Известия РАН. Механика твердого тела, 2021, № 2, стр. 157-164

О НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОМ СОСТОЯНИИ СТОХАСТИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНОЙ ТОЛСТОСТЕННОЙ ТРУБЫ

Н. В. Минаева^a, *, Д. В. Сабынин^a

^a Воронежский государственный университет
Воронеж, Россия

Поступила в редакцию 01.11.2020
После доработки 15.11.2020
Принята к публикации 02.12.2020

DOI: 10.31857/S0572329921020136

Аннотация

Найдено решение методом возмущений с точностью до величин второго порядка малости, описывающее состояние неоднородной упругопластической толстостенной трубы, находящейся под действием сжимающих усилий. Отклонения контура поперечного сечения трубы от окружности и неоднородность материала характеризуются независимыми малыми параметрами. Получено условие, при выполнении которого в случае экспериментального анализа состояния трубы средние значения напряжений и перемещений будут близки к значениям при осесимметричном состоянии.

Ключевые слова: толстостенная труба, метод малого параметра, сходимость, стохастическая неоднородность

Разработка аналитических методов решения стохастических задач сталкивается с серьезными трудностями, основными из которых являются нелинейность определяющих уравнений. Одним часто используемых методов аналитического решения стохастических краевых задач является метод возмущений. В [1, 2] разработаны методы решений стохастических краевых задач для квазиоднородных линейноупругих материалов. Применение метода малого параметра при исследовании напряженно-деформированного состояния упругопластических тел приведено в монографии Д.Д. Ивлева, Л.В. Ершова [3]. Влияние случайных возмущений механических характеристик материалов на поля деформации и напряжений исследуется во многих работах [4–7]. В [6, 7] метод малого параметра используется при исследовании влияния стохастических неоднородностей материала в задачах ползучести. Было получено аналитическое решение краевой задачи для толстостенной трубы под действием внутреннего давления до третьего приближения [7]. В работах [8, 9] используется метод малого параметра при решении нелинейных краевых задач для элементов конструкций с возмущенными границами. Этот подход связан с трудностями вычислительного характера, поэтому при решении конкретных стохастических задач обычно ограничиваются первым приближением.

Оценка погрешности решений и анализ сходимости полученных разложений проводились в основном в некоторых частных случаях, а также путем сравнения с известными точными или численными решениями [6, 10, 11].

Вопросы получения решений краевых задач с более высоким порядком членов разложения для неодномерных задач, проблема сходимости решений пока остаются мало изученными.

В данной работе рассматривается поведение неоднородной упругопластической толстостенной трубы с поперечным сечением, близком к круговому кольцу, при сжатии. Труба выполнена из несжимаемого материала, находится под действием сжимающих внутреннего и внешнего давлений. В упругой области ее состояние описывается решением следующей задачи [3]:

(1)

$\frac{{\partial \sigma _{\rho }^{e}}}{{\partial \rho }} + \frac{1}{\rho }\frac{{\partial {{\tau }^{e}}}}{{\partial \theta }} + \frac{{\sigma _{\rho }^{e} - \sigma _{\theta }^{e}}}{\rho } = 0,\quad \frac{{\partial {{\tau }^{e}}}}{{\partial \rho }} + \frac{1}{\rho }\frac{{\partial \sigma _{\theta }^{e}}}{{\partial \theta }} + \frac{{2{{\tau }^{e}}}}{\rho } = 0$

(2)

$\rho \frac{{\partial {{u}^{e}}}}{{\partial \rho }} + \frac{{\partial {{{v}}^{e}}}}{{\partial \theta }} + {{u}^{e}} = 0$

(3)

$\sigma _{\rho }^{e} - \sigma _{\theta }^{e} = 4\frac{{\partial {{u}^{e}}}}{{\partial \rho }},\quad {{\tau }^{e}} = \frac{{\partial {{{v}}^{e}}}}{{\partial \rho }} + \frac{1}{\rho }\frac{{\partial {{u}^{e}}}}{{\partial \theta }} - \frac{{{{{v}}^{e}}}}{\rho }$

(4)

${{\left. {\sigma _{n}^{e}} \right|}_{{\rho = {{\Psi }_{2}}\left( \theta \right)}}} = - {{q}_{2}};\quad {{\left. {\tau _{n}^{e}} \right|}_{{\rho = {{\Psi }_{2}}\left( \theta \right) = 0}}}$

В пластической зоне уравнения равновесия и условие несжимаемости имеют вид аналогичный (1), (2). Реологические соотношения будут следующими:

(5)

${{(\sigma _{\rho }^{p} - \sigma _{\theta }^{p})}^{2}} + 4{{({{\tau }^{p}})}^{2}} = 4{{k}^{2}},\quad 4\frac{{\partial {{u}^{p}}}}{{\partial \rho }}{{\tau }^{p}} - \left( {\frac{{\partial {{{v}}^{p}}}}{{\partial \rho }} - \frac{{{{{v}}^{p}}}}{\rho } + \frac{1}{\rho }\frac{{\partial {{u}^{p}}}}{{\partial \theta }}} \right)(\sigma _{\rho }^{p} - \sigma _{\theta }^{p}) = 0$

Граничные условия на внутреннем контуре трубы

(6)

${{\left. {\sigma _{n}^{p}} \right|}_{{\rho = {{\Psi }_{1}}\left( \theta \right)}}} = - {{q}_{1}},\quad {{\left. {\tau _{n}^{p}} \right|}_{{\rho = {{\Psi }_{1}}\left( \theta \right)}}} = 0$

В (1)–(6) характеристики материала примем в виде $G = 1 + {{\varepsilon }_{1}}{{f}_{1}}(\theta )$, k = k₀/G₀ + + ${{\varepsilon }_{1}}{{f}_{1}}(\theta )$, где k₀ – предел текучести однородного материала. Все величины, имеющие размерность напряжений, отнесены к модулю упругости однородного материала G₀. Компоненты вектора перемещений отнесены к внешнему радиусу сечения. Функции ${{\Psi }_{1}}\left( \theta \right)$, ${{\Psi }_{2}}\left( \theta \right)$ описывают форму поперечного сечения трубы в деформированном состоянии. В ненагруженном эти контуры с точностью до малых параметров характеризуются функциями $r = \alpha + {{\varepsilon }_{2}}{{f}_{2}}(\theta )$ и $r = 1 + {{\varepsilon }_{2}}{{f}_{2}}(\theta )$. Здесь ${{\varepsilon }_{1}}$ и ${{\varepsilon }_{2}}$ – независимые случайные величины. К (1)–(6) следует добавить условия сопряжения решений на контуре $\rho = {{\rho }_{s}}\left( \theta \right)$, отделяющем пластическую зону от упругой [3].

