Известия РАН. Механика твердого тела, 2021, № 2, стр. 88-97

УРАВНЕНИЕ ТРОГАНИЯ ПОЕЗДА

И. П. Попов^*

Курганский государственный университет
Курган, Россия

Поступила в редакцию 11.11.2019
После доработки 18.11.2019
Принята к публикации 20.11.2019

DOI: 10.31857/S0572329921020148

Аннотация

Показано, что трогание состава с упругими сцепками значительно легче, чем недеформируемого. При этом, чем больше число вагонов, тем больше преимущество первого над вторым.

Ключевые слова: поезд, трогание, сцепки, трение, перемещение, скорость

Введение. Сила трения покоя значительно превосходит силу трения движения. Это приводит к тому, что режим трогания для наземного транспортного средства является наиболее тяжелым. Для поездов этот режим представляет настолько серьезную проблему, что иногда приходится принимать специальные меры, такие как использование песка в зоне контакта бандажа колеса с рельсом или вспомогательного локомотива.

Эффективным способом трогания поезда является выбор зазоров в сцепках. При этом вагоны приводятся в движение последовательно и инертная масса непосредственно в момент трогания минимальна [1].

Этот способ, однако, имеет два существенных недостатка – малую фиксированную величину зазоров в сцепках, что ограничивает эффективность способа и ударный характер передачи импульса, что отрицательно сказывается на состоянии конструктивных элементов поезда.

Указанных недостатков можно избежать, если использовать упруго деформируемые сцепки.

Целью работы является построение математической модели “легкого” трогания поезда с упругими сцепками.

Расчет механической системы в составе массивных локомотива, вагонов и упругих сцепок является достаточно громоздким. Для его минимизации принимаются следующие допущения: сила F, развиваемая локомотивом, – величина постоянная; массы локомотива и вагонов равны между собой и составляют m.

1. Локомотив и один вагон. Уравнение сил, приложенных к локомотиву, имеет вид:

(1.1)

$F = m\frac{{{{d}^{2}}{{x}_{1}}}}{{d{{t}^{2}}}} + k({{x}_{1}} - {{x}_{2}})$

где x₁, x₂ – перемещение, соответственно, локомотива и вагона, k – коэффициент упругости сцепки.

Силы, приложенные к вагону, удовлетворяют уравнению:

$0 = m\frac{{{{d}^{2}}{{x}_{2}}}}{{d{{t}^{2}}}} - k({{x}_{1}} - {{x}_{2}})$

Из последнего уравнения следует

(1.2)

${{x}_{1}} = \frac{m}{k}\frac{{{{d}^{2}}{{x}_{2}}}}{{d{{t}^{2}}}} + {{x}_{2}}$

Подстановка этого выражения в (1.1) дает

(1.3)

$F = \frac{{{{m}^{2}}}}{k}\frac{{{{d}^{4}}{{x}_{2}}}}{{d{{t}^{2}}}} + m\frac{{{{d}^{2}}{{x}_{2}}}}{{d{{t}^{2}}}} + m\frac{{{{d}^{2}}{{x}_{2}}}}{{d{{t}^{2}}}} + k{{x}_{2}} - k{{x}_{2}} = \frac{{{{m}^{2}}}}{k}\frac{{{{d}^{4}}{{x}_{2}}}}{{d{{t}^{2}}}} + 2m\frac{{{{d}^{2}}{{x}_{2}}}}{{d{{t}^{2}}}}$

${\text{Пусть}}\,{{{{d}^{2}}{{x}_{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{d}^{2}}{{x}_{2}}} {d{{t}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {d{{t}^{2}}}} = z$

Тогда (1.3) запишется в виде

(1.5)

$z{\text{''}} + 2\frac{k}{m}z = \frac{{kF}}{{{{m}^{2}}}}$

Характеристическое уравнение

${{r}^{2}} + 2\frac{k}{m} = 0$

Его корни равны

${{r}_{{1,2}}} = \pm i\sqrt {2\frac{k}{m}} $

Общее решение соответствующего однородного уравнения

${{z}_{1}} = {{C}_{1}}\cos \sqrt {2\frac{k}{m}} t + {{C}_{2}}\sin \sqrt {2\frac{k}{m}} t$

Частное решение в соответствии с (1.5) имеет вид

${{z}_{2}} = A$

Подстановка его в (1.5) дает

$2\frac{k}{m}A = \frac{{kF}}{{{{m}^{2}}}}$

откуда

$A = \frac{F}{{2m}}$

Общее решение уравнения (1.5) находится как

$z = {{z}_{1}} + {{z}_{2}} = {{C}_{1}}\cos \sqrt {2\frac{k}{m}} t + {{C}_{2}}\sin \sqrt {2\frac{k}{m}} t + \frac{F}{{2m}}$

В момент времени t = 0 сцепка не деформирована, следовательно, на вагон сила не действует и величина (1.4) равна нулю. Поэтому для t = 0 последнее выражение примет вид:

$z(0) = 0 = {{C}_{1}}\cos \sqrt {2\frac{k}{m}} 0 + {{C}_{2}}\sin \sqrt {2\frac{k}{m}} 0 + \frac{F}{{2m}}$

откуда

${{C}_{1}} = - \frac{F}{{2m}}$

С учетом этого

(1.6)

$z = - \frac{F}{{2m}}\cos \sqrt {2\frac{k}{m}} t + {{C}_{2}}\sin \sqrt {2\frac{k}{m}} t + \frac{F}{{2m}}$

В соответствии с (1.4)

${{{v}}_{2}} = \int {zdt} = - \frac{F}{{2m}}\sqrt {\frac{m}{{2k}}} \sin \sqrt {2\frac{k}{m}} t - {{C}_{2}}\sqrt {\frac{m}{{2k}}} \cos \sqrt {2\frac{k}{m}} t + \frac{F}{{2m}}t + {{C}_{3}}$

(1.7)

${{x}_{2}} = \int {{{{v}}_{2}}dt} = \frac{F}{{4k}}\cos \sqrt {2\frac{k}{m}} t - {{C}_{2}}\frac{m}{{2k}}\sin \sqrt {2\frac{k}{m}} t + \frac{F}{{4m}}{{t}^{2}} + {{C}_{3}}t + {{C}_{4}}$

С учетом (1.2), (1.4), (1.6) и (1.7)

$\begin{gathered} {{x}_{1}} = - \frac{F}{{2k}}\cos \sqrt {2\frac{k}{m}} t + {{C}_{2}}\frac{m}{k}\sin \sqrt {2\frac{k}{m}} t + \frac{F}{{2k}} + \frac{F}{{4k}}\cos \sqrt {2\frac{k}{m}} t - \\ - {{C}_{2}}\frac{m}{{2k}}\sin \sqrt {2\frac{k}{m}} t + \frac{F}{{4m}}{{t}^{2}} + {{C}_{3}}t + {{C}_{4}} \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} {{{v}}_{1}} = \frac{{d{{x}_{1}}}}{{dt}} = \frac{F}{{2k}}\sqrt {2\frac{k}{m}} \sin \sqrt {2\frac{k}{m}} t + {{C}_{2}}\sqrt {2\frac{k}{m}} \frac{m}{k}\cos \sqrt {2\frac{k}{m}} t - \\ - \;\frac{F}{{4k}}\sqrt {2\frac{k}{m}} \sin \sqrt {2\frac{k}{m}} t - {{C}_{2}}\sqrt {2\frac{k}{m}} \frac{m}{{2k}}\cos \sqrt {2\frac{k}{m}} t + \frac{F}{{2m}}t + {{C}_{3}} \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} {{a}_{1}} = \frac{{d{{{v}}_{1}}}}{{dt}} = \frac{F}{{2k}}2\frac{k}{m}\cos \sqrt {2\frac{k}{m}} t - {{C}_{2}}2\frac{k}{m}\frac{m}{k}\sin \sqrt {2\frac{k}{m}} t - \\ - \;\frac{F}{{4k}}2\frac{k}{m}\cos \sqrt {2\frac{k}{m}} t + {{C}_{2}}2\frac{k}{m}\frac{m}{{2k}}\sin \sqrt {2\frac{k}{m}} t + \frac{F}{{2m}} \\ \end{gathered} $

${{x}_{2}}(0) = 0 = \frac{F}{{4k}}\cos \sqrt {2\frac{k}{m}} 0 - {{C}_{2}}\frac{m}{{2k}}\sin \sqrt {2\frac{k}{m}} 0 + \frac{F}{{4m}}{{0}^{2}} + {{C}_{3}}0 + {{C}_{4}}$

$\frac{F}{{4k}} + {{C}_{4}} = 0$

${{C}_{4}} = - \frac{F}{{4k}}$

${{{v}}_{2}}(0) = 0 = - {{C}_{2}}\sqrt {\frac{m}{{2k}}} + {{C}_{3}}$

${{{v}}_{1}}(0) = 0 = {{C}_{2}}\sqrt {2\frac{k}{m}} \frac{m}{k} - {{C}_{2}}\sqrt {2\frac{k}{m}} \frac{m}{{2k}} + {{C}_{3}} = {{C}_{2}}\sqrt {2\frac{k}{m}} \frac{m}{{2k}} + {{C}_{3}}$

$\begin{array}{*{20}{c}} { - {{C}_{2}}\sqrt {\frac{m}{{2k}}} + {{C}_{3}} = 0} \\ {{{C}_{2}}\sqrt {\frac{m}{{2k}}} + {{C}_{3}} = 0} \end{array} \Rightarrow {{C}_{2}} = 0,\quad {{C}_{3}} = 0$

Окончательное решение:

${{x}_{1}} = - \frac{F}{{4k}}\cos \sqrt {\frac{{2k}}{m}} t + \frac{F}{{4m}}{{t}^{2}} + \frac{F}{{4k}}$

