {{\delta }_{{kp}}}$ для уравнения:

(3.2)
${{{\mathbf{Y}}}^{{\left( 1 \right)}}}{\kern 1pt} ' = {{{\mathbf{M}}}^{{\left( 1 \right)}}}\left( {\alpha ,{{x}_{2}}} \right){{{\mathbf{Y}}}^{{\left( 1 \right)}}},\quad {{{\mathbf{Y}}}^{{\left( 1 \right)}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathbf{Y}}_{{\mathbf{\Sigma }}}^{1}} \\ {{\mathbf{Y}}_{{\mathbf{u}}}^{1}} \end{array}} \right),\quad {\mathbf{Y}}_{{\mathbf{\Sigma }}}^{1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\Theta _{{23}}^{{F\left( 1 \right)}}} \\ {d_{2}^{{F\left( 1 \right)}}} \end{array}} \right),\quad {\mathbf{Y}}_{{\mathbf{u}}}^{1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {U_{3}^{{\left( 1 \right)}}} \\ {U_{4}^{{\left( 1 \right)}}} \end{array}} \right)$
$\Theta _{{23}}^{{F\left( n \right)}}$, $d_{2}^{{F\left( n \right)}}$ – трансформанты Фурье компонент тензора напряжений и вектора индукции (2.8). Матрица ${{{\mathbf{M}}}^{{\left( 1 \right)}}}\left( {\alpha ,{{x}_{2}}} \right)$ имеет вид:
(3.3)
${{{\mathbf{M}}}^{{(1)}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&{{{\alpha }^{2}}\theta _{{1331}}^{{\left( 1 \right)}} - {{\rho }^{{\left( 1 \right)}}}\kappa _{2}^{2}}&{{{\alpha }^{2}}\theta _{{1431}}^{{\left( 1 \right)}}} \\ 0&0&{{{\alpha }^{2}}\theta _{{1431}}^{{\left( 1 \right)}}}&{{{\alpha }^{2}}\theta _{{1441}}^{{\left( 1 \right)}}} \\ { - \theta _{{2442}}^{{\left( 1 \right)}}{{{\left( {{{g}_{0}}} \right)}}^{{ - 1}}}}&{\theta _{{2432}}^{{\left( 1 \right)}}{{{\left( {{{g}_{0}}} \right)}}^{{ - 1}}}}&0&0 \\ {\theta _{{2432}}^{{\left( 1 \right)}}{{{\left( {{{g}_{0}}} \right)}}^{{ - 1}}}}&{ - \theta _{{2332}}^{{\left( 1 \right)}}{{{\left( {{{g}_{0}}} \right)}}^{{ - 1}}}}&0&0 \end{array}} \right)$
где ${{g}_{0}} = \theta _{{2442}}^{{(1)}}\theta _{{2332}}^{{(1)}} - {{(\theta _{{2432}}^{{(1)}})}^{2}}$.

Уравнение (3.2) с обозначениями (3.3) представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с переменными коэффициентами, линейно независимые решения которой строятся на основе численного решения набора задач Коши с начальными условиями при фиксированных значениях параметра α. Для решения систем ОДУ могут быть использованы различные численные методы. В настоящей работе использован метод Рунге-Кутты пятого порядка в модификации Мерсона, который позволяет сочетать высокую точность и большую скорость вычислений.

Далее используем предположение, что начальным электрическим и механическим воздействиям подвержено только покрытие. Подложка, выполненная из пьезоэлектрического материала с классом симметрии 6 mm, находится в ЕС. Для нее выполняются соотношения:

$\theta _{{k3k3}}^{{\left( 2 \right)}} = \theta _{{k33k}}^{{\left( 2 \right)}} = \theta _{{3kk3}}^{{\left( 2 \right)}} = \theta _{{3k3k}}^{{\left( 2 \right)}} = c_{{44}}^{{\left( 2 \right)}},\quad \theta _{{k4k3}}^{{\left( n \right)}} = \theta _{{k34k}}^{{\left( n \right)}} = e_{{15}}^{{\left( n \right)}},\quad \theta _{{k44k}}^{{\left( 2 \right)}} = - \varepsilon _{{11}}^{{\left( 2 \right)}},\quad k = 1,2$