Воспользуемся методом возмущений для решения задачи, согласно которому:

(7)

$\begin{gathered} \sigma _{\rho }^{p} = \sum\limits_{m,n = 0}^\infty {\sigma _{\rho }^{{mnp}}\varepsilon _{1}^{m}\varepsilon _{2}^{n}} \\ \sigma _{\theta }^{p} = \sum\limits_{m,n = 0}^\infty {\sigma _{\theta }^{{mn\,p}}\varepsilon _{1}^{m}\varepsilon _{2}^{n}} ,\; \ldots \;{v}_{{}}^{e} = \sum\limits_{m,n = 0}^\infty {{v}_{{}}^{{mne}}\varepsilon _{1}^{m}\varepsilon _{2}^{n}} \\ \rho _{s}^{{}} = \sum\limits_{m,n = 0}^\infty {\rho _{s}^{{mn}}(\theta )\varepsilon _{1}^{m}\varepsilon _{2}^{n}} \\ \end{gathered} $

где в качестве нулевого приближения используется осесимметричное решение

(8)

$\begin{gathered} \sigma _{\rho }^{{0p}} = 2\kappa {\text{ln}}\rho + {{C}_{1}};\quad \sigma _{\theta }^{{0p}} = 2\kappa + 2\kappa {\text{ln}}\rho + {{C}_{1}}, \\ \sigma _{\rho }^{{0e}} = A{{\rho }^{{ - 2}}} + {{C}_{2}};\quad \sigma _{\theta }^{{0e}} = - A{{\rho }^{{ - 2}}} + {{C}_{2}} \\ {{\tau }^{{0p}}} = {{\tau }^{{0e}}} \equiv 0;\quad u_{{}}^{{0p}} = u_{{}}^{{0e}} = - A{{\rho }^{{ - 1}}},\quad {{{v}}^{{0p}}} = {{{v}}^{{0e}}} \equiv 0 \\ \kappa = \pm k{\text{/}}G,\quad А = - \frac{\kappa }{2}{{(\rho _{s}^{0})}^{2}},\quad {{C}_{1}} = - {{q}_{1}} - 2\kappa {\text{ln}}\left[ {\alpha + \frac{\kappa }{{2\alpha }}{{{(\rho _{s}^{0})}}^{2}}} \right] \\ {{C}_{2}} = \kappa - {{q}_{2}} + 2\kappa {\text{ln}}\rho _{s}^{0} - 2{\text{ln}}\left[ {\alpha {{{(\rho _{s}^{0})}}^{{ - 1}}} + \frac{\kappa }{{2\alpha }}\rho _{s}^{0}} \right] \\ \end{gathered} $

Величина $\rho _{s}^{0}$ находится из уравнения

(9)

${{q}_{2}} - {{q}_{1}} + \kappa - 2\kappa {\text{ln}}\left[ {\alpha {{{(\rho _{s}^{0})}}^{{ - 1}}} + \frac{\kappa }{2}\rho _{s}^{0}{{\alpha }^{{ - 1}}}} \right] - \kappa {{(\rho _{s}^{0})}^{2}}{{\left[ {1 + \frac{\kappa }{2}{{{(\rho _{s}^{0})}}^{2}}} \right]}^{{ - 2}}} = 0$

Ряды (7) будут сходящимися, если удовлетворяются требования, содержащиеся в критерии аналитичности по малым параметрам в окрестности ${{\varepsilon }_{i}} = 0$ ($i = 1,2$) [13]. В результате проведенных исследований было получено следующее условие

(10)

${{q}_{1}} - {{q}_{2}} = {{q}_{ * }},\quad {{q}_{1}} - {{q}_{2}} = {{q}_{{ * * }}}$

Здесь через ${{q}_{ * }}$ наибольший отрицательный корень системы уравнений (9) и (11) при ${{q}_{2}} = 0$, $\kappa = - k{\text{/}}G$,

(11)

$\begin{gathered} \Delta = \kappa {{(\rho _{s}^{0})}^{4}}\left\{ {\kappa {{{(\rho _{s}^{0})}}^{2}}{{\alpha }^{{ - 2}}} - 1 - \frac{\kappa }{2}{{{(\rho _{s}^{0})}}^{2}} - \frac{\kappa }{2}{{{(\rho _{s}^{0})}}^{{ - 2}}} + 2\kappa {\text{ln}}\frac{\alpha }{{\rho _{s}^{0}}}} \right. + \\ + \;\left. {{{{\left[ {{{{(\rho _{s}^{0})}}^{{ - 1}}} + \frac{\kappa }{2}\rho _{s}^{0}} \right]}}^{4}}} \right\} = 0 \\ \end{gathered} $

а через ${{q}_{{ * * }}}$ – наименьший положительный корень этой системы уравнений при ${{q}_{2}} = 0$, $\kappa = k{\text{/}}G$.

Таким образом, если значения параметров сжимающих усилий ${{q}_{1}}$, ${{q}_{2}}$ не выходят за пределы области, ограниченной (10), то решение исходной задачи будет аналитическими функциями параметров ε_i в окрестности точки ${{\varepsilon }_{i}} = 0$.