${{x}_{2}} = \frac{F}{{4k}}\cos \sqrt {\frac{{2k}}{m}} t + \frac{F}{{4m}}{{t}^{2}} - \frac{F}{{4k}}$

${{{v}}_{1}} = \frac{F}{{2\sqrt {2km} }}\sin \sqrt {\frac{{2k}}{m}} t + \frac{F}{{2m}}t$

${{{v}}_{2}} = - \frac{F}{{2\sqrt {2km} }}\sin \sqrt {\frac{{2k}}{m}} t + \frac{F}{{2m}}t$

${{a}_{1}} = \frac{F}{{2m}}\cos \sqrt {\frac{{2k}}{m}} t + \frac{F}{{2m}}$

${{a}_{2}} = - \frac{F}{{2m}}\cos \sqrt {\frac{{2k}}{m}} t + \frac{F}{{2m}}$

Характерный отрезок времени ${{\tau }_{2}}$ (индекс “₂” означает количество составных частей поезда) для рассматриваемого случая определяется из условия максимального растяжения упругой сцепки. При этом

${{a}_{1}}({{\tau }_{2}}) - \frac{F}{{2m}} = 0\quad {\text{или}}\quad \frac{F}{{2m}}\cos \sqrt {\frac{{2k}}{m}} {{\tau }_{2}} = 0$

$\sqrt {2\frac{k}{m}} {{\tau }_{2}} = \frac{\pi }{2}$

${{\tau }_{2}} = \frac{\pi }{2}\sqrt {\frac{m}{{2k}}} $

За время ${{\tau }_{2}}$ локомотив пройдет расстояние

${{x}_{1}}\left( {{{\tau }_{2}}} \right) = - \frac{F}{{4k}}\cos \sqrt {\frac{{2k}}{m}} \frac{\pi }{2}\sqrt {\frac{m}{{2k}}} + \frac{F}{{4m}}\frac{{{{\pi }^{2}}}}{4}\frac{m}{{2k}} + \frac{F}{{4k}} = \frac{{F{{\pi }^{2}}}}{{32k}} + \frac{F}{{4k}}$

и разовьет скорость

${{{v}}_{1}}\left( {{{\tau }_{2}}} \right) = \frac{F}{{2\sqrt {2km} }}\sin \sqrt {\frac{{2k}}{m}} \frac{\pi }{2}\sqrt {\frac{m}{{2k}}} + \frac{F}{{2m}}\frac{\pi }{2}\sqrt {\frac{m}{{2k}}} = \frac{F}{{2\sqrt {2km} }} + \frac{{F\pi }}{{4\sqrt {2km} }}$

Уместно сравнить эти показатели с соответствующими величинами для недеформируемого состава.

$a = \frac{F}{{2m}},\quad {v} = \frac{F}{{2m}}t,\quad x = \frac{F}{{4m}}{{t}^{2}}$

$x\left( {{{\tau }_{2}}} \right) = \frac{F}{{4m}}\frac{{{{\pi }^{2}}}}{4}\frac{m}{{2k}} = \frac{{F{{\pi }^{2}}}}{{32k}}$

${v}\left( {{{\tau }_{2}}} \right) = \frac{F}{{2m}}\frac{\pi }{2}\sqrt {\frac{m}{{2k}}} = \frac{{F\pi }}{{4\sqrt {2km} }}$

$\frac{{{{x}_{1}}\left( {{{\tau }_{2}}} \right)}}{{x\left( {{{\tau }_{2}}} \right)}} = \frac{{{{F{{\pi }^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{F{{\pi }^{2}}} {(32k)}}} \right. \kern-0em} {(32k)}} + {F \mathord{\left/ {\vphantom {F {(4k)}}} \right. \kern-0em} {(4k)}}}}{{{{F{{\pi }^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{F{{\pi }^{2}}} {(32k)}}} \right. \kern-0em} {(32k)}}}} = 1 + \frac{{32}}{{4{{\pi }^{2}}}} \approx 1.81$

$\frac{{{{{v}}_{1}}\left( {{{\tau }_{2}}} \right)}}{{{v}\left( {{{\tau }_{2}}} \right)}} = \frac{{{F \mathord{\left/ {\vphantom {F {(2\sqrt {2km} )}}} \right. \kern-0em} {(2\sqrt {2km} )}} + {{F\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{F\pi } {(4\sqrt {2km} )}}} \right. \kern-0em} {(4\sqrt {2km} )}}}}{{{{F\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{F\pi } {(4\sqrt {2km} )}}} \right. \kern-0em} {(4\sqrt {2km} )}}}} = 1 + \frac{2}{\pi } \approx 1.64$

Отношение для кинетических энергий локомотива составляет

$\frac{{{{E}_{1}}\left( {{{\tau }_{2}}} \right)}}{{E\left( {{{\tau }_{2}}} \right)}} = 2.69$

Полученные соотношения наглядно демонстрируют, что трогание состава с упругими сцепками значительно легче, чем недеформируемого.

2. Локомотив и два вагона. Уравнения сил, приложенных, соответственно, к локомотиву и вагонам, имеют вид:

(2.1)

$F = m\frac{{{{d}^{2}}{{x}_{1}}}}{{d{{t}^{2}}}} + k({{x}_{1}} - {{x}_{2}})$

(2.2)

$k({{x}_{1}} - {{x}_{2}}) = m\frac{{{{d}^{2}}{{x}_{2}}}}{{d{{t}^{2}}}} + k({{x}_{2}} - {{x}_{3}})$

$k({{x}_{2}} - {{x}_{3}}) = m\frac{{{{d}^{2}}{{x}_{3}}}}{{d{{t}^{2}}}}$

Из последнего уравнения следует

(2.3)

${{x}_{2}} = \frac{m}{k}\frac{{{{d}^{2}}{{x}_{3}}}}{{d{{t}^{2}}}} + {{x}_{3}}$

Производная этого выражения равна

$\frac{{{{d}^{2}}{{x}_{2}}}}{{d{{t}^{2}}}} = \frac{m}{k}\frac{{{{d}^{4}}{{x}_{3}}}}{{d{{t}^{4}}}} + \frac{{{{d}^{2}}{{x}_{3}}}}{{d{{t}^{2}}}}$

Подстановка последних двух выражений в (2.2) дает

(2.4)

$\begin{gathered} {{x}_{1}} = \frac{m}{k}\frac{{{{d}^{2}}{{x}_{2}}}}{{d{{t}^{2}}}} + 2{{x}_{2}} - {{x}_{3}} = \frac{{{{m}^{2}}}}{{{{k}^{2}}}}\frac{{{{d}^{4}}{{x}_{3}}}}{{d{{t}^{4}}}} + \frac{m}{k}\frac{{{{d}^{2}}{{x}_{3}}}}{{d{{t}^{2}}}} + 2\frac{m}{k}\frac{{{{d}^{2}}{{x}_{3}}}}{{d{{t}^{2}}}} + 2{{x}_{3}} - {{x}_{3}} = \\ = \;\frac{{{{m}^{2}}}}{{{{k}^{2}}}}\frac{{{{d}^{4}}{{x}_{3}}}}{{d{{t}^{4}}}} + 3\frac{m}{k}\frac{{{{d}^{2}}{{x}_{3}}}}{{d{{t}^{2}}}} + {{x}_{3}} \\ \end{gathered} $

Производная этого выражения равна

$\frac{{{{d}^{2}}{{x}_{1}}}}{{d{{t}^{2}}}} = \frac{{{{m}^{2}}}}{{{{k}^{2}}}}\frac{{{{d}^{6}}{{x}_{3}}}}{{d{{t}^{6}}}} + 3\frac{m}{k}\frac{{{{d}^{4}}{{x}_{3}}}}{{d{{t}^{4}}}} + \frac{{{{d}^{2}}{{x}_{3}}}}{{d{{t}^{2}}}}$

Подстановка полученных выражений в (2.1) дает

$\begin{gathered} \frac{F}{k} = \frac{{{{m}^{3}}}}{{{{k}^{3}}}}\frac{{{{d}^{6}}{{x}_{3}}}}{{d{{t}^{6}}}} + 3\frac{{{{m}^{2}}}}{{{{k}^{2}}}}\frac{{{{d}^{4}}{{x}_{3}}}}{{d{{t}^{4}}}} + \frac{m}{k}\frac{{{{d}^{2}}{{x}_{3}}}}{{d{{t}^{2}}}} + \frac{{{{m}^{2}}}}{{{{k}^{2}}}}\frac{{{{d}^{4}}{{x}_{3}}}}{{d{{t}^{4}}}} + 3\frac{m}{k}\frac{{{{d}^{2}}{{x}_{3}}}}{{d{{t}^{2}}}} + \\ + \;{{x}_{3}} - \frac{m}{k}\frac{{{{d}^{2}}{{x}_{3}}}}{{d{{t}^{2}}}} - {{x}_{3}} = \frac{{{{m}^{3}}}}{{{{k}^{3}}}}\frac{{{{d}^{6}}{{x}_{3}}}}{{d{{t}^{6}}}} + 4\frac{{{{m}^{2}}}}{{{{k}^{2}}}}\frac{{{{d}^{4}}{{x}_{3}}}}{{d{{t}^{4}}}} + 3\frac{m}{k}\frac{{{{d}^{2}}{{x}_{3}}}}{{d{{t}^{2}}}} \\ \end{gathered} $

(2.5)

$\frac{{{{d}^{6}}{{x}_{3}}}}{{d{{t}^{6}}}} + 4\frac{k}{m}\frac{{{{d}^{4}}{{x}_{3}}}}{{d{{t}^{4}}}} + 3\frac{{{{k}^{2}}}}{{{{m}^{2}}}}\frac{{{{d}^{2}}{{x}_{3}}}}{{d{{t}^{2}}}} = \frac{{{{k}^{2}}F}}{{{{m}^{3}}}}$

Пусть

(2.6)