Участвующие в представлении решения (3.1), $f_{{pk}}^{{\left( 2 \right)}}$ и $\sigma _{k}^{{\left( 2 \right)}}$ принимают вид:

$\begin{gathered} {{(\sigma _{1}^{{\left( 2 \right)}})}^{2}} = {{\alpha }^{2}} - \frac{{\kappa _{2}^{2}}}{{1 + \eta }},\quad {{(\sigma _{2}^{{\left( 2 \right)}})}^{2}} = {{\alpha }^{2}},\quad \eta = {{(e_{{15}}^{{\left( 2 \right)}})}^{2}}{{(\varepsilon _{{11}}^{{\left( 2 \right)}}c_{{44}}^{{\left( 2 \right)}})}^{{ - 1}}} \\ f_{{31}}^{{\left( 2 \right)}} = 1,\quad f_{{41}}^{{\left( 2 \right)}} = \frac{{e_{{15}}^{{\left( 2 \right)}}}}{{\varepsilon _{{11}}^{{\left( 2 \right)}}}},\quad f_{{32}}^{{\left( 2 \right)}} = f_{{42}}^{{\left( 2 \right)}} = 0 \\ \end{gathered} $

Для определения неизвестных $c_{k}^{{\left( n \right)}}$ (3.1) получаем систему алгебраических уравнений из которой вытекает дисперсионное уравнение задачи:

(3.4)
$det{{{\mathbf{A}}}^{{{\mathbf{II}}}}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {y_{{11}}^{{\left( 1 \right)}}}&{y_{{12}}^{{\left( 1 \right)}}}&{y_{{13}}^{{\left( 1 \right)}}}&{y_{{14}}^{{\left( 1 \right)}}}&0&0 \\ {y_{{41}}^{{\left( 1 \right)}}}&{y_{{42}}^{{\left( 1 \right)}}}&{y_{{43}}^{{\left( 1 \right)}}}&{y_{{44}}^{{\left( 1 \right)}}}&0&0 \\ 1&0&0&0&{ - c_{{44}}^{{\left( 2 \right)}}\left( {1 + \eta } \right)\sigma _{1}^{{\left( 2 \right)}}}&{ - e_{{15}}^{{\left( 2 \right)}}\sigma _{2}^{{\left( 2 \right)}}} \\ 0&1&0&0&0&{\varepsilon _{{11}}^{{\left( 2 \right)}}\sigma _{2}^{{\left( 2 \right)}}} \\ 0&0&1&0&{ - 1}&0 \\ 0&0&0&1&{ - {{e_{{15}}^{{\left( 2 \right)}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{e_{{15}}^{{\left( 2 \right)}}} {\varepsilon _{{11}}^{{\left( 2 \right)}}}}} \right. \kern-0em} {\varepsilon _{{11}}^{{\left( 2 \right)}}}}}&{ - 1} \end{array}} \right| = 0$

4. Численный анализ. Исследования проводились для пьезоэлектрических структур, выполненных из керамики на основе PZT. Предполагается, что все физические параметры покрытия меняются по толщине от значений основного материала m1 (PZT-5 [1]) до значений параметров материала включения m2 (DL-61HD [24]) или m3 (PZT DL-40 [24]). Имеет место различие скоростных характеристик основного материала и включений: для m2$V_{{Se}}^{{{{m}_{{{\kern 1pt} 2}}}}} > V_{{Se}}^{{{{m}_{{{\kern 1pt} 1}}}}}$, для m3$V_{{Se}}^{{{{m}_{{{\kern 1pt} 3}}}}} < V_{{Se}}^{{{{m}_{{{\kern 1pt} 1}}}}}$. Выбор функций изменения свойств покрытия определен значениями параметров материалов его составляющих и зоной перехода одного материала в другой.

На рис. 1, a, b показаны функция $f\left( {{{x}_{2}}} \right)$ изменения свойств материала по толщине (рис. 1, a) и функция изменения значений безразмерного параметра $e_{{15}}^{{\left( 1 \right)}}\left( {{{x}_{2}}} \right)$ (рис. 1, b) для покрытий m1/m2 (кривые 1, 2) и m1/m3 (кривые 1*, 2*). Цифрами на рисунках отмечены кривые с различной величиной зоны перехода одного материала покрытия в другой.

Рис. 1

На рис. 2–4 представлены фазовые скорости ПАВ ($V_{F}^{{}}{\text{/}}V_{{Se}}^{{\left( 2 \right)}}$, где $V_{F}^{{}} = {{\kappa }_{2}}{\text{/}}\xi $, $\xi $ – решение уравнения (3.4)) для структур с неоднородным преднапряженным покрытием из m1/m2 на рис. 2, а; 3, а; 4, a, c, из m1/m3 на рис. 2, b; 3, b; 4, b, d. На рис. 2, c, d и 3, c, d даны фрагменты соответственно рис. 2, b и 3, b для 1-й и 2-й мод ПАВ. Пунктирными линиями ${{1}_{{{{E}^{ + }}}}}$ и ${{1}_{{{{E}^{ - }}}}}$ на рис. 2, 3 отмечены кривые скоростей ПАВ в структурах с неоднородным покрытием подверженным воздействию начального однородного электрического поля ${{W}_{3}} = $ 0.001 (в размерных единицах 1 × 107 В/м) и ${{W}_{3}} = $ –0.001 в отсутствии начальных механических напряжений. Сплошные линии 0, 2 отвечают скоростям в структурах с неоднородным покрытием в ЕС и НДС $1{{x}_{1}}$: ${{{v}}_{1}} = 1.03$, ${{P}_{1}} \ne 0$, ${{P}_{2}} = {{P}_{3}} = 0$, ${{W}_{3}} = 0$. Штриховые линии 3, 4 соответствуют скоростям ПАВ в случае покрытия, подверженного действию начального электрического поля и механического растяжения $1x_{1}^{e}$: ${{{v}}_{1}} = 1.03$, ${{P}_{1}} \ne 0$, ${{P}_{2}} = {{P}_{3}} = 0$, ${{W}_{3}} \ne 0$, ${{W}_{3}} = $ 0.0001, 0.001. Зоны перехода материалов покрытия на рис. 2 и 3 соответствуют кривым 1 и 2 на рис. 1, a.

Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4

Из рисунков следует, что наличие начального электрического поля (кривые ${{1}_{{{{E}^{ + }}}}}$), одноосного механического растяжения (кривые 2) и совместного электрического и механического (кривые 3, 4) воздействий приводит к увеличению скорости ПАВ как для сочетания материалов покрытия m1/m2, так и для m1/m3 во всем частотном диапазоне. В случае покрытия из m1/m3 влияние преднапряжений приводит к тому, что в отличие от ЕС (кривая 0), во всем рассматриваемом диапазоне частот распространяется одна поверхностная волна. Влияние электрического поля в отсутствие начальных механических напряжений проявляется в сдвиге частоты выхода второй моды. С уменьшением зоны перехода материалов покрытия уменьшается диапазон изменения скоростей, частота выхода второй моды в случае покрытия из m1/m3 смещается в высокочастотную область (рис. 3, d).

На рис. 4, a–d приведены графики скоростей ПАВ при воздействии на покрытие m1/m2 (рис. 4, a, c) и m1/m3 (рис. 4, b, d) однородного электрического поля с напряженностью 1 × 108 В/м при отсутствии начальных механических напряжений. Кривые ${{1}_{{{{E}^{ + }}}}}$ и ${{1}_{{{{E}^{ - }}}}}$ на рисунках соответствуют ${{W}_{3}} = $ 0.01 и ${{W}_{3}} = $ –0.01; зоны перехода материалов на рис. 4, a, b и рис. 4, c, d определены кривыми 1 и 2  рис. 1, a.

