Известия РАН. Механика жидкости и газа, 2019, № 4, стр. 49-62

Влияние частоты импульсов на структуру течения и теплообмен в импактной газонасыщенной турбулентной струе

М. А. Пахомов a*, В. И. Терехов a**

a Институт теплофизики им. С.С. Кутателадзе СО РАН
Новосибирск, Россия

* E-mail: pakhomov@ngs.ru
** E-mail: terekhov@itp.nsc.ru

Поступила в редакцию 16.07.2018
После доработки 16.01.2019
Принята к публикации 21.01.2019

Полный текст (PDF)

Аннотация

Выполнено численное моделирование турбулентной структуры течения и теплообмена в нестационарной пузырьковой круглой импактной струи при вариации частоты импульсов. Математическая модель основана на использовании эйлерова подхода для описания динамики течения и теплообмена в дисперсной фазе (воздушные пузырьки). Задача рассматривается в осесимметричной постановке и решается система нестационарных осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье–Стокса с учетом двухфазности потока. Турбулентность несущей фазы (жидкость) описывается с использованием модели переноса компонент рейнольдсовых напряжений с учетом влияния пузырьков на генерацию турбулентности. Исследовано влияние частоты подачи импульсов на структуру течения и теплоперенос в газожидкостной импактной струе. Импульсный характер подачи струи вызывает как заметное увеличение турбулентности жидкости и теплопереноса в период действия импульса (до 2 раз), так значительное подавление этих параметров в период отсутствия подачи струи в сравнении со стационарной импактной пузырьковой струей при том же самом осредненном по времени расходе струи.

Ключевые слова: двухфазная пузырьковая импактная струя, частота импульсов, теплоперенос, турбулентность, моделирование

Импактные струйные течения являются одним из наиболее часто встречающихся методов интенсификации процессов тепломассопереноса [1]. Причиной этого является высокая интенсивность процессов переноса, обеспечивающаяся особенностями струйных течений в районе точки торможения потока [13]. Наличие свободных и пристенных сдвиговых слоев с развивающимися в них крупномасштабными вихревыми структурами приводит к турбулизации течения и усилению процессов переноса [2, 3]. В районе точки торможения (лобовой точки) потока получены максимальные значения коэффициентов тепло- и массопереноса и резкое искривление линий тока при натекании струи на поверхность преграды [13].

В настоящее время интенсивно ведутся поиски новых методов интенсификации теплообмена при взаимодействии импактных струй с поверхностью и эта проблема является чрезвычайно актуальной. Одним из способов, позволяющих получить существенный рост теплоотдачи, является добавление газовых пузырьков в жидкостную импактную струю (до 2–3 раз в сравнении с однофазным потоком жидкости) [4, 5]. Основной причиной этого является турбулизация пузырьками пристенного слоя жидкости, что вызывает более интенсивный теплообмен с импактной поверхности [4].

Позднее работы по исследованию газонасыщенных импактных струй были выполнены в [6, 7]. Экспериментальное исследование теплообмена и динамики течения в газожидкостной импактной струе при изменении β = 0–100% было выполнено в [46], где β = Wb/(Wb + W) – объемное расходное газосодержание, W – объемный расход и индекс “b” соответствует газовой фазе. Показано, что при добавлении дисперсной фазы теплообмен возрастает вдвое. Максимум теплообмена располагается в области изменения β = 20–30%, а при дальнейшем увеличении объемного газосодержания интенсивность теплообмена снижается. Численное исследование влияния объемного расходного газосодержания и размера пузырьков на структуру течения в газожидкостной импактной струе проведено в [7]. Скорость жидкости при наличии газовых пузырьков выше соответствующего значения в однофазном потоке турбулентной жидкости. Установлена значительная анизотропия (более 2 раз) между аксиальными и радиальными турбулентными флуктуациями в газожидкостной импактной струе. Добавление воздушных пузырьков вызывает заметный рост интенсивности пульсаций скорости жидкости в двухфазном течении (до 50% в сравнении с жидкостной однофазной импактной струей). Рост размера дисперсной фазы вызывает увеличение турбулентности жидкости.

Наложение пульсаций скорости (расхода потока) является одним из эффективных методов активного управления динамическими и тепловыми характеристиками двухфазного течения [8, 9]. Экспериментальное исследование турбулентной локальной структуры в круглой пузырьковой импактной струе проведено при наложении внешнего периодического возбуждения в [8]. Зарегистрирован эффект подавления крупномасштабных структур при больших величинах газосодержания. Установлено, что добавление газовой фазы при β ≤ 12% приводит к заметному росту величины касательного трения на стенке (до 40%). Авторами [8] проведены измерения касательного трения на поверхности преграды при изменении объемного расходного газосодержания β = 0–12% в стационарной и импульсной струях. При этом f = 0 и 250 Гц соответственно для синусоидальных колебаний потока с амплитудой, равной A = u/U1 = 0.001. В работе отмечено, что основными особенностями импульсных импактных двухфазных струй по сравнению со стационарным течением являются повышенный теплообмен, значительно более тонкие гидродинамический и тепловой пограничные слои, повышенный уровень турбулентности газовой фазы и неустойчивость течения. Изучение совместного влияния этих факторов на характеристики теплообмена представляет большой интерес. Экспериментальное исследование структуры течения в импактной пузырьковой струе при использовании комбинации оптических методов PFBI/PIV/PTV (Planar Fluorescence Bubble Imaging/Particle Image Velocimetry/Particle Tracking Velocimetry) выполнено в [9]. Авторами были измерены две компоненты осредненных и пульсационных скоростей обеих фаз для случая стационарных затопленной и импактной струй. Пузырьки увеличивают турбулентность несущей фазы непосредственно за срезом сопла за счет их отрывного обтекания жидкостью. По мере удаления от сопла турбулентная кинетическая энергия (ТКЭ) жидкости подавляется. В окрестности поверхности преграды наблюдается дополнительное производство ТКЭ [9].

К настоящему времени влияние частоты подачи импульсов на структуру течения и теплообмен является не достаточно исследованным. Даже для однофазных нестационарных струй в литературе представлены противоречивые данные – наблюдается как подавление, так и интенсификация теплообмена [10, 11]. Ключевой момент в исследовании процесса тепломассобмена в импульсных импактных двухфазных струях заключается в детальном исследовании локальной турбулентной структуры течения и распределения газовых пузырьков в пристенной зоне. Попытке ответить на эти вопросы и посвящена данная работа. Основное внимание было уделено численному исследованию влияния частоты подачи импульсов в импактной затопленной газожидкостной струе на структуру двухфазного струйного течения и характеристики теплообмена между двухфазной струей и преградой.

1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Рассмотрена задача о динамике двухфазной пузырьковой импульсной импактной струи при наличии теплообмена с поверхностью преграды. Задача рассматривается в осесимметричной постановке, и решается система нестационарных осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье–Стокса с учетом обратного влияния газовых пузырьков на процессы переноса в несущей фазе. Эйлеров подход широко применяется при описании динамики и теплообмена различных типов пузырьковых турбулентных течений [1216]. Математическая модель основана на использовании эйлерова (двухжидкостного) описания [1719]. В случае пузырьковых течений приближение точечных сил становится недостаточно точным, так как размер пузырьков заметно превосходит колмогоровский пространственный микромасштаб [18]. Поэтому рассматриваемая математическая модель, строго говоря, справедлива для микропузырьков, размеры которых не превышают колмогоровский микромасштаб. Необходимо отметить, что в [1719] сопоставления с данными экспериментов проводились для воздушных пузырьков диаметром до нескольких миллиметров, что значительно превосходит колмогоровский микромасштаб. В этих работах были выполнены сопоставление измеренных и рассчитанных осредненных и пульсационных параметров несущей и дисперсной фаз и распределение концентрации пузырьков по сечению трубы для вертикальных восходящих и опускных турбулентных течений. Сравнения результатов экспериментов и численных расчетов показали работоспособность данного подхода при описании пузырьковых турбулентных течений.

Все основные уравнения настоящей работы для обеих фаз записаны в символах операций векторного анализа, хотя решались они для осесимметричного течения в цилиндрических координатах. Это сделано исключительно с целью краткости формы записи.

1.1. Несущая фаза

Система осредненных нестационарных уравнений неразрывности, импульса и теплообмена жидкости с учетом влияния пузырьков на процессы переноса и теплоты имеет вид

(1.1)
$\begin{gathered} \frac{{\partial \left( {{{\alpha }_{l}}\rho } \right)}}{{\partial t}} + \nabla \left( {\rho {{\alpha }_{l}}U} \right) = 0 \\ \frac{{D\left( {{{\alpha }_{l}}\rho {{U}_{i}}} \right)}}{{Dt}} = {{\alpha }_{l}}\left( { - \nabla P + \rho g} \right) + \nabla \left( {{{\alpha }_{l}}\tau } \right) - \nabla \left( {{{\alpha }_{l}}\rho \left\langle {uu} \right\rangle } \right) + \left( {P - {{P}_{{in}}}} \right)\nabla {{\alpha }_{l}} + {{M}_{l}} \\ \frac{{D\left( {{{\alpha }_{l}}\rho {{C}_{P}}T} \right)}}{{Dt}} = \nabla \left[ {{{\alpha }_{l}}\nabla \left( {\lambda T} \right)} \right] - \nabla \left( {{{\alpha }_{l}}\rho {{C}_{P}}\left\langle {u\theta } \right\rangle } \right) - \frac{{6h\left( {T - {{T}_{b}}} \right)}}{d} + {{C}_{{P,b}}}{{\rho }_{b}}{{g}_{{ut}}}\left\langle {u\theta } \right\rangle \nabla {{\alpha }_{l}} \\ \end{gathered} $

Здесь αl и αb – объемные концентрации жидкой фазы и пузырьков соответственно; ρ, μ, λ и CP – плотность, динамическая вязкость, коэффициент теплопроводности и теплоемкость соответственно; t – время; $D\upsilon {\text{/}}(Dt) = \partial \upsilon {\text{/}}(\partial t) + U\nabla \upsilon $ – субстанциальная производная и υ – параметр; P и Pin – давление в жидкой фазе и на поверхности пузырька; ${{U}_{R}} = U - {{U}_{b}}$ – межфазная скорость жидкости; τ, $\left\langle {uu} \right\rangle $ и $\left\langle {u\theta } \right\rangle $ – тензоры вязких напряжений, рейнольдсовых напряжений и турбулентный тепловой поток в несущей фазе соответственно, ${{M}_{l}} = - {{M}_{b}}$ – межфазное динамическое взаимодействие (описано ниже по тексту статьи в п. 1.4); h – коэффициент теплоотдачи от потока жидкости к пузырьку, d – размер пузырьков; T – температура жидкости, g – сила тяжести, ${{g}_{{ut}}} = {{T}_{{LP,t}}}{\text{/}}{{\tau }_{\Theta }} - 1 + \exp \left( {{{T}_{{LP,t}}}{\text{/}}{{\tau }_{\Theta }}} \right)$ – коэффициент вовлечения пузырьков в тепловое флуктуационное движение жидкости [22, 23], ${{\tau }_{\Theta }} = {{C}_{{P,b}}}{{\rho }_{b}}{{d}^{2}}{\text{/}}\left( {6\lambda Y} \right)$, TLP, t – время взаимодействия воздушных пузырьков с турбулентными тепловыми вихрями TLP, t = 0.6k/ε [14], $Y = 1 + 0.3\operatorname{Re} _{b}^{{1/2}}{{\Pr }^{{1/3}}}$, ${{\operatorname{Re} }_{b}} = \rho \left| {{{U}_{R}}} \right|d{\text{/}}\mu $ – число Рейнольдса, построенное по межфазной скорости и CP, b – плотность газовой фазы. Нижние индексы b и l соответствуют пузырьку и жидкости соответственно.

На нестационарное распределение давления на межфазной поверхности “воздушный пузырек–жидкость” оказывают влияние турбулентность жидкости и нестационарная относительная межфазная скорость [24]. Влияние турбулентности к настоящему времени рассчитать довольно трудно. Значительно более простую задачу в математическом плане представляет вопрос влияния осредненной межфазной скорости [25]. При расчете давления на межфазной поверхности можно использовать решение Лэмба для потенциального обтекания частицы потоком жидкости [25] ${{P}_{{in}}} = {{P}_{b}} - C\rho {{\alpha }_{l}}U_{R}^{2}$ [25]. В данной работе принимается, что нет потери сферичности, т.е. C = 0.5 [26]. Считается, что при ρb $ \ll $ ρ давление на межфазной границе равно давлению в газовом пузырьке Pin = Pb [24].

Турбулентные тепловые потоки в жидкости определены согласно гипотезе Буссинеска

$\left\langle {{{u}_{j}}\theta } \right\rangle = - \frac{{{{\mu }^{T}}}}{{\rho {{{\Pr }}^{T}}}}\frac{{\partial T}}{{\partial {{x}_{j}}}},\quad j = 1,2$
где μT – коэффициент динамической турбулентной вязкости и PrT = 0.9 – значение турбулентного числа Прандтля [12].

Эмпирическое уравнение теплообмена с поверхности твердой сферы в поток жидкости приведено в [27]:

${\text{N}}{{{\text{u}}}_{P}} = {{hd} \mathord{\left/ {\vphantom {{hd} {{{\lambda }_{l}}}}} \right. \kern-0em} {{{\lambda }_{l}}}} = 2 + 0.6\operatorname{Re} _{b}^{{1/2}}\Pr _{l}^{{1/3}}$
где NuP и Prl – числа Нуссельта для твердой частицы и Прандтля жидкости. Данный подход использовался для частиц произвольной плотности в [15].

1.2. Модель турбулентности

Для описания турбулентности жидкости применялась модель переноса рейнольдсовых напряжений [28], модифицированная на случай наличия дисперсной фазы [29]. Уравнения компонент тензора рейнольдсовых напряжений и скорости диссипации турбулентности имеют следующий вид:

(1.2)
$\begin{gathered} \frac{{D\left\langle {uu} \right\rangle }}{{Dt}} = \nabla \left( {{{\alpha }_{l}}{{D}_{k}}} \right) + {{\alpha }_{l}}\left( {{{P}_{k}} + \phi - \varepsilon } \right) + {{S}_{k}} \\ \frac{{D\varepsilon }}{{Dt}} = \nabla \left( {{{\alpha }_{l}}{{D}_{\varepsilon }}} \right) + {{\alpha }_{l}}\left( {{{P}_{\varepsilon }} - \varepsilon } \right) + {{S}_{\varepsilon }} \\ \end{gathered} $

В системе (1.2) Dk – турбулентная диффузия, Pk – производство турбулентной энергии из градиента осредненной скорости, ϕ – перераспределяющее слагаемое, описывает обмен энергией между отдельными составляющими $\left\langle {uu} \right\rangle $ вследствие корреляции давление–скорость деформации, ε – диссипация турбулентности или скорость передачи энергии от крупномасштабных вихрей мелкомасштабным, Dε – диссипация турбулентности за счет диффузии и Pε – интенсивность порождения диссипации турбулентной кинетической энергии.

Последние слагаемые в правой части уравнений (1.2) Sk и Sε определяют дополнительную генерацию турбулентности жидкости за счет отрывного обтекания пузырьков [29]

(1.3)
${{S}_{k}} = 0.75{{C}_{4}}{{C}_{D}}{{\alpha }_{b}}\rho {{\left| {{{U}_{{^{R}}}}} \right|}^{3}}{\text{/}}d,\quad {{S}_{\varepsilon }} = {{C}_{{\varepsilon 3}}}{{S}_{k}}\varepsilon {\text{/}}k$

В (1.3) константы C4 = 0.1, Cε3 = 1.44, CD – коэффициент сопротивления газового пузырька (определяется ниже в п. 1.4), $2k = \left\langle {{{u}_{i}}{{u}_{i}}} \right\rangle $ – кинетическая энергия турбулентности жидкости.

1.3. Система транспортных уравнений для дисперсной фазы

С целью перехода от динамического стохастического описания движения отдельных пузырьков (уравнение типа Ланжевена) к континуальному моделированию ансамбля пузырьков вводится функция плотности вероятности (ФПВ) распределения дисперсной фазы в турбулентном потоке жидкости. Система уравнений для моделирования движения дисперсной фазы в эйлеровом континуальном представлении получена из кинетического уравнения для ФПВ распределения частиц в турбулентном потоке [17]. В расчетах межфазных корреляций используются только осредненная скорость жидкости [16, 17], а не ее актуальное значение как в работе [18]. Отметим, что система уравнений [17] была разработана для изотермического газожидкостного турбулентного течения с учетом того, что пузырьки являются малоинерционными [17]. Дополнительно в уравнение движения пузырьков входит слагаемое, описывающее действие градиента давления в жидкости на их перенос.

В результате система нестационарных уравнений, определяющая их перемещение и теплообмен воздушных пузырьков, будет иметь вид

(1.4)
$\begin{gathered} \frac{{\partial \left( {{{\alpha }_{b}}{{\rho }_{b}}} \right)}}{{\partial t}} + \nabla \left( {{{\alpha }_{b}}{{\rho }_{b}}{{U}_{b}}} \right) = 0 \\ \frac{{D\left( {{{\alpha }_{b}}{{\rho }_{b}}{{U}_{b}}} \right)}}{{Dt}} = {{\alpha }_{b}}\left[ { - \nabla P - \frac{{{{D}_{b}}}}{\tau }\nabla \left( {{{\rho }_{b}}{{\alpha }_{b}}} \right) - \nabla \left( {{{\rho }_{b}}E\left\langle {uu} \right\rangle } \right) + {{\rho }_{b}}g} \right] + {{M}_{b}} \\ \frac{{D\left( {{{\alpha }_{b}}{{\rho }_{b}}{{C}_{{P,b}}}{{U}_{b}}{{T}_{b}}} \right)}}{{Dt}} = - \frac{1}{{{{\tau }_{\Theta }}}}\nabla (D_{{_{b}}}^{\Theta }{{\alpha }_{b}}) - h{{\alpha }_{b}}\left( {T - {{T}_{b}}} \right)\frac{{{{\rho }_{b}}}}{{{{\tau }_{\Theta }}}} \\ {{\rho }_{b}} = {{\alpha }_{b}}{{P}_{b}}{\text{/}}({{R}_{b}}{{T}_{b}}) \\ \end{gathered} $
где τ = 4(1 + CVMρ0)d/(3CD|UR0) и τΘ = CPbρbd2/(12λY) – времена динамической [17] и тепловой релаксации пузырьков газа, записанные с учетом отклонения от закона стоксового обтекания соответственно, $E = \left( {1 - A} \right)\left( {1 - A\Omega } \right){\text{/}}\left( {1 + \Omega } \right)$ по данным работы [17]. Последнее выражение справедливо для случая малоинерционных частиц при A > 1, где A определено так: A = (1 + CVM0/(1 + + CVMρ0), ρ0 = ρ/ρb, Ω = τ/TL. Величины ${{D}_{b}} = {{\Omega }_{L}}\left\langle {uu} \right\rangle $ и $D_{b}^{\Theta }$ = ΩLtuθ〉 – тензоры турбулентной диффузии и турбулентного переноса теплоты в дисперсной фазе для случая малоинерционных воздушных пузырьков. Коэффициент CVM = 0.5 и ΩL = 0.3k/ε – лагранжев временной макромасштаб [17] и ΩLt ≈ ΩL. Отметим, что выражения для коэффициента вовлечения дисперсной фазы в тепловое флуктуационное движение несущей фазы gut в (1.1) и времени тепловой релаксации частиц в дисперсной фазе τΘ в (1.4) первоначально были записаны для случая течения газа с малоинерционными твердыми частицами. В данной работе они применяются для описания течения воздушных пузырьков в жидкости, что вполне допустимо, учитывая их малую инерционность [17, 18].

Слагаемые в левой части уравнения импульса для пузырьков системы (1.4) описывают нестационарный и конвективный перенос дисперсной фазы. Первое слагаемое в правой части уравнения импульса для пузырьков описывает динамику пузырьков за счет градиента давления в газе, второе – перенос дисперсной фазы за счет диффузии. Третий член – турбулентную миграцию пузырьков под действием градиента турбулентных напряжений в дисперсной и несущей фазах, и четвертый – межфазное взаимодействие. В данной работе в межфазном взаимодействии учитывается действие только осредненных параметров жидкости, влияние актуальных нестационарных параметров жидкой фазы (скорости жидкости на позиции пузырька) не принимается во внимание. Математическая модель расчета пузырьковых течений с учетом эффекта актуальных нестационарных параметров жидкости на межфазное взаимодействие разработана в [17]. В подавляющем большинстве других работ по моделированию турбулентных пузырьковых течений принимается во внимание действие только осредненных параметров жидкости. Первое слагаемое в уравнении энергии дисперсной фазы системы (1.4) описывает конвективный перенос теплоты, второе – перенос теплоты диффузией воздушных пузырьков и третье – межфазный теплообмен.

1.4. Межфазные силы

Для монодисперсного двухфазного потока слагаемое для расчета межфазного взаимодействия в эйлеровом приближении имеет вид

(1.5)
${{{\mathbf{M}}}_{l}} = - {{{\mathbf{M}}}_{b}} = {{{\mathbf{F}}}_{{Drag}}} + {{{\mathbf{F}}}_{{VM}}} + {{{\mathbf{F}}}_{{GA}}} + {{{\mathbf{F}}}_{L}} + {{{\mathbf{F}}}_{{TD}}} + {{{\mathbf{F}}}_{{WL}}}.$

Межфазное взаимодействие в уравнении (1.5) определяется с учетом действия следующих силовых факторов: аэродинамического сопротивления FDrag, эффекта присоединенной массы FVM, сил Архимеда FGA, Сэффмена (подъемной силы) FL, турбулентной диффузии FTD и пристенной силы FWL. Соотношения для расчета силовых факторов имеют следующий вид:

${{{\mathbf{F}}}_{{Drag}}} = \frac{{{{\alpha }_{b}}{{{\mathbf{U}}}_{b}}}}{\tau },\quad {{{\mathbf{F}}}_{{VM}}} = {{\alpha }_{b}}A{\mathbf{U}}\nabla \cdot {\mathbf{U}},\quad {{{\mathbf{F}}}_{{GA}}} = \frac{{(1 - {{\rho }_{0}}){{\alpha }_{b}}}}{{1 + {{C}_{{VM}}}{{\rho }_{0}}}}{\mathbf{g}}$
(1.6)
${{{\mathbf{F}}}_{L}} = \frac{{{{C}_{L}}{{\alpha }_{b}}{{\rho }_{0}}}}{{1 + {{C}_{{VM}}}{{\rho }_{0}}}}{{{\mathbf{U}}}_{R}} \times (\nabla \times {\mathbf{U}}),\quad {{{\mathbf{F}}}_{{TD}}} = - \frac{{{{C}_{{TD}}}{{\alpha }_{b}}}}{{{\text{S}}{{{\text{c}}}_{b}}}}\frac{{{{\mu }_{T}}}}{\tau }\left( {\frac{{\nabla \cdot {{\alpha }_{b}}}}{{{{\alpha }_{b}}}} - \frac{{\nabla \cdot {{\alpha }_{l}}}}{{{{\alpha }_{l}}}}} \right)$
${{{\mathbf{F}}}_{{WL}}} = - \left( {{{C}_{{W1}}} + {{C}_{{W2}}}\frac{d}{{2{{y}_{b}}}}} \right)2{{\alpha }_{b}}\frac{{\rho {\text{|}}{{{\mathbf{U}}}_{R}}{{{\text{|}}}^{2}}}}{d}{{{\mathbf{n}}}_{W}}$
где CD – коэффициент сопротивления пузырьков в силе сопротивления [30]:

$C_{D}^{{}} = \left\{ \begin{gathered} \frac{{24}}{{{{{\operatorname{Re} }}_{b}}}}\left( {1 + \frac{3}{{16}}\operatorname{Re} _{b}^{{0.687}}} \right),{\text{ }}{{\operatorname{Re} }_{b}} \leqslant {{10}^{3}} \hfill \\ 0.44,{\text{ }}{{\operatorname{Re} }_{b}} > {{10}^{3}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Действие силы Бассэ, обусловленной нестационарностью обтекания вязкой жидкостью пузырька [15], не принимается во внимание ввиду ее малости в сравнении с остальными рассмотренными в работе силами [17, 18]. В литературе нет соотношения, которое бы учитывало анизотропию турбулентных пульсаций в силе турбулентной диффузии (ТД). Поэтому в данной работе, как в большинстве других работ, например, [29, 31], было использовано соотношение для ТД в виде, приведенном в (1.6). В работах [32, 33] говорится, что в водопроводной воде из-за загрязнения на поверхности пузырьков закон их сопротивления такой же, как и у твердых частиц. Принято, что коэффициенты CVM = 0.5 и турбулентной диффузии CTD = 1 и турбулентное число Шмидта ScT = 0.9. Выражение для подъемной силы взято из [33], выражение для коэффициента CL [34]

${{C}_{L}} = \left\{ \begin{gathered} \min [0.288\tanh (0.121{{\operatorname{Re} }_{b}}),f({\text{E}}{{{\text{o}}}_{b}})],\quad {\text{E}}{{{\text{o}}}_{b}} \leqslant 4 \hfill \\ f({\text{E}}{{{\text{o}}}_{b}}),\quad 4 \leqslant {\text{E}}{{{\text{o}}}_{b}} \leqslant 10 \hfill \\ - 0.27,\quad {\text{E}}{{{\text{o}}}_{b}} > 10 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
где ${\text{E}}{{{\text{o}}}_{b}} = g\left( {\rho - {{\rho }_{b}}} \right)D_{H}^{2}{\text{/}}\sigma $ – модифицированное число Этвеша, определяющее соотношение между внешними силами (силой тяжести) и силами поверхностного натяжения, f(Eob) = = $0.011{\text{Eo}}_{b}^{3} - 0.0159{\text{Eo}}_{b}^{2} - 0.0204{\text{Eo}}_{b}^{{}}$ + 0.474 – поправочная функция, ${{D}_{H}} = d{{(1 + 0.163{\text{E}}{{{\text{o}}}^{{0.757}}})}^{{1/3}}}$ – максимальный горизонтальный размер пузырька.

Направление действия подъемной силы зависит не только от направления движения потока, но и от размера пузырьков [35]. Формула для коэффициента CL записана с учетом смены его знака для пузырьков размером более 5 мм. С учетом условия прилипания жидкости на твердой стенке скорость течения жидкой фазы в области между стенкой и пузырьком меньше, чем на противоположной стороне пузырька. Вследствие этого возникает сила, отталкивающая пузырек от стенки. Пристенная сила, определяемая в [36], направлена к оси канала (как для восходящего, так и для нисходящего течений). Здесь yb – дистанция от стенки до пузырька по нормали, nW – единичный вектор, направленный по нормали к стенке и константы CW1 = –0.1 и CW2 = 0.147, при y > 0.5CW1d/CW2 величина FWL = 0 [34].

2. МЕТОДИКА ЧИСЛЕННОЙ РЕАЛИЗАЦИИ

Решение было получено с использованием метода конечных объемов на разнесенных сетках. Для конвективных слагаемых дифференциальных уравнений применялась процедура QUICK [37] третьего порядка точности. Для диффузионных потоков были использованы центральные разности второго порядка точности. Коррекция поля давления осуществлялась по конечно-объемной согласованной процедуре SIMPLEC [38]. Для дискретизации производных по времени использовалась неявная схема Эйлера первого порядка точности. Расчет компонент тензора рейнольдсовых напряжений жидкости осуществлялся по методике, предложенной в [39]. Компоненты рейнольдсовых напряжений определяются в тех же точках по граням контрольного объема, что и соответствующие им компоненты осредненной скорости жидкости.

В работе применялась неравномерная расчетная сетка в аксиальном и радиальном направлениях (сгущение расчетных узлов в районе поверхности преграды и в приосевой области струи). Это является необходимым для разрешения деталей турбулентного течения в пристенной зоне. Подходящим для такой двумерной задачи является преобразование координат, приведенное в работе [40]

$\Delta {{\psi }_{j}} = K\Delta {{\psi }_{{j - 1}}}{\text{ }}$
где Δψj и Δψj– 1 – текущий и предыдущий шаги сетки в аксиальном или радиальном направлениях и K = 1.02. При использовании такой схемы с постоянным отношением шагов шаг сетки возрастает в геометрической прогрессии.

Все расчеты были проведены на сетке, содержащей 200 × 256 контрольных объемов (КО). Дополнительно были проведены расчеты на сетках, содержащей 400 × 400 КО. Отличие в результатах расчетов числа Нуссельта и трения на стенке для газожидкостного турбулентного течения и скоростей жидкости и пузырьков не превысили 0.1%. Первая расчетная ячейка располагалась на расстоянии от стенки y+ = ${{u}_{*}}$y/ν ≈ 0.5 (скорость трения ${{u}_{*}}$ определялась для однофазного течения жидкости при прочих идентичных параметрах). В вязком подслое для корректного расчета резких градиентов параметров двухфазного потока располагалось не менее 10 КО.

На оси струи для газовой и дисперсной фаз задаются условия симметрии. На поверхности преграды ставятся условия непроницаемости для обеих фаз и прилипания для жидкости. На внешней границе расчетной области граничные условия поставлены в виде нулевых производных параметров в аксиальном направлении. Шаг по времени равнялся ∆t = 0.1 мc. Число Куранта удовлетворяло необходимому условию устойчивости численного решения системы сеточных уравнений, аппроксимирующих уравнения в частных производных. Для всех расчетов оно не превышало 1.

3. РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ИМПУЛЬСНОЙ ИМПАКТНОЙ ГАЗОКАПЕЛЬНОЙ СТРУИ И ИХ АНАЛИЗ

3.1. Сопоставление с данными других работ для нестационарной импактной однофазной струи

Результаты тестирования численной модели с данными измерений теплообмена в импульсной импактной однофазной струи представлены в [41]. В случае стационарного режима пузырьковой импактной струи верификация численной модели была проведена в [16]. Было получено удовлетворительное согласие с известными экспериментальными данными по теплообмену в однофазной импульсной и стационарной газокапельной струях. Это послужило базисом при проведении исследований более сложного случая импактной импульсной газонасыщенной струи.

3.2. Результаты численного моделирования газожидкостной струи

Все расчеты были проведены для смеси жидкости (воды) и монодисперсных воздушных пузырьков при атмосферном давлении в нисходящем потоке. Окружающее затопленное пространство заполнено жидкостью при T = 293 K. Во входном сечении заданы профили параметров жидкой фазы на основе предварительного расчета однофазного течения жидкости в трубе длиной 150R. Ее диаметр равнялся 2R = 20 мм, а ширина расчетной области составляет 30R. Начальное распределение газовой фазы задано в виде равномерного профиля параметров по сечению среза трубы. Среднемассовая скорость потока жидкости на срезе трубы составляла Um1 = 0.5 и 1 м/с, число Рейнольдса для несущей фазы Re = 2RUm1/ν = 23 000 и 46 000. Начальная скорость воздушных пузырьков составляла Ub1 = 0.8Um1 = 0.4 и 0.8 м/с. Их диаметр изменялся в диапазоне d = 0.2–1 мм, а объемное расходное газосодержание β = 0–12%. Одним из параметров, характеризующим поведение частиц в газовом потоке (их степень инерционности), является число Стокса в осредненном движении. Оно представляет собой отношение времени гидродинамической релаксации к характерному турбулентному макромасштабу Stk = τ/τf. В качестве характерного турбулентного макромасштаба принималось гидродинамическое время – отношение диаметра среза трубы к среднемассовой скорости на ее срезе τf = 2R/Um1 = 0.04 с [2]. Тогда число Стокса в осредненном движении изменяется в диапазоне Stk = 0.05–0.2. Расчеты выполнены при одинаковом размере воздушных пузырьков во входном сечении трубы. Температура импактной поверхности составляла TW = const = 313 K, а начальные температуры жидкости и газа на срезе трубы равнялись T1 = Tb1 = 293 K. Все численные расчеты выполнены для расстояния между срезом трубы и преградой H/(2R) = 2. Частота подачи потока импульса изменялась в диапазоне f = 0–300 Гц, форма подачи импульсов была прямоугольной, а величина параметра скважности была неизменной и равнялась DC = ton/(ton + toff) = ton/tcycle = 0.5 (см. рис. 1), где ton, toff и tcycle – времена действия импульса, отсутствия подачи импульса и общее время цикла соответственно. Число Струхаля, определенное по диаметру трубы, изменялось в пределах Sr = 2fR/Um1 = = 10–3–5. Все расчеты (для импульсной и стационарной импактных струй) были проведены при равенстве осредненного по времени расхода. Осредненные результаты по распределениям трения на стенке и теплообмену были получены за весь период расчета, равный 2 с.

Рис. 1.

Форма профиля изменения импульса потока.

Профили полной скорости жидкости ${{{\mathbf{U}}}^{2}} = {{U}^{2}} + {{V}^{2}}$ (а) и турбулентной кинетической энергии (б) по длине поверхности преграды показаны на рис. 2. Здесь y – расстояние по нормали, отсчитываемое от поверхности преграды вертикально вверх. На рис. 2а линии 1 соответствуют стационарной газожидкостной импактной струе, 2 и 3 – двухфазному импульсному потоку в момент времени непосредственно перед “выключением” и “включением” течения соответственно. В целом профили скорости жидкости в двухфазной стационарной импактной струе (1) подобны таковым для однофазного течения [1, 2]. Очевидно, что скорость жидкости в импульсной струе в момент времени перед “выключением” имеет наибольшее значение, тогда как перед “включением” величина скорости минимальна. По мере приближения к импактной поверхности вдоль оси струи (r(2R) = 0) происходит торможение потока и в окрестности лобовой точки величина полной скорости жидкости U ≈ 0. Далее при продвижении пристенного потока от точки торможения вдоль поверхности преграды наблюдается его ускорение. Распределения скорости жидкости в пристенной части имеют ярко выраженный струйный профиль с максимумом, расположенным в пристенной зоне при r/(2R) = 1–2. При этом значение скорости в импульсной струе выше, чем в стационарном потоке. Это вызвано тем, что при условии постоянства среднерасходной скорости жидкости для импульсной струи при DC = 0.5 величина скорости в момент действия импульса вдвое выше в сравнении со стационарной струей. Далее по мере развития пристенной струи при r/(2R) > 3 скорость жидкости снижается за счет расширения струи при ее смешении с окружающим затопленным пространством, и струйная форма профиля становится менее выраженной.

Рис. 2.

Профили полной скорости жидкости ${{U}^{{\text{2}}}} = {{U}^{2}} + {{V}^{2}}$ (а) и турбулентной кинетической энергии (б) по радиусу поверхности преграды: Re = 2.3 × 104, H/(2R) = 2, TW = 313 K, T1 = Tb1 = 293 K, d = 1 мм, β = 5%, f = 60 Гц, DC = 0.5; 1 – стационарная пузырьковая импактная струя (f = 0 Гц), 2t = ton = 0.5tc, 3t = toff = tc (непосредственно перед началом нового цикла).

Влияние нестационарности двухфазного течения на распределения турбулентной кинетической энергии (ТКЭ) в жидкости представлено на рис. 2б соответственно. Величина ТКЭ для осесимметричного течения определится по соотношению: 2k = 〈uu〉 = 〈u2 + ${{\left\langle v \right\rangle }^{2}}\, + \,{{\left\langle w \right\rangle }^{2}}\, \approx \,{{\left\langle u \right\rangle }^{2}}\, + \,2{{\left\langle v \right\rangle }^{2}}$. Из анализа данных численных расчетов [7, 16], ранее выполненных авторами для стационарных пузырьковых импактный струй, следует, что увеличение интенсивности турбулентности жидкости в двухфазном течении (до 20–30%) в сравнении с однофазным потоком. Дополнительная генерация турбулентности объясняется вихреобразованием при обтекании потоком жидкости крупных газовых пузырьков [7, 16]. Наибольших значений ТКЭ достигает в приосевой и градиентной областях. При этом r/(2R) ≤ 1–2. На таких расстояниях происходят локальное ускорение потока и ламинарно-турбулентный переход [1, 2]. Они наблюдаются как в однофазных, так и в двухфазных струях. Далее по мере развития пристенной струи вдоль импактной поверхности за счет расширения пристенной струи при ее смешении с окружающим затопленным пространством с соответствующим понижением концентрации пузырьков и уменьшения скорости жидкости величина кинетической энергии турбулентности несущей фазы снижается. Нестационарность двухфазного потока также оказывает существенное количественное влияние на распределения ТКЭ и рейнольдсовых напряжений по сечению струи. Качественно профили турбулентности жидкой фазы и рейнольдсовых напряжений в импульсной 2 и стационарных (1) импактных двухфазных струях подобны. В момент действия двухфазного течения 2 наблюдается увеличение в 2 раза уровня k. В отсутствие действия газонасыщенного потока (3) величины турбулентности жидкости значительно снижаются (почти в 2 раза в сравнении со стационарным двухфазным потоком). Наличие незначительных величин ТКЭ наблюдается при r/(2R) ≥ 3 на участке развития пристенной струи за счет предыдущего цикла.

Профили осредненного локального газосодержания α по длине поверхности преграды приведены на рис. 3 для стационарной струи при f = 0 (линия 1) и 60 Гц (линия 2) в нисходящем потоке. На оси струи при r/(2R) = 0 по мере приближения к стенке концентрация пузырьков возрастает. За счет малой величины радиальной компоненты скорости пузырьков происходит их накопление в районе точки торможения струи. Для профилей α характерно практически нулевое значение локального газосодержания у стенки, что объясняется действием пристенной силы и всплытием пузырьков по мере продвижения двухфазной пристенной струи вдоль поверхности преграды. Для небольших расстояний от точки торможения при r/(2R) ≤ 2 характерным является расположение локального максимума концентрации воздушных пузырьков около стенки, далее за счет всплытия пузырьков и значительного расширения пристенной струи положение максимума в распределении локального газосодержания несколько смещается от стенки преграды во внешнюю среду. Также можно отметить крайне слабое влияние частоты импульсов на осредненное во времени распределение пузырьков, что, в принципе, можно было ожидать.

Рис. 3.

Профили осредненного по времени локального газосодержания в импульсной импактной струе в нескольких сечениях от точки торможения: d = 1 мм, β = 5%, 1 – стационарная пузырьковая импактная струя (f = 0 Гц), 2f = 60 Гц.

Распределения осредненных по времени касательных напряжений на стенке по длине поверхности преграды показаны на рис. 4. Здесь $\tau {\text{'}} = {{\tau }_{W}}{\text{/}}(\rho U_{{m1}}^{2})$ и τW – относительное касательное напряжение и трение на стенке соответственно. Увеличение частоты импульсов и объемного расходного газосодержания приводит к росту трения на стенке. В области малых частот (квазистационарное течение, f = 5 Гц, линия 2 на рис. 4, а) получено практически полное отсутствие влияния частоты импульса на трение. Далее происходит увеличение трения при росте частоты импульсов. Для наибольшей исследованной в работе частоты (f = 300 Гц, 6) величина напряжения на стенке снижается, но сохраняется некоторое увеличение трения в сравнении со стационарным течением. Максимальное значение трения приходится на расстояние от оси струи r/(2R) ≈ 1, вторичный максимум находится на r/(2R) ≈ 2. При небольших концентрациях пузырьков (β ≤ 5%) качественный вид распределения трения на стенке аналогичен таковому для стационарного двухфазного [7] и однофазного [1, 2] течения. Наличие двух локальных максимумов трения и теплообмена для однофазного стационарного режима течения является известным фактом. Это ранее было показано в [1, 2]. Для пузырьковых стационарных струй два локальных максимума трения ранее были получено нами в [7]. При наибольшей величине объемного расходного газосодержания β = 10%, исследованного в работе, наблюдается исчезновение второго максимума трения.

Рис. 4.

Влияние частоты импульсов (а) и объемного расходного газосодержания (б) на распределения осредненного во времени касательного трения на стенке: Re = 2.3 × 104, H/(2R) = 2, d = 1 мм; (а) – β = 5%, 1f = = 0 Гц (стационарная импактная струя), 2 – 5, 3 – 25, 4 – 60, 5 – 200, 6 – 300; (б) – f = 60 Гц, 1 – β = 0 (однофазная жидкостная нестационарная импактная струя), 2 – 2%, 3 – 5, 4 – 10.

Наложение импульсов оказывает сложный характер на теплообмен между пузырьковой струей и преградой (см. рис. 5,а). Наблюдается как подавление теплопереноса (до 10%), так и его интенсификация (до 25%) в сравнении со стационарной пузырьковой газожидкостной импактной струей. Подавление теплообмена характерно для малых значений частоты импульсов (квазистационарный режим, f = 5 Гц, линия 2 на рис. 4а), что согласуется с данными измерений [10] и расчетов [11, 39] для однофазных импульсных струй. Далее при f = 25 Гц – 3 интенсивность теплообмена превышает соответствующее значение для стационарного потока – 1 и для частоты f = 200 Гц – 4 отмечается максимальная интенсификация теплообмена в 25% в сравнении со стационарным двухфазным потоком. Это связано с существенно более тонкими значениями толщины теплового пограничного слоя в импульсной струе в сравнении со стационарным течением. Далее происходит снижение интенсивности теплообмена, и для наибольшей исследованной в работе частоты (f = 300 Гц, 6) число Нуссельта снижается, но сохраняется некоторая интенсификация теплообмена (до 5%) в сравнении со стационарным течением. Это объясняется тем, что пограничный слой уже не успевает обновиться, и его толщина начинает приближаться к соответствующему значению для стационарного течения. Увеличение концентрации газовых пузырьков вызывает увеличение интенсивности теплообмена между струей и преградой (см. рис. 5б), что согласуется с нашими ранее полученными данными для стационарных импактных струй [7]. В целом распределение коэффициента теплообмена по радиусу преграды качественно согласуется с таковыми для стационарных газожидкостных и однофазных импульсных струй за исключением самого большого исследованного газосодержания. При величине β = 10% вторичный максимум практически исчезает (аналогично трению на стенке).

Рис. 5.

Влияние частоты импульсов (а) и объемного расходного газосодержания (б) на распределения осредненного во времени теплообмена по длине поверхности. Условия проведения численных расчетов и обозначения линий соответствуют данным рис. 3.

Отметим, что основное увеличение интенсивности теплопереноса при добавлении газовых пузырьков в области r/(2R) < 2 (область торможения потока и градиентная зона). Далее вниз по потоку r/(2R) ≈ 5 (участок развития пристенной струи) величина теплоотдачи в двухфазной струе с небольшими пузырьками (d ≤ 1 мм) заметно снижается и примерно соответствует таковой для однофазной импактной жидкостной струи. Это происходит за счет уменьшения концентрации дисперсной фазы в пристенной зоне трубы при всплытии воздушных пузырьков. Наблюдаемое наличие двух максимумов в распределениях по длине поверхности касательного трения на стенке и локального коэффициента теплообмена объясняется небольшим расстоянием между охлаждаемой поверхностью и срезом трубы, что согласуется с данными для однофазных [1, 2] и газонасыщенных стационарных [7, 8] импактных струй.

Распределения локального нестационарного числа Нуссельта по радиусу поверхности преграды для стационарной – 1 и импульсной струй – 2 и 3 – в различные моменты времени приведены на рис. 6. Интенсивность теплообмена в импульсной импактной струе – 2 заметно (на 30%) выше соответствующего значения в стационарной струе – 1 за счет увеличения расхода двухфазного потока. Основная причина интенсификации теплообмена – это более тонкие тепловой и гидродинамический пограничные слои в импульсном потоке в сравнении с таковыми для стационарного режима. В случае отсутствия течения – 3 величина теплопереноса теплообмена значительно снижается (более чем в 2 раза).

Рис. 6.

Распределения нестационарного числа Нуссельта по длине поверхности преграды в различные моменты времени: 1 – стационарная пузырьковая импактная струя (f = 0 Гц), 2t = ton = 0.5tc, 3t = toff = tc (непосредственно перед началом нового цикла).

4. СОПОСТАВЛЕНИЕ С ДАННЫМИ ИЗМЕРЕНИЙ ДЛЯ ПУЗЫРЬКОВОЙ ИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ ИМПАКТНОЙ СТРУИ

Результаты сопоставления численного расчета с данными измерений касательных напряжений на стенке [8] для изотермической пузырьковой струи при наложении внешних периодических возмущений представлены на рис. 7. Эксперименты были выполнены с использованием электродиффузионного метода. Диаметр сопла составлял 2R = 10 мм. Профиль осредненной аксиальной скорости на срезе сопла был близок к равномерному. Степень турбулентности на срезе сопла ${\text{Tu}} = \left\langle {u'} \right\rangle {\text{/}}{{U}_{{m1}}}$ составляла 0.5–0.8% на его оси и 5–6% в слое смешения. Число Рейнольдса, построенное по средней скорости жидкости на срезе сопла Re = ${\text{2}}R{{U}_{m}}_{{\text{1}}}{\text{/}}v$ = 4.04 × 104, расстояние до поверхности преграды H/(2R) = 2, средний диаметр пузырьков равнялся d = 0.2 мм, причем разброс в их размерах был незначительным. Поэтому в экспериментах считалось, что газовые пузырьки имеют постоянный диаметр. Объемное расходное газосодержание изменялось в диапазоне β = 0–12.1%. Расположение импактной поверхности было вертикальным, сопло было установлено горизонтально.

Рис. 7.

Распределения касательного трения на стенке в импульсной импактной пузырьковой струе при вариации объемного газосодержания. Точки – измерения [8], линии – расчет авторов: f = 250 Гц, Sr = 0.6. Re = 4.04 × × 104, H/(2R) = 2, 2R = 10 мм, d = 200 мкм, Q = 0.33 л/с, Qg = 0–0.046 л/с. 1 – β = 0 (однофазная импактная струя), 2 – β = 3.4, 3 – 5.9, 4 – 12.1%.

Измеренные [8] и рассчитанные осредненные распределения касательных напряжений на стенке по радиусу пластины при вариации газосодержания β = 0–12.1% показаны на рис. 3. Численные распределения трения на стенке получены за период времени в 1 с. Увеличение объемного расходного газосодержания приводит к росту трения на стенке. При небольших концентрациях пузырьков (β ≤ 6%) качественный вид распределения трения на стенке аналогичен таковому для однофазного режима течения. При наибольшей величине объемного расходного газосодержания исследованного в работе β = 12.1% наблюдается исчезновение второго максимума трения. Результаты численных расчетов трения на стенке хорошо согласуются с данными измерений [8] и максимальное отличие не превышает 15%. Тем не менее необходимо подчеркнуть, что для полноценного сопоставления расчетной модели необходимо проведение более подробных экспериментальных исследований импульсной пузырьковой импактной струи при других режимах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе выполнено численное исследование влияния частоты импульсов на структуру течения, трение на стенке и распределение воздушных пузырьков в газожидкостной импактной нестационарной струе при ее натекании на нагретую преграду. Математическая модель основана на использовании эйлерова описания с учетом обратного влияния пузырьков на осредненные характеристики несущей фазы. Турбулентность жидкой фазы описывается с использованием модели переноса компонент рейнольдсовых напряжений с учетом дополнительной генерации турбулентности жидкости при обтекании пузырьков.

Распределения скорости жидкости в пристенной части имеют ярко выраженный струйный профиль. В целом профили осредненной скорости, турбулентности и концентрации воздушных пузырьков в импульсном потоке имеют подобный, как и для стационарной струи, вид. Отметим, что основной эффект от наложения импульсов на трение на стенке и теплоперенос наблюдаются до расстояния r/(2R) ≤ 3.5, далее за счет процесса смешения пристенной пузырьковой струи с жидкостью в окружающем затопленном пространстве происходит существенное уменьшение концентрации пузырьков. Температура жидкости в импульсной газожидкостной импактной струе меньше соответствующего значения в стационарной струе за счет увеличения расхода двухфазного потока, и при этом происходит существенный рост теплообмена (до 40% в сравнении со стационарным импактным пузырьковым потоком). В случае отсутствия течения величина температуры жидкости в пристенной области возрастает, профиль температуры становится менее заполненным и интенсивность теплообмена резко снижается (до 2 раз при сопоставлении с газожидкостной стационарной импактной струей).

Сравнение результатов моделирования с экспериментальными данными показало, что разработанный подход позволяет проводить моделирование пузырьковых турбулентных импактных импульсных течений при наличии теплообмена со стенкой трубы в довольно широком диапазоне изменения газосодержания при β ≤ 12%.

Математическая модель при разработана финансовой поддержке гранта Российского фонда фундаментальных исследований (проекты РФФИ 18-08-00477 и 18-58-45006), а численное исследование выполнено в рамках государственного задания ИТ СО РАН по программе АААА-17-117030310010-9.

Список литературы

  1. Дыбан Е.П., Мазур А.И. Конвективный теплообмен при струйном обтекании тел. Киев: Наукова думка, 1982.

  2. Jambunathan K., Lai E., Moss M.A., Button B.L. A review of heat transfer data for single circular jet impingement // Int. J. Heat Fluid Flow. 1992. V. 13. P. 106–115.

  3. Zuckerman N., Lior N. Jet impingement heat transfer: physics, correlations, and numerical modeling // Adv. Heat Transfer. 2006. V. 39. P. 565–631.

  4. Serizawa A., Takahashi O., Kawara Z., Komeyama T., Michiyoshi I. Heat transfer augmentation by two-phase bubbly flow impinging jet with a confining wall // Proc. 9th Int. Heat Transfer Conf. IHTC-9, Jerusalem, Israel. 1990. V. 4. Paper 10-EH-16. P. 93.

  5. Zumbrunnen D.A., Balasubramanian M. Convective heat transfer enhancement due to gas injection into an impinging liquid jet // ASME J. Heat Transfer. 1995. V. 117. P. 1011–1017.

  6. Trainer D., Kim J., Kim S.J. Heat transfer and flow characteristics of air-assisted impinging water jets // Int. J. Heat Mass Transfer. 2013. V. 64. P. 501–513.

  7. Пахомов М.А., Терехов В.И. Структура турбулентного течения и распределение пузырьков в осесимметричной неизотермической импактной газожидкостной струе // Изв. РАН. МЖГ. 2017. № 2. С. 129–140.

  8. Алексеенко С.В., Маркович Д.М., Семенов В.И. Турбулентная структура газонасыщенной импактной струи // Изв. РАН. МЖГ. 2002. № 5. С. 22–33.

  9. Alekseenko S.V., Dulin V.M., Markovich D.M., Pervunin K.S. Experimental investigation of turbulence modification in bubbly axisymmetric jets // J. Eng. Thermophys. 2015. V. 24. P. 101–112.

  10. Zhou J.W., Wang Y.G., Middelberg G., Herwig H. Unsteady jet impingement: heat transfer on smooth and non-smooth surfaces // Int. Comm. Heat Mass Transfer. 2009. V. 36. P. 103–110.

  11. Xu P., Yu B., Qiu S., Poh H.J., Mujumdar A.S. Turbulent impinging jet heat transfer enhancement due to intermittent pulsation // Int. J. Thermal Sci. 2010. V. 49. P. 1247–1252.

  12. Lahey R.T., Jr., Drew D.A. The analysis of two-phase flow and heat transfer using a multidimensional, four-field, two-fluid model // Nucl. Eng. Design. 2001. V. 204. P. 29–44.

  13. Yeoh G.H., Tu J.Y. Population balance modelling for bubbly flows with heat and mass transfer // Chem. Eng. Sci. 2004. V. 59. P. 3125–3139.

  14. Пахомов М.А., Терехов В.И. Численное моделирование течения и теплопереноса в опускном турбулентном газожидкостном потоке в трубе // ТВТ. 2011. Т. 49. № 5. С. 737–744.

  15. Zaichik L.I., Alipchenkov V.M. A statistical model for predicting the fluid displaced/added mass and displaced heat capacity effects on transport and heat transfer of arbitrary-density particles in turbulent flows // Int. J. Heat Mass Transfer. 2011. V. 54. P. 4247–4265.

  16. Гафиятов Р.Н., Губайдуллин Д.А., Губайдуллина Д.Д. Акустические волны разной геометрии в многофракционных пузырьковых жидкостях // Изв. РАН. МЖГ. 2018. № 1. С. 121–128.

  17. Зайчик Л.И., Скибин А.П., Соловьев С.Л. Моделирование распределения пузырьков в турбулентной жидкости на основе диффузионно-инерционной модели // ТВТ. 2004. Т. 42. № 1. С. 111–117.

  18. Алипченков В.М., Зайчик Л.И. Моделирование движения легких частиц и пузырьков в турбулентных потоках // Изв. РАН. МЖГ. 2010. № 4. С. 69–87.

  19. Mukin R.V. Modeling of bubble coalescence and break-up in turbulent bubbly flow // Int. J. Multiphase Flow. 2014. V. 62. P. 52–66.

  20. Nigmatulin R.I. Spatial averaging in the mechanism of heterogeneous and dispersed systems // Int. J. Multiphase Flow. 1979. V. 5. P. 353–385.

  21. Drew D.A., Lahey R.T., Jr. Application of general constitutive principles to the derivation of multidimensional two-phase flow equations // Int. J. Multiphase Flow. 1979. V. 5. P. 243–264.

  22. Zaichik L.I. A statistical model of particle transport and heat transfer in turbulent shear flows // Phys. Fluids. 1999. V. 11. P. 1521–1534.

  23. Derevich I.V. Statistical modelling of mass transfer in turbulent two-phase dispersed flows. 1. Model development // Int. J. Heat Mass Transfer. 2000. V. 43. P. 3709–3723.

  24. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. М.: Наука, 1987. Т. 1. 464 с.

  25. Lopez de Bertodano M.A., Lahey R.T., Jr., Jones O.C. Phase distribution in bubbly two-phase flow in vertical ducts // Int. J. Multiphase Flow. 1994. V. 20. P. 805–818.

  26. Politano M., Carrica P., Converti J. A model for turbulent polydisperse two-phase flow in vertical channel // Int. J. Multiphase Flow. 2003. V. 29. P. 1153–1182.

  27. Ranz W.E., Marshall W.R., Jr. Evaporation from drops. Pts. I and II // Chem. Eng. Progress. 1952. V. 48. P. 141–146, 173–180.

  28. Craft T.J., Launder B.E. New wall-reflection model applied to the turbulent impinging jet // AIAA J. 1992. V. 30. P. 2970–2972.

  29. Lopez de Bertodano M., Lee S.J., Lahey R.T., Jr., Drew D.A. The prediction of two-phase turbulence and phase distribution using a Reynolds stress model // ASME J. Fluids Eng. 1990. V. 112. P. 107–113.

  30. Loth E. Quasi-steady shape and drag of deformable bubbles and drops // Int. J. Multiphase Flow. 2008. V. 34. P. 523–546.

  31. Papoulias D., Splawski A., Vikhanski A., Lo S. Eulerian multiphase predictions of turbulent bubbly flow in a step-channel expansion // Proc. 9th Int. Conference on Multiphase Flow ICMF-2016, 2016. Firenze, Italy.

  32. Wallis G.B. The terminal speed of single drops in an infinite medium // Int. J. Multiphase Flow. 1974. V. 1. P. 491–511.

  33. Кашинский О.Н., Горелик Р.С., Рандин В.В. Скорости фаз в пузырьковом газожидкостном течении // Инж.-физ. журн. 1989. Т. 57. № 1. С. 12–15.

  34. Drew D.A., Lahey R.T., Jr. The virtual mass and lift force on a sphere in rotating and straining inviscid flow // Intern. J. Multiphase Flow. 1987. V. 13. P. 113–121.

  35. Tomiyma A., Tamai H., Zun I., Hosokawa S. Transverse migration of single bubbles in simple shear flows // Chem. Engng. Sci. 2002. V. 57. P. 1849–1958.

  36. Antal S.P., Lahey R.T., Jr., Flaherty J.F. Analysis of phase distribution in fully developed laminar bubbly two-phase flow // Intern. J. Multiphase Flow. 1991. V. 17. P. 635–652.

  37. Leonard B.P. A stable and accurate convective modelling procedure based on quadratic upstream interpolation // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 1979. V. 19. P. 59–79.

  38. Van Doormaal J.P., Raithby G.D. Enhancements of the SIMPLE method for predicting incompressible fluid flow // Int. J. Numerical Heat Transfer A. 1984. V. 7. P. 147–164.

  39. Craft T.J., Graham L.J.W., Launder B.E. Impinging jet studies for turbulence model assessment – II. An examination of the performance of four turbulence models // Int. J. Heat Mass Transfer. 1993. V. 36. P. 2685–2697.

  40. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. М.: Мир, 1990. Т. 2. 396 с. / Anderson D.A., Tannehill J.C., Pletcher R.H. Computational fluid mechanics and heat transfer. 2nd ed. New York. Taylor & Francis. 1997. 816 p.

  41. Pakhomov M.A., Terekhov V.I. Numerical study of fluid flow and heat transfer characteristics in an intermittent turbulent impinging round jet // Int. J. Thermal Sci. 2015. V. 87. P. 85–93.

Дополнительные материалы отсутствуют.