Проблемы машиностроения и надежности машин, 2020, № 3, стр. 36-44
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ДИСКРЕТНОГО РЕСУРСА
Г. С. Садыхов 1, *, С. С. Кудрявцева 1
1 Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана
г. Москва, Россия
* E-mail: gsadykhov@gmail.com
Поступила в редакцию 31.07.2018
Принята к публикации 31.01.2020
Аннотация
На надежность сложных технических объектов влияет не только длительность безотказной наработки (непрерывный ресурс), но и число безотказных срабатываний типа “включен” объект в работу или “выключен” из нее (дискретный ресурс). Настоящая статья написана с целью частично восполнить этот пробел.
Анализ отказов технических объектов, работающих в режиме многократного циклического применения, показывает, что доля отказов при частых срабатываниях (типа объект “включен” в нагруженный режим работы или “выключен” из нее) составляет значительную часть в общем потоке отказов и она сопоставима с долей отказов в непрерывном режиме эксплуатации [1, 2]. В существующей обширной литературе по надежности отсутствуют теоретические основы дискретного ресурса.
Попытки найти способ заменить один цикл срабатываний “включено/выключено” на эквивалентную длительность непрерывной работы объекта не привели к успеху [3–7].
Помимо сложных систем, работающих в режиме многократного циклического применения, для ряда технических объектов ресурс определяют только по определенному количеству безотказных срабатываний. Так, для переключателей – это число безотказных переключений, для поршневых насосов – это число безотказных циклов, содержащих срабатывания “сжатие” и “разжатие”, для ламп вспышек – это число безотказных вспышек и т.д.
Определение предельных циклов в результате допустимых нагрузок является одним из основных факторов для обоснования величины назначенного ресурса и срока безопасной эксплуатации объекта [8, 9].
Средний дискретный ресурс. Пусть ${\zeta }$ – число срабатываний объекта до отказа. Тогда средний дискретный ресурс определяется по формуле
где $E\left( \cdot \right)$ – математическое ожидание величины, стоящей внутри скобок.Докажем следующее утверждение.
Теорема 1. Для расчета среднего дискретного ресурса объекта справедлива формула
где – вероятность того, что k срабатываний объекта будет безотказно (здесь ${{P}_{r}}\left( \cdot \right)$ – вероятность события, заключенного внутри скобок).Доказательство. Согласно определению математического ожидания (1) имеем
Так как ${{P}_{r}}\left( {{\zeta } = n} \right) = {{P}_{r}}\left( {{\zeta } \geqslant n} \right) - {{P}_{r}}\left( {{\zeta } \geqslant n + 1} \right)$, то $r = \sum\nolimits_{n = 1}^\infty {n{{P}_{r}}\left( {\zeta \geqslant n} \right)} $ – ‒ $\sum\nolimits_{n = 1}^\infty {n{{P}_{r}}\left( {\zeta \geqslant n + 1} \right)} $.
Откуда найдем $r = 1{{P}_{r}}\left( {\zeta \geqslant 1} \right) + \sum\nolimits_{k = 2}^\infty {k{{P}_{r}}\left( {\zeta \geqslant k} \right)} $ – $\sum\nolimits_{k = 2}^\infty {\left( {k - 1} \right){{P}_{r}}\left( {\zeta \geqslant k} \right)} $.
Объединяя два ряда в один, получим
(4)
$r = 1 + \sum\limits_{k = 2}^\infty {\left( {k - \left( {k - 1} \right)} \right){{P}_{r}}\left( {\zeta \geqslant k} \right)} .$Откуда имеем $r = 1 + \sum\nolimits_{k = 2}^\infty {{{P}_{r}}\left( {\zeta \geqslant k} \right)} $. Так как $1 + \sum\nolimits_{k = 2}^\infty {{{P}_{r}}\left( {\zeta \geqslant k} \right)} $ = $\sum\nolimits_{k = 0}^\infty {{{P}_{r}}\left( {\zeta \geqslant k + 1} \right)} $, то, согласно (3), получим искомую формулу (2), что и доказывает теорему.
Замечание 1. Выражение (4) позволяет определить размерность среднего ресурса, которая равна числу срабатываний.
