Проблемы машиностроения и надежности машин, 2019, № 2, стр. 46-52

В [3] приведен анализ некоторых проблем привлечения априорной информации к оценкам величины показателя безотказности неремонтируемых образцов однократного действия. Настоящая статья продолжает тему и посвящена методам нахождения оценок в предположении, что объединение результатов испытаний допустимо. Диапазон оцениваемых величин показателя надежности составляет 0.94 и выше.

Часто оценка показателя надежности изделия, например, нижняя доверительная граница $\underline R $ показателя безотказности на базе биномиального распределения находится из уравнений Клоппера–Пирсона и в случае n безотказных испытаний чрезвычайно упрощается

где γ – доверительная вероятность оценки.

Нетрудно определить потребный объем биномиальных испытаний для подтверждения, например, требований: $\underline R $ ≥ 0.97 при γ = 0.8. Число безотказных испытаний составит 54. Очевидна чрезмерная величина таких выборок. Уменьшить ее можно повышением эффективности метода оценки и привлечением априорной информации.

Повышение эффективности состоит в выработке допущений, при которых биномиальное распределение можно аппроксимировать распределением Пуассона и другими законами. Привлечение априорной информации базируется на формуле Бейеса и использовании фидуциального распределения. Сравнительный анализ Бейесовского подхода и фидуциального метода (условных распределений по [4]) приведен в [5]. Использование априорной информации позволяет сузить доверительный интервал и поднять значение оценки. Острая практическая необходимость в таких оценках породила множество их модификаций. Анализ эффективности некоторых из них представлен в [6], по результатам которого предлагается использовать, как наиболее эффективную для случая безотказных испытаний, точечную оценку $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{R} '$ апостериорного распределения, полученную с помощью метода моментов (точечная оценка определяется как математическое ожидание апостериорного биномиального распределения)

где R_H – нижняя граница априорного распределения вероятности безотказной работы.

При отсутствии априорной информации (R_H = 0) из формулы (1) получаем точечную оценку $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{R} $ опытного распределения

Показатель $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{R} '$ апостериорного распределения можно оценить с помощью зависимости, полученной на основе регрессионного метода [6, с. 312]

где $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{R} $ – точечная оценка вероятности безотказной работы, определенная без учета априорной информации.

Известна другая точечная оценка $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{R} $ с дисперсией D, рекомендуемая [7] для оценки вероятности безотказной работы при условии также безотказных испытаний

Существует еще точечная оценка показателя надежности объекта по результатам безотказных испытаний $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{R} = \sqrt[n]{{0.5}}$.

Значения этих точечных оценок вероятности безотказной работы в зависимости от размера n опытной выборки представлены в табл. 1. Некоторые ячейки таблицы не заполнены, так как не дают дополнительной информации для анализа в рамках данной статьи.

Перед анализом данных табл. 1 уместно процитировать хорошо сформулированное в [7, с. 352] замечание о том, что “зависимости, по которым рассчитаны величины показателей, представляют собой функции изменения вероятности безотказной работы в зависимости от числа проведенных испытаний. Сами значения показателей надежности зависят от конструкции изделия, внешних воздействий, принятой системы технического обслуживания и других факторов, но не от количества проведенных безотказных испытаний, по результатам которых не проводятся какие-либо доработки конструкции, а, следовательно, не происходит повышение надежности изделия. Эти зависимости могут применяться только в качестве одного из допущений и использоваться для приближенной оценки достаточности проведенного количества безотказных испытаний при принятии решения о достигнутом уровне точечной оценки вероятности безотказной работы”. В рамках такого подхода анализ данных табл. 1 показывает следующее:

1. Статистика $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{R} = 1 - \frac{{0.5}}{{n + 2}}$ обеспечивает наибольшее значение точечной оценки при том же количестве опытов и позволяет подтверждать точечную оценку показателя вероятности безотказной работы, равную 0.9 – тремя безотказными опытами, а равную 0.96 – десятью (следует из сравнения двух подчеркнутых значений в третьем столбце).

2. Статистика $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{R} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}}$ при обработке четырех и более безотказных опытов обеспечивает меньшее значение точечной оценки, чем классическая $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{R} = \sqrt[n]{{0.5}}$ при том же количестве опытов (следует из сравнения подчеркнутых строк второго и четвертого столбцов).

3. Эта же статистика при учете априорной информации в виде

с возрастанием числа опытов обеспечивает не большее значение точечной оценки, чем статистики, не учитывающие априорную информацию (следует из сравнения значений в строках, выделенных “жирным”); хотя и обеспечивает более высокий уровень оценки, чем статистика (3).

