Проблемы машиностроения и надежности машин, 2020, № 3, стр. 36-44

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ДИСКРЕТНОГО РЕСУРСА

Г. С. Садыхов 1*, С. С. Кудрявцева 1

1 Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана
г. Москва, Россия

* E-mail: gsadykhov@gmail.com

Поступила в редакцию 31.07.2018
Принята к публикации 31.01.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

На надежность сложных технических объектов влияет не только длительность безотказной наработки (непрерывный ресурс), но и число безотказных срабатываний типа “включен” объект в работу или “выключен” из нее (дискретный ресурс). Настоящая статья написана с целью частично восполнить этот пробел.

Ключевые слова: средний дискретный ресурс, интенсивность отказов, гамма-процентный дискретный ресурс, геометрический закон распределения ресурса

Анализ отказов технических объектов, работающих в режиме многократного циклического применения, показывает, что доля отказов при частых срабатываниях (типа объект “включен” в нагруженный режим работы или “выключен” из нее) составляет значительную часть в общем потоке отказов и она сопоставима с долей отказов в непрерывном режиме эксплуатации [1, 2]. В существующей обширной литературе по надежности отсутствуют теоретические основы дискретного ресурса.

Попытки найти способ заменить один цикл срабатываний “включено/выключено” на эквивалентную длительность непрерывной работы объекта не привели к успеху [37].

Помимо сложных систем, работающих в режиме многократного циклического применения, для ряда технических объектов ресурс определяют только по определенному количеству безотказных срабатываний. Так, для переключателей – это число безотказных переключений, для поршневых насосов – это число безотказных циклов, содержащих срабатывания “сжатие” и “разжатие”,  для ламп вспышек – это число безотказных вспышек и т.д.

Определение предельных циклов в результате допустимых нагрузок является одним из основных факторов для обоснования величины назначенного ресурса и срока безопасной эксплуатации объекта [8, 9].

Средний дискретный ресурс. Пусть ${\zeta }$ – число срабатываний объекта до отказа. Тогда средний дискретный ресурс определяется по формуле

(1)
$r = E\left( {\zeta } \right),$
где $E\left( \cdot \right)$ – математическое ожидание величины, стоящей внутри скобок.

Докажем следующее утверждение.

Теорема 1. Для расчета среднего дискретного ресурса объекта справедлива формула

(2)
$r = \sum\limits_{k = 0}^\infty {{{P}_{k}}} ,$
где
(3)
${{P}_{k}} = {{P}_{r}}\left( {{\zeta } \geqslant k + 1} \right)$
– вероятность того, что k срабатываний объекта будет безотказно (здесь ${{P}_{r}}\left( \cdot \right)$ вероятность события, заключенного внутри скобок).

Доказательство. Согласно определению математического ожидания (1) имеем

$r = \sum\limits_{n = 1}^\infty {n{{P}_{r}}\left( {\zeta = n} \right)} .$

Так как ${{P}_{r}}\left( {{\zeta } = n} \right) = {{P}_{r}}\left( {{\zeta } \geqslant n} \right) - {{P}_{r}}\left( {{\zeta } \geqslant n + 1} \right)$, то $r = \sum\nolimits_{n = 1}^\infty {n{{P}_{r}}\left( {\zeta \geqslant n} \right)} $  – ‒ $\sum\nolimits_{n = 1}^\infty {n{{P}_{r}}\left( {\zeta \geqslant n + 1} \right)} $.

Откуда найдем $r = 1{{P}_{r}}\left( {\zeta \geqslant 1} \right) + \sum\nolimits_{k = 2}^\infty {k{{P}_{r}}\left( {\zeta \geqslant k} \right)} $$\sum\nolimits_{k = 2}^\infty {\left( {k - 1} \right){{P}_{r}}\left( {\zeta \geqslant k} \right)} $.

Объединяя два ряда в один, получим

(4)
$r = 1 + \sum\limits_{k = 2}^\infty {\left( {k - \left( {k - 1} \right)} \right){{P}_{r}}\left( {\zeta \geqslant k} \right)} .$

Откуда имеем $r = 1 + \sum\nolimits_{k = 2}^\infty {{{P}_{r}}\left( {\zeta \geqslant k} \right)} $. Так как $1 + \sum\nolimits_{k = 2}^\infty {{{P}_{r}}\left( {\zeta \geqslant k} \right)} $ = $\sum\nolimits_{k = 0}^\infty {{{P}_{r}}\left( {\zeta \geqslant k + 1} \right)} $, то, согласно (3), получим искомую формулу (2), что и доказывает теорему.

Замечание 1. Выражение (4) позволяет определить размерность среднего ресурса, которая равна числу срабатываний.

Замечание 2. Доказанная формула (2) имеет аналог формулы расчета среднего непрерывного ресурса $\rho = \int_0^\infty {P\left( t \right)dt} $, где $P\left( t \right)$ – вероятность безотказной работы объекта в течение времени t.

Пример 1. Пусть число безотказных срабатываний объекта имеет следующий закон распределения вероятностей $({{P}_{r}}({\zeta } = k) = {{p}^{{k - 1}}}q)$:

(5)
$\begin{array}{*{20}{c}} {\zeta }&1&2&3& \ldots &k&{ \ldots ,} \\ {{{P}_{r}}}&q&{pq}&{{{p}^{2}}q}& \ldots &{{{p}^{{k - 1}}}q}&{ \ldots ,} \end{array}$
где p – вероятность безотказности объекта при каждом срабатывании, $q = 1 - p$, ($0 < q < 1$). Рассчитать средний дискретный ресурс объекта.

Решение. Согласно (3), имеем ${{P}_{k}} = {{p}^{k}}q + {{p}^{{k + 1}}}q + \ldots $.

Суммируя геометрическую прогрессию со знаменателем, равным р, получим

(6)
${{P}_{k}} = {{p}^{k}}.$

Используя полученную формулу (6) в (2), имеем $r = \sum\nolimits_{k = 0}^\infty {{{p}^{k}}} $.

Отсюда, суммируя ряд, находим средний дискретный ресурс объекта для закона (5), равный

(7)
$r = \frac{1}{q}.$

Интенсивность отказов. Пусть n – число срабатываний объекта, ($n = 1,\;2,\;3,\; \ldots $). Обозначим через

(8)
${{R}_{n}} = {{P}_{r}}\left[ {{{\left( {{\zeta } = n} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {{\zeta } = n} \right)} {\left( {{\zeta } \geqslant n} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {{\zeta } \geqslant n} \right)}}} \right]$
условную вероятность отказа объекта в результате n-го срабатывания при условии, что до этого срабатывания отказа не было.

Определение. Интенсивностью отказа объекта в результате n-го срабатывания ${{{\lambda }}_{n}}$ назовем отношение величины (8) к единице срабатывания, т.е.

(9)
${{{\lambda }}_{n}} = {{P}_{r}}\left[ {{{\left( {{\zeta } = n} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {{\zeta } = n} \right)} {\left( {{\zeta } \leqslant n} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {{\zeta } \leqslant n} \right)}}} \right]{{\left( {{\text{ср}}.} \right)}^{{ - 1}}},\quad n = 1,2,\; \ldots .$

Используя известную формулу для условной вероятности

(10)
${{P}_{r}}\left( {A{\text{/}}B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}},$
где события $A$: (${\zeta } = n$); $B$: (${\zeta } \geqslant n$), из (8) получим ${{R}_{n}} = \frac{{{{P}_{r}}\left( {{\zeta } = n} \right)}}{{{{P}_{r}}\left( {{\zeta } \geqslant n} \right)}}$.

