Известия РАН. Механика твердого тела, 2020, № 6, стр. 73-81
ОБ ОСНОВНЫХ ГИПОТЕЗАХ ОБЩЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И ПРЕДЕЛАХ ИХ ПРИМЕНИМОСТИ
В. Г. Зубчанинов *
Тверской государственный технический университет
Тверь, Россия
* E-mail: vlgzub@gmail.com
Поступила в редакцию 28.05.2020
После доработки 22.06.2020
Принята к публикации 15.08.2020
Аннотация
В работе обсуждаются и анализируются вопросы применимости и пределы применимости некоторых основных гипотез общей математической теории пластичности. В теории процессов упругопластического деформирования это постулат изотропии начально изотропных тел, в котором утверждается инвариантность ортогональных преобразований образов процесса при установлении связи между напряжениями и деформациями. В теории течения – это гипотеза о разложении полных деформаций на упругие и пластические деформации и влияние на ее связь между напряжениями и деформациями при сложном нагружении.
1. Тензоры напряжений, деформаций и их инварианты. Напряженно-деформированное состояние (НДС) сплошных сред и тел, отнесенных к координатным осям xi ($i = 1,2,3$) для каждой точки физического пространства с координатным ортонормированным репером ${{\hat {e}}_{i}}$, характеризуется заданием симметричных тензоров напряжений (σij) и деформаций (εij), где σij и εij ($i,j = 1,\;2,\;3$) – их компоненты. Геометрически тензоры напряжений и деформаций могут быть представлены тривекторами
(1.1)
${{\bar {S}}_{n}} = {{\bar {S}}_{i}}{{n}_{i}} = {{X}_{i}}{{\hat {e}}_{i}},\quad {{X}_{i}} = {{\sigma }_{{ij}}}{{n}_{j}}$Вектор напряжения ${{\bar {S}}_{n}}$ называют собственным или главным нормальным вектором напряжений, если его направление совпадает с направлением нормали $\hat {n} = {{n}_{i}}{{\hat {e}}_{i}}$, т.е.
(1.2)
${{\bar {S}}_{n}} = {{\sigma }_{k}}\hat {n} = {{\sigma }_{k}}{{\delta }_{{ij}}}{{n}_{j}}{{\hat {e}}_{i}}$Модуль этого вектора напряжений называют просто собственным значением или главным напряжением.
Сравнивая (1.1), (1.2), получаем систему уравнений относительно ${{n}_{j}}$
(1.3)
$({{\sigma }_{{ij}}} - {{\delta }_{{ij}}}{{\sigma }_{k}}){{n}_{j}} = 0,\quad {{n}_{j}}{{n}_{j}} = 1$Приравнивая определитель (1.3) нулю, получаем характеристическое уравнение для определения собственных напряжений σk ($k = 1,\;2,\;3$)
откуда следует кубическое уравнение гдеИнварианты тензора-девиатора напряжений
Модуль тензора напряжений
где ${{\sigma }_{0}} = {{{{\sigma }_{{ii}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\sigma }_{{ii}}}} 3}} \right. \kern-0em} 3}$ – модуль шарового тензора.Главные касательные напряжения
(1.5)
$\begin{gathered} {{T}_{{12}}} = \frac{{{{\sigma }_{1}} - {{\sigma }_{2}}}}{2} = \frac{\sigma }{{\sqrt 2 }}\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3} + \varphi } \right) \\ {{T}_{{23}}} = \frac{{{{\sigma }_{2}} - {{\sigma }_{3}}}}{2} = \frac{\sigma }{{\sqrt 2 }}\sin \varphi \\ {{T}_{{13}}} = \frac{{{{\sigma }_{1}} - {{\sigma }_{3}}}}{2} = \frac{\sigma }{{\sqrt 2 }}\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3} - \varphi } \right) \\ \end{gathered} $Наряду с главными касательными напряжениями в теории пластичности Tij важное значение имеют октаэдрические касательные напряжения
Девиаторную плоскость можно разбить на шесть секторов и, согласно формулам (1.5), составить таблицу для Tmax [12].
Из таблицы следует, что закономерность изменений Tmax в каждом секторе совпадает и может быть представлена формулой
В крайних точках получаем
Таким образом, из двух известных критериев пластичности Треска и Мизеса–Надаи правильным (истинным) является критерий Мизеса–Надаи, т.к. ${{\tau }_{{{\text{oct}}}}} < {{\tau }_{{\max }}}$.
Естественным обобщением критерия Мизеса–Надаи на процессы упругопластического деформирования является единая универсальная кривая упрочнения материалов при простом нагружении Роша и Эйхингера и единая универсальная кривая упрочнения материалов для траекторий малой и средней кривизны Ильюшина [7].
2. О влиянии ортогональных преобразований координатного базиса и вектора напряжений на инварианты тензоров напряжений и деформаций в физическом пространстве. Этот вопрос изучается в работах [1–3, 10–12]. При ортогональном преобразовании координатного базиса $\{ {{\hat {e}}_{i}}\} $ в новое положение $\hat {e}_{i}^{'} = {{l}_{{ij}}}{{e}_{j}}$ ($i,j = 1,\;2,\;3$), где $A = ({{l}_{{ij}}})$ – матрица этого преобразования. В новом положении неподвижный вектор напряжений ${{\bar {S}}_{n}} = {{X}_{i}}{{\hat {e}}_{i}}$ изменяет свои координаты так, что
Однако ${{\hat {e}}_{j}} = {{l}_{{ij}}}\hat {e}_{i}^{'}$ и поэтому
Вектор напряжений сохраняет свою длину. Следовательно,
При реализации процессов деформирования и нагружения в точке тела все три инварианта тензоров (тривекторов) будут изменяться. Вектор ${{\bar {S}}_{n}}$ и тривекторы будут изменять свою ориентацию. Новые проекции вектора ${{\bar {S}}_{n}} = {{X}_{i}}{{\hat {e}}_{i}}$ определяются формулой $X_{i}^{'}$ = βijXj, где ${{\beta }_{{ij}}}$ – компоненты матрицы ортогонального преобразования. Длина вектора неизменна и поэтому
Данное соотношение (2.2) совпадает по форме с (2.1) и поэтому ${{l}_{{ij}}} = {{\beta }_{{ij}}}$. Это означает, что ортогональные преобразования координатных осей и вектора ${{\bar {S}}_{n}}$ совпадают. Однако в первом случае сохраняются все три инварианта тензоров, а во втором – лишь один (длина вектора ${{\bar {S}}_{n}}$). Остальные два инварианта вида НДС остаются неопределенными. Это создает некоторую проблему при определении определяющих законов связи между напряжениями и деформациями.
Тензорная форма определяющих соотношений в механике сплошной среды (МСС) между напряжениями и деформациями является одной из наиболее общих, т.к. не зависит от координатной системы. Прагер В. и Ильюшин А.А. [1, 2, 7] для сложных процессов нагружения предложили, соответственно, соотношения
где коэффициенты A, B, C, ${{A}_{n}}$ зависят от инвариантов.Как было отмечено выше, в процессах деформирования и нагружения при ортогональных преобразованиях тривекторов ${{\bar {S}}_{n}}$ инварианты могут изменяться, что может приводить к неинвариантности самих определяющих соотношений [12].
3. Векторное представление тензоров напряжений, деформаций и процессов нагружения. Для геометрически наглядного отображения процессов деформирования и нагружения в точке физического пространства Ильюшин А.А. предложил изобразить тензоры напряжений (σij) и деформаций (εij) в виде векторов в координатном шестимерном пространстве линейной алгебры [1–3, 11, 12]
В объединенном шестимерном пространстве E6 в работах [1–3, 11] были введены также понятия образа процесса деформирования и образа процесса нагружения. Тензор напряжений (σij) можно разложить в прямую сумму нормальных и касательных напряжений. Им можно поставить в соответствие два трехмерных подпространства нормальных и касательных напряжений. Если исходный тензор (σij) отнесен к главным собственным осям, то подпространство нормальных напряжений становится подпространством собственных напряжений, а подпространство касательных напряжений запустевает. Следовательно, пространство E6 может иметь не более трех собственных направлений. Таким образом, вектор напряжений $\bar {S}$ будет тождественным тензору (σij), если их модули равны, но вектор $\bar {S}$может иметь не более трех собственных направлений и главных собственных напряжений. Аналогично для вектора $\bar {E}$ и тензора деформаций (εij). Следовательно, три инварианта тензоров (σij) и (εij) в физическом пространстве остаются инвариантами векторов $\bar {S}$ и $\bar {E}$ в пространстве E6.
Образом процесса деформирования в ${{E}_{6}}$ называют траекторию деформирования, описываемую концом вектора деформации $\bar {E}$ и построенными в каждой ее точке векторами $\bar {S}$, а также приписанными этим точкам скалярными свойствами типа температуры T и давления p. В теории пластичности объемная деформация $\theta = 3{{\varepsilon }_{0}}$ считается упругой и подчиняется закону Гука
где K – упругий модуль Бриджмена. Для этого случая А.А. Ильюшин [1–3] ввел следующие преобразования компонент тензоров в координаты векторов напряжений и деформацийВ данном случае образ процесса строится в пятимерном ${{E}_{5}}$ девиаторном подпространстве. Под образом процесса деформирования понимается траектория, описываемая в ${{E}_{5}}$ концом вектора деформации формоизменения $\bar {Э}$, построенные в каждой ее точке векторы напряжений $\bar {\sigma }$, $d\bar {\sigma }{\text{/}}ds$ и приписанные к этим точкам параметры температуры T и давления p.
В каждой точке траектории деформирования можно построить также координатный репер $\{ {{d}^{n}}\bar {Э}{\text{/}}d{{s}^{n}}\} $ и разложить в этом репере вектор напряжений
где коэффициенты An – функционалы процесса, зависящие от инвариантов тензоров.Вместо косоугольного репера можно построить в каждой точке траектории подвижный ортонормированный репер Френе–Ильюшина ${{\hat {p}}_{k}}$ ($k = 1,\;2,\; \ldots ,\;5$), орты которого удовлетворяют рекуррентным формулам
(3.2)
$\frac{{d{{{\hat {p}}}_{k}}}}{{ds}} = - {{{\unicode{230} }}_{{k - 1}}}{{\hat {p}}_{{k - 1}}} + {{{\unicode{230} }}_{k}}{{\hat {p}}_{{k + 1}}}$В этом репере можно разложить векторы $\bar {\sigma }$, $d\bar {\sigma }{\text{/}}ds$ в виде
(3.3)
$\bar {\sigma } = {{P}_{k}}{{\hat {p}}_{k}},\quad \frac{{d\bar {\sigma }}}{{ds}} = P_{k}^{*}{{\hat {p}}_{k}},\quad \frac{{d\hat {\sigma }}}{{ds}} = P_{k}^{0}{{\hat {p}}_{k}}$В работе [6] профессор Ивлев Д.Д. отметил, что третий инвариант девиаторов напряжений и деформаций при ортогональном преобразовании образа процесса может изменяться, что приводит к нарушению постулата изотропии. Это изменение инвариантов девиаторов было ранее замечено в работах [1–3, 10]. Замечание Ивлева Д.Д. послужило поводом дискуссии 1960–61 годов по новому направлению развития теории пластичности, предложенному А.А. Ильюшиным [1–3]. В работе [4] А.А. Ильюшин отметил, что, (изменение третьих инвариантов тензоров является) как показали многочисленные эксперименты отечественных и зарубежных ученых, влияние третьих инвариантов на выполнение постулата изотропии является слабым и им можно пренебречь при малых упругопластических деформациях.
В работе [3] А.А. Ильюшин отметил, что нарушения постулата изотропии возможны в нелинейной теории упругости.
Как и всякая гипотеза, постулат изотропии имеет свои границы применимости. Однако систематических экспериментальных исследований по установлению этой границы не производилось.
4. Теория процессов упругопластического деформирования и расширенная теория течения. В соотношениях постулата изотропии (3.3) изменим ортонормированный базис $\{ {{\hat {p}}_{k}}\} $. Заменим в нем единичный вектор ${{\hat {p}}_{2}}$ на единичный вектор
где βk – угловые координаты $\hat {\sigma }$. Тогда соотношения для $d\bar {\sigma }{\text{/}}ds$ можно представить в виде(4.2)
$\frac{{d\bar {\sigma }}}{{ds}} = {{M}_{m}}{{\hat {p}}_{m}} + M\hat {\sigma }\quad (m = 1,\;3,\;4,\;5)$После умножения (4.2) на $\hat {\sigma }$ находим M и преобразуем (4.2) к виду
(4.3)
$\frac{{d\bar {\sigma }}}{{ds}} = {{M}_{m}}{{\hat {p}}_{m}} + \left( {\frac{{d\sigma }}{{ds}} - {{M}_{m}}\cos {{\beta }_{k}}} \right)\hat {\sigma }$Представим вектор напряжений с учетом (4.1) в виде
Дифференцируя полученное выражение, находим
Используя формулы (3.2), получаем
(4.4)
$\frac{{d\bar {\sigma }}}{{ds}} = \frac{{d\sigma }}{{ds}}\hat {\sigma }\left[ { - {{{\unicode{230} }}_{{k - 1}}}{{{\hat {p}}}_{{k - 1}}} + {{{\unicode{230} }}_{k}}{{{\hat {p}}}_{{k + 1}}}} \right]\cos {{\beta }_{k}} + {{\hat {p}}_{k}}\frac{d}{{ds}}(\cos {{\beta }_{k}})$Исключая из полученного выражения (4.4)
Ограничимся далее частным случаем теории процессов – гипотезой компланарности. В этом случае три вектора $\bar {\sigma }$, $d\bar {\sigma }$, $d\bar {Э}$ всегда лежат в одной соприкасающейся плоскости репера Френе–Ильюшина и $k = m = 1$, ${{\beta }_{2}} = 90^\circ - {{\beta }_{1}}$. В этом случае из уравнений (4.3)–(4.4) получаем
(4.5)
$\frac{{d\bar {\sigma }}}{{ds}} = {{M}_{1}}{{\hat {p}}_{1}} + \left( {\frac{{d\sigma }}{{ds}} - {{M}_{1}}\cos {{\beta }_{1}}} \right)\hat {\sigma }$(4.6)
$\frac{{d{{\beta }_{1}}}}{{ds}} + {{{\unicode{230} }}_{1}} = - \frac{{{{M}_{1}}}}{\sigma }\sin {{\beta }_{1}}$Уравнение (4.5) можно записать также в виде
(4.7)
$\frac{{d\bar {Э}}}{{ds}} = \frac{1}{{{{M}_{1}}}}\frac{{d\bar {\sigma }}}{{ds}} + \left( {\cos {{\beta }_{1}} - \frac{1}{{{{M}_{1}}}}\frac{{d\sigma }}{{ds}}} \right)\hat {\sigma }$Система уравнений (4.5), (4.6) теории процессов содержит два функционала. Для траекторий средней кривизны эти функционалы имеют вид
В теории течения введена основополагающая гипотеза о возможности разложения полных деформаций на упругие и пластические части
С нашей точки зрения при сложном нагружении и разгружении это невозможно. Эта гипотеза противоречит также понятиям полной и неполной пластичности Хаара и Кармана [7]. В наших беседах с профессором Ивлевым Д.Д. по поводу гипотезы о разложении полных деформаций на упругую ${{\bar {Э}}^{e}}$ и пластическую ${{\bar {Э}}^{p}}$ части мы согласились, что, как и всякая гипотеза, она имеет пределы своей применимости. Если положить в уравнениях теории процессов (4.6), (4.7) M1 = G, то получим расширенные основные уравнения теории течения
(4.8)
$\begin{gathered} \frac{{d\bar {Э}}}{{ds}} = \frac{1}{{2G}}\frac{{d\bar {\sigma }}}{{ds}} + \left( {\cos {{\beta }_{1}} - \frac{1}{{2G}}\frac{{d\sigma }}{{ds}}} \right)\hat {\sigma } \\ \frac{{d{{\beta }_{1}}}}{{ds}} + {{{\unicode{230} }}_{1}} = - \frac{{2G}}{\sigma }\sin {{\beta }_{1}} \\ \end{gathered} $Уравнения (4.8) удовлетворяют постулату изотропии для траекторий средней кривизны, содержат параметр ${{{\unicode{230} }}_{1}}$ сложного нагружения и угол сближения ${{\beta }_{1}}$, характеризующий векторные свойства материала. В целом уравнения (4.8) представляют собой уравнения расширенного варианта теории течения. Классический вариант теории свободного пластического течения получаем при ${{\beta }_{1}} = 0$, $\hat {\sigma } = {{\hat {p}}_{1}}$ ($\cos {{\beta }_{1}} = \hat {\sigma } \cdot {{\hat {p}}_{1}}$), ${{{\unicode{230} }}_{1}} \approx 0$ для траектории деформирования малой кривизны или близкой к простому нагружению. Для траекторий деформирования большой кривизны теория течения становится неприемлемой.
Таблица 1
Сектор | ${{T}_{{\max }}}$ | ω | φ° |
---|---|---|---|
I, IV | ${{T}_{{13}}},\;{{T}_{{31}}}$ | $\frac{{2\pi }}{3} - \varphi $ | $0^\circ \leqslant \varphi \leqslant 60^\circ $$180^\circ \leqslant \varphi \leqslant 240^\circ $ |
II, V | ${{T}_{{23}}},\;{{T}_{{32}}}$ | $\varphi $ | $120^\circ \leqslant \varphi \leqslant 180^\circ $$300^\circ \leqslant \varphi \leqslant 360^\circ $ |
II, VI | ${{T}_{{12}}},\;{{T}_{{21}}}$ | $\frac{{2\pi }}{3} + \varphi $ | $60^\circ \leqslant \varphi \leqslant 120^\circ $$240^\circ \leqslant \varphi \leqslant 300^\circ $ |
Список литературы
Ильюшин А.А. Труды (1946–1966). Т. II. М.: Физматлит, 2004. 480 с.
Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 271 с.
Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во Московского ун-та, 1990. 310 с.
Ильюшин А.А. Еще о постулате изотропии // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1962. № 1. С. 201–204.
Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. М.: Физматлит, 2001, 701 с.
Ивлев Д.Д. О постулате изотропии в теории пластичности // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1960. № 2. С. 125–127.
Сборник. Теория пластичности / Под ред. Ю.Н. Работнова. М.: ИИЛ, 1948. 452 с.
Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. М.: ИИЛ, 1954. 647 с.
Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: ГИТТЛ, 1956. 405 с.
Сокольников И.С. Тензорный анализ. М.: Наука, 1971. 375 с.
Зубчанинов В.Г. Механика процессов пластических сред. М.: Физматлит, 2010. 352 с.
Зубчанинов В.Г. Общая математическая теория пластичности и постулаты макроскопической определимости и изотропии // Вестник Московского ун-та. Серия 1. Математика и механика. 2018. № 5. С. 29–47.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Известия РАН. Механика твердого тела