Сравниваемые статистики, могут обладать свойством, опасным с точки зрения практических приложений: их использование приводит к смещению доверительного интервала относительно истинного значения R. В то же время [6]: “Смещение не обязательно должно играть большую роль, чем дисперсия. Что мы действительно требуем от оценки – это чтобы она была “близка” к истинному значению статистики”. Поэтому с учетом того, что требования к надежности высоконадежных образцов задают в виде нижней односторонней доверительной границы, проанализируем соответствующие оценки нижних границ доверительного интервала при γ = 0.8; представленные в табл. 2.

Добавим в качестве тестируемых оценку Шора Я.Б., полученную методом максимального правдоподобия в комбинации с теоремой Бейеса, и в допущении, что апостериорное распределение описывается законом Пуассона. Нижняя граница $\underline R '$ апостериорного распределения ищется из неявного уравнения

где R_H – нижняя граница фидуциального априорного распределения вероятности отказа q; n и m – число опытов и отказов, соответственно.

Учтем зависимость, полученную на базе (3) [6, с. 312]

где R – нижняя доверительная граница вероятности безотказной работы, определенная без учета априорной информации (например, по (2)).

В качестве базовой будем рассматривать стандартную, рекомендованную [8] как наилучшую одностороннюю интервальную оценку показателя надежности объекта по результатам безотказных испытаний

В табл. 2, как и в табл. 1 некоторые ячейки не заполнены. Сравнение показывает следующее:

1. Без учета априорной информации наиболее узкий доверительный интервал обеспечивает статистика $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{R} = 1 - \frac{{0.5}}{{n + 2}}$ (следует из сравнения выделенных “жирно” значений во втором и третьем столбцах табл. 2).

2. Две оценки показателя надежности с учетом априорной информации дают одинаковый результат и позволяют значительно уточнить прогнозируемую величину (в сторону возрастания) при ограниченном числе опытов, когда сформулированы обоснованные предположения о количественном уровне надежности объекта (следует из сравнения значений оценок по строкам в столбцах с одинаковой R_H).

3. Одновременно, рассмотрение способов учета априорной информации для случая высоконадежных образцов (по данным табл. 1 и 2) позволяет установить приоритет выбора способа на основании некоторых предварительных рассуждений (а и б):

а) Представленные в таблицах данные показывают два способа объединения опытной и априорной информации. Первый, когда известны результаты ранее проведенных испытаний с аналогичными изделиями по биномиальной схеме в условиях, идентичных условиям последующих испытаний. Количество опытов суммируют и используют в статистиках типа $\underline P = {{0.2}^{{\frac{1}{n}}}}$ (второй и третий столбцы табл. 2). Другой способ, когда на основе априорной информации формулируют определенные, обоснованные теоретически или экспериментально, предположения о количественном уровне надежности объекта. В результате усекается интервал поиска оценки (вместо [0, 1] – [R_H; 1]).

б) Высоконадежные образцы предполагают отсутствие отказов при испытаниях ограниченной выборки таких изделий. Следовательно, представленные в таблицах R_H = 0.5 и 0.7 могут образоваться лишь при безотказных испытаниях недостаточного для подтверждения заданной характеристики количества образцов (R_H = 0.5 соответствует трем испытаниям, R_H = 0.7 соответствует четырем или пяти испытаниям). В этом случае существует проблема выбора способа объединения “не полных” результатов испытаний. Например, в случае десяти безотказных опытов простое суммирование их количества с тремя предшествующими, обеспечившими априорную R_H = 0.5, с последующей подстановкой в статистики (2) или (6) n = 13 дает величину нижней доверительной границы 0.88…0.93 по сравнению с 0.82…0.84 по второму способу объединения. Суммирование десяти опытов с четырьмя или пятью предшествующими аналогично дает 0.89…0.94 по сравнению с 0.85…0.86. Присоединение к проведенным опытам десяти безотказных предшествующих (что соответствует усечению доверительного интервала снизу до 0.9) дает 0.92…0.96 в сравнении с 0.94.

Таким образом, можно констатировать, что объединение результатов ограниченной выборки с априорной (также не достаточной) информацией способом сокращения интервала нахождения оценки надежности может быть не эффективным. Данный вывод согласуется с ([9], с. 393), где отмечается, что “…метод фидуциальных вероятностей становится более эффективным при увеличении числа отказов…”, т.е. не в рассматриваемом случае.