Подставляя полученное выражение в (9), найдем формулу расчета интенсивности отказов при n-м срабатывании объекта

(11)
${{{\lambda }}_{n}} = \frac{{{{P}_{r}}\left( {{\zeta } = n} \right)}}{{{{P}_{r}}\left( {{\zeta } \geqslant n} \right)}}{{\left( {{\text{ср}}.} \right)}^{{ - 1}}},\quad \left( {n = 1,2,\; \ldots } \right).$

Для краткости, единицу измерения интенсивности отказов приводить не будем.

Из формулы (11) видно, что

(12)
$0 \leqslant {{{\lambda }}_{n}} \leqslant 1,\quad \left( {n = 1,2,\; \ldots } \right).$

При рассмотрении оценки (12) возникает вопрос: достижима ли правая часть оценки для какого-то закона распределения безотказных срабатываний?

Покажем, что если ${\zeta }$ – число безотказных срабатываний объекта имеет любое конечное распределение

$\begin{array}{*{20}{c}} {\zeta }&1&2& \ldots &i& \ldots &{m,} \\ {{{P}_{r}}}&{{{{\text{Ф}}}_{1}}}&{{{{\text{Ф}}}_{2}}}& \ldots &{{{{\text{Ф}}}_{i}}}& \ldots &{{{{\text{Ф}}}_{т}},} \end{array}$
где ${{{\text{Ф}}}_{i}} = {{P}_{r}}\left( {{\zeta } = i} \right)$, ($i = 1,2,\; \ldots ,\;m$), то интенсивность отказов объекта при последнем срабатывании равна единице, т.е. ${{{\lambda }}_{т}} = 1$.

Согласно (11) находим ${{{\lambda }}_{m}} = \frac{{{{{\text{Ф}}}_{т}}}}{{{{{\text{Ф}}}_{т}}}} = 1$, что доказывает достижимость правой части оценки (12); левая часть оценки (12) – очевидна.

Известно, что традиционный показатель “интенсивность отказов объекта в момент времени t” для объектов с непрерывным распределением ресурса определяется по формуле

(13)
${\lambda }\left( t \right) = \frac{{f\left( t \right)}}{{P\left( t \right)}},$
где $f\left( t \right)$ – плотность распределения безотказной наработки, равная$f\left( t \right) = - P{\text{'}}\left( t \right)$, где $P\left( t \right)$ – вероятность безотказной работы объекта в течение времени t.

Видно, что формула (11) расчета интенсивности отказов в результате n-го срабатывания, равная ${{{\lambda }}_{n}}$, не является следствием формулы (13).

Простейшая модель расходования дискретного ресурса. Пусть вероятность того, что каждое срабатывание объекта будет безотказно, равна $p$, ($0 < p < 1$), тогда вероятность отказа объекта при n-м срабатывании, согласно теореме умножения независимых событий, равна

(14)
${{P}_{r}}\left( {{\zeta } = n} \right) = {{p}^{{n - 1}}}q,$
где $q = 1 - p$, $n = 1,\,2,\,3,\; \ldots $.

Поскольку выражение (14) – это общий член геометрической прогрессии: $q,pq,{{p}^{2}}q,\; \ldots ,{{p}^{{k - 1}}}q,\; \ldots $, то модель расходования ресурса (14) называют геометрическим законом.

Теорема 2. Для того, чтобы модель расходования дискретного ресурса подчинялась геометрическому закону (14), необходимо и достаточно, чтобы интенсивность отказов при всех срабатываниях объекта была бы тождественна постоянной и удовлетворяла условия

(15)
${{{\lambda }}_{n}} \equiv q,\quad \left( {n = 1,2,3,\; \ldots } \right),$
где q – вероятность отказа объекта при каждом срабатывании, ($0 < q < 1$).

Доказательство. Докажем необходимость условия (15) для закона (14).

Используя формулы (3) и (6), при $k = n - 1$ имеем ${{P}_{r}}\left( {{\zeta } \geqslant n} \right) = {{p}^{{n - 1}}}$.

