1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Известия РАН. Механика твердого тела
  4. № 3, 2023

Известия РАН. Механика твердого тела, 2023, № 3, стр. 36-57

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ИЗГИБА ПЛАСТИНЫ ДЛЯ СИЛЬНО ОРТОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА

С. В. Шешенин a, *, Р. Р. Мурадханов a, **

a Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
Москва, Россия

* E-mail: sergey.sheshenin@mail.ru
** E-mail: mrdhnv@yandex.ru

Поступила в редакцию 01.02.2022
После доработки 28.07.2022
Принята к публикации 31.07.2022

Аннотация

Методика асимптотического осреднения была развита для трехмерных уравнений в частных производных с быстро осциллирующими коэффициентами. Например, для уравнений теории упругости. Затем была модифицирована и применялась к тонким телам в виде пластин (однородных или неоднородных, с ровными лицевыми поверхностями или нет), описываемых трехмерной теорией упругости. В этих случаях асимптотические решения строились относительно одного малого параметра, обычно являющегося отношением толщины пластины к характерному размеру в плане. Методика осреднения в таком случае также понижает размерности задачи, т.е. сводит трехмерную краевую задачу к некоторой двумерной.

В данной работе приводится обоснование применения метода к задаче с двумя малыми параметрами в случае однородной тонкой сильно ортотропной пластины, изгибаемой поверхностной нагрузкой без учета массовых сил. Вторым малым параметром является отношение поперечных модулей упругости к модулям в плане пластины. Показано, что сильная ортотропия эквивалентна увеличению толщины эквивалентной пластины.

Описана процедура получения распределения напряжений по толщине пластины для трех приближений. Первое приближение дает классическую теорию Кирхгофа, называемую также теорией Кирхгофа–Лява, а третье приближение совпадает с теорией Амбарцумяна и позволяет находить поперечные сдвиговые и нормальное напряжения. Рассмотрение цилиндрического изгиба дает возможность найти решения в рамках классических теорий пластин в виде формул, так же как и три приближения асимптотической теории, что упрощает сравнение. Рассмотрены примеры, когда осредненные ортотропные модули взяты для однослойного волокнистого композита.

Ключевые слова: асимптотическое осреднение, теория Рейсснера, теория Амбарцумяна, сильно ортотропный материал, однонаправленный резинокордный слой, полидисперсная модель композита

Список литературы

  1. Янковский А.П. Применения явного по времени метода центральных разностей для численного моделирования динамического поведения упругопластически деформируемых гибких армированных пластин // Вычислительная механика сплошных сред. 2016. Т. 9. № 3. С. 279–297. https://doi.org/10.7242/1999-6691/2016.9.3.24

  2. Sanchez-Palencia E. Non-homogeneous media and vibration theory. Berlin: Springer Berlin Heidelberg. 1980. 398 p. https://doi.org/10.1007/3-540-10000-8

  3. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композиционных материалов. М.: Наука. 1984. 352 с.

  4. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во Моск. ун-та. 1984. 336 с.

  5. Аннин Б.Д., Каламкаров А.Л., Колпаков А.Г., Партон B.З. Расчет и проектирование композиционных материалов и элементов конструкций. Новосибирск: Наука: Сиб. издат. 1993. 256 с.

  6. Kohn R.V., Vogelius M. A new model of thin plates with rapidly varying thickness // Int. J. Solids Struct. 1984. V. 20. № 4. P. 333–350. https://doi.org/10.1016/0020-7683(84)90044-1

  7. Levinski T., Telega J.J. Plates, laminates and shells. New York: World Scientific. 2000. https://doi.org/10.1142/3539

  8. Панасенко Г.П., Резцов М.В. Осреднение трехмерной задачи теории упругости в неоднородной пластине // Докл. АН СССР. 1987. Т. 294. № 5. С. 1061–1065.

  9. Шешенин С.В. Асимптотический анализ периодических в плане пластин // Изв. РАН. МТТ. 2006. № 6. С. 71–79.

  10. Шешенин С.В. Применение метода осреднения к пластинам, периодическим в плане // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2006. С. 47–51.

  11. Шешенин С.В., Скопцов К.А. Теория пластин, основанная на методе асимптотических разложений. // Мат. модел. числ. мет. 2014. № 2. С. 49–61.

  12. Скопцов К.А., Шешенин С.В. Асимптотической анализ слоистых пластин и пологих оболочек // Изв. РАН. МТТ. 2011. № 1. С. 161–171.

  13. Димитриенко Ю.И., Яковлев Д.О. Сравнительный анализ решений асимтотической теории многослойных тонких пластин и трехмерной теории упругости // Инженерный журнал: наука и инноваций. 2013. Т. 7. № 19. С. 17. https://doi.org/10.18698/2308-6033-2013-7-899

  14. Шешенин С.В., Савенкова М.И. Осреднение нелинейных задач в механике композитов // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 5. С. 58–61.

  15. Гольденвейзер А.Л. Теория тонких упругих оболочек. М.: Наука. 1976. 512 с.

  16. Назаров А.А. Основы теории и методы расчета пологих оболочек. М.: Стройиздат. 1966. 304 с.

  17. Гольденвейзер А.Л. Построение приближенной теории изгиба пластины методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости // ПММ. 1962. Т. 26. № 4. С. 668–686.

  18. Гольденвейзер А.Л. О приближенных методах расчета тонких упругих оболочек и пластин // Изв. АН. МТТ. 1997. № 3. С. 134–149.

  19. Гольденвейзер А.Л. Замечания о статье В.В. Васильева “Об асимптотическом методе обоснования теории пластин” // Изв. АН. МТТ. 1997. № 4. С. 150–157.

  20. Васильев В.В. О теории тонких пластин // Изв. АН. МТТ. 1992. № 3. С. 26–47.

  21. Васильев В.В. К дискуссии по классической теории пластин // Изв. АН. МТТ. 1995. № 4. С. 140–149.

  22. Васильев В.В. Об асимптотическом методе обоснования теории пластин // Изв. АН. МТТ. 1997. № 3. С. 150–155.

  23. Васильев В.В. Классическая теория пластин – история и современный анализ // Изв. АН. МТТ. 1998. № 3. С. 46–58.

  24. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука. 1974. 448 p.

  25. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки. М.: Наука. 1966. 636 с.

  26. Reissner E. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates // J. Appl. Mech. 1945. V. 12. № 2. P. A69–A77. https://doi.org/10.1115/1.4009435

  27. Kaneko T. On Timoshenko’s correction for shear in vibrating beams // J. Phys. D: Appl. Phys. 1975. V. 8. № 16. P. 1927–1936. https://doi.org/10.1088/0022-3727/8/16/003

  28. Шешенин С.В. Модуль механики композитов для пакета FYDESIS // Чебышевский сборник. 2017. Т. 18. № 3. С. 506–523. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2017-18-3-506-523

  29. Sheshenin S.V., Du Y. Homogenization of rubber-cord layers at moderately large deformations // Mech. Compos. Mater. 2021. V. 57. 3. P. 275–286. https://doi.org/10.1007/s11029-021-09953-2

  30. Vasiliev V.V., Morozov E.V. Mechanics and analysis of composite materials. Oxford: Elsevier Science Techn. 2001. 424 p.

  31. Кристенсен Р.М. Введение в механику композитов. М.: Мир. 1982. 336 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Механика твердого тела

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал