Проблемы машиностроения и надежности машин, 2019, № 6, стр. 34-41

ИССЛЕДОВАНИЕ ОСОБЫХ ПОЛОЖЕНИЙ МЕХАНИЗМА ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ СЕМЕЙСТВА DELTA С ЧЕТЫРЬМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

П. А. Ларюшкин 1, К. Г. Эрастова 1, К. А. Кобылкевич 1, С. А. Скворцов 2*

1 Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана
г. Москва, Россия

2 Институт машиноведения им. А.А. Благонравова РАН
г. Москва, Россия

* E-mail: 1691skvorcov@mail.ru

Поступила в редакцию 25.04.2019
Принята к публикации 08.08.2019

Полный текст (PDF)

Аннотация

В статье представлены результаты исследования двух типов особых положений механизма параллельной структуры с четырьмя степенями свободы и четырьмя линейными приводами. Для решения задачи использован итерационный алгоритм, заключающийся в последовательном переборе точек рабочей зоны механизма и анализе поведения определителей матриц частных производных от входных и выходных координат. Решение поставленной задачи является необходимым для оценки размеров эффективной рабочей зоны механизма и является важным этапом его параметрического синтеза и проектирования.

Ключевые слова: механизмы параллельной структуры, особые положения, четыре степени свободы, Delta-робот

Введение. Механизмы параллельной структуры находят применение в различных отраслях техники: подъемно-транспортном оборудовании, станках, медицинских робототехнических инструментах, и многих других [13]. При этом одним из наиболее широко распространенных и повсеместно используемых механизмов является разработанный Р. Клавелем робот Delta [4]. Созданный специально для сортировочно-упаковочных линий пищевых производств, Delta-робот предназначен для высокоскоростных технологических операций при манипулировании изделий относительно малого веса (зачастую до одного килограмма). В качестве примера устройства, созданного на базе структурной схемы Delta, можно привести промышленный робот фирмы ABB серии IRB Flex-Picker (рис. 1а).

Рис. 1.

Робот ABB IRB Flex-Picker на основе структурной схемы Delta (а), любительский 3D-принтер Tevo Little Monster на базе схемы Delta с линейными приводами (б).

В классическом исполнении механизм имеет три кинематических цепи с вращательными приводами и промежуточными параллелограммами, что дает выходному звену три поступательные степени свободы. Дополнительно применяется телескопическое центральное звено, позволяющее вращать рабочий орган.

В последние несколько лет огромную популярность за счет широкого применения в 3D-принтерах получил вариант механизма с тремя линейными приводами (рис. 1б). Выходное звено имеет три поступательные степени свободы. Применение простых передач для преобразования вращательного движения относительно дешевых шаговых двигателей в поступательное (винт-гайка, ременная передача), вкупе с возможностью применения экструзионного алюминиевого профиля в качестве направляющих, позволило значительно удешевить конечный продукт и помогло принтерам, реализованным по данной схеме, завоевать большую долю рынка устройств 3D-печати. Основным преимуществом над классическими схемами является более высокая скорость печати без потери качества.

Несмотря на то, что указанные два варианта схемы Delta хорошо изучены [58], а также предложены различные способы улучшения их технологических параметров, модификации механизма, имеющие другое число степеней свободы, изучены мало.

Одной из возможных модификаций Delta-робота является механизм, схема и фото реального прототипа которого представлены на рис. 2. Использование четырех линейных приводов совместно с разделением одной из цепей с параллелограммом на две со структурой PUS (P – призматическая пара, U – шарнир Гука, S – сферический шарнир) или PUU позволяет реализовать дополнительную вращательную степень свободы (вокруг оси, параллельной оси y и проходящей через выходное звено). Более подробно особенности структуры и кинематики рассматриваемого механизма изложены в [9].

Рис. 2.

Механизм семейства Delta c четырьмя степенями свободы.

При параметрическом синтезе любого механизма параллельной структуры необходимо исследовать возможность возникновения особых положений [1013], т.к. при попадании в них наблюдается изменение подвижности выходного звена (потеря степени свободы или неуправляемость) [14]. Настоящая статья посвящена решению данной задачи для четырехстепенного механизма.

Постановка задачи и определение методов ее решения. Для анализа особых положений любого механизма параллельной структуры необходимо сначала решить обратную задачу о положениях, что можно сделать аналитически путем анализа структуры механизма и решения уравнений связи относительно входных координат [15].

Рассматриваемый механизм включает кинематические цепи двух типов: одинарную PUS (рис. 3а) и двойную PUS (рис. 3б) с параллелограммом.

Рис. 3.

Кинематические цепи механизма: одинарная PUS (a) и двойная PUS с параллелограммом (б).

