Проблемы машиностроения и надежности машин, 2020, № 2, стр. 3-15

Три основных подхода к обнаружению дефектов в упругих системах. Стержни, балки являются деталями конструкций, в которых могут образовываться локальные дефекты типа трещин, вмятин, полостей, местной коррозии. Важной является задача их ранней диагностики. Часто для выявления дефекта в стержне конечной длины и его местоположения используются собственные частоты колебаний.

В случае стержней большой длины по сравнению с длинами волн такой способ определения дефектов оказывается неудобным. Более подходящим оказывается метод определения дефектов по проходящим и отраженным от них волнам.

Для идентификации дефектов систем с помощью собственных частот, а также с помощью проходящих и отраженных волн будем рассматривать три основных подхода. В первом подходе локальные дефекты моделируются условиями сопряжения, во втором – дельта-функциями, входящими в дифференциальное уравнение. Третий подход применяется, как правило, для протяженных дефектов. В нем продольные полости и трещины моделируются непрерывными участками стержня с измененной жесткостью, площадью поперечного сечения и плотностью.

Существует другой подход, основанный на моделировании дискретной системой жестко закрепленных масс, невесомых пружин или конечно-элементной моделью и описываемой матричным обыкновенным дифференциальным уравнением по времени с постоянными коэффициентами [1, 2]. Такое уравнение имеет конечное число собственных значений, а собственным формам колебаний отвечают собственные векторы. Исследования, выполненные с помощью такого подхода, не являются сложными [3].

В настоящем обзоре описываются работы, посвященные идентификации дефектов распределенных механических систем с помощью собственных частот, а также с помощью проходящих и отраженных волн. Рассматриваются балки, стержни и трубопроводы, которые моделируются непрерывной системой и описываются набором уравнений в частных производных по времени и по одной или нескольким пространственным координатам.

Каждый из подходов имеет свои преимущества и недостатки, о которых более подробно написано в пунктах, посвященных каждому из подходов.

Заметим, что наш обзор связан с интересами авторов и ни в коей мере не претендует на полноту.

Моделирование дефекта условиями сопряжения. Локальные дефекты часто моделируют условиями сопряжения. Для трещин используют условия сопряжения для безмассовых пружин [1], а для полостей – условия для сосредоточенных масс (с отрицательным значением). Первыми, кто показал, что трещины могут быть смоделированы безмассовыми пружинами растяжения-сжатия при продольных колебаниях стержня и вращательной при изгибных колебаниях стержня были Райс и Леви [4]. Связь между глубиной двухсторонней трещины и коэффициентом жесткости пружины установлена в работе [5]. Начиная с работы Фрюнда и Херрмана (Freund, Herrmann) [6], моделирование раскрытой трещины как продольной пружины становится повсеместным, причем не только в теоретических, но и в инженерных исследованиях [7]. Моделировать полость условиями для сосредоточенных масс (или инерционных элементов) впервые было предложено для изгибных колебаний в работе [8], а для продольных – в работе [9].

В последнее время различными авторами предлагаются новые условия сопряжения для трещин. В работе [10] при помощи таких условий сопряжения получены новые результаты об идентификации местоположения и параметров надреза в балке по собственным частотам изгибных колебаний.

В работе [11] для диагностирования надреза предложено использовать собственные частоты из двух спектров изгибных колебаний (вокруг разных осей). Ранее другими авторами использовались два спектра и более спектров [1]. Однако это были спектры задач, которые имели отличающиеся друг от друга краевые условия. А в [11] используются те же самые краевые условия, но рассматриваются колебания вокруг разных осей. Такой подход позволяет доказать корректность обратной задачи и однозначно идентифицировать размеры дефекта (трещины или полости) балки Эйлера–Бернулли. Он позволяет дать “объемное видение” дефекта, подобно тому, как трехмерный объект можно идентифицировать по трем его проекциям. Использование в качестве данных восстановления не только спектров разных задач с дифференциальными уравнениями одного порядка (например, спектров изгибных колебаний вокруг разных осей), но и спектров задач с дифференциальными уравнениями разных порядков (например, спектров изгибных и продольных колебаний стержня) позволяет решать актуальные задачи однозначной идентификации местоположения и размеров дефектов (полостей, надрезов, вмятин и т.п.), решение которых невозможно при использовании традиционных подходов.

Подробно ознакомиться с исследованиями по идентификации местоположения и параметров дефектов можно по двум главам работы [1]. Одна из глав посвящена выявлению дефектов с помощью собственных частот продольных колебаний стержня, другая – идентификации дефектов с помощью собственных частот изгибных колебаний стержня. Мы не будем подробно останавливаться на этих исследованиях. Укажем лишь, что в [12] решена задача нахождения положения s по изменениям двух собственных частот продольных колебаний стержня. В [13] рассматривается задача определения высоты и положения точечной массы, прикрепленной к тонкому стержню по ее воздействию на собственные частоты. В [14] показывается, что положение трещины однозначно определяется по асимтотическому виду спектра. В [16] показано, что жесткость и расположение повреждения однородной свободно опертой балки определяется единственным образом (за исключением симметрии) изменениями m‑й и 2 m-й частот. Альтернативное отождествление задается изменениями m-й частоты балки со свободно опертыми граничными условиями и (m + 1)-й частоты балки с другими краевыми условиями.

Значительное число работ написано авторами, А.Г. Хакимовым, а также А.О. Ватульяном и его учениками.

В [17] по трем собственным частотам изгибных колебаний определяются координата надреза, его глубина и длина. В [18] по двум собственным частотам изгибных колебаний определяются коэффициенты жесткости опор консольной балки. А при известной координате надреза и его длине по собственной частоте определяется его глубина.

В [19] в статической и динамической постановке определяются место и размеры поперечного надреза в вертикальной штанге, растянутой под действием собственного веса и силы, приложенной на нижнем конце. В [20] эта же задача решается с учетом внутреннего трения в пределах надреза. По двум собственным значениям определяется место, соотношение размеров поперечного надреза, а также коэффициент внутреннего трения в пределах надреза в вертикальной штанге, растянутой под действием собственного веса.

В [21, 22] по трем собственным частотам изгибных (крутильных) колебаний балки определяются координата надреза, его глубина и длина.

В [22] по трем собственным частотам крутильных колебаний определены место и размеры повреждения в виде поперечного надреза вала.

В [23–25] по двум собственным частотам изгибных (поперечных) колебаний определяются радиус и толщина утонченной центральной области мембраны.

В [26] по двум собственным частотам крутильных колебаний определены начальная координата и длина продольного сквозного радиального разреза полого вала.

В [27] по трем собственным частотам продольных колебаний определяется начальная координата, величина прикрепленной распределенной массы к ступенчатому стержню и отношение площадей.

В [28] по трем собственным частотам крутильных колебаний определяются координата, длина и параметр надреза бурильной колонны.

В [29] представлено решение задачи идентификации условий замыкания (сопряжения) провода по первым собственным частотам колебаний напряжения в нем; показана корректность задачи; дан метод ее решения и приведены соответствующие примеры.

В [30] приведены результаты расчета местоположения трещины и жесткости в ее области по экспериментальным собственным частотам продольных колебаний.

В [31] показано, что местоположение полости и ее объем определяются по двум собственным частотам изгибных колебаний стержня. Результаты этих исследований хорошо согласуются с результатами работы А.О. Ватульяна, Н.О. Солуянова [32]. Аналогичная модель и выводы приводятся в работах [33, 34], но уже для продольных колебаний стержня.

В [35] предлагается метод, позволяющий вычислить местоположение и объем двух полостей в стержне по собственным частотам изгибных колебаний. В работе [36] полость моделируется условиями сопряжения для сосредоточенных масс (но с отрицательными значениями). В [37] аналогичная задача решена для двух масс, сосредоточенных на балке.

В [38] получены новые результаты об идентификации местоположения и параметров надреза в балке по собственным частотам изгибных колебаний.

Определение местоположения и параметров дефектов с помощью собственных частот удобно для механических распределенных систем конечной длины. Если же объект (например, стержень) оказывается бесконечным, то такой подход оказывается неудобным, т.к. спектр такой задачи является не дискретным, а непрерывным. Более удобным оказывается подход, основанный на использовании проходящих и отраженных волн. Так, например, в [39] рассмотрена задача обнаружения дефектов в протяженных объектах типа штанговых колонн нефтедобывающих скважин и магистральных трубопроводных систем. В таких объектах не все участки могут быть доступны для визуального осмотра и приборного диагностирования [40].

Решение обратной задачи позволяет определить координату надреза и параметр, содержащий его глубину и длину, по данным падающей и отраженной волн в месте наблюдения.