$\frac{{{{d}^{2}}{{x}_{3}}}}{{d{{t}^{2}}}} = z$

Тогда (2.5) запишется в виде

(2.7)

$z{\text{''''}} + 4\frac{k}{m}z{\text{''}} + 3\frac{{{{k}^{2}}}}{{{{m}^{2}}}}z = \frac{{{{k}^{2}}F}}{{{{m}^{3}}}}$

Характеристическое уравнение

${{r}^{4}} + 4\frac{k}{m}{{r}^{2}} + 3\frac{{{{k}^{2}}}}{{{{m}^{2}}}} = 0$

$r_{{1,2}}^{2} = - 2\frac{k}{m} \pm \frac{k}{m},\quad r_{1}^{2} = - 3\frac{k}{m},\quad r_{2}^{2} = - \frac{k}{m},\quad {{r}_{{1,2}}} = \pm i\sqrt {3\frac{k}{m}} ,\quad {{r}_{{3,4}}} = \pm i\sqrt {\frac{k}{m}} $

Общее решение соответствующего однородного уравнения

${{z}_{1}} = {{C}_{1}}\cos \sqrt {3\frac{k}{m}} t + {{C}_{2}}\sin \sqrt {3\frac{k}{m}} t + {{C}_{3}}\cos \sqrt {\frac{k}{m}} t + {{C}_{4}}\sin \sqrt {\frac{k}{m}} t$

Частное решение имеет вид

${{z}_{2}} = A$

Подстановка его в (2.7) дает

$3\frac{{{{k}^{2}}}}{{{{m}^{2}}}}A = \frac{{{{k}^{2}}F}}{{{{m}^{3}}}},\quad A = \frac{F}{{3m}}$

Общее решение находится как

(2.8)

$z = {{z}_{1}} + {{z}_{2}} = {{C}_{1}}\cos \sqrt {\frac{{3k}}{m}} t + {{C}_{2}}\sin \sqrt {\frac{{3k}}{m}} t + {{C}_{3}}\cos \sqrt {\frac{k}{m}} t + {{C}_{4}}\sin \sqrt {\frac{k}{m}} t + \frac{F}{{3m}}$

В соответствии с (2.6)

(2.9)

$\begin{gathered} {{{v}}_{3}} = \int {zdt} = {{C}_{1}}\sqrt {\frac{m}{{3k}}} \sin \sqrt {\frac{{3k}}{m}} t - {{C}_{2}}\sqrt {\frac{m}{{3k}}} \cos \sqrt {\frac{{3k}}{m}} t + \\ + \;{{C}_{3}}\sqrt {\frac{m}{k}} \sin \sqrt {\frac{k}{m}} t - {{C}_{4}}\sqrt {\frac{m}{k}} \cos \sqrt {\frac{k}{m}} t + \frac{F}{{3m}}t + {{C}_{5}} \\ \end{gathered} $

(2.10)

$\begin{gathered} {{x}_{3}} = \int {{{{v}}_{3}}dt} = - {{C}_{1}}\frac{m}{{3k}}\cos \sqrt {\frac{{3k}}{m}} t - {{C}_{2}}\frac{m}{{3k}}\sin \sqrt {\frac{{3k}}{m}} t - \\ - \;{{C}_{3}}\frac{m}{k}\cos \sqrt {\frac{k}{m}} t - {{C}_{4}}\frac{m}{k}\sin \sqrt {\frac{k}{m}} t + \frac{F}{{6m}}{{t}^{2}} + {{C}_{5}}t + {{C}_{6}} \\ \end{gathered} $

С учетом (2.3), (2.6), (2.8) и (2.10)

(2.11)

$\begin{gathered} {{x}_{2}} = \frac{m}{k}{{C}_{1}}\cos \sqrt {\frac{{3k}}{m}} t + \frac{m}{k}{{C}_{2}}\sin \sqrt {\frac{{3k}}{m}} t + \frac{m}{k}{{C}_{3}}\cos \sqrt {\frac{k}{m}} t + \frac{m}{k}{{C}_{4}}\sin \sqrt {\frac{k}{m}} t + \frac{m}{k}\frac{F}{{3m}} - \\ - \;{{C}_{1}}\frac{m}{{3k}}\cos \sqrt {\frac{{3k}}{m}} t - {{C}_{2}}\frac{m}{{3k}}\sin \sqrt {\frac{{3k}}{m}} t - {{C}_{3}}\frac{m}{k}\cos \sqrt {\frac{k}{m}} t - \\ - \;{{C}_{4}}\frac{m}{k}\sin \sqrt {\frac{k}{m}} t + \frac{F}{{6m}}{{t}^{2}} + {{C}_{5}}t + {{C}_{6}} = \\ = \frac{{2m}}{{3k}}{{C}_{1}}\cos \sqrt {\frac{{3k}}{m}} t + \frac{{2m}}{{3k}}{{C}_{2}}\sin \sqrt {\frac{{3k}}{m}} t + \frac{F}{{3k}} + \frac{F}{{6m}}{{t}^{2}} + {{C}_{5}}t + {{C}_{6}} \\ \end{gathered} $

(2.12)

$\begin{gathered} {{{v}}_{2}} = \frac{{d{{x}_{2}}}}{{dt}} = - \frac{{2m}}{{3k}}\sqrt {\frac{{3k}}{m}} {{C}_{1}}\sin \sqrt {\frac{{3k}}{m}} t + \frac{{2m}}{{3k}}\sqrt {\frac{{3k}}{m}} {{C}_{2}}\cos \sqrt {\frac{{3k}}{m}} t + \frac{F}{{3m}}t + {{C}_{5}} = \\ = \; - \frac{2}{3}\sqrt {\frac{{3m}}{k}} {{C}_{1}}\sin \sqrt {\frac{{3k}}{m}} t + \frac{2}{3}\sqrt {\frac{{3m}}{k}} {{C}_{2}}\cos \sqrt {\frac{{3k}}{m}} t + \frac{F}{{3m}}t + {{C}_{5}} \\ \end{gathered} $

(2.13)

${{a}_{2}} = \frac{{d{{{v}}_{2}}}}{{dt}} = - 2{{C}_{1}}\cos \sqrt {\frac{{3k}}{m}} t - 2{{C}_{2}}\sin \sqrt {\frac{{3k}}{m}} t + \frac{F}{{3m}}$

С учетом (2.4), (2.13), (2.11) и (2.10)

$\begin{gathered} {{x}_{1}} = - 2{{C}_{1}}\frac{m}{k}\cos \sqrt {\frac{{3k}}{m}} t - 2{{C}_{2}}\frac{m}{k}\sin \sqrt {\frac{{3k}}{m}} t + \frac{F}{{3m}}\frac{m}{k} + \\ + \;2\frac{{2m}}{{3k}}{{C}_{1}}\cos \sqrt {\frac{{3k}}{m}} t + 2\frac{{2m}}{{3k}}{{C}_{2}}\sin \sqrt {\frac{{3k}}{m}} t + \frac{{2F}}{{3k}} + \frac{{2F}}{{6m}}{{t}^{2}} + 2{{C}_{5}}t + 2{{C}_{6}} - \\ \end{gathered} $

$ + \,{{C}_{1}}\frac{m}{{3k}}\cos \sqrt {\frac{{3k}}{m}} t + {{C}_{2}}\frac{m}{{3k}}\sin \sqrt {\frac{{3k}}{m}} t + {{C}_{3}}\frac{m}{k}\cos \sqrt {\frac{k}{m}} t + $

$\begin{gathered} + \;{{C}_{4}}\frac{m}{k}\sin \sqrt {\frac{k}{m}} t - \frac{F}{{6m}}{{t}^{2}} - {{C}_{5}}t - {{C}_{6}} = \\ = \; - {{C}_{1}}\frac{m}{{3k}}\cos \sqrt {\frac{{3k}}{m}} t - {{C}_{2}}\frac{m}{{3k}}\sin \sqrt {\frac{{3k}}{m}} t + {{C}_{3}}\frac{m}{k}\cos \sqrt {\frac{k}{m}} t + \\ \end{gathered} $

(2.14)

$\begin{gathered} + \;{{C}_{4}}\frac{m}{k}\sin \sqrt {\frac{k}{m}} t + \frac{F}{k} + \frac{F}{{6m}}{{t}^{2}} + {{C}_{5}}t + {{C}_{6}} \\ {{{v}}_{1}} = \frac{{d{{x}_{1}}}}{{dt}} = {{C}_{1}}\sqrt {\frac{m}{{3k}}} \sin \sqrt {\frac{{3k}}{m}} t - {{C}_{2}}\sqrt {\frac{m}{{3k}}} \cos \sqrt {\frac{{3k}}{m}} t - {{C}_{3}}\sqrt {\frac{m}{k}} \sin \sqrt {\frac{k}{m}} t + \\ + \;{{C}_{4}}\sqrt {\frac{m}{k}} \cos \sqrt {\frac{k}{m}} t + \frac{F}{{3m}}t + {{C}_{5}} \\ \end{gathered} $

${{a}_{1}} = {{C}_{1}}\cos \sqrt {\frac{{3k}}{m}} t - {{C}_{3}}\cos \sqrt {\frac{k}{m}} t + \frac{F}{{3m}}$

В соответствии с (2.13)

${{a}_{2}}(0) = - 2{{C}_{1}} + \frac{F}{{3m}} = 0,\quad {{C}_{1}} = \frac{F}{{6m}}$

В соответствии с (2.8)

$z(0) = 0 = \frac{F}{{6m}} + {{C}_{3}} + \frac{F}{{3m}},\quad {{C}_{3}} = - \frac{F}{{2m}}$

В соответствии с (2.11)

${{x}_{2}}(0) = \frac{{2m}}{{3k}}{{C}_{1}} + \frac{F}{{3k}} + {{C}_{6}} = 0$

$\frac{F}{{9k}} + \frac{F}{{3k}} + {{C}_{6}} = 0,\quad {{C}_{6}} = - \frac{{4F}}{{9k}}$

В соответствии с (2.14), (2.9) и (2.12)

${{{v}}_{1}}(0) = - {{C}_{2}}\sqrt {\frac{m}{{3k}}} + {{C}_{4}}\sqrt {\frac{m}{k}} + {{C}_{5}} = 0$

${{{v}}_{3}}(0) = - {{C}_{2}}\sqrt {\frac{m}{{3k}}} - {{C}_{4}}\sqrt {\frac{m}{k}} + {{C}_{5}} = 0,\quad {{C}_{4}} = 0$

${{{v}}_{2}}(0) = \frac{2}{3}\sqrt {\frac{{3m}}{k}} {{C}_{2}} + {{C}_{5}} = 0,\quad {{C}_{2}} = 0,\quad {{C}_{5}} = 0$

Окончательное решение:

${{x}_{1}} = - \frac{F}{{18k}}\cos \sqrt {\frac{{3k}}{m}} t - \frac{F}{{2k}}\cos \sqrt {\frac{k}{m}} t + \frac{F}{{6m}}{{t}^{2}} + \frac{{5F}}{{9k}}$

${{x}_{2}} = \frac{F}{{9k}}\cos \sqrt {\frac{{3k}}{m}} t + \frac{F}{{6m}}{{t}^{2}} - \frac{F}{{9k}}$

${{x}_{3}} = - \frac{F}{{18k}}\cos \sqrt {\frac{{3k}}{m}} t + \frac{F}{{2k}}\cos \sqrt {\frac{k}{m}} t + \frac{F}{{6m}}{{t}^{2}} - \frac{{4F}}{{9k}}$

${{{v}}_{1}} = \frac{F}{{6\sqrt {3km} }}\sin \sqrt {\frac{{3k}}{m}} t + \frac{F}{{2\sqrt {km} }}\sin \sqrt {\frac{k}{m}} t + \frac{F}{{3m}}t$

${{{v}}_{2}} = - \frac{F}{{3\sqrt {3km} }}\sin \sqrt {\frac{{3k}}{m}} t + \frac{F}{{3m}}t$

${{{v}}_{3}} = \frac{F}{{6\sqrt {3km} }}\sin \sqrt {\frac{{3k}}{m}} t - \frac{F}{{2\sqrt {km} }}\sin \sqrt {\frac{k}{m}} t + \frac{F}{{3m}}t$

${{a}_{1}} = \frac{F}{{6m}}\cos \sqrt {\frac{{3k}}{m}} t + \frac{F}{{2m}}\cos \sqrt {\frac{k}{m}} t + \frac{F}{{3m}}$

${{a}_{2}} = - \frac{F}{{3m}}\cos \sqrt {\frac{{3k}}{m}} t + \frac{F}{{3m}}$

${{a}_{3}} = \frac{F}{{6m}}\cos \sqrt {\frac{{3k}}{m}} t - \frac{F}{{2m}}\cos \sqrt {\frac{k}{m}} t + \frac{F}{{3m}}$

Характерный отрезок времени ${{\tau }_{3}}$ для рассматриваемого случая определяется из условия максимального растяжения упругой сцепки. При этом

${{a}_{1}}({{\tau }_{3}}) - \frac{F}{{3m}} = 0\quad {\text{или}}\quad \frac{F}{{6m}}\cos \sqrt {\frac{{3k}}{m}} {{\tau }_{3}} + \frac{F}{{2m}}\cos \sqrt {\frac{k}{m}} {{\tau }_{3}} = 0$

$\frac{1}{3}\cos \sqrt 3 \sqrt {\frac{k}{m}} {{\tau }_{3}} + \cos \sqrt {\frac{k}{m}} {{\tau }_{3}} = 0$

Решение последнего уравнения имеет вид:

$\sqrt {\frac{k}{m}} {{\tau }_{3}} = 0.427\pi $

${{\tau }_{3}} = 0.427\pi \sqrt {\frac{m}{k}} $

За время ${{\tau }_{3}}$ локомотив пройдет расстояние

$\begin{gathered} {{x}_{1}}({{\tau }_{3}}) = - \frac{F}{{18k}}\cos \sqrt {\frac{{3k}}{m}} \cdot 0.427\pi \sqrt {\frac{m}{k}} - \frac{F}{{2k}}\cos \sqrt {\frac{k}{m}} \cdot 0.427\pi \sqrt {\frac{m}{k}} + \\ + \;\frac{F}{{6m}}{{\left( {0.427\pi \sqrt {\frac{m}{k}} } \right)}^{2}} + \frac{{5F}}{{9k}} = \\ = \;\frac{F}{k}\left[ { - \frac{1}{{18}}\cos \sqrt 3 \cdot 0.427\pi - \frac{1}{2}\cos 0.427\pi + \frac{1}{6}{{{\left( {0.427\pi } \right)}}^{2}} + \frac{5}{9}} \right] = \\ = \;\frac{F}{k}\left[ { - \frac{1}{{18}}\cos \sqrt 3 \cdot 0.427\pi - \frac{1}{2}\cos 0.427\pi + \frac{1}{6}{{{\left( {0.427\pi } \right)}}^{2}} + \frac{5}{9}} \right] = {\text{0}}{\text{.78}}\frac{F}{k} \\ \end{gathered} $

и разовьет скорость

$\begin{gathered} {{{v}}_{1}}({{\tau }_{3}}) = \frac{F}{{6\sqrt {3km} }}\sin \sqrt {\frac{{3k}}{m}} \cdot 0.427\pi \sqrt {\frac{m}{k}} + \frac{F}{{2\sqrt {km} }}\sin \sqrt {\frac{k}{m}} \cdot 0.427\pi \sqrt {\frac{m}{k}} + \frac{F}{{3m}}0.427\pi \sqrt {\frac{m}{k}} = \\ = \;\frac{F}{{\sqrt {km} }}\left( {\frac{1}{{6\sqrt 3 }}\sin \sqrt 3 \cdot 0.427\pi + \frac{1}{2}\sin 0.427\pi + \frac{1}{3}0.427\pi } \right) = \frac{F}{{\sqrt {km} }} \\ \end{gathered} $

Уместно сравнить эти показатели с соответствующими величинами для недеформируемого состава.

$a = \frac{F}{{3m}},\quad {v} = \frac{F}{{3m}}t,\quad x = \frac{F}{{6m}}{{t}^{2}}$

$x({{\tau }_{3}}) = \frac{F}{{6m}}{{\left( {0.427\pi \sqrt {\frac{m}{k}} } \right)}^{2}} = 0.3\frac{F}{k}$

${v}({{\tau }_{3}}) = \frac{F}{{3m}} \cdot 0.427\pi \sqrt {\frac{m}{k}} = 0.45\frac{F}{{\sqrt {mk} }}$

$\frac{{{{x}_{1}}\left( {{{\tau }_{3}}} \right)}}{{x\left( {{{\tau }_{3}}} \right)}} = 2.6$

$\frac{{{{{v}}_{1}}({{\tau }_{3}})}}{{{v}({{\tau }_{3}})}} = 2.22$

Отношение для кинетических энергий локомотива составляет

$\frac{{{{E}_{1}}\left( {{{\tau }_{3}}} \right)}}{{E\left( {{{\tau }_{3}}} \right)}} = 4.93$

Заключение. Применение упруго деформируемых сцепок решает проблему трогания тяжелого поезда.

В таблицу сведены перемещения, скорости и кинетические энергии локомотива для моментов максимального растяжения упругой сцепки, отнесенные к соответствующим параметрам недеформируемого состава.

Полученные соотношения наглядно демонстрируют, что трогание состава с упругими сцепками значительно легче, чем недеформируемого. При этом, чем больше число вагонов, тем больше преимущество первого над вторым.

Полученные выражения для перемещений, скоростей и ускорений локомотива и вагонов имеют гармонические составляющие [2–4]. Для исключения продольных колебаний состава после достижения максимального растяжения сцепки следует механически блокировать возможность ее гармонического сжатия с последующей выборкой упругой деформации, например, с использованием демпфирующих устройств [5, 6].

Таблица 1

Количество секций поезда	$\frac{{{{x}_{1}}\left( \tau \right)}}{{x\left( \tau \right)}}$	$\frac{{{{{v}}_{1}}(\tau )}}{{{v}(\tau )}}$	$\frac{{{{E}_{1}}\left( \tau \right)}}{{E\left( \tau \right)}}$
2	1.81	1.64	2.69
3	2.6	2.22	4.93

Список литературы

Воронков В.Н. Метод нахождения параметров связей для составных линейных систем с дискретными связями между подсистемами // Изв. РАН. МТТ. 2016. № 2. С. 100–108.
Брискин Е.С., Калинин Я.В., Малолетов А.В. Об оценке эффективности цикловых механизмов // Изв. РАН. МТТ. 2017. № 2. С. 13–19.
Попов И.П. Свободные гармонические колебания в системах с однородными элементами // Прикладная математика и механика. 2012. Т. 76. Вып. 4. С. 546–549.
Попов И.П. Дифференциальные уравнения двух механических резонансов // Прикладная физика и математика. 2019. № 2. С. 37–40. https://doi.org/10.25791/pfim.02.2019.599
Быков Д.Л., Мартынова Е.Д. Идентификация численно-графическим методом характеристик вязкоупругих материалов при повторном сжатии после разгрузки // Изв. РАН. МТТ. 2018. № 2. С. 3–9.
Валеев А.Р., Зотов А.Н., Зубкова О.Е., Ризванов Р.Г., Свиридов М.В. Системы с разрывной квазинулевой восстанавливающей силой // Изв. РАН. МТТ. 2017. № 5. С. 130–136.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Механика твердого тела

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал