Известия РАН. Механика жидкости и газа, 2019, № 6, стр. 141-144

СЛАБЫЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ЗАРЯЖЕННОМ ГАЗЕ

А. Н. Голубятников^a, *, С. Д. Ковалевская^a

^a Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
Москва, Россия

Поступила в редакцию 01.07.2019
После доработки 08.07.2019
Принята к публикации 08.07.2019

DOI: 10.1134/S0568528119060045

Аннотация

В рамках идеальной электрогидродинамики рассматривается вопрос о распространении плоских разрывов относительно малой амплитуды в слое неоднородно заряженного газа в переменном электрическом поле и постоянном поле силы тяжести. Выведены транспортные уравнения для амплитуд, имеющие вариационную природу, и дано точное решение задачи о слабом разрыве, в приближении к которому затем решается задача о слабой ударной волне. Рассмотрены примеры распространения волны по произвольному равновесному начальному состоянию, а также по твердотельно движущемуся слою газа в переменном внешнем поле.

Ключевые слова: электрогидродинамика, гравитационное поле, ударная волна, слабый разрыв, транспортное уравнение

Можно предложить общую теорию распространения разрывов малой амплитуды на заданном фоне. История вопроса, связанная первоначально с выяснением асимптотических законов затухания ударных волн (плоских, цилиндрических или сферических), построением решений со слабыми разрывами с выводом так называемых “транспортных уравнений” и методами приближенного построения сильных разрывов малой амплитуды, дана в [1], где приведен обзор и развит общий подход к решению задач о распространении слабых разрывов по известному фону для систем гиперболических уравнений второго порядка, допускающих вариационную формулировку. Слабая ударная волна рассматривается как приближение к решению, содержащему слабый разрыв. В одномерых задачах с одной неизвестной функцией метод позволяет полностью проинтегрировать транспортное уравнение при любом известном фоне.

Даный метод применим к описанию различных адиабатических процессов механики сплошной среды при наличии переменных силовых полей. В частности, в [1] также решен ряд задач распространения нелинейных волн по неоднородному состоянию равновесия звезд, равновесному состоянию и однородному нестационарному течению мелкой воды, а также исследован вопрос в рамках одномерной релятивистской газовой динамики, где данный подход особенно полезен из-за невыделенности в лагранжиане кинетической энергии газа. В случае прямолинейного фронта такого рода течения магнитной жидости в рамках осредненной теории мелкой воды исследованы в [2].

Наличие лагранжиана позволяет, благодаря сокращению значительного числа членов эффективно вывести, решить в квадратурах и частично проинтегрировать все возникающие уравнения для коэффициентов разложения решения в ряд Тейлора по степеням специальной временнóй переменной $\tau $, равной нулю на поверхности разрыва. В случае невырожденного слабого разрыва на первом этапе решается обыкновенное дифференциальное уравнение Риккати (первое транспортное уравнение), определяющее скачок ускорения среды. Оно сводится к линейному, остальные уравнения для коэффициентов ряда – также линейны. Таким образом, решение последовательно представляется в квадратурах.

Ниже на основании указаной лагранжевой формулировки решается задача о распространении разрыва малой амплитуды с плоским фронтом, создаваемого поршнем, по известному фону при наличии вмороженного удельного заряда и переменного электрического поля в рамках приближения идеальной электрогидродинамики [3]. Отметим также работу [4], где построено одно точное решение такой задачи.

1. УРАВНЕНИЯ ОДНОМЕРНОЙ ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИКИ

Уравнения одномерного движения идеального газа в случае быстро протекающих процессов, когда можно пренебречь относительной подвижностью зарядов, сводятся к состоянию с вмороженным удельным зарядом $q(m)$, связанном с продольным электрическим полем E соотношением [3]

(1.1)

${{E}_{m}} = 4\pi q,\quad E = {{E}_{0}}(t) + 4\pi \int\limits_0^m q dm$

где m – массовая лагранжева переменная. Нижний индекс m означает частную производную по массе, далее аналогично.

Уравнения адиабатического движения совершенного газа для закона движения $x(m,t)$ и давления p в поле силы тяжести g имеют вид

(1.2)

${{x}_{{tt}}} + {{p}_{m}} + g = qE,\quad px_{m}^{\gamma } = f(m)$

где $\gamma > 1$ – показатель адиабаты, ${{x}_{m}}$ – удельный объем и $f(m)$ – энтропийная функция. Приведем сразу необходимые далее решения уравнений (1.1), (1.2).

1) Статическое состояние: $x = {{x}_{0}}(m)$

(1.3)

$p = f(m){{(x_{0}^{'})}^{{ - \gamma }}} = {{p}_{0}} - gm + {{E}^{2}}{\text{/}}(8\pi )$

где p₀ и E₀ – постоянны, $f(m)$ вычисляется. Имеются две произвольные функции x₀ и q от m. Давление p может обращаться в нуль за счет действия силы тяжести и электрического поля при конечной массе слоя, тогда поле E₀ непрерывно продолжается в пустоту.

2) Твердотельное движение при постоянном в слое распределении удельного заряда q₀ в переменном внешнем электрическом поле ${{E}_{0}}(t)$

(1.4)

$x = {{x}_{0}}(m) + a(t),\quad \ddot {a} = {{q}_{0}}{{E}_{0}}(t),\quad p = f(m){{(x_{0}^{'})}^{{ - \gamma }}} = {{p}_{0}} - gm + 2\pi q_{0}^{2}{{m}^{2}}$

Здесь произвольными функциями можно считать ${{x}_{0}}(m)$ и a(t). В принципе, часть силы тяжести g можно отнести к E₀.

Уравнения (1.2) допускают вариационную формулировку вида ${{\Lambda }_{x}} - {{({{\Lambda }_{{{{x}_{t}}}}})}_{t}} - {{({{\Lambda }_{{{{x}_{m}}}}})}_{m}} = 0$ с лагранжианом

(1.5)

$\Lambda = \frac{{x_{t}^{2}}}{2} - \frac{{f(m)x_{m}^{{1 - \gamma }}}}{{\gamma - 1}} - (g - qE)x$

2. РАЗРЫВЫ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ

Условия на сильных разрывах (разрывах первых производных закона движения $x(m,t)$) при отсутствии сосредоточенных притоков массы, импульса или энергии следуют из вида $\Lambda $. Пусть $t = T(m)$ – время движения разрыва по массе, $T(0) = 0$. Введем “ударное” время $\tau = t - T(m)$, равное нулю на разрыве. Тогда в переменных τ, $m$ имеем

${{x}_{t}} = {{x}_{\tau }} \equiv {v},\quad {{x}_{m}}(m,t) = {{x}_{m}}(m,\tau ) - T{\text{'}}(m){{x}_{\tau }} \equiv w - T{\text{'}}{v}$

с лагранжианом

(2.1)

$\Lambda (T{\text{'}},m,е,x,{v},w) = \frac{{{{{v}}^{2}}}}{2} - \frac{{f(m){{{(w - T{\text{'}}{v})}}^{{1 - \gamma }}}}}{{\gamma - 1}} - (g - qE)x$

Отметим, что в этих переменных дифференцирование по m на разрыве сохраняет непрерывность дифференцируемой функции. На сильном разрыве имеем просто сохранение импульса и энергии

(2.2)

$[{{\Lambda }_{{v}}}] = 0,\quad \left[ {{v}{{\Lambda }_{{v}}} - \Lambda } \right] = 0$

Закон движения, распределения заряда и поля считаются непрерывными.

Функция T(m) на сильном разрыве также является искомой. В случае слабого разрыва, который всегда распространяется с характеристической скоростью, движение разрыва по заданному фону известно. В этом случае имеют место разрывы вторых или более высоких призводных функции $x(m,t)$, величины которых определяются уравнениями движения и их дифференциальными продолжениями (транспортными уравнениями).

Рассмотрим класс решений уравнения (1.2) со слабым разрывом, создаваемом аналитическим относительным движением поршня вида

${{x}_{p}}(t) = {{x}_{0}}(0,t) + {{\alpha }_{1}}t + {{\alpha }_{2}}{{t}^{2}}{\text{/}}2 + {{\alpha }_{3}}{{t}^{3}}{\text{/}}6 + \ldots $

при ${{\alpha }_{1}} = 0$. Разрыв движется по известному, вообще говоря, нестационарному фону ${{x}_{0}}(m,t)$, отвечающему некоторому частному решению уравнения (1.2).

Используем общий метод решения вариационных задач со слабыми разрывами, движущимися по произвольному фону [1]. Лагранжева форма уравнений приводит к значительным упрощениям. Здесь мы изложим результаты одномерной теории.

Определение скорости звука фона $1{\text{/}}T_{0}^{'}$ есть ${{\Lambda }_{{{vv}}}} = 0$. Предполагается, что ${{\Lambda }_{{{v}w}}} > 0$ и ${{\Lambda }_{{{vvv}}}} < 0$ (нормальный газ [5]). Пусть ${{\alpha }_{2}} \ne 0$. Тогда решение первого транспортного уравнения определяет скачок ускорения жидкости на разрыве

(2.3)

$[{{{v}}_{\tau }}] = {{(IJ)}^{{ - 1}}},\quad I = {{(\Lambda _{{{v}w}}^{0})}^{{1/2}}}exp\int\limits_0^m {\frac{{({{\Lambda }_{{{vv}}}})_{\tau }^{0}dm}}{{\Lambda _{{{v}w}}^{0}}}} ,\quad J = {{C}_{2}} + \int\limits_0^m {\frac{{\Lambda _{{{vvv}}}^{0}}}{{2I\Lambda _{{{v}w}}^{0}}}} dm.$

Нулем здесь отмечено состояние фона.

Отметим, что величина скачка ускорения порядка единицы, хотя скачок скорости точно равен нулю. Все последующие члены разложения скачка закона движения по степеням $\tau $ определяются линейными уравнениями в квадратурах.

Постоянная C₂ связана со значением начального ускорения поршня α₂ и состоянием фона. Если ${{\alpha }_{2}} < 0$, то скачок ускорения всегда отрицателен. Если же ${{\alpha }_{2}} > 0$, то имеется возможность ухода скачка ускорения в бесконечность за конечное время (опрокидывание слабого разрыва). Важно, что полученная формула (2.3) не содержит явно электрического поля и заряда, которые входят только через производные ${{{v}}_{0}}$ и ${{w}_{0}}$ закона движения фона.

Случаю ${{\alpha }_{2}} = 0$ отвечает особое решение уравнения Риккати с нулевым скачком ускорения среды на разрыве $[{{{v}}_{\tau }}] = 0$. Тогда при ${{\alpha }_{3}} \ne 0$ имеем $[{{{v}}_{{\tau \tau }}}] = {{C}_{3}}{\text{/}}I$ и т.д.

Пусть теперь имеется малая по отношению к скорости звука фона относительная начальная скорость поршня ${{\alpha }_{1}} > 0$, которая создает слабую ударную волну. Тогда, линеаризуя условия на разрыве (2.2), найдем поправку к величине $T_{0}^{'}$, отвечающей скорости ударной волны [5],

(2.4)

$\delta T{\text{'}} = - \frac{{\Lambda _{{{vvv}}}^{0}}}{{2\Lambda _{{{vv}T{\text{'}}}}^{0}}}[{v}]$

Затем, линеаризуя уравнение движения относительно малого приращения скорости $[{v}]$ вдоль разрыва, решая соответствующее линейное дифференциальное уравнение и используя (2.3), получим

(2.5)

$[{v}] = {{C}_{1}}{{(\Lambda _{{{v}w}}^{0})}^{{ - 1/4}}}{{(I{\text{|}}J{\text{|}})}^{{ - 1/2}}}$

Постоянная C₁ выражается через величину ${{\alpha }_{1}}$.

Формула (2.5) показывает, что при положительном C₂ вместе с опрокидыванием слабого разрыва, когда ${{{v}}_{\tau }} \to \infty $, скорость ${v}$ также неограниченно растет при любом ${{C}_{1}} > 0$, что говорит о том, что ударная волна становится сильной, и данная теория требует существенной корректировки.

3. ДВИЖЕНИЕ РАЗРЫВА ПО СТАТИЧЕСКОМУ ФОНУ

Рассмотрим движение разрыва малой амплитуды по статическому фону (1.3), где скорость ${{{v}}_{0}} = 0$ и w – удельный объем. Тогда в формулах (2.3), (2.5) можно опустить производную от фона по $\tau $. Удобно также перейти к эйлеровой переменной x, учитывая соотношение $dm = dx{\text{/}}w$.

Вычисление производных лагранжиана (2.1) при ${v} = 0$ (индекс 0 опускаем) дает

(3.1)

${{\Lambda }_{{{v}w}}} = \gamma fT{\kern 1pt} {\text{'/}}{{w}^{{\gamma + 1}}},\quad {{\Lambda }_{{{vvv}}}} = - \gamma (\gamma + 1)f{{(T{\kern 1pt} {\text{'}})}^{3}}{\text{/}}{{w}^{{\gamma + 2}}},\quad T{\kern 1pt} {\text{'}} = \mathop {({{w}^{{\gamma + 1}}}{\text{/}}(\gamma f))}\nolimits^{1/2} $

(3.2)

$I = \Lambda _{{{v}w}}^{{1/2}} = {{(T{\kern 1pt} {\text{'}})}^{{ - 1/2}}},\quad J = {{C}_{2}} - \frac{{\gamma + 1}}{2}\int\limits_{{{x}_{p}}}^{{{x}_{c}}} {\frac{{{{{(T{\kern 1pt} {\text{'}})}}^{{5/2}}}dx}}{{{{w}^{2}}}}} $

Отметим, что обычная скорость звука $c = w{\text{/}}T{\text{'}}$. Тогда для ускорения жидкости на слабом разрыве получим

(3.3)

${{{v}}_{\tau }} = {{(w{\text{/}}c)}^{{1/2}}}\mathop {\left( {{{C}_{2}} - \frac{{\gamma + 1}}{2}\int\limits_{{{x}_{p}}}^{{{x}_{с}}} {\frac{{{{w}^{{1/2}}}dx}}{{{{c}^{{5/2}}}}}} } \right)}\nolimits^{ - 1} $

