Проблемы машиностроения и надежности машин, 2019, № 6, стр. 71-77

РЕЗОНАНСНАЯ НАСТРОЙКА И ПАРАМЕТРЫ КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ С ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ВОЗБУДИТЕЛЕМ

В. К. Асташев 1*, К. А. Пичугин 1

1 Институт машиноведения им. А.А. Благонравова РАН
г. Москва, Россия

* E-mail: v_astashev@mail.ru

Поступила в редакцию 15.05.2019
Принята к публикации 08.08.2019

Полный текст (PDF)

Аннотация

Определяются условия резонансной настройки стержневой системы с пьезоэлектрическим возбудителем колебаний. Показано, что резонансная частота зависит как от размеров системы, так и от места расположения возбудителя. Определены основные особенности поведения системы в резонансных режимах. Приводится сравнение параметров резонансных колебаний с параметрами колебаний классического преобразователя Ланжевена.

Ключевые слова: преобразователь Ланжевена, ультразвук, пьезоэлементы, резонанс, стержневая система

Эффективность ультразвуковой технологической системы в значительной степени определяется величиной амплитуды колебаний инструмента. Для ее получения система возбуждается на резонансной частоте. В качестве возбудителя колебаний в настоящее время наиболее часто используются пьезокерамические элементы, размещенные между двумя стержневыми волноводами. По сравнению с магнитострикционными пьезокерамические возбудители имеют ряд преимуществ: малые размеры, простота конструкции, небольшой нагрев в процессе работы, отсутствие системы подмагничивания постоянным током. Существенный недостаток пьезовозбудителей обусловлен необходимостью создания предварительного натяга, достаточного для предотвращения раскрытия стыков в процессе работы. Возникающие предварительные статические напряжения и деформации обуславливают ограничения амплитудных значений сил и деформаций, возникающих при колебаниях. Следует отметить, что стержневые колебательные системы с пьезовозбудителем строятся, как правило, по схеме преобразователя Ланжевена, частота колебаний которого выбирается равной одной из собственных частот стержня суммарной длины, а пьезоэлементы помещают или в узле, или в пучности одной из собственных форм колебаний стержня.

В настоящей статье приведены результаты анализа математической модели ультразвуковой стержневой системы. Показано, что классическая настройка преобразователя Ланжевена не является резонансной в общепринятом понимании этого термина. Отыскиваются условия резонансной настройки, системы и определяются параметры резонансных режимов. Проведенные исследования являются отправной точкой для оптимизации системы при наличии ограничений на конструктивные и динамические параметры.

Уравнения колебаний системы. Схема рассматриваемой стержневой системы показана на рис. 1. Она состоит из двух стержней – волноводов 1 и 2, между которыми установлен жестко связанный с ними пакет 3 пьезоэлементов. Жесткая связь элементов системы на практике осуществляется с помощью резьбового соединения, свойства которого в дальнейшем не учитываются. На обкладки пьезоэлемента подается переменное напряжение $v(t) = V{{e}^{{j\omega t}}}$с амплитудой V и частотой ω $(j = \sqrt { - 1} )$.

Рис. 1.

Электрическое напряжение приводит к появлению заряда на обкладках пьезоэлементов и вызывает их деформацию. Механические напряжения, возникающие в материале пьезоэлемента в результате его взаимодействия со стержнями, вызывают появление дополнительного заряда на обкладках и, как следствие, дополнительную деформацию. Рассматривая далее установившиеся гармонические колебания системы, запишем уравнения, связывающие амплитуды электрических и механических колебаний [1, 2]

(1)
$\tilde {F} = K\tilde {a} + \Phi \tilde {q},\quad V = \Phi \tilde {a} + \tilde {q}{\text{/}}C,$
где $\tilde {F}$, $\tilde {a}$, $\tilde {q}$ – комплексные амплитуды сил, действующих на пьезоэлемент, его деформации и заряда на его обкладках; $K$ – жесткость пьезоэлемента в отсутствие индукции, т.е. при коротко замкнутых обкладках; $С$ – его емкость в отсутствие механических напряжений; $\Phi $ – пьезоэлектрическая постоянная Мэсона.

Предположим, что вследствие малой толщины и высокой добротности пьезокерамической пластины ее деформацию можно считать однородной и не учитывать диссипативные и инерционные характеристики.

Используя понятие динамической податливости $L_{{sr}}^{{(i)}} = L_{{sr}}^{{(i)}}(j\omega )$, связывающей комплексные амплитуды колебаний $\tilde {a}_{r}^{{(i)}}$ сечения r стержня i (i = 1, 2) и силы, действующей в сечении s, запишем соотношения определяющие амплитуды колебаний крайних сечений стержней

(2)
$\tilde {a}_{0}^{{(1)}} = - \tilde {F}L_{{00}}^{{(1)}},\quad \tilde {a}_{l}^{{(1)}} = - \tilde {F}L_{{0l}}^{{(1)}},\quad \tilde {a}_{0}^{{(2)}} = \tilde {F}L_{{l0}}^{{(2)}},\quad \tilde {a}_{l}^{{(2)}} = \tilde {F}L_{{ll}}^{{(2)}}.$

Координаты сечений стержней отсчитываются от их левых торцов.

Принимая во внимание неразрывность связей пьезоэлемента с волноводами, с помощью выражений (2), найдем амплитуду деформации пакета пьезоэлементов.

(3)
$n\tilde {а} = \tilde {a}_{0}^{{(1)}} - \tilde {a}_{l}^{{(2)}} = - \tilde {F}(L_{{00}}^{{(1)}} + L_{{ll}}^{{(2)}}),$
где n – число пьезоэлементов в пакете.

После подстановки соотношения (3) в уравнения (1) и решения полученной системы относительно неизвестных комплексных амплитуд силы $\tilde {F}$ и заряда $\tilde {q}$ найдем

(4)
$\tilde {F} = \frac{{VC\Phi }}{{1 + (L_{{00}}^{{(1)}} + L_{{ll}}^{{(2)}}){{K}_{1}}{\text{/}}n}},\quad \tilde {q} = \frac{{VC[1 + (L_{{00}}^{{(1)}} + L_{{ll}}^{{(2)}})K{\text{/}}n]}}{{1 + (L_{{00}}^{{(1)}} + L_{{ll}}^{{(2)}}){{K}_{1}}{\text{/}}n}},$
где ${{K}_{1}} = K - C{{\Phi }^{2}}$ – жесткость пьезоэлемента при наличии индукции, т.е. при разомкнутых обкладках.

Заметим, что равенства (4) совпадают с полученными в [3] при n = 1. Кроме найденных параметров (4) рабочего состояния пьезоэлемента, нас в первую очередь, будут интересовать амплитуды его деформации и колебаний рабочего торца стержня 1. Используя соотношения (2)–(4), находим

(5)
$\tilde {а} = - VC\Phi \frac{{{\text{(}}L_{{00}}^{{(1)}} + L_{{ll}}^{{(2)}}{\text{)/}}n}}{{1 + (L_{{00}}^{{(1)}} + L_{{ll}}^{{(2)}}){{K}_{1}}{\text{/}}n}},\quad \tilde {a}_{l}^{{(1)}} = - VC\Phi \frac{{L_{{0l}}^{{(1)}}}}{{1 + (L_{{00}}^{{(1)}} + L_{{ll}}^{{(2)}}){{K}_{1}}{\text{/}}n}}.$

Для построения динамических характеристик (4), (5) воспользуемся приведенными в [3, 4] выражениями для динамических податливостей стержней

(6)
$L_{{ll}}^{{(2)}}(j\omega ) = - \frac{1}{{w\omega }}\frac{{\cos {{\zeta }_{2}} - j\frac{\psi }{{4\pi }}(\cos {{\zeta }_{2}} - {{\zeta }_{2}}\sin {{\zeta }_{2}})}}{{\sin {{\zeta }_{2}} - j\frac{\psi }{{4\pi }}{{\zeta }_{2}}\cos {{\zeta }_{2}}}}$
где ${{{\zeta }}_{i}} = {\omega }{{l}_{i}}{\text{/}}c$; – скорость звука в материале стержней (i = 1, 2); $w = S\sqrt {E{\rho }} $ – волновое сопротивление стержней; E, ρ, ψ – модуль упругости, плотность и коэффициент рассеяния материала стержней; S – площадь их поперечного сечения.

В дальнейшем, рассматривая различные возможные настройки системы, будем полагать, что суммарная длина стержней $l = {{l}_{1}} + {{l}_{2}}$ = const, и введем в рассмотрение безразмерную величину ${\zeta } = {{{\zeta }}_{i}} + {{{\zeta }}_{2}}$ = ${\omega }l{\text{/}}c$, играющую роль безразмерной частоты возбуждения. Используя выражения (6), найдем амплитуды основных параметров (4), (5) колебаний стержневой системы

$\tilde {F} = \frac{{VC\Phi \left[ {\sin {{\zeta }_{1}}\sin {{\zeta }_{2}} - j\frac{\psi }{{4\pi }}({{\zeta }_{2}}\sin {{\zeta }_{1}}\cos {{\zeta }_{2}} + {{\zeta }_{1}}\sin {{\zeta }_{2}}\cos {{\zeta }_{1}})} \right]}}{{\sin {{\zeta }_{1}}\sin {{\zeta }_{2}} - \frac{{{{K}_{1}}}}{{n{{K}_{0}}\zeta }}\sin \zeta - j\frac{\psi }{{4\pi }}\left[ {({{\zeta }_{2}}\sin {{\zeta }_{1}}\cos {{\zeta }_{2}} + {{\zeta }_{1}}\sin {{\zeta }_{2}}\cos {{\zeta }_{1}}) + \frac{{{{K}_{1}}}}{{n{{K}_{0}}\zeta }}(\sin \zeta + \zeta \cos \zeta )} \right]}},$
(7)
$\tilde {а} = \frac{{\frac{{VC\Phi }}{{{{K}_{0}}\zeta }}\left[ {\sin \zeta - j\frac{\psi }{{4\pi }}(\sin \zeta + \zeta \cos \zeta )} \right]}}{{\sin {{\zeta }_{1}}\sin {{\zeta }_{2}} - \frac{{{{K}_{1}}}}{{n{{K}_{0}}\zeta }}\sin \zeta - j\frac{\psi }{{4\pi }}\left[ {({{\zeta }_{2}}\sin {{\zeta }_{1}}\cos {{\zeta }_{2}} + {{\zeta }_{1}}\sin {{\zeta }_{2}}\cos {{\zeta }_{1}}) + \frac{{{{K}_{1}}}}{{n{{K}_{0}}\zeta }}(\sin \zeta + \zeta \cos \zeta )} \right]}},$
$\tilde {q} = \frac{{VC\left\{ {\sin {{\zeta }_{1}}\sin {{\zeta }_{2}} + \frac{K}{{n{{K}_{0}}\zeta }}\sin \zeta - j\frac{\psi }{{4\pi }}\left[ {({{\zeta }_{2}}\sin {{\zeta }_{1}}\cos {{\zeta }_{2}} + {{\zeta }_{1}}\sin {{\zeta }_{2}}\cos {{\zeta }_{1}}) - \frac{K}{{n{{K}_{0}}\zeta }}(\sin \zeta + \zeta \cos \zeta )} \right]} \right\}}}{{\sin {{\zeta }_{1}}\sin {{\zeta }_{2}} - \frac{{{{K}_{1}}}}{{n{{K}_{0}}\zeta }}\sin \zeta - j\frac{\psi }{{4\pi }}\left[ {({{\zeta }_{2}}\sin {{\zeta }_{1}}\cos {{\zeta }_{2}} + {{\zeta }_{1}}\sin {{\zeta }_{2}}\cos {{\zeta }_{1}}) - \frac{{{{K}_{1}}}}{{n{{K}_{0}}\zeta }}(\sin \zeta + \zeta \cos \zeta )} \right]}},$
где ${{K}_{0}} = ES{\text{/}}l$ – продольная жесткость стержня длиной l.

Здесь и далее все вычисления выполняются с точностью до величин первого порядка малого параметра ${\psi }$.

Амплитуда $\tilde {a}_{l}^{{(1)}}$ колебаний рабочего торца стержня 1 согласно (2) и (6) описывается выражением

(8)
$\tilde {a}_{l}^{{(1)}} = \frac{{\tilde {F}}}{{{{K}_{0}}\zeta }}\frac{{1 - j\frac{\psi }{{4\pi }}}}{{\sin {{\zeta }_{1}} - j\frac{\psi }{{4\pi }}{{\zeta }_{1}}\cos {{\zeta }_{1}}}}.$

Выражения (7) и (8) позволяют построить полную картину динамического поведения системы. В качестве примеров рассмотрим два представительных и практически важных способа настройки.

Преобразователь Ланжевена. Выше было показано, что преобразователь Ланжевена настраивается на одну из собственных частот , где N = 1, 2,… – номер формы свободных колебаний стержня длиной $l = {{l}_{1}} + {{l}_{2}}$. Этим частотам соответствуют безразмерные величины ${{{\zeta }}^{{{\text{(N)}}}}}$ = ${{{\omega }}^{{{\text{(N)}}}}}l{\text{/}}c$ = $\pi {\text{N}}$. Рассмотрим систему, настроенную на первую (N = 1) собственную частоту стержня длиной l. Здесь следует отметить, что величины ${{{\zeta }}_{1}}$ и ${{{\zeta }}_{2}}$ не являются независимыми. Для удобства оценки влияния места расположения пьезоэлемента в стержневой системе введем безразмерный параметр ${\lambda } = {{l}_{2}}{\text{/}}l$, определяющий положение пьезоэлемента в стержневой системе. Тогда, учитывая принятые выше обозначения, получим следующие соотношения

(9)
${{{\zeta }}_{{\text{1}}}} = {\omega }{{l}_{1}}{\text{/}}c = (1 - \lambda ){\zeta ,}\quad {{{\zeta }}_{{\text{2}}}} = {\omega }{{l}_{2}}{\text{/}}c = \lambda {\zeta }{\text{.}}$
При отсутствии потерь в стержнях ($\psi = 0$) из соотношений (7), (8) при ${\zeta } = {\pi }$ с учетом равенств (9) находим
(10)
$F = VC\Phi ,\quad a = 0,\quad q = VC,\quad a_{l}^{{(1)}} = \frac{{VC\Phi }}{{{{K}_{0}}{\pi }\sin [{\text{(}}1 - {\lambda )\pi }]}}.$
Из равенств (10) видно, что амплитуды силы F, развиваемой пьезоэлементом, заряда q на его обкладках и его деформации a не зависят от соотношения длин стержней. При этом пьезоэлемент, развивая предельную для его зажатого состояния силу, совершает колебания как абсолютно жесткое тело с амплитудой смежных сечений стержней. Обращаясь к последней формуле в (9), заметим, что амплитуда $a_{l}^{{(1)}}$ рабочего торца стержня 1 существенно зависит от положения пьезоэлемента, характеризуемого параметром ${\lambda }$. Эта зависимость при $\psi = 0$ показана на рис. 2 тонкой линией. При отсутствии потерь амплитуда $a_{l}^{{(1)}}$ монотонно возрастает ($a_{l}^{{(1)}} \to \infty $) по мере приближения пьезоэлемента к одному из краев (${\lambda } \to {\text{0}}$, ${\lambda } \to 1$) стержневой системы. Здесь и далее расчеты проводятся при следующих параметрах системы: V = 220 В; $С = 7.62 \times {\text{1}}{{{\text{0}}}^{{ - {\text{10}}}}}$ F; K0 =  $1.{\text{1}} \times {\text{1}}{{{\text{0}}}^{{\text{9}}}}$ N/m, ${{K}_{1}} = 7.{\text{53}} \times {\text{1}}{{{\text{0}}}^{{{\text{10}}}}}$ N/m, n = 2.

Рис. 2.

При наличии потерь в стержнях ситуация существенно меняется. Приведем формулу для вычисления комплексной амплитуды колебаний рабочего сечения стержня 1

(11)
$\tilde {a}_{l}^{{(1)}} = - \frac{{VC\Phi }}{{\pi {{K}_{0}}}}\frac{{\sin \lambda \pi - j\frac{\psi }{{4\pi }}[\pi (2\lambda - 1)\cos \lambda \pi + 2\sin \lambda \pi ]}}{{{{{\sin }}^{2}}\lambda \pi - j\frac{\psi }{{4\pi }}\left[ {\pi (3\lambda - 2)\sin \lambda \pi \cos \lambda \pi - \frac{{{{K}_{1}}}}{{n{{K}_{0}}}}} \right]}}.$

Зависимость амплитуды $a_{l}^{{(1)}}({\lambda })$ = $\left| {\tilde {a}_{l}^{{(1)}}({\lambda )}} \right|$, построенная согласно (11) при $\psi = 0.01$ показана на рис. 2 жирной линией. Видно, что при наличии диссипации энергии в преобразователе Ланжевена по мере приближения пьезоэлементов к одному из краев стержневой системы амплитуда $a_{l}^{{(1)}}$ возрастает до некторого значения, зависящего от величины коэффициента рассеяния $\psi $, а затем резко падает.

Были рассмотрены характеристики преобразователя Ланжевена при колебаниях с частотой первой формы колебаний. Рассмотрение высших форм можно выполнить аналогично. Заметим лишь, что пьезопакет, расположенный в центре стержневой системы, при возбуждении нечетных форм оказывается в узле стоячей волны, а при возбуждении четных форм – в ее пучности. В последнем случае в отсутствие потерь пьезоэлементы не испытывают нагрузки (F = 0) со стороны присоединенных стержней, амплитуда деформации пакета пьезоэлементов ${{a}_{3}} = n\Phi CV{\text{/}}{{K}_{1}}$, а амплитуды колебаний всех концевых сечений стержней равны $a_{0}^{{(1)}}$ = $a_{l}^{{(1)}}$ = $a_{0}^{{(2)}}$ = $a_{l}^{{(2)}}$ = ${{a}_{3}}{\text{/}}2$ = $n\Phi CV{\text{/}}2{{K}_{1}}$.

Резонансная настройка. Обратимся к выражениям (7) и (8), описывающим амплитудно-частотные характеристики системы. Условием резонанса системы является равенство нулю действительной части знаменателя выражения. Обратим внимание на то, что все выражения (7) имеют одинаковые знаменатели. Это означает, что в системе происходит резонанс по всем обобщенным координатам. Запишем условие резонанса, учитывая соотношения (9)

(12)
$\sin (\lambda \zeta )\sin [{\text{(}}1 - {\lambda )\zeta }] - \frac{{{{K}_{1}}}}{{n{{K}_{0}}{\zeta }}}\sin {\zeta } = 0.$

Решения ${\zeta }_{r}^{{({\text{N}})}}$ трансцендентного уравнения (12) определяют спектр резонансных частот $\omega _{r}^{{({\text{N}})}}$ = $\zeta _{r}^{{{\text{(N)}}}}c{\text{/}}l$ системы при различных расположениях пьезоэлемента. На рис. 3а показана зависимость безразмерной первой резонансной частоты $\zeta _{r}^{{(1)}}$ от параметра ${\lambda }$.

Рис. 3.

Теперь с помощью выражений (7), (8) с учетом (12) и (9) можно найти амплитуды резонансных колебаний по всем обобщенным координатам. Приведем выражение для расчета амплитуды $а_{l}^{{(1)}}$ резонансных колебаний рабочего торца стержня 1

$а_{l}^{{(1)}}\, = \,\left| {j\frac{{C\Phi V}}{{{{K}_{0}}{{\zeta }_{r}}}}\frac{{\frac{{{{K}_{1}}}}{{n{{K}_{0}}{{\zeta }_{r}}}}\sin {{\zeta }_{r}} - j\frac{\psi }{{4\pi }}\left[ {\cos [(1 - \lambda ){{\zeta }_{r}}]\sin \lambda {{\zeta }_{r}} + \lambda {{\zeta }_{r}}\sin [(1 - 2\lambda ){{\zeta }_{r}}] + \frac{{{{K}_{1}}}}{{n{{K}_{0}}{{\zeta }_{r}}}}\sin {{\zeta }_{r}}} \right]}}{{\frac{\psi }{{4\pi }}\sin [(1\, - \,\lambda ){{\zeta }_{r}}]\left\{ {\cos [(1\, - \lambda ){{\zeta }_{r}}]\sin \lambda {{\zeta }_{r}} + \lambda {{\zeta }_{r}}\sin [(1 - 2\lambda ){{\zeta }_{r}}] + \frac{{{{K}_{1}}}}{{n{{K}_{0}}{{\zeta }_{r}}}}({{\zeta }_{r}}\cos {{\zeta }_{r}} + \sin {{\zeta }_{r}})} \right\}}}} \right|.$

График зависимости амплитуд $а_{l}^{{(1)}}$ резонансных колебаний от положения пьезовозбудителя показан на рис. 3б. Сравнение этого графика с графиком на рис. 2 показывает, что резонансная настройка позволяет получать амплитуды, на порядок превышающие амплитуды при классической настройке преобразователя Ланжевена. Заметим, что столь большие амплитуды обусловлены в первую очередь резонансом пьезоэлементов и развиваемой ими силы.

На рис. 4 показаны амплитудно-частотные характеристики системы при различных положениях пьезовозбудителя. Характеристики построены при напряжении питания V = 100 В.

Рис. 4.

Обратим внимание на высокую добротность колебательной системы, затрудняющую практическую реализацию резонансных режимов вследствие чувствительности к малым изменениям параметров. Вместе с тем отметим, что такие режимы наблюдались в тщательно поставленных экспериментах [5], в которых для получения стабильных результатов оказалось необходимым принять меры для поддержания постоянной температуры колебательной системы.

В заключение отметим, что полученные результаты создают основу для разработки резонансных ультразвуковых систем с пьезоэлектрическими возбудителями колебаний. Результаты работы позволяют выбрать параметры как механической, так и электрической частей устройства, обеспечивающих его надежное и безопасное функционирование.

Информация о финансовой поддержке. Работа выполнена за счет гранта РНФ (проект № 19-19-00065).

Конфликт интересов: Авторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.

Список литературы

  1. Харкевич А.А. Теория электроакустических преобразователей // Избранные труды. Т. 1. М.: Наука, 1973. С. 33–217.

  2. Римский-Корсаков А.В. Электроакустика. М.: Связь, 1973. 272 с.

  3. Асташев В.К., Пичугин К.А. Резонансная настройка и оптимизация параметров ультразвуковой стержневой системы с пьезокерамическим возбудителем колебаний // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2013. № 5. С. 5–11.

  4. Асташев В.К., Крупенин В.Л. Нелинейная динамика ультразвуковых технологических процессов. М.: МГУП им. Ивана Федорова, 2016. 372 с.

  5. Mathieson A., Cardoni Mathieson A., Lucas M. The influence of piezoceramic stack location on nonlinear behavior of Langevin transducers // IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics and Frequency Control, 2013. V. 60. № 6. P. 1126–1133.

Дополнительные материалы отсутствуют.