Известия РАН. Механика жидкости и газа, 2019, № 1, стр. 68-77

ЛАМИНАРИЗАЦИЯ ПОТОКА ПРИ ТЕЧЕНИИ С ТЕПЛООБМЕНОМ В ПЛОСКОМ КАНАЛЕ С КОНФУЗОРОМ

В. Г. Лущик a*, М. С. Макарова a**, А. И. Решмин a***

a МГУ им. М.В. Ломоносова, Научно-исследовательский институт механики
Москва, Россия

* E-mail: vgl_41@mail.ru
** E-mail: april27_86@mail.ru
*** E-mail: alexreshmin@rambler.ru

Поступила в редакцию 04.04.2018
После доработки 20.06.2018
Принята к публикации 20.06.2018

Полный текст (PDF)

Аннотация

Путем численного моделирования исследован процесс ламинаризации турбулентного течения с теплоподводом в плоском конфузоре с постоянным углом сужения. Показано влияние отрицательного продольного градиента давления на характеристики течения и теплообмена. Проведено сравнение результатов расчета с экспериментальными данными по теплообмену. Определена величина параметра ускорения, при котором в канале происходит полная ламинаризация течения.

Ключевые слова: плоский конфузор, ламинаризация течения, дифференциальная модель турбулентности

Продольный градиент давления является параметром, который оказывает существенное влияние на турбулентное течение, приводя в пределе в случае большого отрицательного градиента давления к ламинаризации пограничного слоя.

Эффект ламинаризации (или реламинаризации) исходного турбулентного течения в пограничных слоях в случае внешних течений с отрицательным градиентом давления был обнаружен Штернбергом в 1954 г. [1]. Впоследствии исследованию процессов ламинаризации уделялось значительное внимание и на сегодняшний день имеется обширная литература (например, обзоры [25]). Известно несколько локальных критериев параметра ускорения, которые были предложены для определения необходимого градиента скорости (или давления), обеспечивающего реламинаризацию [68]

(0.1)
$K = \frac{\nu }{{u_{e}^{2}}}\frac{{d{{u}_{e}}}}{{dx}} > 3 \times {{10}^{{ - 6}}},$${{\Delta }_{p}} = \frac{\nu }{{\rho u_{*}^{2}}}\frac{{dp}}{{dx}} > 0.02$

Здесь ${{u}_{e}}$ – скорость набегающего потока, ${{u}_{*}}$ – динамическая скорость, $v$ – кинематическая вязкость, p – давление.

В статье [9] показано, что условий (0.1) недостаточно, чтобы гарантировать реламинаризацию пограничного слоя. Для полной реламинаризации согласно [9] требуется, чтобы локальное число Рейнольдса ${{\operatorname{Re} }_{\theta }} = {{u}_{e}}\theta {\text{/}}\nu $, определенное по толщине потери импульса $\theta $, стало меньше критического ${{\operatorname{Re} }_{\theta }} = 200...300$. Величина ${{\operatorname{Re} }_{\theta }}$, как следует из [2], станет меньше критической, если протяженность участка, на котором воздействует градиент давления, превышает длину релаксации характеристик турбулентности, зависящую от предыстории течения. С учетом этого критериями типа (0.1) или их комбинациями, согласно [2], нельзя однозначно предсказать реламинаризацию турбулентного пограничного слоя. Так, в [5] путем численного моделирования получено, что для значения величины $K = 4 \times {{10}^{{ - 6}}}$ число ${{\operatorname{Re} }_{\theta }}$ заметно убывает по длине, приближаясь к критическому значению ${{\operatorname{Re} }_{\theta }} = 200$, что свидетельствует о тенденции к ламинаризации пограничного слоя при сильном ускорении потока, однако полная ламинаризация на расчетной длине получена не была.

Тем не менее во многих исследованиях (например, [10, 11]) критерии типа (0.1) или их комбинации используются, и значения их уточняются при определении условий реламинаризации турбулентных пристеночных пограничных слоев. Так, в [11], где представлен обзор работ по исследованию влияния отрицательного градиента давления на течение в пограничном слое и перечислены параметры реламинаризации, экспериментально получено значение параметра ускорения $K = 4.4 \times {{10}^{{ - 6}}}$, обеспечивающего реламинаризацию турбулентного пограничного слоя.

Следует отметить, что значительная часть экспериментов в этой области посвящена исследованию эволюции пограничных слоев, подверженных отрицательному градиенту давления (например, [12]), и не описывает процесс реламинаризации. Как указано в [13], сложность экспериментов по исследованию реламинаризации может быть вызвана наличием широкого диапазона скоростей, который требуется поддерживать: от низких значений скорости на входе до очень высоких скоростей и сравнительно тонких пограничных слоев на выходе из экспериментального участка.