Для определения компонент разложения (7) были получены задачи, в которых уравнения равновесия, условие несжимаемости аналогичны (1) и (2), а реологические соотношения и граничные условия принимают вид:

Для компонент с индексом “10”

(12)

$\sigma _{\rho }^{{10e}} - \sigma _{\theta }^{{10e}} = 4\frac{{\partial {{u}^{{10e}}}}}{{\partial \rho }},\quad {{\tau }^{{10e}}} = \frac{{\partial {{{v}}^{{10e}}}}}{{\partial \rho }} - \frac{{{{{v}}^{{10e}}}}}{\rho } + \frac{1}{\rho }\frac{{\partial {{u}^{{10e}}}}}{{\partial \theta }}$

(13)

$\sigma _{\rho }^{{10p}} - \sigma _{\theta }^{{10p}} = 0,\quad 4\frac{{\partial {{u}^{{0p}}}}}{{\partial \rho }}{{\tau }^{{10p}}} = \left( {\frac{{\partial {{{v}}^{{10p}}}}}{{\partial \rho }} - \frac{{{{{v}}^{{10p}}}}}{\rho } + \frac{1}{\rho }\frac{{\partial {{u}^{{10p}}}}}{{\partial \theta }}} \right)(\sigma _{\rho }^{{0p}} - \sigma _{\theta }^{{0p}})$

при $\rho = {{g}_{0}} = {{\rho }_{0}} + {{u}^{0}}\left( {{{\rho }_{0}}} \right)$ (${{\rho }_{0}} = 1$ и ${{\rho }_{0}} = \alpha $)

(14)

$\begin{gathered} \sigma _{\rho }^{{10}} + \frac{{d\sigma _{\rho }^{0}}}{{d\rho }}\left[ {\left( {1 - \frac{{{{u}^{0}}\left( {{{\rho }_{0}}} \right)}}{{{{\rho }_{0}}}}} \right){{f}_{2}}(\theta ) + {{u}^{{10}}}(\theta ,{{\rho }_{0}})} \right] = 0 \\ \tau _{{}}^{{10}} + \frac{{\sigma _{\rho }^{0} - \sigma _{\theta }^{0}}}{\rho }\left[ {\left( {1 - \frac{{{{u}^{0}}\left( {{{\rho }_{0}}} \right)}}{{{{\rho }_{0}}}}} \right)\frac{{d{{f}_{2}}}}{{d\theta }} + \frac{{\partial {{u}^{{10}}}(\theta ,{{\rho }_{0}})}}{{\partial \theta }}} \right] = 0 \\ \end{gathered} $

Для компонент с индексом “01”

(15)

$\begin{gathered} (\sigma _{\rho }^{{0p}} - \sigma _{\theta }^{{0p}})(\sigma _{\rho }^{{01p}} - \sigma _{\theta }^{{01p}}) = 4\kappa {{f}_{1}}(\theta ), \\ 4\frac{{\partial {{u}^{{0p}}}}}{{\partial \rho }}{{\tau }^{{01p}}} = \left( {\frac{{\partial {{{v}}^{{01p}}}}}{{\partial \rho }} - \frac{{{{{v}}^{{01p}}}}}{\rho } + \frac{1}{\rho }\frac{{\partial {{u}^{{01p}}}}}{{\partial \theta }}} \right)(\sigma _{\rho }^{{0p}} - \sigma _{\theta }^{{0p}}) \\ \end{gathered} $

(16)

$\begin{gathered} \sigma _{\rho }^{{01e}} - \sigma _{\theta }^{{01e}} = 4\left( {\frac{{\partial {{u}^{{01e}}}}}{{\partial \rho }} + {{f}_{1}}(\theta )\frac{{\partial {{u}^{{0e}}}}}{{\partial \rho }}} \right), \\ {{\tau }^{{01e}}} = \frac{{\partial {{{v}}^{{01e}}}}}{{\partial \rho }} - \frac{{{{{v}}^{{01e}}}}}{\rho } + \frac{1}{\rho }\frac{{\partial {{u}^{{01e}}}}}{{\partial \theta }} + {{f}_{1}}(\theta ){{\tau }^{{0e}}} \\ \end{gathered} $

при $\rho = {{g}_{0}} = {{\rho }_{0}} + {{u}^{0}}\left( {{{\rho }_{0}}} \right)$ (${{\rho }_{0}} = 1$ и ${{\rho }_{0}} = \alpha $)

(17)

$\sigma _{\rho }^{{01}} + \frac{{d\sigma _{\rho }^{0}}}{{d\rho }}u_{{}}^{{01p}}(\theta ,{{\rho }_{0}}) = 0,\quad \tau _{{}}^{{01}} + \frac{{\sigma _{\rho }^{0} - \sigma _{\theta }^{0}}}{\rho }\frac{{\partial u_{{}}^{{01}}}}{{\partial \theta }}(\theta ,{{\rho }_{0}}) = 0$

Вид граничных условий (14) при пренебрежении u¹⁰ соответствуют приведенным в [3], а условия (17) с точностью до обозначений совпадает с полученными в [12].

Для компонент с индексом “20” реологические соотношения упругой зоны аналогичны (12), а для пластической области принимают вид

(18)

$\begin{gathered} 2(\sigma _{\rho }^{{0p}} - \sigma _{\theta }^{{0p}})(\sigma _{\rho }^{{20p}} - \sigma _{\theta }^{{20p}}) + {{(\sigma _{\rho }^{{10p}} - \sigma _{\theta }^{{10p}})}^{2}} + 4{{({{\tau }^{{10p}}})}^{2}} = 0 \\ 4\frac{{\partial {{u}^{{0p}}}}}{{\partial \rho }}{{\tau }^{{20p}}} - \left( {\frac{{\partial {{{v}}^{{20p}}}}}{{\partial \rho }} - \frac{{{{{v}}^{{20p}}}}}{\rho } + \frac{1}{\rho }\frac{{\partial {{u}^{{20p}}}}}{{\partial \theta }}} \right)(\sigma _{\rho }^{{0p}} - \sigma _{\theta }^{{0p}}) = \\ = \;\left( {\frac{{\partial {{{v}}^{{10p}}}}}{{\partial \rho }} - \frac{{{{{v}}^{{10p}}}}}{\rho } + \frac{1}{\rho }\frac{{\partial {{u}^{{10p}}}}}{{\partial \theta }}} \right)(\sigma _{\rho }^{{10p}} - \sigma _{\theta }^{{10p}}) - 4\frac{{\partial {{u}^{{10p}}}}}{{\partial \rho }}{{\tau }^{{10p}}} \\ \end{gathered} $

Граничные условия при $\rho = {{g}_{0}} = {{\rho }_{0}} + {{u}^{0}}\left( {{{\rho }_{0}}} \right)$ (${{\rho }_{0}} = 1$ и ${{\rho }_{0}} = \alpha $) следующие:

(19)

$\begin{gathered} \sigma _{\rho }^{{20}} + \frac{{d\sigma _{\rho }^{0}}}{{d\rho }}{{g}^{{20}}} + \frac{{\partial \sigma _{\rho }^{{10}}}}{{\partial \rho }}{{g}^{{10}}} + \frac{1}{2}\frac{{d\sigma _{\rho }^{0}}}{{d\rho }}{{({{g}^{{10}}})}^{2}} + (\sigma _{\rho }^{0} - \sigma _{\theta }^{0}){{\left( {\frac{{{{{\dot {g}}}^{{10}}}}}{{{{g}^{0}}}}} \right)}^{2}} - 2{{\tau }^{{10}}}\frac{{{{{\dot {g}}}^{{10}}}}}{{{{g}^{0}}}} = 0; \\ \tau _{{}}^{{20}} + \left( {\frac{{\partial (\sigma _{\rho }^{0} - \sigma _{\theta }^{0})}}{{\partial \rho }}\frac{{{{{\dot {g}}}^{{10}}}}}{{{{g}^{0}}}} + \frac{{\partial \tau _{{}}^{{10}}}}{{\partial \rho }}} \right){{g}^{{10}}} + \\ + \;(\sigma _{\rho }^{0} - \sigma _{\theta }^{0}){{\left( {\frac{{{{g}^{{10}}}{{{\dot {g}}}^{{10}}}}}{{{{{({{g}^{0}})}}^{2}}}} - \frac{{{{{\dot {g}}}^{{20}}}}}{{{{g}^{0}}}}} \right)}^{2}} + (\sigma _{\rho }^{{10}} - \sigma _{\theta }^{{10}})\frac{{{{{\dot {g}}}^{{10}}}}}{{{{g}^{0}}}} = 0 \\ \end{gathered} $

Здесь точка наверху означает дифференцирование по θ.

Для приближения “02” физические соотношения имеют вид

(20)

$\begin{gathered} \sigma _{\rho }^{{02e}} - \sigma _{\theta }^{{02e}} = 4\left( {\frac{{\partial {{u}^{{02e}}}}}{{\partial \rho }} + {{f}_{1}}(\theta )\frac{{\partial {{u}^{{01e}}}}}{{\partial \rho }}} \right) \\ {{\tau }^{{02e}}} = \frac{{\partial {{{v}}^{{02e}}}}}{{\partial \rho }} - \frac{{{{{v}}^{{02e}}}}}{\rho } + \frac{1}{\rho }\frac{{\partial {{u}^{{02e}}}}}{{\partial \theta }} + {{f}_{1}}(\theta )\left( {\frac{{\partial {{{v}}^{{01e}}}}}{{\partial \rho }} - \frac{{{{{v}}^{{01e}}}}}{\rho } + \frac{1}{\rho }\frac{{\partial {{u}^{{01e}}}}}{{\partial \theta }}} \right) \\ 2(\sigma _{\rho }^{{0p}} - \sigma _{\theta }^{{0p}})(\sigma _{\rho }^{{02p}} - \sigma _{\theta }^{{02p}}) + {{(\sigma _{\rho }^{{01p}} - \sigma _{\theta }^{{01p}})}^{2}} + 4{{({{\tau }^{{01p}}})}^{2}} = 4{{\left( {{{f}_{1}}(\theta )} \right)}^{2}} \\ 4\frac{{\partial {{u}^{{0p}}}}}{{\partial \rho }}{{\tau }^{{02p}}} - \left( {\frac{{\partial {{{v}}^{{02p}}}}}{{\partial \rho }} - \frac{{{{{v}}^{{02p}}}}}{\rho } + \frac{1}{\rho }\frac{{\partial {{u}^{{02p}}}}}{{\partial \theta }}} \right)(\sigma _{\rho }^{{0p}} - \sigma _{\theta }^{{0p}}) = \\ = \;\left( {\frac{{\partial {{{v}}^{{01p}}}}}{{\partial \rho }} - \frac{{{{{v}}^{{01p}}}}}{\rho } + \frac{1}{\rho }\frac{{\partial {{u}^{{01p}}}}}{{\partial \theta }}} \right)(\sigma _{\rho }^{{01p}} - \sigma _{\theta }^{{01p}}) - 4\frac{{\partial {{u}^{{01p}}}}}{{\partial \rho }}{{\tau }^{{01p}}} \\ \end{gathered} $

Граничные условия в этом случае аналогичны (19), в которых следует индексы “20” и “10” заменить соответственно на “02” и “01”.

Для приближения “11” получены реологические соотношения в виде

(21)

$\begin{gathered} \sigma _{\rho }^{{11e}} - \sigma _{\theta }^{{11e}} = 4\left( {\frac{{\partial {{u}^{{11e}}}}}{{\partial \rho }} + {{f}_{1}}(\theta )\frac{{\partial {{u}^{{10e}}}}}{{\partial \rho }}} \right) \\ {{\tau }^{{11e}}} = \frac{{\partial {{{v}}^{{11e}}}}}{{\partial \rho }} - \frac{{{{{v}}^{{11e}}}}}{\rho } + \frac{1}{\rho }\frac{{\partial {{u}^{{11e}}}}}{{\partial \theta }} + {{f}_{1}}(\theta )\left( {\frac{{\partial {{{v}}^{{10e}}}}}{{\partial \rho }} - \frac{{{{{v}}^{{10e}}}}}{\rho } + \frac{1}{\rho }\frac{{\partial {{u}^{{10e}}}}}{{\partial \theta }}} \right) \\ (\sigma _{\rho }^{{0p}} - \sigma _{\theta }^{{0p}})(\sigma _{\rho }^{{11p}} - \sigma _{\theta }^{{11p}}) + (\sigma _{\rho }^{{10p}} - \sigma _{\theta }^{{10p}})(\sigma _{\rho }^{{01p}} - \sigma _{\theta }^{{01p}}) + 4{{\tau }^{{01p}}}{{\tau }^{{10p}}} = 0 \\ 4\frac{{\partial {{u}^{{0p}}}}}{{\partial \rho }}{{\tau }^{{11p}}} - \left( {\frac{{\partial {{{v}}^{{11p}}}}}{{\partial \rho }} - \frac{{{{{v}}^{{11p}}}}}{\rho } + \frac{1}{\rho }\frac{{\partial {{u}^{{11p}}}}}{{\partial \theta }}} \right)(\sigma _{\rho }^{{0p}} - \sigma _{\theta }^{{0p}}) = \\ = \;\left( {\frac{{\partial {{{v}}^{{01p}}}}}{{\partial \rho }} - \frac{{{{{v}}^{{01p}}}}}{\rho } + \frac{1}{\rho }\frac{{\partial {{u}^{{01p}}}}}{{\partial \theta }}} \right)(\sigma _{\rho }^{{10p}} - \sigma _{\theta }^{{10p}}) + \left( {\frac{{\partial {{{v}}^{{10p}}}}}{{\partial \rho }} - \frac{{{{{v}}^{{10p}}}}}{\rho } + \frac{1}{\rho }\frac{{\partial {{u}^{{10p}}}}}{{\partial \theta }}} \right)(\sigma _{\rho }^{{01p}} - \sigma _{\theta }^{{01p}}) - \\ - \;4\left( {\frac{{\partial {{u}^{{10p}}}}}{{\partial \rho }}{{\tau }^{{01p}}} + \frac{{\partial {{u}^{{01p}}}}}{{\partial \rho }}{{\tau }^{{10p}}}} \right) \\ \end{gathered} $

Граничные условия при $\rho = {{g}_{0}} = {{\rho }_{0}} + {{u}^{0}}\left( {{{\rho }_{0}}} \right)$ (${{\rho }_{0}} = 1$ и ${{\rho }_{0}} = \alpha $) такие

(22)

$\begin{gathered} \sigma _{\rho }^{{11}} + \frac{{d\sigma _{\rho }^{0}}}{{d\rho }}g_{{}}^{{11}} + \frac{{{{d}^{2}}\sigma _{\rho }^{0}}}{{d{{\rho }^{2}}}}g_{{}}^{{01}}{{g}^{{10}}} + \frac{{\partial \sigma _{\rho }^{{01}}}}{{\partial \rho }}{{g}^{{10}}} + \frac{{\partial \sigma _{\rho }^{{10}}}}{{\partial \rho }}g_{{}}^{{01}} = 0 \\ \tau _{{}}^{{11}} + \frac{{\partial \tau _{{}}^{{01}}}}{{\partial \rho }}{{g}^{{10}}} + \frac{{\partial \tau _{{}}^{{10}}}}{{\partial \rho }}g_{{}}^{{01}} = 0 \\ \end{gathered} $

В (19), (22) компоненты разложения функции, характеризующей контуры сечения трубы в деформированном состоянии, будут следующими (с учетом ${{{v}}^{0}} = 0$, ${{\dot {g}}_{0}} = 0$):

$\begin{gathered} {{g}^{{10}}}(\theta ,{{\rho }_{0}}) = {{u}^{{10}}} + \left( {\frac{{d{{u}^{0}}}}{{d\rho }} + 1} \right){{f}_{2}}(\theta ),\quad {{g}^{{01}}}(\theta ,{{\rho }_{0}}) = {{u}^{{01}}} \\ {{g}^{{20}}}(\theta ,{{\rho }_{0}}) = {{u}^{{20}}} + \frac{{{{d}^{2}}{{u}^{0}}}}{{d{{\rho }^{2}}}}\frac{{{{{\left( {{{f}_{2}}(\theta )} \right)}}^{2}}}}{2} + {{f}_{2}}(\theta )\frac{{\partial {{u}^{{10}}}}}{{\partial \rho }} + \frac{{{{{({{{v}}^{{10}}})}}^{2}} - {{{({{u}^{{10}}})}}^{2}} - 2{{u}^{{10}}}\left( {\frac{{d{{u}^{0}}}}{{d\rho }} + 1} \right){{f}_{2}}(\theta ) - 2{{{v}}^{{10}}}{{{\dot {g}}}^{{10}}}}}{{2{{g}_{0}}}} \\ {{g}^{{02}}}(\theta ,{{\rho }_{0}}) = {{u}^{{02}}} + \frac{{{{{({{{v}}^{{01}}})}}^{2}} - 2{{{v}}^{{01}}}{{{\dot {g}}}^{{01}}}}}{{2{{g}_{0}}}}, \\ {{g}^{{11}}}(\theta ,{{\rho }_{0}}) = {{u}^{{11}}} + {{f}_{2}}(\theta )\frac{{\partial {{u}^{{01}}}}}{{\partial \rho }} + \frac{{{{{v}}^{{01}}}{{{v}}^{{10}}} - {{{v}}^{{01}}}{{{\dot {g}}}^{{10}}} - {{{v}}^{{10}}}{{{\dot {g}}}^{{01}}}}}{{{{g}_{0}}}} \\ \end{gathered} $

Условия сопряжения при $\rho = \rho _{s}^{0} + {{u}^{0}}(\rho _{s}^{0})$ имеют вид вполне аналогичный соотношениям из [3].

