Известия РАН. Механика жидкости и газа, 2020, № 6, стр. 85-97

2.1. Регуляризация, предельная крутизна и затухание волн

Для воды [12] и водного раствора соли предельная крутизна регулярной волны достигает величины $\Gamma = H{\text{/}}\lambda $ ∼ 0.22. Профиль этих волн периодичен во времени и симметричен относительно вертикали, проведенной через пучность волны. Для разрушающихся же волн Фарадея характерен срыв капель со свободной поверхности при полном нарушении периодичности и симметрии профиля – рис. 2а.

Однако размещение слоя плавающих сфер поверх соленой воды кардинально меняет волновую картину – наблюдается регуляризация разрушающихся волн (рис. 2б). Крутизна показанной на последовательности видеокадров волны составляет $\Gamma $ ∼ 0.34, что значительно превышает соответствующее значение для солевого раствора ($\Gamma $ ∼ 0.22). Волновому профилю присущи периодичность и симметрия; какие-либо признаки разрушения отсутствуют.

Дисперсная система на рис. 2б соответствует двухслойной жидкости, колеблющейся в баротропном режиме [3, 4]. Мелкомасштабных возмущений свободной поверхности, приводящих к образованию коллапсирующей полости и выбросу струи из растущих гребней, не наблюдается (рис. 2а и 2б). Как показано в [3, 4], влияние верхнего слоя вязкой жидкости на процесс регуляризации разрушающихся стоячих гравитационных волн Фарадея на свободной поверхности двухслойной системы связано с образованием эмульсионного слоя, который и обеспечивает дополнительную диссипацию энергии волн. В случае плавающих частиц имеем верхний слой концентрированной суспензии над слоем свободной от частиц дисперсионной фазы (соленая вода); для этой системы дополнительная диссипация определяется поведением частиц в суспензии.

Рассмотрим влияние слоя плавающих частиц на резонансные зависимости высоты H стационарной волны от частоты ${\Omega }$ вертикальных колебаний сосуда. Именно эти зависимости $H({\Omega })$ использовалась в [1–4] в качестве интегральных волновых характеристик регулярных волн Фарадея. Из рис. 3а следует, что по сравнению с однородными жидкостями (1, 2) высота регулярных волн растет с увеличением толщины слоя суспензии – например, для сфер при ${{h}_{p}}$ = 3.6 см высота волны оценивается значением $H$ ∼ 19 см. И это верно для обоих типов частиц – сфер и гранул (3–10). Отметим отсутствие сдвига $H({\Omega })$ в низкочастотную область с увеличением толщины слоя частиц, а именно такой сдвиг наблюдался в экспериментах [3, 4] с верхним слоем вязкой жидкости в двухслойной системе вследствие увеличения эквивалентной вязкости системы и соответствующего уменьшения собственной частоты. Кроме того, рассчитанная зависимость (11) хорошо описывает все данные эксперимента (1–10).

Резонансные зависимости $H({\Omega })$ позволяют оценить предельную крутизну $\Gamma $ регулярных волн в зависимости от толщины слоя частиц – рис. 3б. Данные (1) получены в экспериментах с однородной жидкостью (вода/солевой раствор), для которой $\Gamma $ ∼ 0.22. В случае плавающих частиц (2) крутизна волны монотонно растет с увеличением толщины слоя и достигает значения $\Gamma $ ∼ 0.38 при $h* = {{h}_{p}}{\text{/}}h$ = 0.24. Для сравнения на рис. 3б приведена полученная в [3, 4] экспериментальная зависимость (3) крутизны регулярной баротропной волны от толщины h₁ верхнего слоя вязкой жидкости (двухслойная жидкость: растительное масло–вода). Видно, что согласно (3) предельная крутизна ограничена значением $\Gamma $ ∼ 0.3. Таким образом, использование слоя плавающих частиц представляет эффективный способ увеличения крутизны регулярной гравитационной волны.

Согласно результатам [1–4] диссипация волновой энергии служит определяющим фактором для регуляризации разрушающихся волн Фарадея. Лабораторные эксперименты [7] по демпфированию поверхностных волн плавающими сферическими частицами показали, что волновые движения полностью прекращались за конечное время. Для проверки выводов [7] был проведен детальный анализ процесса затухания второй моды, результаты которого и обсуждаются ниже.

На рис. 4а в полулогарифмическом масштабе приведены данные по затуханию гравитационных волн на свободной поверхности однородной (1) и двухслойной (2–4) жидкостей. Данные эксперимента аппроксимируются линейными функциями (прямыми), что свидетельствует об экспоненциальном затухании с декрементами $\delta $ = 0.06 для воды (солевого раствора) и $\delta $ = 0.11, 0.23, 0.31 для двухслойной системы растительное масло–вода. Это означает, что амплитудные кривые на рис. 4а описываются функциями вида $y = H{\text{/}}{{H}_{0}} = \exp ( - \,\delta z)$, являющимися решением следующего линейного уравнения

где $z = t{\text{/}}T$; T – период волны. Экспоненциальное затухание означает, что $y \to $ 0 при $z \to \infty $. Этот тип затухания (временного или пространственного) положен в основу практически всех теоретических волновых моделей с диссипацией.

Характер затухания изменяется в случае слоя плавающих сфер – рис. 4б. Экспоненциальная функция (3) не описывает весь процесс демпфирования волны при наличии слоя сфер (2). Расхождение между экспериментальными данными (2) и аппроксимирующей функцией (3) начинается при $H{\text{/}}{{H}_{0}} \leqslant $ 0.25–0.3. Наилучшая аппроксимация (4) экспериментальных данных (2) обеспечивается степенной функцией вида

что совпадает с результатами исследования [7]. Таким образом, полное затухание волны в случае слоя плавающих сфер достигается за конечное число колебаний ${{\tau }_{0}}$ = 15.

Следует отметить, что при неэкспоненциальном затухании дифференциальное уравнение для безразмерной высоты волны $y$ принимает вид [6, 7]

где $\alpha = n{\text{/}}{{\tau }_{0}}$, $m = n - 1$.

Обобщенные данные по затуханию стоячих поверхностных гравитационных волн в присутствии слоя плавающих сфер и гранул показаны на рис. 5. Видно, что экспериментальные данные для всех используемых толщин хорошо аппроксимируются степенной функцией вида H/H₀ = = ${{(1 - z{\text{/}}{{\tau }_{0}})}^{n}}$, параметры которой приведены в табл. 2.

Поскольку экспоненциальная функция хорошо аппроксимирует данные затухания до уровня $H{\text{/}}{{H}_{0}}$ ∼ 0.3, соответствующие значения декремента приведены в последней строке табл. 2. В экспериментах процесс затухания волн анализировался при начальной высоте ${{H}_{0}} \leqslant $ 8–5 см; следовательно, неэкспоненциальное демпфирование проявляется при значениях $H \leqslant $ 2–1 см. С другой стороны, экспериментальные оценки декремента $\delta $ не превышают величины 0.25 (см. табл. 2), что значительно ниже декремента $\delta $ ∼ 0.3, полученного при использовании вязкой жидкости в качестве верхнего слоя [3, 4].

2.2. Динамика слоя плавающих частиц

Рассмотрим динамику твердой фазы суспензии на примере сферических частиц, что упрощает проводимые количественные оценки.

Для исследуемых баротропных волн на свободной поверхности двухслойной дисперсной системы становятся существенными нелинейные эффекты, проявляющиеся в асимметрии волновых профилей и колебаниях узлов – рис. 6. Толщина слоя суспензии изменяется вдоль профиля и зависит от времени и горизонтальной координаты – ${{h}_{p}} = {{h}_{p}}(x,t)$. Система координат (x, y) показана на кадре I. Отметим, что основные изменения в слое частиц связаны с пучностью волны.

Воспользуемся материалами видеосъемки и проанализируем поведение частиц–маркеров в течение периода волны T = 0.586 с – рис. 7. На первом кадре (t = 0 с) под гребнем волны максимального развития толщина слоя частиц существенно превышает начальное значение ${{h}_{{p0}}}$ = 1.9 см. При t = 0.088 с свободная поверхность движется вниз, и можно выделить три маркера (1–3), расстояние между которыми с течением времени уменьшается. Визуально контакт маркеров наблюдается в момент t = 0.288 с – ложбина волны, в которой толщина слоя суспензии минимальная. Далее свободная поверхность смещается вверх, толщина слоя и расстояние между маркерами увеличиваются. На последнем кадре (t = 0.576 с) наблюдаем гребень волны с большой толщиной слоя. Отметим, что ни для одной фазы волны невозможно выделить послойное или линейное расположение частиц суспензии (см. рис. 1а). Частицы суспензии в рассматриваемом режиме колебаний движутся случайным образом, причем аудиально фиксируются их соударения между собой и со стенками сосуда.

Временная зависимость толщины слоя суспензии под пучностью волны показана на рис. 8а. Видно, что по данным эксперимента (1) под гребнем волны толщина в четыре раза превосходит первоначальную – ${{h}_{p}}{\text{/}}{{h}_{{p0}}}$ ∼ 4, хотя временной интервал, на котором ${{h}_{p}}$ ∼ ${{h}_{{p0}}}$, достаточно велик. Кривая (2) рассчитана с использованием переменных Лагранжа, описывающих нелинейные поверхностные волны Фарадея [3].

Толщина слоя суспензии в значительной степени определяется высотой стоячей гравитационной волны. На рис. 8б сравниваются значения ${{h}_{p}}$ под гребнем (I) и узлом (II) волны при различной ее крутизне $\Gamma $. Измерения проводились в точках x = 12.5 и 25 см в моменты максимального развития волны. Толщина слоя суспензии под узлом практически не отличается от начальной ${{h}_{p}}$ ∼ ${{h}_{{p0}}}$ и не зависит от высоты волны. При $\Gamma $ ∼ 0.35 имеем четырехкратное увеличение безразмерной толщины ${{h}_{p}}{\text{/}}{{h}_{{p0}}}$ слоя в области гребня стоячей волны. При уменьшении крутизны различие в значениях ${{h}_{p}}$ и ${{h}_{{p0}}}$ снижается, и при $\Gamma < $ 0.05 толщина ${{h}_{p}}(t)$ слоя суспензии в процессе колебаний дисперсной системы не отличается от первоначальной величины ${{h}_{{p0}}}$ по всей длине сосуда. Указанное значение крутизны определяет гравитационные волны, высота которых менее H < 2.5 см. Именно в этом диапазоне H проявляется неэкспоненциальное затухание волн – рис. 5а, данные 2.

Как следует из рис. 9, этот же диапазон H < 2.5 см определяет баротропный режим колебаний дисперсной системы, при котором частицы суспензии располагаются по линиям, параллельным свободной поверхности – послойное (линейное) расположение частиц. Представленная на рисунке серия кадров получена при видеосъемке процесса затухания волны, в стационарном режиме колебаний показанной на рис. 7.

На кадрах I–IV рис. 9 показаны пучности стоячей волны в центральной части сосуда. При уменьшении высоты волны изменяется расположение частиц суспензии. При H = 9.2 см (I) упаковка частиц довольно рыхлая, расстояние между соседними частицами составляет величину порядка их диаметра. Снижение высоты волны до H = 2.2 см (III) приводит к линейному расположению частиц при небольшом различии значений h_p в гребне и ложбине. Эта разница полностью исчезает в случае (IV), для которого H = 1.4 см – линейное расположение частиц, их плотная упаковка.

Таким образом, можно отметить следующие структурные изменения суспензии сферических частиц, участвующих в баротропных колебаниях двухслойной системы.

При крутизне волны Γ > 0.05 происходит утолщение слоя суспензии в гребне. Это сопровождается уменьшением плотности случайной упаковки частиц, что создает условия для их контактного взаимодействия друг с другом и стенками сосуда при переходе свободной поверхности от гребня к ложбине. Плотность упаковки частиц в ложбине возрастает и затем снова падает при дальнейшем переходе к гребню. Отметим, что плотность упаковки частиц суспензии оценивается по толщине слоя суспензии. Кроме того, значительных изменений толщины слоя частиц в узловых зонах волны не наблюдается.

При крутизне волны Γ < 0.05 какие-либо структурные изменения слоя суспензии сферических частиц отсутствуют. В процессе баротропных колебаний дисперсной системы толщина слоя остается неизменной; упаковка частиц – плотная, близкая к начальной (гексагональной).

Оценим скорость сдвига в поле стоячей волны. В первом приближении потенциал скорости $\Phi $ определяется как

где H, $\omega $, k, h – высота волны, частота волны, волновое число и глубина жидкости соответственно.

Тогда скорость сдвига

зависит как от пространственных координат, так и от времени.

На рис. 10 приведены поле скоростей частиц жидкости и изолинии скорости сдвига при прохождении свободной поверхности горизонтального положения, что отвечает максимальным значениям компонент скорости (75 см/с). Рассматриваемая фаза волны соответствует промежуточному положению свободной поверхности при переходе от ложбины к гребню волны и отвечает моменту времени t = 0.416 с на рис. 7. Как следует из рис. 10, изолиния (5) скорости сдвига ${{\dot {\gamma }}_{0}}$ = 6.4 с^–1 проходит вблизи узла (x > 12.5 см) при y > –2 см, причем касательные к ней векторы скорости частиц жидкости направлены к вертикали, проходящей через центр сосуда и определяющей пучность волны. Справа от вертикали имеем симметричные поле скоростей и изолинии скорости сдвига. Можно предположить, что указанная картина сдвигового течения обусловливает снос частиц суспензии в область под растущим гребнем – кадр t = 0.496 с на рис. 7.

Проведем сопоставление сделанных выводов с результатами [10, 11] по исследованию сдвигового течения высококонцентрированной суспензии в зазоре между коаксиальными цилиндрами.

В [10] введен безразмерный параметр – число Бэгнолда ${\text{Ba}} = \rho \nu _{f}^{{ - 1}}{{\Lambda }^{{1/2}}}{{d}^{2}}\dot {\gamma }$, определяющий соотношение между силой инерции и вязкими напряжениями. Здесь $\rho = {{\rho }_{p}}{\text{/}}{{\rho }_{f}}$ – относительная плотность твердой фазы; d – диаметр частицы; $\dot {\gamma }$, ${{\nu }_{f}}$ – скорость сдвига и кинематическая вязкость дисперсионной фазы; Λ – отношение диаметра частицы к среднему расстоянию между соседними частицами (линейная концентрация), $\Lambda = {{[{{({{c}_{{{v}\max }}}{\text{/}}{{c}_{{v}}})}^{{1/3}}} - 1]}^{{ - 1}}}$ при текущей ${{c}_{{v}}}$ и предельной ${{c}_{{{v}\max }}}$ значениях объемной концентрации твердой фазы.

Согласно [10, 11] в случае стационарного сдвига инерционному режиму (контактное взаимодействие частиц) соответствуют значения числа Бэгнолда ${\text{Ba > 450}}$, тогда как для макровязкого режима (кулоновское трение) – ${\text{Ba < 40}}$.

При оценке числа Бэгнолда используем максимальное значение ${{\dot {\gamma }}_{0}}$ = 6.4 с^–1 при H = 13.5 см – рис. 10. При расчете линейной концентрации примем ${{c}_{{v}}}$ = 60% и ${{c}_{{{v}\max }}}$ = 74%. Тогда соответствующее число Бэгнолда Ba ∼ 500 подходит инерционному режиму течения суспензии. Эта оценка локальная и верна для приузловой области суспензии. В общем случае следует учитывать пространственную неоднородность и нестационарность поля скорости сдвига.

Рассмотрим волну высотой H = 2.2 см (кадр III на рис. 9), при которой происходит переход к колебаниям слоя суспензии постоянной толщины по всей длине сосуда. В этом случае амплитуда горизонтальной/вертикальной скорости равна 12 см/с, скорость сдвига вблизи узла ($x > $ 12.5 см) при $y > $ –2 см составляет величину ${{\dot {\gamma }}_{0}}$ ∼ 1 с^–1, и число Бэгнолда Ba ∼ 80. По классификации [10, 11] полученное значение Ba определяет промежуточный (между инерционным и макровязким) режим течения суспензии.

Сложность описания движения частиц высококонцентрированной суспензии в стоячей баротропной волне связана с нестационарностью и пространственной неоднородностью полей скорости сдвига и объемной концентрации твердой фазы. Это, в свою очередь, не позволяет на данном этапе исследований выделить какой-либо один диссипативный механизм, ответственный за регуляризацию разрушающейся волны. По сравнению с однородной вязкой жидкостью дополнительная диссипация волновой энергии обусловлена протеканием жидкости в узких зазорах между соседними частицами или частицей и стенкой сосуда [8, 9]; эти потери характерны для всех режимов баротропных колебаний дисперсной системы – локально в приузловых областях при большой крутизне волны или вдоль всей поверхности волны малой высоты. Контактное или ударное взаимодействие частиц между собой и стенкой – следующий диссипативный механизм, характерный для волн любой высоты (подтверждается аудиозаписью шумов при затухании волн). Не исключен также эффект дилатансии [9], при котором смещение частиц приводит к их уплотнению, усилению взаимодействия и увеличению эффективной вязкости.