Замечание 2. Доказанная формула (2) имеет аналог формулы расчета среднего непрерывного ресурса $\rho = \int_0^\infty {P\left( t \right)dt} $, где $P\left( t \right)$ – вероятность безотказной работы объекта в течение времени t.
Пример 1. Пусть число безотказных срабатываний объекта имеет следующий закон распределения вероятностей $({{P}_{r}}({\zeta } = k) = {{p}^{{k - 1}}}q)$:
(5)
$\begin{array}{*{20}{c}} {\zeta }&1&2&3& \ldots &k&{ \ldots ,} \\ {{{P}_{r}}}&q&{pq}&{{{p}^{2}}q}& \ldots &{{{p}^{{k - 1}}}q}&{ \ldots ,} \end{array}$Решение. Согласно (3), имеем ${{P}_{k}} = {{p}^{k}}q + {{p}^{{k + 1}}}q + \ldots $.
Суммируя геометрическую прогрессию со знаменателем, равным р, получим
Используя полученную формулу (6) в (2), имеем $r = \sum\nolimits_{k = 0}^\infty {{{p}^{k}}} $.
Отсюда, суммируя ряд, находим средний дискретный ресурс объекта для закона (5), равный
Интенсивность отказов. Пусть n – число срабатываний объекта, ($n = 1,\;2,\;3,\; \ldots $). Обозначим через
(8)
${{R}_{n}} = {{P}_{r}}\left[ {{{\left( {{\zeta } = n} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {{\zeta } = n} \right)} {\left( {{\zeta } \geqslant n} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {{\zeta } \geqslant n} \right)}}} \right]$Определение. Интенсивностью отказа объекта в результате n-го срабатывания ${{{\lambda }}_{n}}$ назовем отношение величины (8) к единице срабатывания, т.е.
(9)
${{{\lambda }}_{n}} = {{P}_{r}}\left[ {{{\left( {{\zeta } = n} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {{\zeta } = n} \right)} {\left( {{\zeta } \leqslant n} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {{\zeta } \leqslant n} \right)}}} \right]{{\left( {{\text{ср}}.} \right)}^{{ - 1}}},\quad n = 1,2,\; \ldots .$Используя известную формулу для условной вероятности
(10)
${{P}_{r}}\left( {A{\text{/}}B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}},$Подставляя полученное выражение в (9), найдем формулу расчета интенсивности отказов при n-м срабатывании объекта
(11)
${{{\lambda }}_{n}} = \frac{{{{P}_{r}}\left( {{\zeta } = n} \right)}}{{{{P}_{r}}\left( {{\zeta } \geqslant n} \right)}}{{\left( {{\text{ср}}.} \right)}^{{ - 1}}},\quad \left( {n = 1,2,\; \ldots } \right).$Для краткости, единицу измерения интенсивности отказов приводить не будем.
Из формулы (11) видно, что
При рассмотрении оценки (12) возникает вопрос: достижима ли правая часть оценки для какого-то закона распределения безотказных срабатываний?
Покажем, что если ${\zeta }$ – число безотказных срабатываний объекта имеет любое конечное распределение
Согласно (11) находим ${{{\lambda }}_{m}} = \frac{{{{{\text{Ф}}}_{т}}}}{{{{{\text{Ф}}}_{т}}}} = 1$, что доказывает достижимость правой части оценки (12); левая часть оценки (12) – очевидна.
Известно, что традиционный показатель “интенсивность отказов объекта в момент времени t” для объектов с непрерывным распределением ресурса определяется по формуле
где $f\left( t \right)$ – плотность распределения безотказной наработки, равная$f\left( t \right) = - P{\text{'}}\left( t \right)$, где $P\left( t \right)$ – вероятность безотказной работы объекта в течение времени t.Видно, что формула (11) расчета интенсивности отказов в результате n-го срабатывания, равная ${{{\lambda }}_{n}}$, не является следствием формулы (13).
Простейшая модель расходования дискретного ресурса. Пусть вероятность того, что каждое срабатывание объекта будет безотказно, равна $p$, ($0 < p < 1$), тогда вероятность отказа объекта при n-м срабатывании, согласно теореме умножения независимых событий, равна
где $q = 1 - p$, $n = 1,\,2,\,3,\; \ldots $.Поскольку выражение (14) – это общий член геометрической прогрессии: $q,pq,{{p}^{2}}q,\; \ldots ,{{p}^{{k - 1}}}q,\; \ldots $, то модель расходования ресурса (14) называют геометрическим законом.
Теорема 2. Для того, чтобы модель расходования дискретного ресурса подчинялась геометрическому закону (14), необходимо и достаточно, чтобы интенсивность отказов при всех срабатываниях объекта была бы тождественна постоянной и удовлетворяла условия
где q – вероятность отказа объекта при каждом срабатывании, ($0 < q < 1$).Доказательство. Докажем необходимость условия (15) для закона (14).
Используя формулы (3) и (6), при $k = n - 1$ имеем ${{P}_{r}}\left( {{\zeta } \geqslant n} \right) = {{p}^{{n - 1}}}$.
Следовательно, согласно формуле (11), с учетом (14), получим ${{{\lambda }}_{n}} \equiv q$, ($n = 1,2,3,\; \ldots $), что доказывает необходимость условия (15) для модели расходования дискретного ресурса (14).
Докажем достаточность условия (15), а именно из условия (15) следует, что закон расходования дискретного ресурса имеет вид (14).
Так как ${{P}_{r}}\left( {{\zeta } = n} \right) = {{P}_{{n - 1}}} - {{P}_{n}}$, где правая часть определена соотношением (3) при $k = n - 1$ и $k = n$, то, с учетом (6), получим формулу (14), что доказывает достаточность условия (15).
Теорема 2 имеет аналог для непрерывного ресурса.
Утверждение. Для того, чтобы модель расходования ресурса подчинялась экспоненциальному закону, плотность распределения безотказных наработок которых равна
где ${\lambda } > 0$ – постоянная, необходимо и достаточно, чтобы ${\lambda }\left( t \right)$ – интенсивность отказов была тождественно равной постоянной и удовлетворяла условию ${\lambda }\left( t \right) \equiv {\lambda }$.Для экспоненциального закона, плотность распределения которого равна (16), средний ресурс рассчитывается по формуле
Сравнивая формулу (7) с формулой (17), видим, что формула (7) является аналогом формулы (17). Другими словами, формулы расчета средних значений дискретного и непрерывного ресурсов через интенсивности отказов обоих законов одинаковы.
Теорема 3. Пусть k и m – целые положительные числа. Тогда для геометрического закона распределения ресурса вероятность безотказной работы объекта при срабатывании от k + 1 до k + m не зависит от числа предшествующих срабатываний k, а зависит только от последующего количества срабатываний m.
Доказательство. Пусть ${\zeta }$ – число безотказных срабатываний объекта, имеющее геометрический закон распределения ресурса. Тогда вероятность отказа объекта при срабатываниях от k + 1 до k + m (в предположении, что объект проработал безотказно до этого) равна .
Используя формулу (10), получим
Так как ${{P}_{r}}\left[ {{\zeta } \in \left[ {\left( {k + 1} \right){\kern 1pt} \div {\kern 1pt} \left( {k + m} \right)} \right]} \right]$ = ${{P}_{r}}\left( {{\zeta } = k + 1} \right)$ + ${{P}_{r}}\left( {{\zeta } = k + 2} \right)$ + … + ${{P}_{r}}\left( {{\zeta } = k + m} \right)$, то используя (14), имеем
(19)
${{P}_{r}}\left[ {{\zeta } \in \left[ {\left( {k + 1} \right){\kern 1pt} \div {\kern 1pt} \left( {k + m} \right)} \right]} \right] = {{p}^{k}}q(1 + p + {{p}^{2}} + \ldots + {{p}^{{m - 1}}}).$Учитывая известное соотношение $1 + p + {{p}^{2}} + \ldots + {{p}^{{m - 1}}} = \frac{{1 - {{p}^{m}}}}{{1 - p}}$ в правой части (19), получим ${{P}_{r}}\left[ {{\zeta } \in \left[ {\left( {k + 1} \right){\kern 1pt} \div \left( {k + m} \right)} \right]} \right]$ = ${{p}^{k}}(1 - {{p}^{m}})$. Подставляя полученное выражение в (18), найдем = $1 - {{p}^{m}}$, так как, согласно (3) и (6), ${{P}_{r}}\left( {{\zeta } \geqslant k + 1} \right) = {{p}^{k}}$.
Следовательно, вероятность безотказной работы объекта при срабатываниях от $\left( {k + 1} \right)$ до $\left( {k + m} \right)$ (в предположении, что объект проработал безотказно при срабатываниях до этого) равна ${{p}^{m}}$, т.е.
Поскольку правая часть (20) не зависит от числа предшествующих срабатываний k, то доказательство теоремы завершается.
В частности, при $k = 0$, согласно (20), имеем
т.е. безусловная вероятность безотказной работы объекта в результате m срабатываний равна ${{p}^{m}}$.Учитывая (21) в (20), получим
где $k = 1,2,\; \ldots $. Видно, что все условные вероятности безотказной работы объекта при срабатываниях от $\left( {k + 1} \right)$ до $\left( {k + m} \right)$ (в предположении, что объект проработал безотказно при срабатываниях до этого) равны безусловной вероятности безотказной работы объекта в результате m срабатываний.Другими словами, для геометрического закона безотказная работа объекта “в прошлом” не сказывается на величине вероятностей его безотказной работы в “в будущем”.
Теорема 3 имеет аналог в классе непрерывных распределений ресурса.
Утверждение. Пусть ${\eta }$ – наработка до отказа объекта, имеющая экспоненциальное распределение (16). Тогда условная вероятность безотказной работы объекта на интервале времени (${{t}_{0}}$, ${{t}_{0}} + t$) при условии, что он уже проработал безотказно на предшествующем интервале ($0$, ${{t}_{0}}$), равна
Правая часть не зависит от времени ${{t}_{0}}$ предшествующей работы объекта до начала рассматриваемого интервала времени, а зависит только от длительности времени t (при заданной интенсивности отказов $\lambda $).
Выражение вероятности безотказной работы через интенсивности отказов. Для моделирования надежности важно знать связь характеристик надежности через интенсивности отказов.
Теорема 4. Пусть ${{P}_{k}}$ – вероятность безотказной работы объекта в результате k срабатываний. Тогда справедлива формула
где ${{{\lambda }}_{i}}$ – интенсивность отказов объекта при i-м срабатывании, $i = 1,2,\; \ldots ,\;k$.Доказательство. Используя формулу (11), найдем
С учетом (3), получим рекуррентную формулу
(23)
${{P}_{i}} = \left( {1 - {{{\lambda }}_{i}}} \right){{P}_{{i - 1}}},\quad \left( {i = 1,2, \ldots ,k} \right).$Так как ${{P}_{0}} = 1$, то
Для выражения вероятности воспользуемся формулами (23) и (24), откуда получим
Для выражения вероятности ${{P}_{3}}$ воспользуемся формулами (23) и (25), откуда имеем ${{P}_{3}} = \left( {1 - {{{\lambda }}_{1}}} \right)\left( {1 - {{{\lambda }}_{2}}} \right)\left( {1 - {{{\lambda }}_{3}}} \right)$.
Продолжая и далее этот процесс, найдем ${{P}_{k}} = \left( {1 - {{{\lambda }}_{1}}} \right)\left( {1 - {{{\lambda }}_{2}}} \right) \ldots \left( {1 - {{{\lambda }}_{k}}} \right)$, что доказывает формулу (22) и тем самым теорему.
Доказанная формула (22) имеет непрерывный аналог, а именно: пусть ${\lambda }\left( u \right)$ – интенсивность отказов, тогда вероятность безотказной работы объекта в течение времени t вычисляется по формуле
При малых значениях интенсивностей отказов ${{{\lambda }}_{i}}$ формуле (22) можно придать более схожий вид с формулой (26) ${{P}_{k}} = \exp \left( {\sum\nolimits_{i = 1}^k {\ln \left( {1 - {{{\lambda }}_{i}}} \right)} } \right)$, откуда получим приближенную формулу
поскольку при малых значениях ${{{\lambda }}_{i}}$, $\ln \left( {1 - {{{\lambda }}_{i}}} \right) \approx - {{{\lambda }}_{i}}$.Сравнивая формулы (26) и (27), видим их схожесть.
Формулы (22) и (26) позволяют моделировать надежность.
Пример 2. Пусть интенсивность отказов при срабатываниях объекта равны следующим значениям: ${{{\lambda }}_{1}} = {{{\lambda }}_{2}} = \; \ldots \; = {{{\lambda }}_{{k - 1}}} = q$, ${{{\lambda }}_{k}} = 1$, где $0 < q < 1$. Необходимо найти закон распределения вероятностей для числа срабатываний объекта до отказа ${\zeta }$ и доказать, что события
(28)
${\zeta } = 1,\quad {\zeta } = 2,\quad {\zeta } = 3,\quad \ldots ,\quad {\zeta } = k - 1,\quad {\zeta } = k$Решение. Согласно формуле (22) имеем
(29)
${{P}_{1}} = p,\quad {{P}_{2}} = {{p}^{2}},\quad {{P}_{3}} = {{p}^{3}},\quad \ldots ,\quad {{P}_{{k - 1}}} = {{p}^{{k - 1}}},\quad {{P}_{k}} = 0,$Для первого значения случайной величины ${\zeta }$ получим ${{P}_{r}}\left( {{\zeta } = 1} \right)$ = ${{P}_{r}}\left( {{\zeta } \geqslant 1} \right)$ – ‒ ${{P}_{r}}\left( {{\zeta } \geqslant 2} \right)$. Так как правая часть равна $1 - {{P}_{1}}$, то, согласно (29), имеем ${{P}_{r}}\left( {{\zeta } = 1} \right) = q$.
Для второго значения случайной величины ${\zeta }$ получим ${{P}_{r}}\left( {{\zeta } = 2} \right)$ = ${{P}_{r}}\left( {{\zeta } \geqslant 2} \right)$ – ‒ ${{P}_{r}}\left( {{\zeta } \geqslant 3} \right)$. Поскольку правая часть равна ${{P}_{1}} - {{P}_{2}}$, то, согласно (29), имеем ${{P}_{r}}\left( {{\zeta } = 2} \right) = pq$.
Продолжая и далее этот процесс, найдем
Т.к. правая часть второго равенства, согласно (29), равна ${{p}^{{k - 1}}}$, то имеем
Следовательно, число срабатываний объекта до отказа ${\zeta }$ имеет следующий закон:
Видно, что найденный закон является усеченным полного геометрического закона.
Докажем, что события (28) образуют полную группу. Для этого надо показать, что сумма вероятностей всех принимаемых значений ${\zeta }$ равна единице.
В самом деле, $q + pq + {{p}^{2}}q + \ldots + {{p}^{{k - 2}}}q + {{p}^{{k - 1}}}$ = $q\frac{{1 - {{p}^{{k - 1}}}}}{{1 - p}} + {{p}^{{k - 1}}} = 1$.
Гамма-процентный дискретный ресурс. Пусть задано значение ${\gamma }$, ($0 < {\gamma } < 1$). Определим целые числа m, для которых
где ${{P}_{m}}$ – вероятность того, что m срабатываний объекта будут безотказны.Определение. Гамма-процентным дискретным ресурсом будем называть наибольшее целое число срабатываний ${{m}_{{\gamma }}}$, которое удовлетворяет оценке (30), т.е.
В некоторых случаях уровень ${\gamma }$ можно задавать не в долях единицы, а в процентах, отсюда и название этого показателя.
Для непрерывного ресурса гамма-процентный ресурс ${{t}_{{\gamma }}}$ определяют из уравнения $P\left( t \right) = {\gamma }$, как решение уравнения относительно t, где $P\left( t \right)$ – вероятность безотказной работы объекта в течение времени t.
Пример 3. Для геометрического закона распределения ресурса (14) найдем формулу расчета гамма-процентного дискретного ресурса.
Решение. Используя форму (6) в оценке (30), получим ${{p}^{m}} \geqslant {\gamma }$.
Логарифмируя, имеем $m\ln p \geqslant \ln {\gamma }$, отсюда $m \leqslant \frac{{\ln {\gamma }}}{{\ln p}}$, поскольку $\ln p < 0$ при $0 < p < 1$.
Следовательно, согласно определению гамма-процентного дискретного ресурса (31), найдем искомую формулу
где $\left[ \cdot \right]$ – целая часть выражения, стоящая внутри скобок.Заметим, что формула расчета гамма-процентного ресурса для экспоненциального закона распределения равна
где ${\lambda } > 0$ – интенсивность отказов.Видно, что формула (32) является аналогом формулы (33).
Оценка среднего дискретного ресурса. Покажем, что для целой части среднего дискретного ресурса $r$ справедлива формула
где ${\gamma } = {{P}_{{\left[ r \right]}}}$.Согласно (31), имеем ${{m}_{{{{P}_{{\left[ r \right]}}}}}} = \max \left( {m{\text{/}}{{P}_{m}} \geqslant {{P}_{{\left[ r \right]}}}} \right)$.
Для правой части получим $\max \left( {m{\text{/}}{{P}_{m}} \geqslant {{P}_{{\left[ r \right]}}}} \right)$ = $\max \left( {m{\text{/}}m \leqslant \left[ r \right]} \right)$ = [r], что доказывает (34).
Так как при больших значениях $r$ уровень ${\gamma }$, равный ${{P}_{{\left[ r \right]}}}$, мал, то использовать формулу (34) затруднительно, поскольку потребуется большой объем выборки для проведения ресурсных испытаний. Тогда возникает вопрос: как оценить средний дискретный ресурс в этом случае?
В связи с этим, докажем утверждение, которое свободно от этого недостатка.
Теорема 5. Для среднего дискретного ресурса справедлива достижимая оценка
где ${\gamma }$ – заданный уровень, ($0 < {\gamma } \leqslant 1$); ${{m}_{{\gamma }}}$ – гамма-процентный дискретный ресурс.Доказательство. Используя формулу (2), имеем
Из определения показателя, согласно (30), при $k \leqslant {{m}_{{\gamma }}}$, получим ${{P}_{k}} \geqslant {\gamma }$.
Учитывая это неравенство в (36), найдем искомую оценку (35).
Докажем, что оценка (35) достижимая, т.е. существует хотя бы один закон распределения безотказных срабатываний ${\zeta }$, для которого левая и правая части (35) равны.
В связи с этим рассмотрим закон
Видно, что $r = 2$; ${{m}_{1}} = 1$. Следовательно, правая часть (35) равна 2, что совпадает со значением левой части, что и доказывает теорему.
Выводы. Определены основные понятия дискретного ресурса. Введены показатели дискретного ресурса и доказаны расчетные формулы для них. Установлены оценки для основных показателей дискретного ресурса. Проведен сравнительный анализ расчетных формул, полученных в работе, с показателями непрерывного ресурса. Исследована достижимость установленных оценок. Приведены примеры использования полученных результатов работы.
Список литературы
Садыхов Г.С., Савченко В.П., Сидняев Н.И. Модели и методы оценки остаточного ресурса изделий радиоэлектроники. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015. 382 с.
Автушенко А.Ф., Алексеев С.В., Садыхов Г.С. и др. Мощные надгоризонтные РЛС дальнего обнаружения: разработка, испытания, функционирование / Под ред. С.Ф. Боева. М.: Радиотехника, 2013. 168 с.
Klass P.J. Cycling Tests Increase Reliability Factor “Aviation Week”. 1960. V. 73. Sept., № 5. P. 14.
Жаднов В.В., Тихменев А.Н., Полесский С.Н. Современные подходы к исследованию безотказности электронных средств циклического применения // Надежность и качество: Труды междунар. симпозиума. В 2-х томах / под ред. Н.К. Юркова. Пенза: Изд-во ПГУ, 2012. Т. 1. С. 70.
Садыхов Г.С., Савченко В.П. Оценка остаточного ресурса с использованием физической модели аддитивного накопления повреждения // Докл. АН. 1995. Т. 343. № 4. С. 469.
Артюхов А.А. Оценка средней наработки до отказа при частых срабатываниях // Новые информационные технологии в автоматизированных системах. Труды ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2015. С. 295.
Басов В.Н., Нестеренко Г.И. Экспериментальное исследование характеристик статической прочности, усталостной долговечности и циклической трещиностойкости листов из алюминиево-литиевых сплавов // Труды ЦАГИ. 2007. В. 2675. С. 181.
Ганиев Р.Ф., Балакшин О.Б., Кухаренко Б.Г. Флаттер с предельным циклом колебания лопаток ротора турбокомпрессора // Докл. АН. 2012. Т. 446. № 2. С. 159.
Махутов Н.А. Конструкционная прочность, ресурс и техногенная безопасность. Ч. 2. Обоснование ресурса и безопасности. Новосибирск: Наука, 2005. 610 с.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Проблемы машиностроения и надежности машин