В [41–44] определяется координата надреза и параметр, содержащий его глубину и длину, по данным падающей и отраженной продольной и крутильной волн в месте наблюдения.

В [45] рассматривается отражение от распределенной массы, прикрепленной к трубопроводу, и прохождение изгибной бегущей волны. В этой работе решена обратная задача определения начальной координаты распределенной массы и ее величины по данным отраженной волны в точке наблюдения.

В [46, 47] определяется координата воздушной полости и ее длина по данным отраженной продольной и изгибной волны в месте наблюдения. В [48, 49] определяется начальная координата распределенной массы и ее величина по данным отраженной волны в точке наблюдения.

Изучение продольных и проходящих волн оказывается эффективным не только для протяженных объектов. Оно эффективно и для обнаружения дефектов конечных объектов, подвергшихся ударному воздействию или кратковременному возбуждению. Например, в [50] с помощью проходящих и отраженных волн решается задача определения момента времени удара, длины стержня, массы груза и скорости по данным датчика, который снимает значения смещения стержня в различные моменты времени. Задача решается теоретически с помощью уравнения продольных колебаний однородного стержня. Аналогичные задачи решаются в работах [51, 52].

В [53] получены формулы определения момента и места разрыва трубопровода по данным тензодатчика и предложена схема взаимодействия с ГЛОНАСС, которая позволяет мгновенно обнаруживать места утечек и повреждений трубопроводов, проложенных под водой, и своевременно ликвидировать последствия аварии. В [54] рассматривается обратная ретроспективная задача определения местоположения и момента времени возбуждения струны внешним объектом.

Использование дельта-функций. В предыдущем пункте при изучении колебаний стержней с поперечным надрезом для стыкования решений в двух областях принимается некоторая модель в виде условий сопряжения. Этот подход, приемлемый в случае одного надреза, становится весьма трудоемким при наличии нескольких надрезов в стержне. Кроме того, должна быть задана длина надреза вдоль стержня, между тем она известна не всегда, например, на стадии зарождения трещины. Трудно определима и жесткость пружины в указанной выше модели. Поэтому желательно построить простейшую модель колебаний стержня с несколькими зарождающимися трещинами, в которой отсутствовали бы указанные выше жесткость пружины и длина надреза вдоль стержня (или расстояние между берегами трещины).

Подход, использующий дельта-функции оказывается более эффективным, когда диагностируется не одна, а несколько дефектов. В отечественной литературе, посвященной выявлению дефектов по собственным частотам колебаний, трещины моделируют дельта-функциями в работах Е.И. Шифрина и М.А. Ильгамова. Однако подходы, используемые для моделирования трещин, у этих авторов отличаются.

Поясним сначала подход, используемый Е.И. Шифриным на примере продольных колебаний стержня. Он получает уравнения с дельта-функциями основываясь на условиях сопряжения для трещин. В работах [55, 56] вместо функции u(x), характеризующей продольные смещения при продольных колебаниях стержня, используется функция, которая является решением уравнений Штурма–Лиувилля

и удовлетворяет условиям сопряжения а значит, имеет разрывы в точках ${{x}_{j}}$.

Вводится гладкая функция

где $H\left( x \right)$ – функция Хевисайда для которой выполняются уравнения,

Продифференцировав это уравнение и введя новую переменную

получается уравнение представляющее собой уравнение вида которое ранее уже изучалось М.Г. Крейном, показавшим, что функция $m\left( \tau \right)$ однозначно восстанавливается по двум спектрам [57–59]. В результате удается доказать, что любое число трещин может быть обнаружено и идентифицировано с помощью двух спектров, отвечающих двум типам условий на концах стержня, свободные концы и свободный конец – закрепленный конец. Рассмотрены численные примеры, иллюстрирующие полученные теоретические результаты.

В [60] рассмотрена задача, аналогичная задаче [56], но для стержня переменного сечения. Предполагается, что площадь сечения является непрерывно дифференцируемой функцией координаты. Получены результаты, аналогичные результатам [56], т.е. путем сведения задачи к обратной задаче Штурма–Лиувилля доказано, что любое число трещин однозначно идентифицируется по двум спектрам, отвечающим условиям свободный – свободный и свободный закрепленный на концах. Рассмотрены численные примеры.

В работе [61] рассмотрены задачи идентификации конечного числа малых трещин в стержне и балке по собственным частотам. Малым трещинам отвечают пружины с малыми податливостями. Это позволяет упростить задачу и свести ее к линейным относительным податливостям пружин. Задачу о продольных колебаниях стержня со свободными концами удается свести к уравнениям, встречающимся в различных областях чистой и прикладной математики (в задачах анализа сигналов, идентификации простых полюсов мероморфной функции, реконструкции полигональной области по комплексным моментам, идентификации малых дефектов в упругих телах и др.). Методы решения таких уравнений хорошо известны. Получены следующие результаты. Если известно, что в стержне имеется не более чем N трещин, то с помощью 2N собственных частот, отвечающих продольным колебаниям стержня со свободными концами, можно определить пары точек, расположенных симметрично относительно середины стержня, в которых могут находиться трещины, и суммарную податливость стержней, расположенных в симметричных точках. Кроме этого, показано, что с помощью 2N + 1 собственных частот, отвечающих продольным колебаниям стержня, один конец которого закреплен, а другой свободен, можно определить пары точек, расположенных симметрично относительно середины стержня, в которых могут находиться трещины, и разность податливостей пружин, расположенных в симметричных точках. Рассмотрена также задача о поперечных колебаниях свободно опертой балки с малыми трещинами. В этой задаче получены результаты, аналогичные результатам для продольных колебаний стержня со свободными концами. Более точно, для случая, когда известно, что в балке находится не более N трещин, разработан алгоритм, позволяющий по 2N собственным частотам определить пары симметричных точек возможного расположения трещин и суммарную податливость пружин, работающих на поворот.

Другой подход к моделированию трещин дельта-функциями используется в работах М.А. Ильгамова. В нем учитывается особенность зарождающейся трещины, состоящая в том, что в фазе деформации сжатия она исчезает (смыкание берегов трещины), а в фазе деформации растяжения эти берега расходятся. В работе [62] предполагается, что при продольных колебаниях стержня в фазе деформации сжатия берега трещины приходят в соприкосновение, в результате чего движение не отличается от случая сплошного стержня (без трещины). В фазе деформации растяжения эти берега расходятся, в результате чего происходит частичное прохождение продольной волны и ее частичное отражение. Так же, как при моделировании трещины условиями сопряжения, не учитывается пространственное напряженно-деформированное состояние в зоне трещины. Оно предполагается одноосным. Последнее, естественно, не отражает истинную картину напряженно-деформированного состояния вблизи трещины, но может служить некоторым приближением при определении интегральных характеристик как собственные частоты продольных колебаний всего стержня. Указанное отражение волн от трещины в фазе растяжения приводит к взаимодействию разных гармоник продольных колебаний стержня конечной длины, что сильно усложняет анализ. Если принять отношение суммы площадей F_k трещин числом K к общей площади F поперечного сечения балки (рис. 1) порядка 0.1, то взаимодействие гармоник будет не сильным и собственные формы будут мало отличаться от соответствующих форм колебаний стержня без трещин. В [62] рассматривается именно случай $\sum\nolimits_{k = 1}^K {\left( {{{{{F}_{k}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{F}_{k}}} F}} \right. \kern-0em} F}} \right)} \ll 1$. Это простейшее качественное решение может быть уточнено при учете взаимодействия гармоник.

В уравнении продольного движения стержня ${{\partial N} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial N} {\partial x}}} \right. \kern-0em} {\partial x}}$ – $\rho F{{{{\partial }^{2}}u} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\partial }^{2}}u} {\partial {{t}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {\partial {{t}^{2}}}} = 0$ усилие N принимается в виде N = $E\left( {F\frac{{\partial u}}{{\partial x}} - \sum\nolimits_k {{{F}_{k}}L\delta \left( {x - {{x}_{k}}} \right)\frac{{\partial u}}{{\partial x}}} } \right)$, где Е, ρ – модуль упругости и плотность материала; и – перемещение, δ(x – x_k) – дельта-функция; x_k – координата k-й трещины. Трещины могут быть расположены по длине L стержня произвольно. Из последних двух уравнений следует

Для описания деформации сжатия второй член в последнем уравнении следует опустить (в отсутствии трещины  f_k = 0).

Условия на концах стержня принимаются в виде

и условия стыкования решений при смене деформации растяжения на деформацию сжатия (в момент времени ${{\tau }_{*}}$)

Этим условиям на концах стержня и условиям стыкования решений удовлетворяют функции для обеих фаз деформации

Чем больше число зарождающихся трещин и чем более равномерно они расположены по длине стержня, тем одночленная аппроксимация перемещения точнее отражает картину деформации (в общем случае необходимо брать суммы по i).

С применением этой приближенной модели в [62] определяются собственные частоты, значения которых сравниваются с результатами другой модели, учитывающей не только площадь, но и продольный размер трещины. Показано, что при отношении длины трещины к общей длине стержня, имеющем порядок отношения площади трещины к площади поперечного сечения стержня, можно не учитывать размер трещины вдоль стержня.

Моделирование дефекта непрерывным участком стержня с измененной жесткостью, площадью поперечного сечения и плотностью. Моделирование непрерывными участками стержня с измененной жесткостью, площадью поперечного сечения и плотностью, как правило, применяется при идентификации протяженных дефектов. Часто при решении задачи используются аналитические методы решения. Поэтому такой подход удобен для ответа на фундаментальные вопросы. Например, с помощью такого подхода может быть получен важный для дефектоскопии вопрос: Всегда ли по собственным частотам свободных изгибных колебаний стержня можно выявить дефект?

Как показывают исследования, проведенные в работах [8, 63, 64] собственные частоты поперечных колебаний балки с полостью на срединной оси выше собственных частот колебаний сплошной балки. Это в корне отличается от поведения частот колебаний балки с открытой трещиной. Собственные частоты балки с раскрытой трещиной ниже собственных частот сплошной бездефектной балки [65].

При перемещении полости балки от срединной оси к внешнему краю, балка с полостью становится в итоге балкой с открытой трещиной. На основе этого факта, а также учитывая сведения о том, что собственные частоты балки с полостью выше, а балки с трещиной, наоборот, ниже собственных частот сплошной бездефектной балки, сделаем предположение: при определенном положении полости балки, собственные частоты колебаний балки с полостью совпадают с собственными частотами колебаний сплошной бездефектной балки.

В работе [66] показана справедливость данного предположения на примере изгибных колебаний сплошного бездефектного стержня и стержня с призматической полостью, проходящей по всей длине стержня (трубчатого стержня) (рис. 1).

Задача об изгибных колебаниях консольной балки длины $L$ заменой $u\left( {x,t} \right)$ =  $y\left( x \right)\cos \omega t$ сводится к спектральной задаче

где ${{\lambda }^{4}} = \frac{{\rho F{{\omega }^{2}}}}{{EJ}}$, $\omega $ – частотный параметр.

Как видно из рис. 1, параметр $a$ определяет положение полости трубчатого стержня. При $a = 0$ полость лежит на срединной оси стержня. При значениях параметра $a \geqslant \left( {\frac{H}{2} - \frac{h}{2}} \right)$ рассматриваемый трубчатый стержень превращается в стержень с открытой трещиной. Как было отмечено ранее, собственные частоты стержня с полостью на срединной оси выше, а стержня с трещиной, наоборот, ниже собственных частот сплошного стержня. Следовательно, при определенных значениях параметра $a$ собственные частоты трубчатого стержня совпадают с собственными частотами сплошного стержня. Необходимо выяснить при каких значениях параметра $a$ происходит совпадение частот.

В терминах задачи (1), (2) данная задача сводится к исследованию того, при каких значениях параметра $a$ выполняется соотношение $\frac{{{{J}_{1}}}}{{{{F}_{1}}}} = \frac{{{{J}_{2}}}}{{{{F}_{2}}}}$, где ${{J}_{1}}$, ${{F}_{1}}$ – момент инерции и площадь поперечного сечения сплошного стержня, ${{J}_{2}}$, ${{F}_{2}}$ – момент инерции и площадь поперечного сечения трубчатого стержня. В работе [66] показано, что при

первая, вторая, третья и все последующие собственные частоты изгибных колебаний рассматриваемых стержней совпадают. Причем это значение a является общим для всех собственных частот. Если же полость проходит не по всей длине стержня, то существуют значения a, при которых первая, вторая, третья и все последующие собственные частоты изгибных колебаний рассматриваемых стержней совпадают. Однако эти a зависят от номера частоты и не являются общими для всех номеров частот [67].

Таким образом, выявить дефект по спектру частот колебаний стержня вокруг одной оси оказывается невозможным. В [66, 67] показано, что для идентификации полости необходимо использование собственных частот из двух спектров изгибных колебаний (вокруг разных осей). По двум собственным частотам, каждая из которых взята из спектров частот изгибных колебаний стержня с полостью вокруг разных осей, можно однозначно идентифицировать параметры размера h и местоположения a полости.

Третий подход позволяет также решать задачи идентификации дефектов. Так, в [68] исследованы собственные изгибные колебания трубопровода с движущейся жидкостью, находящегося под действием растягивающей силы и защемленного по краям. По трем частотам изгибных колебаний находятся скоростной параметр, относительная масса продукта на единицу длины трубопровода и относительная масса отложений на стенках трубопровода.

В [69] исследуются собственные крутильные колебания трехэлементного вала. По четырем частотам свободных крутильных колебаний можно определить параметр жесткости, полярный момент инерции вала на втором участке, начальную координату и длину этого участка.

В [70] решена задача о поиске местонахождения границы между двумя участками стержня разной плотности по собственным частотам его свободных продольных колебаний.

В [71] сформулирована математическая модель неоднородного стержня с коррозионным участком. Решена задача определения длины, модуля упругости и плотности коррозионного участка стрежня по трем собственным частотам продольных колебаний.

В [72] рассмотрена балка с поперечным сечением в виде полого прямоугольника. Определяются размеры полости балки по двум собственным частотам изгибных колебаний, взятым из разных спектров. Данные спектры принадлежат колебаниям в двух взаимно перпендикулярных плоскостях.

В [73] исследовано поведение собственных частот балки с продольным надрезом (трещиной). Для идентификации глубины и ширины предложено использование двух спектров частот (вокруг разных осей). Показано как по двум собственным частотам, взятым из разных спектров (вокруг разных осей), идентифицировать глубину и ширину надреза балки.

В [74] получены формулы идентификации размеров призматического стержня по трем собственным частотам (по одной из спектра продольных колебаний и из двух спектров изгибных колебаний вокруг разных осей). Найдены аналогичные формулы для стержней треугольного и эллипсовидного сечений.

Значительный вклад в вопросы идентификации дефектов, моделируемых участками с иной плотностью или жесткостью, внесен научной школой А.О. Ватульяна. В работах этой научной школы полости, сначала участки с другой плотностью или жесткостью рассматриваются как участки определенной формы, а затем предлагаются подходы, позволяющие рассматривать участки произвольной формы.

В [63] предложен подход к определению расположения и объема полости произвольной формы. Представлены результаты численных экспериментов и их анализ.

В [75] приведены схемы реконструкции полости в стержне при анализе продольных и изгибных колебаний стержня.

В [76] дан обзор работ по обратным задачам теории трещин в упругих телах. Отмечено, что наиболее популярным является модель, в которой трещина моделируется математическим разрезом, а берега не взаимодействуют в процессе установившихся колебаний.

В [77] представлен метод определения параметров малой осесимметричной полости в балке при анализе продольных и изгибных колебаний. Наиболее просто реализуется предложенная схема для сферической полости в цилиндрическом стержне. Представлены вычислительные эксперименты по реконструкции параметров полости и его положения.

В [32] рассматривается задача об установившихся поперечных колебаниях цилиндрического стержня, содержащего осесимметричный дефект в форме полости малого характерного размера. Представлены численные результаты, показавшие достаточную эффективность предлагаемого в статье похода по восстановлению объема и центра полости.

В [78] рассматриваются задачи о восстановлении переменных модуля упругости и плотности для упругого неоднородного стержня при возбуждении продольных и изгибных колебаний.

В [79] исследованы поперечные колебания консольно закрепленной балки с тонким надрезом, который смоделирован как локальное изменение жесткости. Разработаны методы поэтапной реконструкции параметров надреза по известной информации о резонансных частотах балки с надрезом или об амлитудно-частотной характеристике торца.

В [80] представлен метод определения параметров симметричного тонкого надреза в балке при анализе изгибных колебаний. Реализована процедура поэтапного восстановления параметров тонкого надреза.

В [81] решены две обратные задачи. Первая состоит в определении центра и объема эллипсоидального включения, ослабляющего упругий стержень, при известных его физических характеристиках (модуль Юнга и плотность), а вторая – в определении физических параметров включения при известной его геометрии. В обеих задачах входной информацией являются значения первых трех или четырех резонансных частот.