Исследованию ламинаризации внутренних турбулентных течений посвящено значительно меньше работ по сравнению с исследованием для случая внешних течений. Так, достаточно подробно исследовано течение в трубах с сильным подогревом теплоносителя, создающим большой отрицательный градиент давления (например, [14]). В [14] предполагается, что начало ламинаризации в обогреваемой трубе можно определять также с помощью параметра ускорения K (0.1), в котором вместо скорости внешнего течения ${{u}_{e}}$ подставляется средняя скорость течения в трубе U.

Что касается течения в конфузорах, то оно исследовано еще меньше. Так, в [15] проведено экспериментальное исследование течения и теплообмена в круглом конфузоре с углом сужения 8°. В [16, 17] исследованы течение и теплообмен в двумерном канале с плоским конфузором. Детальный обзор опубликованных экспериментальных работ по реламинаризации течения в плоских конфузорах показывает, что в итоге большая их часть сводится к исследованию задачи внешнего обтекания плоской пластины при наличии отрицательного градиента, который в свою очередь задается при помощи сужения конфузорного канала [1820]. При этом основной особенностью течения в каналах с плоским конфузором является то обстоятельство, что число Рейнольдса $\operatorname{Re} = {{d}_{h}}U{\text{/}}\nu $, определенное по средней скорости течения U и гидравлическому диаметру ${{d}_{h}} = 2h$, равному двойной высоте конфузора h, в случае двумерного течения остается постоянным по длине канала. Это позволяет записать параметр ускорения потока K (0.1) в виде

(0.2)
$K = \frac{\nu }{{{{U}^{2}}}}\frac{{dU}}{{dx}} = \frac{{2\beta }}{{\operatorname{Re} }}$

Здесь $\beta = - dh{\text{/}}dx = {\text{tg}}\alpha $ – тангенс угла наклона верхней стенки конфузора.

В [17] при исследовании влияния ламинаризации потока на теплообмен при течении в плоском конфузоре экспериментально установлено, что на выходе из конфузора число Нуссельта значительно меньше числа Нуссельта для развитого турбулентного течения при том же числе Рейнольдса, что свидетельствует о ламинаризации течения. Однако полной ламинаризации течения в [17] для чисел Рейнольдса Re = 7300 и 10 500 на длине конфузора 200 мм даже при $K = {{10}^{{ - 5}}}$ достигнуто не было, поскольку число Нуссельта на выходе из конфузора было заметно больше ламинарного значения.

В [18] экспериментально исследовано течение в плоском конфузоре с углом сужения 9° для числа Рейнольдса, определенного по гидравлическому диаметру конфузора, Re = 105. При этом параметр ускорения потока составлял $K = 3.1 \times {{10}^{{ - 6}}}$. В [18] детально измерены осредненные профили скоростей, проведено их сравнение с известным автомодельным решением для ламинарного пограничного слоя [21]. Показано, что повышенный уровень турбулентности на входе в конфузорный участок не оказывает существенного влияния на процессы реламинаризации.

Численному исследованию ускоренных пограничных слоев уделяется существенно больше внимания, нежели экспериментальному. При этом исследования в первую очередь сводятся к проблеме выбора модели турбулентности, которая может адекватно описать процессы реламинаризации. Так, в [22] выполнено моделирование течений с отрицательным градиентом давления с использованием линейных и нелинейных RANS-моделей. Диапазон изменения параметра ускорения при этом составлял K = (1.5..3.0) × 10–6. Показано, что лучшие из одно- и двухпараметрических моделей турбулентности, рассмотренных в [22], в их стандартных формах нечувствительны к ускорению потока. Модификации этих моделей, предложенные их авторами, позволили улучшить результаты.

Цель настоящей работы – численное моделирование течения с отрицательным градиентом давления в условиях внутренней задачи – в плоском канале с конфузором при постоянном числе Рейнольдса. Численное моделирование течения с теплообменом проведено с использованием трехпараметрической дифференциальной модели турбулентности [23], обобщенной на течение с теплообменом [24] и дополненной уравнением переноса для турбулентного потока тепла [25]. Основанием для использования этой модели турбулентности явилось то, что результаты расчетов для внешнего течения − в пограничном слое на пластине в потоке с отрицательным градиентом давления [5], показали хорошее согласование результатов расчета с известными экспериментальными данными.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Уравнения неразрывности, движения и энергии, описывающие дозвуковое (число Маха M $ \ll $1) течение в плоском конфузоре в приближении узкого канала имеют вид

(1.1)
$\begin{gathered} \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\rho u} \right) + \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {\rho v} \right) = 0 \\ \rho u\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + \rho v\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = - \frac{{dp}}{{dx}} + \frac{\partial }{{\partial y}}\left[ {\eta \frac{{\partial u}}{{\partial y}} + \rho \tau } \right] \\ cp\left( {\rho u\frac{{\partial T}}{{\partial x}} + \rho v\frac{{\partial T}}{{\partial y}}} \right) = \frac{\partial }{{\partial y}}\left[ {\left( {\lambda \frac{{\partial T}}{{\partial y}} + \rho {{q}_{T}}} \right)} \right] \\ \end{gathered} $

Здесь x – направление вдоль конфузора, y – координата, отсчитываемая от одной из стенок конфузора, u и $v$ – компоненты скорости вдоль осей x и y соответственно, p – давление, $\rho \tau = - \rho \langle u'v'\rangle $ – турбулентное трение, $\rho {{q}_{T}} = - \rho cp\langle v'T'\rangle $ – турбулентный поток тепла, ρ – плотность, η – динамическая вязкость, cp – изобарная теплоемкость, λ – теплопроводность.

Для вычисления величин τ и qT используем трехпараметрическую модель турбулентности [23], обобщенную на течение с теплообменом [24], в которой уравнения переноса записываются для энергии турбулентности $E = 0.5\Sigma \langle u{{_{i}^{'}}^{2}}\rangle $, величины напряжения сдвига $\tau = - \left\langle {u'v'} \right\rangle $ и предложенного А.Н. Колмогоровым параметра $\omega = E{\text{/}}{{L}^{2}}$ (L – поперечный интегральный масштаб турбулентности), а также уравнение переноса для величины ${{q}_{T}} = - cp\left\langle {v'T'} \right\rangle $ [25]

$\rho u\frac{{\partial E}}{{\partial x}} + \rho v\frac{{\partial E}}{{\partial y}} = - (c\rho \sqrt E L + {{c}_{1}}\eta )\frac{E}{{{{L}^{2}}}} + \rho \tau \frac{{\partial u}}{{\partial y}} + \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {{{D}_{E}}\frac{{\partial E}}{{\partial y}}} \right)$
$\rho u\frac{{\partial \tau }}{{\partial x}} + \rho v\frac{{\partial \tau }}{{\partial y}} = - (3c\rho \sqrt E L + 9{{c}_{1}}\eta )\frac{\tau }{{{{L}^{2}}}} + {{c}_{2}}\rho E\frac{{\partial u}}{{\partial y}} + \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {{{D}_{\tau }}\frac{{\partial \tau }}{{\partial y}}} \right)$
$\begin{gathered} \rho u\frac{{\partial \omega }}{{\partial x}} + \rho v\frac{{\partial \omega }}{{\partial y}} = - (2c\rho \sqrt E L + 1.4{{c}_{1}}\eta {{f}_{\omega }})\frac{\omega }{{{{L}^{2}}}} + \left[ {\frac{\tau }{E} - 2{{c}_{3}}sign\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial y}}} \right)} \right]\rho \omega \frac{{\partial u}}{{\partial y}} + \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {{{D}_{\omega }}\frac{{\partial \omega }}{{\partial y}}} \right) \hfill \\ \rho u\frac{{\partial {{q}_{T}}}}{{\partial x}} + \rho v\frac{{\partial {{q}_{T}}}}{{\partial y}} = - [3c\rho \sqrt E L + 9{{c}_{1}}\eta f(\Pr )]\frac{{{{q}_{T}}}}{{{{L}^{2}}}} + {{c}_{4}}{{c}_{p}}\rho E\frac{{\partial T}}{{\partial y}} + \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {{{D}_{q}}\frac{{\partial {{q}_{T}}}}{{\partial y}}} \right) \hfill \\ \end{gathered} $
(1.2)
${{D}_{\varphi }} = {{a}_{\varphi }}\sqrt E L + {{\alpha }_{\phi }}\eta \,\,(\varphi = E,\tau ,\omega ,{{q}_{T}}),\quad L = \sqrt {E{\text{/}}\omega } $
${{f}_{\omega }} = 1 - \frac{1}{{2{{c}_{1}}}}{{\left( {\frac{L}{E}\frac{{\partial E}}{{\partial y}}} \right)}^{2}}$, $f(\Pr ) = \frac{{1 + {{c}_{5}}}}{2}\frac{{\sqrt {\Pr } + 1{\text{/}}\sqrt {\Pr } }}{{1 + {{c}_{5}}\sqrt {\Pr } }}$

Значения констант [2325]: c = 0.3; c1 = 5π/4; c2 = 0.2; c3 = 0.04; c4 = 0.235; c5 = 0.25; ${{a}_{E}} = {{a}_{\omega }}$ = 0.06; ${{a}_{\tau }} = {{a}_{q}}_{{_{T}}} = 3{{a}_{E}} = 0.18$; ${{\alpha }_{E}} = {{\alpha }_{\tau }} = 1$; ${{\alpha }_{\omega }} = 1.4$; ${{\alpha }_{{{{q}_{T}}}}} = f(\Pr )$.

Граничные условия на стенках канала (y = 0, h) и на входе (x = xin) для рассматриваемой задачи имеют вид

(1.3)
$\begin{gathered} u = v = 0, - \left( {\lambda \frac{{\partial T}}{{\partial n}}} \right) = 0,\quad E = \frac{{\partial \omega }}{{\partial n}} = \tau = {{q}_{T}} = 0,\quad y = 0 \\ u = v = 0, - \left( {\lambda \frac{{\partial T}}{{\partial n}}} \right) = {{q}_{w}},\quad E = \frac{{\partial \omega }}{{\partial n}} = \tau = {{q}_{T}} = 0,\quad y = h \\ p = {{p}_{1}},\quad u = {{U}_{1}},\quad T = {{T}_{1}},\quad E = {{E}_{1}},\quad \tau = 0,\quad \omega = {{\omega }_{1}},\quad {{q}_{T}} = 0,\quad x = {{x}_{{in}}} \\ \end{gathered} $

В качестве граничных условий на входе (1.3) используются постоянные по сечению профили скорости, температуры и характеристик турбулентности.

Таким образом, система уравнений (1.1), (1.2) с граничными условиями (1.3) позволяет решить задачу и найти распределения как средних, так и турбулентных характеристик течения и теплообмена.

Отметим, что использование приближения узкого канала достаточно адекватно эксперименту описывает течение на начальном участке трубы, в частности, немонотонное изменение скорости и характеристик турбулентности по длине [26]. Это позволяет надеяться, что приближение узкого канала окажется столь же продуктивным и при расчете течения и теплообмена в конфузоре.

Задача решалась в следующей постановке (фиг. 1). Входу в конфузор предшествовал участок постоянного сечения (высотой h1 и длиной $L_{1}^{'} = {{L}_{1}}{\text{/}}{{h}_{1}}$), на котором устанавливалось развитое турбулентное течение. Далее следовал участок с конфузором длиной $L_{k}^{'} = {{L}_{k}}{\text{/}}{{h}_{1}}$. За конфузором располагался выходной участок постоянного сечения высотой h2 = h1 + Lktgα. Отметим, что число Рейнольдса $\operatorname{Re} = \rho U{{d}_{h}}{\text{/}}\eta $, определенное по гидравлическому диаметру dh = 2h и среднерасходной скорости U, остается постоянным по всей длине конфузора. В качестве продольной безразмерной координаты выбрана $X' = x{\text{/}}{{h}_{1}}$, где $X'$ – координата с нулем в начале конфузора.

Фиг. 1.

Расчетная схема

Ниже представлены результаты численного исследования течения с теплообменом в плоском канале с конфузором, для которого имеются экспериментальные данные [17]. Проведенное сравнение результатов расчета с экспериментальными данными [17] позволит оценить адекватность используемой модели турбулентности и сделать предварительные выводы о возможности ламинаризации течения в плоском конфузоре, более детальное исследование которой представлено во второй части работы.

2. РАСЧЕТ ТЕЧЕНИЯ С ТЕПЛООБМЕНОМ. СРАВНЕНИЕ С ЭКСПЕРИМЕНТОМ

Рассмотрен плоский конфузор (фиг. 1), в котором реализуется течение с отрицательным градиентом давления. Параметры канала соответствуют принятым в [17]. Входу в конфузор предшествовал участок стабилизации длиной L1 = 1200 мм, (L1/2h1 = 40, где h1 = 15 мм – входная высота канала), на котором устанавливалось развитое турбулентное течение при заданном числе Рейнольдса. Далее следовал конфузор длиной Lk = 200 мм с горизонтальной нижней стенкой и плоской наклонной верхней стенкой с линейно изменяющейся по длине высотой h(x), на выходе равной h2. Следует отметить, что в плоском конфузоре при любом угле наклона стенок конфузора число Рейнольдса Re при отсутствии нагрева оставалось постоянным. За конфузором следовал участок постоянного сечения L2 = 700 мм и высотой, равной высоте конфузора на выходе h2, на котором восстанавливалось течение, соответствующее заданному числу Рейнольдса. По всей длине рабочего участка осуществлялся подогрев воздуха нагревателем с постоянным тепловым потоком qw в стенку. Величина qw задавалась достаточно малой, чтобы разность между температурой нагреваемой стенки Tw и среднемассовой температурой газа Tb не превышала 5°С, что позволяло не учитывать влияние тепловой конвекции.

Рассчитывались параметры течений при числах Рейнольдса Re = 7300 и 10 500. При определении числа Рейнольдса в качестве характерного размера принимался гидравлический диаметр, который для плоского конфузора равен двойной высоте канала.

Параметрами задачи являются: тангенс угла наклона верхней стенки конфузора к оси потока $\beta = ({{h}_{2}} - {{h}_{1}}){\text{/}}{{L}_{K}} = {\text{tg}}\alpha $, число Рейнольдса Re, безразмерный градиент скорости в конфузоре K (0.2).

Результатами расчетов явились локальные значения безразмерного коэффициента теплоотдачи – числа Нуссельта Nu, коэффициента трения λ, определенных как

${\text{Nu}} = \frac{{{{d}_{h}}{{q}_{w}}}}{{\lambda ({{T}_{w}} - {{T}_{b}})}},\quad \lambda = 8\frac{{{{\tau }_{w}}}}{{\rho {{U}^{2}}}}$

Здесь Tw – температура стенки, ${{T}_{b}}$ – среднемассовая температура, U – среднерасходная скорость, ${{\tau }_{w}} = - {{(\eta \partial u{\text{/}}\partial n)}_{w}}$, ${{q}_{w}} = - {{(\lambda \partial T{\text{/}}\partial n)}_{w}}$.

На фиг. 2 приведены результаты расчета изменения по длине числа Нуссельта Nu (а), коэффициента трения $\lambda $ (б), продольной скорости на оси канала u0, отнесенной к местной среднерасходной скорости U (в), и максимальной (в текущем сечении) интенсивности турбулентности ${{e}_{m}} = \sqrt {{{E}_{{\max }}}} {\text{/}}U$ (г) при числе Рейнольдса Re = 10 500 для ряда значений параметра ускорения в конфузоре K.

Фиг. 2.

Изменение по длине числа Нуссельта Nu (а), коэффициента трения $\lambda $ (б), относительной продольной скорости на средней линии канала (y = h/2) u0/U (в), и максимальной интенсивности турбулентности ${{e}_{m}} = \sqrt {{{E}_{{\max }}}} {\text{/}}U$ (г) при числе Рейнольдса Re = 10 500 (15 – в табл. 1, 6 – значения, соответствующие ламинарному течению)

Таблица 1.
h2, мм 11 9 7 5 2
α, град 1.2 1.7 2.3 2.9 3.7
β = tgα 0.02 0.03 0.04 0.05 0.065
K × 106 3.8 5.8 7.6 9.5 12.4
N кривой (расчет) 1 2 3 4 5
символы [17]  

Результаты численного исследования, проведенного для условий, соответствующих эксперименту [17], согласуются с экспериментальными данными по числу Нуссельта (фиг 2,a) на длине конфузора (x = 0–200 мм). В канале постоянного сечения, следующим за конфузором, происходит релаксация характеристик течения и теплообмена, поведение их носит сложный характер и по числу Нуссельта соответствие эксперименту [17] имеет качественный характер.

Признаком ламинаризации исходного турбулентного течения будем считать выход на режим течения, соответствующий ламинарному, при котором число Нуссельта (при qw = const) Nu = 5.38, коэффициент трения $\lambda $ = 96/Re, скорость на средней линии канала (y = h/2) u0/U = 1.5 (6 на фиг. 2, а–в), энергия турбулентности E во всем сечении потока близка к нулю.

Полученные результаты свидетельствуют о том, что при Re = 10 500 (фиг. 2) для h2 = 11, 9, 7, 5 мм (K ≤ 9.5 × 10–6), а при Re = 7300 для h2 = 13, 11, 9, 7 мм (K ≤ 10 × 10–6) турбулентное течение сохраняется во всех рассмотренных случаях.

При Re =10 500 ламинаризация наступает только при сужении канала до высоты h2 = 2 мм, при этом параметр ламинаризации K = 12.4 × 10–6 (5, фиг. 2). При Re = 7300 ламинаризация наступает только при сужении канала до высоты h2 = 5 мм, параметр ламинаризации – K = 13.7 × 10–6.

Проведенное численное исследование показало, что для рассмотренного конфузора длиной Lk = 200 мм при числах Рейнольдса Re = 7300 и 10 500 ламинаризация наступает при значении параметра K > 1 × 10–5. Дальнейшее уменьшение параметра K, при котором наступает ламинаризация, связано с увеличением длины конфузора, т.е. времени воздействия отрицательного градиента давления на течение. В подтверждение сказанного на фиг. 3 для Re = 7300 представлено изменение числа Нуссельта Nu (a) и максимальной интенсивности турбулентности ${{e}_{m}} = \sqrt {{{E}_{{\max }}}} {\text{/}}U$ (b) для конфузоров длиной Lk = 200, 300 и 400 мм при одном и том же наклоне стенки конфузора (α = 1.7°), т.е. при одинаковом значении параметра K = 8.2 × 10–6.

Фиг. 3.

Изменение по длине числа Нуссельта Nu (а) и максимальной интенсивности турбулентности ${{e}_{m}} = \sqrt {{{E}_{{\max }}}} {\text{/}}U$ (б) при значениях числа Рейнольдса Re = 7300 и параметра K = 8.2 × 10–6 для конфузоров длиной Lk = 200 (1), 300 (2) и 400 мм (3); 4 – Nu = 5.38; 5 – экспериментальные данные [17] для Lk = 200 мм

Как видно из фиг. 3, при значении K = 8.2 × 10–6 ламинаризация наступает в конфузоре длиной Lk = 400 мм. Можно предположить, что дальнейшего уменьшения параметра ламинаризации можно достичь, увеличивая длину конфузора.

3. УСЛОВИЯ ЛАМИНАРИЗАЦИИ ТЕЧЕНИЯ В КОНФУЗОРЕ

Представленное выше сравнение результатов расчета с экспериментальными данными [17] показало, что используемая модель турбулентности адекватно описывает течение и теплообмен в плоском конфузоре, включая процессы ламинаризации потока и последующего восстановления турбулентности.

Следует рассмотреть эти процессы более детально. Продольный градиент давления, входящий в уравнение импульсов (1.1), оказывает влияние на динамические характеристики течения, изменение которых сказывается на тепловых характеристиках. Для оценки условий ламинаризации течения в конфузоре принято, что теплоподвод отсутствует. Расчеты показали (фиг. 2, 3), что при развитом турбулентном течении на входе в канал процесс ламинаризации происходит на всей длине конфузора. При этом скорость уменьшения максимальной величины интенсивности турбулентности em зависит от параметров конфузора и входного числа Рейнольдса. Однако после конфузора, в канале постоянной высоты, турбулентность может как восстановиться, так и угаснуть.

На фиг. 4 представлены результаты расчета течений в двух каналах с различной геометрией конфузора, которые показывают, что для конфузора существует такое критическое число Рейнольдса Re*, при котором характер течения после прохождения конфузора меняется.

Фиг. 4.

Изменение по длине максимальной интенсивности турбулентности ${{e}_{m}} = \sqrt {{{E}_{{\max }}}} {\text{/}}U$ вблизи критических значений числа Рейнольдса Re*: а – β = 0.02, Lk = 600 мм, 1 – Re = 6270, 2 – Re = 6272, Re* = 6271; б – β = 0.03, Lk = 265 мм, 1 – Re = 3952, 2 – Re = 3954, Re* = 3953

Если Re > Re*, то восстанавливается турбулентное течение, соответствующее этому числу Рейнольдса, а если Re < Re*, то турбулентность вырождается и течение становится ламинарным. Эти процессы развиваются уже после конфузора, в канале постоянного сечения. Разумеется, для формирования после конфузора ламинарного течения на стенках канала не должно генерироваться возмущений.

Полной ламинаризацией турбулентного течения в конфузоре будет называться тот случай, когда входная турбулентность после конфузора не восстанавливается. Если критерием ламинаризации считать параметр ускорения потока K, то для режимов, представленных на фиг. 4, значения этого параметра существенно отличаются от величины K = 3 × 10–6 (0.1) Для случая (а) он составляет K = 6.5 × 10–6, для (б) K = 13.7 × 10–6.

Очевидно, что при одном и том же значении угла сужения конфузора его длина может быть различной, хотя и ограниченной. При этом время воздействия ускорения потока на турбулентные характеристики также будет различным.

На фиг. 5 представлены результаты расчета величины ${{e}_{m}} = \sqrt {{{E}_{{\max }}}} {\text{/}}U$ при Re = 5000 для конфузоров с одинаковым углом наклона верхней стенки (tgα = β = 0.02) различной длины, определяемой высотой выходного сечения. Для таких конфузоров K = 8 × 10–6.

Фиг. 5.

Изменение по длине максимальной интенсивности турбулентности ${{e}_{m}} = \sqrt {{{E}_{{\max }}}} {\text{/}}U$ для Re = 5000, K = = 8 × 10–6 при различной длине конфузора: 1$L_{k}^{'}$ = 13.3, 2$L_{k}^{'}$ = 26.7, 3$L_{k}^{'}$ = 31.7, 4$L_{k}^{'}$ = 33.3, 5$L_{k}^{'}$ = 40

Из фиг. 5 видно, что при увеличении длины конфузора, т.е. времени воздействия на поток отрицательного градиента давления, эффективность ламинаризации возрастает, и при длине конфузора более 475 мм (в данном случае) происходит полная ламинаризация течения.

Полная ламинаризация течения, т.е. вырождение турбулентности происходит в том случае, если на выходе из конфузора энергия турбулентности опускается ниже некоторого критического уровня. При этом ее дальнейшее уменьшение происходит уже в канале постоянной высоты. Число Рейнольдса, при котором наступает полная ламинаризация (Re*), зависит от параметров конфузора.

Были проведены расчеты зависимости Re* от относительной длины конфузора L/Lmax = 1–h2/h1, где Lmax – максимально возможная длина конфузора, соответствующая предельному значению h2 → 0. На фиг. 6 представлены зависимости Re*(L/Lmax) для ряда значений тангенса угла сужения конфузора β. Как видно из фиг. 6, при L/Lmax > 0.95 (h2/h1 < 0.05) величина Re* практически не менялась. При заданном значении угла сужения конфузора эта величина определяет наибольшее значение числа Re, при котором будет иметь место полная ламинаризация потока, если длина конфузора будет близка к максимальной, что соответствует времени воздействия отрицательного градиента давления, близком к максимальному.

Фиг. 6.

Расчетная зависимость числа Рейнольдса Re* от относительной длины конфузора L/Lmax для ряда значений тангенса угла сужения конфузора β: 1 – β = 0.008, 2 – 0.012, 3 – 0.016, 4 – 0.020, 5 – 0.029

Результаты расчета зависимости Re* от тангенса угла сужения конфузора β при времени воздействия отрицательного градиента давления, близком к максимальному (L/Lmax = 0.98), представлены на фиг. 7.

Фиг. 7.

Максимальное значение Re*, ниже которого происходит полная ламинаризация течения в плоском канале с конфузором, в зависимости от тангенса угла сужения конфузора β: 1 – расчет, 2 – аппроксимация Re* = β/3 × 10–6

Как видно из фиг. 7, при β > 0.01 число Рейнольдса Re* с хорошей точностью можно считать пропорциональным β с коэффициентом пропорциональности 106/3. При уменьшении β до 0 Re* приближается к 2000, величине, приблизительно равной нижнему критическому числу Рейнольдса для плоского канала.

Представляет интерес оценить величину параметра ускорения потока K для условий полной ламинаризации при течении в плоском конфузоре. На фиг. 8 представлена зависимость параметра K от относительной длины конфузора L/Lmax для ряда значений тангенса угла сужения конфузора β.

Фиг. 8.

Зависимость параметра K от величины L/Lmax для ряда значений β: 1 – β = 0.008, 2 – 0.012, 3 – 0.016, 4 – 0.020, 5 – 0.029; 6K = 6 × 10–6

Как видно из фиг. 8 (6), при L/Lmax > 0.95 для β > 0.01 величина параметра ламинаризации K = 2β/Re* ≈ 6 × 10–6. В остальных случаях параметр K не является константой и зависит от угла сужения конфузора β и его длины.

Таким образом, для внутреннего течения (в частном случае плоского конфузора), как и для внешнего течения, параметр ускорения потока вида $K = (\nu {\text{/}}{{U}^{2}})(dU{\text{/}}dx)$ не позволяет в общем случае определить условие полной ламинаризации течения. Это можно сделать только в случае достаточного времени воздействия градиента давления на течение, и величина параметра ускорения при этом будет составлять K = 6 × 10–6.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

С использованием трехпараметрической дифференциальной модели турбулентности, обобщенной на течение с теплообменом и дополненной уравнением переноса для турбулентного потока тепла проведено численное моделирование течения с отрицательным градиентом давления в условиях внутренней задачи – в плоском канале с конфузором при постоянном числе Рейнольдса.

Проведенное сравнение результатов расчета с экспериментальными данными показало, что используемая модель турбулентности адекватно описывает течение с теплообменом в плоском конфузоре, включая процессы ламинаризации потока и последующего восстановления турбулентности. Однако полной ламинаризации течения как в экспериментах, так и в расчетах при параметрах, соответствующих эксперименту, получено не было.

Полная ламинаризация течения, т.е. вырождение турбулентности происходит в том случае, если на выходе из конфузора энергия турбулентности опускается ниже некоторого критического уровня. При этом ее дальнейшее уменьшение происходит уже в канале постоянной высоты. Число Рейнольдса, при котором наступает полная ламинаризация (Re*), зависит от параметров конфузора.

Показано, что для плоского конфузора только в случае достаточного времени воздействия градиента давления на течение величина параметра ускорения потока вида $K = (\nu {\text{/}}{{U}^{2}})(dU{\text{/}}dx)$ может быть использована для определения условия полной ламинаризации течения. При этом его значение будет составлять K = 6 × 10–6.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (№ 17-08-00115) и Совета по грантам Президента РФ (№ СП-3993.2018.1).

Список литературы

  1. Sternberg J. The transition from a turbulent to a laminar boundary layer // US Army Bal. Res. Lab. Aberdeen (USA), 1954. Rep. 906.

  2. Гиневский А.С., Иоселевич В.А., Колесников А.В. и др. Методы расчета турбулентного пограничного слоя // Итоги науки и техники. Сер. Механика жидкости и газа. М.: ВИНИТИ. 1978. Т. 11. С. 155–304.

  3. Narasimha R., Sreenivasan K.R. Relaminarization fluid flows // Advances in Appllied Mechanics. 1979. V. 19. P. 221–309.

  4. Кадер Б.А., Яглом А.М. Влияние шероховатости и продольного градиента давления на турбулентные пограничные слои // Итоги науки и техники. Сер. Механика жидкости и газа. М.: ВИНИТИ. 1984. Т. 18. С. 3–111.

  5. Лущик В.Г., Павельев А.А., Якубенко А.Е. Уравнения переноса для характеристик турбулентности: модели и результаты расчетов // Итоги науки и техники. Сер. Механика жидкости и газа. М.: ВИНИТИ. 1988. Т. 22. С. 3–61.

  6. Moretti P.H., Kays V.M. Heat transfer in turbulent boundary layer with varying free-stream velocity and varying surface temperature—an experimental study // Int. J. Heat Mass Transfer. 1965. V. 8. P. 1187–202.

  7. Sreenivasan K.R. Laminarescent, relaminarizing and retransitional flows // Acta Mech. 1982. V. 44. P. 1–48.

  8. Badry Narayanan M.A., Ramjee V. On the criteria for reverse transition in a two-dimensional boundary-layer flow // J. Fluid Mech. 1969. V. 35. Pt 2. P. 225–241.

  9. Секундов А.Н. Применение дифференциального уравнения для турбулентной вязкости к анализу плоских неавтомодельных течений // Изв. АН СССР. МЖГ, 1971. № 5. С. 114–127.

  10. Volchkov E.P., Makarov M.S., Sakhnov A.Yu. Boundary layer with asymptotic favourable pressure gradient // Int. J Heat Mass Transfer. 2010. V. 53. P. 2837–2843.

  11. Bourassa C., Thomas F.O. An experimental investigation of a highly accelerated turbulent boundary layer // Journal of Fluid Mechanics. 2009. № 634. P. 359–404.

  12. Jones M.B., Marusic I., Perry A.E. Evolution and structure of sink-flow turbulent boundary layers // J. Fluid Mech. 2001. V. 428. P. 1–27.

  13. Escudier M.P., Abdel-Hameed A., Johnson M.W., Sutcliffe C.J. Laminarization and retransition of a turbulent boundary layer subjected to favourable pressure gradient // Exp. Fluids. 1998. V. 25. P. 491–502.

  14. Бэнкстон. Переход от турбулентного течения газа к ламинарному в нагреваемой трубе // Теплопередача. 1970. Т. 92. № 4. С. 1–12.

  15. Леонтьев А.И., Обливин А.Н., Романенко П.Н. Исследование сопротивления и теплообмена при турбулентном течении воздуха в осесимметричных каналах с продольным градиентом давления // ПМТФ. 1961. № 5. С. 17–25.

  16. Танака, Симицу. Ламинаризация турбулентных потоков в каналах при низких числах Рейнольдса // Теплопередача. 1977. Т. 99. № 4. С. 192–193.

  17. Танака и др. Влияние ламинаризации потока и его последующей турбулизации на теплообмен в случае течения при малых числах Рейнольдса в канале, состоящем из конфузорной секции и следующей за ней секции с постоянным поперечным сечением // Теплопередача. 1982. Т. 104. № 2. С. 144–153.

  18. Talamelli A., Fornaciari N., Johan K., Westin A., Alfredsson P.H. Experimental investigation of streaky structures in a relaminarizing boundary layer // J. Turbulence. 2002. № 3. 018.

  19. Ichimiya M., Nakamura I., Yamashita S. Properties of a relaminarizing turbulent boundary layer under a favorable pressure gradient // Experimental Thermal and Fluid Science, 1998. V. 17. № 1–2. P. 37–48.

  20. Ichimiya M., Nakase Y., Nakamura I., Yamashita S., Fukutomi J., Yoshikawa M. Properties of a relaminarizing turbulent boundary layer under a favorable pressure gradient (Analysis of bursting structure with VITA technique) // Nippon Kikai Gakkai Ronbunshu, B Hen/Transactions of the Japan Society of Mechanical Engineers, Part B, 1998. V. 62. № 594. P. 483–490.

  21. Schlichting H. Boundary-Layer Theory / 7th edn (New York: McGraw-Hill), 1979.

  22. Oriji U.R., Karimisani S., Tucker P.G. RANS modeling of accelerating boundary layers // J. Fluids Engineering, Trans. ASME. 2015. V. 137. №1. Paper- № A12.

  23. Лущик В.Г., Павельев А.А., Якубенко А.Е. Трехпараметрическая модель сдвиговой турбулентности // Изв. АН СССР. МЖГ. 1978. № 3. С. 13.

  24. Лущик В.Г., Павельев А.А., Якубенко А.Е. Трехпараметрическая модель турбулентности: расчет теплообмена // Изв. АН СССР. МЖГ. 1986. № 2. С. 40.

  25. Лущик В.Г., Павельев А.А., Якубенко А.Е. Уравнение переноса для турбулентного потока тепла. Расчет теплообмена в трубе // Изв. АН СССР. МЖГ. 1988. № 6. С. 42.

  26. Лущик В.Г., Сизов В.И., Якубенко А.Е. К использованию приближения узкого канала для расчета турбулентного течения в соплах жидкостных ракетных двигателей // ТВТ. 1993. Т. 31. № 5. С. 752–758.

Дополнительные материалы отсутствуют.