Известия РАН. Механика жидкости и газа, 2019, № 6, стр. 25-37

1. ПОСТАНОВКА ЭКСПЕРИМЕНТА

В экспериментах для формирования двухслойной системы использовались следующие несмешивающиеся жидкости: растительное масло–вода и керосин–вода. Возбуждение второй моды ($n$ = 2) стоячих гравитационных волн на свободной поверхности двухслойной жидкости в прямоугольном сосуде длиной L = 50 см и шириной W = 10 см осуществлялось посредством параметрического резонанса (рис. 1). Установленный на электромеханический вибростенд сосуд совершал вертикальные колебания с амплитудой $s$ и частотой ${\Omega }$. Двумерные волновые движения двухслойной жидкости постоянной глубины h = 15 см исследовались аналогично [14–16] в режиме основного резонанса Фарадея, когда частота колебаний сосуда ${\Omega }$ в два раза превышала частоту ${\omega }$ возбуждаемых поверхностных гравитационных волн.

При фиксированной величине $s$ = 0.75 см изменение частоты $\Omega $ в диапазоне 18–24 с^–1 обеспечивало вариации крутизны $\Gamma = H{\text{/}}\lambda $ стоячей поверхностной волны в интервале 0.004–0.66. Здесь $\lambda $ = 50 см – длина волны; H – высота волны, определяемая как расстояние между ложбиной волны и ее гребнем. В условиях эксперимента перегрузка ${\varepsilon } = s{{\Omega }^{2}}{\text{/}}g$ изменялась от 0.24 до 0.44.

Если глубина заполнения сосуда двухслойной жидкостью составляла величину h = 15 см и не изменялась в ходе экспериментов, то толщина h₁ верхнего слоя варьировалась от 0.25 до 7.5 см.

К основным физическим характеристикам использованных в экспериментах жидкостей относятся их плотность $\rho $, кинематическая вязкость ν и поверхностное натяжение $\sigma $, см. табл. Эксперименты проводились при температуре 20–21°С.

Для видеорегистрации волновых движений жидкости использовались фотокамеры DIMAGE Z2 и Canon PowerShot SX50HS со скоростью съемки 30 и 120 кадров/с. Последующая обработка видеозаписей проводилась с помощью программы ImageJ.

Для количественных оценок диссипативных эффектов использовался коэффициент затухания b, который оценивался по описанной в [15, 16] методике: после установления на одной из резонансных частот Ω стационарных колебаний жидкости вибростенд выключался, и проводилась видеосъемка процесса затухания второй волновой моды. Величина b определялась как b = = ${{T}^{{ - 1}}}{\text{ln}}({{H}_{m}}{\text{/}}{{H}_{{m + 1}}})$, где $T = 2\pi {\text{/}}\omega $ – период волны, H_m и ${{H}_{{m + 1}}}$ – значения высоты волны, взятые через один период колебаний. В качестве безразмерной характеристики диссипативных свойств двухслойной системы использовался декремент $\delta = bT$.

В условиях эксперимента исследуемая вторая волновая мода в баротропном режиме колебаний двухслойной системы близка к свободным гравитационным волнам на поверхности однородной жидкости; частота этих волн равна $\omega = {{(gk\operatorname{th} kh)}^{{1/2}}} = 10.85$ с^–1, где $g$ = 981.7 см/с² – ускорение свободного падения, $k = 2{\pi /}\lambda $ = 0.126 см^–1 – волновое число, отвечающее длине гравитационной волны $\lambda $ = 50 см.

2. РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

В экспериментах наблюдались регулярные и разрушающие волны. Если для регулярных волн профиль периодичен во времени и симметричен относительно вертикальной плоскости, проведенной через пучность волны, то в случае разрушающихся волн Фарадея со свободной поверхности жидкости срываются отдельные капли [14] – рис. 2а. В [14–16] показано, что для воды и растительного масла как однородных жидкостей предельная крутизна достигает величины $\Gamma = H{\text{/}}\lambda $ ∼ 0.22 и 0.30 соответственно. Для керосина как однородной жидкости предельная крутизна равна $\Gamma $ ∼ 0.22.

Эксперименты показали, что слой керосина (${{h}_{1}}$ = 0.25–7.5 см) практически не меняет характер колебаний двухслойной системы в баротропном режиме – наблюдаемые волны аналогичны волнам на поверхности воды, рис. 2б. Для разрушающихся волн на свободной поверхности двухслойной системы керосин–вода характерен срыв отдельных капель или струй, а максимальная крутизна регулярных волн составляла величину $\Gamma $ ∼ 0.22. Таким образом, использование керосина в качестве верхней жидкости не влияет на разрушающиеся гравитационные волны.

Размещение слоя растительного масла поверх воды резко меняет волновую картину – наблюдается регуляризация разрушающихся волн (рис. 2в). Показанная на фотографии волна имеет высоту $H$ = 16.2 см ($\Gamma \sim 0.32$), какие-либо признаки разрушения стоячей гравитационной волны отсутствуют.

В экспериментах в качестве интегральных волновых характеристик баротропной моды использовались резонансные зависимости высоты $H = H({\Omega })$ установившейся волны от частоты ${\Omega }$ вертикальных колебаний сосуда – рис. 3.

Видно, что частотный диапазон резонансных зависимостей для толщины слоя ${{h}_{1}}$ = 0.25–3.5 см растительного масла (данные 1–6) не отличается от воды – 9. Резонансная зависимость второй моды на поверхности растительного масла – 10 смещена в область низких частот из-за 60-кратного увеличения вязкости масла по сравнению с водой. Увеличение толщины верхнего слоя вязкой жидкости должно сказываться на уменьшении собственной частоты волны и сужении ширины резонансных зон параметрического возбуждения. Однако влияние вязкости проявляется только для ${{h}_{1}}$ = 5 и 7.5 см (данные 7 и 8).

В [8] при анализе нелинейных баротропных колебаний двухслойной идеальной жидкости показано, что собственная частота волн на свободной поверхности двухслойной системы сложным образом зависит от высоты волны и толщины верхнего слоя, причем $\omega (H,{{h}_{1}}) > {{\omega }_{0}} = {{(gk\operatorname{th} kh)}^{{1/2}}}$. В явном виде выражение для частоты $\omega (H,{{h}_{1}})$ здесь не приводится из-за своей громоздкости. График же рассчитанной зависимости $\omega ({{h}_{1}})$ для второй моды баротропной волны высоты H = 7.0 см в случае системы масло–вода приведен на рис. 3, врезка 11. Видно, что частота сначала растет, достигает максимума при ${{h}_{1}}\sim 3$ см и затем монотонно уменьшается. Этот полученный для идеальных жидкостей результат если не количественно, то качественно объясняет отсутствие низкочастотного сдвига резонансных зависимостей при ${{h}_{1}} \leqslant $ 4 см на рис. 3. Для толщин ${{h}_{1}}$ = 5 и 7.5 см нелинейный эффект увеличения частоты оказывается слабее влияния вязкости верхнего слоя, и на рис. 3 наблюдается низкочастотное смещение резонансных зависимостей.

Отметим, что вторая мода на свободной поверхности системы керосин–вода для всех использованных в эксперименте величин ${{h}_{1}}$ имела резонансные зависимости, идентичные случаю воды как однородной жидкости.

Использование масла как высоковязкой жидкости в двухслойной системе значительно увеличивает предельную крутизну и декремент регулярной волны, как показано на рис. 4. На графиках приведены зависимости крутизны $\Gamma = H{\text{/}}\lambda $ и логарифмического декремента $\delta $ от безразмерной толщины $h* = {{h}_{1}}{\text{/}}h$ слоя масла.

Для двухслойной системы растительное масло–вода крутизна $\Gamma $ регулярной волны возрастает с увеличением толщины $h* = {{h}_{1}}{\text{/}}h$ верхнего слоя и достигает значения 0.30, что в 1.5 раза превышает предельную крутизну волны $\Gamma $ = 0.22 на поверхности воды (как однородной жидкости) или системы керосина–воды, рис. 4а. Из приведенного графика следует, что при использовании слоя растительного масла толщиной 1 и 1.5 см ($h{\text{*}}$ = 0.06 и 0.12) как верхней жидкости в двухслойной системе регулярная баротропная волна имела крутизну $\Gamma \sim 0.30$. Такое же значение предельной крутизны $\Gamma $ получено в [15, 16] для волны на свободной поверхности высоковязких однородных жидкостей – растительного масла и 63% водном растворе сахара.

Анализ процесса затухания второй волновой моды (рис. 4б) показал, что для системы керосин–вода декремент $\delta $ практически не зависит от толщины верхнего слоя и для всех $h{\text{*}}$ составляет величину $\delta \sim 0.06$, соответствующую чистой воде. В случае двухслойной жидкости масло–вода увеличение $h{\text{*}}$ приводит к монотонному росту декремента баротропной моды, который при $h{\text{*}}$ = 0.5 оценивается величиной $\delta $ = 0.40.

Для двухслойной системы теоретическая оценка декремента баротропной моды в случае бесконечно глубокого нижнего слоя и без учета боковых стенок сосуда приведена в статье [7]

где $T = 2\pi {\text{/}}\omega $ – период волны; ${{\rho }_{{1,2}}}$, ${{\nu }_{{1,2}}}$ – плотность и кинематическая вязкость жидкостей верхнего и нижнего слоев. Рассчитанные значения $\delta $ при изменении $h*$ от 0 до 0.9 лежат в диапазоне 10^–3–10^–2; на рис. 4б соответствующая зависимость 3 построена при 20-кратном увеличении $\delta $. Такие заниженные значения декремента в модели [7] можно объяснить тем, что не учтены конечная глубина нижней жидкости, а также наличие боковых стенок и дна.

Приведенные на рис. 4 данные позволяют сделать вывод о том, что использование растительного масла в качестве верхней жидкости двухслойной системы обеспечивает значительное увеличение предельной крутизны баротропных волн с одновременным ростом их декремента.

Детальный анализ данных видеозаписи позволил в случае воды выявить мелкомасштабные возмущения на профилях волн; их характерный размер не превышал 6 см – рис. 5а. Эти возмущения определяют зарождение, развитие и разрушение каверны с последующим струйным всплеском из гребня волны. Описание механизма разрушения приведено в [14].

Аналогичная картина наблюдается на свободной поверхности двухслойной жидкости керосин–вода – рис. 5б. Видно, что слой керосина толщиной 1 см не препятствует процессу разрушения баротропной волны: прослеживаются образование и схлопывание каверны с последующим выбросом и разрушением струи.

В случае системы растительное масло–вода волна, возбуждаемая на той же частоте 21.44 с^–1, является регулярной – рис. 6. При высоте H = 16.6 см волновой профиль плавный, и какие-либо признаки разрушения волны отсутствуют.

Отличие волновых структур на рис. 5б и 6 связано с использованием керосина и растительного масла в качестве верхней жидкости в двухслойной системе. Эти жидкости различаются по плотности, вязкости и межфазному натяжению (с водой) – см. табл. 1. Поскольку именно растительное масло обеспечило увеличение предельной крутизны волны, ее диссипацию и, в конечном счете, регуляризацию волнового движения, ниже рассматривается система масло–вода.

Рассмотрим структурные изменения верхнего слоя в системе масло–вода с увеличением высоты волны – рис. 7. Для этого используем видеоматериалы процесса установления стационарных колебаний двухслойной жидкости на частоте колебаний сосуда $\Omega = $ 22.60 с^–1. Начальная толщина слоя составляла ${{h}_{1}}$ = 1 см.

При высоте волны H = 2.1 см профиль волны линейный, его толщина практически одинакова по всей длине сосуда – рис. 8 (I). Увеличение высоты до H = 6.7 см приводит к утолщению слоя в гребне и ложбинах при утоньшении в узловых областях – (II). При H = 9.4 и 10.1 см наблюдается перетекание практически всей верхней жидкости в области гребня и ложбины волны – (III, IV).

Используя модель [17] нелинейных поверхностных волн Фарадея, можно в переменных Лагранжа (a, b, t) построить не только профиль свободной поверхности при b = 0, но и определить координаты (x, y) частиц однородной жидкости внутри слоя заданной глубины h

Определим b-изолинии как линии одинаковых значений начальной вертикальной координаты b частиц жидкости. Изолинии b = 0, –0.5 и –1 см для второй волновой моды максимального развития показаны на рис. 8. Первоначально расстояние между этими тремя линиями составляло 0.5 см, причем каждая линия задается 50 точками, расположенными на 1 см друг от друга. Из-за асимметрии профиля волны (нелинейность волны) наблюдаются сжатие точек на гребне волны и их разрежение в ложбине. Это приводит к изменению расстояния между b-изолиниями, которое увеличивается в гребнях и уменьшается в ложбинах. Этим, скорее всего, объясняется изменение толщины верхнего слоя несмешивающейся жидкости в случае баротропных волн, если рассматривать изолинии b = 0 и –1 см в качестве границ верхней жидкости двухслойной системы на рис. 7.

Если на видеокадрах рис. 7 между двумя несмешивающимися жидкостями прослеживается резкая межфазная граница, то для волн большей высоты $H \geqslant 13$ см происходит диспергирование жидкостей – см. рис. 9. Наблюдаемые в пучностях волны дисперсные структуры могут быть отнесены к обратной эмульсии типа вода в масле (в/м), для которой дисперсной фазой является вода, а непрерывной фазой – масло. После проведения серии измерений установка выключалась. После затухания волновых движений верхний слой жидкости вследствие растекания дисперсных структур (локализованных в пучностях, рис. 9) принимал вид, показанный на рис. 10.

Приведенная на рис. 10б дисперсная система относится к обратной эмульсии типа в/м (вода в масле). Если начальная толщина слоя составляла величину 1 см, то вследствие эмульгирования капель воды в масле величина h₁ возрастала до 1.3 см. Вывод о типе эмульсии (в/м) сделан по следующим трем признакам [18]. Во-первых, образец представленной на рис. 10б эмульсии имел более низкую по сравнению с водой электропроводность. Во-вторых, образец эмульсии легко смешивался с маслом, но не с водой. Наконец, образец не окрашивался водорастворимой краской.

В экспериментах использовалась макросъемка с 60-кратным оптическим увеличением, что позволило сделать вывод о полидисперсности эмульсии в/м. Диаметр 2r капель воды варьировался от 0.01 до 0.5 см. Отметим, что нижний предел для 2r ограничен разрешимостью макросъемки в условиях эксперимента. Как видно на рис. 10б, более крупные капли расположены в нижней части слоя. Визуально было установлено, что с течением времени эти капли воды осаждаются и формируют концентрированный слой на границе с подстилающим слоем воды. Нижняя часть этого слоя капель воды разрушается вследствие коалесценции капель между собой и подстилающей поверхностью воды. Полное осаждение капель воды до восстановления чистого слоя масла продолжалось в течение 2–6 ч и зависело от длительности предшествующего эксперимента, т.е. от времени эмульгирования.

При образовании эмульсии увеличивается поверхность дисперсной фазы, что требует затрат механической энергии, которая концентрируется на поверхности раздела в виде свободной поверхностной энергии – межфазное натяжение, например, [19]. Оценим порядок величины свободной энергии E_free, считая обратную эмульсию на рис. 10б монодисперсной с каплями воды радиусом $r\sim 0.1$ см. Если при изменении толщины верхнего слоя Δh₁ = 0.3 см объем дисперсной фазы V = LWΔh₁ = 60 см³ (L =50 см, W = 4 см), то из соотношения

для общей межфазной поверхности S получим значение $S = 3V{\text{/}}r$ = 1800 см². При межфазном натяжении σ = 24 эрг/см² свободная энергия E_free = 72 000 эрг ∼ 10⁵ эрг. Этой величиной определяются минимальные затраты механической энергии на диспергирование двухслойной жидкости. Источником же энергии является волновое движение жидкости в баротропном режиме. Полная энергия стоячей баротропной волны определяется соотношением [1]

При H = 13.6 см и $k = 2\pi {\text{/}}L = $ 0.126 см^–1 имеем E ∼ 10⁶ эрг.

Таким образом, процесс эмульгирования в условиях настоящего эксперимента требует значительных энергозатрат, сравнимых с энергией баротропной волны.

Рассмотрим более детально переход от системы двух несмешивающихся жидкостей к эмульсии верхнего слоя. При установлении стационарных колебаний системы масло–вода (${{h}_{1}}$ = 1 см) при $\Omega = $ 21.44 с^–1 можно выделить три характерных режима, определяющих структуру верхнего слоя – рис. 11–13.

Во-первых, первоначально горизонтальный слой масла остается однородным по толщине при высоте волны $H = 5.1$ см, а при дальнейшем росте волны ($H = 12.5$ см) утолщается в гребне – рис. 11.

С течением времени высота волны возрастает, что приводит к формированию неустойчивой прямой эмульсии масла в воде (м/в) – рис. 12.

Области локализации описываемой м/в – эмульсии определяются пучностями волны и имеют наибольший вертикальный масштаб до 0.5$h$ в момент максимального развития волнового профиля (рис. 12).

Наконец, на рис. 13 представлены видеокадры с обратной в/м – эмульсией, переход к которой обусловлен дальнейшей локализацией верхнего слоя (м/в – эмульсия) в пучностях волны. Согласно [18] при возрастании количества масла в виде отдельных капель возможен переход к в/м – эмульсии, т.е. происходит обращение эмульсии. Исследование процесса обращения эмульсий не являлось целью настоящей работы. Однако можно оценить условия отрыва с межфазной границы капель масла, которые являются дисперсной средой в прямой эмульсии и дисперсионной средой в эмульсии обратной.

Диспергированию капель масла в воду на этапе формирования гребня (центральная часть жидкости вместе с межфазной границей движется вверх, рис. 12) препятствуют силы плавучести ${{F}_{1}} = 4\pi {{r}^{3}}\Delta \rho g{\text{/}}3$ и межфазного натяжения ${{F}_{2}} = 2\pi \sigma r$ – см. врезку на рис. 14. Здесь $\Delta \rho = ({{\rho }_{2}} - {{\rho }_{1}})$. На указанном временном интервале сила инерции, действующая на отдельные капли масла, направлена вниз и обеспечивает отделение и перемещение капли в дисперсионной фазе (вода). Сила инерции определяется движущейся межфазной границей и равна $\Phi = (4\pi {{r}^{3}}{\text{/}}3){{\rho }_{1}}(H{\text{/}}2){{\omega }^{2}}$. В предположении равенства нулю относительной скорости капли сила вязкого сопротивления не учитывается. Необходимым условием для формирования и отделения капли масла является неравенство $\Phi > {{F}_{1}} + {{F}_{2}}$. Из уравнения $\Phi - {{F}_{1}} - {{F}_{2}} = 0$ находим пороговую высоту баротропной волны, определяющую начало процесса эмульгирования

На рис. 14 приведены рассчитанные зависимости $H = H(r)$ для масла (1) и керосина (2), используемых в качестве верхних жидкостей в двухслойной системе; значения физических величин приведены в табл. 1. Для системы масло–вода область значений $\left\{ {r,H} \right\}$ выше кривых определяет начало эмульгирования. Полученный результат (1) согласуется с данными эксперимента – при высоте волны H = 13 см наблюдаемые капли масла в воде имели радиус $r \approx $ 0.3–0.4 см. В случае керосина характеристики двухслойной системы таковы, что кривая (2) располагается существенно выше зависимости (1). Пороговая высота баротропной волны, необходимая для формирования капель керосина в воде, в 2–5 раз превосходит соответствующие значения H для системы масло–вода. В условиях эксперимента эмульгирование керосина в воде не наблюдалось.

Обобщая результаты проведенных исследований 1 см – слоя масла в двухслойной системе на весь диапазон ${{h}_{1}} = $ 0.25–7.5 см, можно сделать вывод, что регуляризация баротропных волн связана с эмульгированием двухслойной жидкости, т.е. с формированием над слоем воды обратной эмульсии вода–масло. Именно динамическими свойствами эмульсии можно объяснить увеличение крутизны $\Gamma = H{\text{/}}\lambda $ и логарифмического декремента $\delta $ регулярных баротропных волн.

В режиме волновых движений двухслойной системы не представляется возможным измерить вязкость эмульсии или всей системы в целом. Однако, как показано в [15, 16], полученная в [20] формула для логарифмического декремента стоячих волн на свободной поверхности однородной жидкости неплохо описывает данные эксперимента для воды, растительного масла и водного раствора сахара. Рассматривая двухслойную систему как однородную жидкость с некоторой эквивалентной кинематической вязкостью $\nu {\text{*}}$, и учитывая потери волновой энергии во всем объеме жидкости, на боковых стенках и дне сосуда, имеем

Из приведенной на рис. 15а зависимости $\delta = \delta (\nu *)$ можно по экспериментальным значениям декремента оценить эквивалентную вязкость двухслойной системы. Зависимость декремента $\delta = \delta ({{h}_{1}},\nu *)$ от толщины ${{h}_{1}}$ верхнего слоя масла и рассчитанной эквивалентной вязкости ν* двухслойной системы масло–вода в баротропном режиме колебаний приведена на рис. 15б.

Видно, что с увеличением ${{h}_{1}}$ возрастают как декремент $\delta $, так и эквивалентная вязкость ν*. При ${{h}_{1}}$ = 1 см имеем $\delta $ = 0.23 и ν* = 37.5 сСт, а при ${{h}_{1}}$ = 5 см – $\delta $ = 0.36 и ν* = 80.0 сСт. Это свидетельствует об усилении диссипативных факторов, обусловленных толщиной эмульсионного верхнего слоя.

Поскольку данное исследование нацелено на выявление механизма регуляризации баротропных волн, то продолжая аналогию с однородной вязкой жидкостью, воспользуемся основным выводом [15, 16] о том, что вязкость жидкости служит своеобразным фильтром короткомасштабных возмущений. В случае двухслойной системы определяемая эмульгированием вязкая диссипация становится доминирующим фактором, вызывая подавление коротковолновых возмущений, приводящих к разрушению волн Фарадея.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Представлены новые экспериментальные результаты о влиянии верхнего слоя вязкой жидкости на процесс регуляризации разрушающихся стоячих гравитационных волн Фарадея на свободной поверхности двухслойной системы.

Показано, что использование растительного масла в качестве верхнего слоя существенно меняет динамику волновой моды – наблюдается волновая регуляризация с полным подавлением механизмов разрушения. Установленные в экспериментах эффекты связаны с образованием слоя эмульсии, обеспечивающего дополнительное рассеяние энергии волны. Рассмотрен эффект увеличения толщины верхнего слоя на предельную крутизну регулярной волны и ее диссипативные характеристики.

Рассмотрен процесс эмульгирования двухслойной системы и приведены оценки энергозатрат на формирование эмульсии. Показано, что процесс эмульгирования в условиях эксперимента требует значительных энергозатрат, сравнимых с энергией гравитационной баротропной волны. Введена эквивалентная вязкость двухслойной жидкости.

Работа выполнена по теме государственного задания № АААА-А17-117021310375-7.