Известия РАН. Механика жидкости и газа, 2019, № 1, стр. 44-57

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О СИММЕТРИЧНОМ КАТЕНОИДЕ

Радиус рамок выберем за характерную длину. Приняв обозначение ${{R}_{{up}}}$ для радиуса верхней рамки и соответственно ${{R}_{{dn}}}$ для радиуса нижней рамки, можно считать, что

Примем, что плоскости рамок горизонтальны, и плоскость нижней рамки – это плоскость $x,y$. Ось $z$, направленная по вертикали вверх, будет для рамок осью симметрии. На фиг. 1a, 1б схематически представлены регулярный катеноид – гладкая поверхность ${{\Sigma }_{0}}$, и соответственно сингулярный катеноид – совокупность гладких сегментов $\Sigma _{0}^{ + } \cup \Sigma _{0}^{ - } \cup \Sigma _{0}^{'}$, где $\Sigma _{0}^{'}$ – круглая плоская пленка в горловине катеноида.

Являясь фигурой вращения, симметричный катеноид обладает еще и симметрией относительно горизонтальной плоскости $x{\text{'}}y{\text{'}}$, проходящей через геометрический центр катеноида. Поэтому как для регулярного, так и для сингулярного катеноида достаточно восстановить конфигурацию элемента симметрии минимальной поверхности, например, ее сегмента $ABCDA$, см. фиг. 1a, 1б.

Конфигурация сегмента $ABCDA$ минимальной поверхности может быть задана функцией высоты точки (x, y, z) минимальной поверхности над уровнем плоскости xy

Эта функция определена в области $\Omega $, которая является проекцией элемента симметрии $ABCDA$ минимальной поверхности на плоскость xy, см. фиг. 2a.

Для нахождения функции $h(x,y)$ надо решить краевую задачу

или

Здесь (1.1) – дифференциальное уравнение минимальной поверхности [3], (1.2), (1.3) – условие гладкого симметричного продолжения функции $h(x,y)$, а значит и минимальной поверхности ${{\Sigma }_{0}}$, через границу AD и BC соответственно; (1.4) – граничное условие на нижней рамке.

Граница $\Gamma = CD$ в обоих случаях – это сечение горловины минимальной поверхности ${{\Sigma }_{0}}$ горизонтальной срединной плоскостью $x{\text{'}}y{\text{'}}$, см. фиг. 1a. В сингулярном случае – это еще и сингулярное ребро поверхности $\Sigma _{0}^{ + } \cup \Sigma _{0}^{ - } \cup \Sigma _{0}^{'}$, см. фиг. 1б. В обоих случаях граница $\Gamma $ – окружность, однако ее радиус R неизвестен и формально она является свободной границей. Поэтому на ней задается два условия (1.5) в регулярном и соответственно два условия (1.6) – в сингулярном случаях. Первое условие и в (1.5), и в (1.6) – постоянство высоты $h(x,y)$. Второе условие в (1.5) для регулярного катеноида отражает факт ортогональности плоскости $x{\text{'}}y{\text{'}}$ и минимальной поверхности ${{\Sigma }_{0}}$.

Для сингулярного катеноида угол между каждой парой сегментов $\Sigma _{0}^{ + }$, $\Sigma _{0}^{ - }$, $\Sigma _{0}^{'}$ на линии их стыковки $\Gamma $ должен быть равен $2\pi {\text{/}}3$ [4] и, следовательно, нормаль ${\mathbf{N}}$ к минимальной поверхности будет составлять с горизонтальной плоскостью $x{\text{'}}y{\text{'}}$ угол $\pi {\text{/}}6$. Именно этот факт отражает второе условие в (1.6) для сингулярного катеноида, поскольку величина ${{(1 + {{\left| {\nabla h} \right|}^{2}})}^{{{{ - 1} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 1} 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}\left| {\nabla h} \right|$ представляет собой проекцию ${\mathbf{N}}$ на плоскость $x{\text{'}}y{\text{'}}$ [10].

