Известия РАН. Механика жидкости и газа, 2022, № 2, стр. 77-86
ВЕРТИКАЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС ИМПУЛЬСА ИНЕРЦИОННО-ГРАВИТАЦИОННЫМИ ВНУТРЕННИМИ ВОЛНАМИ НА ТЕЧЕНИИ ПРИ УЧЕТЕ ТУРБУЛЕНТНОЙ ВЯЗКОСТИ И ДИФФУЗИИ
А. А. Слепышев *
ФИЦ “Морской гидрофизический институт” РАН
Севастополь, Россия
* E-mail: slep55@mail.ru
Поступила в редакцию 06.09.2021
После доработки 27.09.2021
Принята к публикации 09.10.2021
- EDN: OYOVJK
- DOI: 10.31857/S0568528122020098
Аннотация
В приближении Буссинеска рассматриваются свободные внутренние волны при учете вращения Земли на двумерном вертикально-неоднородном стратифицированном течении при учете турбулентной вязкости и диффузии. Применяется неявный метод Адамса третьего порядка точности для численного решения краевой задачи для амплитуды вертикальной скорости внутренних волн. Получено, что собственная функция и частота волны – комплексные. Учет турбулентной вязкости и диффузии приводит к тому, что мнимая часть частоты волны отрицательная, т.е. волна затухает. Вертикальные волновые потоки импульса отличны от нуля и могут быть сравнимы или превышать соответствующие турбулентные потоки.
Вертикальный перенос в морской среде обычно связывают с процессами обмена, в которых ключевую роль играет мелкомасштабная турбулентность. Механизмы генерации турбулентности самые разнообразные – ветровое перемешивание в приповерхностном слое, гидродинамическая неустойчивость течений и внутренних волн, обрушение внутренних волн, донное трение, продуцирующее генерацию турбулентности в придонном пограничном слое. Захват и фокусировка внутренних волн горизонтальными неоднородностями стратификации и течений также приводят к обрушению внутренних волн и генерации турбулентности [1]. Аналогичный эффект имеет место при захвате внутренних волн наклонным дном [2]. Возможна стохастизация волнового поля в геометрическом аттракторе внутренних волн, обусловленным геометрией дна и границ бассейна [2, 3]. Однако в стратифицированной морской среде мелкомасштабная турбулентность имеет перемежаемый характер и можно для описания обменных процессов использовать эффективный коэффициент турбулентного обмена.
Внутренние волны повсеместно присутствуют в океане, благодаря действию источников, их порождающих. Это воздействие атмосферных возмущений, взаимодействие течений и приливов с неоднородностями рельефа дна, генерация внутренних волн вихрями. Дисперсионные свойства внутренних волн на сдвиговых течениях исследовались в ряде работ при отсутствии турбулентной вязкости и диффузии и учета вращения Земли [4, 5]. В этом случае уравнение для амплитуды вертикальной скорости имеет действительные коэффициенты и в гидродинамически устойчивом течении при соблюдении критерия Майлса [6, 7] частота волны действительная для фиксированного волнового числа для каждой моды внутренних волн. Течение приводит к анизотропии волнового поля, особенно для коротких внутренних волн [5].
Внутренние волны при учете турбулентной вязкости и диффузии затухают [8–10]. Вертикальные волновые потоки импульса при этом отличны от нуля [11]. Указанные потоки определялись, когда уравнение для амплитуды вертикальной скорости решалось асимптотическим методом Люстерника–Вишика [12]. Решение и частота волны раскладывались в ряд по малому параметру, пропорциональному горизонтальной турбулентной вязкости. Получено, что мнимая поправка к частоте отрицательная [11], т.е. волна затухает. В настоящей работе это уравнение решается прямым численным методом по неявной схеме Адамса третьего порядка точности и находится комплексное значение частоты. В [13] показано, что в двумерном течении с вертикальным сдвигом скорости при учете вращения Земли вертикальный волновой поток импульса отличен от нуля и без учета турбулентной вязкости и диффузии. В этом случае уравнение для амплитуды вертикальной скорости имеет комплексные коэффициенты, собственная функция краевой задачи для внутренних волн – комплексная, и частота волны также комплексная. Сдвиг фаз между колебаниями вертикальной и горизонтальной скорости отличен от π/2, и вертикальный волновой поток импульса отличен от нуля. В настоящей работе исследуется влияние горизонтальной турбулентной вязкости и диффузии на этот эффект. Ввиду того, что коэффициенты горизонтального турбулентного обмена на 3–4 порядка превышают соответствующие коэффициенты вертикального турбулентного обмена, то последними пренебрегается.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматриваются свободные инерционно-гравитационные внутренние волны на двумерном стратифицированном течении с вертикальным сдвигом скорости в безграничном бассейне постоянной глубины. Коэффициенты горизонтальной турбулентной вязкости K и диффузии M предполагаются постоянными. Две компоненты скорости течения ${{U}_{0}}(z),\,\,{{V}_{0}}(z)$ зависят от вертикальной координаты. В линейном приближении решается краевая задача для амплитуды вертикальной скорости и находится дисперсионное соотношение. Вертикальные потоки импульса определяются во втором порядке по амплитуде волны. Горизонтальным изменением поля средней плотности и скорости течения на рассматриваемых масштабах пренебрегается.
Уравнения гидродинамики в приближении Буссинеска для волновых возмущений имеют вид
(1.1)
$\frac{{Du}}{{Dt}} - fv + w\frac{{d{{U}_{0}}}}{{dz}} = - \frac{1}{{{{\rho }_{0}}(0)}}\frac{{\partial P}}{{\partial x}} + K{{\Delta }_{h}}u$(1.2)
$\frac{{Dv}}{{Dt}} + fu + w\frac{{d{{V}_{0}}}}{{dz}} = - \frac{1}{{{{\rho }_{0}}(0)}}\frac{{\partial P}}{{\partial y}} + K{{\Delta }_{h}}v$(1.3)
$\frac{{Dw}}{{Dt}} = - \frac{1}{{{{\rho }_{0}}(0)}}\frac{{\partial P}}{{\partial z}} - \frac{{g\rho }}{{{{\rho }_{0}}(0)}} + K{{\Delta }_{h}}w$(1.5)
$\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + \frac{{\partial v}}{{\partial y}} + \frac{{\partial w}}{{\partial z}} = 0$Действие оператора $D{\text{/}}Dt$ раскрывается по формуле
Граничные условия на поверхности моря (z = 0) – условие “твердой крышки”, которое отфильтровывает внутренние волны от поверхностных волн [14] и отсутствие тангенциальных напряжений [9, 15]
(1.6)
$w(0) = 0,\quad K\frac{{\partial w}}{{\partial x}} = 0,\quad K\frac{{\partial w}}{{\partial y}} = 0,\quad z = 0$Граничные условия на дне – условие непротекания и отсутствие тангенциальных напряжений (условие “гладкого скольжения” [9])
2. ЛИНЕЙНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Решения линейного приближения ищутся в виде
(2.1)
$\begin{gathered} u_{1}^{{}} = {{u}_{{10}}}(z)A{{e}^{{i\theta }}} + {\text{c}}{\text{.c}}.,\quad v_{1}^{{}} = {{v}_{{10}}}(z)A{{e}^{{i\theta }}} + {\text{c}}{\text{.c}}.,\quad {{w}_{1}} = {{w}_{{10}}}(z)A{{e}^{{i\theta }}} + {\text{c}}{\text{.c}}. \\ {{P}_{1}} = {{P}_{{10}}}(z)A{{e}^{{i\theta }}} + {\text{c}}{\text{.c}}.,\quad {{\rho }_{1}} = {{\rho }_{{10}}}(z)A{{e}^{{i\theta }}} + {\text{c}}{\text{.c}}. \\ \end{gathered} $После подстановки (2.1) в систему (1.1)–(1.5) следует связь амплитудных функций ${{u}_{{10}}},\,\,{{v}_{{10}}},\,\,{{\rho }_{{10}}},\,\,{{P}_{{10}}}\,$ с ${{w}_{{10}}}$
(2.2)
${{u}_{{10}}} = \frac{i}{k}\frac{{d{{w}_{{10}}}}}{{dz}},\quad \Omega = \omega - k \cdot {{U}_{0}}$(2.3)
$\begin{gathered} \frac{{{{P}_{{10}}}}}{{{{\rho }_{0}}(0)}} = \frac{i}{k}\left[ {\frac{{(\Omega + i{{k}^{2}}K)}}{k}\frac{{d{{w}_{{10}}}}}{{dz}} + \frac{{d{{U}_{0}}}}{{dz}}{{w}_{{10}}} + \frac{f}{{\Omega + i{{k}^{2}}K}}\left( {i\frac{{d{{V}_{0}}}}{{dz}}{{w}_{{10}}} - \frac{f}{k}\frac{{d{{w}_{{10}}}}}{{dz}}} \right)} \right] \\ {{\rho }_{{10}}} = - \frac{i}{{(\Omega + i{{k}^{2}}M)}}{{w}_{{10}}}\frac{{d{{\rho }_{0}}}}{{dz}},\quad {{v}_{{10}}} = \frac{1}{{(\Omega + i{{k}^{2}}K)}}\left( {\frac{f}{k}\frac{{d{{w}_{{10}}}}}{{dz}} - i{{w}_{{10}}}\frac{{d{{V}_{0}}}}{{dz}}} \right) \\ \end{gathered} $Функция w10 удовлетворяет уравнению
(2.4)
$\frac{{{{d}^{2}}{{w}_{{10}}}}}{{d{{z}^{2}}}} + a(z)\frac{{d{{w}_{{10}}}}}{{dz}} + b(z) \cdot {{w}_{{10}}} = 0$где
где ${{N}^{2}} = - \frac{g}{{{{\rho }_{0}}(0)}}\frac{{d{{\rho }_{0}}}}{{dz}}$ – квадрат частоты Брента–Вяйсяля.
Граничные условия для w10
Граничные условия (1.6), (1.7) выполняются автоматически.
Краевая задача (2.4)–(2.6) решалась численно по неявной схеме Адамса третьего порядка точности без учета турбулентной вязкости и диффузии в работе [13]. Было получено, что собственная функция – решение этой краевой задачи – комплексная, частота волны – тоже комплексная величина. Мнимая часть частоты волны мала и может быть как положительна, так и отрицательна, т.е. в зависимости от частоты волны и номера моды возможно как слабое усиление, так и слабое затухание. Ниже в ходе численных расчетов показано, что при учете турбулентной вязкости и диффузии волна всегда затухает, т.е. мнимая часть частоты волны отрицательна.
3. ВОЛНОВЫЕ ПОТОКИ ИМПУЛЬСА
Вертикальные волновые потоки импульса $\overline {uw} $, $\overline {vw} $ находим, учитывая (2.1), (2.2), (2.3)
(3.1)
$\overline {uw} = \frac{i}{k}\left| {A_{1}^{2}} \right|\left( {w_{{10}}^{*}\frac{{dw_{{10}}^{{}}}}{{dz}} - w_{{10}}^{{}}\frac{{dw_{{10}}^{*}}}{{dz}}} \right)$(3.2)
$\overline {vw} = \frac{{w_{{10}}^{*}{\text{|}}A_{1}^{2}{\text{|}}}}{{(\Omega + i{{k}^{2}}K)}}\left( {\frac{f}{k}\frac{{d{{w}_{{10}}}}}{{dz}} - i{{w}_{{10}}}\frac{{d{{V}_{0}}}}{{dz}}} \right) + {\text{c}}{\text{.c}}{\text{.}}$Вертикальный волновой поток импульса $\overline {vw} $ у инерционно-гравитационных внутренних волн отличен от нуля как при отсутствии течения, так и при отсутствии турбулентной вязкости и диффузии. Поток импульса $\overline {uw} $ не равен 0 при учете турбулентной вязкости и диффузии, если турбулентная вязкость и диффузия не учитываются, то только при наличии среднего течения, у которого поперечная к направлению распространения волны компонента скорости ${{V}_{0}}$ зависит от вертикальной координаты. При отсутствии вращения Земли при f = 0 волновые потоки импульса ненулевые только при учете турбулентной вязкости и диффузии.
4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
Вертикальные волновые потоки импульса рассчитаем для 15-минутных внутренних волн второй моды, наблюдавшихся в натурном эксперименте на северо-западном шельфе Черного моря в третьем этапе 45 рейса НИС “Михаил Ломоносов” [16, 13 ]. Максимальная амплитуда этих волн составила 0.5 м. Характерное значение коэффициента горизонтального обмена на рассматриваемых масштабах оценено как K = 1 м2/с [17]. Вертикальные профили частоты Брента–Вяйсяля и компонент скорости течения показаны на рис. 1.
Краевая задача (2.4)–(2.6) по определению w10 решается численно по неявной схеме Адамса третьего порядка точности при $M = 0.5 \cdot K$. Волновое число и мнимая часть частоты при фиксированной действительной части частоты находились методом пристрелки, из необходимости выполнения граничных условий (2.5, 2.6). Длина волны у 15-минутных внутренних волн второй моды равна 195 м. Профиль модуля собственной функции показан на рис. 2. Зависимость действительной части частоты ${{\omega }_{0}} = \operatorname{Re} (\omega )$ от волнового числа для первых двух мод представлена на рис. 3 как при учете турбулентной вязкости и диффузии, так и без их учета. Сплошная кривая (1) соответствует первой моде при учете турбулентной вязкости и диффузии, пунктирная кривая (2) – соответствует случаю неучета турбулентной вязкости и диффузии для первой моды. Штриховая кривая (3) на рис. 3 соответствует зависимости действительной части частоты волны от волнового числа для второй моды при учете турбулентной вязкости и диффузии, штрихпунктирная кривая (4) соответствует случаю неучета турбулентной вязкости и диффузии. Из рис. 3 следует, что турбулентная вязкость и диффузия очень слабо влияют на зависимость действительной части частоты волны от волнового числа. Незначительные отклонения заметны лишь для больших волновых чисел при $k > 0.05\,$ рад/м для первой моды и для $k > 0.06\,$ рад/м у второй моды.
Зависимость мнимой части частоты $\delta \omega = \operatorname{Im} (\omega )$ от действительной части частоты для первых двух мод представлена на рис. 4. Далее действительную часть частоты ω0 будем называть просто частотой.
Из рис. 4 следует, что мнимая часть частоты всегда отрицательная и волна затухает, декремент $\delta \omega $ у второй моды по модулю больше, чем у первой моды. На рис. 5 показаны аналогичные зависимости при отсутствии турбулентной вязкости и диффузии. Мнимая часть частоты у первой моды при ${{\omega }_{0}} < 0.022$ рад/с отрицательная, а при ${{\omega }_{0}} > 0.022$ рад/с – положительная. У второй моды мнимая часть отрицательная. Таким образом, учет турбулентной вязкости и диффузии приводит к тому, что мнимая часть всегда отрицательная (рис. 4). Характер зависимости мнимой части частоты от частоты волны существенно разный при учете и неучете турбулентной вязкости и диффузии (рис. 4, 5). При учете турбулентной вязкости и диффузии декремент затухания монотонно по модулю растет с ростом частоты и достигает величин порядка 10–3 рад/с, в то время как без учета турбулентной вязкости и диффузии (рис. 5) декремент на два–три порядка меньше. Без учета турбулентной вязкости и диффузии модуль мнимой части частоты убывает при ${{\omega }_{0}} > 0.001$ рад/с для второй моды. У первой моды при ${{\omega }_{0}} > 0.001$ рад/с декремент с ростом частоты по модулю также убывает, пока он остается отрицательным (рис. 5).
Нормирующий множитель ${{A}_{1}}$ находится по известной максимальной амплитуде вертикальных смещений [13, 16].
Вертикальные профили волнового $\overline {uw} $ (3.1) и турбулентного $\overline {u_{{}}^{/}w_{{}}^{/}} $ потоков импульса показаны на рис. 6. Турбулентный поток импульса определяется по формуле $\overline {u_{{}}^{/}w_{{}}^{/}} = - {{K}_{z}} \cdot d{{U}_{0}}{\text{/}}dz$, коэффициент вертикального турбулентного обмена для рассматриваемого случая сильной стратификации оценивается по формуле ${{K}_{z}} \cong 0.93 \times {{10}^{{ - 4}}}N_{c}^{{ - 1}}$ м2/c, ${{N}_{c}}$ соответствует частоте Брента–Вяйсяля в цикл/ч [18, 19]. Волновой поток импульса $\overline {uw} $ определяется для 15-минутных внутренних волн первой (1) и второй (2) мод с максимальной амплитудой 0.5 м. Волновой поток импульса второй моды заметно уступает потоку первой моды и турбулентному потоку. У первой моды нет подавляющего преимущества волнового потока над турбулентным, только в интервале глубин 15–25 м волновой поток по модулю превосходит турбулентный.
Вертикальные профили волнового $\overline {vw} $ (3.2) и турбулентного $\overline {v_{{}}^{/}w_{{}}^{/}} $ потоков импульса показаны на рис. 7. Турбулентный поток импульса определяется по формуле $\overline {v_{{}}^{/}w_{{}}^{/}} = - {{K}_{z}} \cdot d{{V}_{0}}{\text{/}}dz$. Волновой поток импульса $\overline {vw} $ определяется для 15-минутных внутренних волн первой (1) и второй (2) моды с максимальной амплитудой 0.5 м. Нельзя сказать, что волновой поток импульса второй моды на рис. 7 всюду уступает турбулентному, скорее всего глубже 30 м они сопоставимы по модулю. Глубже приповерхностного 2-метрового слоя вертикальный волновой поток импульса у первой моды по абсолютной величине доминирует над турбулентным и над потоком второй моды.
Сопоставим волновые потоки импульса $\overline {uw} $, $\overline {vw} $ для второй моды. На рис. 8 представлены вертикальные профили потоков импульса $\overline {uw} $, $\overline {vw} $ для второй моды 15-минутных внутренних волн. Глубже 40 м поток импульса $\overline {vw} $ доминирует по модулю над $\overline {uw} $.
Сравним вертикальные волновые потоки диффузии и без их учета. На рис. 9 представлены профили вертикального потока импульса $\overline {uw} $ при учете турбулентной вязкости и диффузии (1) и без их учета (2). При учете турбулентной вязкости и диффузии поток заметно больше в верхнем 40-метровом слое.
На рис. 10 представлены профили вертикального потока импульса $\overline {vw} $ при учете турбулентной вязкости и диффузии (1) и без их учета (2). При учете турбулентной вязкости и диффузии поток заметно больше в интервале глубин 40–60 м.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Инерционно-гравитационные внутренние волны в двумерном стратифицированном течении при учете турбулентной вязкости и диффузии имеют комплексную собственную функцию и частоту. Мнимая поправка к частоте отрицательная, т.е. волна затухает. Декремент затухания у второй моды по абсолютной величине больше, чем у первой для волны фиксированного периода.
На зависимость действительной части частоты от волнового числа турбулентная вязкость и диффузия практически влияния не оказывают. На зависимость мнимой части частоты волны от частоты волны турбулентная вязкость и диффузия оказывают существенное влияние. Мнимая поправка к частоте по модулю на два-три порядка больше при учете турбулентной вязкости и диффузии и всегда отрицательная.
Волновой поток импульса $\overline {vw} $ доминирует по модулю над потоком $\overline {uw} $ глубже 40 м для второй моды 15-минутных внутренних волн при учете турбулентной вязкости и диффузии.
Сравнение волнового $\overline {vw} $ и турбулентного $\overline {v_{{}}^{/}w_{{}}^{/}} $ потоков импульса показывает, что для первой моды 15-минутных внутренних волн волновой поток по модулю доминирует над турбулентным глубже приповерхностного 2-метрового слоя. У второй моды эти потоки сравнимы по абсолютной величине.
Сравнение волнового $\overline {uw} $ и турбулентного $\overline {u_{{}}^{/}w_{{}}^{/}} $ потоков импульса показывает, что для первой моды 15-минутных внутренних волн волновой поток по модулю, вообще говоря, меньше турбулентного и сопоставим с ним на глубинах 10–30 м. У второй моды турбулентный поток импульса больше по абсолютной величине волнового.
Волновой поток импульса $\overline {uw} $ для второй моды при учете турбулентной вязкости и диффузии выше, чем при их неучете в верхнем 40-метровом слое.
Волновой поток импульса $\overline {vw} $ для второй моды при учете турбулентной вязкости и диффузии выше, чем при их неучете в слое 40–60 м.
Автор благодарен М.В. Рыбалкиной за проведение численных расчетов при решении краевой задачи. Работа выполнена в рамках государственного задания 0555-2021-0004.
Список литературы
Бадулин С.И., Цимринг Л.Ш., Шрира В.И. Захват и вертикальная фокусировка внутренних волн в пикноклине горизонтальными неоднородностями стратификации и течений // Доклады АН СССР. 1983. Т. 273. № 2. С. 459–463.
Sibgatullin I.N., Ermanyuk E.V. Internal and Inertial Wave Attractors: a Review // J. Appl. Mech. Tech. 2019. V. 60. № 2. P. 284–302. https://doi.org/10.1134/S002189441902010X
Brouzet C., Ermanyuk E.V., Joubaud S., Sibgatullin I., Dauxois T. Energy cascade in internal-wave attractors // EPL (Europhysics Letters), V. 113. № 4. https://doi.org/10.1209/0295-5075/113/44001
Сабинин К.Д., Успенская Т.М. К влиянию сдвиговых течений на кинематические характеристики внутренних волн // Океанология. 1990. № 6. С. 932–935.
Bulatov V.V., Vladimirov Yu.V. and Vladimirov I.Yu. Phase Structure of Internal Gravity Waves in the Ocean with Shear Flows. Physical Oceanography, [e-journal]. 2021. V. 28. Iss. 4. P. 438–453. https://doi.org/10.22449/1573-160X-2021-4-438-453
Miles J.W. On the stability of heterogeneous shear flows // J. Fluid Mech. 1961. V. 10. Iss. 4. P. 496–508. https://doi.org/10.1017/S0022112061000305
Howard L.N. Note on a paper of John W. Miles // J. Fluid Mech. 1961. V. 10. Iss. 4. P. 509–512. https://doi.org/10.1017/S0022112061000317
Ле Блон П., Майсек Л. Волны в океане. М.: Мир, 1981. Ч. 2. 363 с.
LeBlond P.H. On damping of internal gravity waves in a continuously stratified ocean // J. Fluid Mech. 1966. V. 25. Iss. 1. P. 121–142. https://doi.org/10.1017/S0022112066000089
Островский Л.А., Соустова И.А. Верхний перемешанный слой как сток энергии внутренних волн // Океанология. 1979. Т. 19. Вып. 6. С. 973–981.
Слепышев А.А. Вертикальный перенос импульса внутренними волнами при учете турбулентной вязкости и диффузии // Изв. РАН. ФАО. 2016. Т. 52. № 3. С. 342–350. https://doi.org/10.7868/S0002351516030111
Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // УМН. 1957. Т. XII. Вып. 5 (77). С. 3–122.
Анкудинов Н.О., Слепышев А.А. Вертикальный перенос импульса внутренними волнами в двумерном потоке // Изв. РАН. МЖГ. 2021. № 3. С. 39–47.
Миропольский Ю.З. Динамика внутренних гравитационных волн в океане. Л.: Гидрометеоиздат, 1981. 302 с.
Черкесов Л.В. Гидродинамика волн. К.: Наукова думка, 1980. 259 с.
Пантелеев Н.А. Отчет о работах в 44-м рейсе (3-й этап) НИС “Михаил Ломоносов” 7 августа–15 сентября 1985 г. Севастополь: МГИ АН УССР, 1985. Т. 1. 135 с.
Боуден К. Физическая океанография прибрежных вод. Москва: Мир, 1988. С. 285.
Иванов В.А., Самодуров А.С., Чухарев А.М., Носова А.В. Интенсификация вертикального турбулентного обмена в районах сопряжения шельфа и континентального склона в Черном море // Доп. НАН України. 2008. № 6. С. 108–112.
Samodurov A.S. Complimentarity of Different Approaches for Assessing Vertical Turbulent Exchange Intensity in Natural Stratified Basins // J. Phys. Oceanogr. 2016. Iss. 6. P. 32–42. https://doi.org/10.22449/1573-160X-2016-6-32-42
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Известия РАН. Механика жидкости и газа