Известия РАН. Механика твердого тела, 2022, № 2, стр. 61-71

МЕТОД РАСЧЕТА РЕЛАКСАЦИИ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В ПОВЕРХНОСТНО УПРОЧНЕННОМ ВРАЩАЮЩЕМСЯ СТЕРЖНЕ В УСЛОВИЯХ ПОЛЗУЧЕСТИ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА ЛИНЕЙНЫЕ И УГЛОВЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ

В. П. Радченко a*, В. В. Цветков a**, М. Н. Саушкин a***

a Самарский государственный технический университет
Самара, Россия

* E-mail: radchenko.vp@samgtu.ru
** E-mail: vi.v.tsvetkoff@gmail.com
*** E-mail: saushkin.mn@samgtu.ru

Поступила в редакцию 24.10.2021
После доработки 26.10.2021
Принята к публикации 27.10.2021

Полный текст (PDF)

Аннотация

Разработан метод решения краевой задачи релаксации остаточных напряжений в поверхностно упрочненном вращающемся цилиндрическом стержне в условиях ползучести при жестко зафиксированных первоначально заданных осевых и угловых перемещениях. Решение включает методику реконструкции полей остаточных напряжений и пластических деформаций после поверхностного пластического деформирования и метод расчета релаксации наведенных остаточных напряжений в процессе ползучести при ограничениях на осевые и угловые перемещения на незакрепленном конце стержня. Выполнено детальное исследование кинетики остаточных напряжений в зависимости от значений первоначально заданных осевых и угловых перемещений и угловой скорости вращения на модельных примерах для стержней из сплава ЖС6КП при температуре 900°C. Показано, что наблюдается слабое влияние числа оборотов на напряженно-деформированное состояние в упрочненном слое по отношению к невращающемуся стержню.

Ключевые слова: остаточные напряжения, поверхностное пластическое упрочение, вращающийся стержень, первоначальные осевые и угловые перемещения, жесткое защемление, ползучесть, релаксация

Введение. Разрушение деталей в условиях ужесточения термомеханических режимов эксплуатации, например, в авиадвигателестроении, паровых турбомашинах и других ответственных элементах конструкций, как правило, начинается с образования и дальнейшего развития поверхностных микродефектов. Одним из методов повышение ресурса для такого рода изделий является поверхностное пластическое деформирование (ППД), в результате которого в тонком приповерхностном слое формируется поле сжимающих остаточных напряжений (ОН), препятствующих развитию микродефектов и выходу вакансий на поверхность. Однако в условиях высокотемпературной ползучести происходит релаксация ОН, и важной задачей является оценка степени уменьшения (по модулю) их значений и, как следствие, снижения эффективности ППД на характеристики надежности эксплуатируемых изделий (предел выносливости, микротвердость, трибологические характеристики и др.).

Одним из этапов решения задачи релаксации ОН является реконструкция напряженно-деформированного состояния (НДС) после процедуры упрочнения. Здесь возможны два пути исследования: использование экспериментальной информации о распределении полей ОН либо непосредственное математическое моделирование технологического процесса ППД. Различные экспериментальные методы применительно к цилиндрическим или призматическим деталям позволяют определить распределение лишь одной или двух компонент тензора ОН по глубине упрочненного слоя [13], но не позволяют установить распределение компонент тензора пластических деформаций (ПД). Отходя от задачи реконструкции ОН в механике упрочненных конструкций, отметим, что она является частной задачей в общей проблеме оценки начального (предварительного) НДС для разнообразных элементов конструкций. С математической точки зрения задача определения исходного НДС относится к обратным краевым задачам, а их решения сталкиваются с серьезными трудностями, поскольку предварительное НДС является локально неоднородным после упрочнения части поверхности или при наличии поверхностных или объемных дефектов (трещины, полости, вмятины). Уровень сложности решения таких задач даже в упругой области демонстрируют, например, работы А.О. Ватульяна [4, 5], в которых проблема сводится к обратной (некорректной) задаче идентификации коэффициентов дифференциальных операторов математической модели, зависящих от компонент тензора предварительного напряженного состояния. А в работах Ю.Н. Радаева рассматривается проблема исследования остаточных или собственных напряжений вследствие локальных (удаленных) зон пластичности или дефектов и ассоциированных с ними энергий [68].

С созданием современного программного обеспечения в многочисленных коммерческих пакетах существенно возросли вычислительные возможности для математического моделирования процессов поверхностного упрочнения, как правило, базирующиеся на методе конечных элементов. Основной задачей при этом является введение в конечно-элементную модель предварительного НДС, вызванного упрочнением. Выполняется это двумя способами: либо моделированием непосредственно технологического процесса упрочнения поверхности, либо введением в конечно-элементную модель эмпирических зависимостей для ОН [912]. Однако в первом случае учесть в полном объеме все параметры технологий упрочнения практически невозможно, поэтому полученные результаты носят преимущественно качественный характер. Во втором случае экспериментально можно получить лишь одну или две компоненты тензора ОН, а компоненты тензора ПД вообще определить невозможно. К тому же введенные поля ОН и ПД должны удовлетворять уравнениям равновесия и совместности деформаций соответственно, что реализовать практически невозможно.

Второй важной проблемой является решение задачи релаксации ОН вследствие ползучести в условиях высокотемпературно-силового нагружения упрочненных конструкций. Анализ публикаций в этом направлении свидетельствует, что данная тематика находится в стадии становления и развивается в том числе в работах авторов настоящей статьи. В частности, в [13] предложен и реализован метод решения задачи о релаксации ОН для упрочненного цилиндра под действием осевой нагрузки и крутящего момента, а в [14] решена задача другого рода, когда поверхностно упрочненный стержень получает осевые и угловые перемещения, которые в дальнейшем жестко фиксируются. Логическим развитием идей работы [14] является построение решения для оценки кинетики ОН в условиях ползучести для упрочненного вращающегося стержня с жесткими ограничениями на линейные и угловые перемещения, что и является целью настоящей работы. Отметим, что техническим примером такого режима эксплуатации являются бандажированные лопатки авиационных двигателей и паровых турбомашин.

1. Постановка задачи. Рассматривается сплошной цилиндрический образец длины $L$ и радиуса $R$, в поверхностном слое которого методом ППД наведены ОН и ПД при нормальной (“комнатной”) температуре $T = {{T}_{0}}$. Один конец стержня жестко закреплен. На первом этапе решается обратная краевая задача реконструкции полей ОН и ПД по частично известной экспериментальной информации об одной или двух (в зависимости от технологии упрочнения) компонентах тензора ОН. Далее происходит изменение температуры до рабочей $T = {{T}_{1}}$ $({{T}_{1}} > {{T}_{0}})$; к незакрепленному концу стержня прикладываются осевая растягивающая нагрузка ${{F}_{0}}$ и крутящий момент ${{M}_{0}}$, приводящие к осевому и угловому перемещениям (соответственно), которые в дальнейшем жестко фиксируются; задается угловая скорость вращения стержня относительно оси, связанной с жестко закрепленным сечением цилиндра. Затем решается задача о релаксации силы $~F = F\left( t \right)$ ($F\left( {0 + 0} \right) = {{F}_{0}}$) и момента $M = M\left( t \right)$ ($M\left( {0 + 0} \right) = {{M}_{0}})$, на фоне которой происходит релаксация ОН в приповерхностном слое цилиндра вследствие ползучести материала. Здесь и далее запись $f\left( {0 + 0} \right)$ означает правый предел для величины $f\left( t \right)$ при $t = 0$. Такая запись вводится для описания “скачкообразного” приложения термо-силового нагружения (момент времени $t = 0 + 0$). Момент времени $t = 0 - 0$ соответствует состоянию после упрочнения (до нагружения). Рассматривается осесимметричная постановка в цилиндрической системе координат $\left( {r,~{{\theta }},~z} \right)$, поэтому на стадии реконструкции компоненты тензоров напряжений и деформаций зависят лишь от координаты $r$, а при нагружении внешними силами и в процессе ползучести – от координат $r \in \left[ {0,~R} \right]$, $z \in \left[ {0,~L} \right]$ и времени $t$.

2. Реконструкция напряженно-деформированного состояния в поверхностно упрочненном цилиндре. Решение этой задачи приведено в [13, 14], поэтому приведем лишь окончательную расчетную схему для определения компонент тензора ОН ${{\sigma }}_{i}^{{{\text{res}}}}\, = \,{{\sigma }}_{i}^{{{\text{res}}}}(r)$ и ПД ${{q}_{i}} = {{q}_{i}}\left( r \right)$ $\left( {i = r,~{{\theta }},z} \right)$ (недиагональными компонентами пренебрегаем, поскольку их значения по модулю на порядок меньше, чем диагональные [2]):

(2.1)
$\begin{array}{*{20}{c}} {{{\sigma }}_{r}^{{{\text{res}}}}\left( r \right) = \frac{1}{r}\mathop \smallint \limits_0^r {{\sigma }}_{{{\theta }}}^{{{\text{res}}}}\left( {{\xi }} \right)d\xi } \end{array}$
(2.2)
$\begin{array}{*{20}{c}} {{{q}_{{{\theta }}}}\left( r \right) = \frac{{\left( {1 + {{\mu }}} \right)\left( {1 - 2{{\mu }}} \right)}}{{{{E}_{0}}{{{\left( {1 + {{\alpha \mu }}} \right)}}^{2}}}}{{r}^{{ - {{\nu }}}}}\mathop \smallint \limits_0^r {{{{\xi }}}^{{{{\nu }} - 1}}}[{{\sigma }}_{r}^{{{\text{res}}}}\left( {{\xi }} \right) + \left( {1 + \alpha } \right){{\sigma }}_{{{\theta }}}^{{{\text{res}}}}\left( {{\xi }} \right)]d\xi - ~~} \\ {~ - \frac{{1 + {{\mu }}}}{{{{E}_{0}}\left( {1 + {{\alpha \mu }}} \right)}}[\left( {1 - {{\mu }}} \right){{\sigma }}_{{{\theta }}}^{{{\text{res}}}}\left( r \right) - {{\mu \sigma }}_{r}^{{{\text{res}}}}\left( r \right)],~\quad \nu = \frac{{2 + {{\alpha }}}}{{1 + {{\alpha \mu }}}}~} \end{array}$
(2.3)
$\begin{array}{*{20}{c}} {{{q}_{z}}\left( r \right) = \alpha {{q}_{{{\theta }}}}\left( r \right),\quad {{q}_{r}}\left( r \right) = - \left( {1 + {{\alpha }}} \right){{q}_{{{\theta }}}}\left( r \right)~} \end{array}$
(2.4)
$\begin{array}{*{20}{c}} {{{\varepsilon }}_{z}^{0} = \frac{2}{{{{R}^{2}}}}\mathop \smallint \limits_0^R r\left\{ {{{q}_{z}}\left( r \right) - \frac{{{\mu }}}{{{{E}_{0}}}}[{{\sigma }}_{r}^{{{\text{res}}}}\left( r \right) + {{\sigma }}_{{{\theta }}}^{{{\text{res}}}}\left( r \right)]} \right\}dr} \end{array}$
(2.5)
$\begin{array}{*{20}{c}} {{{\sigma }}_{z}^{{{\text{res}}}}\left( r \right) = {{E}_{0}}[{{\varepsilon }}_{z}^{0} - {{q}_{z}}\left( r \right)] + \mu [{{\sigma }}_{r}^{{{\text{res}}}}\left( r \right) + {{\sigma }}_{{{\theta }}}^{{{\text{res}}}}\left( r \right)]~} \end{array}$
где ${{E}_{0}}$ – модуль Юнга материала при температуре упрочнения ${{T}_{0}}$, µ – коэффициент Пуассона, α – феноменологический параметр анизотропии упрочнения.

Искомые компоненты тензоров ОН и ПД в поверхностно упрочненном сплошном цилиндре определяются в следующей последовательности:

(2.6)
$\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} {{\sigma }}_{{{\theta }}}^{{{\text{res}}}}(r),~\quad \alpha \xrightarrow{{(2.1)}}{{\sigma }}_{r}^{{{\text{res}}}}(r)\xrightarrow{{(2.2)}}{{q}_{{{\theta }}}}(r)\xrightarrow{{(2.3)}}{{q}_{r}}(r)~ \\ {{q}_{z}}(r)\xrightarrow{{(2.4)}}{{\varepsilon }}_{z}^{0}\xrightarrow{{(2.5)}}{{\sigma }}_{z}^{{{\text{res}}}}(r) \\ \end{gathered} \end{array}$

Здесь над стрелками указаны номера формул, по которым рассчитываются соответствующие величины.

Исходной информацией для применения схемы (2.6) являются экспериментальная зависимость для окружной компоненты тензора ОН ${{\sigma }}_{{{\theta }}}^{{{\text{res}}}} = {{\sigma }}_{{{\theta }}}^{{{\text{res}}}}\left( r \right)$ и параметр анизотропии упрочнения ${{\alpha }}$.

Экспериментальными методами распределение компоненты ${{\sigma }}_{{{\theta }}}^{{{\text{res}}}} = {{\sigma }}_{{{\theta }}}^{{{\text{res}}}}\left( r \right)$ можно определить лишь в тонком поверхностном слое. Для получения непрерывных полей ОН и ПД по схеме (2.6) эту информацию необходимо экстраполировать на всю область интегрирования $r \in \left[ {0,~R} \right]$. Для этого предлагается следующая аппроксимация:

(2.7)
$\begin{array}{*{20}{c}} {{{\sigma }}_{{{\theta }}}^{{{\text{res}}}}\left( r \right) = {{{{\sigma }}}_{0}} - {{{{\sigma }}}_{1}}\exp \left( { - \frac{{{{{(R - h{\text{*}} - r)}}^{2}}}}{{{{b}^{2}}}}} \right)} \end{array}$
где ${{{{\sigma }}}_{0}}$, ${{{{\sigma }}}_{1}}$, h*, $b$ – параметры, методика идентификация которых, так же как и параметра α, изложена в [2].

3. Определение напряженно-деформированного состояния в поверхностно упрочненном цилиндре при температурно-силовом нагружении в начальный момент времени. Вначале рассмотрим режим температурного нагружения цилиндрического образца с температуры упрочнения ${{T}_{0}}$ (как правило, “комнатная” температура), при которой модуль Юнга материала равен ${{E}_{0}}$, до температуры “эксплуатации” ${{T}_{1}}$ $({{T}_{1}} > {{T}_{0}})$, при которой в материале развиваются деформации ползучести и которой соответствует значение модуля Юнга ${{E}_{1}}$ $({{E}_{1}} < {{E}_{0}})$.

Предполагая, что при температурном нагружении дополнительных пластических деформаций не возникает, а, следовательно, величина ${{q}_{{{\theta }}}} = {{q}_{{{\theta }}}}\left( r \right)$ не зависит от температуры, запишем соотношение (2.2) для момента полного прогрева образца до температуры ${{T}_{1}}$ в виде

(3.1)
$\begin{array}{*{20}{c}} {{{q}_{{{\theta }}}}\left( r \right) = \frac{{\left( {1 + {{\mu }}} \right)\left( {1 - 2{{\mu }}} \right)}}{{{{E}_{1}}{{{\left( {1 + {{\alpha \mu }}} \right)}}^{2}}}}{{r}^{{ - {{\nu }}}}}\mathop \smallint \limits_0^r {{{{\xi }}}^{{{{\nu }} - 1}}}\frac{{{{E}_{1}}}}{{{{E}_{0}}}}[{{\sigma }}_{r}^{{{\text{res}}}}\left( {{\xi }} \right) + \left( {1 + {{\alpha }}} \right){{\sigma }}_{{{\theta }}}^{{{\text{res}}}}\left( {{\xi }} \right)]d{{\xi }} - } \\ {~ - \frac{{1 + {{\mu }}}}{{{{E}_{1}}\left( {1 + {{\alpha \mu }}} \right)}}\frac{{{{E}_{1}}}}{{{{E}_{0}}}}[\left( {1 - {{\mu }}} \right){{\sigma }}_{{{\theta }}}^{{{\text{res}}}}\left( r \right) - {{\mu \sigma }}_{r}^{{{\text{res}}}}\left( r \right)]~} \end{array}$

Соотношение (3.1) по форме будет аналогично (2.2), если все эпюры ОН после процедуры упрочнения умножить на коэффициент ${{E}_{1}}{\text{/}}{{E}_{0}}$. Таким образом, получаем распределения ОН при температуре ${{T}_{1}}$. Отметим, что температурные деформации здесь не учитываются, поскольку мы условно считаем, что прогрев образца выполнился мгновенно, а однородное температурное поле приводит лишь к объемному изменению геометрии образца и не влияет на напряженное состояние.

Теперь рассмотрим нагружение упрочненного цилиндра в начальный момент времени $t = 0 + 0$ осевой силой ${{F}_{0}}$, крутящим моментом ${{M}_{0}}$, а также осевой силой от вращения:

$\begin{array}{*{20}{c}} {{{F}_{1}}\left( z \right) = \pi {{R}^{2}} \cdot \frac{1}{2}\rho {{{{\omega }}}^{2}}({{L}^{2}} - {{z}^{2}})} \end{array}$
где ${{\omega }}$ – угловая скорость, ρ – плотность материала.

Предполагается, что при повторной нагрузке цилиндрического образца (после упрочнения) его материал находится в упругой области. При этом происходит ступенчатое изменение осевого и касательного напряжений на величину “рабочих” напряжений, возникающих за счет внешних нагрузок, и напряженное состояние при $t = 0$ + 0 задается соотношениями:

(3.2)
$\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{{\sigma }}}_{z}}\left( {r,z,0 + 0} \right) = \frac{{{{E}_{1}}}}{{{{E}_{0}}}}{{\sigma }}_{z}^{{{\text{res}}}}\left( r \right) + \frac{{{{F}_{0}}}}{{{{\pi }}{{R}^{2}}}} + \frac{1}{2}{{\rho }}{{{{\omega }}}^{2}}({{L}^{2}} - {{z}^{2}}),\quad {{{{\sigma }}}_{{{\theta }}}}\left( {r,z,0 + 0} \right) = \frac{{{{E}_{1}}}}{{{{E}_{0}}}}{{\sigma }}_{{{\theta }}}^{{{\text{res}}}}\left( r \right)} \\ {{{{{\sigma }}}_{r}}\left( {r,z,0 + 0} \right) = \frac{{{{E}_{1}}}}{{{{E}_{0}}}}{{\sigma }}_{r}^{{{\text{res}}}}\left( r \right),\quad {{\tau }}\left( {r,z,0 + 0} \right) = \frac{{{{M}_{0}}}}{J}r} \end{array}~~~} \end{array}$
а компоненты тензора полных деформаций будут иметь вид:

(3.3)
$\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{{\varepsilon }}}_{i}}\left( {r,z,0 + 0} \right) = \frac{1}{{{{E}_{1}}}}\left[ {\left( {1 + {{\mu }}} \right){{{{\sigma }}}_{i}}\left( {r,z,0 + 0} \right) - {{\mu \sigma *}}} \right] + {{q}_{i}}\left( r \right)~~~(i = r,~{{\theta }},z)} \\ {{{\gamma }}\left( {r,z,0 + 0} \right) = \frac{{{{\tau }}\left( {r,0 + 0} \right)}}{{{{G}_{1}}}},\quad {{G}_{1}} = \frac{{{{E}_{1}}}}{{2\left( {1 + {{\mu }}} \right)}}} \end{array}} \end{array}$

Здесь и далее через ${{{{\sigma }}}_{i}} = {{{{\sigma }}}_{i}}\left( {r,z,t} \right)$ и ${{{{\varepsilon }}}_{i}} = {{{{\varepsilon }}}_{i}}\left( {r,z,t} \right)$ $\left( {i = r,~{{\theta }},z} \right)$ обозначены зависимости для компонент тензоров напряжений и полных деформаций от пространственных и временной координат; ${{\sigma *}}\, = \,{{{{\sigma }}}_{z}}(r,z,0 + 0)\, + \,{{{{\sigma }}}_{{{\theta }}}}(r,z,0 + 0)\, + \,{{{{\sigma }}}_{r}}(r,z,0 + 0)$; τ(r, z, t) = ${{{{\sigma }}}_{{{{\theta }}z}}}(r,z,t)$ – касательное напряжение; ${{\gamma }}\left( {r,z,t} \right) = 2{{{{\varepsilon }}}_{{{{\theta }}z}}}\left( {r,z,t} \right)$ – деформация сдвига; $J = {{\pi }}{{R}^{4}}{\text{/}}2$ – момент инерции сечения относительно оси цилиндра, ${{G}_{1}}$ – модуль сдвига материала при температуре ${{T}_{1}}$.

4. Построение решения краевой задачи ползучести поверхностно упрочненного цилиндра, нагруженного осевой силой, крутящим моментом и массовыми силами от вращения, при ограничениях на линейные и угловые перемещения. Опишем процесс релаксации остаточных напряжений, осевой силы $F = F\left( t \right)$ и крутящего момента $M = M\left( t \right)$ в процессе ползучести поверхностно упрочненного стержня при ограничениях на осевое перемещение $U(L,t) = U{\text{*}} = {\text{const}}$ и относительный угол закручивания ${{\varphi }}(t) = {{\varphi *}}$ = = const, где величины U* и φ* получены при $t = 0 + 0$ от действия осевого усилия ${{F}_{0}} = F\left( {0 + 0} \right)$ и крутящего момента ${{M}_{0}} = M\left( {0 + 0} \right)$.

В отличие от работы [14], вследствие вращения напряженно-деформированное состояние цилиндра будет неоднородным по координате $~z \in \left[ {0,~L} \right]$, поэтому выполним дискретизацию по этой переменной: $0 = {{z}_{0}} < {{z}_{1}} < ... < {{z}_{N}} = L$ с постоянным шагом ${{\Delta }}z = L{\text{/}}N$. Будем рассматривать цилиндрический образец как составной стержень из $N$ элементарных стержней с образующей ${{\Delta }}z$.

Сформулируем постановку краевой задачи ползучести для $k$-го элементарного стержня $(k = \overline {1,~N} )$, включающей следующие соотношения:

– уравнения равновесия:

(4.1)
$\begin{array}{*{20}{c}} {r\frac{{d{{{{\sigma }}}_{r}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right)}}{{dr}} + {{{{\sigma }}}_{r}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right) = {{{{\sigma }}}_{{{\theta }}}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right)} \end{array}$
(4.2)
$\begin{array}{*{20}{c}} {2\pi \mathop \smallint \limits_0^R {{{{\sigma }}}_{z}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right)~r~dr = F\left( t \right) + {{F}_{1}}\left( z \right)} \end{array}$
(4.3)
$\begin{array}{*{20}{c}} {2\pi \mathop \smallint \limits_0^R {{\tau }}\left( {r,L,t} \right)~{{r}^{2}}~dr = M\left( t \right)~} \end{array}$

– уравнения совместности деформаций:

(4.4)
$\begin{array}{*{20}{c}} {r\frac{{d{{{{\varepsilon }}}_{{{\theta }}}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right)}}{{dr}} + {{{{\varepsilon }}}_{{{\theta }}}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right) = {{{{\varepsilon }}}_{r}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right)} \end{array}$

– гипотеза плоских сечений:

(4.5)
$\begin{array}{*{20}{c}} {{{{{\varepsilon }}}_{z}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right) = {{{{\varepsilon }}}_{z}}\left( {{{z}_{k}},t} \right)} \end{array}$
при этом для полной деформации упрочненного стержня по всей длине L имеем:

(4.6)
$\begin{array}{*{20}{c}} {{{\varepsilon }}_{z}^{*} = \frac{{U{\text{*}}}}{L}~} \end{array}$

– гипотеза прямых радиусов:

(4.7)
$\begin{array}{*{20}{c}} {\gamma \left( {r,{{z}_{k}},t} \right) = r{{\varphi *}}} \end{array}$
где ${{\varphi *}} = {{\gamma }}\left( {r,L,~0 + 0} \right){\text{/}}r = {\text{const}}$;

– краевые условия:

(4.8)
$\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{r \to 0} \frac{{d{{{{\sigma }}}_{r}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right)}}{{dr}} = 0,\quad {{{{\sigma }}}_{r}}\left( {R,{{z}_{k}},t} \right) = 0} \end{array}$

Поскольку время t входит в соотношения (4.1)–(4.8) параметрически, здесь и в дальнейшем для производных компонент тензоров напряжений и деформаций по r используется оператор полной производной.

Опишем процесс релаксации ОН вследствие ползучести при температуре $T = {{T}_{1}}$. Запишем соотношения для компонент тензора полных деформаций в виде

(4.9)
$\begin{array}{*{20}{c}} {{{{{\varepsilon }}}_{i}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right) = {{e}_{i}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right) + {{q}_{i}}\left( r \right) + {{p}_{i}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right)~~~~\left( {i = r,~{{\theta }},z} \right)} \end{array}$
(4.10)
$\begin{array}{*{20}{c}} {\gamma \left( {r,{{z}_{k}},t} \right) = {{{{\gamma }}}^{e}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right) + {{{{\gamma }}}^{p}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right)} \end{array}$
где ${{e}_{z}}$, ${{e}_{{{\theta }}}}$, ${{e}_{r}}$, ${{{{\gamma }}}^{e}}$ – компоненты тензора упругих деформаций; ${{p}_{z}}$, ${{p}_{{{\theta }}}}$, ${{p}_{r}}$, ${{{{\gamma }}}^{p}}$ – компоненты тензора деформаций ползучести. При этом в начальный момент для компонент тензора деформаций ползучести имеем начальные значения:

${{p}_{z}}\left( {r,{{z}_{k}},0 + 0} \right) = 0,\quad {{p}_{{{\theta }}}}\left( {r,{{z}_{k}},0 + 0} \right) = 0,\quad {{p}_{r}}\left( {r,{{z}_{k}},0 + 0} \right) = 0,\quad {{{{\gamma }}}^{p}}\left( {r,{{z}_{k}},0 + 0} \right) = 0$

Задача сводится к разрешению системы (4.9), (4.10) относительно компонент тензора напряжений.

Запишем закон Гука для упругих деформаций:

(4.11)
$\begin{array}{*{20}{c}} {{{e}_{i}}\left( {r,{{z}_{k}},~t} \right) = \frac{1}{{{{E}_{1}}}}\left[ {\left( {1 + {{\mu }}} \right){{{{\sigma }}}_{i}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right) - {{\mu \bar {\sigma }}}} \right]~~~~\left( {i = r,~{{\theta }},z} \right)} \end{array}$
(4.12)
$\begin{array}{*{20}{c}} {{{{{\gamma }}}^{e}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right) = \frac{1}{{{{G}_{1}}}}\tau \left( {r,{{z}_{k}},t} \right)} \end{array}$
где ${{\bar {\sigma }}} = {{{{\sigma }}}_{z}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right) + {{{{\sigma }}}_{{{\theta }}}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right) + {{{{\sigma }}}_{r}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right)$.

Подставляя (4.5) и (4.11) при i = z в соотношение (4.9) при i = z, находим зависимость для осевой компоненты тензора напряжений:

(4.13)
$\begin{array}{*{20}{c}} {{{{{\sigma }}}_{z}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right) = {{E}_{1}}\left[ {{{{{\varepsilon }}}_{z}}\left( {{{z}_{k}},t} \right) - {{q}_{z}}\left( r \right) - {{p}_{z}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right)} \right] + \mu \left[ {{{{{\sigma }}}_{{{\theta }}}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right) + {{{{\sigma }}}_{r}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right)} \right]} \end{array}$

Применим далее методику работы [13], в которой реализован метод решения краевой задачи релаксации ОН в упрочненном цилиндре при действии растягивающей осевой нагрузки и крутящего момента. Учитывая, что в элементарном стержне длины ${{\Delta }}z$ реализуется НДС, однородное по переменной $z$, с использованием (4.1), (4.4), (4.5), (4.13) последовательно исключим компоненты тензора напряжений ${{{{\sigma }}}_{{{\theta }}}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right)$ и ${{{{\sigma }}}_{z}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right)$ в системе уравнений (4.9), (4.10). В итоге получим неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно ${{{{\sigma }}}_{r}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right)$ [13, 14]:

(4.14)
$\begin{array}{*{20}{c}} {{{r}^{2}}\frac{{{{d}^{2}}{{{{\sigma }}}_{r}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right)}}{{d{{r}^{2}}}} + 3r\frac{{d{{{{\sigma }}}_{r}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right)}}{{dr}} = g\left( {r,{{z}_{k}},t} \right)} \end{array}$
с правой частью

$\begin{array}{*{20}{c}} {g\left( {r,{{z}_{k}},t} \right) = \frac{{{{E}_{1}}}}{{1 - {{{{\mu }}}^{2}}}}\left[ {\frac{{2 + {{\alpha }}}}{{1 + {{\alpha }}}}{{q}_{r}}\left( r \right) + {{p}_{r}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right) - {{p}_{{{\theta }}}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right) - } \right.~~} \\ {\left. {~ - \,r\left( {\frac{{d{{p}_{{{\theta }}}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right)}}{{dr}} + {{\mu }}\frac{{d{{p}_{z}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right)}}{{dr}}} \right) + \frac{{r\left( {1 + {{\alpha \mu }}} \right)}}{{1 + {{\alpha }}}}\frac{{d{{q}_{r}}\left( r \right)}}{{dr}}} \right]} \end{array}$

Решение уравнения (4.14) при граничных условиях (4.8) записывается следующим образом:

При известном ${{{{\sigma }}}_{r}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right)$ из уравнения (4.1) находим зависимость для окружной компоненты тензора напряжений:

${{{{\sigma }}}_{{{\theta }}}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right) = \frac{d}{{dr}}\left[ {r{{{{\sigma }}}_{r}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right)} \right]$

Для определения компоненты ${{{{\sigma }}}_{z}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right)$ кроме напряжений ${{{{\sigma }}}_{{{\theta }}}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right)$ и ${{{{\sigma }}}_{r}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right)$ необходимо знать величину ${{{{\varepsilon }}}_{z}}\left( {{{z}_{k}},t} \right)$ (см. формулу (4.13)). Обозначим через ${{\Delta }}{{l}_{k}}\left( t \right)$ абсолютное удлинение k-го элементарного стержня $(k\, = \,\overline {1,~N} )$ длиной ${{\Delta }}z$, тогда его относительная деформация . С одной стороны, перемещение U* = $\mathop \sum \limits_{k = 1}^N {{\Delta }}{{l}_{k}}(t)$, с другой стороны, из формулы (4.6) следует $U{\text{*}} = L{{\varepsilon }}_{z}^{*}$. Теперь не составляет труда получить равенство

(4.15)
$\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop \sum \limits_{k = 1}^N {{{{\varepsilon }}}_{z}}\left( {{{z}_{k}},t} \right) = N{{\varepsilon }}_{z}^{*}} \end{array}$

Подставляя (4.9) при i = z в (4.15) и используя закон Гука для упругой деформации (4.11) при i = z, получаем следующую зависимость:

$\mathop \sum \limits_{k = 1}^N {{{{\sigma }}}_{z}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right) = {{E}_{1}}\left[ {N{{\varepsilon }}_{z}^{*} - N{{q}_{z}}\left( r \right) - \mathop \sum \limits_{k = 1}^N {{p}_{z}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right)} \right] + {{\mu }}\left[ {\mathop \sum \limits_{k = 1}^N {{{{\sigma }}}_{{{\theta }}}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right) + \mathop \sum \limits_{k = 1}^N {{{{\sigma }}}_{r}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right)} \right]$

Записывая теперь соотношение (4.2) для каждого значения $z = {{z}_{k}}$ $(k = \overline {1,~N} )$ и складывая полученные выражения, находим функцию F(t):

$F\left( t \right) = \frac{{2{{\pi }}}}{N}\mathop \smallint \limits_0^R r~\left( {\mathop \sum \limits_{k = 1}^N {{{{\sigma }}}_{z}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right)} \right)dr - \frac{1}{N}\mathop \sum \limits_{k = 1}^N {{F}_{1}}\left( {{{z}_{k}}} \right)$

Подставляя (4.13) в формулу (4.2), определяем величину ${{{{\varepsilon }}}_{z}}\left( {{{z}_{k}},t} \right)$:

${{{{\varepsilon }}}_{z}}\left( {{{z}_{k}},t} \right) = \frac{{F\left( t \right) + {{F}_{1}}\left( {{{z}_{k}}} \right)}}{{{{\pi }}{{R}^{2}}{{E}_{1}}}} + \frac{2}{{{{R}^{2}}}}\mathop \smallint \limits_0^R r\left\{ {{{q}_{z}}\left( r \right) + {{p}_{z}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right) - \frac{{{\mu }}}{{{{E}_{1}}}}\left[ {{{{{\sigma }}}_{{{\theta }}}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right) + {{{{\sigma }}}_{r}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right)} \right]} \right\}dr$
а далее из (4.13) находим ${{{{\sigma }}}_{z}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right)$.

После определения нормальных компонент тензоров напряжений ${{{{\sigma }}}_{i}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right)$ и деформаций ${{{{\varepsilon }}}_{i}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right)$ $\left( {i = r,~{{\theta }},z} \right)$ и зависимости для усилия F(t) находим соотношения для касательных напряжений ${{\tau }}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right)$ и момента M(t). Для этого подставляем соотношение (4.12) в (4.10) и из (4.7) находим:

${{\tau }}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right) = {{G}_{1}}[r{{\varphi *}} - {{{{\gamma }}}^{p}}\left( {r,{{z}_{k}},t} \right)]$
после чего определяем величину M(t) из соотношения (4.3).

5. Результаты расчетов и их анализ. В модельных расчетах использовались цилиндрические образцы из сплава ЖС6КП длины $L = 15$ см ($z \in [0,\,\,150]$ мм) и радиуса $R = 3.76$ мм ($r \in \left[ {0,3.76} \right]$ мм), упрочненные пневмодробеструйной обработкой поверхности, которая является штатной технологией упрочнения деталей из этого сплава, например, лопаток турбины в двигателестроении.

В расчетах полагалось ${{T}_{0}} = 20~^\circ {\text{C}}$, ${{T}_{1}} = 900~^\circ {\text{C}}$, ${{E}_{0}} = 2 \times {{10}^{5}}$ МПа, ${{E}_{1}} = 1.364 \times {{10}^{5}}$ МПа, ${{\mu }} = 0.3$.

В [13, 14] приведены значения параметров аппроксимации (2.7) для этого сплава: ${{{{\sigma }}}_{0}} = 22.554$ МПа; ${{{{\sigma }}}_{1}} = 1027.454$ МПа; $b = 9.313 \times {{10}^{{ - 2}}}$ мм; $h* = 0$, при этом для пневмодробеструйной обработки поверхности в соотношениях (2.2)–(2.4) параметр α = 1.

Для моделирования процесса релаксации ОН и усилий $F = F\left( t \right)$ и $M = M\left( t \right)$ использовалась теория установившейся ползучести

(5.1)
$\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\dot {p}}}_{{ij}}} = \frac{3}{2}c{{S}^{{m - 1}}}\left( {{{{{\sigma }}}_{{ij}}} - \frac{1}{3}{{{{\delta }}}_{{ij}}}{{{{\sigma }}}_{{kk}}}} \right)\quad \left( {i,j,k = 1,2,3} \right)~} \end{array}$
где S – интенсивность напряжений; $c$, $m$ – константы материала. Для сплава ЖС6КП при температуре ${{T}_{1}} = 900~^\circ {\text{C}}$ имеем [13]: $c = 1.5 \times {{10}^{{ - 20}}}$ (МПа)m ч–1, $m = 6.62$.

Задача ползучести решалась численно. Дискретизация проводилась не только по координате $z$, но и по аргументам $r$ и $t$. Соотношения (5.1) для каждого временного шага для всех компонент тензора деформаций интегрировались по методу Эйлера.

Расчеты выполнялись при различных комбинациях первоначальных значений ${{F}_{0}} = F\left( {0 + 0} \right)$, ${{M}_{0}} = M\left( {0 + 0} \right)$ и скорости вращения ${{\omega }}$. В расчетах для сплава ЖС6КП использовалось значение плотности ${{\rho }} = 7800$ кг/м3. На рис. 1 приведена типичная зависимость для осевого усилия $F = F\left( t \right)$ (Н) и момента $M = M\left( t \right)$ (Н ⋅ мм) при ${{\omega }} = 5000$ об/мин $ = 523.598$ рад/с в течение 100 часов в условиях ползучести при начальных значениях ${{F}_{0}} = 8882.9$ Н и ${{M}_{0}} = 16700$ Н ⋅ мм. Из информации, представленной на рис. 1, следует, что вращение ускоряет процесс релаксации для осевой нагрузки (рис. 1,a) и замедляет для крутящего момента (рис. 1,b).

Рис. 1.

Релаксация нагрузки $F = F\left( t \right)$ (a) и момента $M = M\left( t \right)$ (b) в процессе ползучести с вращением (сплошные линии) и без вращения (штриховые линии).

На рис. 2 и рис. 3 приведены зависимости для осевого напряжения ${{{{\sigma }}}_{z}} = {{{{\sigma }}}_{z}}\left( {r,t} \right)$ (МПа) в упрочненном слое в сечениях $z = 0$ и $z = 150$ мм соответственно как для вращающегося стержня, так и при отсутствии вращения. Аналогичные зависимости получены и для остальных компонент тензора напряжений. Отличие графиков, например, для компонент ${{{{\sigma }}}_{{{\theta }}}} = {{{{\sigma }}}_{{{\theta }}}}\left( {r,t} \right)$ и ${{{{\sigma }}}_{r}} = {{{{\sigma }}}_{r}}\left( {r,t} \right)$ в рассматриваемых сечениях заключается в отсутствии “скачка” для этих напряжений от приложенных осевого усилия ${{F}_{0}}$ и усилия от вращения ${{F}_{1}}\left( z \right)$.

Рис. 2.

Кинетика напряжения ${{{{\sigma }}}_{z}} = {{{{\sigma }}}_{z}}\left( {r,t} \right)$ в сечении $z = 0$ вследствие ползучести при ${{T}_{1}} = 900~^\circ {\text{C}}$ с вращением (сплошные линии) и без вращения (штриховые линии) в различные моменты времени: 1 – после процедуры упрочнения при $t = 0 - 0$; 2 – после температурного нагружения; 3 – после силового нагружения при $t = 0 + 0$; 4 – в процессе ползучести при $t = 20$ ч; 5 – в процессе ползучести при $t = 100$ ч; точки – экспериментальные данные после упрочнения при ${{T}_{0}} = 20~^\circ {\text{C}}$.

Рис. 3.

Кинетика напряжения ${{{{\sigma }}}_{z}} = {{{{\sigma }}}_{z}}\left( {r,t} \right)$ в сечении $z = 150$ мм вследствие ползучести при ${{T}_{1}} = 900~^\circ {\text{C}}$ с вращением (сплошные линии) и без вращения (штриховые линии) в различные моменты времени: 1 – после процедуры упрочнения при $t = 0 - 0$; 2 – после температурного нагружения; 3 – после силового нагружения при $t = 0 + 0$; 4 – в процессе ползучести при $t = 20$ ч; 5 – в процессе ползучести при $t = 100$ ч; точки – экспериментальные данные после упрочнения при ${{T}_{0}} = 20~^\circ {\text{C}}$.

Из выполненного детального анализа результатов расчетов следует, что наблюдается несущественное влияние не только первоначально заданных (и жестко зафиксированных) осевых и угловых перемещений, соответствующих величинам ${{F}_{0}}$ и ${{M}_{0}}$, но и вращения на релаксацию ОН (по крайней мере для численно исследованных вариантов при различных значениях ${{F}_{0}}$, ${{M}_{0}}$ и ${{\omega }}$).

Выводы. Разработан метод решения краевой задачи релаксации ОН во вращающемся сплошном цилиндре в условиях ползучести с начальным НДС после упрочнения и вызванным первоначально заданными (и жестко зафиксированными) осевыми и угловыми перемещениями. Анализ модельных расчетов для образцов из сплава ЖС6КП при $T = 900~^\circ {\text{C}}$ показал несущественное влияние нагрузок от вращения на процесс релаксации ОН по отношению к невращающемуся стержню. Полученные результаты могут быть полезны в прикладном плане в авиадвигателестроении и теплоэнергетике, поскольку рассматриваемые режимы нагружения для стержня моделируют режимы нагружения для бандажированных лопаток.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 19-19-00062).

Список литературы

  1. Павлов В.Ф., Кирпичев В.А., Вакулюк В.С. Прогнозирование сопротивления усталости поверхностно упрочненных деталей по остаточным напряжениям. Самара: СНЦ РАН, 2012. 125 с.

  2. Радченко В.П., Павлов В.Ф., Саушкин М.Н. Исследование влияния анизотропии поверхностного пластического упрочнения на распределение остаточных напряжений в полых и сплошных цилиндрических образцах // Вестник ПНИПУ. Механика. 2015. № 1. С. 130–147. https://doi.org/10.15593/perm.mech/2015.1.09

  3. Radchenko V.P., Saushkin M.N., Bochkova T.I. Mathematical modeling and experimental study of forming and relaxation of residual stresses in plane samples made of EP742 alloy after ultrasonic hardening under high-temperature creep conditions // PNRPU Mechanics Bulletin. 2018. № 3–4. P. 88–98. https://doi.org/10.15593/perm.mech/eng.2018.3.09

  4. Ватульян А.О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. М.: Физматлит, 2007. 223 с.

  5. Ватульян А.О., Дударев В.В. О некоторых проблемах реконструкции неоднородного предварительно напряженного состояния в упругих телах // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Мат. Мех. Инф. 2009. Т. 9. Вып. 4. Ч. 2. С. 25–32. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2009-9-4-2-25-32

  6. Радаев Ю.Н. Об оценке скрытой свободной энергии и поврежденности у вершины трещины нормального отрыва // ПМТФ. 2000. Т. 41. № 6. 106–117.

  7. Radayev Y.N., Stepanova L.V. On the effect of the residual stresses on the crack opening displacement in a cracked sheet // Int. J. Fracture. 2001. V. 107. № 4. P. 329–360. https://doi.org/10.1023/A:1007686929863

  8. Радаев Ю.Н. О влиянии удаленной пластической зоны на раскрытие трещины нормального отрыва // Проблемы механики деформируемых тел и горных пород, посв. 70-летию проф. Л.В. Ершова / Под ред. акад. РАН А.Ю. Ишлинского. М.: Изд-во Моск. гос. горного ун-та. 2001. С. 251–262.

  9. Chen H., Wang S., Lu S., Qiao Y., Wang X., Fan N., Guo P., Niu J. Simulation and experimental validation of residual stress and surface roughness of high manganese steel after shot peening // Proc. CIRP. 2018. V. 71. P. 227–231. https://doi.org/10.1016/j.procir.2018.05.066

  10. Isa M.R., Sulaiman S.N., Zaroog O.S. Experimental and simulation method of introducing compressive residual stress in ASTM A516 grade 70 steel // Key Eng. Mater. 2019. V. 803. P. 27–31. doi: 10.4028/www.scientific.net/KEM.803.27

  11. Киселев И.А., Жуков Н.А., Васильев Б.Е., Селиванов А.Н. Учет остаточных напряжений при расчетах прочности элементов замковых соединений. Часть 1. Моделирование дробеструйной обработки // Изв. высш. уч. завед. Машиностр. 2018. № 11. С. 49–59. https://doi.org/10.18698/0536-1044-2018-11-49-59

  12. Meguid S.A., Maricic L.A. Finite element modeling of shot peening residual stress relaxation in turbine disk assemblies // J. Eng. Mater. Technol. 2015. V. 137. № 3. P. 031003. https://doi.org/10.1115/1.4030066

  13. Радченко В.П., Цветков В.В. Кинетика напряженно-деформированного состояния в поверхностно упрочненном цилиндрическом образце при сложном напряженном состоянии в условиях ползучести // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. 2014. № 1. С. 93–108. https://doi.org/10.14498/vsgtu1313

  14. Radchenko V.P., Tsvetkov, V.V., Derevyanka E.E. Relaxation of residual stresses in a surface-hardened cylinder under creep conditions and rigid restrictions on linear and angular deformations // Mech. Solids. 2020. V. 55. № 6. P. 898–906. https://doi.org/10.3103/S0025654420660024

Дополнительные материалы отсутствуют.