Таким образом, для определения конфигурации симметричного регулярного катеноида надо решить краевую задачу (1.1)–(1.5), а для определения конфигурации симметричного сингулярного катеноида – краевую задачу (1.1)–(1.4), (1.6). Расстояние между плоскостями рамок l₀ представляет собой единственный управляющий параметр задачи, от которого зависит конфигурация минимальной поверхности.

2. АНАЛОГИЯ С ФИЛЬТРАЦИЕЙ АНОМАЛЬНО ВЯЗКИХ ЖИДКОСТЕЙ

В работе [8] установлено, что для анализа задач о минимальной поверхности можно эффективно использовать аналогию с задачами фильтрации аномально вязких жидкостей в пористой среде [9]. Определим фиктивный гидродинамический поток ${\mathbf{J}}$ жидкости следующим образом:

Вектор потока ${\mathbf{J}}$ характеризуется своей величиной $J = \left| {\mathbf{J}} \right|$ и углом наклона ${\theta }$ к оси $x$. Связь (2.1) между величинами J и $\left| {\nabla h} \right|$ можно записать в другой форме

где $\Phi (J) \geqslant 0$, $\Phi {\text{'}}(J) \geqslant 0$. Соответственно дифференциальное уравнение (1.1) позволяет ввести фиктивную фильтрацию аномальной жидкости в пористой среде [9]

При этом $h(x,y)$ является аналогом напора, а ${\mathbf{J}}(x,y)$ – аналогом скорости фильтрации. Характер течения представлен на фиг. 2a. Закон фильтрации (2.2) был впервые рассмотрен В.В. Соколовским [11].

Второе дифференциальное уравнение (2.3) означает, что жидкость несжимаема и, следовательно, можно ввести функцию тока $\psi (x,y)$ [12]. Тогда

Как показано Христиановичем [13], для фильтрационных течений, удовлетворяющих закону (2.3), целесообразно использовать преобразование Чаплыгина [14] к переменным годографа скорости t, $\theta $. Для закона Соколовского (2.2) переменная t будет связана с J выражением [11]

В результате такого преобразования придем к соотношениям Коши–Римана (подробности см. [11, 15])

Следовательно, можно ввести комплексные переменные W и $\chi $

и использовать функцию комплексного переменного $\chi (W)$ или $W(\chi )$ [16]. Условно W называется комплексным потенциалом течения, а $\chi $ – годографом скорости [9].

Когда функция $\chi (W)$ будет найдена, вернуться на физическую плоскость $x,y$ можно, выписав формулы Христиановича полных дифференциалов от функций $x(h,\psi )$, $y(h,\psi )$ [9, 13]

Как показано в [9], задача определения функции $\chi (W)$ может эффективно решаться методом годографа скорости [17] при условии, что плоскости $\chi $ и W имеют канонический вид.

3. АНАЛИЗ ВИДА ПЛОСКОСТЕЙ КОМПЛЕКСНОГО ПОТЕНЦИАЛА И ГОДОГРАФА СКОРОСТИ

Сначала проанализируем вид плоскости комплексного потенциала $W = - h + i\psi $. Границы $AD$ и $BC$ области $\Omega $ являются линиями тока, см. фиг. 2a, а границы $AB$ и $CD$ – линиями постоянства h, см. формулы (1.4)–(1.6). Поэтому в плоскости потенциала $W = - h + i\psi $ области течения $\Omega $ отвечает прямоугольник ${{\Omega }_{W}}$, представленный на фиг. 2б.

Чтобы проанализировать вид плоскости годографа скорости $\chi = t + i\theta $, помимо представления J, как вектора потока несжимаемой жидкости, удобно использовать и геометрическую его интерпретацию: в соответствии с [10] вектор потока ${\mathbf{J}}(x,y)$ вида (2.1) будет проекцией вектора нормали ${\mathbf{{\rm N}}}(x,y)$ на плоскость $x,y$, см. фиг. 1.

С учетом картины течения, см. фиг. 2а, на линиях тока $AD$ и $BC$ имеем

На границах $AB$ и $CD$ используем тот факт, что вектор нормали ${\mathbf{{\rm N}}}(x,y)$ будет ортогонален к самим границам. Тогда и вектор потока J будет ортогонален к ним, см. фиг. 2a. Далее, из соображений осевой симметрии течения следует, что величина потока J будет постоянной на каждой из границ $AB$ и $CD$.

Величина потока J на границе $\Gamma = CD$ устанавливается в регулярном случае из второго граничного условия в (1.5): J = 1 и соответственно в сингулярном случае – из граничного условия (1.6): $J = \cos (\pi {\text{/}}6)$. Введем обозначения ${{b}_{r}}$, ${{b}_{s}}$ для параметра $b$ в регулярном и сингулярном случае соответственно:

Тогда, с учетом связи (2.4) между J и $t$, условие на $\Gamma $ в обоих случаях может быть выписано в общем виде

Поток J на границе $AB$ постоянен, но неизвестен по величине. Вследствие той же самой формулы (2.4) величина $t$ на границе $AB$ также будет постоянной, но неопределенной. Обозначим ее через $a$

С учетом формул (3.1)–(3.4) приходим к выводу, что в плоскости годографа скорости $\chi $ области течения $\Omega $ отвечает прямоугольник ${{\Omega }_{\chi }}$, представленный на фиг. 2в. Определяющий отношение сторон прямоугольника параметр $a$ будет основным вспомогательным параметром задачи. Очевидно, что $a > b$.

Учитывая вид комплексных плоскостей $W = - h + i\psi $ и $\chi = t + i\theta $, легко находим конформное отображение $W(\chi )$

которое непосредственно определяет функции $h(t,\theta )$ и $\psi (t,\theta )$

4. ВОССТАНОВЛЕНИЕ КОНФИГУРАЦИИ МИНИМАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Радиус R окружности $\Gamma $ можно определить из соображений материального баланса. Действительно, в силу несжимаемости жидкости ее суммарные потоки через границы $AB$ и $CD$ должны совпадать. Вектор J ортогонален к этим границам, а его величина J постоянна на каждой из границ. С учетом этого будем иметь

В результате, используя условия (3.3), (3.4), получим

Найти конфигурации всей минимальной поверхности можно, определив функцию $h(x,y)$. Поскольку задача была параметризована введением вспомогательной плоскости $\chi = t + i\theta $, функция $h(x,y)$ опосредованно определяется функциями $h(t,\theta )$, $x(t,\theta )$ и $y(t,\theta )$. Функция $h(t,\theta )$ нам уже известна, см. формулу (3.5). Чтобы найти функции $x(t,\theta )$ и $y(t,\theta )$, используем дифференциальные формулы Христиановича общего вида (2.5). Подставляя в них вытекающие из (3.5) выражения для частных производных функций $h(t,\theta )$ и $\psi (t,\theta )$

получим формулы

В частности, для границы $\Gamma $ из формул (4.2) с учетом условия (3.3) следует

Соответственно можно связать приращения дуговой абсциссы ${{s}_{\Gamma }}$ границы $\Gamma $ и угла наклона $\theta $ к оси $x$ нормали к этой границе

Поскольку $\Gamma $ – окружность, из последнего выражения следует еще одна формула для величины радиуса $R$ окружности $\Gamma $

Сравнивая ее с формулой (4.1), получим связь единственного управляющего параметра задачи l₀ с основным вспомогательным параметром задачи $a$

Далее, из формул (4.2) дифференциалов функций $x(t,\theta )$ и $y(t,\theta )$ можно восстановить и сами функции, но поскольку и регулярный, и сингулярный катеноиды являются фигурами вращения, достаточно установить их профиль AD в плоскости xz, как функции $x = x(z)$. Для границы AD из формул (4.2) при учете первого условия (3.1) и формулы (4.3) получим соотношение, связывающее дифференциалы $t$ и $x$

Проинтегрируем его от точки $D$, где $t = b$ и $x = R$. С учетом выражения (4.1) найдем функцию $x(t)$ на границе AD

Функцию $z(t)$ на границе AD по сути дает первое выражение в формуле (3.5). Перепишем его с учетом выражения (4.3)

Обращая функцию $z(t)$, найдем функцию $t(z)$ на на границе $AD$

Подставляя формулу (4.5) в формулу (4.4), получим искомый профиль $x(z)$ границы AD

Этот профиль является цепной линией и отличается от известных формул [6] только выбором начала координат и масштаба.

