Известия РАН. Механика жидкости и газа, 2022, № 4, стр. 52-59

1. ПОСТАНОВКА ЭКСПЕРИМЕНТА

Эксперименты проводились на электромеханическом вибростенде Динамики и структуры осциллирующих течений [7], входящем в состав Уникальных исследовательских установок “ГФК ИПМех РАН”. Волновые движения исследовались в режиме основного резонанса Фарадея [3, 8], когда частота вертикальных колебаний сосуда вдвое превышает частоту возбуждаемых волн (${{\Omega }}\sim 2{{\omega }}$). При фиксированной амплитуде сосуда $s$ = 0.7 см вариации Ω обеспечивали возбуждение соответствующей волновой моды номера $n$ и высоты H.

Исследовались третья и четвертая моды ($n$ = 3, 4) гравитационных волн в сосудах с прямоугольным основанием 60 × 5.2 см и с основанием в форме удлиненного прямоугольного треугольника с катетами $l$ = 60 и $b$ = 5.2 см и углом при вершине $\alpha = {{\pi /}}36$ = 5° (рис. 1). Сосуды заполнялись водой до глубины $h$ = 3.8–4 см – рис. 1. Отметим значительный капиллярный подъем воды в вершине клина (рис. 1а). Данный эффект [9] характерен для жидкости между двумя вертикальными плоскостями, расположенными под малым углом, и в описываемых экспериментах не исследовался.

Волновая картина регистрировалась цифровой камерой Canon PowerShot SX50HS (скорость видеосъемки 30 и 120 кадров в секунду). Разрешение видеоизображения составляло 0.15 мм/пиксель. Последующая обработка видеокадров производилась при использовании программы ImageJ. Все эксперименты проводились при комнатной температуре 21–22°C.

2. РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

Рассмотрим сначала двумерные стоячие волны в прямоугольном сосуде – рис. 2. Из анализа профилей (а, б) волн максимального развития следует, что пучности волн не меняют своего положения; узлы совершают малые горизонтальные колебания; ординаты вершин и подошв волн постоянны вдоль сосуда. Таким образом, имеем стоячую регулярную нелинейную волну постоянной высоты.

Используя модель [10, 11] нелинейных поверхностных волн Фарадея в прямоугольном сосуде, можно построить профиль свободной поверхности ($b$ = 0) в переменных Лагранжа $(a,\,\,b,\,\,t)$

Согласно рис. 2в,г имеем полное количественное соответствие данных эксперимента и модели.

На рис. 3 показаны профили третьей (a) и четвертой (б) волновых мод, возбуждаемых в клиновидном сосуде. Волны имели периоды ${{T}_{{3,4}}}$ = 0.645 и 0.540 с и соответствующие частоты ${{\omega }_{{3,4}}} = 2\pi {\text{/}}{{T}_{{3,4}}}$ = 9.593 и 11.635 с^–1. Представленные видеокадры полностью отражают особенности волновых движений жидкости в течение одного периода.

Прежде всего рассматриваемые волны классифицируются как стоячие, поскольку их пучности не перемещаются по горизонтали. Волны – нелинейные, что проявляется в колебаниях узлов стоячей волны, в заострении гребней и уплощении ложбин. Для обеих мод (рис. 3) отметим нарушение пространственной симметрии профиля максимального развития при $t$ = 0 относительно вертикали, проведенной через вершину волны. Ординаты вершин и подошв волновых мод в этот момент возрастают от правой к левой стенке сосуда, на которой смещение свободной поверхности максимально. Волны – регулярные, поскольку характеризуются временной периодичностью профиля. Частоты ${{\omega }_{{3,4}}}$ = 9.578 и 11.635 с^–1 наблюдаемых волновых мод больше соответствующих значений ${{\omega }_{{3,4}}}$ = 8.900 и 10.650 с^–1 для волн в прямоугольном сосуде. Обработка волновых профилей рис. 3 показала, что размах колебаний свободной поверхности воды на правой стенке сосуда для обеих мод составляет величину H ~ 1.7 см. На левой стенке (вершина клиновидного сосуда) имеем H ~ 7 см для третьей моды (рис. 3а) и H ~ 8 см для четвертой моды (рис. 3б). Таким образом, рассматриваемая геометрия сосуда обеспечивает четырехкратное возрастание высоты стоячей гравитационной волны.

В работе [3] для четвертой моды в аналогичном клиновидном сосуде был выявлен режим прогрессивно-стоячих волн, при котором в левой половине сосуда наблюдается бегущая волна (перемещение пучностей волны, эллиптические траектории частиц-трассеров), а в правой – стоячая волна. При этом размах колебаний свободной поверхности воды на правой стенке сосуда составлял H ~ 4 см, а в вершине клина – $H > $ 16 см. Поскольку в настоящих экспериментах значения H существенно ниже, можно предположить, наблюдавшийся в [3] особый режим колебаний воды связан с проявлением нелинейных эффектов, характерных для волн большой амплитуды.

В условиях настоящего эксперимента отношение глубины жидкости к длине волны составляло величину $h{\text{/}}\lambda \sim $ 0.1, что позволяет для интерпретации результатов использовать приближение длинных волн и рассмотреть задачу о собственных колебаниях идеальной несжимаемой жидкости в протяженном канале переменного прямоугольного сечения. Уравнение волновых движений жидкости имеет вид [12]

Здесь $\eta = \eta (x,t)$ – возвышение жидкости, $d(x)$ – переменная ширина сосуда, $g$ – ускорение силы тяжести, $S = S(x) = d(x)\,h$ – площадь поперечного сечения сосуда, перпендикулярного горизонтальной оси x, $h$ – постоянная глубина жидкости. Для стоячих волн на торцевых стенках сосуда $x = 0,\,\,l$ выполняются краевые условия непротекания

Если ${{\eta }}(x,t) = W(x){{e}^{{i\omega t}}}$, то рассматриваемая краевая задача на собственные значения ${{\lambda }_{n}}$ и функции приводится к виду

Здесь $x{\kern 1pt} *$ и $d{\kern 1pt} *$ – горизонтальная координата и ширина сосуда, нормированные на l, b соответственно. Искомый параметр λ_n связан с частотой $\omega $ соотношением ${{\lambda }_{n}} = {{\omega }^{2}}{{l}^{2}}{\text{/}}(gh) = {{\left( {\pi n} \right)}^{2}}$.

Для определения собственных значений λ_n и функций $\,{{W}_{n}}(x)$ задачи (2.2) с граничными условиями типа Неймана (второго рода) применим теорию Штурма–Лиувилля и алгоритм ускоренной сходимости [13], апробированный в экспериментах со стоячими волнами в прямоугольном сосуде, имеющем локальные нерегулярности дна и стенок [14]. Детальное описание метода и особенностей его использования также приводится в [14].

В расчетах для исключения локальной особенности в вершине клинообразного основания использовались функции $d{\kern 1pt} *(x{\kern 1pt} *) = {{b}_{0}}{\text{/}}b + x{\kern 1pt} *$ и $d{\kern 1pt} *(x{\kern 1pt} *) = 1 - (b - {{b}_{0}})x{\kern 1pt} *{\text{/}}b$, описывающие ширину сосуда – рис. 4а, в. Отметим, что диапазон значений ${{b}_{0}}$ = 0.0001–0.01 см вполне соответствует точности задания $d \simeq $ 0 в вершине клина, поскольку в условиях эксперимента ширина сосуда в вершине не равна нулю из-за неидеальности склейки стенок сосуда. Необходимость рассмотрения двух зависимостей $d{\kern 1pt} {\text{*}}(x{\kern 1pt} *)$ обусловлена тем обстоятельством, что для эксперимента более важными являются задание смещения свободной поверхности на широкой торцевой стенке сосуда и численная оценка высоты волна в вершине клина. В случае d*(x*) = ${{b}_{0}}{\text{/}}b + x{\kern 1pt} *$ задаются параметры волны при $x{\kern 1pt} * = $ 0 (вершина клина), и модель дает оценки W(1) при выполнении условия $W{\kern 1pt} '(1) = 0$ – рис. 4б. При $d{\kern 1pt} *(x{\kern 1pt} *) = 1 - (b - {{b}_{0}})x{\kern 1pt} */b$ (рис. 4г) определяется W(1) при $W{\kern 1pt} '(1) = 0$. Приведенные на (б, г) графики (2) подтверждают выполнение граничного условия $W{\kern 1pt} '(1) = 0$ для двух функций $d{\kern 1pt} {\text{*}}(x{\kern 1pt} *)$, описывающих ширину сосуда. Последнее свидетельствует о возможности получения численных оценок смещения жидкости в вершине клина при известной амплитуде волны на торцевой стенке. С целью сопоставления с экспериментом для рассчитанных таким образом размерных зависимостей $\,{{W}_{n}}(x)$ можно использовать пространственную инверсию и сдвиг по координате x. Результаты численно-аналитической модели для двух конфигураций основания сосуда (рис. 4б, г) полностью совпадают при ${{b}_{0}} = $0.01 см.

Использованная в настоящей работе численно-аналитическая модель длинных волн позволяет оценить частоты стоячих волн при изменении формы основания сосуда от прямоугольного к треугольному. Пусть ширина сосуда описывается функцией $d(x) = b - (b - {{b}_{0}})x{\text{/}}l$; введем безразмерную частоту

определяемую собственным значением ${{\lambda }_{n}}$ задачи (2.2). Величина ${{\lambda }_{n}}$ зависит от ${{b}_{0}}$; соответствующие рассчитанные зависимости ${{\omega }}{\kern 1pt} *$ от ${{b}_{0}}{\text{/}}b$ для третьей и четвертой волновых мод ($n = $3, 4) приведены на рис. 5. При ${{b}_{0}} = b = $ 5.2 см имеем сосуд постоянной ширины и ${{\omega }}{\kern 1pt} *$ = 1. При уменьшении ${{b}_{0}}$ от 5.2 см до 0 частота ${{\omega }}{\kern 1pt} *$ экспоненциально растет и достигает максимума при ${{b}_{0}}{\text{/}}b = $ 0. Отметим, что для третьей моды $n = $ 3 частота возрастает на интервале ${{b}_{0}}{\text{/}}b < $ 0.5 (данные 1), в случае $n = $ 4 – при ${{b}_{0}}{\text{/}}b < $ 0.25 (данные 2). Отметим, что при переходе к клиновидному сосуду частота третьей моды увеличивается на 8%, для четвертой моды – на 6%.

На рис. 6 представлены волновые профили, наблюдаемые в эксперименте и рассчитанные в приближении длинных волн методом ускоренной сходимости. Видно неплохое соответствие опытных 1 и расчетных 2 данных. Для обеих мод модель достаточно точно определяет горизонтальные положения и высоты гребней и подошв волн, причем наивысшие значения гребня волны (x = 0, вершина клина) рассчитывались при задании смещения свободной поверхности на торцевой стенке сосуда (x = 60 см) – данные 2.

Основание призматического сосуда в виде треугольника с малым углом при вершине (а) можно рассматривать как сектор окружности с центральным углом α (б) – рис. 7. Согласно [14], в полярных координатах $(r,\,\,\theta )$ потенциал скорости стоячей волны определяется как

Здесь α – центральный угол сектора; ${{{\text{J}}}_{{s\,\pi /\alpha }}}\,(mr)$ – функция Бесселя первого рода порядка $s\pi {\text{/}}\alpha $; $m$ – положительные корни уравнения

В нашем случае ${\text{s}} \equiv {\text{0}}$ – рассматриваются только радиальные волны, а профиль стоячей волны в сосуде с основанием в форме кругового сектора определяется соотношением

где A₀ – смещение свободной поверхности жидкости в точке $r$ = 0; m_n – корень трансцендентного уравнения и

В условиях эксперимента $l$ = 60 см, $\alpha = \pi {\text{/}}36$ и $h$ = 4 см; для третьей и четвертой волновых мод ($n$ = 3, 4) получаем

На рис. 7в представлены профили третьей и четвертой мод, рассчитанные по формуле (2.3) (кривые) и в приближении длинных волн методом ускоренной сходимости (точки). Видно, что эти два подхода приводят к абсолютно совпадающим профилям стоячей гравитационной волны. Отметим, что если модель стоячих волн для кругового сектора требует задания смещения свободной поверхности жидкости в центре кругового сектора ($r = $ 0), то алгоритм ускоренной сходимости позволяет это смещение оценить по смещению свободной поверхности воды на торцевой стенке клина. С другой стороны, модель стоячих волн в сосуде с основанием в виде кругового сектора допускает проведение кинематического анализа волн в линейном приближении, а также при учете более высоких приближений оценку нелинейных эффектов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Представлены новые экспериментальные данные по возбуждению стоячих поверхностных гравитационных волн в клиновидном сосуде. Показано их принципиальное отличие от волновых движений жидкости в прямоугольном сосуде – отсутствие пространственной симметрии для профиля максимального развития и возрастание амплитуды волны к острию клина.

В приближении длинных волн сформулирована и численно решена задача о стоячих волнах в сосуде переменной ширины при использовании алгоритма ускоренной сходимости. Результаты расчета адекватно описывают экспериментальные волновые профили для третьей и четвертой мод.

Для интерпретации данных эксперимента успешно использована линейная аналитическая модель стоячих волн в цилиндрическом сосуде с основанием в виде кругового сектора с малым центральным углом. Показано, что для проведенных опытов эта модель продуктивно дополняет численные оценки длинноволнового приближения.

Работа выполнена по теме государственного задания № AAAA-A20-120011690131-7. Эксперименты проводились на стенде ДСО (уникальная научная установка Института проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН).