Известия РАН. Механика жидкости и газа, 2020, № 3, стр. 51-58

КИНЕМАТИКА ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ ЗАПОЛНЕНИИ ТРУБЫ С КОАКСИАЛЬНЫМ ЦЕНТРАЛЬНЫМ ТЕЛОМ

Е. И. Борзенко a*, Г. Р. Шрагер a**

a Томский государственный университет
Томск, Россия

* E-mail: borzenko@ftf.tsu.ru
** E-mail: shg@ftf.tsu.ru

Поступила в редакцию 16.10.2019
После доработки 17.12.2019
Принята к публикации 17.12.2019

Полный текст (PDF)

Аннотация

Проведено численное моделирование течения вязкой жидкости со свободной поверхностью, реализующегося при заполнении вертикальной круглой трубы с коаксиальным центральным телом в поле силы тяжести. Математическая постановка задачи включает уравнения Навье–Стокса и неразрывности, которые дискретизируются методом контрольного объема с привлечением корректирующей процедуры SIMPLE. Естественные граничные условия на свободной поверхности удовлетворяются с использованием метода инвариантов. Выполнены параметрические исследования процесса заполнения. Построены критериальные зависимости характеристик формы свободной поверхности от основных безразмерных параметров задачи. Исследована картина массораспределения.

Ключевые слова: ньютоновская жидкость, труба, центральное тело, заполнение, свободная поверхность, численное моделирование

Течения вязкой жидкости со свободной поверхностью в цилиндрическом канале с центральным телом реализуются в различных технологических процессах, в частности, при заполнении пресс-форм в технологии формования изделий методом литья под давлением [1]. Характерными особенностями таких течений являются: меняющаяся во времени свободная поверхность; линия трехфазного контакта твердое тело–жидкость–газ (ЛТК), движущаяся вдоль твердой стенки Математическая постановка задачи, адекватная физическому содержанию процесса, настолько сложна, что делает практически невозможным получение аналитического решения. В связи с этим большую популярность приобрели численные методы для исследования подобных течений.

К настоящему времени выполнено большое количество численных и экспериментальных исследований [28] процесса заполнения плоских каналов и круглых труб. Поток характеризуется установлением формы свободной поверхности и разделением на зону одномерного течения вдали от свободной поверхности и зону фонтанирующего течения [9] в ее окрестности. Для устранения сингулярности традиционной постановки задачи в окрестности ЛТК [10, 11] в случае слабого влияния капиллярных эффектов на кинематику течения используется условие равенства динамического краевого угла π. В противном случае на контактной линии выполняется условие проскальзывания [10].

Число работ, посвященных анализу заполнения цилиндрического канала с центральным телом, ограничено [1, 11, 12], и в них представлены неполные данные о критериальных зависимостях характеристик потока. Установлено, что аналогично случаю заполнения круглой трубы/плоского канала, наблюдается разделение потока на одномерное течение и зону фонтанирующего течения.

Целью настоящего исследования является анализ характеристик потока, эволюции свободной поверхности и топограммы массораспределения в зависимости от определяющих параметров при заполнении вертикальной трубы с коаксиальным центральным телом вязкой жидкостью.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматривается заполнение вертикальной трубы с коаксиальным центральным телом вязкой жидкостью в поле силы тяжести. Область решения и система координат представлены на рис. 1. Основу математического описания рассматриваемого течения образуют уравнения Навье−Стокса и неразрывности, которые в безразмерных переменных в векторной форме имеют вид

(1.1)
$\operatorname{Re} \left[ {\frac{{\partial {\mathbf{u}}}}{{\partial t}} + \left( {{\mathbf{u}} \cdot \nabla } \right){\mathbf{u}}} \right] = - \nabla p + \Delta {\mathbf{u}} + {\mathbf{W}}$
(1.2)
$\nabla \cdot {\mathbf{u}} = 0$
Рис. 1.

Область течения: Г1 – твердая стенка, Г2 – входное сечение, Г3 – свободная граница, Г30 – свободная граница в начальный момент времени.

Здесь u – вектор скорости с проекциями ($u,{v}$) на оси цилиндрической системы координат (r, z); t – время; p – давление; W = (0, –W); α – отношение радиуса внутреннего коаксиального тела к радиусу трубы; $\operatorname{Re} = \rho UR{\text{/}}\mu $ – число Рейнольдса; ${\text{W}} = \rho g{{R}^{2}}{\text{/}}\left( {\mu U} \right)$. В качестве масштабов длины, скорости, времени и давления используются радиус трубы R, среднерасходная скорость во входном сечении U, величина R/U и комплекс $\mu U{\text{/}}R$ соответственно, где μ – вязкость жидкости, ρ – плотность, g – ускорение силы тяжести.

На твердых стенках Г1 используется условие прилипания. На свободной поверхности Г3 выполняются условия отсутствия касательных напряжений и равенства нормального внешнему давлению, которое без ограничения общности можно считать равным нулю. Силы поверхностного натяжения не учитываются, движение свободной границы подчиняется кинематическому условию. Во входном сечении Г2 профиль скорости соответствует установившемуся течению вязкой жидкости в коаксиальном кольце [13]. Таким образом, граничные условия записываются в виде

$\begin{gathered} {{\Gamma }_{1}}:u = 0,\quad {v} = 0 \\ {{\Gamma }_{2}}:u = 0,\quad {v} = 2\frac{{({{\alpha }^{2}} - 1)\ln r + (1 - {{r}^{2}})\ln \alpha }}{{(1 + {{\alpha }^{2}})\ln \alpha + 1 - {{\alpha }^{2}}}} \\ {{\Gamma }_{3}}:\frac{{\partial {{{v}}_{n}}}}{{\partial s}} + \frac{{\partial {{{v}}_{s}}}}{{\partial n}} = 0,\quad p = 2\frac{{\partial {{{v}}_{n}}}}{{\partial n}} \\ \end{gathered} $

Условия на границе Г3 записаны в локальной декартовой системе координат (n,s), нормально связанной со свободной поверхностью. Движение свободной границы осуществляется в соответствии с кинематическим условием, которое в лагранжевом представлении записывается в виде

$\frac{{dr}}{{dt}} = u,\quad \frac{{dz}}{{dt}} = {v}$

В начальный момент времени канал частично заполнен жидкостью и свободная поверхность расположена на расстоянии 2(1 – α) от входной границы Г2, достаточном для исключения ее влияния на характер течения в окрестности входа при рассматриваемых параметрах.

2. МЕТОД РАСЧЕТА

Поставленная задача решается численно. Уравнения движения (1.1) дискретизируются на разнесенной сетке с использованием метода контрольного объема, а уравнение неразрывности (2) удовлетворяется с помощью корректирующей процедуры SIMPLE [14]. Расчет характеристик на свободной поверхности выполняется в соответствии с методом инвариантов [15]. Движение линии трехфазного контакта реализовано в предположении равенства динамического краевого угла π [16].

В таблице приведены величины ошибки в выполнении закона сохранения массы ε и характеристики χi, χo формы свободной поверхности, вычисленные на последовательности сеток с шагом h и демонстрирующие аппроксимационную сходимость численной методики. Ошибка ε рассчитывается по следующей формуле:

$\varepsilon = \frac{{\left( {{{\Omega }_{t}} - {{\Omega }_{0}}} \right) - Q\,\,t}}{{Q\,\,t}}100\% $
где Ωt и Ω0 – объем жидкости в канале в моменты времени t и 0 соответственно, Q – объемный расход жидкости через входное сечение.

2. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

Течения, реализующиеся в технологии формования изделий методом литья под давлением, характеризуются умеренными скоростями и высокими вязкостями текучих сред, поэтому ограничимся случаем малости числа Рейнольдса.

Во всех расчетах задается Re = 0.1. Заполнение круглой трубы с центральным телом характеризуется установлением формы свободной поверхности и ее движением в аксиальном направлении со среднерасходной скоростью (рис. 2, а). В качестве характеристик формы свободной границы используются величины χi и χo (рис. 1). Графики изменения геометрических параметров χi (сплошная линия) и χo (пунктир) с течением времени представлены на рис. 2б. Начиная с некоторого момента времени, форма свободной поверхности устанавливается и ее характеристики χi и χo приобретают определенные постоянные значения. Время установления формы поверхности растет по мере увеличения ширины зазора.

Рис. 2.

Эволюция (а) свободной поверхности и (б) характеристик χi, χo с течением времени (W = 10, α = 0.5).

Графики зависимости значений характеристик χi и χo от определяющих параметров задачи в момент времени, когда форма свободной границы установилась, представлены на рис. 3. С уменьшением ширины зазора (с ростом α) значения χi, χo уменьшаются. Аналогичная тенденция в их поведении наблюдается с увеличением параметра W. Во всех расчетах координата линии трехфазного контакта на внутренней стенке больше, чем на внешней, а наибольшее расхождение их значений наблюдается при α = 0.1. При α = 0.9, т.е. в случае малой ширины зазора, влияние W на форму поверхности практически отсутствует.

Рис. 3.

Влияние параметров задачи на значения характеристик установившейся формы свободной границы: а – W = 1, 10, 100; б – α = 0.1, 0.5, 0.9. Здесь χi – сплошная линия; χo – пунктир.

Распределение характеристик течения представлено на рис. 4 и 5 для двух значений величины ширины зазора 1 – α в момент времени, когда форма свободной поверхности уже установилась. Линии тока построены в системе координат, движущейся вверх со среднерасходной скоростью. Характер распределения характеристик позволяет разделить поток на две зоны: двумерного течения в окрестности свободной границы и одномерного в остальной части канала, в которой профиль скорости соответствует установившемуся течению в коаксиальном зазоре. Распределение линий тока в области двумерного течения для случая малой ширины зазора (α = 0.9) близко к симметричному относительно середины зазора В литературе для описания кинематики таких потоков используется термин “фонтанирующее течение” [9]. В случае большой ширины зазора (α = 0.1) симметрия распределения линий тока нарушается.

Рис. 4.

Поля компонент скорости u и ${v}$, (а, б), давления (в), линии тока (г) при W = 0.1, α = 0.9, t = 0.5.

Рис. 5.

Поля компонент скорости u и ${v}$, (а, б), давления (в), линии тока (г) при W = 0.1, α = 0.1, t = 4.5.

Таблица 1.

Контролируемые величины (t = 2.5, Re = 0.1, W = 10, α = 0.5)

  h = 1/20 h = 1/40 h = 1/80 h = 1/160
ε 0.273 0.178 0.085 0.017
χi 0.231 0.214 0.207 0.203
χo 0.229 0.221 0.218 0.216

Считаем, что зона двумерного течения начинается с сечения z = const, в котором отклонение максимального значения аксиальной компоненты вектора скорости от соответствующего значения для установившегося течения в кольцевом зазоре достигает 1% величины последнего. Тогда длину области двумерного течения l2D определяем как расстояние от вершины фронта свободной поверхности до этого сечения. Зависимости безразмерной длины зоны двумерного течения l2D от параметров α и W после установления формы показаны на рис. 6. Графики зависимости l2D(α) достаточно хорошо аппроксимируются линейной зависимостью.

Рис. 6.

Влияние параметров задачи на размеры зоны двумерного течения: а – W = 1, 10, 100; б – α = 0.1, 0.5, 0.9.

Дополнительную информацию о кинематике течения дают топограммы распределения порций жидкости, поступающих в канал с равными интервалами времени, которые представлены на рис. 7 и 8. Методика построения топограмм подробно описана в [17]. Номерами обозначены порции, поступающие в канал с интервалом времени 1 – α. Нулевая порция соответствует жидкости, находившейся в канале в начальный момент времени. В области двумерного течения в обоих случаях границы порций приобретают характерные грибовидные формы.

Рис. 7.

Топограммы массораспределения при α = 0.1: a, б, в – W = 1, 50, 100.

Рис. 8.

Топограммы массораспределения при W = 20: a, б, в – α = 0.9, 0.5, 0.1.

Влияние параметров W и α на массораспределение демонстрируется на рис. 7 и 8. Бо́льшая доля порций в области двумерного течения перераспределяется к внешней стенки канала независимо от величины определяющих параметров. В области одномерного течения порции деформируются в соответствии с кинематикой полностью развитого течения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулирована математическая постановка задачи о заполнении вязкой жидкостью цилиндрического канала с центральным телом в поле силы тяжести. Продемонстрированы установление с течением времени формы свободной границы и разделение потока на зоны одномерного и двумерного течения. Получены критериальные зависимости характеристик формы границы χi, χo и длины зоны двумерного течения l2D от параметра, определяющего отношение гравитационных и вязких сил в потоке, и ширины зазора. Построены топограммы массораспределения порций жидкости в заполненном жидкостью пространстве.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ (проект № 18-08-00412).

Список литературы

  1. Глушков И.А., Милехин Ю.М., Меркулов В.М., Банзула Ю.Б. Моделирование формования изделий из свободно-литьевых композиций. М.: Архитектура-С, 2007. 361 с.

  2. Mitsoulis E. Fountain flow revisited: The effect of various fluid mechanics parameters // AIChE J. 2010. V. 56. № 5. P. 1147–1162.

  3. Borzenko E.I., Frolov O.Y., Shrager G.R. Kinematics of the fountain flow during pipe filling with a power-law fluid // AIChE J. 2019. V. 65. № 2. P. 850–858.

  4. Borzenko E.I., Ryltseva K.E., Shrager G.R. Free-surface flow of a viscoplastic fluid during the filling of a planar channel // J. Non-Newton. Fluid Mech. 2018. V. 254. P. 12–22.

  5. Coyle D.J., Blake J.W., Macosko C.W. The kinematics of fountain flow in mold-filling // AIChE J. 1987. V. 33. № 7. P. 1168–1177.

  6. Behrens R.A. et al. Transient free-surface flows: Motion of a fluid advancing in a tube // AIChE J. 1987. V. 33. № 7. P. 1178–1186.

  7. Борзенко Е.И., Шрагер Г.Р. Влияние вязкой диссипации на температуру, вязкость и характеристики течения при заполнении канала // Теплофизика и аэромеханика. 2014. Т. 21. № 2. С. 221–231.

  8. Борзенко Е.И., Фролов О.Ю., Шрагер Г.Р. Фонтанирующее течение вязкой жидкости при заполнении канала с учетом диссипативного разогрева // Изв. РАН. МЖГ. 2014. № 1. С. 45–55.

  9. Rose W. Fluid–Fluid Interfaces in Steady Motion // Nature. 1961. V. 191. № 4785. P. 242–243.

  10. Байокки К., Пухначев В.В. Задачи с односторонними ограничениями для уравнений Навье–Стокса и проблема динамического краевого угла // Прикладная механика и техническая физика. 1990. № 2. С. 27–40.

  11. Чехонин К.А., Сухинин П.А. Движение нелинейно вязкопластичной жидкости со свободной поверхностью при заполнении осесимметричного объема // Математическое моделирование. 2001. Т. 13. № 3. С. 89–102.

  12. Шрагер Г.Р., Козлобродов А.Н., Якутенок В.А. Моделирование гидродинамических процессов в технологии переработки полимерных материалов. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1999. 229 с.

  13. Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1955. 521 с.

  14. Patankar S. V. Numerical heat transfer and fluid flow. Hemisphere Pub. Corp., 1980. 197 p.

  15. Васенин И.М., Сидонский О.Б., Шрагер Г.Р. Численное решение задачи о движении вязкой жидкости со свободной поверхностью // Доклады АН СССР. 1974. Т. 217. № 2. С. 295–298.

  16. Борзенко Е.И., Шрагер Г.Р. Влияние вида граничных условий на линии трехфазного контакта на характеристики течения при заполнении канала // Прикладная механика и техническая физика. 2015. Т. 56. № 2. С. 3–14.

  17. Борзенко Е.И., Фролов О.Ю., Шрагер Г.Р. Влияние вязкой диссипации на деформацию и ориентацию элементов жидкости при заполнении трубы // Инж.-физ. журн. 2016. Т. 89. № 4. С. 910–919.

Дополнительные материалы отсутствуют.