а для скорости на слабой ударной волне –

(3.4)

${v} = {{С}_{1}}{{(w{\text{/}}c)}^{{1/2}}}\mathop {\left| {{{C}_{2}} - \frac{{\gamma + 1}}{2}\int\limits_{{{x}_{p}}}^{{{x}_{c}}} {\frac{{{{w}^{{1/2}}}dx}}{{{{c}^{{5/2}}}}}} } \right|}\nolimits^{ - 1/2} $

В этих формулах ${{x}_{p}}(t)$ – закон движения поршня, а ${{x}_{c}}(t)$ – закон движения характеристики, ${{\dot {x}}_{c}} = c(x)$, причем ${{\dot {x}}_{p}} < {v} \ll c$. Квадрат скорости звука, выраженный через давление (1.3), есть

(3.5)

${{c}^{2}} = \gamma wp = \gamma w({{p}_{0}} - gm + {{E}^{2}}(m){\text{/}}(8\pi )),\quad {{m}_{x}} = 1{\text{/}}w$

Анализ этих формул показывает, что также может возникать особенность, связанная с обращением в ноль плотности массы 1/w при выходе разрыва на границу слоя. Отметим, что в формулы (3.3), (3.4) входит весь закон движения поршня ${{x}_{p}}(t)$. На фоне, когда w и c постоянны, эти формулы дают известный в газовой динамике закон затухания ударной волны ${v} \sim {{x}^{{ - 1/2}}}$ при торможении поршня [5].

4. ВОЛНА НА ДВИЖУЩЕМСЯ ФОНЕ

Рассматривается движение разрыва малой амплитуды по неоднородному слою газа, движущемуся как твердое тело (1.4). Основными эффектами здесь будут снос разрыва за счет скорости и ускорения движения фона ${v} = \dot {a}(t)$, ${{{v}}_{\tau }} = \ddot {a}(t)$ и изменение его удельного объема $x_{0}^{'}(m) = w - T{\kern 1pt} {\text{'}}{v}$. В силу формул (1.4) получаем уравнение для времени движения разрыва по массе $t = T(m)$

(4.1)

$T{\kern 1pt} {\text{'}} = {{(x_{0}^{'}{\text{/}}(\gamma p))}^{{1/2}}}$

которое интегрируется в виде квадратуры T(m).

Далее вычислим величины ${{\Lambda }_{{{v}w}}}$ и ${{\Lambda }_{{{vvv}}}}$, которые аналогичны формулам (3.1) с заменой w на $x_{0}^{'}$. Производная ${{({{\Lambda }_{{{vv}}}})}_{\tau }} = 0$. Таким образом, имеем

(4.2)

$I = {{(T{\text{'}})}^{{ - 1/2}}},\quad J = {{C}_{2}} - \frac{{\gamma + 1}}{2}\int\limits_0^m {\frac{{{{{(T{\text{'}})}}^{{5/2}}}}}{{x_{0}^{'}}}} dm$

Окончательные формулы для скачков ускорения $[{{{v}}_{\tau }}] = {{(IJ)}^{{ - 1}}}$ и скорости $[{v}] = {{I}^{{ - 1}}}{{\left| J \right|}^{{ - 1/2}}}$ исследуются на основании формул (4.1), (4.2). Опрокидывание разрыва наступает, когда ${{C}_{2}} > 0$. Вторая особенность возможна, когда волна доходит до границы тела, где p = 0, и $T{\text{'}} \to \infty $.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В рамках модели идеальной электрогидродинамики совершенного газа дано решение задачи о распространении плоских волн малой амплитуды по произвольному известному фону. Получены и исследованы в виде квадратур формулы для амплитуд слабого разрыва и слабой ударной волны. Рассмотрены примеры распространения волны по равновесному начальному состоянию, а также по состоянию твердотельного движения. Каждый из примеров содержит по две произвольные функции. Результаты могут быть использованы для исследования усиления нелинейных звуковых и ударных волн, распространяющихся в заряженной атмосфере.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 17-01-00037).

Список литературы

Голубятников А.Н. Разрывы малой амплитуды решений уравнений механики сплошной среды // Тр. Матем. ин-та им. В.А. Стеклова. 2018. Т. 300. С. 65–75.
Golubiatnikov A.N. Non-linear waves in a thin layer of magnetic fluid // Magnetohydrodynamics. 2018. V. 54. № 1–2. P. 23–26.
Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1994. Т. 1. 528 с.
Голубятников А.Н., Ковалевская С.Д. О прохождении ударной волны сквозь слой заряженного газа // Изв. РАН. МЖГ. 2018. № 3. С. 108–111.
Черный Г.Г. Газовая динамика. М.: Наука, 1988. 424 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Механика жидкости и газа

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал