Известия РАН. Механика твердого тела, 2022, № 1, стр. 103-121

1. Введение. Экспериментальные исследования усталости конструкционных материалов (поликристаллических металлов и их сплавов) позволяют сделать вывод, что усталость условно можно разделить как минимум на три области (рис. 1), характеризующиеся особенностями протекающих процессов накопления повреждений – область малоцикловой усталости обозначена цифрой 1, область многоцикловой усталости обозначена цифрой 2 и область гигацикловой усталости обозначена цифрой 3 [1–4].

Основной характерной особенностью малоцикловой усталости (МЦУ) является наличие в процессе нагружения макроскопических пластических деформаций во всем рассматриваемом объеме конструкционного материала. Данную область циклического нагружения в условиях одноосного нагружения лабораторных образцов (растяжения–сжатия) условно ограничивают числом циклов до образования макротрещины равным 10⁴. Данный деградационный механизм характерен для зон с конструктивными концентраторами напряжений, такие как корень сварного шва, переходы с малыми радиусами скругления и т.п. с номинальными напряжениями в сечении конструктивного элемента ~0.5÷0.8 от предела текучести ${{{{\sigma }}}_{T}}$ и превышающим предел текучести в самом концентраторе. Для малоцикловой усталости характерны проявления эффектов упрочнения и разупрочнения материала, вызванные изменениями микроструктуры и фазового состава. При малоцикловой усталости кинетика образования и роста микродефектов зависит от истории нагружения конструкционного материала и его циклических свойств [5–7].

Характерной особенность многоцикловой усталости (МнЦУ) является наличие в процессе циклического нагружения микроскопических пластических деформаций при уровнях интенсивности действующих напряжений меньших чем предел текучести и больше, чем предел выносливости ${{{{\sigma }}}_{R}}$ на заданной базе числа циклов нагружения для конструкционного материала. Область многоциклового нагружения условно ограничивается числом циклов до образования макротрещины при одноосном нагружении лабораторных образцов (растяжении–сжатии) в диапазоне от 10⁵ до 10⁷. При многоцикловой усталости материала накопление повреждений происходит за счет процессов на микро- и мезоуровнях вследствие микроскопической пластической деформации, реализующейся за счет пластического деформирования отдельных разнесенных зерен и их конгломератов по объему конструкционного материала [3, 4].

Гигацикловая усталость конструкционных материалов возникает при воздействии нагрузок не превосходящих предела выносливости ${{{{\sigma }}}_{R}}$. Накопление повреждений при гигацикловой усталости описывается физическими моделями развития микротрещин и микропор в районе точечных дефектов и включений в поликристаллическом материале [4]. Особенностью разрушения при гигацикловой усталости является превалирующее влияние на ресурсные характеристики конструкционных материалов стадии зарождения усталостных микротрещин, так как процессы накопления повреждений ассоциируются с дефектами различной физической природы. Качественным отличием гигацикловой усталости от МЦУ и МнЦУ является то, что зарождение дефектов и дальнейшее развитие поврежденности происходит в локальных объемах материала. В связи с этим возникает существенная проблема при решении задачи оценки ресурсных характеристик при гигацикловой усталости – необходимость формирования критериев перехода от эволюционного развития точечных и неравномерно распределенных дефектов к макроскопическому разрушению [3].

В [5–12] на базе основных положений механики поврежденной среды развита математическая модель, описывающая процессы кинетики напряженно-деформированного состояния и накопления повреждений в поликристаллических металлах и их сплавах при нерегулярном термосиловом нагружении. В [13, 16] для оценки ресурсных характеристик при многоцикловой усталости приведен энергетический критерий и его экспериментальное обоснование.

Особое место при расчетах ресурсных характеристик машин и аппаратов новой техники, а также при продлении ресурса действующих инженерных объектов занимают виды нагружения в условиях которых реализуется суммарное воздействие от низкочастотных и высокочастотных нагрузок. Данный вид нагружения существенно влияет на пластические и ресурсные характеристики конструкционного материала. Достаточно большое количество работ, связанных с исследованиями процессов двухчастотного нагружения, посвящено разработке аналитических зависимостей для расчетной оценки ресурсных характеристик, однако они в основном основаны на критериальных подходах и не учитывают всей истории нагружения при эксплуатационном воздействии [13–16]. Необходимо отметить, что накопление повреждений при воздействии двухчастотного нагружения является существенно нелинейным процессом и определяющим образом зависит от кинетики напряженно-деформированного состояния и температуры нагружения. Анализ имеющихся экспериментальных данных при двухчастотном нагружении свидетельствует о существенном снижении циклической прочности по сравнению с одночастотным нагружением [14–17].

Таким образом, анализ экспериментальных и теоретических работ позволяет сделать вывод, что требуется научно-обоснованный подход к оценке ресурсных характеристик конструкционных материалов в условиях действия двух и более нагрузок, отличающихся по частоте и амплитуде воздействия. Подход должен основываться на физически обоснованных закономерностях, связывающих упругопластическое поведение материалов и ресурсные характеристики.

Один из подходов, позволяющих устранить данный недостаток, базируется на исследовании неупругих циклических деформаций как при раздельном, так и при двухчастотном нагружениях. Это особенно важно в связи с тем, что в ряде публикаций однозначно была показана взаимосвязь процессов неупругого деформирования и усталостного повреждения металлов [2, 13, 15, 16, 18].

Используемая в настоящей работе математическая модель механики поврежденной среды МПС [5–8] позволяет численно моделировать процессы кинетики напряженно-деформированного состояния при малоцикловой и многоцикловой усталости. Проверка достоверности полученных расчетных данных определялась из сравнения численных данных с результатами экспериментальных исследований.

2. Определяющие соотношения математической модели механики поврежденной среды. Основные гипотезы и положения для рассматриваемой математической модели МПС заключаются в том, что: рассматривается начально изотропный материал; рассматривается только анизотропия, связанная с процессами пластического деформирования; процесс поврежденности материала носит изотропный характер; тензоры деформаций ${{е}_{{ij}}}$ и их скоростей ${{\dot {е}}_{{ij}}}$ являются суммой упругих $е_{{ij}}^{е}$, $\dot {е}_{{ij}}^{е}$ и пластических компонент $е_{{ij}}^{р}$, $\dot {е}_{{ij}}^{р}$; поверхность пластического нагружения описывается уравнением Мизеса; процессы деформирования характеризуются малыми деформациями; рассматривается только упругое изменение элементарного объема материала (пластическая несжимаемость); вводится скалярная мера поврежденности конструкционного материала $\omega $, изменяющийся в диапазоне ${{{{\omega }}}_{o}} \leqslant {{\omega }} \leqslant {{{{\omega }}}_{f}}$; учитывается влияние поврежденности материала на процессы деформирования через тензор эффективных напряжений.

Математическая модель МПС состоит из соотношений, описывающих упругопластическое поведение конструкционного материала, уравнений накопления повреждений и критерия прочности поврежденного материала.

2.1. Определяющие соотношения пластичности. Принимается, что при упругом поведении материала девиаторная и шаровая составляющие тензоров напряжений и деформаций, а также их скоростей связаны обобщенным законом Гука:

где ${{\alpha }}(Т)$ – коэффициент линейного температурного расширения материала, $K(Т)$ – модуль объемной упругости, $G(Т)$ – модуль сдвига, ${{Т}_{0}}$ – базовая температура, $Т$ – текущая температура.

Поверхность пластического нагружения описывается в виде:

В пространстве пластических деформаций вводится поверхность “памяти”:

где ${{a}_{{e\max }}}$ – максимальное значение интенсивности тензора пластических деформаций $e_{{ij}}^{p}$ в процессе нагружения, ${{{{\xi }}}_{{ij}}}$ – тензор односторонне накопленных пластических деформаций.

При численном моделировании кинетики напряженно-деформированного состояния при пластическом деформировании необходимо максимально точно описывать процессы упрочнения и разупрочнения конструкционных материалов, так как данные механизмы играют определяющую роль в точности оценок ресурсных характеристик. При усталостном нагружении реализуется конкуренция процессов упрочнения и разупрочнения вызванных в материале механизмами изменения фазового состава, микроструктурного состояния, изменением плотности дислокаций, а также влияние изменения температуры [19]. Физические механизмы, протекающие в поликристаллических металлах и сплавах, влияющие на процессы упрочнения и разупрочнения, зависят от действующей температуры, вида траектории деформирования, длины пути пластического деформирования, действующих амплитуд интенсивности пластической деформации и степени стабилизации процесса деформирования.

Для учета эффектов упрочнения и разупрочнения, проявляющихся вследствие протекания различных физических механизмов в поликристаллических металлах и их сплавах [20, 21], изменение радиуса поверхности пластического нагружения принимается в виде суммы скоростей изменений радиуса поверхности пластического нагружения при пластическом деформировании:

где $\dot {C}_{{pl}}^{{(i)}}\left( {{\chi }} \right)$, $\dot {C}_{{pl}}^{{(l)}}\left( T \right)$ – скорости изменения радиуса поверхности пластического нагружения за счет вклада определенного физического механизма упрочнения либо разупрочнения конструкционного материала и изменения температуры; ${{\dot {C}}_{{pl}}}\left( {{{\chi }},T} \right)$ – суммарная скорость изменения радиуса поверхности пластического нагружения определяемая аналогично интегральным по объему материала механическим макрохарактеристикам (предел пропорциональности, предел упругости, предел текучести) с учетом вклада каждого физического механизма: где $q_{{{\chi }}}^{{\left( i \right)}}$ – параметры монотонного упрочнения (разупрочнения) за счет вклада i-го физического механизма; ${{a}_{j}}$, $Q_{s}^{{\left( j \right)}}$ – параметры циклического упрочнения (разупрочнения) за счет вклада   j-го физического механизма; $f_{m}^{{\left( i \right)}}\left( {{{a}_{e}}} \right)$ и $f_{c}^{{\left( j \right)}}\left( {{{a}_{e}}} \right)$ – функции учитывающие характер пластического деформирования, $q_{T}^{{\left( l \right)}}$ – параметры скорости изменения радиуса поверхности пластического нагружения за счет вклада l-го физического механизма при изменении температуры.

Зависимость (2.2) описывает изотропное упрочнение (разупрочнение) при монотонном пластическом деформировании (первый член в скобке при ${{\dot {\chi }}}$), циклическом деформировании (второй член в скобке при ${{\dot {\chi }}}$) и от скорости изменения температуры $\dot {T}$.

Экспериментальное определение параметров, входящих в зависимость (2.2), описывающих изменение радиуса поверхности пластического нагружения должно проводиться на основании опытов в которых возможно выделение физических механизмов процессов упрочнения либо разупрочнения, таких как фазовые превращения, изменение микроструктуры и плотности дислокаций, и определения их вклада, также данные процессы можно исследовать с получением их количественных характеристик с использованием дополнительных средств неразрушающего контроля (акустический, вихретоковый и др. [22–24]).

При пластическом деформировании конструкционного материала изменение фазового состава материала приводит либо только к эффекту упрочнения либо разупрочнения, а при изменении микроструктурного состояния и дислокационной картины, может возникать как эффект упрочнения, так и эффект разупрочнения конструкционного материала в зависимости от вида текущей траектории деформирования, причем проявление эффекта существенно зависит от степени стабилизации процесса деформирования в пространстве пластических деформаций. Результаты экспериментальных исследований в работах [13, 15, 16] показывают, что двухчастотное нагружение в отличие от одночастотного приводит к разупрочнению исследуемых материалов, а также в процессе нагружения отсутствует стабилизация петли пластического гистерезиса, что сопровождается постоянным изменением центра ${{{{\xi }}}_{{ij}}}$ в уравнении (2.1), описывающего поверхность “памяти” ${{a}_{e}}$ в пространстве пластических деформаций. Таким образом, в диапазоне температур $Т$, при которых можно пренебречь эффектами отжига и конкретизируя параметры в зависимости (2.2) изотропное упрочнение (разупрочнение) можно записать как:

В зависимостях (2.3)–(2.7) введены следующие обозначения: $C_{{pl}}^{0}$ – радиус поверхности пластического нагружения для конструкционного материала в исходном состоянии, ${{q}_{1}}$, ${{q}_{2}}$, ${{q}_{T}}$ – модули монотонного изотропного упрочнения (разупрочнения) при монотонных нагружениях по лучевым путям, при изломе траектории деформирования на 90° и изменении температуры; ${{Q}_{{1{{\chi }},1{{\xi }}}}}$, ${{Q}_{{2{{\chi }},2{{\xi }}}}}$ – модули циклического изотропного упрочнения (разупрочнения), при пропорциональном нагружении и при изломе траектории деформирования на 90° соответственно; ${{a}_{{c,\xi }}}$ – постоянные, определяющие скорость процесса стабилизации формы петли гистерезиса при циклическом нагружении материала; ${{Q}_{{s{{\chi }},s{{\xi }}}}}$ – стационарные значения радиуса поверхности текучести в зависимости от ${{a}_{{e{\text{max}}}}}$ и температуры $T$; ${{{{\dot {\chi }}}}_{m}}$ – скорость изменения длины траектории пластического деформирования материала на монотонных участках; ${{{{\dot {\chi }}}}_{c}}$ – скорость изменения длины траектории пластического деформирования материала на участках стабилизированного циклического деформирования без смещения центра поверхности ${{a}_{e}}$; ${{{{\dot {\chi }}}}_{{{\xi }}}}$ – скорость изменения длины траектории пластического деформирования материала на участках циклического деформирования со смещением центра поверхности ${{a}_{e}}$ (нестабилизированные участки траектории циклического деформирования).

Первый член уравнения (2.3) описывает изотропное упрочнение в результате монотонного пластического деформирования, второй член – циклическое упрочнение (разупрочнение) материала на стабилизированных участках циклического деформирования, третий член – циклическое разупрочнение (разупрочнение) материала при нестабилизированном циклическом деформировании, четвертый – изменение радиуса поверхности пластического нагружения при изменении температуры. Уравнение (2.4) описывает локальную анизотропию пластического упрочнения в зависимости от параметра непропорциональности нагружения $A$.

Эволюция тензора микронапряжений ${{\rho }_{{ij}}}$ принимается в виде:

где $g_{1}^{{m,p,r}}$, $g_{2}^{{m,p,r}}$, $k_{1}^{{m,c,{{\xi }}}}$, $k_{2}^{{m,c,{{\xi }}}}$ – материальные параметры, определяющиеся экспериментальным путем.

В формуле (2.8) первый член, указанный в скобках описывает эволюцию ${{{{\rho }}}_{{ij}}}$, связанного с образованием и эволюцией микропластических деформаций; второй – с образованием макроскопических пластических деформаций; третий – при односторонне накапливаемых пластических деформациях ${{{{\xi }}}_{{ij}}}$.

Зависимость (2.8) позволяет описывать основные эффекты анизотропии, вызванной неупругим деформированием при знакопеременном нагружении, а также эффекты, возникающие при реализации жестких (“посадка” петли гистерезиса) и мягких режимов нагружения (“вышагивание” петли гистерезиса).

Функция $f\left( {{\chi }} \right)$ описывает изменение ${{{{\rho }}}_{{ij}}}$ в случае зависимости параметров $g_{1}^{{m,p,r}}$, $g_{2}^{{m,p,r}}$ от длины пути пластического деформирования ${{\chi }}$ при монотонном, циклическом стабилизированном и нестабилизированном деформировании и связанная с физическими механизмами протекающими в процессе пластического нагружения, изменяющими фазовый состав конструкционного материала, дислокационная плотность и др.

Тензор скоростей пластических $\dot {e}_{{ij}}^{р}$ деформаций определяется на основе ассоциированного с поверхностью активного нагружения закона течения:

Влияние накопленной поврежденности учитывается через эффективные значения гидростатической и девиаторной части тензора напряжений. Эффективные значения компонент тензора напряжений определяются через эффективные значения модулей упругости [7] с учетом влияния на них величины накопленной поврежденности ${{\omega }}$:

где ${{F}_{{1,2}}}\left( {{\omega }} \right)$ – функции Мак-Кензи [7].

2.2. Уравнения накопления повреждений при малоцикловой и многоцикловой усталости. Уравнения накопления повреждений базируются на связи величины поврежденности с макроскопическими параметрами, которые могут быть экспериментально определены. Наиболее физически обоснованным и апробированным является энергетический подход [7, 8, 10, 18] при определении ресурсных характеристик поликристаллических тел. Новожиловым В.В. установлена зависимость рассеянной энергии, затраченной на образование дефектов при малоцикловом нагружении, с работой тензора микронапряжений ${{{{\rho }}}_{{ij}}}$ на пластических деформациях $e_{{ij}}^{p}$

Ресурсные характеристики при МнЦУ определяются с использованием подхода [13], основанного на энергетическом критерии, который записывается следующим выражением:

где $\Delta {{W}_{о}}$ – опасная часть рассеянной энергии за цикл нагружения, коррелирующей с энергией затраченной на образование микродефектов; $\Delta {{W}_{i}}$ – полная рассеянная энергия за цикл нагружения; $\Delta {{W}_{R}}$ – рассеянная энергия за цикл нагружения при напряжении равном пределу выносливости.

Рассмотрим выражение (2.9) для одного цикла нагружения в следующем виде:

где $\Delta {{W}_{H}} = \Delta {{W}_{R}}{{\left( {\frac{{\Delta {{W}_{i}}}}{{\Delta {{W}_{R}}}}} \right)}^{{{\alpha }}}}$ – неопасная часть рассеянной энергии за цикл нагружения, связанной с фазовыми переходами, структурными изменениями и процессами тепловыделения.

В работе [11] Коротких Ю.Г. конкретизировал соотношение (2.10) на случай регулярного циклического нагружения в виде:

где ${{{{\sigma }}}_{u}}$ – интенсивность тензора напряжений; ${{\sigma }}_{u}^{R}$ – интенсивность тензора напряжений, равная условному пределу выносливости материала ${{{{\sigma }}}_{R}}$; $f\left( {{\gamma }} \right)$ – функция, характеризующая степень влияния механизма МнЦУ на кривую усталости.

На основе (2.9) и (2.11), выражение для опасной энергии за один цикл нагружения представим в следующем виде:

Функция $f\left( {{\gamma }} \right)$, учитывает относительную величину неопасной энергии в полной рассеянной энергии, затраченной на пластическое деформирование и зависящая от параметра ${{\gamma }}$, характеризующего относительный уровень действующих максимальных напряжений в цикле нагружения.

В выражении (2.12) ${{\tilde {\sigma }}}_{u}^{*}$ – нормированная интенсивность девиатора тензора напряжений; ${{{{\tilde {\sigma }}}}_{{hcf}}}$ – значение интенсивности напряжений при котором происходит переход от механизма МЦУ к МнЦУ с учетом процессов упрочнения (разупрочнения) конструкционного материала (точка перегиба на полной кривой усталости), ${{{{\sigma }}}_{{hcf}}}$ – константа материала.

Для определения ресурсных характеристик поликристаллических металлов и их сплавов при деградации материала по механизмам МЦУ и МнЦУ в качестве энергии повреждения, принимается соотношение:

Функция $f\left( {{\gamma }} \right)$ зависит от параметра ${{\gamma }} = {{{{\sigma }}}_{u}}{\text{/}}{{C}_{p}}$, характеризующего относительный уровень действующих напряжений в цикле нагружения:

На рис. 2 приведено графическое представление функции $f\left( {{\gamma }} \right)$ (1 – область гигацикловой усталости, 2 – область многоцикловой усталости, 3 – область малоцикловой усталости).

В задачах оценки ресурсных характеристик необходимо учитывать влияние многоосности нагружения, наличие которой существенным образом снижает ресурс за счет как увеличения действующих компонент тензора деформаций и напряжений при пропорциональном нагружении так и за счет вращения главных площадок тензоров напряжений и деформаций при непропорциональном нагружении.

Многочисленные исследования влияния многоосности нагружения при различных видах напряженных состояний таких как двухосное растяжение–сжатие, трехосное растяжение и др. позволяют сделать вывод, что на ресурс оказывает существенное влияние “объемность” напряженного состояния ${{\beta }} = {{{\sigma }} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\sigma }} {{{{{\sigma }}}_{u}}}}} \right. \kern-0em} {{{{{\sigma }}}_{u}}}}$, где σ – гидростатическая компонента тензора напряжений, ${{{{\sigma }}}_{u}}$ – интенсивность тензора напряжений.

Учет влияния “объемности” напряженного состояния на скорость роста поврежденности $\dot {\omega }$ производится за счет введения в уравнение скорости накопления повреждения функции ${{f}_{1}}({{\beta }})$, которая увеличивает скорость накопления повреждений ${{\dot {\omega }}}$ при нагружениях с ${{\beta }} \to + \infty $ и уменьшает скорость при ${{\beta }} \to - \infty $. При нагружениях с ${{\beta }} \to - \infty $ в некоторых поликристаллических металлах и сплавах возможно частичное уменьшение накопленной поврежденности (эффект “залечивания”). При нагружениях с ${{\beta }} = 0$ (чистый сдвиг) функция ${{f}_{1}}({{\beta }}) = 1$.

В условиях непропорционального нагружения, при котором направляющие тензора напряжений и деформаций не соосны реализуемая траектория деформирования существенным образом влияет на кинетику напряженно-деформированного состояния и на ресурсные характеристики конструкционного материала.

Учитывая рассмотренные эффекты, влияющие на ресурсные характеристики, уравнение для скорости накопления усталостных повреждений в условиях малоциклового и многоциклового нагружения можно представить в виде:

В (2.13) введены следующие обозначения для функций:

${{f}_{1}}\left( {{\beta }} \right)$ – учет влияния “объемности” напряженного состояния;

${{f}_{2}}\left( {{{{{\omega }}}_{p}}} \right)$ – учет влияния накопленного уровня поврежденности на скорость накопления повреждений;

${{f}_{3}}\left( {{{W}_{p}}} \right)$ – учет текущего относительного уровня рассеянной энергии, идущей на образование микродефектов.

где $c$ – константа интегрирования ($с \cong 0.806$).

Принимается, что кинетика накопления повреждений состоит из двух последовательных стадий – зарождения микродефектов и их слияния. Данные стадии разграничиваются значением величины рассеянной энергии $W_{p}^{a}$. Образование макродефекта происходит при достижении величины рассеянной энергии значения $W_{p}^{f}$.

2.3. Критерий прочности поврежденного материала. В качестве критерия прочности поврежденного материала принимается достижение накопленной поврежденности ${{\omega }}$ критического значения ${{{{\omega }}}_{f}} \leqslant 1$.

3. Численные результаты. В работе [25] приведены результаты экспериментальных исследований циклического неупругого деформирования и закономерностей усталостного разрушения при действии одночастотного и двухчастотного нагружения для сталей 20 и 08Х18Н12Т. Исследования усталостного разрушения проводили на испытательной машине МИР-СТ при симметричном и несимметричном нагружении в условиях одноосного растяжения–сжатия лабораторных образцов.

Испытывались цилиндрические гладкие образцы широко использующихся конструкционных сталей: углеродистой стали 20 в состоянии поставки и стали аустенитного класса 08Х18Н12Т(1) – в состоянии поставки и 08Х18Н12Т(2) – после эксплуатационной наработки.

Каждый из указанных конструкционных материалов испытывали при следующих режимах нагружения: циклическое нагружение с частотой 34 Гц при симметричном цикле; циклическое нагружение с частотой 34 Гц с асимметрией в цикле, среднее напряжение ${{{{\sigma }}}_{m}} = 50\;{\text{МПа}}$; циклическое нагружение с частотой 0.082 Гц с асимметрией в цикле, среднее напряжение ${{{{\sigma }}}_{m}} = 50\;{\text{МПа}}$; циклическое нагружение реализуемое за счет изменения среднего напряжения в цикле ${{{{\sigma }}}_{m}}$ в пределах от 0 до 100 МПа с частотой 0.082 Гц при циклическом нагружении с частотой 34 Гц (двухчастотное нагружение).

Результатом экспериментальных исследований явились кривые усталости для сталей 20 и 08Х18Н12Т при указанных режимах нагружения.

В таблицах 1–3 для исследуемых сталей приведены физико-механические характеристики и материальные параметры МПС.

Значение модуля монотонного изотропного упрочнения ${{q}_{1}}$ и ${{q}_{2}}$ от длины траектории пластического деформирования ${{\chi }}$ для сталей аустенитного класса 08Х18Н12Т(1) и 08Х18Н12Т(2) приняты равными нулю.

На рис. 3–4 приведены расчетные кривые одноосного растяжения для сталей 2008Х18Н12Т(1), 08Х18Н12Т(2) и стали 20.

На рис. 5–7 приведено сравнение результатов расчетных и экспериментальных кривых усталости для сталей 08Х18Н12Т(1), 08Х18Н12Т(2), стали 20 соответственно, а также приведены расчетные кривые полной рассеянной энергии $W$, затраченной на пластическое деформирование и “опасной” части полной энергии ${{W}_{o}}$, коррелирующей с энергией, затраченной на образование микродефектов в зависимости от числа циклов нагружения. На рис. 5,а, 6,a и 7,а представлены зависимости амплитуды напряжения от числа циклов, пунктирными линиями отмечены осредненные опытные данные, черными маркерами – результаты расчетов по предложенной модели МПС, а черными крестиками – экспериментальные точки. Из сравнения экспериментальных и расчетных кривых усталости (рис. 5,а, 6,a и 7,а) видно, что расчеты по модели МПС качественно и количественно совпадают с опытными данными. Численные данные по зависимостям рассеянной энергии от числа циклов (рис. 5,b – ${{\sigma }}_{{11}}^{a} = 300\;{\text{МПа}}$, 5,с – ${{\sigma }}_{{11}}^{a} = 200\;{\text{МПа}}$, 5,d – ${{\sigma }}_{{11}}^{a} = 190\;{\text{МПа}}$, 6,b – ${{\sigma }}_{{11}}^{a} = 300\;{\text{МПа}}$, 6,с – ${{\sigma }}_{{11}}^{a} = 230\;{\text{МПа}}$, 6,d – ${{\sigma }}_{{11}}^{a} = 215\;{\text{МПа}}$, 7,b – ${{\sigma }}_{{11}}^{a} = 330\;{\text{МПа}}$, 7,с – ${{\sigma }}_{{11}}^{a} = 240\;{\text{МПа}}$, 7,d – ${{\sigma }}_{{11}}^{a} = 215\;{\text{МПа}}$) показывают, что в области МЦУ кривые полной рассеянной энергии $W\left( N \right)$ и ее “опасной части” ${{W}_{o}}\left( N \right)$ совпадают, но по мере уменьшения амплитуды нагружения данные кривые расходятся и тем больше, чем меньше амплитуда нагружения. Данный эффект связан с тем, что у “неопасной” части рассеянной полной энергии ${{W}_{н}}$ наблюдается незначительная амплитудная зависимость только в области МЦУ, тогда как при МнЦУ амплитудная зависимость ${{W}_{н}}$ вносит значительный вклад в полную рассеянную [13, 16].

На рис. 8–10 приведены результаты сравнения расчетных и экспериментальных кривых усталости при двухчастотном нагружении для сталей 08Х18Н12Т(1), 08Х18Н12Т(2) и стали 20 в циклах высокой частоты. На рис. 11–13 приведены результаты сравнения расчетных и экспериментальных кривых усталости при двухчастотном нагружении для сталей 08Х18Н12Т(1), 08Х18Н12Т(2) и стали 20 в циклах низкой частоты. Здесь пунктирными линиями отмечены расчетные данные при одночастотном нагружении, сплошной черной линией отмечены расчетные данные при двухчастотном нагружении, а черными маркерами – экспериментальные результаты при двухчастотном нагружении. Из представленных рисунков видно, что расчетные значения по математической модели МПС качественно и количественно совпадают с экспериментальными результатами.

На рис. 14–16 приведено сравнение расчетных стабилизированных петель гистерезиса для одночастотного (пунктирная линия) и двухчастотного нагружения (сплошная линия), из которого виден эффект роста размаха циклической пластической деформации при двухчастотной форме цикла в сравнении с одночастотным нагружением при эквивалентной величине амплитуды напряжений, что связано со снижением сопротивления деформированию материалов (для лучшей визуализации петли нормированы к началу координатной сетки).

4. Заключение. Развита математическая модель МПС, описывающая процессы деформирования и накопления повреждений при усталостном нагружении, основанная на энергетическом подходе и единой форме представления процесса накопления повреждений при малоцикловой и многоцикловой усталости. Для математической модели определены параметры и скалярные функции, входящие в определяющие соотношения математической модели МПС. В рамках оценки достоверности развитой математической модели механики поврежденной среды проведены численные исследования процессов усталостного разрушения конструкционных материалов – сталей 20 и 08Х18Н12Т в условиях одночастотного и двухчастотного нагружения. Результаты оценки достоверности показали, что развитая модель с высокой степенью точности описывает процессы малоцикловой и многоцикловой усталости.

Благодарности. Численные исследования стали 08Х18Н12Т выполнены при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (проект 0729-2020-0054). Численные исследования стали 20 выполнены при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 20-08-00450).