Проблемы машиностроения и надежности машин, 2020, № 3, стр. 45-55
К ВОПРОСУ О КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ И ОПТИМИЗАЦИИ ФОРМЫ ПЕРЕХОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ СТУПЕНЧАТОГО ВАЛА
М. Н. Ерохин 1, *, П. В. Дородов 2, А. С. Дорохов 3
1 Российский государственный аграрный университет – МСХА им. К.А. Тимирязева
Москва, Россия
2 Ижевская государственная сельскохозяйственная академия
Ижевск, Россия
3 Федеральный научный агроинженерный центр ВИМ
Москва, Россия
* E-mail: sibirev2011@yandex.ru
Поступила в редакцию 21.10.2019
Принята к публикации 31.01.2020
Аннотация
В статье представлено аналитическое решение прямой краевой и плоской задачи о напряженном состоянии в срединной поверхности ступенчатого вала. В краевой задаче применяется сингулярное интегральное уравнение с ядром Коши, решение которого находится в виде неограниченного возрастания напряжений на концах интервала интегрирования. Плоская задача представлена в тригонометрических рядах, где постоянные коэффициенты определены из краевых условий, которые предварительно разложены в ряды Фурье. Сравнение полученных результатов с научными источниками и экспериментальные исследования напряженного состояния при помощи лазерного полярископа на плоских прозрачных моделях ступенчатых деталей с галтелями постоянной и переменной кривизны подтвердили адекватность представленного решения.
Целью исследований является разработка методики расчета оптимальной формы переходной поверхности ступенчатого вала.
Анализ современного состояния рассматриваемой проблемы. Проблемам определения напряжений в местах различных концентраторов с заданной геометрической формой (прямая задача) посвящена обширная область теории упругости и механики деформируемого твердого тела. Концентрация напряжений численно характеризуется коэффициентами концентрации, однако точные аналитические решения для их определения найдены только в некоторых задачах. В последнее время в связи с широким применением математических пакетов программ и численных методов в задачах теории упругости оказывается возможным найти теоретические коэффициенты концентрации напряжений с достаточной для практических целей точностью. Эти коэффициенты в упругой зоне нагружения для различных типов конструктивных элементов приведены в справочниках по концентрации напряжений, нормах, технических условиях на проектирование конструкций и в других аналогичных источниках. В иных задачах, не имеющих даже численного решения, для определения коэффициентов концентрации и закона распределения напряжений применяются экспериментальные методы: фотоупругости, голографической интерферометрии, тензометрии, муаровых полос и др. Но все экспериментальные методы отличаются большой трудоемкостью или высокой стоимостью лабораторного оборудования.
Отыскание оптимальных геометрических форм деталей при их проектировании (обратная задача), когда известно или задается напряженное состояние, встречается с серьезными математическими трудностями. В ряде случаев подобное проектирование оптимальной формы сводится к решению вариационных задач с неизвестными границами, для которых отсутствуют регулярные методы исследования. Известные трудности связаны также с тем, что задачи оптимизации формы упругих тел относятся к числу нелинейных задач механики [1–5].
Разработка методов оптимизации формы деталей конструкций машин, несущих основную нагрузку, имеет важное прикладное и теоретическое значение в решении задач повышения их надежности и в значительной степени активизирует развитие машинных технологий на производстве.
Обоснование актуальности рассматриваемой проблемы. Валы в любом механизме или машине принадлежат к числу наиболее ответственных деталей, выход из строя которых обычно представляет собой угрозу для всего привода. Часто валы имеют ступенчатую форму, разрушение которых связано с возникновением усталостных трещин в местах перехода от меньшего сечения к большему. Для снижения концентрации напряжений переходные поверхности скругляют галтелями постоянной или переменной кривизны, однако остается актуальным вопрос об их оптимальной форме [1, 2].
Задача исследований. Разработка методики расчета оптимальной формы переходной поверхности ступенчатого вала в условиях сложного сопротивления.
Методика исследований. Рассмотрим расчетную схему элемента ступенчатого вала при изгибе с кручением (рис. 1).
Проведем последовательный расчет ступенчатого вала, применяя для жесткого изотропного материала принцип независимости действия силовых факторов (суперпозиции). Вначале решим прямую задачу для элемента вала с концентрацией напряжений (без галтели). Для определения напряжений на линии сопряжения ступени 1 и основания 2 (|x| ≤ r; z = 0) воспользуемся особым интегральным уравнением [6–11]
где при чистом изгибе примемЗдесь σzм, τм – местные нормальные и касательные напряжения на линии сопряжения; wм, ${v}$м – местные перемещения на линии сопряжения; a, b – упругие постоянные.
Решение уравнения (1), в случае неограниченного возрастания напряжений на концах линии сопряжения, имеет вид [6, 7]
(2)
${\varphi }\left( x \right) = - \frac{A}{{{\pi }i}}\frac{1}{{\sqrt {{{r}^{2}} - {{x}^{2}}} }}\mathop \smallint \limits_{ - r}^{ + r} \frac{{\sqrt {{{r}^{2}} - {{{\xi }}^{2}}} f\left( {\xi } \right)}}{{{\xi } - x}}d{\xi } + \frac{B}{{{\pi }\sqrt {{{r}^{2}} - {{x}^{2}}} }},$Примем
Тогда из (2) получаем [7]
Для определения постоянных воспользуемся условиями равновесия
Окончательно местные напряжения на линии сопряжения примут вид
(3)
$\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\sigma }}_{{z{\text{м}}}}} = \frac{{16{{M}_{y}}}}{{3{{{\pi }}^{2}}{{r}^{3}}}}\frac{x}{{\sqrt {{{r}^{2}} - {{x}^{2}}} }},} \\ {{{\sigma }_{{x0}}} = 0,} \\ {{{{\tau }}_{{\text{м}}}} = \frac{{8{\beta }{{M}_{y}}}}{{3{{{\pi }}^{2}}{{r}^{3}}}}\frac{x}{{\sqrt {{{r}^{2}} - {{x}^{2}}} }},} \end{array}} \right\}$Функции (3), а также нормальные и касательные напряжения для крайнего правого сечения
Здесь для левой части вала 2 (основания) при λ = nπ/R свободные члены и коэффициенты рядов запишутся
Для правой части вала 1 (ступени) в вышеприведенных формулах необходимо R заменить на r. Записываем напряжения σz(x, z), σx(x, z), τxz(x, z) для срединной плоскости xz вала в тригонометрических рядах с постоянными коэффициентами Cin [7, 11]
Для левой части 2 (основания) вала с граничными условиями
Для правой части 1 (ступени) вала с граничными условиями
По известной формуле
(4)
$s\left( {x{\text{/}}t;z{\text{/}}t} \right) = \frac{{{{{\tau }}_{{{\text{max}}}}}}}{{{{{\sigma }}_{{\text{н}}}}}},$(5)
${{{\sigma }}_{{\text{н}}}} = \frac{{16{{M}_{y}}}}{{3{{{\pi }}^{2}}{{r}^{3}}}}\sqrt {1 + {{{\beta }}^{2}}} .$На рис. 2 представлена эпюра максимальных касательных напряжений в безразмерных величинах при R = c = h = 2r и β = 1 для ступени вала.
Исследование концентрации напряжений в ступенчатых деталях с плоской срединной поверхностью и постоянным радиусом скругления галтели представлено в [11]. Если за эквивалентные номинальные напряжения принять (5), то теоретический коэффициент концентрации αТ по наибольшим эквивалентным напряжениям
(6)
${{\alpha }_{T}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to r} \left( {\frac{{\sqrt {\sigma _{{z0}}^{2} + 4\tau _{0}^{2}} }}{{{{\sigma }_{{\text{н}}}}}}} \right) = \frac{1}{{\sqrt {1 - {{{\left( {\frac{r}{{{{r}_{0}}}}} \right)}}^{2}}} }},$(7)
$\frac{{\alpha _{T}^{2}}}{{\alpha _{T}^{2} - 1}} - \frac{{{{{\left( {{{\alpha }_{T}} - 1} \right)}}^{2}}\rho _{0}^{2}}}{2} - 2\left( {2\sqrt 2 - 1} \right)\rho _{0}^{2} - 2\sqrt 2 {{\rho }_{0}} - 1 = 0,$На рис. 3 дано графическое представление уравнения (7) – зависимости теоретического коэффициента концентрации напряжений от радиуса галтели ступенчатого вала.
Полученная кривая хорошо согласуется с эмпирическими данными, приведенными в [11]. Отсюда можно заключить, что галтели ступенчатого вала с постоянным радиусом скругления не являются оптимальной формой переходной поверхности.
Для оптимизации формы переходной поверхности вала решим обратную задачу. Искривленное поле максимальных касательных напряжений (4) (рис. 2) разворачиваем на плоскости xz, тем самым получаем форму срединной поверхности вала в месте перехода ступень – основание, удовлетворяющую условию оптимальности [7, 11]
Математически развертка искривленной поверхности $s\left( {x{\text{/}}t;z{\text{/}}t} \right)$ выполняется путем определения длины ветви Ls функции s
Здесь знак “плюс” относится к интервалу 0 ≤ x ≤ +r, “минус” – к – r ≤ x ≤ 0 и, из-за того, что при x = r длина кривой Ls стремится к бесконечности, верхний предел интегрирования значением x = 0.99r.
В плоскости xz строим график Ls = f(z) в пределах $\left| {x{\text{/}}r} \right| \leqslant R{\text{/}}r$, $0 \leqslant z{\text{/}}r \leqslant 2h{\text{/}}r$, который представляет собой оптимальную форму переходной поверхности ступенчатого вала.
