Проблемы машиностроения и надежности машин, 2020, № 2, стр. 16-24

Рассматривается задача о вынужденных колебаниях оболочечной конструкции со свободными граничными условиями на торцах, погруженной в жидкость. Конструкция состоит из секций, каждая из которых представляет собой конечную упругую цилиндрическую оболочку с упругими кольцами на концах. На оболочечную конструкцию действуют дискретные вынуждающие силы. Попытки решения этой задачи методом конечных элементов по ряду причин нельзя признать успешными [7]. Численно-аналитические методы расчета колебаний конечных цилиндрических оболочек в жидкости до сих пор не разработаны [1–9] и решение этой задачи является актуальным.

Цель – разработать численно-аналитический метод расчета вынужденных колебаний цилиндрических оболочек в жидкости.

Идея предлагаемого метода расчета состоит в следующем. Система условно разбивается на подсистемы, включающие оболочки и кольца. Для каждой оболочки составляются дисперсионные уравнения и определяются их корни. Решение свободных колебаний оболочки записывается в виде вектора (матрицы-столбца) перемещений (u, ${v}$, w, w'). Функции распределения перемещений оболочек по их длине записываются через перемещения торцевых сечений. Внутренние силы в оболочках приводятся к торцам оболочек. Определяются матрицы динамических жесткостей колец по тем же четырем перемещениям. Общее матричное уравнение вынужденных колебаний всей оболочечной конструкции записывается так же, как для цепной системы. Вынуждающие силы приложены к кольцам и распределены по окружному углу φ по гармоническому закону P = pcosnφ. Дискретные вынуждающие силы могут задаваться в любом месте по длине цилиндрической оболочки без применения δ-функции. Получается матричное уравнение ленточного типа, состоящее из блок-матриц четвертого порядка, диагонально расположенных в общей матрице. Это позволяет упростить составление и ускорить решение сводных матричных уравнений высокого порядка (нескольких сотен).

Уравнения движения цилиндрической оболочки в перемещениях, основанные на моментной теории упругих оболочек Кирхгофа–Лява, имеют вид [8]

где u, $v$, w – осевые (продольные), окружные (касательные) и радиальные перемещения оболочки; T₁, T₂, S, H, M₁, M₂– упругие силовые факторы; q₁, q₂, q₃ – поверхностные нагрузки; a – радиус оболочки; h – толщина оболочки; ξ = x/a, φ – координаты в осевом и окружном направлениях; t – время; ${{\rho }_{*}}$ – плотность материала оболочки, 0 ≤ x ≤ L; L – длина оболочки.

Решения уравнений свободных колебаний конечной цилиндрической оболочки (1) записываются в форме [9]

где n – окружные гармоники ряда Фурье, n = 0, 1, 2, 3, …; α_jn – корни дисперсионного уравнения; j = 1–8 – порядковые номера корней; С_jn – искомые коэффициенты; $\Delta $_jn – миноры матрицы уравнения движения оболочки (3); ω = 2πf – угловая частота колебаний; f – частота колебаний. В решение (2) входят подлежащие определению корни дисперсионного уравнения α_jn и коэффициенты С_jn. Для получения дисперсионного уравнения примем q₁= q₂= q₃ = 0 и решение уравнения представим в упрощенном виде

В результате подстановки этих решений в уравнение (1) получим уравнение свободных колебаний оболочки в матричном виде [10]

Дисперсионное уравнение для конечной цилиндрической оболочки, погруженной в жидкость, имеет вид

a₁, b₁ – параметры стрингеров; а₂, b₂, z₂ – параметры шпангоутов; E = E₀(1 + iη) – комплексный модуль упругости; η – потери в материале оболочки; r = a – радиус оболочки; μ – коэффициент Пуассона; i = $\sqrt { - 1} $. Каждое из решений U, V, W (2) состоит из восьми слагаемых по числу концевых граничных условий оболочки. Соответственно числу слагаемых для каждой гармоники n и для каждой частоты колебаний ω надо определить восемь корней α_j, (5).

Для составления уравнений вынужденных колебаний оболочечной конструкции, состоящей из набора оболочек, соединенных между собой кольцами, каждое уравнение движения записывается для перемещений трех соседних подсистем с номерами: k-текущей, k – 1-предыдущей и k + 1-последующей. Подсистемами являются оболочки и кольца. Внутренние силы оболочки, приложенные, например, к кольцу k, выражаются через перемещения концов оболочек, присоединенных к кольцу слева (в конце предыдущей оболочки k – 1) и справа (в начале последующей оболочки k + 1).

Определим перемещения торцевых сечений оболочек. Представим распределение перемещений по длине y для каждой оболочки с учетом дополнительной координаты w' = dw/dy в матричном виде

Дополнительная координата w' введена для возможности формирования блок-матриц в уравнениях стыковки цилиндрических оболочек с кольцами по четырем основным силовым факторам. Выражение (6) используются для каждой оболочки при составлении системы уравнений движения для всей оболочечной конструкции в целом. Обозначим A(y) произведение матриц в правой части выражения (6)

Представим перемещения торцев оболочки, имеющей длину $\ell $, в начале при y = 0 и в конце y = $\ell $ в виде

Составим блок-матричное уравнение

Из этого уравнения определим вектор-столбец коэффициентов W⁰= {С₁ – С₈}

Текущие перемещения по длине оболочки, выраженные через перемещения ее торцов, определяются выражением

Таким образом, вектор перемещений оболочки с произвольным номером k

где $\zeta _{{k0}}^{{}} = \zeta _{k}^{{}}\left( 0 \right)$, $\zeta _{{k1}}^{{}} = \zeta _{{k1}}^{{}}\left( {{{\ell }_{k}}} \right)$ – перемещения торцевых сечений оболочки номера k, $С_{k}^{1} = {{\bar {С}}_{1}}$, $C_{k}^{2} = {{\bar {C}}_{2}}$.

Матрица G_k(y) размером 4 × 8 состоит из столбцов G_pk, в которых р = 1, 2, …. 8 по числу корней дисперсионного уравнения.

где $\Delta _{{pk}}^{1} = \Delta _{{}}^{1}\left( {{{\alpha }_{{pk}}}} \right)$, $\Delta _{{pk}}^{2} = \Delta _{{}}^{2}\left( {{{\alpha }_{{pk}}}} \right)$, $\Delta _{{pk}}^{3} = \Delta _{{}}^{3}\left( {{{\alpha }_{{pk}}}} \right)$ – миноры матрицы уравнения (3).

Матрицы $C_{k}^{1}$, $C_{k}^{2}$ являются блоками размером 8 × 4 квадратной матрицы C_k размером 8 × 8

Приведем внутренние силы в оболочке к ее торцевым сечениям. Вектор-столбец внутренних сил в оболочке номера k имеет вид

Соответствие между этими внутренними силами и перемещениями оболочки следующее

Связь внутренних сил оболочки с перемещениями торцевых сечений оболочки может быть представлена вектором

где $G_{k}^{*}\left( y \right)$ – матрица размером 4 × 8, состоящая из столбцов $G_{{pk}}^{*}$,

В случае, когда к кольцу (слева и справа) крепятся оболочки разного диаметра, необходимо выполнить соответствующее приведение координат (перемещений) торцов оболочек к центру масс поперечного сечения кольца. Векторы перемещений торцов оболочки

где $H_{k}^{1}$ и $H_{k}^{2}$ – матрицы приведения координат; Z_k – вектор перемещений кольца:

внутренние силы, действующие в торцевых сечениях оболочек (в конце предыдущей оболочки η_k,l и в начале последующей оболочки η_k + 1, 0), приведем к соединяющему их кольцу с помощью матриц приведения $H_{k}^{3}$ и $H_{k}^{4}$. Силы, приложенные к центру масс поперечного сечения кольца c номером k

Матричное уравнение движения оболочечной конструкции формируется следующим образом. С учетом принятых обозначений уравнение движения кольца номера k в матричной форме имеет вид

где P_k – вектор возмущающих сил; $F_{k}^{{(1)}}$, $F_{k}^{{(2)}}$ – векторы внутренних сил, приложенные от оболочек к кольцу слева и справа; М_k – матрица динамических жесткостей кольца номера k.