Положение выходного звена задается координатами x, y, z точки E в системе Oxyz, а ориентация углом поворота φy относительно оси y. Входной координатой цепи является h = zA, ограниченная пределами hmin и hmax.

Если в некотором начальном положении выходное звено расположено горизонтально и точки E и D расположены строго над точкой O, то при известных геометрических размерах цепи координаты $x_{{C0}}^{'}$, $y_{{C0}}^{'}$, $z_{{C0}}^{'}$ точки С в начальном положении в системе Ex'y'z' можно считать заданными. Координаты xC, yC, zC точки С (для цепи с параллелограммом – середины отрезка C1C2) в системе Oxyz при заданных координатах и ориентации выходного звена можно определить по формуле

(1)
$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{x}_{C}}} \\ {{{y}_{C}}} \\ {{{z}_{C}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x \\ y \\ z \end{array}} \right) + {\mathbf{R}} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {x_{{C0}}^{'}} \\ {y_{{C0}}^{'}} \\ {z_{{C0}}^{'}} \end{array}} \right),$
где R – матрица поворота на заданный угол φy

${\mathbf{R}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\text{cos(}}{{\varphi }_{y}}{\text{)}}}&0&{{\text{sin}}({{\varphi }_{y}})} \\ 0&1&0 \\ { - {\text{sin}}({{\varphi }_{y}})}&0&{{\text{cos(}}{{\varphi }_{y}}{\text{)}}} \end{array}} \right).$

При известной длине lBC

(2)
${{\left( {{{x}_{C}} - {{x}_{B}}} \right)}^{2}} + {{\left( {{{y}_{C}} - {{y}_{B}}} \right)}^{2}} + {{\left( {{{z}_{C}} - {{z}_{B}}} \right)}^{2}} - l_{{BC}}^{2} = 0.$

Тогда при условии, что звено AB расположено горизонтально (zA = zB), обратная задача о положениях для данной цепи решается следующим образом

$h = \pm \sqrt {l_{{BC}}^{2} - {{{\left( {{{x}_{C}} - {{x}_{B}}} \right)}}^{2}} - {{{\left( {{{y}_{C}} - {{y}_{B}}} \right)}}^{2}}} + {{z}_{C}}.$

При этом знак “–” соответствует конфигурации, в которой платформа находится выше условной каретки (точка А), а знак “+” – ниже каретки.

Двойную цепь можно рассматривать в рамках той же самой модели, но в виде двух отдельных одинарных цепей с дополнительным условием равенства их входных координат: h1 = h2.

Для анализа собственно особых положений целесообразно применить подход, предложенный Х. Анджелесом и К. Госсленом [12]. Для этого дифференцируем уравнения связи, полученные для каждой из четырех цепей. При этом каждое уравнение представляет собой выражение (2) с подстановкой в него выражения (1) в общем виде. Полученное уравнение можно записать в виде неявной функции Fi(x, y, z, φy, h) = 0 для i-й цепи. Согласно рассматриваемому подходу особые положения в общем случае можно определить по вырождению матриц частных производных

${\mathbf{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial {{F}_{1}}}}{{\partial {{{\chi }}_{1}}}}}& \ldots &{\frac{{\partial {{F}_{1}}}}{{\partial {{{\chi }}_{n}}}}} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {\frac{{\partial {{F}_{n}}}}{{\partial {{{\chi }}_{1}}}}}& \ldots &{\frac{{\partial {{F}_{n}}}}{{\partial {{{\chi }}_{n}}}}} \end{array}} \right),\quad {\mathbf{B}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial {{F}_{1}}}}{{\partial {{q}_{1}}}}}&0&0 \\ 0& \ddots &0 \\ 0&0&{\frac{{\partial {{F}_{n}}}}{{\partial {{q}_{n}}}}} \end{array}} \right),$
где χjj = 1…nj-я выходная координата, а qi (i = 1…n) i-я входная координата, n – число степеней свободы механизма, равное также числу его кинематических цепей. Для рассматриваемого механизма выходными координатами являются x, y, z, φy, а входными hi.

Согласно Х. Анджелесу и К. Госслену, если вырождена матрица B, то механизм находится в особом положении первого типа и его выходное звено теряет степень свободы. Вырождение матрицы А говорит о наличии особого положения второго типа и возможностью неконтролируемого перемещения выходного звена.

Аналитическое решение данной задачи, как правило, или невозможно, или требует серьезных усилий и приводит к необходимости работать с очень сложными выражениями, что зачастую приводит к ошибкам. Поэтому более целесообразным является применение итерационного метода [16]. Для этого в каждой точке вычисляется определитель соответствующей матрицы и исследуется поведение знака этого определителя: если знак определителя рассматриваемой матрицы между двумя соседними точками различен, то между двумя этими точками механизм попадает в особое положение соответствующего типа. Заметим, что при использовании такого подхода имеется теоретическая вероятность пропуска точек особых положений, если шаг сетки разбиения (перебора) рабочей зоны слишком велик. Совпадение знака определителя в двух соседних точках, в теории, не гарантирует, что между ними отсутствует особое положение. Если шаг сетки достаточно мал, то вероятность пропуска особого положения также невелика. Проанализировав все точки рабочей зоны, можно дать заключение о том, как особые положения влияют на ее размер и форму [16].

Пример расчета. Рассмотрим механизм 2-PUS.2-P(US)2 (рис. 4), который имеет две простых (i = 2 и i = 3) и две двойных (i = 1 и i = 4) цепи. Цепи расположены так, что вращение выходного звена возможно только вокруг оси y'. Геометрические размеры (м): длины звеньев (одинаковы для всех цепей): lAB = 0.05, lBC = 0.3, lDE = 0.05, для двойных цепей lB1B2 = lC1C2 = 0.08; пределы перемещения каретки (одинаковы для всех цепей): hmin = 0.3, hmax = 0.75; координаты, определяющие положение и ориентацию вертикальной стойки механизма и звена AB: xA1 = 0.2, yA1 = 0, xB1 = 0.15, yB1 = 0, xA2 = = 0.04, yA2 = 0.24, xB2 = 0.04, yB2 = 0.19, xA3 = –0.04, yA3 = 0.24, xB3 = –0.04, yB3 = 0.19, xA4 = –0.2, yA4 = 0, xB4 = –0.15, yB4 = 0; координаты точек Сi в начальном положении в системе Ex'y'z': $x_{{C01}}^{'}$ = 0.08, $y_{{C01}}^{'}$ = 0, $x_{{C02}}^{'}$ = 0.04,$y_{{C02}}^{'}$ = 0.04, $x_{{C03}}^{'}$ = –0.04, $y_{{C03}}^{'}$ = 0.04, $x_{{C04}}^{'}$ = –0.08, $y_{{C04}}^{'}$ = 0, для всех цепей $z_{{C0}}^{'}$ = lDE = 0.05.

Рис. 4.

Теоретическая рабочая зона механизма 2-PUS.2-P(US)2 при горизонтальной ориентации выходного звена в сравнении с его габаритами.

При этом условные точки B и С располагаются в серединах звеньев B1B2 и C1C2 соответственно, то есть на оси симметрии параллелограмма двойной цепи.

Для определения теоретической рабочей зоны механизма при нулевом угле поворота выходного звена (рис. 4) проведен итерационный анализ в интервалах координат: x = [–0.3; 0.3], y = [–0.3; 0.3], z = [–0.025; 0.5]. Шаг сетки равен 0.01 м по координатам x, y и 0.025 м по координате z. Таким образом, в объеме, ограниченном указанными пределами, проанализированы 81862 точки.

Для исследования особых положений типов 1 и 2 провели итерационный анализ с параметрами перебора, указанными выше. При этом помимо горизонтального положения выходного звена было рассмотрено еще четыре примера с разными углами поворота выходного звена вокруг оси y': 15°, 30°, 45° и 60°.

Особые положения типа 1 в рассматриваемом механизме, как и в подавляющем большинстве других механизмов параллельной структуры, возникают только на границе теоретической рабочей зоны, что подтверждается проведенным итерационным анализом: определитель матрицы B в каждой из рассмотренных точек имеет знак “+”.

Отметим, что поскольку модель кинематики цепи с параллелограммом базируется на модели простой PUS цепи, то в матрице A изначально присутствуют частные производные по углам поворота φx и φz, а сама матрица имеет размер 4 × 6. Однако поворот механизма на данные углы не возможен, поэтому из указанной матрицы необходимо исключить столбцы 4 и 6, получив матрицу 4 × 4. Результаты анализа особых положений типа 2 (рис. 5):

Рис. 5.

Знак определителя матрицы A в точках рабочей зоны (“+” – серый, “–” – черный) механизма 2-PUS.2-P(US)2: φy = 15° (а), φy = 30° (б), φy = 45° (в), φy = 60° (г).

− угол φy = 0°: 21280 точек в рабочей зоне, 0 точек с det(A) < 0;

− угол φy = 15°: 19986 точек в рабочей зоне, 19900 точек с det(A) < 0;

− угол φy = 30°: 17882 точки в рабочей зоне, 17473 точки с det(A) < 0;

− угол φy = 45°: 15453 точки в рабочей зоне, 14364 точки с det(A) < 0;

− угол φy = 60°: 13025 точек в рабочей зоне, 10835 точек с det(A) < 0.