Следовательно, согласно формуле (11), с учетом (14), получим ${{{\lambda }}_{n}} \equiv q$, ($n = 1,2,3,\; \ldots $), что доказывает необходимость условия (15) для модели расходования дискретного ресурса (14).

Докажем достаточность условия (15), а именно из условия (15) следует, что закон расходования дискретного ресурса имеет вид (14).

Так как ${{P}_{r}}\left( {{\zeta } = n} \right) = {{P}_{{n - 1}}} - {{P}_{n}}$, где правая часть определена соотношением (3) при $k = n - 1$ и $k = n$, то, с учетом (6), получим формулу (14), что доказывает достаточность условия (15).

Теорема 2 имеет аналог для непрерывного ресурса.

Утверждение. Для того, чтобы модель расходования ресурса подчинялась экспоненциальному закону, плотность распределения безотказных наработок которых равна

(16)
$f\left( t \right) = {\lambda }{{e}^{{ - {\lambda }t}}},$
где ${\lambda } > 0$ – постоянная, необходимо и достаточно, чтобы ${\lambda }\left( t \right)$ – интенсивность отказов была тождественно равной постоянной и удовлетворяла условию ${\lambda }\left( t \right) \equiv {\lambda }$.

Для экспоненциального закона, плотность распределения которого равна (16), средний ресурс рассчитывается по формуле

(17)
${\rho } = \frac{1}{{\lambda }}.$

Сравнивая формулу (7) с формулой (17), видим, что формула (7) является аналогом формулы (17). Другими словами, формулы расчета средних значений дискретного и непрерывного ресурсов через интенсивности отказов обоих законов одинаковы.

Теорема 3. Пусть k и m – целые положительные числа. Тогда для геометрического закона распределения ресурса вероятность безотказной работы объекта при срабатывании от k + 1 до k + m не зависит от числа предшествующих срабатываний k, а зависит только от последующего количества срабатываний m.

Доказательство. Пусть ${\zeta }$ – число безотказных срабатываний объекта, имеющее геометрический закон распределения ресурса. Тогда вероятность отказа объекта при срабатываниях от k + 1 до k + m (в предположении, что объект проработал безотказно до этого) равна .

Используя формулу (10), получим

(18)

Так как ${{P}_{r}}\left[ {{\zeta } \in \left[ {\left( {k + 1} \right){\kern 1pt} \div {\kern 1pt} \left( {k + m} \right)} \right]} \right]$ = ${{P}_{r}}\left( {{\zeta } = k + 1} \right)$ + ${{P}_{r}}\left( {{\zeta } = k + 2} \right)$ + … + ${{P}_{r}}\left( {{\zeta } = k + m} \right)$, то используя (14), имеем

(19)
${{P}_{r}}\left[ {{\zeta } \in \left[ {\left( {k + 1} \right){\kern 1pt} \div {\kern 1pt} \left( {k + m} \right)} \right]} \right] = {{p}^{k}}q(1 + p + {{p}^{2}} + \ldots + {{p}^{{m - 1}}}).$

Учитывая известное соотношение $1 + p + {{p}^{2}} + \ldots + {{p}^{{m - 1}}} = \frac{{1 - {{p}^{m}}}}{{1 - p}}$ в правой части (19), получим ${{P}_{r}}\left[ {{\zeta } \in \left[ {\left( {k + 1} \right){\kern 1pt} \div \left( {k + m} \right)} \right]} \right]$ = ${{p}^{k}}(1 - {{p}^{m}})$. Подставляя полученное выражение в (18), найдем = $1 - {{p}^{m}}$, так как, согласно (3) и (6), ${{P}_{r}}\left( {{\zeta } \geqslant k + 1} \right) = {{p}^{k}}$.

Следовательно, вероятность безотказной работы объекта при срабатываниях от $\left( {k + 1} \right)$ до $\left( {k + m} \right)$ (в предположении, что объект проработал безотказно при срабатываниях до этого) равна ${{p}^{m}}$, т.е.

(20)

Поскольку правая часть (20) не зависит от числа предшествующих срабатываний k, то доказательство теоремы завершается.

В частности, при $k = 0$, согласно (20), имеем

(21)
${{P}_{r}}\left( {{\zeta } \geqslant m + 1} \right) = {{p}^{m}},$
т.е. безусловная вероятность безотказной работы объекта в результате m срабатываний равна ${{p}^{m}}$.

Учитывая (21) в (20), получим

где $k = 1,2,\; \ldots $. Видно, что все условные вероятности безотказной работы объекта при срабатываниях от $\left( {k + 1} \right)$ до $\left( {k + m} \right)$ (в предположении, что объект проработал безотказно при срабатываниях до этого) равны безусловной вероятности безотказной работы объекта в результате m срабатываний.

Другими словами, для геометрического закона безотказная работа объекта “в прошлом” не сказывается на величине вероятностей его безотказной работы в “в будущем”.

Теорема 3 имеет аналог в классе непрерывных распределений ресурса.

Утверждение. Пусть ${\eta }$ – наработка до отказа объекта, имеющая экспоненциальное распределение (16). Тогда условная вероятность безотказной работы объекта на интервале времени (${{t}_{0}}$, ${{t}_{0}} + t$) при условии, что он уже проработал безотказно на предшествующем интервале ($0$, ${{t}_{0}}$), равна

Правая часть не зависит от времени ${{t}_{0}}$ предшествующей работы объекта до начала рассматриваемого интервала времени, а зависит только от длительности времени t (при заданной интенсивности отказов $\lambda $).

Выражение вероятности безотказной работы через интенсивности отказов. Для моделирования надежности важно знать связь характеристик надежности через интенсивности отказов.

Теорема 4. Пусть ${{P}_{k}}$ – вероятность безотказной работы объекта в результате k срабатываний. Тогда справедлива формула

(22)
${{P}_{k}} = \prod\limits_{i = 1}^k {\left( {1 - {{{\lambda }}_{i}}} \right)} ,$
где ${{{\lambda }}_{i}}$ – интенсивность отказов объекта при i-м срабатывании, $i = 1,2,\; \ldots ,\;k$.

Доказательство. Используя формулу (11), найдем

$1 - {{{\lambda }}_{i}} = \frac{{{{P}_{r}}\left( {{\zeta } \geqslant i + 1} \right)}}{{{{P}_{r}}\left( {{\zeta } \geqslant i} \right)}},\quad \left( {i = 1,2, \ldots ,k} \right).$

С учетом (3), получим рекуррентную формулу

(23)
${{P}_{i}} = \left( {1 - {{{\lambda }}_{i}}} \right){{P}_{{i - 1}}},\quad \left( {i = 1,2, \ldots ,k} \right).$

Так как ${{P}_{0}} = 1$, то

(24)
${{P}_{1}} = 1 - {{{\lambda }}_{1}}.$

Для выражения вероятности воспользуемся формулами (23) и (24), откуда получим

(25)
${{P}_{2}} = \left( {1 - {{{\lambda }}_{1}}} \right)\left( {1 - {{{\lambda }}_{2}}} \right).$

Для выражения вероятности ${{P}_{3}}$ воспользуемся формулами (23) и (25), откуда имеем ${{P}_{3}} = \left( {1 - {{{\lambda }}_{1}}} \right)\left( {1 - {{{\lambda }}_{2}}} \right)\left( {1 - {{{\lambda }}_{3}}} \right)$.

Продолжая и далее этот процесс, найдем ${{P}_{k}} = \left( {1 - {{{\lambda }}_{1}}} \right)\left( {1 - {{{\lambda }}_{2}}} \right) \ldots \left( {1 - {{{\lambda }}_{k}}} \right)$, что доказывает формулу (22) и тем самым теорему.

Доказанная формула (22) имеет непрерывный аналог, а именно: пусть ${\lambda }\left( u \right)$ – интенсивность отказов, тогда вероятность безотказной работы объекта в течение времени t вычисляется по формуле

(26)
$P\left( t \right) = \exp \left( { - \int\limits_0^t {{\lambda }\left( u \right)du} } \right).$

При малых значениях интенсивностей отказов ${{{\lambda }}_{i}}$ формуле (22) можно придать более схожий вид с формулой (26) ${{P}_{k}} = \exp \left( {\sum\nolimits_{i = 1}^k {\ln \left( {1 - {{{\lambda }}_{i}}} \right)} } \right)$, откуда получим приближенную формулу

(27)
${{P}_{k}} \approx \exp \left( { - \sum\limits_{i = 1}^k {{{{\lambda }}_{i}}} } \right),$
поскольку при малых значениях ${{{\lambda }}_{i}}$, $\ln \left( {1 - {{{\lambda }}_{i}}} \right) \approx - {{{\lambda }}_{i}}$.

Сравнивая формулы (26) и (27), видим их схожесть.

Формулы (22) и (26) позволяют моделировать надежность.

Пример 2. Пусть интенсивность отказов при срабатываниях объекта равны следующим значениям: ${{{\lambda }}_{1}} = {{{\lambda }}_{2}} = \; \ldots \; = {{{\lambda }}_{{k - 1}}} = q$, ${{{\lambda }}_{k}} = 1$, где $0 < q < 1$. Необходимо найти закон распределения вероятностей для числа срабатываний объекта до отказа ${\zeta }$ и доказать, что события

(28)
${\zeta } = 1,\quad {\zeta } = 2,\quad {\zeta } = 3,\quad \ldots ,\quad {\zeta } = k - 1,\quad {\zeta } = k$
образуют полную группу.

Решение. Согласно формуле (22) имеем

(29)
${{P}_{1}} = p,\quad {{P}_{2}} = {{p}^{2}},\quad {{P}_{3}} = {{p}^{3}},\quad \ldots ,\quad {{P}_{{k - 1}}} = {{p}^{{k - 1}}},\quad {{P}_{k}} = 0,$
где $p = 1 - q$.

Для первого значения случайной величины ${\zeta }$ получим ${{P}_{r}}\left( {{\zeta } = 1} \right)$ = ${{P}_{r}}\left( {{\zeta } \geqslant 1} \right)$ – ‒ ${{P}_{r}}\left( {{\zeta } \geqslant 2} \right)$. Так как правая часть равна $1 - {{P}_{1}}$, то, согласно (29), имеем ${{P}_{r}}\left( {{\zeta } = 1} \right) = q$.

Для второго значения случайной величины ${\zeta }$ получим ${{P}_{r}}\left( {{\zeta } = 2} \right)$ = ${{P}_{r}}\left( {{\zeta } \geqslant 2} \right)$ – ‒ ${{P}_{r}}\left( {{\zeta } \geqslant 3} \right)$. Поскольку правая часть равна ${{P}_{1}} - {{P}_{2}}$, то, согласно (29), имеем ${{P}_{r}}\left( {{\zeta } = 2} \right) = pq$.

Продолжая и далее этот процесс, найдем

$\begin{gathered} {{P}_{r}}\left( {{\zeta } = k - 1} \right) = {{p}^{{k - 2}}}q, \\ {{P}_{r}}\left( {{\zeta } = k} \right) = {{P}_{{k - 1}}} - {{P}_{k}}. \\ \end{gathered} $

Т.к. правая часть второго равенства, согласно (29), равна ${{p}^{{k - 1}}}$, то имеем

${{P}_{r}}\left( {{\zeta } = k} \right) = {{p}^{{k - 1}}}.$

Следовательно, число срабатываний объекта до отказа ${\zeta }$ имеет следующий закон:

$\begin{array}{*{20}{c}} {\zeta }&1&2&3& \ldots &{k - 1}&{k,} \\ {{{P}_{r}}}&q&{pq}&{{{p}^{2}}q}& \ldots &{{{p}^{{k - 2}}}q}&{{{p}^{{k - 1}}}.} \end{array}$

Видно, что найденный закон является усеченным полного геометрического закона.

Докажем, что события (28) образуют полную группу. Для этого надо показать, что сумма вероятностей всех принимаемых значений ${\zeta }$ равна единице.

В самом деле, $q + pq + {{p}^{2}}q + \ldots + {{p}^{{k - 2}}}q + {{p}^{{k - 1}}}$ = $q\frac{{1 - {{p}^{{k - 1}}}}}{{1 - p}} + {{p}^{{k - 1}}} = 1$.

Гамма-процентный дискретный ресурс. Пусть задано значение ${\gamma }$, ($0 < {\gamma } < 1$). Определим целые числа m, для которых

(30)
${{P}_{m}} \geqslant {\gamma },$
где ${{P}_{m}}$ – вероятность того, что m срабатываний объекта будут безотказны.

Определение. Гамма-процентным дискретным ресурсом будем называть наибольшее целое число срабатываний ${{m}_{{\gamma }}}$, которое удовлетворяет оценке (30), т.е.

(31)
${{m}_{{\gamma }}} = \max \left( {m{\text{/}}{{P}_{m}} \geqslant {\gamma }} \right).$

В некоторых случаях уровень ${\gamma }$ можно задавать не в долях единицы, а в процентах, отсюда и название этого показателя.

Для непрерывного ресурса гамма-процентный ресурс ${{t}_{{\gamma }}}$ определяют из уравнения $P\left( t \right) = {\gamma }$, как решение уравнения относительно t, где $P\left( t \right)$ – вероятность безотказной работы объекта в течение времени t.

Пример 3. Для геометрического закона распределения ресурса (14) найдем формулу расчета гамма-процентного дискретного ресурса.

Решение. Используя форму (6) в оценке (30), получим ${{p}^{m}} \geqslant {\gamma }$.

Логарифмируя, имеем $m\ln p \geqslant \ln {\gamma }$, отсюда $m \leqslant \frac{{\ln {\gamma }}}{{\ln p}}$, поскольку $\ln p < 0$ при $0 < p < 1$.

Следовательно, согласно определению гамма-процентного дискретного ресурса (31), найдем искомую формулу

(32)
${{m}_{\gamma }} = \left[ {\frac{{\ln \gamma }}{{\ln p}}} \right],$
где $\left[ \cdot \right]$ – целая часть выражения, стоящая внутри скобок.

Заметим, что формула расчета гамма-процентного ресурса для экспоненциального закона распределения равна

(33)
${{t}_{{\gamma }}} = \frac{{ - \ln {\gamma }}}{{\lambda }},$
где ${\lambda } > 0$ – интенсивность отказов.

Видно, что формула (32) является аналогом формулы (33).

Оценка среднего дискретного ресурса. Покажем, что для целой части среднего дискретного ресурса $r$ справедлива формула

(34)
$\left[ r \right] = {{m}_{\gamma }},$
где ${\gamma } = {{P}_{{\left[ r \right]}}}$.

Согласно (31), имеем ${{m}_{{{{P}_{{\left[ r \right]}}}}}} = \max \left( {m{\text{/}}{{P}_{m}} \geqslant {{P}_{{\left[ r \right]}}}} \right)$.

Для правой части получим $\max \left( {m{\text{/}}{{P}_{m}} \geqslant {{P}_{{\left[ r \right]}}}} \right)$ = $\max \left( {m{\text{/}}m \leqslant \left[ r \right]} \right)$ = [r], что доказывает (34).

Так как при больших значениях $r$ уровень ${\gamma }$, равный ${{P}_{{\left[ r \right]}}}$, мал, то использовать формулу (34) затруднительно, поскольку потребуется большой объем выборки для проведения ресурсных испытаний. Тогда возникает вопрос: как оценить средний дискретный ресурс в этом случае?

В связи с этим, докажем утверждение, которое свободно от этого недостатка.

Теорема 5. Для среднего дискретного ресурса справедлива достижимая оценка

(35)
$r \geqslant {\gamma }\left( {1 + {{m}_{{\gamma }}}} \right),$
где ${\gamma }$ – заданный уровень, ($0 < {\gamma } \leqslant 1$); ${{m}_{{\gamma }}}$ – гамма-процентный дискретный ресурс.

Доказательство. Используя формулу (2), имеем

(36)
$r \geqslant \sum\limits_{k = 0}^{{{m}_{{\gamma }}}} {{{P}_{k}}} .$

Из определения показателя, согласно (30), при $k \leqslant {{m}_{{\gamma }}}$, получим ${{P}_{k}} \geqslant {\gamma }$.

Учитывая это неравенство в (36), найдем искомую оценку (35).

Докажем, что оценка (35) достижимая, т.е. существует хотя бы один закон распределения безотказных срабатываний ${\zeta }$, для которого левая и правая части (35) равны.

В связи с этим рассмотрим закон

$\begin{array}{*{20}{c}} {\zeta }&1&{2,} \\ {{{P}_{r}}}&0&{1.} \end{array}$

Видно, что $r = 2$; ${{m}_{1}} = 1$. Следовательно, правая часть (35) равна 2, что совпадает со значением левой части, что и доказывает теорему.

Выводы. Определены основные понятия дискретного ресурса. Введены показатели дискретного ресурса и доказаны расчетные формулы для них. Установлены оценки для основных показателей дискретного ресурса. Проведен сравнительный анализ расчетных формул, полученных в работе, с показателями непрерывного ресурса. Исследована достижимость установленных оценок. Приведены примеры использования полученных результатов работы.

Список литературы

  1. Садыхов Г.С., Савченко В.П., Сидняев Н.И. Модели и методы оценки остаточного ресурса изделий радиоэлектроники. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015. 382 с.

  2. Автушенко А.Ф., Алексеев С.В., Садыхов Г.С. и др. Мощные надгоризонтные РЛС дальнего обнаружения: разработка, испытания, функционирование / Под ред. С.Ф. Боева. М.: Радиотехника, 2013. 168 с.

  3. Klass P.J. Cycling Tests Increase Reliability Factor “Aviation Week”. 1960. V. 73. Sept., № 5. P. 14.

  4. Жаднов В.В., Тихменев А.Н., Полесский С.Н. Современные подходы к исследованию безотказности электронных средств циклического применения // Надежность и качество: Труды междунар. симпозиума. В 2-х томах / под ред. Н.К. Юркова. Пенза: Изд-во ПГУ, 2012. Т. 1. С. 70.

  5. Садыхов Г.С., Савченко В.П. Оценка остаточного ресурса с использованием физической модели аддитивного накопления повреждения // Докл. АН. 1995. Т. 343. № 4. С. 469.

  6. Артюхов А.А. Оценка средней наработки до отказа при частых срабатываниях // Новые информационные технологии в автоматизированных системах. Труды ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2015. С. 295.

  7. Басов В.Н., Нестеренко Г.И. Экспериментальное исследование характеристик статической прочности, усталостной долговечности и циклической трещиностойкости листов из алюминиево-литиевых сплавов // Труды ЦАГИ. 2007. В. 2675. С. 181.

  8. Ганиев Р.Ф., Балакшин О.Б., Кухаренко Б.Г. Флаттер с предельным циклом колебания лопаток ротора турбокомпрессора // Докл. АН. 2012. Т. 446. № 2. С. 159.

  9. Махутов Н.А. Конструкционная прочность, ресурс и техногенная безопасность. Ч. 2. Обоснование ресурса и безопасности. Новосибирск: Наука, 2005. 610 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.