Подставляя в уравнение движения кольца (9) значения сил (8) и перемещений оболочек (7), получим систему уравнений порядка 4(N + 1), где N – общее количество оболочек; N + 1 – общее количество колец. В уравнениях движения порядковые номера колец обозначим q, где 0 ≤ q ≤ p. Уравнения составляются для каждого кольца последовательно.

Уравнения для первого кольца q = 0, для каждого промежуточного кольца от q = 1 до q = N – 1 и для последнего кольца q = N имеют вид

Общее матричное уравнение для оболочечной конструкции имеет ленточную диагональную структуру расположения блок-матриц размером 4 × 4 и в сумме может иметь порядок нескольких сотен. В результате решения этой системы определяются искомые векторы перемещений колец Z_q.

После определения векторов перемещений Z_q на кольцах q из уравнения (10) можно построить амплитудно-частотные характеристики колебаний в заданных сечениях (кольцах) оболочечной конструкции, а также формы вынужденных колебаний для каждой оболочки и всей оболочечной конструкции в целом.

Форма колебаний для каждой оболочки определяется выражением

Метод расчета реализован в виде алгоритмов и компьютерных программ, написанных на языке Fortran, применительно к динамической модели, показанной на рис. 1. Ниже приведены результаты расчетной оценки влияния присоединенной жидкости на АЧХ и формы колебаний оболочек в вакууме (“сухой”) и в жидкости (“мокрой”), что представляет теоретический и практический интерес. Для чистоты эксперимента принята упрощенная модель оболочечной конструкции, состоящей из соединенных между собой восьми одинаковых секций, состоящих из цилиндрических оболочек постоянного радиуса и колец. Конструктивные параметры составной оболочки: общая длина L = 70 м; радиус а = 4 м; толщина h = 0.04 м. Материал – сталь. Возмущающая сила P = 1000 Н приложена на левом конце оболочечной конструкции.

На рис. 2–4 приведены результаты расчетов АЧХ и форм колебаний в диапазоне частот f = 1–100 Гц для окружной гармоники n = 1. На рис. 2 приведены АЧХ радиальных колебаний w в dB составной оболочки в вакууме. Три линии на рис. 2 – сплошная, точками и штриховая соответствуют АЧХ в сечениях: 1 – левый конец; 2 – середина; 3 – правый конец оболочечной конструкции. Первые три резонансные частоты изгибных колебаний оболочки на рис. 2:  f = 8.75 Гц; 28.25 Гц; 35.5 Гц.

На рис. 3 приведены АЧХ колебаний той же оболочки в жидкости в том же диапазоне частот. Первые три резонансные частоты уменьшились и стали:  f = 4 Гц;  f = 9.25 Гц; f = 14.25 Гц. Уровни колебаний на соответствующих резонансных частотах существенно снизились, примерно на 20–30 dB. В оболочке, погруженной в жидкость, резонансы на частотах выше 14.7 Гц вообще не проявились (задемпфировались).

На рис. 4 приведены формы радиальных колебаний W оболочки в жидкости соответственно на первых трех резонансных частотах: а) f = 4 Гц; б) f = 9.25 Гц; в) f = 14.25 Гц. Сплошные линии – реальные составляющие Re(W), пунктирные линии – мнимые составляющие Im(W) комплексного радиального перемещения w. Полученные формы колебаний соответствуют типичным низшим формам изгибных колебаний оболочки и балки со свободными краями, что подтверждает правильность расчетов. Резонансные (собственные) формы колебаний оболочек в вакууме и в жидкости полностью совпадают, что является подтверждением правильности расчета оболочки в жидкости. Результаты расчетной оценки влияние жидкости на резонансные частоты (их величины) получены впервые. Это влияние оказалось весьма существенным, что является новым и принципиально важным результатом.