Результаты и их обсуждение. На рис. 4 изображена оптимальная форма переходной поверхности ступенчатого вала, рассчитанная по разработанной методике, при R = c = = h = 2r и β = 1.
Для проверки полученного результата проведены экспериментальные исследования напряженного состояния на плоских моделях из листового органического стекла толщиной δ = 6 мм при помощи лазерного полярископа по методике, описанной в [7]. Плоская модель срединной поверхности ступенчатого вала устанавливалась между опорными плитами нагрузочного устройства по схеме шарнирно опертой балки в крайних сечениях и сосредоточенной силой Р в месте переходной поверхности (z = 0). Чтобы исключить влияние контактных напряжений от жесткого индентора под действием силы Р, максимальные касательные напряжения определялись в точках модели при x ≤ 0.2r. Переходные поверхности моделей с постоянными радиусами скругления и оптимальной формы были изготовлены на фрезерно-гравировальном станке с ЧПУ (рис. 5).
Экспериментальное значение максимальных касательных напряжений определялось по формуле [7]
Основные результаты исследования для моделей при R = c = h = 2.1r = 25.2 мм, Р = = 60 Н, z = –2 мм и β = 0 представлены в табл. 1 и на рис. 6.
Таблица 1.
x, мм | Радиус галтели 5 мм | Радиус галтели 20 мм | Оптимальная форма | |||
---|---|---|---|---|---|---|
U, мВ | τmax, кПа | U, мВ | τmax, кПа | U, мВ | τmax, кПа | |
2.4 | 59 | 41.515 | 99 | 175.449 | 94 | 160.326 |
0 | 68 | 74.702 | 120 | 235.414 | 135 | 275.34 |
–2.4 | 110 | 207.52 | 193 | 413.761 | 257 | 547.064 |
–4.8 | 187 | 400.375 | 338 | 698.107 | 390 | 788.162 |
–7.2 | 370 | 754.038 | 500 | 967.152 | 560 | 1060.324 |
–9.6 | 560 | 1060.324 | 690 | 1256.255 | 718 | 1297.888 |
–12.0 | 1262 | 2181.705 | 824 | 1455.385 | 760 | 1360.231 |
–14.4 | 353 | 724.543 | 742 | 1339.454 | 573 | 1080.221 |
–16.8 | 196 | 420.387 | 461 | 905.122 | 281 | 593.494 |
–21.0 | 130 | 262.266 | 152 | 318.243 | 140 | 288.198 |
Обсуждение и заключения. 1. Из анализа эпюр (рис. 7) следует, что значения коэффициента концентрации напряжений αT = kσmax = 1.11 при ρ0 = 0.83 и αT = 1.66 при ρ0 = 0.21 согласуются с теоретической кривой (рис. 3). 2. Наименьшее значение ${{{\alpha }}_{T}}$ составляет 1.04 для формы переходной поверхности Ls, рассчитанной по предложенной методике, что указывает на достижение поставленной цели исследований.
Список литературы
Francavilla A., Ramakrishnan C.V., Zienkiewicz O.C. Optimization of shape to minimize stress concentration // J. Strain Anal., 1975. V. 10. P. 63.
Sonmez F.O. Optimal shape design of shoulder fillets for flat and round bars under various loadings // J. Mechanical Engineering Science. 2009. V. 223. P. 1741.
Pedersen N.L. Optimization of Bolt Stress // 10th World Congress on Structural and Multidisciplinary Optimization, May 19–24, 2013, Orlando, Florida, USA. P. 1.
Yang L., Masatoshi S., Yoji S. Parameter-free method for the shape optimization of stiffeners on thin-walled structures to minimize stress concentration // Journal of Mechanical Science and Technology. 2015. V. 29. P. 1383.
Lian H., Christiansen A.N., Tortorelli D.A., Sigmund O., Aage N. Combined shape and topology optimization for minimization of maximal von Mises stress // Structural and multidisciplinary optimization. 2017. V. 55(5). P. 1541.
Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. 512 с.
Дородов П.В. Комплексный метод расчета и оптимального проектирования деталей машин с концентраторами напряжений: Монография. Ижевск: ФГБОУ ВПО Ижевская ГСХА, 2014. 316 с.
Кулиев В.Д. Новые эффективные методы решения класса смешанных краевых задач // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. 2015. № 1(23). С. 132.
Урбанович Т.М. Об особом случае характеристического уравнения с ядром Коши // Дифференциальные уравнения. 2015. Т. 52. № 12. С. 1650.
Урбанович Т.М. Особый случай сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши // Доклады НАН Беларуси. 2016. Т. 60. № 2. С. 10.
Ерохин М.Н., Дородов П.В. Метод оптимизации формы несимметричных ступенчатых деталей // Международный технико-экономический журнал. 2016. № 2. С. 10.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Проблемы машиностроения и надежности машин