Проблемы машиностроения и надежности машин, 2019, № 3, стр. 27-35

Введение. Отличительной чертой весьма пологой панели или пластины с начальной погибью является реализация разных напряженно-деформированных состояний в зависимости от знака перепада давлений на ее поверхности [1, 2]. Если обозначить через h толщину, γ – удельный вес материала, $\gamma h$ – вес единичной площадки панели, ${{p}_{1}}$, ${{p}_{2}}$ – избыточные давления, действующие на нижнюю и верхнюю поверхности панели выпуклостью вниз, то при увеличении поперечной нагрузки, направленной вниз (${{p}_{1}} < \gamma h + {{p}_{2}}$), происходит плавное возрастание ее прогиба. При ${{p}_{1}} > \gamma h + {{p}_{2}}$ и некоторых дополнительных условиях на входные параметры может происходить резкое перемещение панели в сторону ее вогнутости (“хлопок” [2]). Подъемистые панели прохлопывают, как правило, по несимметричной форме. Для весьма пологих панелей характерна только симметричная форма прохлопывания [2–6].

Насколько известно, в литературе [1–10] отсутствует анализ напряженно-деформированного состояния при изгибе тонких упругих пластин, оболочек и мембран в зависимости от среднего давления окружающей среды. В классической теории изгиба принимается, что поперечная распределенная нагрузка q на тонкую пластину равна $q = \gamma h + {{p}_{2}} - {{p}_{1}}$. В случае малого среднего избыточного давления или приложения избыточного давления только к одной из поверхностей, а также малом отношении среднего давления к модулю упругости материала Е это значение q является достаточно точным.

Учет влияния разности площадей нижней и верхней поверхностей, среднего давления p_m = (p₁ + p₂)/2 на цилиндрический изгиб удлиненной пластины приводит к выражению для распределенной поперечной нагрузки [11, 12]

где функция прогиба w(x) зависит от эффективной жесткости D(1 + α). Здесь D – изгибная жесткость пластины, α – безразмерный параметр, который для шарнирно закрепленной пластины длиной L равен При получении (1), (2) предполагается, что кромки пластины изолированы от действия давлений р₁, р₂. Это зависит от конструкции опорных устройств (например, защемление, которое препятствует продольному перемещению пластины).

Для конструкций типа железобетонных, корабельных при атмосферном давлении или односторонних невысоких давлениях параметр α равен нулю или весьма мал. Но для конструкций оборудования нефтехимии, энергетики, глубоководных аппаратов, аэрокосмической техники могут быть немалые значения α. Если $E = 2 \times {{10}^{6}}$ бар (сталь), ${{p}_{m}} = 20$ бар, $L{\text{/}}h = {{10}^{2}}$, то $\alpha = 0.1$. Эффективная жесткость повышается на 10%. В случае $E = 2 \times {{10}^{5}}$ бар (магниевый сплав) параметр α = 1. При этом эффективная жесткость равна 2D, прогиб меньше в два раза, чем в случае, когда не учитывается разность площадей верхней и нижней поверхностей пластины.

В работе [12] значение прогиба при определении параметра α по моделям Кирхгоффа и Тимошенко сравнивается с классическим результатом. В [13] изучено поведение пластины при вакуумировании ее поверхностей. При этом значение параметра α отрицательное. Установлена возможность выпучивания пластины под действием среднего отрицательного давления при равенстве отрицательных избыточных давлений.

1. Постановка задачи. Круглая весьма пологая панель, выпуклостью обращенная вниз, испытывает давления p₀ + p₁, p₀ + p₂ на нижнюю и верхнюю поверхности (рис. 1). Здесь p₀ – атмосферное давление, p₁, p₂ − избыточные давления, которые могут иметь и отрицательные значения (вакуумирование поверхностей панели). В последнем случае должно быть ограничение p₀ + p₁ ≥ 0, p₀ + p₂ ≥ 0. Для случая жидкости можно принять p₀ + p₁ ≥ ${{p}_{\text{v}}}$, p₀ + p₂ ≥ ${{p}_{\text{v}}}$, где ${{p}_{\text{v}}}$ – давление насыщенных паров (для воды ${{p}_{\text{v}}}$ = = 0.022 бар). Задаются определенные условия закрепления на кромке r = с и действия давления на эти кромки. Предполагается, что на сечение r = с действует либо только давление p₀, либо p₀ + p_m, где p_m − среднее избыточное давление. Под действием этих давлений и собственного веса происходит осесимметричный изгиб. Направление вниз принимается за положительные значения распределенной поперечной силы q, начального и текущего прогибов, оси z.

Система нелинейных уравнений весьма пологой панели (или пластины с начальной погибью ${{w}_{0}}(r)$) относительно функции прогиба $w(r)$ и функции напряжений $\Phi (r)$ имеет вид [2, c. 179]

Предполагается, что в начальном состоянии панель находится под всесторонним атмосферным давлением p₀ (оно действует также на кромку r = с). Это состояние панели считается ненапряженным. Прогиб w возникает при действии избыточных давлений p₁ и p₂. Относительно w, Φ используются граничные условия защемления и свободного перемещения точек контура по радиусу

Нелинейная краевая задача (3)–(4) основана на гипотезах Кирхгоффа [2]. При определении поперечной распределенной нагрузки $q$ также остаемся в рамках этих гипотез, в соответствии с которыми кривизны срединной поверхности равны Площадь срединной поверхности равна $dS = dr \cdot rd\varphi $, площади нижней и верхней поверхностей $d{{S}_{1}}$, $d{{S}_{2}}$ выражаются через кривизны следующим образом

Равнодействующая поперечных сил равна

Здесь собственный вес панели отнесен к срединной поверхности. Подставляя выражения (5), (6) в (7) и отбрасывая нелинейные члены, получаем

С учетом $q$ из (8) функцию $\Psi $ можно записать в виде

С целью упрощения анализа принимаем приближенные выражения для начальных и дополнительных прогибов, удовлетворяющие условиям (4), в виде [2, с. 205]

Здесь ${{f}_{0}}$, $f$ – соответствующие стрелы прогибов.

Подставив функции (10) во второе уравнение (3), получаем следующее ограниченное при $r = 0$ выражение

При свободном смещении края пластины по радиусу из последнего условия (4) следует C = $(E{\text{/}}{{c}^{2}})({{f}^{2}} + 2f{{f}_{0}})$. Подставим в первое уравнение (3) и в (9) выражения Интегрируя уравнение (3) по методу Бубнова–Галеркина с учетом выражений (10), получаем относительно амплитуды безразмерного прогиба $\xi = f{\text{/}}h$

Известно [4], что при условии соответствия аппроксимаций дополнительного прогиба пластинки и ее начальной погиби, вывод основного уравнения можно распространить и на другие граничные условия. Например, при условиях шарнирного опирания, когда точки контура смещаются свободно

выражения для параметров A и α в уравнении (12) принимают вид

2. Изгиб при направлении нагрузки в сторону выпуклости панели. В этом случае γh + p₂ > > ${{p}_{1}}$ (${{p}_{e}} < 0$). Рассмотрим случай защемления кромки панели.

На рис. 2 изображены монотонно возрастающие зависимости $q{\text{*}}(\xi )$ по (12) при $\alpha = 6$ (сплошные линии) и $\alpha = 0$ (штриховые линии) для ряда значений начальной погиби ξ₀. С увеличением поперечной силы происходит рост относительного дополнительного прогиба ξ, что увеличивает кривизну панели.

В классическом решении [2] рост прогиба начинается, как только появляется поперечная сила $q{\text{*}}$ (штриховые линии на рис. 2). В отличие от него при $\alpha > 0$ положительный прогиб проявляется только при некотором ненулевом значении поперечной силы $q{\text{*}}$. Чем больше параметр α, тем больше значение $q{\text{*}}$, при котором начинается дополнительный прогиб панели. Это значение $q{\text{*}}$ может быть определено из уравнения (12), в котором отбрасываются нелинейные члены. Решение его имеет вид

Здесь увеличению жесткости за счет среднего давления соответствует член $16\alpha {{[3(1 - {{\nu }^{2}})]}^{{ - 1}}}$ в левой части. Выражение в скобках в левой части характеризует эффективную жесткость панели, а в правой части – эффективную поперечную распределенную силу. Рост прогиба происходит только при положительном значении правой части (14) q* > 6αξ₀ (при ν = 1/3). В размерных величинах это неравенство имеет вид При выполнении условия (15) прогиб панели и кривизна ее возрастают, а при нарушении его появляется отрицательное значение ξ. Следовательно, точки панели перемещаются в сторону, обратную направлению распределенной поперечной силы ${{p}_{e}}$ (или $q{\text{*}}$), кривизна уменьшается. Наибольшее перемещение получается при ${{p}_{e}}{\text{/}}{{p}_{m}} \to 0$. Тогда, предполагая $\xi = \varepsilon - {{\xi }_{0}}$, $\varepsilon \ll {{\xi }_{0}}$, производя линеаризацию уравнения (12) относительно ε, получаем при $\nu = 0.3$Эти формулы тем точнее, чем больше параметр α и меньше стрела начальной погиби. При $\alpha = 6$, ${{\xi }_{0}} = 1$ и 2 (рис. 2) из (16) следуют соответственно значения $\xi \approx - 0.85$ и $\xi \approx - 1.78$. Таким образом, весьма пологая панель при отсутствии перепада давлений (${{p}_{e}} = 0$) и высоком среднем давлении ${{p}_{m}}$ выпрямляется, приближаясь к плоскости, проходящей через круговую опору. При этом возникают напряжения изгиба, а также сжатия в центральной части и растяжения по периферии. Из классической теории пластин и оболочек в рассматриваемом случае следует отсутствие перемещений и напряжений. Этот эффект имеет место и в более общем случае. Например, при $q* = 50$, ${{\xi }_{0}} = 2$ и $\alpha = 0$ из рис. 2 следует, что стрела безразмерного прогиба равна $f{\text{/}}h \approx 2$, а при $\alpha = 6$ равна $f{\text{/}}h = - 0.5$ (выпрямление).

Для значений параметра α с разными знаками на рис. 3 представлены зависимости безразмерного прогиба в центре панели от безразмерного параметра $q{\text{*}}$ для значений ${{\xi }_{0}} = 0$; 1; 2. Видно, что в окрестности $q{\text{*}} = 0$, при ${{\xi }_{0}} > 0$, $\alpha = 0.3$ за счет влияния среднего давления p_m наблюдается изгиб в сторону вогнутости (при нарушении условия (15)), затем прогиб плавно возрастает. Как и выше, при фиксированном значении $q{\text{*}}$ при увеличении α прогиб в центре уменьшается, а при отрицательном значении α – возрастает.

Линейное решение (14) неограниченно возрастает при значении параметра $\alpha \approx - 1$ – – $0.3\xi _{0}^{2}$ (при $\nu $ = 1/3), которое можно считать критическим. Для вакуумированной плоской пластины (${{\xi }_{0}} = 0$) критическое значение равно $\alpha = - 1$ [13]. При этом предполагается, что на кромки пластины и панели действует только давление ${{p}_{0}}$.

3. Изгиб при поперечном направлении нагрузки в сторону вогнутости панели. При этом нужно изменить знак в правой части уравнения (12) или знак ξ₀ на отрицательный (рис. 4a). Примем последний случай. Тогда уравнение (12) приобретает вид

Приравнивая нулю $dq{\text{*/}}d\xi $, определим значения ξ₀, при которых $q{\text{*}}$ в (17) достигают экстремальных значений

При этом верхняя и нижняя критические силы равны

На рис. 4 представлены зависимости $q{\text{*}}(\xi )$ для случая защемленного края панели, когда относительная начальная погибь равна удвоенной (рис. 4б) и учетверенной (рис. 4в) толщине пластины. При этом рассмотрены варианты без учета влияния среднего давления на изгиб (кривые $\alpha = 0$) и с учетом (кривые $\alpha = 0.3$, $\alpha = - 0.3$).

При малой относительной начальной погиби (рис. 4б) с ростом перепада давления прогиб монотонно возрастает. Увеличение параметра $\alpha $ при фиксированном значении $q{\text{*}}$ до точки перегиба (${{d}^{2}}q{\text{*/}}d{{\xi }^{2}}$ = 0) при $\xi = {{\xi }_{0}}$ приводит к росту прогиба, а после – к уменьшению. Это объясняется тем, что до положения панели, совпадающей с плоскостью, проходящей через круговую опору (до точки перегиба), направления сил от перепада давлений и среднего давления совпадают. После перехода через плоскость, сила от среднего давления направлена против силы от перепада ввиду изменения знака кривизны. Это видно по соотношениям (8).

При выполнении условия (18) (${{\xi }_{0}} = 4$, рис. 4в) после достижения верхней критической силы с интенсивностью $q_{B}^{*}$, отмеченной точками, происходит хлопок. Хлопок представляет собой скачкообразный переход панели из равновесного состояния с относительно небольшими прогибами в равновесное состояние с большими прогибами [2, 7]. При последовательном уменьшении силы после достижения $q_{H}^{{\text{*}}}$ (значок ×) панель скачком возвращается в состояние с малыми прогибами. Из рис. 4в видно, что наибольшие значения верхней критической силы $q_{B}^{*}$ наблюдаются при вакуумировании ($\alpha = - 0.3$), увеличение параметра $\alpha $ приводит к уменьшению $q_{B}^{*}$. До хлопка при постоянном значении перепада давления с ростом $\alpha $ прогиб увеличивается. После хлопка при фиксированном значении $q{\text{*}}$ с увеличением параметра $\alpha $ прогиб уменьшается. Отметим, что в данном примере наименьшие значения $q_{H}^{*}$ наблюдаются при $\alpha = - 0.3$.

5. Заключение. Влияние на изгиб среднего избыточного давления p_m = (p₁ + p₂)/2 на поверхности тонкой круглой весьма пологой панели радиусом с и толщиной h определяется безразмерным параметром $\alpha \approx \kappa \left( {\frac{{{{p}_{m}}}}{E}} \right){{\left( {\frac{c}{h}} \right)}^{2}}$, где Е – модуль упругости материала, κ – коэффициент, зависящий от граничных условий (при $\nu $ = 1/3 для шарнирного опирания κ = 0.99, при защемлении – κ = 0.67), p₁, p₂ – избыточные давления на нижнюю и верхнюю поверхности.

В случае, когда распределенная поперечная нагрузка q = γh + p₂ – p₁ направлена в сторону выпуклости панели, происходит монотонное возрастание ее прогиба. Но при увеличении параметра $\alpha $ для фиксированного значения q прогиб уменьшается. При высоких значениях $\alpha $, когда влияние среднего давления превосходит поперечную силу, панель выпрямляется, принимает плоскую форму.

Если поперечная нагрузка действует на панель в направлении начальной вогнутости, то при больших ξ₀ достигаются верхняя и нижняя критические нагрузки. При этом наибольшее и наименьшее значения критической нагрузки наблюдаются при отрицательных значениях параметра $\alpha $.

Благодарности. Авторы выражают благодарность М.С. Ганеевой и З.В. Скворцовой за обсуждение статьи.

Конфликт интересов: Авторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.