Из рисунков следует, что увеличение напряженности начального электрического поля приводит к значительным изменениям в поведении скоростей ПАВ: в зависимости от направления вектора напряженности меняется структура поверхностного волнового поля – возможно появление диапазона частот, в котором ПАВ исчезает (рис. 4, а), а также возможно возникновение вторых мод даже в случае с высокоскоростным (m1/m2) включением. Эти изменения связаны с тем, что воздействие электрического поля наводит в покрытии НДС, величина и характер которого определены свойствами материала, величиной и направлением вектора напряженности начального электрического поля. Из графиков на рис. 4, a, c следует, что увеличение зоны перехода в случае покрытия m1/m2 приводит при определенном направлении вектора напряженности либо к появлению частотного диапазона, в котором ПАВ отсутствует (кривая ${{1}_{{{{E}^{ + }}}}}$), либо к увеличению частоты выхода высокоскоростной моды (кривая ${{1}_{{{{E}^{ - }}}}}$). В случае покрытия из m1/m3 (рис. 4, b, d) влияние зоны перехода незначительно и проявляется лишь в области низких частот в изменении поведения первой моды.

6. Заключение. В работе рассмотрена модель пьезоэлектрической структуры с предварительно напряженным покрытием из ФГПМ, свойства которого непрерывно изменяются. Выбор функциональных зависимостей изменения свойств определялся соотношением модулей материалов, составляющих покрытие, и величиной области взаимного проникновения материалов. Рассмотрены структуры с покрытиями из различных видов керамики на основе PZT. НДС покрытия вызвано действием электрического поля и одноосной механической деформацией. На примере задачи о распространении поверхностных sh-волн в пьезоэлектрической структуре с металлизированной поверхностью исследовано влияние начальных воздействий на особенности распространения ПАВ и структуру волнового поля при различных соотношениях физических параметров материалов покрытия и величины зоны перехода одного материала в другой. Показано, что одноосное механическое растяжение вдоль оси x1, как и электрическое поле с напряженностью ${{W}_{3}} = $ 1 × 106–1 × 107 В/м приводит к увеличению скорости ПАВ во всем частотном диапазоне как для покрытия m1/m2, так и для m1/m3. В случае покрытия m1/m3 изменение направленности вектора напряженности сдвигает частоту выхода либо в сторону высоких, либо в сторону низких частот. Дальнейшее увеличение напряженности начального электрического поля приводит к изменению структуры поверхностного волнового поля в зависимости от направленности вектора напряженности. Показана возможность появления диапазона частот в котором ПАВ не распространяется и возможность появления вторых мод даже для высокоскоростного включения.

Работа выполнена в рамках реализации госзадания Южного научного центра РАН, проект № 0256-2018-0003, № госрегистрации 01201354242 и при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, гранты № 19-08-01051, № 19-01-00719.

Список литературы

  1. Mason W.P. Physical acoustics and the properties of solids. Princeton, N.J., Van Nostrand, 1958. 402 p.

  2. Dieulesaint E., Royer D. Ondes Elastiques Dans Les Solides. Application au traitement du signal. Paris, Ed. Masson, 1974. 407 p.

  3. Matthews H. (ed.) Surface Wave Filters. Design, Construction and Use., New York, John Wiley & Sons, 1977. 521 p.

  4. Biryukov S.V., Gulyaev Y.V., Krylov V.V., Plessky V.P. Surface Acoustic Waves in Inhomogeneous Media. New York: Springer-Verlag, 1995. 287 p.

  5. Александров К.С., Сорокин Б.П., Бурков С.И. Эффективные пьезоэлектрические кристаллы для акустоэлектроники, пьезотехники и сенсоров. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2008. Т. 2. 429 с.

  6. Калинчук В.В., Белянкова Т.И. Динамические контактные задачи для предварительно напряженных электроупругих тел. Москва. Физматлит, 2006. 272 с.

  7. Евдокимова О.В., Белянкова Т.И., Калинчук В.В. Уравнения динамики преднапряженной пьезоактивной среды при наличии внешнего электростатического поля // Вестник Южного научного центра РАН. 2007. Т. 3. № 4. С. 19–25.

  8. Белянкова Т.И., Калинчук В.В., Шейдаков Д.Н. Уравнения динамики преднапряженной электротермоупругой среды // Вестник Южного научного центра РАН. 2011. Т. 7. № 2. С. 5–14.

  9. Бурков С.И., Золотова О.П., Сорокин Б.П., Александров К.С. Влияние внешнего электрического поля на характеристики волны Лэмба в пьезоэлектрической пластине // Акустический журнал. 2010. Т. 56. № 5. С. 606–612

  10. Burkov S.I., Zolotova O.P., Sorokin B.P. Influence of bias electric field on elastic waves propagation in piezoelectric layered structures // Ultrasonics. 2013. V. 53. № 6. P. 1059–1064.

  11. Liu H., Wang Z.K., Wang T.J. Effect of initial stress on the propagation behavior of Love waves in a layered piezoelectric structure // Int. J. Eng Sci. 2001. V. 38. P. 37–51.

  12. Jin F., Wang Z., Wang T. The Bleustein–Gulyaev (B–G) wave in a piezoelectric layered half-space // Int. J. Eng Sci. 2001. V. 39. P. 1271–1285.

  13. Liu H., Kuang Z.B., Cai Z.M. Propagation of Bleustein–Gulyaev waves in a prestressed layered piezoelectric structure // Ultrasonics. 2003. V. 41. P. 397–405

  14. Qian Z., Jin F., Wang Z. et al. Love waves propagation in a piezoelectric layered structure with initial stresses // Acta Mechanica. 2004. V. 171. P. 41–57.

  15. Collet B., Destrade M., Maugin G.A. Bleustein–Gulyaev waves in some functionally graded materials // European Journal of Mechanics A/Solids. 2006. V. 25. P. 695–706.

  16. Cao X., Jin F., Wang Z. et al. Bleustein-Gulyaev waves in a functionally graded piezoelectric material layered structure // Sci. China Ser. G-Phys. Mech. Astron. 2009. V. 52. P. 613–625.

  17. Qian Z., Jin F., Wang Z., Kishimoto K. Transverse surface waves on a piezoelectric material carrying a functionally graded layer of finite thickness // International Journal of Engineering Science. 2007. V. 45. P. 455–466.

  18. Qian Z.-H., Jin F., Lu T., Kishimoto K., Hirose S. Effect of initial stress on Love waves in a piezoelectric structure carrying a functionally graded material layer // Ultrasonics. 2010. V. 50. P. 84–90.

  19. Belyankova T.I., Kalinchuk V.V. Propagation of SH-waves in piezoelectric structures with functionally graded coating from different materials // IOP Conf. Series: Journal of Physics: Conf. Series. 2019. V. 1260. P. 112005.

  20. Калинчук В.В., Белянкова Т.И. Динамика поверхности неоднородных сред. Москва. Физматлит, 2009. 312 с.

  21. Belyankova T.I., Kalinchuk V.V., Tukodova O.M. Peculiarities of the surface SH – waves propagation in the weakly inhomogeneous pre-stressed piezoelectric structures // Springer Proceedings in Physics. 2016. V. 175. P. 413–429.

  22. Belyankova T.I., Kalinchuk V.V. Surface sh-waves in pre-stressed piezoelectrics with functionally graded coating // PNRPU Mechanics Bulletin. 2016. V. 3. P. 7–27.

  23. Belyankova T.I., Kalinchuk V.V. Modelling of pre-stressed piezoelectric structures with inhomogeneous coating // Procedia Engineering. 2017. V. 199. P. 1513–1518.

  24. Material Specification Sheet. Available at: www.delpiezo.com/products.

Дополнительные материалы отсутствуют.