Проблемы машиностроения и надежности машин, 2020, № 1, стр. 103-109

Потоки плотной слабо ионизованной плазмы находят применение в технологических системах различного назначения: в плазмохимии; при плазменном напылении покрытий; для сварки, резки, сверления материалов; для воздействия на нефтяные и газонесущие пласты в нефтегазовом комплексе [1–6]. При воздействии на нефтяные пласты осуществляется импульсный разряд, либо микровзрыв, вследствие чего возникает импульсный поток слабо ионизованной плазмы, который оказывает термическое, акустическое, ударно-волновое воздействие на пласт, что повышает его эффективность.

Зондовый метод является одним из основных диагностических методов потоков низкотемпературной слабо ионизованной плазмы, позволяющий получить распределения концентраций и направленных скоростей ионов плазмы, а также поля напряженности и потенциала электрического поля в потоке.

Методы проведения зондового эксперимента и обработки зондовых характеристик зависят от геометрической формы зондов. В [7] подробно рассмотрены теория и методика диагностики потоков плотной плазмы зондами цилиндрической формы. В настоящей статье уделено основное внимание зондам плоской геометрии. Плоские пристеночные зонды в отличие от цилиндрических не нарушают аэродинамику струи и менее подвержены воздействию тепловых потоков из плазмы на их поверхность. Предположим, что время существования плазменного импульса велико по сравнению с характерным временем релаксации в плазме. Как показано в [7], это условие выполняется, если концентрация ионов ${{n}_{i}} \geqslant {{10}^{{17}}}$ м^–3.

Теории плоского зонда в потоке плотной слабо ионизованной плазмы посвящено ряд работ американских авторов. Обзор этих работ можно найти в монографии Чана П., Тэлбота Л., Туряна К. [8]. Исследования плоских зондов в отечественной литературе представлены в работах [9–12, 19, 21]. Методами математического моделирования получен набор вольтамперных характеристик (ВАХ) для пристеночного и выносного плоского зонда, ориентированного как вдоль потока параллельно вектору скорости, так и перпендикулярно ему.

По результатам проведенных вычислительных экспериментов предложены методики обработки ВАХ плоских зондов.

Алгоритм 1: формула Чана [8].

По формуле Чана, применительно к плоскому пристеночному зонду, имеем

где ${{j}_{i}}$ – безразмерная плотность ионного тока, ${{j}_{i}}_{{{\text{нас}}}}$ – экспериментальная плотность тока, ${{n}_{i}}$, ${{u}_{i}}$ – концентрация и скорость направленного движения ионов, ${\text{S}}{{{\text{c}}}_{i}}$ – ионное число Шмидта, ${{\operatorname{Re} }_{x}}$ – число Рейнольдса вблизи точки расположения зонда x; L = = ${{\left( {\frac{{\rho {{\nu }_{x}}}}{{\rho \nu {\text{*}}}}} \right)}^{{0.2}}}$, $\rho $ – плотность, $\nu $ – кинематическая вязкость; символом * обозначается точка, имеющая максимальную температуру в пограничном слое, $\delta $ – внешняя граница пограничного слоя. В большинстве практически важных случаев параметр $L$ можно принять за единицу. Достоверность формулы Чана при условии, что толщина пограничного слоя велика по сравнению с толщиной слоя объемного заряда зонда, неоднократно проверялась экспериментально. Ошибка при вычислении концентрации заряженных частиц по формуле (1) не превышала 30%.

Алгоритм 2: Формулы В.А. Котельникова [10] применимы для плоских пристеночных зондов при произвольном соотношении между толщиной пограничного слоя и слоя объемного заряда. Конструктивно зонд выбираем в форме удлиненного прямоугольника с размером по ширине $2{{r}_{p}}$. Вектор скорости ${{u}_{i}}$ направлен перпендикулярно удлиненной стороне прямоугольника.

Алгоритм 2.1. Если вклад в зондовый ток градиента концентрации вблизи зонда мал по сравнению с вкладом от градиента потенциала, то имеет место зависимость концентрации на внешней границе слоя объемного заряда от плотности зондового тока [11]

где ${{T}_{{i\infty }}}$, ${{D}_{i}}$ – температура и коэффициент диффузии ионов, ${{E}_{0}} = E{\text{/}}{{M}_{E}}$, $E$ – напряженность электрического поля, ${{K}_{U}}$, ${{K}_{r}}$, ${{E}_{0}}$ – коэффициенты, полученные в численных экспериментах (рис. 1). ${{K}_{U}}$ равен отношению плотности ионного тока на зонд при наличии скорости ${{u}_{0}}$ к плотности тока на тот же зонд в покоящейся плазме; ${{K}_{r}}$ равен отношению плотности тока на зонд размером ${{r}_{0}}$ к плотности тока на зонд большого размер $({{r}_{0}} \geqslant {{10}^{3}})$ в покоящейся плазме. Если разделить экспериментально измеренную плотность тока на $({{K}_{r}} \cdot {{K}_{U}})$, то получим плотность тока на зонд большого размера в покоящейся плазме.

Для нахождения ${{n}_{i}}$ по формуле (2) строится итерационный процесс: 1) считаются заданными размер зонда $2{{r}_{p}}$, температура ионов ${{T}_{{i\infty }}}$, коэффициент диффузии иона ${{D}_{i}}$, скорость направленного движения ионов; 2) выбирается точка на экспериментальной ВАХ при достаточно большом отрицательном потенциале зонда ${{\varphi }_{p}}$ (известны ${{\varphi }_{p}}$ и ${{j}_{{ip}}}$); 3) задается начальное значение концентрации ${{n}_{{i1}}}$. Это можно сделать, например, по формуле В.А. Котельникова для случая покоящейся плотной плазмы при бесконечно тонком слое объемного заряда [13]

4) подсчитываются ${{r}_{{D1}}} = {{\left( {\frac{{{{\varepsilon }_{0}}k{{T}_{{i\infty }}}}}{{{{n}_{{i1}}}{{e}^{2}}}}} \right)}^{{1/2}}}$; ${{r}_{{01}}} = \frac{{{{r}_{p}}}}{{{{r}_{{D1}}}}}$; ${{\varphi }_{{01}}} = \frac{{e{{\varphi }_{0}}}}{{k{{T}_{i}}}}$; ${{u}_{{01}}} = \frac{{{{u}_{i}}}}{{{{{{D}_{i}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{D}_{i}}} {{{r}_{{D1}}}}}} \right. \kern-0em} {{{r}_{{D1}}}}}}}$; 5) по полученным значениям ${{r}_{{01}}}$; ${{\varphi }_{{01}}}$; $\,{{u}_{{01}}}$ из кривых (рис. 1) находятся ${{E}_{{01}}}$, ${{K}_{{r1}}}$, ${{K}_{{u1}}}$; 6) по формуле (3) находится ${{n}_{{i2}}}$.

Если $\left| {{{n}_{{i1}}} - {{n}_{{i2}}}} \right| < \delta $, где $\delta $ малое наперед заданное число, то расчет прекращается и полагается ${{n}_{i}} = {{n}_{{i2}}}$. В противном случае возвращаемся к п. 3, задаем концентрацию ионов ${{n}_{{i2}}}$ и продолжаем циклический процесс до сходимости.

Алгоритм 2.2. Если условие $\left| {\frac{{\partial {{n}_{i}}}}{{\partial y}}} \right| \ll \left| {\frac{{e{{n}_{i}}}}{{k{{T}_{i}}}}E} \right|$ не выполняется, то справедлива формула [12]

Для нахождения ${{n}_{i}}$ в этом случае строится итерационный процесс с одним вложенным циклом: 1) считается заданным ${{r}_{p}}$, ${{T}_{{i\infty }}}$, ${{D}_{i}}$, $u$. Выбирается точка на экспериментальной ВАХ при достаточно большом отрицательном потенциале (заданы ${{\varphi }_{p}}$ и ${{j}_{{ip}}}$); 2) выбираем концентрацию ионов ${{n}_{{i1}}}$, например, по формуле (3); 3) подсчитываем ${{r}_{{D1}}}$, ${{r}_{{01}}} = \frac{{{{r}_{p}}}}{{{{r}_{{D1}}}}}$, ${{\varphi }_{{01}}} = \frac{{e{{\varphi }_{p}}}}{{k{{T}_{{i\infty }}}}}$, ${{u}_{{01}}} = \frac{{{{u}_{i}}{{r}_{{D1}}}}}{{{{D}_{i}}}}$; 4) по полученным ${{r}_{{01}}}$, ${{\varphi }_{{01}}}$, ${{u}_{{01}}}$ из кривых рис. 1 находим коэффициенты ${{K}_{{r1}}}$, ${{K}_{{u1}}}$, ${{E}_{{01}}}$; 5) вычисляем ${{({{j}_{{ip}}})}_{1}} = \frac{{{{j}_{{ip}}}}}{{{{K}_{{r1}}}{{K}_{{u1}}}}}$, где ${{({{j}_{{ip}}})}_{1}}$ – размерная плотность тока на зонд большого размера $(2{{r}_{p}} \geqslant {{10}^{3}})$ при нулевой направленной скорости. Далее следует встроенный цикл, в результате которого определяется ${{n}_{{i2}}}$. Если $\left| {{{n}_{{i1}}} - {{n}_{{i2}}}} \right| < \delta $, где $\delta $ малое наперед заданное число, то расчет прекращается. В противном случае осуществляется цикл, начиная с п. 3.

Приведем структуру встроенного цикла для нахождения ${{n}_{{i2}}}$ по заданным ${{\varphi }_{0}} = \frac{{{{\varphi }_{p}}}}{{{{M}_{\varphi }}}}$ и ${{j}_{{i0}}} = \frac{{{{j}_{{ip1}}}}}{{{{M}_{j}}}}$ для случая покоящейся плазмы и большого значения ${{r}_{0}}$ $({{r}_{0}} \geqslant {{10}^{3}})$. ВАХ такого зонда, полученные в вычислительном эксперименте, приведены на рис. 2.

1. Заданы ВАХ (рис. 2), температура ионов ${{T}_{{i\infty }}}$, коэффициент диффузии ионов ${{D}_{i}}$, размерная плотность тока на зонд большого размера при отсутствии направленной скорости ${{({{j}_{{ip}}})}_{1}}$.

2. При выбранном $\varphi _{0}^{{}}$ из рис. 2 определяется безразмерная плотность тока $({{j}_{{i0}}})_{1}^{*}$.

3. Из соотношения $\frac{{{{{({{j}_{{ip}}})}}_{1}}}}{{({{j}_{{i0}}})_{1}^{*}}}$ = ${{M}_{j}}$ = $\frac{{e{{n}_{{i2}}}{{D}_{i}}}}{{{{r}_{{D1}}}}}$, находим $n_{{i2}}^{{}}$ = $\frac{{\frac{{{{{({{j}_{{ip}}})}}_{1}}}}{{({{j}_{{i0}}})_{1}^{*}}} \cdot r_{{D1}}^{{}}}}{{e{{D}_{1}}}}$.

Алгоритм 2.3. Алгоритм предложен В.А. Котельниковым и М.В. Котельниковым для зондов большого размера $(2{{r}_{0}} > {{10}^{3}})$ с параллельной ориентацией зонда относительно вектора скорости, если на зонд подан достаточно большой отрицательный потенциал $(\left| {{{\varphi }_{0}}} \right| \geqslant 40)$. Как показано в [12], для зонда такого размера влияние на зондовый ток краевых и концевых эффектов малó. Поэтому можно ожидать, что геометрическая форма зонда (диск, квадрат, прямоугольник) не имеет значения.

Алгоритм расчета. На рис. 3 представлена зависимость среднего значения плотности тока на зонд от параметров $r_{0}^{{}}$ и $u_{0}^{{}},$ полученная в результате численного эксперимента. Из рис. 3 следует, что при $2r_{0}^{{}} > {{10}^{3}}$ исчезает зависимость $j_{{i0}}^{{}}$ от $r_{0}^{{}}$ и $u_{0}^{{}}$. Плотность тока выходит на стационарное значение $j_{{i0}}^{{}} \approx 0.15$. Переход к размерным величинам с использованием масштабов (подстрочные надписи на рис. 1) позволяет получить выражение для концентрации заряженных частиц

где ${{j}_{{ip}}}$ $\left[ {\frac{A}{{{{{\text{м}}}^{2}}}}} \right]$ – плотность ионного тока на зонд, $e = 1.6 \times {{10}^{{ - 19}}}$ Кл, ${{\varepsilon }_{0}} = 8.85 \times {{10}^{{ - 12}}}$ $\frac{{\text{Ф}}}{{\text{м}}}$, ${{D}_{i}}$ – коэффициент диффузии ионов, равный в случае слабой степени ионизации коэффициенту диффузии для нейтрального газа [17].

Алгоритм 3 А.В. Кошеварова [18–20]. Если алгоритмы № 1, 2 разработаны применительно к плоскому пристеночному зонду, ориентированному вдоль потока, то алгоритм № 3 относится к случаю плоского зонда, расположенного в передней критической точке тел кругового сечения, обтекаемых потоком слабоионизованной столкновительной плазмы (рис. 4). Должно быть выполнено условие $2r_{p}^{{}} \geqslant {{10}^{3}}$.

Алгоритм следующий: 1) предполагаем, что радиус сферы или цилиндра $R$; коэффициент диффузии ионов ${{D}_{i}}$; электрическое число Рейнольдса ${{\operatorname{Re} }_{{\text{э}}}}$; ионное число Шмидта ${\text{S}}{{{\text{c}}}_{i}}$, известны; 2) из формулы ${{j}_{{ip}}} = {{j}_{{i0}}} \cdot {{M}_{j}}$, где ${{M}_{j}} = \frac{{e{{n}_{i}}{{D}_{i}}}}{R}$, находим n_i = = $\frac{{\left( {\frac{{{{j}_{{ip}}}}}{{{{j}_{{i0}}}}}} \right)R}}{{e{{D}_{i}}}}$; 3) в работе [20] получены формулы для ${{j}_{{i0}}}:$ а) для цилиндра: если j_i0  = $1.22\operatorname{Sc} _{i}^{{ - 0.1}}{\kern 1pt} {\text{Re}}_{{\text{э}}}^{{{\text{0}}{\text{.5}}}}$, то

б) для сферы: если ${{j}_{{i0}}} = 1.42{\text{Sc}}_{i}^{{ - 0.1}}\operatorname{Re} _{{\text{э}}}^{{0.5}}$, то

Все приведенные алгоритмы обработки ВАХ плоских зондов подтверждены методическими исследованиями и неоднократно применялись в практике зондовых измерений.