Известия РАН. Механика жидкости и газа, 2019, № 4, стр. 72-81

1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Одномерная неизотермическая фильтрация двухкомпонентной жидкости – соленой воды (например, бинарной смеси NaCl–H₂O) – описывается следующей системой уравнений [4, 9]:

Здесь $\phi $ – пористость среды, $\rho $ – плотность, c – массовая концентрация соли в жидкости, $s$ – насыщенность твердой фазы соли, $w$ – скорость фильтрации жидкости, $h$ – энтальпия. Индексы $r$, $l$, $s$ отвечают параметрам скелета пористой среды, жидкости и твердой фазы соли соответственно.

Уравнения (1.1) и (1.2) – законы сохранения массы соли (NaCl) и воды (H₂O) соответственно, а уравнение (1.3) – закон сохранения энергии насыщенной пористой среды, записанный в терминах энтальпии [10] и в пренебрежении теплопроводностью. В системе (1.1)–(1.3) предполагается, что жидкость может расслаиваться на две фазы – жидкую фазу соленой воды и твердую фазу соли, а температура ниже температуры кипения воды, т.е. газовая фаза водяного пара не образуется.

Введем “объемную” концентрацию соли в жидкой фазе $\tau $ следующим образом:

где индексом w обозначены параметры чистой воды, а $d$ – параметры соли, растворенной в воде. Тогда, используя (1.4), массовая концентрация c выражается через объемную концентрацию в виде

Соотношения (1.4), (1.5) подразумевают, что жидкая фаза l состоит из двух “псевдофаз” w и d с объемными концентрациями $\tau $ и $1 - \tau $ соответственно.

Кривая термодинамического равновесия между жидкостью и твердой фазой соли задается соотношением

где ${{\tau }_{ * }}(T)$ – монотонно возрастающая функция температуры [11]. Для дальнейших рассуждений конкретное математическое выражение для ${{\tau }_{ * }}(T)$ не существенно. Если соленость жидкости ниже равновесного значения ($\tau < {{\tau }_{ * }}$), то твердая фаза не образуется, а соль полностью растворена в жидкости. При увеличении солености и достижения ею равновесного значения ($\tau = {{\tau }_{ * }}$) возможно выпадение осадка соли. Соленость жидкости не может быть выше значения ${{\tau }_{ * }}$.

Далее сделаем упрощающее допущение, что все фазы – несжимаемые среды, а их энтальпии – линейные функции температуры:

где $\,{{C}_{j}} = {\text{const}}$ – удельные теплоемкости, а $\,{{h}_{{j0}}} = {\text{const}}$. Также предполагается, что при фазовых переходах, т.е. при растворении соли в жидкости или выпадении осадка твердой фазы, плотность и энтальпия соли не изменяются

С учетом соотношений (1.5)–(1.8) система уравнений (1.1)–(1.3) сведется к виду

где введены обозначения

Здесь ${{(\rho С )}_{m}}$ – объемная теплоемкость насыщенной пористой среды, а ${{(\rho С )}_{l}}$ – объемная теплоемкость двухкомпонентной (NaCl–H₂O) многофазной смеси.

Введем полную, т.е. просуммированную по жидкой и твердой фазам, объемную концентрацию соли

Тогда при $\xi \leqslant {{\tau }_{ * }}$, т.е. ниже прямой 1 на рис. 1, смесь находится в однофазном состоянии жидкости, а при $\xi > {{\tau }_{ * }}$, т.е. выше прямой 1 – в двухфазном состоянии жидкость–соль.

Согласно (1.5), массовая концентрация есть известная функция объемной концентрации, т.е. $с (\tau )$, а согласно (1.12) насыщенность выражается через $\tau $ и $\xi $, т.е. $s(\tau ,\xi )$. Тогда, учитывая предположения (1.7), (1.8), законы сохранения (1.9)–(1.11) есть система трех уравнений относительно четырех неизвестных $\tau $, $\xi $, $T$, $w$ (вместо $T$ можно выбрать переменную ${{\tau }_{ * }}$), а для замыкания системы необходимо дополнительное соотношение. В областях однофазной фильтрации система замыкается условием s = 0 или $\xi = \tau $, причем выполняется неравенство $\tau \leqslant {{\tau }_{ * }}$, а в областях двухфазной фильтрации – условием $\tau = {{\tau }_{ * }}(T)$, причем $\xi > \tau $.

2. УРАВНЕНИЯ В БЕЗРАЗМЕРНОМ ВИДЕ

Введем безразмерные параметры в виде

где чертой обозначены характерные масштабы длины ($\bar {x}$), времени ($\bar {t}$), скорости ($\bar {w}$) и температуры ($\bar {T}$), а штрихом – безразмерные параметры. Тогда система уравнений (1.8)–(1.11) примет вид где функции $\xi $ и $\tau $, а безразмерные параметры подобия.

Согласно (2.2), скорость фильтрации является функцией времени. Не ограничивая общности в уравнениях (2.3) и (2.4) предполагаем, что эта функция $w(t) \equiv \bar {w}(t)$ задана, а $w{\text{'}} \equiv 1$. Тогда уравнение (2.2) выполняется тождественно, а в системе (2.2)–(2.4) число законов сохранения сокращается до двух уравнений (2.3) и (2.4) на $\xi $, $\tau $, ${{\tau }_{ * }}$. Согласно (2.4) по известному ${{\tau }_{ * }}$ можно восстановить значение температуры $T$. В областях однофазной фильтрации система (2.3), (2.4) замыкается условием $\xi = \tau $, $\tau \leqslant {{\tau }_{*}}$, а в области двухфазной фильтрации – условием $\tau = {{\tau }_{*}}$, $\xi > \tau $.

Осаждение соли может приводить к снижению проницаемости пористой среды [5, 7, 8] и, в соответствии с законом Дарси, к увеличению градиента давления. Однако, согласно (2.2), полный расход жидкости сохраняется вдоль x, поэтому изменение проницаемости не влияет на распределения $\xi $, $\tau $, ${{\tau }_{ * }}$.

В дальнейшем у безразмерных параметров (1.13) штрих опускается.

3. О МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ И СИЛЬНЫХ РАЗРЫВАХ

Определим характеристические скорости в областях однофазной и двухфазной фильтрации. Для этого рассмотрим распространение малых возмущений на фоне однородного распределения параметров течения. Ищем решение системы (2.3), (2.4) в виде простых гармонических волн

где k – волновое число, $\omega $ – частота, ${{u}_{0}} = {\text{const}}$ – фоновое распределение параметров, $\delta u \to 0$ – малые амплитуды возмущения, а i – мнимая единица. Подставляя (3.1) в систему (2.3), (2.4), учитывая (1.12) и пренебрегая слагаемыми второго порядка малости, получим дисперсионное соотношение где p = 1 или 2. Уравнение (3.2) имеет два корня вида ${\omega \mathord{\left/ {\vphantom {\omega k}} \right. \kern-0em} k} = {{a}_{j}}$, $j = \xi ,T$, соответствующих действительным характеристикам. В областях однофазной (p = 1) и двухфазной (p = 2) фильтрации с первой характеристикой ($j = \xi $) распространяются возмущения полной концентрации смеси $\xi $

При этом, когда p = 1 возмущения концентрации “вморожены” в жидкость, т.е. ${{a}_{\xi }} = 1$. При p = 2 скорость распространения возмущений концентрации равна нулю, ${{a}_{\xi }} = 0$, так как твердая фаза соли неподвижна.

В областях p = 1 со второй характеристикой (${{a}_{T}} = {B \mathord{\left/ {\vphantom {B A}} \right. \kern-0em} A}$) распространяются только возмущения ${{\tau }_{ * }}$ (т.е. температуры T)

а в областях p = 2 – возмущения и ${{\tau }_{ * }}$, и $\xi $

Из законов сохранения (1.1)–(1.3), записанных в интегральной форме, следуют условия на сильных разрывах, которые сразу приведем в безразмерных переменных

где W – скорость разрыва, верхним индексом ± обозначены параметры перед и за разрывом соответственно, а квадратными скобками – скачок соответствующей величины на разрыве (например, $\left[ w \right] = {{w}^{ + }} - {{w}^{ - }}$). Согласно уравнению (3.6), скорость фильтрации непрерывна на разрыве. Учитывая, что $w \equiv 1$, условие (3.6) выполняется тождественно.

В соответствии с (3.8) возможны разрывы двух различных типов. На разрывах первого типа температура непрерывна $\left[ {{{\tau }_{ * }}} \right] = 0$ (или $\left[ T \right] = 0$), а скорость W имеет значение, удовлетворяющее соотношению (3.7)

Данным разрывам на фазовой плоскости соответствует ветвь адиабаты ${{\theta }_{\xi }}$, представляющая собой вертикальную прямую (рис. 2). Эта ветвь – геометрическое место точек $({{\tau }_{ * }},\xi )$ возможных состояний за (или перед) разрывом первого типа при заданном состоянии перед (или за) разрывом, которому соответствует точка $O_{p}^{ + }$ (или $O_{p}^{ - }$), p = 1, 2.

Разрывы второго типа, на которых $\left[ {{{\tau }_{ * }}} \right] \ne 0$, распространяются с характеристической скоростью ${{a}_{T}}$, причем эта скорость на разрыве непрерывна

Данным разрывам на фазовой плоскости соответствует ветвь адиабаты ${{{\theta }}_{T}}$, которая в областях p = 1 есть отрезок прямой $\xi = {\text{const}}$, а в областях p = 2 – отрезок прямой

Подставляя (2.5) в (3.9), получим уравнение этой прямой в виде

где $\gamma $, ${{\psi }_{\tau }}$ и ${{\psi }_{\xi }}$ – константы. В соответствии с (3.10), все ветви ${{\theta }_{T}} = {\text{const}}$ в области p = 2 проходят через точку $E = \left( {{{\psi }_{\tau }},{{\psi }_{\xi }}} \right)$. Для параметров подобия ${{\Phi }_{w}} \approx 0.5$ и ${{\Phi }_{s}} \approx 0.2$, соответствующих бинарной смеси NaCl–H₂O, точка $E \approx \left( {1.8,5.8} \right)$ расположена на плоскости $\left\{ {{{\tau }_{ * }},\xi } \right\}$ в первой четверти значительно выше и правее рассматриваемой области, так как ${{\tau }_{ * }} < 0.28$ (рис. 2а) [11].

Для эволюционности сильного разрыва необходимо потребовать, чтобы от него уходило на единицу меньше малых возмущений, чем число заданных на нем условий [12]. Так как на сильном разрыве выполняется два невырожденных условия (3.7) и (3.8), то он эволюционен, если от него уходит ровно одна характеристика (3.3) или (3.4) (или (3.5)). Для определения эволюционных отрезков ветвей ${{\theta }_{\xi }}$ и ${{\theta }_{T}}$ адиабаты (рис. 2), необходимо сравнить скорость разрыва W с характеристическими скоростями ${{a}_{\xi }}$ и ${{a}_{T}}$.

Для различных положений точки O эволюционные отрезки адиабаты ${{\theta }_{\xi }}$ и ${{\theta }_{T}}$ изображены на рис. 2. Если точка O соответствует однофазному состоянию за разрывом $O = O_{1}^{ - }$, то эволюционными являются вся ветвь ${{\theta }_{\xi }}$ и весь отрезок ветви ${{\theta }_{T}}$, расположенный в области $p = 1$. Когда же $O = O_{1}^{ + }$, то эволюционными являются отрезки ветвей ${{\theta }_{\xi }}$ и ${{\theta }_{T}}$, расположенные в области p = 1. Если точка O соответствует двухфазному состоянию перед или за разрывом $O = O_{2}^{ \pm }$, то эволюционны отрезок ветви ${{\theta }_{\xi }}$, лежащий выше точки $P_{2}^{ \pm }$, и весь отрезок ветви ${{\theta }_{T}}$, расположенный в области p = 2.

4. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ РИМАНА

Рассмотрим одномерную задачу неизотермической фильтрации смеси соленой жидкости в области $x \in [0, + \infty )$. В начальный момент времени (t = 0) пористая среда насыщена водой с малой соленостью ${{\tau }_{0}} = {{\xi }_{0}}$ при температуре ${{T}_{0}}$. При t = 0 через границу x = 0 в область $x > 0$ начинает закачиваться соленая вода с объемной концентрацией соли ${{\tau }_{i}} = {{\xi }_{i}}$, температурой ${{T}_{i}}$ и постоянным объемным расходом ${{w}_{i}} = 1$. Согласно (2.2) и (3.6) закачка жидкости приведет к мгновенному установлению однородного распределения скорости $w = {{w}_{i}}$ во всей области течения $x \geqslant 0$. Также закачка приведет к распространению от границы x = 0 в область x > 0 центрированных в точке x = 0, t = 0 возмущений температуры и концентрации соли $\xi $ (и $\tau $). По постановке данная задача аналогична классической задаче Баклея–Леверетта в теории фильтрации [13].

Решение сформулированной задачи в общем случае должно строиться из сильных разрывов, центрированных волн Римана и областей однородного распределения параметров [12]. Однако у системы (2.3) и (2.4) не существует решений в виде центрированных волн Римана. Действительно, волна не может быть связана с центрированным пучком характеристик (3.3) или (3.4), скорости которых принимают дискретные, но постоянные значения 1 или 0 соответственно. В возмущениях (3.4) $\delta {{a}_{T}}(\tau ) = 0$ и, согласно (2.5), в возмущениях (3.5)

характеристическая скорость не изменяется, поэтому центрированные волны, связанные с данной характеристикой, тоже невозможны. Таким образом, решение сформулированной задачи нужно строить только из сильных разрывов и областей однородного распределения параметров.

5. ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ

Начальному распределению параметров в водонасыщенном пласте поставим в соответствие на фазовой плоскости точку $R$, а параметрам закачиваемой жидкости точку $I$ в области p = 1 (рис. 3). Точка $R$, соответствующая холодной пресной воде, расположена при $\xi = 0$ и малых значениях ${{\tau }_{ * }}$, т.е., согласно (1.6), малых температурах T. Точка $I$, соответствующая нагретой соленой жидкости, расположена при $\xi > 0$ и больших значениях ${{\tau }_{ * }}$. Для решения поставленной задачи необходимо найти путь на фазовой плоскости, соединяющий точки $I$ и $R$, отдельные отрезки которого соответствуют только эволюционным отрезками адиабат разрывов. Причем при возрастании пространственной координаты $x$ каждый следующий разрыв должен распространяться быстрее предыдущего.

Рассмотрим “элементарные” решения системы уравнений (2.3), (2.4) для того, чтобы на фазовой плоскости было удобно сравнивать скорости двух последовательно распространяющихся разрывов и проверять их эволюционность. Под элементарным решением имеется в виду решение, которое содержит последовательность двух эволюционных разрывов, распространяющихся в положительном направлении оси x со скоростями ${{W}_{1}}$ и ${{W}_{2}}$. При этом разрыв, расположенный при большей координате, x распространяется быстрее, т.е. ${{W}_{1}} < {{W}_{2}}$ (рис. 4). За разрывом $1$, между разрывами и перед разрывом 2 все параметры имеют однородное распределение, которым на фазовой плоскости соответствуют точки ${{O}^{ - }}$, O и ${{O}^{ + }}$ соответственно. Таким образом, на фазовой плоскости элементарному решению можно поставить в соответствие траекторию из ${{O}^{ - }}$ в ${{O}^{ + }}$, проходящую через точку O. Траектория составляется только из эволюционных отрезков адиабаты разрыва, выпущенной из точки O, с учетом ограничения на скорости разрыва ${{W}_{1}} < {{W}_{2}}$.

Для различных положений точки O возможные элементарные решения изображены на рис. 5. Стрелки показывают направление движения вдоль траекторий при возрастании $x$. Таким образом, решение задачи сводится к определению последовательности точек (${{O}_{i}}$, $i = 1,2,\; \ldots $) на фазовой плоскости и соответствующих им элементарных решений, соединяющих точки $I$ и $R$. Причем в решении $i$ выполняются условия $O = {{O}_{i}}$, ${{O}^{ + }} = {{O}_{{i + 1}}}$, а в решении $i + 1$ – $O = {{O}_{{i + 1}}}$, ${{O}^{ - }} = {{O}_{i}}$ (рис. 4).

Предположим, что граничным и начальным условиям задачи соответствуют точки ${{I}_{1}}$ и ${{R}_{1}}$ на рис. 3а. То есть, пусть на фазовой плоскости точка ${{O}_{1}}$ – вершина прямоугольника, образованного ${{I}_{1}}$ и ${{R}_{1}}$, – лежит ниже линии термодинамического равновесия $\xi = {{\tau }_{ * }}$. В этом случае существует единственная траектория, соединяющая ${{I}_{1}}$ и ${{R}_{1}}$. Она образована элементарным решением на рис. 5а, в котором ${{O}^{ - }} = {{I}_{1}}$, $O = {{O}_{1}}$, а ${{O}^{ + }} = {{R}_{1}}$. В данном решении первого типа с быстрым разрывом 3 (${{W}_{3}} = {{a}_{\xi }} = 1$) распространяются возмущения солености (рис. 6а). Быстрый фронт ограничивает объем пористой среды ($x < {{W}_{3}}{{t}_{ * }}$), насыщенный концентрированным раствором соли, который закачан в пласт к моменту времени ${{t}_{ * }}$. С медленным разрывом (${{W}_{2}} = {{a}_{T}} < 1$) распространяются возмущения температуры $T$ (или ${{t}_{ * }}$), которые отстают от возмущений $\xi $ из-за теплообмена между жидкостью и неподвижной породой. За медленным фронтом $T = {{T}_{i}}$, а перед ним – $T = {{T}_{0}}$. При этом осадок соли не образуется, а течение остается однофазным (s = 0).

Теперь предположим, что условиям задачи соответствуют точки ${{I}_{2}}$ и ${{R}_{2}}$ на рис. 3б. То есть, пусть линия термодинамического равновесия $\xi = {{\tau }_{ * }}$ пересекает прямоугольник, образованный точками ${{I}_{2}}$ и ${{R}_{2}}$. В этом случае не существует решения задачи первого типа, так как не существует элементарного решения из ${{I}_{2}}$ в ${{R}_{2}}$, проходящего через точку ${{O}_{2}}$ (рис. 5б). Анализ возможных решений показывает, что существует единственная траектория из ${{I}_{2}}$ в ${{R}_{2}}$ (рис. 3б), составленная из элементарных решений {${{O}^{ - }} = {{I}_{2}}$, $O = {{O}_{2}}$, ${{O}^{ + }} = {{O}_{{12}}}$} (рис. 5б) и {${{O}^{ - }} = {{O}_{2}}$, $O = {{O}_{{12}}}$, ${{O}^{ + }} = {{R}_{2}}$} (рис. 5г). В данном решении задачи второго типа от области закачки (x = 0) в пласт (x > 0) распространяются три сильных разрыва. С самым быстрым разрывом, как и в решении первого типа, распространяются возмущения концентрации. Причем за разрывом течет насыщенный раствор соли: $\xi = \tau = {{\tau }_{ * }}({{T}_{0}})$. Далее между медленными разрывами 1 и 2 (${{W}_{1}}{{t}_{ * }} \leqslant x \leqslant {{W}_{2}}{{t}_{ * }}$, ${{W}_{1}} < {{a}_{T}}$, ${{W}_{2}} = {{a}_{T}}$) распространяется область двухфазного течения. В ней насыщенность твердой фазы больше нуля (s > 0). При этом концентрации $\xi > {{\tau }_{ * }}({{T}_{i}})$ и $\tau > {{\tau }_{ * }}({{T}_{i}})$ ($\xi > \tau $) достигают максимальных значений, превышающих ${{\xi }_{i}}$ и ${{\tau }_{i}}$. За самым медленным разрывом 1, $x < {{W}_{1}}{{t}_{ * }}$, происходит течение нагнетаемого раствора соли (${{\xi }_{i}} > {{\tau }_{i}}$). Фазовые превращения сконцентрированы на разрывах: на фронте 1 соль растворяется и вместе с жидкостью переносится далее в пласт, выпадая в осадок на фронте 2. В решении второго типа температура рвется только на внутреннем разрыве. Так как точка ${{O}_{{12}}}$ лежит на линии термодинамического равновесия (рис. 3б), то граница между областями двухфазного и однофазного течения между разрывами 2 и 3 строго не определена. На волновой картине этой границе может соответствовать любая прямая 23, выпущенная из начала координат и расположенная между прямыми линиями 2 и 3 (рис. 6б). Предполагая, что она не совпадает с прямыми линиями 2 и 3, получим, что все разрывы в построенном решении эволюционные. Действительно, от разрыва 1 уходит характеристика $a_{T}^{ + } > {{W}_{1}}$, от разрыва 2 – $a_{\xi }^{ - } < {{W}_{2}}$ и от 3 – $a_{T}^{ - } < {{W}_{3}}$ (рис. 6б).

Ограничим на фазовой плоскости области параметров, соответствующих решениям различного типа. Сначала зафиксируем начальные параметры в пласте, т.е. положение точки ${{R}_{1}}$ (рис. 3а). Тогда, если точка ${{I}_{1}}$, соответствующая параметрам нагнетаемой в пласт смеси, находится ниже горизонтальной штриховой прямой 2, пересекающая линию термодинамического равновесия 1 в точке $B$, то реализуется решение первого типа. Если же ${{I}_{1}}$ находится выше данной прямой, то реализуется решение второго типа. Таким образом, при фиксированном состоянии ${{R}_{1}}$ область параметров, соответствующая решению второго типа, ограничена прямыми 1 и 2 правее и выше точки $B$, а остальная подобласть ниже прямой 1 соответствует решению первого типа. Теперь зафиксируем параметры закачиваемой жидкости – состояние ${{I}_{2}}$ (рис. 3б). Тогда, если состояние ${{R}_{2}}$ находится левее вертикальной штрихованной прямой 3, пересекающей линию термодинамического равновесия в точке $B$, то реализуется решение второго типа, а правее – решение первого типа. Таким образом, при фиксированном состоянии ${{I}_{2}}$ область параметров, соответствующая решению второго типа, ограничена прямыми 1 и 3 левее и ниже точки $B$, а остальная подобласть ниже прямой 1 соответствует решению первого типа.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Решена задача Римана, описывающая закачку нагретого раствора соли в холодный водонасыщенный пласт. Показано, что если нагнетаемый раствор достаточно недонасыщен (${{\xi }_{i}} \ll {{\tau }_{ * }}({{T}_{i}})$), то реализуется решение задачи первого типа, содержащее только два разрыва – быстрый фронт концентрации и медленный фронт температуры. Если же нагнетаемый раствор близок к состоянию насыщения (${{\xi }_{i}} \to {{\tau }_{ * }}({{T}_{i}})$), то реализуется решение задачи второго типа, содержащее три разрыва, из которых два самых медленных ограничивают область осаждения соли, а температура изменяется только на внутреннем разрыве. Показано, что решение задачи определяется двумя параметрами подобия. Разработан геометрический метод, позволяющий на фазовой плоскости ограничить области различных типов решений и определить тип и количественные характеристики распределений параметров для заданных значений параметров подобия. Исследовано поведение решений задачи на фазовой плоскости и показано, что возможны только два описанных типа решения задачи, причем для любых начальных и граничных условий существует не более одного решения.