Поскольку задачи, включающие (18)–(22), весьма сложны для нахождения аналитического решения, ограничимся рассмотрением часто встречающегося на практике случая, когда $\left| {A{\text{/}}{{\rho }_{0}}} \right| \ll 1$.

Для функций, характеризующих отклонение свойств материала трубы от однородных и контуров сечения от окружностей, ${{f}_{i}}\left( \theta \right) = {\text{cos}}\theta $ ($i = 1,\;2$) было найдено решение с точностью до величин второго порядка малости.

Поскольку случайные величины ${{\varepsilon }_{1}}$ и ${{\varepsilon }_{2}}$ являются независимыми, то

(23)

$\langle \sigma _{\rho }^{p}\rangle = \sigma _{\rho }^{{0p}} + \langle \varepsilon _{1}^{2}\rangle \sigma _{\rho }^{{20p}} + \langle \varepsilon _{2}^{2}\rangle \sigma _{\rho }^{{02p}}, \ldots ,\langle {{{v}}^{e}}\rangle = {v}_{{}}^{{0e}} + \langle \varepsilon _{1}^{2}\rangle {v}_{{}}^{{20e}} + \langle \varepsilon _{2}^{2}\rangle {v}_{{}}^{{02e}}$

где

$\begin{gathered} \sigma _{\rho }^{{20p}} = \frac{{\sqrt 3 }}{\rho }\left( { - С_{1}^{{20}}{\text{sin}}(\sqrt 3 {\text{ln}}\rho ) + С_{2}^{{20}}{\text{cos}}(\sqrt 3 {\text{ln}}\rho ) - \frac{{{{{(С_{1}^{{10}})}}^{2}}}}{{2\sqrt 3 \kappa \rho }}} \right){\text{cos2}}\theta + \frac{{{{{(С_{1}^{{10}})}}^{2}}}}{{4\kappa {{\rho }^{2}}}} \\ \sigma _{\theta }^{{20p}} = - \frac{{\sqrt 3 }}{\rho }(С_{1}^{{20}}{\text{sin}}(\sqrt 3 {\text{ln}}\rho ) - С_{2}^{{20}}{\text{cos}}(\sqrt 3 {\text{ln}}\rho )){\text{cos2}}\theta - \frac{{{{{(С_{1}^{{10}})}}^{2}}}}{{4\kappa {{\rho }^{2}}}} \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} \tau _{{}}^{{20p}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{2\rho }}\left( {(С_{1}^{{20}} - \sqrt 3 С_{2}^{{20}}){\text{sin}}(\sqrt 3 {\text{ln}}\rho ) - (С_{2}^{{20}} + \sqrt 3 С_{1}^{{20}}){\text{cos}}(\sqrt 3 {\text{ln}}\rho ) + \frac{{{{{(С_{1}^{{10}})}}^{2}}}}{{2\sqrt 3 \kappa \rho }}} \right){\text{sin2}}\theta \\ u_{{}}^{{20p}} = - \left( {\left( {2С_{3}^{{20}} + \frac{{\sqrt 3 }}{4}\rho _{s}^{0}{{\rho }^{{ - 2}}}С_{2}^{{20}}} \right)} \right.{\text{cos}}(\sqrt 3 {\text{ln}}\rho ) + \\ + \;\left( {2С_{4}^{{20}} - \frac{{\sqrt 3 }}{4}\rho _{s}^{0}{{\rho }^{{ - 2}}}С_{1}^{{20}}} \right){\text{sin}}(\sqrt 3 {\text{ln}}\rho )\left. { - \frac{{С_{1}^{{10}}\rho _{s}^{0}}}{{6\kappa {{\rho }^{3}}}} - \frac{{С_{1}^{{10}}С_{3}^{{10}}}}{{2\kappa \rho }}} \right){\text{cos2}}\theta \\ {v}_{{}}^{{20p}} = \left( {\left( {С_{3}^{{20}} + \sqrt 3 С_{4}^{{20}} - \frac{{\sqrt 3 }}{4}\rho _{s}^{0}{{\rho }^{{ - 2}}}(С_{2}^{{20}} + \sqrt 3 С_{1}^{{20}})} \right){\text{cos}}(\sqrt 3 {\text{ln}}\rho ) + } \right. \\ + \;\left( {С_{4}^{{20}} - \sqrt 3 С_{3}^{{20}} + \frac{{\sqrt 3 }}{4}\rho _{s}^{0}{{\rho }^{{ - 2}}}(С_{1}^{{20}} - \sqrt 3 С_{2}^{{20}})} \right){\text{sin}}(\sqrt 3 {\text{ln}}\rho )\left. { - \frac{{С_{1}^{{10}}\rho _{s}^{0}}}{{6\kappa }}{{\rho }^{{ - 3}}}} \right){\text{sin2}}\theta \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} \sigma _{\rho }^{{20е}} = 4(2C_{5}^{{20}}{{\rho }^{{ - 2}}} - C_{6}^{{20}} + 3С_{7}^{{20}}{{\rho }^{{ - 4}}}){\text{cos2}}\theta + \frac{3}{4}A{{\rho }^{{ - 2}}} \\ \sigma _{\theta }^{{20е}} = 4(C_{6}^{{20}} + 6C_{8}^{{20}}{{\rho }^{2}} - 3С_{7}^{{20}}{{\rho }^{{ - 4}}}){\text{cos2}}\theta - \frac{3}{4}A{{\rho }^{{ - 2}}} \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} \tau _{{}}^{{20е}} = 4(C_{5}^{{20}}{{\rho }^{{ - 2}}} + C_{6}^{{20}} + 3С_{7}^{{20}}{{\rho }^{{ - 4}}} + 3C_{8}^{{20}}{{\rho }^{2}}){\text{sin2}}\theta \\ u_{{}}^{{20е}} = - 2(C_{5}^{{20}}{{\rho }^{{ - 1}}} + C_{6}^{{20}}\rho + С_{7}^{{20}}{{\rho }^{{ - 3}}} + C_{8}^{{20}}{{\rho }^{3}} + С_{9}^{{20}}){\text{cos2}}\theta - \frac{3}{4}A{{\rho }^{{ - 1}}} \\ {v}_{{}}^{{20е}} = (2C_{6}^{{20}}\rho - 2С_{7}^{{20}}{{\rho }^{{ - 3}}} + 4C_{8}^{{20}}{{\rho }^{3}} - С_{9}^{{20}}){\text{sin2}}\theta ,\quad \rho _{s}^{{20}} = С_{9}^{{20}}\cos 2\theta \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} \sigma _{\rho }^{{02p}} = \frac{{\sqrt 3 }}{\rho }\left( { - С_{1}^{{20}}{\text{sin(}}\sqrt 3 {\text{ln}}\rho {\text{)}} + С_{2}^{{20}}{\text{cos(}}\sqrt 3 {\text{ln}}\rho {\text{)}} - \frac{{{{{(С_{2}^{{01}})}}^{2}}}}{{2\sqrt 3 \kappa \rho }} - \frac{{2С_{2}^{{01}}}}{{3\sqrt 3 \kappa }}} \right){\text{cos2}}\theta + \frac{{{{{(С_{2}^{{01}})}}^{2}}}}{{4\kappa {{\rho }^{2}}}} + \frac{{2С_{2}^{{01}}}}{{3\kappa \rho }} + \frac{1}{{9\kappa }} \\ \sigma _{\theta }^{{02p}} = - \frac{{\sqrt 3 }}{\rho }(С_{1}^{{20}}{\text{sin(}}\sqrt 3 {\text{ln}}\rho {\text{)}} - С_{2}^{{20}}{\text{cos(}}\sqrt 3 {\text{ln}}\rho {\text{)}}){\text{cos2}}\theta - \frac{{{{{(С_{2}^{{01}})}}^{2}}}}{{4\kappa {{\rho }^{2}}}} + \frac{1}{{9\kappa }}; \\ \tau _{{}}^{{02p}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{\rho }\left( {(С_{1}^{{02}} - \sqrt 3 С_{2}^{{02}}){\text{sin(}}\sqrt 3 {\text{ln}}\rho {\text{)}} - (С_{2}^{{02}} + \sqrt 3 С_{1}^{{02}}){\text{cos(}}\sqrt 3 {\text{ln}}\rho {\text{)}} + \frac{{{{{(С_{2}^{{01}})}}^{2}}}}{{8\sqrt 3 \kappa \rho }}} \right){\text{sin2}}\theta ; \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} u_{{}}^{{02p}} = - \left( {\left( {2С_{3}^{{02}} + \frac{{\sqrt 3 }}{4}\rho _{s}^{0}{{\rho }^{{ - 2}}}С_{2}^{{02}}} \right){\text{cos(}}\sqrt 3 {\text{ln}}\rho {\text{)}} + \left( {2С_{4}^{{02}} - \frac{{\sqrt 3 }}{4}\rho _{s}^{0}{{\rho }^{{ - 2}}}С_{1}^{{02}}} \right){\text{sin(}}\sqrt 3 {\text{ln}}\rho {\text{)}}} \right. - \\ \left. { - \frac{{{{{(С_{2}^{{01}})}}^{2}}\rho _{s}^{0}}}{{8\kappa }}{{\rho }^{{ - 3}}} - \frac{{17С_{2}^{{01}}\rho _{s}^{0}}}{{84}}{{\rho }^{{ - 2}}} + \left( {\frac{{\rho _{s}^{0}}}{{18}} + \frac{{С_{2}^{{01}}С_{4}^{{01}}}}{4}} \right){{\rho }^{{ - 1}}} - \frac{2}{9}С_{4}^{{01}}} \right){\text{cos2}}\theta ; \\ {v}_{{}}^{{02p}} = \left( {\left( {С_{3}^{{02}} + \sqrt 3 С_{4}^{{02}} - \frac{{\sqrt 3 }}{4}\rho _{s}^{0}{{\rho }^{{ - 2}}}(С_{2}^{{02}} + \sqrt 3 С_{1}^{{02}})} \right){\text{cos(}}\sqrt 3 {\text{ln}}\rho {\text{)}}} \right. + \\ + \left( {С_{4}^{{02}}\, - \,\sqrt 3 С_{3}^{{02}}\, + \,\frac{{\sqrt 3 }}{4}\rho _{s}^{0}{{\rho }^{{ - 2}}}(С_{1}^{{02}}\, - \,\sqrt 3 С_{2}^{{02}})} \right){\text{sin(}}\sqrt 3 {\text{ln}}\rho {\text{)}}\,\left. { + \,\frac{{{{{(С_{2}^{{01}})}}^{2}}\rho _{s}^{0}}}{{4\kappa }}{{\rho }^{{ - 3}}}\, + \,\frac{{17С_{2}^{{01}}\rho _{s}^{0}}}{{84}}{{\rho }^{{ - 2}}}\, - \,\frac{2}{9}С_{4}^{{01}}} \right){\text{sin2}}\theta \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} \sigma _{\rho }^{{02е}} = \left( { - 4C_{5}^{{02}} + 8C_{6}^{{02}}{{\rho }^{{ - 2}}} + 12С_{8}^{{02}}{{\rho }^{{ - 4}}} - \frac{4}{{15}}C_{5}^{{01}}\rho + } \right. \\ + \;\frac{4}{3}C_{6}^{{01}}{{\rho }^{{ - 3}}} + \frac{{{\text{4A}}}}{3}{{\rho }^{{ - 2}}}{\text{ln}}\rho + \left. {\frac{{{\text{5A}}}}{3}{{\rho }^{{ - 2}}}} \right){\text{cos2}}\theta + 4C_{5}^{{01}}\rho + \frac{4}{3}C_{6}^{{01}}{{\rho }^{{ - 3}}} + \frac{{{\text{4A}}}}{3}{{\rho }^{{ - 2}}} \\ \sigma _{\theta }^{{02е}} = \left( {4C_{5}^{{02}} + 24C_{7}^{{02}}{{\rho }^{2}} - 12С_{8}^{{02}}{{\rho }^{{ - 4}}} + \frac{8}{5}C_{5}^{{01}}\rho - \frac{8}{{15}}C_{6}^{{01}}{{\rho }^{{ - 3}}} + \frac{{\text{A}}}{3}{{\rho }^{{ - 2}}}} \right) \times \\ \times \;{\text{cos2}}\theta + 8C_{5}^{{01}}\rho - \frac{8}{3}C_{6}^{{01}}{{\rho }^{{ - 3}}} - \frac{{{\text{4A}}}}{3}{{\rho }^{{ - 2}}} \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} \tau _{{}}^{{02е}} = \left( {4C_{5}^{{02}} + 4C_{6}^{{02}}{{\rho }^{{ - 2}}} + 12C_{7}^{{02}}{{\rho }^{2}} + 12С_{8}^{{02}}{{\rho }^{{ - 4}}}{{ + }_{{_{{_{{_{{_{{_{{}}}}}}}}}}}}}} \right. \\ \left. { + \;\frac{{16}}{{15}}C_{5}^{{01}}\rho + \frac{{16}}{{15}}C_{6}^{{01}}{{\rho }^{{ - 3}}} + \frac{{\text{A}}}{3}{{\rho }^{{ - 2}}}{\text{(ln}}\rho + 1)} \right){\text{sin2}}\theta \\ u_{{}}^{{02е}} = - 2\left( {C_{5}^{{02}}\rho + C_{6}^{{02}}{{\rho }^{{ - 1}}} + C_{7}^{{02}}{{\rho }^{3}} + С_{8}^{{02}}{{\rho }^{{ - 3}}}{{ + }_{{_{{_{{_{{_{{_{{}}}}}}}}}}}}}} \right. \\ + \;С_{9}^{{02}} - \frac{2}{{15}}C_{5}^{{01}}{{\rho }^{2}} - \frac{2}{{15}}C_{6}^{{01}}{{\rho }^{{ - 2}}} + \left. {\frac{{\text{A}}}{6}{{\rho }^{{ - 1}}}{\text{ln}}\rho } \right){\text{cos2}}\theta \\ {v}_{{}}^{{02е}} = \left( {2C_{5}^{{02}}\rho + 4C_{7}^{{02}}{{\rho }^{3}} - 2С_{8}^{{02}}{{\rho }^{{ - 3}}} - С_{9}^{{02}} - \frac{2}{5}C_{5}^{{01}}{{\rho }^{2}} + \frac{2}{{15}}C_{6}^{{01}}{{\rho }^{{ - 2}}} + \frac{{\text{A}}}{6}{{\rho }^{{ - 1}}}} \right){\text{sin2}}\theta , \\ \rho _{s}^{{02}} = С_{9}^{{02}}\cos 2\theta \\ \end{gathered} $

Выражения для констант $С_{k}^{{ij}}$ достаточно громоздкие и поэтому не приводятся.

Из (23) следует, что в случае экспериментального исследования среднестатистические значения напряжений и перемещений будут отличаться от значений, соответствующих осесимметричному состоянию (8), на величину $\langle \varepsilon _{i}^{2}\rangle $ при условии, что параметры внешних воздействий содержатся внутри полосы (10). Если же характеристики материала, размеры поперечного сечения и сжимающие усилия таковы, что нарушается условие (10), то среднестатистические значения напряжений и перемещений превзойдут значения, соответствующие нулевому приближению (8), более, чем на величину второго порядка малости. В этом случае (7) уже не являются сходящимися рядами, позволяющими определять напряженно-деформированного состояния трубы с заданной погрешностью.

Список литературы

Ломакин В.А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел. М.: Наука, 1970. 137 с.
Ломакин В.А., Шейнин В.И. Статистические характеристики полей напряжений в случайно-неоднородной упругой плоскости // Изв. АН СССР. МТТ. 1970. № 4. С. 124–130.
Ивлев Д.Д., Ершов Л.В. Метод возмущений в теории упругопластического тела. М.: Наука, 1978. 208 с.
Болотин В.В. Статистические методы в строительной механике. М.: Изд-во лит-ры по строительству, 1965. 208 с.
Ильюшин А.А. Пластичность. М.: Гостехиздат, 1948. 376 с.
Радченко В.П., Попов Н.Н. Использование метода малого параметра для решения стохастических нелинейных задач теории установившейся ползучести // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева Серия: Механика предельного состояния. 2013. № 1 (15). С. 185–194.
Должковой А.А., Попов Н.Н., Радченко В.П. Решение стохастической краевой задачи установившейся ползучести для толстостенной трубы методом малого параметра // ПМТФ. 2006. Т. 47. № 1. С. 161–171.
Гузь А.Н., Немиш Ю.Н. Метод возмущения формы границы в механике сплошных сред. Киев: Выща школа, 1989. 352 с.
Качанов Л.М. Пластическое кручение круглых стержней переменного диаметра // ПММ. 1948. Т. 12. № 4. С. 375–386.
Кунташев П.А., Немировский Ю.В. О сходимости метода возмущений в задачах теории упругости неоднородных тел // Изв. АН СССР. МТТ. 1985. № 3. С. 75–78.
Башканкова Е.А., Вакаева А.Б., Греков М.А. Метод возмущений в задаче о почти круговом отверстии в упругой плоскости // Изв. РАН МТТ. 2015. № 2. С. 106–117.
Ишлинский А.Ю. Рассмотрение вопросов об устойчивости равновесия упругих тел с точки зрения математической теории упругости // Укр. матем. журнал. 1954. Т. 6. № 2. С. 140–146.
Минаева Н.В. Метод возмущений в механике деформируемых тел. М.: Научная книга, 2002. 156 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Механика твердого тела

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал