Известия РАН. Механика жидкости и газа, 2019, № 2, стр. 94-98
АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ $k - \omega $-МОДЕЛИ ДАЛЬНЕГО ТУРБУЛЕНТНОГО СЛЕДА
a Институт вычислительного моделирования СО РАН
Красноярск, Россия
* E-mail: schmidt@icm.krasn.ru
Поступила в редакцию 13.03.2018
После доработки 16.07.2018
Принята к публикации 16.07.2018
Аннотация
Рассмотрена полуэмпирическая модель турбулентности $k - \omega $ в приближении дальнего следа. Искомыми величинами в данной модели являются дефект продольной осредненной компоненты скорости, турбулентная кинетическая энергия, удельная скорость диссипации энергии. Выполнен теоретико-групповой анализ модели, получена редуцированная автомодельная система обыкновенных дифференциальных уравнений, которая решена численно. Показано, что результаты расчетов согласуются с имеющимися экспериментальными данными.
Модель $k - \omega $, предложенная в основополагающей статье [1], является первой двухпараметрической моделью турбулентности с двумя дифференциальными уравнениями переноса, записанными для масштабов скорости и длины, хотя и уступает по широте применения моделям типа $k - \varepsilon $. Значительный вклад в совершенствование модели $k - \omega $ внес Уилкокс (например, [2–4]). Классическая версия модели $k - \omega $ [2] успешно применяется для моделирования пристенных турбулентных течений. Причем, в отличие от модели $k - \varepsilon $, не требуется введения дополнительных пристенных функций. Тем не менее значительный недостаток модели $k - \omega $ – наличие чувствительности к внешнему уровню удельной скорости диссипации $\omega $ [5]. Включение слагаемого перекрестной диффузии в уравнение на $\omega $ [6] позволяет устранить зависимость от граничных условий. С целью улучшения прогностических свойств в расчетах свободных сдвиговых течений предложена [3, 4] версия модели $k - \omega $, включающая слагаемое перекрестной диффузии, а также модифицированные значения эмпирических постоянных модели.
В статьях [7, 8] на основе теоретико-группового анализа построены согласующиеся с экспериментальными данными автомодельные решения ряда полуэмпирических моделей свободных сдвиговых турбулентных течений, включающих уравнение для скорости диссипации энергии турбулентности $\varepsilon $. Цель данной работы заключается в применении развиваемого в [7, 8] подхода к модели $k - \omega $ [3, 4] для построения автомодельных решений задачи о течении в дальнем плоском турбулентном следе за телом, которая имеет прикладное значение и является одной из классических задач гидродинамики.
1. МОДЕЛЬ ДАЛЬНЕГО ТУРБУЛЕНТНОГО СЛЕДА
Для описания течения в дальнем плоском турбулентном следе за телом привлекается модель $k - \omega $ [4] в приближении дальнего следа
где x – продольная координата, ${{U}_{0}}$ – скорость набегающего на тело невозмущенного потока, ${{u}_{1}} = {{U}_{0}} - U$ – дефект продольной осредненной компоненты скорости ($U$ – продольная компонента скорости осредненного движения), k – кинетическая энергия турбулентности, $\omega $ – удельная скорость диссипации кинетической энергии. Эмпирические постоянные, входящие в уравнения (1.1)–(1.3), принимают следующие значения [3, 4]:Основное отличие данной версии модели $k - \omega $ от классической версии [2] заключается в наличии слагаемого перекрестной диффузии (последнее слагаемое в уравнении (1.3)) и модифицированных значениях эмпирических постоянных $\sigma {\text{*}}$, $\beta $ и $\alpha $.
Предполагается, что течение установившееся. Кроме того, в дальнейшем скорость набегающего на тело невозмущенного потока ${{U}_{0}}$ считается равной единице.
2. ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВОЙ АНАЛИЗ МОДЕЛИ
Известные экспериментальные данные [9–11] свидетельствуют о том, что течение в дальнем турбулентном следе можно считать близким к автомодельному, следовательно, естественно интересоваться автомодельными редукциями уравнений (1.1)–(1.3). Базис алгебры Ли [12] рассматриваемой модели составляют пять операторов
Составляется следующая линейная комбинация операторов X4, X5:
(2.1)
${{u}_{1}}(x,y) = {{x}^{{\gamma - 1}}}{{U}_{1}}(t),\quad k(x,y) = {{x}^{{2\gamma - 2}}}K(t),\quad \omega (x,y) = {{x}^{{ - 1}}}W(t),\quad t = \frac{y}{{{{x}^{\gamma }}}}$Пусть выполняется следующее условие:
Тогда, интегрируя уравнение (1.1) по y в пределах от $ - \infty $ до $\infty $, находим закон сохранения импульса
Для того, чтобы левая часть последнего равенства не зависела от x, необходимо положить $\gamma = 1{\text{/}}2$. Такая автомодельность согласуется с экспериментальными данными [9–11].
Подставляя (2.1) в уравнения (1.1)–(1.3), получаем следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
(2.2)
$U_{1}^{{''}} + \left( {\frac{{K{\text{'}}}}{K} - \frac{{W{\text{'}}}}{W} + \gamma t\frac{W}{K}} \right)U_{1}^{'} - (\gamma - 1)\frac{{{{U}_{1}}W}}{K} = 0$(2.3)
$\sigma {\text{*}}K{\text{''}} + U_{1}^{{}} + \sigma {\text{*}}\frac{{{{K}^{{'2}}}}}{K} + \left( { - \sigma {\text{*}}\frac{{W{\text{'}}}}{W} + \gamma t\frac{W}{K}} \right)K{\text{'}} - (2(\gamma - 1) + \beta {\text{*}}W)W = 0$(2.4)
$\sigma W{\text{''}} + \alpha \frac{W}{K}U_{1}^{{'2}} - \sigma \frac{{\mathop W\nolimits^{'2} }}{W} + \left( {(\sigma + {{\sigma }_{d}})\frac{{K{\text{'}}}}{K} + \gamma t\frac{W}{K}} \right)W{\text{'}} - (\beta W - 1)\frac{{{{W}^{2}}}}{K} = 0$Для системы уравнений (2.2)–(2.4) ставятся краевые условия
что соответствует симметрии течения относительно оси $Ox$ и равенству нулю функций ${{u}_{1}}$, k и $\omega $ вне зоны турбулентного следа. Значение a, связанное с полушириной турбулентного следа, в расчетах можно полагать равным единице, в силу инвариантности системы уравнений (2.2)–(2.4) относительно преобразования растяжения, либо задавать это значение исходя из экспериментальных данных. Следует также отметить то обстоятельство, что коэффициенты системы уравнений (2.2)–(2.4) имеют особенности в краевых условиях.Используя уравнение (2.2), находим первый интеграл
где равенство нулю константы, стоящей в правой части, следует из краевых условий. Наличие первого интеграла позволяет при дальнейших расчетах использовать обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка на функцию ${{U}_{1}}$.3. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
Система обыкновенных дифференциальных уравнений (2.7), (2.3), (2.4), удовлетворяющая условиям (2.5), (2.6), решалась численно. Для решения задачи использовался модифицированный метод стрельбы и асимптотическое разложение решения в окрестности особой точки
Заметим, что показатели степени, входящие в асимптотическое разложение, представлены в [3, 4] и принимают значения, большие единицы, что свидетельствует о гладком приближении решений рассматриваемой краевой задачи к границе турбулентного следа.
В результате расчетов были получены следующие значения функций ${{U}_{1}}$, K и W при t = 0:
Сопоставление автомодельных профилей решений, полученных методом стрельбы, с экспериментальными данными [9] представлено на рисунке 1. Имеет место достаточно хорошее соответствие результатов проведенных расчетов экспериментальным данным по дефекту осредненной продольной компоненты скорости ${{u}_{1}}$ и нормальному рейнольдсову напряжению $\left\langle {u{\text{'}}u{\text{'}}} \right\rangle $ (угловые скобки означают осреднение по времени, $u{\text{'}}$ – пульсационная составляющая продольной компоненты скорости). Для устранения имеющегося несоответствия по касательному рейнольдсову напряжению $\left\langle {u{\text{'}}\text{v}{\text{'}}} \right\rangle $ ($\text{v}{\text{'}}$ – пульсационная составляющая поперечной компоненты скорости), по всей видимости, следует привлекать более сложные модели турбулентности, включающие дифференциальные уравнения переноса на компоненты тензора рейнольдсовых напряжений.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Построены автомодельные решения уравнений $k - \omega $ модели дальнего турбулентного следа. Выполненное сопоставление с экспериментальными данными свидетельствует о применимости модифицированной версии $k - \omega $ модели к расчетам свободных сдвиговых турбулентных течений.
Автор выражает благодарность О.В. Капцову и Г.Г. Черных за предоставленные материалы и внимание к работе. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 17-01-00332).
Список литературы
Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости // Изв. АН СССР. физ. сер. 1942. Т. 6. № 1–2. С. 56–58.
Wilcox D.C. Reassessment of the scale-determining equation for advanced turbulence models // AIAA J. 1988. V. 26. № 11. P. 1299–1310. doi.org/10.2514/3.10041
Wilcox D.C. Turbulence modeling for CFD. La Canada, California: DCW Industries, 2006. 522 p.
Wilcox D.C. Formulation of the $k - \omega $ turbulence model revisited // AIAA J. 2008. V. 46. № 11. P. 2823–2838. doi.org/10.2514/1.36541
Kok J.C. Resolving the dependence on freestream values for the $k$ω-turbulence model // AIAA J. 2000. V. 38. № 7. P. 1292–1295. doi.org/10.2514/2.1101
Speziale C.G., Abid R., Anderson E.C. Critical evaluation of two-equation turbulence models for near-wall turbulence // AIAA J. 1992. V. 30. № 2. P. 324–331. doi.org/10.2514/3.10922
Капцов О.В., Ефремов И.А., Шмидт А.В. Автомодельные решения модели второго порядка дальнего турбулентного следа // ПМТФ. 2008. Т. 49. № 2. С. 74–78.
Шмидт А.В. Автомодельное решение задачи о турбулентном течении круглой затопленной струи // ПМТФ. 2015. Т. 56. № 3. С. 82–88. doi.org/10.15372/PMTF20150310
Wygnanski I., Champagne F., Marasli B. On the large-scales structures in two-dimensional small-deficit, turbulent wakes // J. Fluid Mech. 1986. V. 168. P. 31–71. doi.org/10.1017/S0022112086000289
Fage A., Falkner V.M. Note on experiments on the temperature and velocity in the wake of a heated cylindrical obstacle // Proc. Royal Soc. London, Ser. A: Math. and Phys. Sci., 1932. V. 135. № 828. P. 702–705.
Weygandt J.H., Mehta R.D. Three-dimensional structure of straight and curved plane wakes // J. Fluid Mech. 1995. V. 282. P. 279–311. doi.org/10.1017/S0022112095000140
Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Известия РАН. Механика жидкости и газа