Известия РАН. Механика твердого тела, 2021, № 4, стр. 18-35

Введение. Работа посвящена построению способов управления противоударным изолятором при ограниченных наихудших возмущениях. Используется математическая модель системы с одной степенью свободы, которая состоит из основания и защищаемого объекта, находящегося на нем. Рассматривается внешнее воздействие кинематического типа, характеризуемое ускорением основания, описываемым функцией времени. Основание и защищаемый объект движутся вдоль одной прямой, а управляющая сила между основанием и объектом ограничена по величине и создается изолирующим устройством. Впервые задача о минимизации максимума модуля смещения объекта относительно основания при заданном возмущении ставилась в [1–3]. Дальнейшее развитие теория оптимальной противоударной изоляции получила в [4–7]. Изоляция объекта, расположенного на подвижном основании, от кратковременных ударных воздействий с помощью активного изолятора с управлением без упреждения изучалась в [8]. Численное решение этой задачи и построение ее аналитических решений для некоторых заданных возмущений с упреждающим управлением рассмотрены в [9]. В [10, 11] аналитически построено гарантирующее упреждающее управление с одним переключением и временем упреждения, позволяющее вычислять минимальную оценку максимальной величины смещения объекта относительно основания для класса возмущений заданной длительности с неограниченной амплитудой. Для этого же класса возмущений в [12, 13] показано, что, используя упреждение и запаздывание для двух простых управлений, предназначенных для конкретных возмущений, и оптимизируя функционал только по моменту начала управления, можно получить значение критерия качества, близкое к оптимальному. Современное описание проблемы противоударной изоляции, включающее в себя публикации по оптимальному управлению противоударными изоляторами, представлено в [14].

В данной работе для возмущений заданной длительности и ограниченной амплитуды доказано, что при заданном управлении наихудшими возмущениями являются непрерывные прямоугольные возмущения наибольшей амплитуды, начинающиеся либо в момент начала возмущения, либо заканчивающиеся в момент окончания допустимого интервала возмущения. Для рассматриваемого класса возмущений используются два управления, полученные в [9, 11] для прямоугольного возмущения и для возмущений заданной длительности с неограниченной амплитудой соответственно. При этом в формулу для управления из [9] подставляется ограничение на амплитуду данной задачи вместо значения амплитуды прямоугольного возмущения. Выбор момента начала действия для этого управления предполагает, что возможно упреждение и запаздывание. Момент начала действия управления выбирается с целью обеспечить минимально возможную величину смещения защищаемого объекта. Проводится сравнение полученных значений критерия качества для управлений из [9, 11] (относительного максимального смещения защищаемого объекта относительно основания). На основе этого сравнения предлагается комбинированное управление, сочетающее достоинства обоих управлений.

1. Механическая система. Пусть механическая система (рис. 1 ) состоит из основания 1 и объекта 2, соединенного с основанием с помощью противоударного изолятора – устройства, генерирующего управляющую силу f между основанием и объектом и созданного для защиты объекта при ударном воздействии на основание. Основание и объект движутся поступательно вдоль одной прямой. Обозначим: z – смещение основания относительно неподвижной (инерциальной) системы отсчета, $x$ – смещение объекта относительно основания, $m$ – масса объекта. Ударное воздействие на основание задается его ускорением $\ddot {z}$, функцией времени, некоторые свойства которой заранее известны.

Движение объекта относительно основания описывается уравнением

Далее полагаем, что сила f удовлетворяет ограничению $\left| f \right| \leqslant {{F}_{0}}$, где ${{F}_{0}}$ – заданная величина, тогда величина $u$ удовлетворяет неравенству

Предполагается, что в начальный момент времени $t = 0$ основание и объект покоятся в положениях, отвечающих нулевым значениям координат $x$ и $z$:

В качестве допустимых управлений будем рассматривать кусочно-непрерывные функции u(t), удовлетворяющие ограничению

2. Внешние возмущения. Предполагается, что возмущение ${v}(t)$ имеет вид

где кусочно-непрерывная функция $V(\xi )$ определена для всех вещественных ξ, причем $V(\xi ) \equiv 0$ для $\xi < 0$, а ${{t}_{0}} \geqslant 0$ – некоторый момент времени, который может быть задан заранее или подлежать определению. Возмущение V начинает действовать на основание спустя время ${{t}_{0}}$ после включения системы противоударной изоляции (упреждающее управление).

Будем предполагать, что 1) возмущение $V(\xi )$ действует только в одном направлении и не меняет знака ($V(\xi ) \geqslant 0$), 2) $V(\xi )$ имеет конечную длительность T ($V(\xi ) \equiv 0$, если $\xi > T$), 3) $V(\xi )$ имеет ограничение на максимальную величину воздействия, обозначаемое параметром $b$,

и 4) только на одном интервале, ${{t}_{1}} < \xi < {{t}_{2}}$, величина абсолютного ускорения $V(\xi )$ основания превышает верхнюю границу u₀ абсолютного ускорения защищаемого объекта:

Один или оба из интервалов $0 \leqslant \xi < {{t}_{1}}$ и ${{t}_{2}} < \xi \leqslant T$ могут быть пустыми, если $V(0) > {{u}_{0}}$ или $V(T) > {{u}_{0}}$. В случае, когда $V(\xi )$, $0 \leqslant \xi \leqslant T$, предполагается известной функцией в каждый момент $\xi $ и удовлетворяющей неравенству $V(\xi ) \leqslant {{u}_{0}}$, оптимальное управление определяется тождеством $u(t) \equiv V(t - {{t}_{0}})$ и обеспечивает тождественно равное нулю смещение объекта по отношению к основанию. Далее предполагаем выполнение неравенства

Основными характеристиками ударного воздействия являются его длительность T, максимально возможная величина воздействия b и параметр ${{{v}}_{0}}$

характеризующий значение скорости, приобретенной (или потерянной) основанием в результате удара. В [10, 11] рассматривался класс возмущений без ограничений на максимальную величину воздействия $V(\xi )$, а параметры $T$, ${{{v}}_{0}}$ предполагались известными и заданными. Такой класс возмущений обозначим ${{V}_{T}}$. Класс возмущений с заданной величиной ${{{v}}_{0}}$ из (2.4) без ограничений на максимальную величину воздействия $V(t)$ и на максимальную длительность T обозначим ${{V}_{\infty }}$. Этим классам воздействий соответствует значение $b = + \infty $. Введем также классы возмущений ${{V}_{b}}$ и ${{V}_{{bT}}}$ с заданными параметрами $b$, ${{{v}}_{0}}$ и $T$, $b$, ${{{v}}_{0}}$ соответственно. Необходимым условием существования возмущений из класса ${{V}_{{bT}}}$ служит условие $bT \geqslant {{{v}}_{0}},$ поскольку ненулевые значения $V(\xi )$ должны располагаться в прямоугольнике с основанием T и высотой b. Поскольку случай $bT = {{{v}}_{0}}$ соответствует прямоугольным возмущениям и разобран в [9], будем полагать выполненным неравенство

Очевидно, что ${{V}_{{bT}}} \subset {{V}_{T}} \subset {{V}_{\infty }}$, ${{V}_{{bT}}} \subset {{V}_{b}} \subset {{V}_{\infty }}$.

3. Критерий качества. Будем считать, что возмущение $V(\xi )$ неизвестно, но известно множество $\Omega \subset {{V}_{\infty }}$, которому могут принадлежать возможные возмущения. Качество изоляции при заданных управлении $u(t)$ и времени упреждения ${{t}_{0}}$ будем оценивать функционалом J, характеризующим максимальную величину смещения объекта относительно основания при наихудшем возмущении:

где $x(t;u,V,{{t}_{0}})$ – решение уравнения (1.1) с начальными условиями (1.2) для заданных $u(t)$, $V(\xi )$ и ${{t}_{0}}$. Величину J желательно минимизировать выбором оптимального закона управления и времени упреждения. Для случаев когда $\Omega = {{V}_{b}}$, $\Omega = {{V}_{{bT}}}$, $\Omega = {{V}_{T}}$, $\Omega = {{V}_{\infty }}$ для значения функционала из (3.1) введем соответствующие обозначения ${{J}_{b}}(u$, t₀), ${{J}_{{bT}}}(u,{{t}_{0}})$, ${{J}_{T}}(u,{{t}_{0}})$, ${{J}_{\infty }}(u,{{t}_{0}})$, т.е.

4. Задачи оптимизации. Поскольку условия информированности управляющей стороны о внешнем возмущении и множества допустимых законов управления $U$ могут быть различными, то и задачи оптимального управления формулируются по-разному.

Задача 1. Для системы (1.1) с начальными условиями (1.2) найти кусочно-непрерывное управление u*, удовлетворяющее ограничению (1.3), и время упреждения $t_{0}^{*}$, которые минимизируют величину (3.1):

где $U$ – множество законов управления $u(t)$, среди которых ищется оптимум.

Это задача о гарантирующем оптимальном упреждающем управлении противоударным изолятором, защищающим объект от ударных воздействий из множества $\Omega $. Она обобщает задачу, рассмотренную в [1–3] для заданного возмущения в отсутствие упреждения управления.

Задача 2. Для системы (1.1) при начальных условиях (1.2) и заданном возмущении (2.1) найти кусочно-непрерывное управление u*, удовлетворяющее ограничению (1.3), и время упреждения $t_{0}^{*}$, которые минимизируют максимальную величину смещения объекта относительно основания (функционал $J$):

Задачу 2 можно трактовать как задачу 1, в которой множество допустимых возмущений $\Omega $ состоит из одного элемента.

Множество допустимых законов управления может представлять собой параметрическое семейство управлений ${{u}_{s}}(t) \in {{U}_{S}}$, зависящих от параметра $s,s \in S.$

Задача 3. Для заданного класса допустимых управлений ${{u}_{s}}(t) \in {{U}_{S}}$ найти время упреждения $t_{0}^{*}$ и значение параметра s*, минимизирующие величину (3.1):

Решение задачи 3 дает возможность улучшать качество противоударной защиты путем изменения времени упреждения и параметра при заданном семействе законов управления ${{u}_{s}}(t)$, которое, например, может быть построено на основе оптимального управления для некоторого возмущения $V \in \Omega $ и представлено аналитическими выражениями. Заметим, что когда множество $S$ состоит из одного элемента задача 3 решается для фиксированного управления, а при заданном управлении $u(t)$ с условием $u(t) \equiv 0$, $t < 0$ в параметрическом семействе управлений ${{u}_{c}}(t) = u(t - c)$, $c \geqslant 0$ параметр $c$ может играть роль запаздывания для управления ${{u}_{c}}(t)$.

В [10, 11] получено решение $\{ u_{\tau }^{*},t_{\tau }^{*}\} $ задачи 3 в классе возмущений ${{V}_{T}}$ для управлений из класса ${{U}_{\Sigma }}\,{\kern 1pt} = \,{\kern 1pt} \{ {{u}_{\tau }}\} $ – параметрического семейства допустимых релейных управлений ${{u}_{\tau }}(t)$ с переключением с $ - {{u}_{0}}$ на ${{u}_{0}}$ в момент времени $\tau $ и с ${{u}_{0}}$ на 0 в момент времени ${{{v}}_{0}}{\text{/}}{{u}_{0}} + 2\tau $, где

Соотношение временных отрезков со значениями $ \pm {{u}_{0}}$ выбрано таким образом, чтобы обеспечить выполнение соотношения

для того чтобы движение объекта относительно основания прекращалось за конечное время и в дальнейшем не возобновлялось при любых возмущениях класса ${{V}_{T}}$ и временах упреждения t₀. Решение $\{ u_{\tau }^{*},t_{\tau }^{*}\} $ будем использовать для вычисления величины ${{J}_{{bT}}}(u_{\tau }^{*},t_{\tau }^{*})$, используемой для сравнения с величиной ${{J}_{{bT}}}(u_{{bc}}^{*},t_{c}^{*})$, полученной из решения задачи 3 при $u_{{bc}}^{*}(t) = {{u}_{b}}(t - c*)$, $c* \geqslant 0$, где ${{u}_{b}}(t)$ – управление, полученное из решения задачи 2 для прямоугольного возмущения с амплитудой $b$, a c* – оптимальное значение параметра $c$.

5. Определение наихудшего возмущения. Вычисление функционала (3.1) предполагает определение наихудшего возмущения $V \in \Omega \subset {{V}_{T}}$, которое максимизирует максимум модуля отклонения защищаемого объекта относительно основания ($ma{{x}_{t}}{\text{|}}x(t$; u, V, t₀)|) при заданных $u(t)$ и t₀.

Лемма 1 (см. [9]). Среди возмущений $V \in {{V}_{T}}$ наихудшее возмущение есть либо ${{V}_{\delta }}(\xi ) = {{{v}}_{0}}\delta (\xi )$ либо ${{V}_{{\delta T}}}(\xi ) = {{{v}}_{0}}\delta (\xi - T)$. Иными словами, наихудшее возмущение есть мгновенный удар интенсивности ${{{v}}_{0}}$, подаваемый в начальный или в конечный момент допустимого интервала возмущения.

Согласно лемме 1 для нахождения наихудшего возмущения в классе ${{V}_{T}}$ при заданных $u(t)$ и ${{t}_{0}}$ надо решить дифференциальное уравнение (1.1) с начальными условиями (1.2) при ${v}(t) = {{{v}}_{0}}\delta (t - {{t}_{0}})$ и ${v}(t) = {{{v}}_{0}}\delta (t - {{t}_{0}} - T)$, для каждого из решений вычислить $ma{{x}_{t}}\left| {x(t;u,{{V}_{\delta }},{{t}_{0}})} \right|$, $ma{{x}_{t}}\left| {x(t;u,{{V}_{{\delta T}}},{{t}_{0}})} \right|$ и выбрать возмущение, отвечающее большему значению абсолютного отклонения.

Лемма 2. Среди возмущений $V \in {{V}_{{bT}}}$ наихудшее возмущение есть либо

либо

Иными словами, при заданном управлении наихудшими возмущениями являются прямоугольные возмущения наибольшей амплитуды, начинающиеся либо в момент начала возмущения, либо заканчивающиеся в момент окончания допустимого интервала возмущения.

Примечание. Справедливо равенство ${{V}_{1}}(\xi ) = {{V}_{0}}(\xi - T + {{{v}}_{0}}{\text{/}}b).$

Согласно лемме 2 для нахождения наихудшего возмущения в классе ${{V}_{{bT}}}$ при заданных $u(t)$ и ${{t}_{0}}$ надо решить дифференциальное уравнение (1.1) с начальными условиями (1.2) при ${v}(t) = {{V}_{0}}(t - {{t}_{0}})$ и ${v}(t) = {{V}_{1}}(t - {{t}_{0}})$, для каждого из $ma{{x}_{t}}\left| {x(t;u,{{V}_{0}},{{t}_{0}})} \right|$, $ma{{x}_{t}}\left| {x(t;u,{{V}_{1}},{{t}_{0}})} \right|$, сравнить получившиеся величины и выбрать возмущение, отвечающее большему значению.

Доказательство. Введем вспомогательные функции ${{f}_{ + }}(t)$ и ${{f}_{ - }}(t)$, определенные на полуоси $0 \leqslant t < + \infty $:

Здесь ${{t}_{0}}$ – время начала действия возмущения, а T – его длительность.

Для возмущения ${v}(t) = V(t - {{t}_{0}})$ длительности T, удовлетворяющего соотношению

справедливы неравенства

Докажем правое неравенство в (5.3) для случая ${{t}_{0}} = 0.$ Рассмотрим некоторую функцию $V( \cdot ) \in {{V}_{b}}$, такую что для нее существуют неотрицательные величины ${{t}_{1}}$, ${{t}_{2}}$, h и функция $\Delta {\kern 1pt} V{\kern 1pt} (t)$, удовлетворяющие условиям

Введем функцию ${{V}_{\Delta }}(t)$, $t \in {{R}_{{0 + }}}$ соотношениями

Значения функции $\Delta {\kern 1pt} V(t)$ по сравнению с $V(t)$ на отрезке $\left[ {{{t}_{1}},{{t}_{1}} + h} \right]$ увеличены на такие же значения, на которые уменьшены ее значения на отрезке $\left[ {{{t}_{2}},{{t}_{2}} + h} \right]$. Согласно соотношениям (5.4), (5.5) имеет место включение ${{V}_{\Delta }}( \cdot ) \in {{V}_{b}}$ и выполнены равенства

Введем следующие функции

Тогда

Покажем, что

Согласно (5.8) неравенство (5.9) выполняется для всех $t \in [0, + \infty ){{\backslash }}[{{t}_{2}},{{t}_{2}} + h)$, так как к $I(t)$ добавляется неотрицательная величина.

Поскольку при ${{t}_{1}} \leqslant {{t}_{2}} \leqslant t < {{t}_{2}} + h$

то добавляемая величина к $I(t)$ в (5.8) также неотрицательна

Неравенство (5.9) доказано. Нетрудно убедиться, что при кусочно-непрерывной $V(t)$, удовлетворяющей условиям (5.4) и такой что , , $t \in {{R}_{{0 + }}}$ выполнено строгое неравенство ${{I}_{\Delta }}(t) > I(t)$ при $t \geqslant {{t}_{1}} + h$. Таким образом, возможность построения функции приводит к увеличению функции $I(t)$, $t \in {{R}_{{0 + }}}$. Невозможность построения ${{V}_{\Delta }}(t)$ для функции ${{V}_{0}}(t)$, $t \in {{R}_{{0 + }}}$ доказывает невозможность увеличения функции $I(t)$, $t \in {{R}_{{0 + }}}$ и справедливость правого неравенства (5.3) для ${{t}_{0}} = 0$. Аналогично доказывается справедливость левого неравенства (5.3) для ${{t}_{0}} = 0$, а также справедливость неравенств (5.3) для ${{t}_{0}} > 0$.

Справедливость правого неравенства (5.3) для ${{t}_{0}} = 0$ также легко доказывается следующим способом. Из соотношений

следует что

Запишем решение уравнения (1.1) с нулевыми начальными условиями в следующем виде:

Применив к этому выражению неравенство (5.3), получим

Из этих неравенств и выражений (5.1), (5.2) для функций ${{f}_{ + }}(t)$ и ${{f}_{ - }}(t)$ вытекает, что при фиксированном $u = u(t)$ в любой момент времени t величина ${{x}_{u}}(t)$ принимает минимальное и максимальное значения при возмущениях ${{{v}}_{ - }}(t) = {{V}_{1}}(t - {{t}_{0}})$ и ${{{v}}_{ + }}(t) = {{V}_{0}}(t$ – t₀) соответственно. Лемма 2 доказана.

Из (5.10) следует, что максимальное значение, которое может принимать критерий качества J при заданном управлении $u$ и различных возмущениях, определяется выражением

Безразмерные переменные. Введем безразмерные переменные

Далее будем использовать безразмерные переменные, опуская штрихи. В безразмерных единицах имеем ${{u}_{0}} = 1$ и ${{{v}}_{0}} = 1$, а неравенства (2.3), (2.5) приобретают соответственно вид

6. Решение задачи 3 для класса ограниченных возмущений при использовании управления для прямоугольного возмущения с дополнительным запаздыванием. Рассмотрим теперь возмущение в виде прямоугольного импульса, задаваемого кусочно-постоянной функцией V(t)

в размерных переменных или в безразмерных переменных. Для этого возмущения задача 2 решена в [9] с помощью графо-аналитического метода [1, 2]. Оптимальное управление $u(t)$, оптимальное время упреждения ${{t}_{0}}$ и оптимальное значение критерия качества $J$ определяются соотношениями

Индекс b указывает, что данные соотношения выражены через значение амплитуды возмущения b. Управление (6.3) будем называть b-управлением. Поскольку формулы (6.3)–(6.5) были получены в предположении выполнения равенства

их можно переписать в следующем виде

Индекс T указывает, что данные соотношения выражены через значение длительности T. Управление (6.7) будем называть T-управлением. Такое введение различий для управлений ${{u}_{b}}$, ${{u}_{T}}$ и их упреждающих моментов обусловлено тем, что дальнейшее использование этих управлений для задач гарантированного оценивания (например, в задаче 3), в которых выполнены неравенства $bT > 1$, $b > 1$, приводит к различным результатам. В данной работе изучается эффективность управления ${{u}_{b}}$ с запаздыванием для задачи гарантированного оценивания с построением оптимального момента начала управляющего воздействия.

Введем класс управлений ${{U}_{{bC}}} = \{ {{u}_{{bc}}}\} $, описываемый параметрическим семейством допустимых управлений ${{u}_{{bc}}}(t)$, где

Равенство ${{u}_{{bc}}}(t) = {{u}_{b}}(t - c)$ означает, что управление ${{u}_{{bc}}}(t)$ представляет собой b‑управление с запаздыванием $c$.

Введем функцию ${{J}_{{bc}}}(t*)$, определяемую как значение функционала J, отвечающее управлению ${{u}_{{bc}}}(t)$ и возмущению ${v}(t) = {{V}_{0}}(t - t*)$, т.е. прямоугольному возмущению с амплитудой b с началом действия в момент времени t*. Эта функция задается выражением

Функция ${{J}_{{bc}}}(t*)$ линейно убывает при $t* \in [0,\;8t_{1}^{2} + 2{{t}_{1}} + c]$ от значения $9{\kern 1pt} t_{1}^{2} + 2{\kern 1pt} {{t}_{1}} + c$ до значения

затем при $t* \in [8t_{1}^{2} + 2{{t}_{1}} + c,\; + \infty )$ монотонно возрастает от значения (6.12) до бесконечности. При этом функция ${{J}_{{bc}}}(t*)$ на отрезке $[8t_{1}^{2} + 2{{t}_{1}} + c,\;{{t}_{2}} - {{b}^{{ - 1}}} + c]$ растет квадратично до значения а затем линейно до бесконечности. Найдем значения $t* = {{t}_{p}}$, $T = {{T}_{p}}$, соответствующие значению ${{J}_{{bc}}}$ из (6.13):

Функция ${{J}_{{bc}}}(t*)$ из (6.11) позволяет оценить влияние ошибки в определении момента удара при расчете упреждающего оптимального управления на величину критерия качества противоударной изоляции. Формула (6.11) является обобщением формулы для величины ${{J}_{{b0}}}(t*)$, определяемой как максимум модуля отклонения объекта относительно основания для возмущения ${v}(t) = {{V}_{0}}(t - t*)$ при управлении ${{u}_{b}}(t)$

Равенство ${{J}_{{bc}}}(t*) = {{J}_{{b0}}}(t{\text{*}} - c)$ при $t* \geqslant c$ означает, что график функции ${{J}_{{bc}}}(t*)$ получается смещением графика на величину $c$ вдоль оси абсцисс с доопределением на интервале [0, c) согласно формуле (6.11). При $b \to + \infty $ функция ${{J}_{{b0}}}(t*) \to {{J}_{{d0}}}(t*)$, где функция ${{J}_{{d0}}}(t*)$ предназначена для дельта возмущения и имеет тот же смысл, что и функция ${{J}_{{b0}}}(t*)$ для ограниченного возмущения. Функция ${{J}_{{d0}}}(t*)$ задается формулой

и приведена на рис. 2 . Функция ${{J}_{{b0}}}(t*)$ имеет аналогичный вид. Для решения задачи 3 надо, с учетом леммы 2 о наихудшем возмущении, для заданного T найти минимум по переменным ${{t}_{0}}$, c величины

Минимум величины из (6.16) достигается при выполнении условий

которые приводят к решению задачи 3 для классов возмущений ${{V}_{{bT}}}$ и управлений ${{U}_{{bC}}}$:

Оптимальное управление в классах управлений ${{U}_{{bC}}} = \{ {{u}_{{bc}}}\} $ и возмущений ${{V}_{{bT}}}$ для задачи 3 определяется формулой (6.10) со значением параметра c, удовлетворяющим неравенству из (6.18). Заметим, что значение функционала ${{J}_{{bT}}}({{u}_{c}},t_{c}^{{}})$ из (6.19) обеспечивается не единственным образом. Оптимальные минимально возможные момент упреждения $t_{c}^{*}$ и величина запаздывания c* определяются соотношениями

При минимально возможных моменте упреждения $t_{c}^{*}$ и величине запаздывания $c{\text{*}}$ оптимальное управление определяется формулой $u_{{bc}}^{*}(t) = {{u}_{b}}(t - c*)$ и справедливо равенство $\min \{ t_{c}^{*},c*\} = 0$, т.е. имеет место либо упреждение, либо запаздывание. При не минимально выбранных моменте упреждения $t_{c}^{{}}$ и величине запаздывания $c$ имеем неравенство $\min \{ {{t}_{c}},c\} > 0$. В этом случае при $0 \leqslant t < \min \{ {{t}_{c}},c\} $ рассматриваемая система бездействует, поскольку значения управления и возмущения имеют нулевые значения.

7. Решение задачи 3 для класса ограниченных возмущений при использовании управления, предназначенного для возмущений ограниченной длительности. В безразмерных переменных управление ${{u}_{\tau }}(t)$ из (4.1) приобретает вид

Оптимальное управление в классах управлений ${{U}_{\Sigma }} = \{ {{u}_{\tau }}\} $ и возмущений V_T  для задачи 3 определяется формулой (7.1) со значением параметра τ [10, 11]:

а значение функционала и момент упреждения находят как

Заметим, что приведенное решение (7.1)–(7.3) задачи 3 при $T > 1{\kern 1pt} /{\kern 1pt} 2$ не единственно. Значение функционала $J = T{\text{/}}2$ для этого случая обеспечивается моментом переключения $\tau $ и моментом упреждения ${{t}_{\tau }}$, удовлетворяющим соотношениям $t_{\tau }^{*}$

Обозначим через $u_{\tau }^{*}(t)$ функцию из (7.1) со значением $\tau = \tau {\text{*}}$ из (7.2). Введем функцию ${{J}_{{b\tau }}}(t*)$, определяемую как значение функционала J, отвечающее управлению $u_{\tau }^{*}(t)$ и возмущению ${v}(t) = {{V}_{0}}(t - t*)$, т.е. прямоугольному возмущению с амплитудой b с началом действия в момент времени t*. Для вычисления величины ${{J}_{{bT}}}(u_{\tau }^{*},t_{\tau }^{*})$ необходимо посчитать значение выражения

Значение J для класса возмущений ${{V}_{{bT}}}$ при управлении $u_{\tau }^{*}$ с моментом упреждения $t_{\tau }^{*}$ для всех $1 < b \leqslant 2$ имеет вид

Значение J для класса возмущений ${{V}_{{bT}}}$ при управлении $u_{\tau }^{*}$ с моментом упреждения $t_{\tau }^{*}$ для всех $b > 2$ имеет более сложный вид

8. Качество изоляции при комбинированном способе управления. Значения функционалов ${{J}_{{bT}}}(u_{{bc}}^{*},t_{c}^{*})$, ${{J}_{{bT}}}(u_{\tau }^{*},t_{\tau }^{*})$ из (6.19), (7.4), (7.5) представляют собой функции от параметров b, T, заданные в области

Введем для значений ${{J}_{{bT}}}(u_{{bc}}^{*},t_{c}^{*})$, ${{J}_{{bT}}}(u_{\tau }^{*},t_{\tau }^{*})$ другие обозначения, отражающие эту зависимость

Вычисления показывают, что равенство ${{J}_{ - }}(b,T) = {{J}_{ + }}(b,T)$ достигается при $1{\text{/}}b$ < T < 1 на кривой l, описываемой функцией $b = f(T)$, $0 < T \leqslant 1$, где

При этом кривая l стремится к плюс бесконечности при $T \to + 0$, лежит выше кривой $b = 1{\text{/}}T$ при $0 < T < 1$ и пересекается с ней в точке T = 1, b = 1. Кривые l и $b = 1{\text{/}}T$ изображены сплошными линиями на рис. 3 . Кривая l делит область ${{G}_{{bT}}}$ на две подобласти ${{G}_{ - }}$, ${{G}_{ + }}$, располагающиеся ниже и выше кривой l соответственно. При этом в нижней области ${{G}_{ - }}$ выполнено неравенство ${{J}_{ - }} < {{J}_{ + }}$, а в верхней области ${{G}_{ + }}$ выполнено неравенство ${{J}_{ - }} > {{J}_{ + }}$. Зададим функцию ${{J}_{{comb}}}(b,T)$ соотношением

и поясним как эта функция вычисляется. Дополнительно область ${{G}_{ + }}$ на рис. 3 разделена двумя пунктирными линиями ${{l}_{1}}$, ${{l}_{2}}$, задаваемыми формулами

Линия ${{l}_{1}}$ имеет общую точку с кривой $l$:

а кривая ${{l}_{2}}$ имеет общую точку с кривой $l$:

В каждой из четырех областей, помеченных на рис. 3 , значение ${{J}_{{comb}}}(b,T)$ вычисляется по своей формуле с соответствующим индексом. То есть области со значением индекса i (i = 1, 2, 3, 4) соответствует своя функция ${{J}_{i}}(b,T)$. Функции ${{J}_{i}}(b,T)$ имеют следующий вид

Функция J_comb(b, T) представляет собой значение функционала (3.3) при использовании в качестве управления и момента упреждения величин $u_{{bc}}^{*}$, $t_{c}^{*}$. в области ${{G}_{ - }}$ и при использовании в качестве управления и момента упреждения величин $u_{\tau }^{*},t_{\tau }^{*}$ в области ${{G}_{ + }}$. Такой способ управления с моментом упреждения назовем комбинированным управлением.

На рис. 4 изображено разбиение области ${{G}_{{bT}}}$ на две подобласти, которые фигурируют в формуле (6.19). Цифры 1 и 4, которыми помечены эти области, означают, что функционал ${{J}_{{bT}}}(u_{{bc}}^{*},t_{c}^{*})$ имеет значения J₁ и J₄ из (8.1) в соответствующих подобластях.

На рис. 5 изображено разбиение области ${{G}_{{bT}}}$ на три подобласти, которые фигурируют в формулах (7.4), (7.5). Цифры 2–4, которыми помечены эти области, означают что функционал ${{J}_{{bT}}}(u_{\tau }^{*},t_{\tau }^{*})$ имеет значения J₂, J₃, J₄ из (8.1) в соответствующих подобластях.

Вычисления показывают, что применение комбинированного управления приводит к улучшению значения функционала, доходящему до 10% по сравнению со значением функционала ${{J}_{ - }}$, полученным для управления $u_{{bc}}^{*}$ и момента упреждения $t_{c}^{*}$. Применение комбинированного управления приводит к улучшению значения функционала, доходящему до 700% по сравнению со значением функционала J₊, полученным для управления $u_{\tau }^{*}$ и момента упреждения $t_{\tau }^{*}$. Действительно, наихудшие значения относительной разности решений демонстрируют следующие пределы

Заключение. Рассмотрена задача изоляции объекта на подвижном основании, которое подвержено однонаправленным возмущениям ограниченной длительности и амплитуды с заданным интегралом от возмущения. Для этой модели изучалась возможность применения управления, предназначенного для прямоугольного возмущения с оптимизацией начала его действия, а также управления, предназначенного для ударов с неограниченной амплитудой, но с ограниченной длительностью. Было показано, что при больших длительностях возмущения предложенные управления и значения функционалов совпадают, а при относительно небольших длительностях возмущений первое управление предпочтительнее использовать для небольших амплитуд возмущения, а при относительно больших амплитудах возмущения предпочтительнее использовать второе управление. На основе этих двух управлений было построено комбинированное управление, сочетающее преимущества обоих управлений.

Работа выполнена по теме государственного задания АААА-А20-120011690138-6.