Проблемы машиностроения и надежности машин, 2019, № 2, стр. 78-83

О РАСЧЕТЕ ПРОЕКТНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ СТЕРЖНЕВОГО ЗАПОЛНИТЕЛЯ ДЛЯ ТРЕХСЛОЙНОЙ КОНСТРУКЦИИ

С. М. Мусави Сафави 1*, И. Н. Абдуллин 1, А. Джафарзаде 1

1 Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева
г. Казань, Россия

* E-mail: ilfir528@mail.ru

Поступила в редакцию 04.12.2017
После доработки 01.02.2018
Принята к публикации 24.12.2018

Полный текст (PDF)

Аннотация

Предлагается методика определения рациональной относительной плотности для ферменного заполнителя с пирамидальными ячейками. Приводится пример расчета относительной плотности заполнителя и угла наклона стержня к основанию.

Ферменный заполнитель, рациональная относительная плотность заполнителя. Современные летательные аппараты проектируются и производятся с учетом чрезвычайно жестких условий эксплуатации – превышение скорости звука, многократно повторяемые пиковые нагрузки, форсированные режимы полетов во всепогодных условиях, резкие перепады температур, силовые воздействия аэродинамических факторов. Создание новых образцов авиационной техники с постоянно растущими требованиями к повышению эффективности, ресурса и надежности заставляет аэрокосмические державы разрабатывать новые материалы и технологические процессы, искать нетрадиционные конструктивные решения и методы проектирования. Одним из важных направлений в этом поиске в конструкциях оболочечного типа является создание и все более широкое применение трехслойных конструкций. Их эффективность связана, в первую очередь, с высокой относительной жесткостью и несущей способностью.

Проектирование и производство трехслойных конструкций летательных аппаратов, имеющих повышенную жесткость на изгиб при малом весе – сложная наукоемкая задача, решение которой сопряжено с проведением численных и экспериментальных исследований, а многофункциональность трехслойных конструкций требует тщательного подхода к их проектированию. Трехслойная панель с ферменным заполнителем – это новый элемент, для использования которого в конструкции необходимо знать его механические и прочностные характеристики.

При исследовании ферменного заполнителя обычно рассматривают несколько типов элементарных структур: тетраэдальную (рис. 1а) и пирамидальную (рис. 1б).

Рис.1.

Трехслойная конструкция с ферменным заполнителем в виде пирамидальных (а), тетраэдальных (б) ячеек.

Основным конструктивным признаком этих заполнителей является то, что они представляют собой многократно повторяющиеся комбинации из стержневых элементов, представляющих собой повторяющиеся пирамидальные и тетраэдальные элементарные ячейки.

Особенность применения ферменного заполнителя заключается в том, что из него можно создать элементы изделий с заранее заданными свойствами, наиболее полно отвечающими характеру и условиям работы деталей конструкции.

Эти заполнители можно использовать для поглощения удара, регулирования температуры, электромагнитного экранирования, фильтрации жидкости, и в качестве носителя катализатора [1]. На основе ферменного заполнителя можно реализовать механизм создания адаптивных интегральных поверхностей, способных изменять геометрию конструкции [2].

Традиционные подходы к изготовлению ферменного заполнителя из металла включают литье [3], электроразрядную или лазерную резку [4], перфорирование листового материала, изготовление из проволоки или трубок, плетение [5]. Литье и резка предполагают последующее соединение фермы с лицевыми поверхностями. Выяснилось, что места стыка являются слабым местом, снижающим общую прочность трехслойной конструкции, однако технологии изготовления трехслойной конструкции с применением способов интегрального пространственного плетения устраняют возможность отслоения лицевых панелей от заполнителя.

Для определения параметров, приводящих к потере устойчивости при сжатии и сдвиге пластин-обшивок относительно друг друга, рассмотрим трехслойную конструкцию с пирамидальным заполнителем (рис. 2).

Рис. 2.

Элементарная ячейка пирамидального заполнителя.

Для определения данных параметров, необходимо знать значения относительной плотности заполнителя $\bar {\rho }$, которая определяется отношением плотности элементарной ячейки заполнителя к плотности материала заполнителя [6]:

${\bar {\rho }} = \frac{{{{{\rho }}_{{\text{з }}}}}}{{{{{\rho }}_{{\text{м }}}}}}$
где ρз – плотность заполнителя образца трехслойной конструкции, ρм – плотность образца из сплошного материала.

Для пирамидального заполнителя [7, 8]:

$\bar {\rho } = \frac{{2S}}{{{{l}^{2}}{{{\cos }}^{2}}\omega \sin \omega }},$
l – длина стержня, S – площадь поперечного сечения стержня, Vст – суммарный объем стержней ячейки.

Для определения эквивалентных механических характеристик заполнителя рассчитываются условные деформации элементарной ячейки ферменной структуры при действии сил F13, F23, F33 (рис. 3) [912].

Рис. 3.

Действие сил на элементарную ячейку пирамидального заполнителя.

Далее по величине узловых перемещений можно рассчитать деформации элементарной ячейки, соотнести их с напряжениями и получить упругие характеристики элементарной ячейки.

Для расчета упругих характеристик элементарной ячейки определим условные эквивалентные напряжения σ33, σ13 и σ23, возникающие в ячейке вследствие действия сил: F33, F13, F23 (рис. 3).

${{{\sigma }}_{{33}}} = \frac{{{{F}_{{33}}}}}{{{{A}_{{о с }}}}},\quad {{{\sigma }}_{{33}}} = {{E}_{{33}}}{{\varepsilon }_{{33}}},\quad {{{\varepsilon }}_{{33}}} = \frac{{{{{\delta }}_{{33}}}}}{{l\sin \omega }} \Rightarrow {{E}_{{33}}} = \frac{{{{\sigma }_{{33}}}l\sin \omega }}{{{{\delta }_{{33}}}}}$
${{{\sigma }}_{{13}}} = \frac{{{{F}_{{13}}}}}{{{{A}_{{о с }}}}},\quad {{{\sigma }}_{{13}}} = {{E}_{{13}}}{{\varepsilon }_{{13}}},\quad {{{\varepsilon }}_{{13}}} = \frac{{{{\delta }_{{13}}}}}{{l\sin \omega }} \Rightarrow {{E}_{{13}}} = \frac{{{{\sigma }_{{13}}}l\sin \omega }}{{{{\delta }_{{13}}}}},$
${{{\sigma }}_{{23}}} = \frac{{{{F}_{{23}}}}}{{{{A}_{{о с }}}}},\quad {{{\sigma }}_{{23}}} = {{G}_{{23}}}{{{\varepsilon }}_{{23}}},\quad {{\varepsilon }_{{23}}} = \frac{{{{\delta }_{{23}}}}}{{l\sin \omega }} \Rightarrow {{G}_{{23}}} = \frac{{{{\sigma }_{{23}}}l\sin \omega }}{{{{\delta }_{{23}}}}}$
где δ13, δ23 и δ33 соответственно являются линейными перемещениями узла 3 по осям 1, 2, 3.

Связь напряжений в стержнях с напряжениями σ13, σ23, ${{\sigma }_{{33}}}$ определяется следующими соотношениями:

${{\sigma }_{{OA}}} = \left( {\frac{{{{\sigma }_{{33}}}}}{{{{{\sin }}^{2}}\omega }} + \frac{{2\sqrt 2 {{\sigma }_{{13}}}}}{{\sin 2\omega }} + \frac{{2\sqrt 2 {{\sigma }_{{23}}}}}{{\sin 2\omega }}} \right){\text{/}}\bar {\rho },$
${{\sigma }_{{OB}}} = \left( {\frac{{{{\sigma }_{{33}}}}}{{{{{\sin }}^{2}}\omega }} + \frac{{2\sqrt 2 {{\sigma }_{{13}}}}}{{\sin 2\omega }} - \frac{{2\sqrt 2 {{\sigma }_{{23}}}}}{{\sin 2\omega }}} \right){\text{/}}\bar {\rho },$
${{\sigma }_{{OC}}} = \left( {\frac{{{{\sigma }_{{33}}}}}{{{{{\sin }}^{2}}\omega }} - \frac{{2\sqrt 2 {{\sigma }_{{13}}}}}{{\sin 2\omega }} + \frac{{2\sqrt 2 {{\sigma }_{{23}}}}}{{\sin 2\omega }}} \right){\text{/}}\bar {\rho },$
${{\sigma }_{{OD}}} = \left( {\frac{{{{\sigma }_{{33}}}}}{{{{{\sin }}^{2}}\omega }} - \frac{{2\sqrt 2 {{\sigma }_{{13}}}}}{{\sin 2\omega }} - \frac{{2\sqrt 2 {{\sigma }_{{23}}}}}{{\sin 2\omega }}} \right){\text{/}}\bar {\rho }.$

Для пирамидальной конструкции модуль упругости на сжатие

${{E}_{{33}}} = {{E}_{s}}\bar {\rho }{{\sin }^{4}}\omega ,$
где Es – модуль упругости материала заполнителя.

Жесткость на сдвиг

${{G}_{{31}}} = {{G}_{{23}}} = {{E}_{s}}\frac{{\bar {\rho }}}{8}{{\sin }^{2}}(2\omega )$

Заметим, что разрушение ячейки при растяжении стержней происходит при условии

${{\sigma }_{{{\text{с т }}}}} = {{\sigma }_{{\text{у }}}}$
при сжатии стержней
(1)
${{\sigma }_{{{\text{с т }}}}} = \min ({{\sigma }_{{\text{у }}}}{\;},{{\sigma }_{{{\text{к р }}}}}),$
где σy – предел упругости материала, из которого создан стержень, σкр – критическое напряжение потери устойчивости стержней

${{\sigma }_{{{\text{к р }}}}} = \frac{{k{{\pi }^{2}}{{E}_{s}}I}}{{S{{l}^{2}}}}.$

Здесь k – коэффициент, зависящий от типа соединения стержней друг с другом и с обшивкой, k = 1 для шарнирного соединения; k = 2 для жесткого соединения, I – минимальной момент инерции сечения стержней.

Для предельного напряжения при растяжении, при котором потеря несущей способности трехслойной конструкции будет происходить из-за разрушения структуры заполнителя при условии нормальной нагрузки (σ13, σ23 = 0, σ33 > 0) с учетом (1) получим

$\sigma _{{33{\text{к }}{{{\text{р }}}^{ - }}}}^{ - } = {{\sigma }_{{\text{у }}}}\bar {\rho }{{\sin }^{2}}\omega ,$
где $\sigma _{{33{\text{к р }}}}^{ - }$ – критическое напряжение при растяжении;
(2)
$\sigma _{{33{\text{к р }}}}^{ + } = \min ({{\sigma }_{{\text{у }}}}{\;},{{\sigma }_{{{\text{к р }}}}})\bar {\rho }{{\sin }^{2}}\omega ,$
где $\sigma _{{33{\text{к р }}}}^{ + }$ – критическое напряжение при сжатии.

Покажем зависимость относительной плотности для каждой из обобщенных характеристик (E33, G13, G23, σ33кр, σ13кр)

$\bar {\rho }$ = $\frac{{2\pi }}{{\sin \omega {{{\cos }}^{2}}\omega }}{{\left( {\frac{r}{l}} \right)}^{2}}$ – относительная плотность пирамидального заполнителя

${{\sigma }_{{{\text{к р }}}}} = \frac{{\bar {\rho }k\pi E\sin \omega {{{\cos }}^{2}}\omega }}{8},$
$\sigma _{{33{\text{к р }}}}^{ + } = {{\sigma }_{{\text{y}}}}\bar {\rho }{{\sin }^{2}}\omega \mathop \Rightarrow \limits^{\quad\quad\quad\quad\quad\quad} {{\bar {\rho }}_{1}} = \frac{1}{{{{{\sin }}^{2}}\omega }}\left( {\frac{{\sigma _{{33{\text{к р }}}}^{ + }}}{{{{\sigma }_{{\text{y}}}}}}} \right);$
$\sigma _{{33{\text{к р }}}}^{ - } = \frac{{{{{\bar {\rho }}}^{2}}k\pi E{{{\sin }}^{3}}\omega {{{\cos }}^{2}}\omega }}{8}\mathop \Rightarrow \limits^{{\;\;\;\;\;\;}} {{\bar {\rho }}_{2}} = \sqrt {\frac{8}{{k\pi {{{\sin }}^{3}}\omega {{{\cos }}^{2}}\omega }}\left( {\frac{{\sigma _{{33{\text{к р }}}}^{ - }}}{E}} \right)} .$

Критические напряжения в направлении 1–3, 2–3 находятся в зависимости от условия разрушения, пластического деформирования σy или потеря устойчивости σкр стержней.

Следовательно, критические напряжения при сжатии в направлении 1–3, 2–3

${{\sigma }_{{13{\text{к р }}}}} = {{\sigma }_{{23{\text{к р }}}}} = \frac{{{{\sigma }_{{\text{y}}}}\bar {\rho }\sin 2\omega }}{{2\sqrt 2 }} \Rightarrow {{\bar {\rho }}_{3}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{{\sin 2\omega }}\left( {\frac{{{{\sigma }_{{13{\text{к р }}}}}}}{{{{\sigma }_{{\text{y}}}}}}} \right).$

Критическое напряжение при растяжении в направлении 1–3, 2–3

${{\sigma }_{{13{\text{к р }}}}} = {{\sigma }_{{23{\text{к р }}}}} = \left( {\frac{{\bar {\rho }k\pi E\sin \omega {{{\cos }}^{2}}\omega }}{8}} \right)\frac{{\bar {\rho }\sin 2\omega }}{{2\sqrt 2 }} \Rightarrow $
$ \Rightarrow {{\bar {\rho }}_{4}} = \sqrt {\frac{{8\sqrt 2 }}{{k\pi {{{\sin }}^{2}}\omega {{{\cos }}^{3}}\omega }}\left( {\frac{{{{\sigma }_{{13}}}{{{_{{{\text{к р }}}}}}^{{\;}}}}}{E}} \right)} ,$
где σ13кр, σ23кр – касательные напряжения возникающие в направлении 1–3, 2–3

${{E}_{{33}}} = E\bar {\rho }{{\sin }^{4}}\omega \Rightarrow {{\bar {\rho }}_{5}} = \frac{1}{{{{{\sin }}^{4}}\omega }}\left( {\frac{{{{E}_{{33}}}}}{E}} \right),$

Рассмотрим пример нахождения рационального значения относительной плотности заполнителя. Зададим значение обобщенных характеристик для стержневого заполнителя из алюминиевого сплава Es ≈ 70 ГПа, σy ≈ 310 МПа, ρ ≈ 2800 кг/м3, где для приведенных проектных данных, зададим требуемые проектные ограничения по прочности и жесткости: $\frac{{{{\sigma }_{{{\text{cr}}}}}}}{{{{\sigma }_{{\text{y}}}}}}$ = 0.01; $\frac{{{{\sigma }_{{{\text{cr}}}}}}}{{{{\sigma }_{{\text{y}}}}}}\left( {\frac{{{{\sigma }_{{\text{y}}}}}}{{{{E}_{s}}}}} \right)$ = 0.0044; $\frac{{{{\tau }_{{{\text{cr}}}}}}}{{{{\sigma }_{{\text{y}}}}}}$ = 0.005; $\frac{{{{\tau }_{{{\text{cr}}}}}}}{{{{\sigma }_{{\text{y}}}}}}\left( {\frac{{{{\sigma }_{{\text{y}}}}}}{{{{E}_{s}}}}} \right)$ = 0.0022; $\frac{{{{E}_{{33}}}}}{{{{E}_{s}}}}$ = 0.002; $\frac{G}{{{{E}_{s}}}}$ = 0.0016.

При сжатии в качестве критического напряжения выбирается минимальное значение из σкр, σy (2).

Приведем график зависимости относительной плотности $\bar {\rho }$ заполнителя от угла наклона стержней к основанию (рис. 4).

Рис. 4.

График зависимости относительной плотности от угла наклона стержней к основанию.

Из графика видно, что минимальное значение относительной плотности ${{\bar {\rho }}_{{{\text{о п т }}}}}$ заполнителя для заданных требуемых проектных ограничений ${{\bar {\rho }}_{{{\text{о п т }}}}}$ = 0.025 и находится в диапазоне углов наклона стержней к основанию w = 47…55°.

Приведем примеры использования трехслойных конструкций с ферменными заполнителями: ферменные конструкции в строительстве мостов и сооружений; ферменные структуры в конструкции самолета; “жертвенные” структуры для поглощения энергии удара – многослойные ферменные структуры; в трехслойных панелях переменной толщины и большой кривизны (фюзеляжи самолетов, каналов воздухозаборников); ферменные конструкции в космических аппаратах: ферменные платформы, ферменный каркас солнечной батареи, трубчатые стержневые элементы космического радиотелескопа.

На основании изложенного можно сделать следующие выводы:

1. По требуемым проектным ограничениям по прочности и жесткости можно найти рациональное значение относительной плотности ферменного заполнителя.

2. По требуемым проектным ограничениям по прочности и жесткости можно найти рациональный угол наклона стержней к основанию.

3. Трехслойную конструкцию с ферменным заполнителем можно рассматривать как перспективную альтернативу традиционным сотовым или складчатым структурам.

Список литературы

  1. Gu S., Lu T.J, Evans A.G. On the design of two-dimensional cellular metals for combined heat dissipation and structural load capacity // Int. J. Heat. Mass Trans. 2001. V. 4 (11). P. 63–75.

  2. Tian J., Hodson H.P., Queheillalt D.T., Sypeck D.J. The effects of topology upon fluid – flow and heat – transfer within cellular copper structure // Journal Heat Mass Trans, 2004. V. 47. P. 71–86.

  3. Wadley H.N.G. Multifunctional periodic cellular metals // Philosophical transactions of the royal society A. 2006. P. 31–68.

  4. Queheillalt D.T., Murty Y., Wadley H.N.G. Mechanical properties of an extruded pyramidal lattice truss sandwich structure // Scripta Materialia. 2008. V. 58. P. 76–79.

  5. Queheillalt D.T., Wadley H.N.G. Cellular metal lattices with hollow trusses // Acta Materialia, 2005. V. 53. P. 303–313.

  6. Абдуллин И.Н. Расчетные и экспериментальные исследования жесткости и прочности трехслойных конструкций с заполнителем в виде повторяющихся пирамидальных ячеек // Вестник Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева. Казань. 2015. № 1. С. 5–12.

  7. Гайнутдинов В.Г., Абдуллин И.Н., Мусави Сафави С.М. О расчете проектных значений плотности рациональной трехслойной конструкции со стержневым заполнителем // Известия высших учебных заведений. Авиационная техника. Казань, 2016. № 1. С. 59–63.

  8. Гайнутдинов В.Г., Мусави Сафави С.М., Абдуллин И.Н. Условия разрушения пирамидальных и тетраэдальных ячеек ферменных заполнителей // Вестник Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева. Казань. 2015. № 2. С. 11–16.

  9. Потапов В.Д. Об устойчивости стержня при действии детерминированной и стохастической нагрузки с учетом нелокальной упругости и нелокального демпфирования материала // Проблемы машиностроения и надежности машин. Москва. 2015. № 1. С. 9–16.

  10. Комаров В.Н., Ерофеев В.И., Лампси Б.Б. Нелинейная стационарная крутильная волна в стержне // Проблемы машиностроения и надежности машин. Москва. 2015. № 4. С. 35–39.

  11. Ильгамов М.А. Устойчивость сжатого стержня с поперечным надрезом // Проблемы машиностроения и надежности машин. Москва. 2015. № 5. С. 28–33.

  12. Дорогин В.И., Ерофеев В.И., Кажаев В.В. Нелинейные стационарные упругопластические волны в стержне // Проблемы машиностроения и надежности машин. Москва. 2016. № 1. С. 8–10.

Дополнительные материалы отсутствуют.