По данному примеру видно, что особые положения типа 2 отсутствуют при горизонтальной ориентации платформы, однако уже при угле наклона платформы φx = 45° около 7% рабочей зоны отделено от оставшейся ее части особыми положениями указанного типа.

Заключение. В статье были исследованы особые положения типов 1 и 2 для механизма 2-PUS.2-P(US)2 типа Delta. Для решения задачи был использован итерационный алгоритм, заключающийся в последовательном переборе точек рабочей зоны механизма и анализе поведения определителей матриц частных производных от входных и выходных координат при различных наклонах выходного звена. Зная расположение точек, соответствующих особым положениям различных типов, можно перейти к задаче рассмотрения критериев близости к ним. Решение данной задачи является необходимым для оценки размеров эффективной рабочей зоны механизма и является важным этапом его параметрического синтеза и проектирования.

Список литературы

  1. Glazunov V.A., Kheylo S.V., Tsarkov A.V. The Control Complex Robotic System on Parallel Mechanism // Smart Electromechanical Systems. Springer. 2018. Editors A.E. Gorodetskiy and I.L. Tarasova. P. 137.

  2. Ganiev R.F., Glazunov V.A., Filippov G.S. Urgent Problems of Machine Science and Ways of Solving Them: Wave and Additive Technologies, the Machine Tool Industry, and Robot Surgery // Journal of Machinery Manufacture and Reliability. 2018. V. 47 (5). P. 399.

  3. Glazunov V., Nosova N., Ceccarelli M. Kinematics of a 6 DOFs Manipulator with a Interchangeable Translation and Rotation Motions. // Recent Advances in Mechanism Design for Robotics. Proceedings of the 3rd IFToMM Symposium on Mechanism Design for Robotics. Springer International Publishing Switzerland. 2015. P. 407.

  4. Clavel R. Device for the Movement and Positioning of an Element in Space: pat. 4976582 USA. 1990.

  5. Miller K. Experimental Verification of Modeling of DELTA Robot Dynamics by Direct Application of Hamilton’s Principle. // Proceedings of 1995 IEEE International Conference on Robotics and Automation. Nagoya, Japan, 1995. P. 532.

  6. Кулешова Е.М., Ларюшкин П.А. Кинематика механизмов типа “дельта” с различным числом степеней свободы // Ж. Машиноведение и инновации. Конференция молодых ученых и студентов (МИКМУС-2017). Материалы конференции. 2018. С. 305.

  7. Clavel R. Conception d’un Robot Parallèle Rapide à 4 Degrés de Liberté. Ph.D Thesis. École Polytechnique Fédérale de Lausanne, 1991. P. 133.

  8. Glazunov V., Nosova N., Ceccarelli M. Kinematics of a 6 DOFs Manipulator with a Interchangeable Translation and Rotation Motions. Recent Advances in Mechanism Design for Robotics. Proceedings of the 3rd IFToMM Symposium on Mechanism Design for Robotics. Springer International Publishing Switzerland. 2015. P. 407.

  9. Ларюшкин П.А., Эрастова К.Г., Филиппов Г.С., Хейло С.В. К расчету механизмов типа DELTA с линейными приводами и различным числом степеней свободы // Ж. Проблемы машиностроения и надежности машин. 2019. № 3. С. 37.

  10. Glazunov V., Kheylo S. Dynamics and Control of Planar, Translational and Spherical Parallel Manipulators. Dynamic Balancing of Mechanisms and Synthesizing of Parallel Robots. Springer 2016. P. 365.

  11. Merlet J.-P. Parallel Robots. 2-nd edition. Springer, 2006. P. 402.

  12. Gosselin C. M., Angeles J. Singularity analysis of closed-loop kinematic chains. IEEE Transactions on Robotics and Automatics. 1990. V. 6 (3). P. 281.

  13. Aleshin A.K., Glazunov V.A., Rashoyan G.V., Shai  O. Analysis of kinematic screws that determine the topology of singular zones of parallel-structure robots // Journal of Machinery Manufacture and Reliability. 2018. V. 45 (4). P. 291.

  14. Glazunov V.A., Nosova N.Yu., Kheylo S.V., Tsarkov Andre. Design and Analysis of the 6-DPF Decoupled Parallel Kinematics Mechanism. Dynamic Decoupling of Robot Manipulators. Springer. 2018. Ch. 6. P. 125.

  15. Fomin A., Glazunov V. A Novel Rotary Positioner with Single Drive: Structural Analysis and Kinematic Design. Advances in Robot Kinematics 2018. Springer. 2018. P. 364.

  16. Эрастова К.Г., Ларюшкин П.А. Рабочие зоны механизмов параллельной структуры и способы определения их формы и размеров // Ж. Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 2017. № 8. С. 78.

Дополнительные материалы отсутствуют.