Проблемы машиностроения и надежности машин, 2019, № 2, стр. 27-39

Введение. Титановые сплавы отличаются высокой удельной прочностью и жесткостью в сочетании с высокой термической и коррозионной стойкостью, что открывают большие перспективы их применения в авиационной промышленности, ракетостроении и транспортном машиностроении. Это определяет необходимость адекватного определения их упругих и демпфирующих свойств, соответствующих реальным условиям режимов работы конструкции.

В расчетах по определению динамической реакции конструкций в колебательных режимах деформирования традиционно используются характеристики упругости материала, найденные при статических испытаниях соответствующих тест-образцов. Однако проведенные динамические испытания дюралюминиевых тест-образцов в режимах изгибных затухающих и резонансных колебаний в диапазоне частот 0–200 Гц [1] показали значительное снижение экспериментально измеренных частот по сравнению с их расчетными значениями, найденными с использованием статического модуля упругости дюралюминия, что нельзя объяснить погрешностями эксперимента, а только существенным снижением модуля упругости дюралюминия в указанном диапазоне частот по сравнению с его статическим номиналом. Это означает, что использование в динамических режимах деформирования статического модуля упругости материала может дать значительные ошибки в определении резонансных частот и динамической напряженности элементов конструкций. Отсюда вытекает необходимость определения упругих свойств других перспективных конструкционных материалов в динамических режимах деформирования.

К числу наименее исследованных механических характеристик титана и его сплавов относится демпфирующая способность, влияющая на динамическую напряженность элементов конструкции в циклических режимах деформирования и, прежде всего, при резонансе, реализующихся в конструкции при совпадении частот ее собственных колебаний с частотой внешнего циклического воздействия. При таком режиме нагружения многократно возрастают амплитудные значения параметров динамического напряженно-деформированного состояния (НДС). Корректное и достоверное их теоретическое определение с необходимой для практических целей точностью требует надлежащего учета в расчетных соотношениях демпфирующих свойств материалов конструкций, обусловленных внутренним трением.

Для экспериментального исследования демпфирующих свойств материалов в диапазоне частот от 50 до 5000 Гц в настоящее время существует международный стандарт ASTM E-756 [2], в соответствии с которым акустическим методом в резонансном режиме исследуются изгибные колебания консольно закрепленных тест-образцов различной структуры. Однако указанный стандарт имеет целый ряд ограничений, сужающих область его применения: 1) невозможно исследование демпфирующих свойств материалов в диапазоне частот от 0 до 50 Гц, наиболее полно отражающим реальные условия эксплуатации большинства конструкций; 2) демпфирующие свойства материалов исследуются в условиях малых амплитуд перемещений, что ограничивает использование полученных результатов для оценки динамического поведения конструкций с большими эксплуатационными амплитудами колебаний, например, лопастей несущих и управляющих винтов вертолетов, ветроэнергоустановок и т.д.; 3) не учитывается демпфирование воздушной среды при колебаниях тест-образцов, что, как показали проведенные исследования [3], может привести к существенным погрешностям в определении демпфирующих свойств как материала так и конструкции в целом, поскольку составляющая внешнего аэродинамического демпфирования будет приписываться к определяемой демпфирующей способности материала.

Имеющиеся экспериментальные и теоретические методы учета аэродинамического демпфирования при изгибных колебаниях тест-образцов в основном направлены на получение коэффициентов аэродинамического сопротивления и структурных формул для вычисления аэродинамической составляющей демпфирования [4–6], что не вписывается в общую конечно-элементную идеологию моделирования динамической реакции по причине отсутствия обоснованных методов получения матрицы аэродинамического демпфирования тест-образца. Наиболее приемлемый способ получения данной матрицы может состоять в использовании классической аппроксимации Морисона [7, 8] для представления погонных сил аэродинамического сопротивления протяженных объектов и конструкций, но данный вопрос пока остается открытым.

Необходимо отметить, что характеристики демпфирования материалов, получаемые при изгибных колебаниях тест-образцов, являются лишь сравнительной оценкой их демпфирующих свойств, и не могут быть использованы в условиях отличных от эксперимента [9]. Отсюда возникает необходимость идентификации реальных демпфирующих свойств материала по экспериментальным характеристикам демпфирования тест-образцов в условиях изгибных колебаний. Данные характеристики получают путем исследования резонансных или затухающих изгибных колебаний тест-образцов. Но проведение эксперимента в условиях резонанса требует чрезвычайно точной настройки частоты источника колебаний из-за высокой чувствительности амплитуды колебаний тест-образца к малым изменениям частоты вблизи резонанса. Поэтому идентификацию демпфирующих свойств материалов более удобно и надежно проводить на основе исследования затухающих изгибных колебаний, соответствующих тест-образцов [3, 10].

Экспериментальная установка для исследования затухающих изгибных колебаний тест-образцов. На кафедре прочности конструкций Казанского национального исследовательского технического университета им. А.Н. Туполева разработана специальная экспериментальная установка [3] для определения динамических характеристик упругости и демпфирующих свойств материалов (изотропных, композитных, эластичных) на основе исследования затухающих изгибных колебаний соответствующих тест-образцов (рис. 1). Установка состоит из основания 1 и силовой стенки 2, жестко соединенных между собой. На стенке консольно закрепляется испытуемый тест-образец 3. Защемление осуществляется с помощью разнесенных планок, соединяемых со стенкой двумя рядами болтовых соединений и исключающих поворот испытуемого тест-образца в сечении заделки. На основании установлена стойка 4 для крепления лазерного датчика перемещений 5, положение которой вдоль основания может изменяться для измерения амплитуды колебаний точек тест-образца при изменении его стрелы вылета.

В установке используется триангуляционный лазерный датчик фирмы RIFTEK (RF603-X/100), обеспечивающий точность измерения амплитуды колебаний 0,01 мм. Результаты измерений в цифровом формате поступают на персональный компьютер. Замеры начинаются с некоторой задержкой по времени, необходимой для перехода из начального (статического) изогнутого состояния на низшую форму колебаний тест-образца. Разработанное математическое обеспечение позволяет осуществить до 2000 замеров прогиба в секунду, и, таким образом, весьма точно отразить реальную виброграмму затухающих колебаний испытуемого образца.

Идентификация частной зависимости динамического модуля упругости титанового сплава ОТ-4. Проведены динамические испытания в режиме затухающих изгибных колебаний серии консольно закрепленных тест-образцов прямоугольного поперечного сечения с длинами L = 140–750 мм, что соответствует диапазону экспериментально измеренных частот ${{f}_{*}}$ = 73.3–2.68 Гц. Статический модуль упругости и плотность сплава ОТ-4: E = 1.1 × 10⁵ МПа; ρ = 4430 кг/м³. Ширина и толщина тест-образцов: b = 20 мм; h = 1.94 мм. Значения динамического модуля упругости отмеченного сплава в указанном диапазоне частот ${{f}_{*}}$ определялись по формуле

следующей из известного соотношения для нахождения низшей частоты свободных изгибных колебаний консольно закрепленного стержня

В табл. 1 приведены длины L тест-образцов, их экспериментальные частоты ${{f}_{*}}$, соответствующие расчетные частоты f, полученные по формуле (2) при статическом модуле упругости E = 1.1 × 10⁵ МПа (для сравнения их с частотами ${{f}_{*}}$), относительное расхождение частот $\Omega = ({{f}_{{\text{*}}}} - f){\text{/}}f$ и значения динамического модуля упругости E_d сплава ОТ-4, полученные по формуле (1) при частотах ${{f}_{*}}$. Обращает на себя внимание факт систематического и значительного снижения экспериментальных частот ${{f}_{*}}$ тест-образцов по сравнению с соответствующими расчетными частотами f, полученными при статическом модуле упругости E = 1.1 × 10⁵ МПа, что нельзя истолковать погрешностями эксперимента (в этом случае величины Ω имели бы больший разброс и различные знаки). Данный факт можно объяснить только существенно меньшим значением динамического модуля упругости E_d исследуемого сплава по сравнению с его статическим модулем упругости E.

Полученные значения E_d имеют некоторый экспериментальный разброс (рис. 2 – точки). Для получения сглаживающей кривой использовалась аппроксимация

Параметры c₁, c₂, c₃, c₄ данной аппроксимации определялись минимизацией целевой функции

где $E_{{d,i}}^{*}$ и ${{E}_{{d,i}}}$ – соответственно табличные и найденные по аппроксимации (3) значения динамического модуля упругости ${{E}_{d}}$. Для отыскания минимума функции (4) использовался метод конфигураций Хука–Дживса [11] с учетом ограничения – равенства ${{E}_{d}}(0)$ = ${{c}_{1}} + {{c}_{3}}$ = E = $1.1 \times {{10}^{5}}$ МПа.

В результате получена зависимость

дающая значения E_d в МПа. На рис. 2 (линия) приведен график полученной зависимости, который показывает значительное снижение динамического модуля упругости сплава ОТ-4 по мере возрастания частоты f в диапазоне 0–25 Гц (примерно на 13.3%) и дальнейшую практическую стабилизацию его при   f  = 25–80 Гц.

Идентификация демпфирующих свойств сплава ОТ-4. Теоретические основы. При затухающих изгибных колебаниях тест-образца материал в любой точке поперечного сечения находится в состоянии циклического растяжения-сжатия. В этом случае демпфирующие свойства материала определяются логарифмическим декрементом колебаний (ЛДК) D, зависящим от амплитуды деформации ε₀. Для представления зависимости D(ε₀) предлагается использовать степенную функцию

Демпфирующие свойства тест-образца при колебаниях по низшей моде определяются ЛДК δ(А), зависящим от амплитуды колебаний А его свободного конца (зависимость δ(А) можно получить обработкой экспериментальной виброграммы затухающих изгибных колебаний тест-образца). Идентификация демпфирующих свойств материала состоит в отыскании параметров α- и β-функции (6) по имеющейся экспериментальной зависимости δ*(А) так, чтобы расчетные ЛДК тест-образца мало отличались от экспериментальных значений δ* при некотором заданном наборе амплитуд A_j ( j = = 1, 2, …, m) в диапазоне представления зависимости δ*(А). Для оценки результатов необходимо ввести норму невязки сравниваемых величин, например, в виде

Здесь F(α, β) – целевая функция, неявно зависящая от параметров α и β; $\delta _{j}^{{\text{*}}}$, ${{\delta }_{j}}$ – соответственно экспериментальные и расчетные ЛДК тест-образца при амплитудах A_j ( j = 1, 2, …, m).

Для нахождения минимума функции нескольких переменных обычно используют метод координатного или скорейшего спуска [11], где требуется вычислять частные производные от данной функции по каждой независимой переменной. Однако, при отсутствии явной зависимости F(α, β) частные производные $\partial F{\text{/}}\partial \alpha $ и $\partial F{\text{/}}\partial {\beta }$ необходимо определять численно. Поэтому предпочтительными будут прямые методы поиска нулевого порядка [11] (симплекс-метод, метод Хука–Дживса, метод Розенброка), не требующие вычисления отмеченных производных. Наиболее удобным является метод Хука–Дживса, который легко реализуется при любой размерности пространства поиска.

При моделировании затухающих изгибных колебаний тест-образца учитываются внутреннее демпфирование, обусловленное необратимым рассеянием энергии в материале, силы аэродинамического сопротивления и частотная зависимость динамического модуля упругости материала. Для учета комплекса перечисленных факторов предлагается использовать метод конечных элементов с представлением тест-образца совокупностью балочных элементов (рис. 3). Узловыми параметрами элемента являются прогибы w₁, w₂ и углы поворота поперечных сечений θ₁, θ₂, зависящие от времени t.

Представим прогиб w(t) в пределах элемента в виде

Здесь ${{r}_{e}}(t) = \{ {{w}_{1}}\;{{\theta }_{1}}\;{{w}_{2}}\;{{\theta }_{2}}\} $, $N = \{ {{N}_{1}}\;{{N}_{2}}\;{{N}_{3}}\;{{N}_{4}}\} $ – вектор базисных функций:

Для получения уравнений движения конечного элемента воспользуемся принципом Даламбера–Лагранжа

Здесь $\delta {{A}_{J}}$, $\delta {{A}_{\sigma }}$, $\delta {{A}_{a}}$ – соответственно возможные работы сил инерции, нормальных напряжений σ и сил аэродинамического сопротивления, определяемые с учетом представления (7). Символ δ в (8) и далее означает варьирование величины справа от него. Выражение для $\delta {{A}_{J}}$ получается следующим:

Здесь m – погонная масса тест-образца, ${{M}_{e}}$ – матрица масс конечного элемента:

Возможная работа $\delta {{A}_{\sigma }}$ зависит от модели неупругого деформирования материала. Если материал тест-образца обладает вязкоупругими свойствами, то для их описания можно использовать физические зависимости между компонентами тензора напряжений ${{\sigma }_{{ij}}}$, тензора деформаций ${{\varepsilon }_{{ij}}}$ и тензора скоростей деформаций ${{\dot {\varepsilon }}_{{ij}}}$ = $\partial {{\varepsilon }_{{ij}}}{\text{/}}\partial t$: ${{\sigma }_{{ij}}}$ = ${{\sigma }_{{ij}}}({{\varepsilon }_{{ij}}},{{\dot {\varepsilon }}_{{ij}}})$. При одноосном напряженном состоянии простейшая из таких зависимостей, наиболее часто используемая на практике, соответствует известной модели Фойгта–Томпсона–Кельвина [12, 13]

где σ, ε, $\dot {\varepsilon }$ – соответственно нормальное напряжение, относительная деформация и скорость ее изменения по времени t; E, η – модуль упругости и коэффициент вязкости материала. Коэффициент η связан с ЛДК D(ε₀) материала зависимостью где ω – круговая частота деформирования материала. В случае зависимости упругих свойств материала от частоты ω, модуль E необходимо заменить динамическим модулем упругости E_d [14, 15]. С учетом такой замены и зависимости (12) модель (11) принимает вид

В этом случае возможная работа $\delta {{A}_{\sigma }}$ будет такой

Деформация ε и ее амплитуда ε₀ в точке z поперечного сечения элемента определяются геометрическими зависимостями

Здесь ${{{\chi }}_{0}}(x)$ – амплитуда кривизны оси элемента. Будем считать, что величина ${{{\chi }}_{0}}$ не зависит от x и равна ее значению в середине элемента. Тогда вместо (6) получается зависимость

Подставляя данную зависимость в выражение (13) и учитывая (14) получаем

Последнее выражение можно привести к виду

где ${{K}_{e}}$, ${{C}_{{e,m}}}$ – соответственно матрица жесткости и матрица внутреннего демпфирования конечного элемента:

При определении сил аэродинамического сопротивления считается, что аэродинамическое взаимодействие может быть сведено к инерционному эффекту присоединенной массы и аэродинамическому демпфированию. Инерционный эффект приводит к снижению частоты, а аэродинамическое демпфирование – к росту ЛДК тест-образца по сравнению с его колебаниями в вакууме. Классической в этом случае является аппроксимация Морисона [7, 8]

Здесь P_a(x, t) – погонная аэродинамическая сила, ρ_a – плотность воздуха, C_M – коэффициент присоединенной массы; C_D – коэффициент аэродинамического сопротивления, $u = \dot {w}$ – скорость потока относительно тест-образца на бесконечности. Коэффициенты C_M и C_D являются функциями безразмерных параметров ${{\kappa }_{0}} = A{\text{/}}b$, $d = {{b}^{2}}\omega {\text{/}}(2\pi \mu )$ и $\Delta = h{\text{/}}b$, где μ – кинематическая вязкость воздуха. В работе [4] показано, что при колебаниях тест-образца в воздухе влияние присоединенной массы на относительное снижение частоты ω (по сравнению с частотой в вакууме) составляет величину порядка 0,001. Поэтому далее этим влиянием можно пренебречь и вместо (17) использовать выражение

Коэффициент аэродинамического сопротивления обычно представляется в виде суммы вязкой C_vis и вихревой C_vort составляющих [4, 16]: C_D = C_vis + C_vort. Влияние вязкой составляющей на ЛДК тест-образца существенно только на малых амплитудах колебаний. При этом можно использовать аналитическое приближение Стокса, из которого для тонкого тест-образца (Δ < 1/3) следует формула [17]

где $W(\xi )$ – нормированная низшая мода колебаний тест-образца

Для определения составляющей ${{C}_{{{\text{vort}}}}}$ можно воспользоваться аппроксимацией, приведенной в работе [6]

Перейдем к определению возможной работы погонной аэродинамической силы P_a(x, t) по длине конечного элемента. При этом будем считать, что величины C_D и $\left| {\dot {w}} \right|$ в пределах элемента постоянны и равны их значениям в его середине

Подставляя сюда представление (7) получаем

С учетом равенства (10) и выражения для погонной массы m = ρbh последнее соотношение можно привести к виду

где ${{C}_{{e,a}}}$ – матрица аэродинамического демпфирования конечного элемента:

Подставляя выражения (9), (15) и (18) в уравнение (8) и учитывая условие $\delta {{r}_{e}} \ne 0$, получаем систему уравнений движения конечного элемента

Объединяя данные уравнения по направлениям общих для смежных конечных элементов узловых перемещений приходим к системе разрешающих уравнений

где $M$, ${{С }_{m}}$, ${{С }_{a}}$, $K$, $r$ – соответственно матрица масс, матрицы внутреннего и аэродинамического демпфирования, матрица жесткости и вектор узловых перемещений конечно-элементной модели тест-образца. Необходимо заметить, что матрица $K$ в уравнениях (20) должна вычисляться при динамическом модуле упругости E_d, зависящим от расчетной частоты f, которая на момент формирования системы (20) еще неизвестна. Поэтому процесс определения частоты f необходимо итерировать [1] используя полученную зависимость (5). Однако, проведенные численные эксперименты показали, что поученная таким образом частота f оказывается довольно близкой к экспериментальной частоте ${{f}_{{\text{*}}}}$. Поэтому с целью сокращения трудоемкости вычисления матрицы $K$ динамический модуль E_d можно вычислять по зависимости (5) при экспериментальной частоте ${{f}_{{\text{*}}}}$.

Из выражений (16) и (19) видно, что матрица ${{С }_{m}}$ должна зависеть от амплитуд кривизны χ₀, а матрица ${{С }_{a}}$ – от модулей скоростей $\left| {\dot {w}} \right|$ центров конечных элементов. В этом случае уравнения (20) возможно решить только с использованием прямых шаговых методов с вычислением матрицы ${{С }_{a}}$ на каждом шаге интегрирования и пересчетом матрицы ${{С }_{m}}$ на каждом цикле колебаний, что приводит к высокой трудоемкости решения данных уравнений. В связи с этим вместо (19) предлагается использовать соотношение

где ${{\left| {\dot {w}} \right|}_{{{\kern 1pt} s}}}$ – средний модуль скорости центра элемента за период T, определяемый по его амплитуде колебаний w₀

Это дает возможность пересчитывать матрицу ${{С }_{a}}$ не на каждом шаге интегрирования, а так же как и матрицу ${{С }_{a}}$, на каждом цикле колебаний в соответствии с достигнутыми значениями w₀ центров конечных элементов.

Так как затухающие колебания тест-образца происходят по низшей моде F, то справедливо представление r = Fq, где q – нормальная координата данной моды. Это дает возможность перейти от системы (20) к уравнению

с модальными параметрами и начальными условиями: $q(0) = {{{{A}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{A}_{0}}} {{{F}_{w}}}}} \right. \kern-0em} {{{F}_{w}}}}$; $\dot {q}(0) = 0$, где A₀ – начальная амплитуда; F_w – компонента моды F, соответствующая прогибу w свободного конца тест-образца. Уравнение (21) можно представить в виде где $n = {{({{c}_{{q,m}}} + {{c}_{{q,a}}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{({{c}_{{q,m}}} + {{c}_{{q,a}}})} {(2{{m}_{q}})}}} \right. \kern-0em} {(2{{m}_{q}})}}$, ${{{\omega }}^{2}} = {{{{k}_{q}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{k}_{q}}} {{{m}_{q}}}}} \right. \kern-0em} {{{m}_{q}}}}$.

Уравнение (22) дает возможность определить расчетные амплитуды затухающих колебаний и соответствующие им ЛДК тест-образца. При этом вместо шагового интегрирования возможно использовать алгоритм прогонки [18], значительно сокращающий процесс определения отмеченных параметров:

Модальные параметры $c_{{q,m}}^{{(i + 1)}}$ и $c_{{q,a}}^{{(i + 1)}}$ вычисляются при амплитуде колебаний A^(i + 1) по соответствующим матрицам демпфирования C_m и C_a тест-образца. Необходимые для этого значения амплитуды кривизны ${\chi }_{0}^{{(i + 1)}}$ в серединах конечных элементов определяются выражением

где θ_1, F, θ_2, F – компоненты моды F, соответствующие углам поворота θ₁, θ₂ узлов конечного элемента.

Необходимо отметить, что зависимости $D({{\varepsilon }_{0}}) = \alpha \varepsilon _{0}^{\beta }$, найденные на различных тест-образцах, могут иметь значительный разброс. Поэтому данные зависимости необходимо определять на нескольких тест-образцах, усредняя после этого полученные результаты.

Численные эксперименты. Для идентификации параметров α и β зависимости $D({{\varepsilon }_{0}})$ = $\alpha \varepsilon _{0}^{\beta }$ титанового сплава ОТ-4 использовались экспериментальные ЛДК шести тест-образцов с длинами 150, 160, 175, 200, 225 и 250 мм. Толщина и ширина тест-образцов: h = 1.94 мм; b = 20 мм. Экспериментальные ЛДК тест-образцов определялись по известной формуле

Для представления аналитической зависимости огибающей $A(t)$ использовалась аппроксимация

с параметрами a₁, a₂, a₃, a₄, определяемыми из условия где $A_{i}^{{\text{*}}}$, A_i – амплитуды, найденные соответственно по экспериментальной виброграмме затухающих колебаний тест-образца и по зависимости (24). Таким образом, формула (23) и аппроксимация (24) при известных параметрах a₁, a₂, a₃, a₄, в параметрическом виде (через время t) задают необходимую для идентификации параметров α и β экспериментальную амплитудную зависимость ЛДК δ*(A) тест-образца.

Поиск параметров α и β зависимости $D({{\varepsilon }_{0}}) = \alpha \varepsilon _{0}^{\beta }$ осуществлялся методом Хука–Дживса при координатах базовой точки

с шагами ${{h}_{1}} = {{{{{\alpha }}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{\alpha }}_{0}}} {{\text{1000}}}}} \right. \kern-0em} {{\text{1000}}}}$ и ${{h}_{2}} = {{{{{\beta }}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{\beta }}_{0}}} {{\text{1000}}}}} \right. \kern-0em} {{\text{1000}}}}$ по соответствующим координатным направлениям пространства поиска (α, β). В табл. 2 приведены длины L тест-образцов, координаты базовой точки α₀, β₀, найденные параметры α и β зависимости $D({{\varepsilon }_{0}}) = \alpha \varepsilon _{0}^{\beta }$, а так же число r исследованных при поиске точек и достигнутые значения целевой функции F(α, β).

На рис. 4 для примера приведены экспериментальная (пунктирная линия) и расчетная (сплошная линия) амплитудные зависимости ЛДК тест-образца длиной L = 175 мм. Полученные зависимости являются достаточно близкими между собою, что свидетельствует о хорошем качестве поиска параметров α и β.

На рис. 5 приведены полный ЛДК (1), параметр внутреннего демпфирования (ПВД) (2), обусловленный демпфирующими свойствами материала и аэродинамическая составляющая демпфирования (3) тест-образца длиной L = 225 мм. Нетрудно видеть, что аэродинамическое сопротивление заметно увеличивает демпфирующие свойства тест-образца (по сравнению с ПВД), что говорит о необходимости учета данного сопротивления при идентификации демпфирующих свойств титанового сплава ОТ-4.

По параметрам α и β, приведенным в табл. 2, проведено арифметическое усреднение зависимостей $D({{\varepsilon }_{0}}) = \alpha \varepsilon _{0}^{\beta }$ в 50 точках рабочего диапазона амплитуд деформаций ε₀ = [0.123 × 10^–3; 1.056 × 10^–3] с последующей идентификацией окончательной амплитудной зависимости ЛДК титанового сплава ОТ-4 по отмеченным точкам. В результате получена зависимость

показывающая заметное увеличение ЛДК отмеченного сплава при возрастании амплитуды деформации ε₀ (рис. 6).

Выводы. Показано снижение динамического модуля упругости титанового сплава ОТ-4 при растяжении–сжатии в диапазоне частот  f  = 0–25 по сравнению с его статическим номиналом (примерно на 13.3%) с дальнейшей практической стабилизацией отмеченного модуля при частотах 25–80 Гц, что необходимо учитывать при определении собственных частот колебаний и динамической напряженности элементов конструкций, изготовленных из данного сплава. Построена матрица аэродинамического демпфирования конечного элемента, позволяющая включить аэродинамическое сопротивление в расчетный ЛДК тест-образца при идентификации демпфирующих свойств материала. Получена усредненная зависимость ЛДК сплава ОТ-4 при растяжении-сжатии от амплитуды соответствующей деформации на основе исследования затухающих изгибных колебаний серии тест-образцов, показывающая заметное возрастание демпфирующих свойств отмеченного сплава при увеличении амплитуды деформации ε₀.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 14-19-00667).