5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ МИНИМАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Часть катеноида, заключенная между плоскостями $z = 0$ и $z = z{\text{'}}$, представляет собой фигуру вращения с заданным профилем $x(z)$ и осью вращения $z$. Поэтому для вычисления ее площади $S(z')$ можно использовать формулу [18]

Профиль $x(z)$ представлен выражением (4.6). Его непосредственное дифференцирование дает выражение для $dx{\text{/}}dz$

Подставляя его формулу (5.1) и проводя интегрирование, получим

Тогда площадь всего катеноида в регулярном и в сингулярном случаях можно выразить единой формулой

Второе слагаемое здесь подчеркивает, что площадь сингулярного катеноида отличается от площади регулярного катеноида не только другим значением $b$ в формуле (4.3) для ${{l}_{0}}$, но и добавлением площади пленки $\Sigma _{0}^{'}$ в горловине катеноида. Проводя вычисления по формуле (5.3) с учетом выражений (4.3), (5.2), найдем площадь симметричного катеноида ${{S}_{0}}$ в зависимости от параметра $a$

Здесь в регулярном и сингулярном случаях надо выбирать свое значение $b$ в соответствии с формулой (3.2).

6. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ДЛЯ СИММЕТРИЧНОГО КАТЕНОИДА

На фиг. 3a представлена рассчитанная по формуле (4.3) зависимость ${{l}_{0}}(a)$: кривая 1 – для регулярного катеноида, кривая 2 – для сингулярного катеноида. Обе кривые немонотонны и имеют максимумы, отмеченные звездочкой: у кривой 1 это критическое значение $l_{{0,r}}^{*} = 1.3255$, которое достигается при a, равном $a_{r}^{*} = 1.1997$; у кривой 2 это критическое значение $l_{{0,s}}^{*} = 0.8156$, которое достигается при $a$, равном $a_{s}^{*} = 1.6293$. Следовательно, и в регулярном, и в сингулярном случаях при l₀, больше критического значения, связной конфигурации минимальной поверхности не существует, а при l₀, меньше критического значения, возможны две конфигурации катеноида.

На фиг. 3б представлена рассчитанная по формуле (4.1) зависимость $R(a)$: кривая 1 – для регулярного катеноида, кривая 2 – для сингулярного катеноида. Звездочками отмечены критические значения $R$: для кривой 1 – это значение, равное $R_{r}^{*} = 0.5524$ при $a = a_{r}^{*}$; для кривой 2 – это значение, равное $R_{s}^{*} = 0.4360$ при $a = a_{s}^{*}$. Видим, что в обоих случаях зависимость $R(a)$ монотонно убывает и соответственно упомянутые выше две конфигурации катеноида можно различать по величине R окружности $\Gamma $: когда значения параметра a меньше критического, это будет внешний катеноид с величиной R, больше критической; когда значения параметра a больше критического, это будет внутренний катеноид с величиной R, меньше критической.

Известно, что и регулярном, и в сингулярном случае только внешний катеноид устойчив, поскольку отвечает минимуму свободной энергии [6]. Чтобы убедиться в этом, приведем рассчитанную по формуле (5.4) зависимость площади поверхности катеноида ${{S}_{0}}$ от расстояния между рамками l₀, см. фиг. 3в. Сплошные линии 1 и 2 отвечают устойчивым, а 1' и 2' – неустойчивым ветвям регулярного и сингулярного катеноида соответственно. Звездочками отмечены критические значения, в которых зависимости ${{S}_{0}}({{l}_{0}})$ имеют точки возврата. Им отвечают значения ${{l}_{0}} = l_{{0,r}}^{*}$, ${{S}_{0}} = S_{{0,r}}^{*} = 7.5378$ – в регулярном случае, и значения ${{l}_{0}} = l_{{0,s}}^{*}$, ${{S}_{0}} = S_{{0,s}}^{*} = 6.7856$ – в сингулярном случае. Штриховой линией 4 отмечено решение ${{S}_{0}} = 2\pi $, отвечающее случаю разрывного решения задачи – две отдельные пленки на рамках.

В этой связи также возникает вопрос о возможности перестройки регулярного катеноида в сингулярный и обратно. Ограничиваясь рассмотрением только устойчивых конфигураций внешнего катеноида, см. линии 1 и 2 на фиг. 3в, можно заключить, что при фиксированном l₀ площадь сингулярного катеноида всегда больше площади регулярного катеноида. Поэтому регулярный катеноид не может самопроизвольно перестроиться в сингулярный. Остается вопрос – возможна ли обратная перестройка?

Если расстояние между рамками l₀ будет больше $l_{{0,s}}^{*}$, очевидно, что катеноид не сможет оставаться сингулярным и, в частности, может стать регулярным, если срединная пленка $\Sigma _{0}^{'}$ хлопнется. Однако это лишь один из вероятных исходов, возможны и другие: например, переход системы к разрывному решению – двум отдельным пленкам на каждой рамке, или к схлопыванию всех пленок.

В то же время, если расстояние между рамками l₀ будет меньше $l_{{0,s}}^{*}$, то на первый взгляд представляется, что системе энергетически более выгодно перейти от сингулярного катеноида к регулярному. Однако это не так, поскольку на сингулярном катеноиде есть срединная пленка $\Sigma _{0}^{'}$. Если отбросить возможность ее устранения путем внешнего вмешательства, то для такого перехода необходимо, чтобы пленка $\Sigma _{0}^{'}$ перешла на одну из рамок. Очевидно, свободная энергия такой системы – “регулярный катеноид плюс пленка на рамке”, будет характеризоваться уже не просто площадью ${{S}_{{0,r}}}$ регулярного катеноида в устойчивой внешней конфигурации (линия 1), а суммой $({{S}_{{0,r}}} + \pi )$, см. линию 3 на фиг. 3в. Эта линия проходит уже выше сингулярного катеноида в устойчивой внешней конфигурации (линии 2) и переход от сингулярного катеноида к системе “регулярный катеноид плюс пленка на рамке” невозможен.

Рассмотрим также обратную ситуацию, когда к регулярному катеноиду дополнительно на одну из рамок подсаживается пленка. Если расстояние между рамками l₀ будет больше $l_{{0,s}}^{*}$, то система будет оставаться в этом состоянии, поскольку альтернативы – сингулярного катеноида – при таком l₀ нет. Однако, если в момент подсадки расстояние между рамками l₀ будет меньше $l_{{0,s}}^{*}$, подсаженная пленка соскользнет в горловину регулярного катеноида, и состоится переход системы из состояния “регулярный катеноид с пленкой на одной из рамок” к сингулярному катеноиду.

Как замечено в [7], такая перестройка катеноида происходит в два этапа: сначала пленка соскальзывает с рамки в горловину катеноида, а затем катеноид, ставший уже сингулярным, приходит к равновесному состоянию. Соответственно необходимым условием этой перестройки является не только более выгодное конечное состояние (с меньшей свободной энергией), но и более выгодное промежуточное состояние, после соскальзывания пленки в горловину катеноида. Здесь оба эти условия соблюдаются, поскольку площадь пленки при переходе с рамки в горловину уменьшается. Поэтому целый отрезок ${{l}_{0}} \in (0,l_{{0,s}}^{*}]$ линии 3 фиг. 3в отвечает неустойчивому состоянию системы “регулярный катеноид с пленкой на одной из рамок” – последняя сразу переходит в состояние сингулярного катеноида (линия 2).

Еще более неожиданные особенности таких перестроек катеноидов проявляются в случае несимметричных рамок [7]. Перейдем к его анализу.

7. СЛУЧАЙ НЕСИММЕТРИЧНЫХ РАМОК

В этом случае можно принять, что

Конфигурацию регулярного и сингулярного несимметричного катеноиды можно найти простым отсечением плоскостью $z = z{\text{'}}$ нужной части от рассмотренного выше симметричного катеноида: регулярного Σ₀ (фиг. 4а) или сингулярного $\Sigma _{0}^{ + } \cup \Sigma _{0}^{ - } \cup \Sigma _{0}^{'}$ (фиг. 4б).

Найдем сечение катеноида $z = z{\text{'}}$ из интервала $0 < z{\text{'}} < {{l}_{0}}{\text{/}}2$, радиус которого равен ${{R}_{{up}}} < 1$. Для этого разрешим уравнение профиля $AD$ катеноида (4.6) относительно $z$

где через $F(x,a)$ обозначена функция

Полагая $x = {{R}_{{up}}}$ в выражении (7.1) найдем искомое сечение катеноида $z = z{\text{'}}$

При этом надо ограничиться только теми $z{\text{'}}$, которые удовлетворяют условию

Очевидно, что это условие накладывает дополнительное ограничение на диапазон изменения параметра $a$

Это сужает ранее указанный диапазон изменения параметра $a$: $a > b$, поскольку ввиду условия ${{R}_{{up}}} < 1$ выполняется неравенство ${\text{arch}}(R_{{up}}^{{ - 1}}\operatorname{ch} b) > b$.

Таким образом, искомое сечение катеноида $z = z{\text{'}}$ из интервала $0 < z{\text{'}} < {{l}_{0}}{\text{/}}2$, радиус которого равен ${{R}_{{up}}}$, определяется формулой (7.3) при условии (7.4). Площадь сегмента катеноида, лежащего между плоскостями $z = 0$ и $z = z{\text{'}} < {{l}_{0}}{\text{/}}2$, по сути уже найдена: ${{S}_{1}} = S(z{\text{'}})$, см. выражение (5.2).

Поскольку найденные ранее катеноиды ${{\Sigma }_{0}}$ и $\Sigma _{0}^{ + } \cup \Sigma _{0}^{ - } \cup \Sigma _{0}^{'}$ симметричны относительно плоскости $z = {{l}_{0}}{\text{/}}2$, помимо найденного в интервале $0 < z{\text{'}} < {{l}_{0}}{\text{/}}2$ сечения $z = z{\text{'}}$, радиус которого равен ${{R}_{{up}}}$, в интервале ${{l}_{0}}{\text{/}}2 < z{\text{'}} < {{l}_{0}}$ будет еще одно сечение такого же радиуса. Таким образом, задача определения в симметричном регулярном катеноиде ${{\Sigma }_{0}}$ расстояния l₁ между круглыми рамками радиуса ${{R}_{{dn}}} = 1$ и ${{R}_{{up}}} < 1$ имеет два решения, которые назовем решением I (без горловины) и решением II (с горловиной), см. фиг. 4а

В то же время аналогичная задача в симметричном сингулярном катеноиде $\Sigma _{0}^{ + } \cup \Sigma _{0}^{ - } \cup \Sigma _{0}^{'}$ имеет только решение II, см. фиг. 4б

поскольку решение I по сути перестает быть сингулярным решением, а становится регулярным решением.

В выражениях (7.5)–(7.7) необходимо учесть формулы (3.2), (5.2), (7.2) при условии (7.4).

Ниже приведены рассчитанные по формулам (7.5)–(7.7) графики зависимостей ${{S}_{1}}({{l}_{1}})$ для несимметричных регулярного и сингулярного катеноидов при ${{R}_{{up}}} = 0.5$ (фиг. 5a) и ${{R}_{{up}}} = 0.8$ (фиг. 5б). Линии 1 и 2 отвечают устойчивым, а 1' и 2' – неустойчивым ветвям регулярного и соответственно сингулярного катеноида.

Как и ранее, символами “*” обозначим правые концы устойчивых веток регулярного и сингулярного катеноида, а отвечающие им значения максимально возможных ${{l}_{{1,r}}}$ и ${{l}_{{1,s}}}$ обозначим соответственно через $l_{{1,r}}^{*}$ и $l_{{1,s}}^{*}$. Символом “o” обозначим левый конец устойчивой ветви сингулярного катеноида, который определяется ограничением (7.4), а соответствующее ему значение минимально возможного ${{l}_{{1,s}}}$ обозначим через $l_{{1,s}}^{{\text{o}}}$.

Значение ${{l}_{{1,r}}}$, при котором у регулярного катеноида появляется (или исчезает) горловина, обозначим через $l_{{1,r}}^{\vartriangle }$. Соответствующую ему точку на устойчивой ветви ${{S}_{1}}({{l}_{1}})$ регулярного катеноида обозначим символом “$\vartriangle $”, так что при ${{l}_{1}} < l_{{1,r}}^{\vartriangle }$ катеноид будет без горловины (решение I), а при ${{l}_{1}} < l_{{1,r}}^{\vartriangle }$ – будет с горловиной (решение II), см. фиг. 4а.

Видно, что для любых ${{R}_{{up}}} < 1$ графики ${{S}_{1}}({{l}_{1}})$ качественно схожи между собой и также схожи с первоначальным графиком ${{S}_{0}}({{l}_{0}})$ для симметричного регулярного и сингулярного катеноида, см. фиг. 3в. Также, аналогично симметричному случаю, регулярный катеноид не может самопроизвольно перейти в сингулярный катеноид, поскольку зависимость ${{S}_{1}}({{l}_{1}})$ для последнего всегда ниже. В то же время здесь, в отличие от случая симметричных рамок, возможен непрерывный обратный переход – при уменьшении расстояния l₁ между рамками плоскость срединной пленки сингулярного катеноида приближается к плоскости меньшей рамки и при ${{l}_{1}} = l_{{1,s}}^{{\text{o}}}$ эти плоскости просто совмещаются. Соответственно пленка $\Sigma _{0}^{'}$ в горловине становится пленкой на верхней (меньшей) рамке, а сам катеноид становится регулярным. Однако обсуждать это надо в рамках анализа системы “регулярный несимметричный катеноид с пленкой на меньшей рамке”.

8. СЛУЧАЙ, КОГДА К РЕГУЛЯРНОМУ НЕСИММЕТРИЧНОМУ КАТЕНОИДУ ПОДСАЖИВАЕТСЯ ПЛЕНКА НА МЕНЬШЕЙ РАМКЕ

Свободная энергия системы “регулярный катеноид плюс пленка на меньшей рамке” пропорциональна ее суммарной площади ${{S}_{{1,r}}}({{l}_{1}}) + \pi R_{{up}}^{2}$. Зависимость этой площади от расстояния l₁ между рамками представлена пунктирными линиями 3 на фиг. 6а при ${{R}_{{up}}} = 0.5$ и на фиг. 6б при ${{R}_{{up}}} = 0.8$. Символом “$\vartriangle $”, как и ранее, отмечена точка возникновения (исчезновения) горловины на регулярном катеноиде. Линии 2 представляют устойчивые ветви для сингулярного катеноида – те же самые, что и на фиг. 5а, 5б. Левые и правые концы этих линий, как и ранее, обозначены символами “${\text{o}}$” и “*”.

Как видно из фиг. 6а, 6б, при уменьшении расстояния l₁ между рамками и достижении l₁ величины $l_{{1,s}}^{{\text{o}}}$ действительно происходит непрерывный и даже гладкий (в смысле значений свободной энергии) переход от сингулярного несимметричного катеноида к системе “регулярный несимметричный катеноид с пленкой на меньшей рамке”. Понятно, что расстояние ${{l}_{1}}$ можно уменьшать и далее, система будет оставаться в этом устойчивом состоянии. Но, что случится, если начать увеличивать расстояние ${{l}_{1}}$ до величины $l_{{1,s}}^{{\text{o}}}$ и далее?

На первый взгляд, при достижении l₁ величины $l_{{1,s}}^{{\text{o}}}$ система должна выбрать наиболее выгодный путь с меньшей свободной энергией, т.е. перейти к сингулярному несимметричному катеноиду, но это не так [7]. В отличие от случая симметричных рамок, когда у регулярного катеноида всегда была горловина, здесь участки ${{l}_{1}} \in (0,l_{{1,r}}^{\vartriangle }]$ пунктирных линий 3 фиг. 6а, 6б отвечают решению I для регулярного несимметричного катеноида (без горловины), фиг. 4а. Чтобы в таком катеноиде заставить пленку сойти с меньшей рамки, ее площадь необходимо увеличить. В соответствии с описанной в [7] двухэтапной схемой перестройка катеноида, первый этап перестройки – сход пленки с меньшей рамки – оказывается невыгоден системе, поскольку сопряжен с затратами энергии. В результате участкам ${{l}_{1}} \in (0,l_{{1,r}}^{\vartriangle }]$ пунктирных линий 3 фиг. 6а, 6б будет отвечать метастабильное состояние системы, и без дополнительных затрат энергии находиться в нем система может неограниченно долго.

Сценарий развития событий при дальнейшем увеличении l₁ зависит от величины радиуса ${{R}_{{up}}}$ меньшей рамки. Для ${{R}_{{up}}} = 0.5$, см. фиг. 6а, система так и останется в состоянии “регулярный несимметричный катеноид с пленкой на меньшей рамке” вплоть до достижения l₁ величины $l_{{1,r}}^{*}$. Для ${{R}_{{up}}} = 0.8$ картина совсем другая. Здесь значение ${{l}_{1}} = l_{{1,r}}^{\vartriangle }$ достигается раньше, чем ${{l}_{1}} = l_{{1,s}}^{*}$, см. фиг. 6б. Это значит, что целый отрезок ${{l}_{1}} \in [l_{{1,r}}^{\vartriangle },l_{{1,s}}^{*}]$ пунктирной линии 3 отвечает уже решению II для несимметричного регулярного катеноида (с горловиной), см. фиг. 4а. Поэтому первый этап перестройки регулярного катеноида в сингулярный – сход пленки с меньшей рамки в горловину – становится выгоден системе и такая перестройка имеет место. Следовательно, весь отрезок ${{l}_{1}} \in [l_{{1,r}}^{\vartriangle },l_{{1,s}}^{*}]$ пунктирной линии 3 отвечает неустойчивой конфигурации.

В результате, если менять расстояние между рамками l₁, то увеличивая, то уменьшая его, можно добиться перестройки катеноида, причем перестройка регулярного в сингулярный будет происходить при значении ${{l}_{1}} = l_{{1,r}}^{\vartriangle }$, а обратная перестройка сингулярного катеноида в регулярный – при значении ${{l}_{1}} = l_{{1,s}}^{{\text{o}}}$, т.е. в перестройке катеноидов наблюдается гистерезис [7]. Очевидно, что такой гистерезис возможен не всегда, а только при условии $l_{{1,s}}^{{\text{o}}} < l_{{1,r}}^{\vartriangle } < l_{{1,s}}^{*}$.

На фиг. 7 приведены найденные в результате анализа системы (7.5)–(7.7) зависимости $l_{{1,s}}^{*}({{R}_{{up}}})$ – линия 1, $l_{{1,r}}^{\vartriangle }({{R}_{{up}}})$ – линия 2, и $l_{{1,s}}^{{\text{o}}}({{R}_{{up}}})$ – линия 3. В частности, найдено критическое значение ${{R}_{{up}}} \approx 0.641$, для которого $l_{{1,r}}^{\vartriangle } = l_{{1,s}}^{*}$. Соответственно гистерезис перестройки регулярного катеноида в сингулярный и обратно возможен только, если радиус меньшей рамки удовлетворяет условию ${{R}_{{up}}} > 0.641$. С точностью до обозначений это согласуется с результатами работы [7].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведен полный анализ возможных перестроек конфигурации минимальной поверхности, образующейся на системе двух круглых соосных рамок разного радиуса. В частности, для разных конфигураций построены графики зависимости ее площади (поверхностной энергии) от расстояния между рамками. Только с привязкой к этим графикам выдвинутое в [7] предположение об метастабильности одной из конфигураций получает обоснование, а предложенное в [7] объяснение гистерезиса перестройки конфигураций катеноида приобретает ясный физический смысл. Использованная схема анализа на основе методов теории фильтрации аномальных жидкостей может быть распространена на случай некруглых и негладких рамок.

Работа выполнена за счет средств субсидии, выделенной в рамках государственной поддержки Казанского (Приволжского) федерального университета в целях повышения его конкурентоспособности среди ведущих мировых научно-образовательных центров (М.М.А.) и National Science Foundation IOS-1354956 (К.Г.К).