Проблемы машиностроения и надежности машин, 2021, № 1, стр. 64-71

Напряженное состояние в краевой зоне конической оболочки по уточненной теории

В. В. Фирсанов 1, В. Т. Фам 1*

1 Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), МАИ
Москва, Россия

* E-mail: pvthien88@gmail.com

Поступила в редакцию 03.12.2019
Принята к публикации 22.10.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

В статье исследуется напряженное состояние типа “погранслой” конической оболочки на основе уточненной теории. Искомые перемещения оболочки аппроксимируются полиномами по нормальной к срединной поверхности координате на две степени выше по отношению к классической теории. На основании уравнений трехмерной теории упругости и вариационного принципа Лагранжа получена система дифференциальных уравнений равновесия в перемещениях с переменными коэффициентами. Решение сформулированной краевой задачи осуществляется применением методов конечных разностей и матричной прогонки. Результаты можно использовать при оценке прочности и долговечности оболочечных конструкций.

Ключевые слова: коническая оболочка, вариационный принцип Лагранжа, уточненная математическая модель, напряженное состояние “погранслой”, поперечные нормальные напряжения

В настоящее время конические оболочки широко применяются в самолетостроении, ракетостроении, судостроении, автомобилестроении и строительстве. Инженерные расчеты конических оболочек базируются на классической теории типа Кирхгофа–Лява. Принятые в этой теории гипотезы не позволяют учитывать поперечные деформации, что приводит к погрешностям при определении напряженного состояния пластин и оболочек, особенно в зонах вблизи соединений, локального нагружения, а также быстро изменяющихся нагрузок.

При построении приближенной теории оболочек, свободной от гипотез Кирхгофа–Лява, получил распространение метод прямого асимптотического интегрирования дифференциальных уравнений трехмерной теории упругости. Задача определения напряженно-деформированного состояния (НДС) пластинок и оболочек сводилась к построению трех НДС, соответствующих в первом приближении внутреннему НДС, определяемому по классической теории, и двум дополнительным состояниям типа “погранслой” [2]. Имеется библиография работ по асимптотическому интегрированию уравнений теории упругости для тонкостенных систем [1]. В работе [3] с помощью вариационно-асимптотического метода и специально построенной аппроксимирующей полиномиальной функции была решена задача о дополнительном по отношению к классической теории НДС вблизи защемленного края для пластин.

С помощью модифицированного полуобратного метода Сен-Венана Е.М. Зверяевым [68] получено приближенное решение пространственной задачи теории упругости. Построены двумерные разрешающие уравнения для определения основого НДС, совпадающие с уравнениями равновесия классической теории, а также дополнительные уравнения для расчета НДС типа “погранслой”, учитывающие сдвиговые поправки.

Другой подход к построению уточненной теории основан на аппроксимации искомых перемещений оболочки полиномами по нормальной к срединной поверхности координате [4]. В рамках этого подхода в работе [5] построена уточненная теория расчета НДС для цилиндрических оболочек, согласно которой имеют место значительные дополнительные локальные напряжения.

В настоящей статье в рамках подхода, представленного в [4, 5] исследуется НДС конической оболочки под действием осесиметричной нагрузки. Искомые перемещения разлагаются по нормальной к срединой плоскости оболочки координате в полиномы на две степени выше, чем в классической теории типа Кирхгофа–Лява.

Основные уравнения конической оболочки. Рассматривается коническая оболочка постоянной толщины 2h из изотропного материала, отнесенная к системе координат $x$, $\varphi $, $\xi $ (рис. 1). Коэффициенты Ламе определяются формулами

${{H}_{i}} = {{A}_{i}}{{a}_{i}},\quad {{H}_{3}} = 1,\quad {{a}_{i}} = 1 + \frac{\xi }{{{{R}_{i}}}},\quad i = 1,2,$
где ${{A}_{1}}$, ${{A}_{2}}$ и ${{R}_{1}}$, ${{R}_{2}}$ обозначают коэффициенты первой квадратичной формы и главные кривизны оболочки. Для данной системы координат имеем

${{A}_{1}} = 1,\quad {{A}_{2}} = x\sin \theta ,\quad {{R}_{1}} = \infty ,\quad {{R}_{2}} = \frac{x}{{\operatorname{ctg} \theta }}.$
Рис. 1.

Коническая оболочка.

Считаем, что на боковой и торцевых поверхностях оболочки заданы следующие граничные условия:

${{\sigma }_{{i3}}}\left( { \pm h} \right) = q_{{i3}}^{ \pm },\quad {{\sigma }_{{ji}}} = {{q}_{{ji}}},\quad i = 1,2,3,\quad j = 1,2.$

Представим искомые упругие перемещения в виде

(1)
$\begin{gathered} {{U}_{1}}(x,\varphi ,\xi ) = {{u}_{0}}(x,\varphi ) + {{u}_{1}}(x,\varphi )\xi + {{u}_{2}}(x,\varphi )\frac{{{{\xi }^{2}}}}{{2!}} + {{u}_{3}}(x,\varphi )\frac{{{{\xi }^{3}}}}{{3!}}, \\ {{U}_{2}}(x,\varphi ,\xi ) = {{{v}}_{0}}(x,\varphi ) + {{{v}}_{1}}(x,\varphi )\xi + {{{v}}_{2}}(x,\varphi )\frac{{{{\xi }^{2}}}}{{2!}} + {{{v}}_{3}}(x,\varphi )\frac{{{{\xi }^{3}}}}{{3!}}, \\ {{U}_{3}}(x,\varphi ,\xi ) = {{w}_{0}}(x,\varphi ) + {{w}_{1}}(x,\varphi )\xi + {{w}_{2}}(x,\varphi )\frac{{{{\xi }^{2}}}}{{2!}}. \\ \end{gathered} $

Подставляя разложения (1) в геометрические уравнения трехмерной теории упругости, получим выражения для деформаций оболочки

${{e}_{{11}}} = \sum\limits_{k = 0}^3 {\frac{1}{{{{A}_{1}}{{a}_{1}}}}\left( {\frac{{\partial {{u}_{k}}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {{A}_{1}}}}{{\partial \varphi }}\frac{{{{{v}}_{k}}}}{{{{A}_{2}}}}} \right)} \frac{{{{\xi }^{k}}}}{{k!}} + \sum\limits_{k = 0}^2 {\frac{{{{w}_{k}}}}{{{{R}_{1}}{{a}_{1}}}}\frac{{{{\xi }^{k}}}}{{k!}}} ,$
${{e}_{{22}}} = \sum\limits_{k = 0}^3 {\frac{1}{{{{A}_{2}}{{a}_{2}}}}\left( {\frac{{\partial {{{v}}_{k}}}}{{\partial \varphi }} + \frac{{\partial {{A}_{2}}}}{{\partial x}}\frac{{{{u}_{k}}}}{{{{A}_{1}}}}} \right)} \frac{{{{\xi }^{k}}}}{{k!}} + \sum\limits_{k = 0}^2 {\frac{{{{w}_{k}}}}{{{{R}_{2}}{{a}_{2}}}}\frac{{{{\xi }^{k}}}}{{k!}}} ,\quad {{e}_{{33}}} = \sum\limits_{k = 1}^2 {{{w}_{k}}\frac{{{{\xi }^{{k - 1}}}}}{{(k - 1)!}}} ,$
(2)
${{e}_{{12}}} = \sum\limits_{k = 0}^3 {\frac{1}{{{{A}_{2}}{{a}_{2}}}}\left( {\frac{{\partial {{u}_{k}}}}{{\partial \varphi }} - \frac{1}{{{{A}_{1}}}}\frac{{\partial {{A}_{2}}}}{{\partial x}}{{{v}}_{k}}} \right)\frac{{{{\xi }^{k}}}}{{k!}}} + \sum\limits_{k = 0}^3 {\frac{1}{{{{A}_{1}}{{a}_{1}}}}\left( {\frac{{\partial {{{v}}_{k}}}}{{\partial x}} - \frac{1}{{{{A}_{2}}}}\frac{{\partial {{A}_{1}}}}{{\partial \varphi }}{{u}_{k}}} \right)\frac{{{{\xi }^{k}}}}{{k!}}} ,$
${{e}_{{13}}} = \sum\limits_{k = 0}^2 {\frac{1}{{{{A}_{1}}{{a}_{1}}}}\frac{{\partial {{w}_{k}}}}{{\partial x}}} \frac{{{{\xi }^{k}}}}{{k!}} + \sum\limits_{k = 1}^3 {{{u}_{k}}} \frac{{{{\xi }^{{k - 1}}}}}{{(k - 1)!}} - \sum\limits_{k = 0}^3 {\frac{{{{u}_{k}}}}{{{{R}_{1}}{{a}_{1}}}}} \frac{{{{\xi }^{k}}}}{{k!}},$
${{e}_{{23}}} = \sum\limits_{k = 0}^2 {\frac{1}{{{{A}_{2}}{{a}_{2}}}}\frac{{\partial {{w}_{k}}}}{{\partial \varphi }}} \frac{{{{\xi }^{k}}}}{{k!}} + \sum\limits_{k = 1}^3 {{{{v}}_{k}}} \frac{{{{\xi }^{{k - 1}}}}}{{(k - 1)!}} - \sum\limits_{k = 0}^3 {\frac{{{{{v}}_{k}}}}{{{{R}_{2}}{{a}_{2}}}}} \frac{{{{\xi }^{k}}}}{{k!}}.$

Уравнения равновесия для конической оболочки находим из условия минимума энергетического функционала Лагранжа

$\delta L = \iiint {\left[ {\left( {{{\sigma }_{{11}}}\delta {{e}_{{11}}} + {{\sigma }_{{22}}}\delta {{e}_{{22}}} + {{\sigma }_{{33}}}\delta {{e}_{{33}}} + {{\sigma }_{{12}}}\delta {{e}_{{12}}} + {{\sigma }_{{13}}}\delta {{e}_{{13}}} + {{\sigma }_{{23}}}\delta {{e}_{{23}}}} \right) + } \right.}$
$ - \;\left. {\left( {{{G}_{1}}\delta {{U}_{1}} + {{G}_{2}}\delta {{U}_{2}} + {{G}_{3}}\delta {{U}_{3}}} \right)} \right]{{A}_{1}}{{A}_{2}}{{a}_{1}}{{a}_{2}}dxd\varphi d\xi - $
$ - \;\iint {\left( {{{q}_{{11}}}\delta {{U}_{1}} + {{q}_{{12}}}\delta {{U}_{2}} + {{q}_{{13}}}\delta {{U}_{3}}} \right){{A}_{2}}{{a}_{2}}d\varphi d\xi } - $
(3)
$ - \;\iint {\left( {{{q}_{{21}}}\delta {{U}_{1}} + {{q}_{{22}}}\delta {{U}_{2}} + {{q}_{{23}}}\delta {{U}_{3}}} \right){{A}_{1}}{{a}_{1}}dxd\xi } - $
$ - \;\iint {\left\{ {q_{{13}}^{ + }{{{\left[ {{{a}_{1}}{{a}_{2}}\delta {{U}_{1}}} \right]}}_{{\left( {\xi = + h} \right)}}}} \right.} - q_{{13}}^{ - }{{\left[ {{{a}_{1}}{{a}_{2}}\delta {{U}_{1}}} \right]}_{{\left( {\xi = - h} \right)}}} + $
$ + \;q_{{23}}^{ + }{{\left[ {{{a}_{1}}{{a}_{2}}\delta {{U}_{2}}} \right]}_{{\left( {\xi = + h} \right)}}} - q_{{23}}^{ - }{{\left[ {{{a}_{1}}{{a}_{2}}\delta {{U}_{2}}} \right]}_{{\left( {\xi = - h} \right)}}} + $
$\left. { + \;q_{{33}}^{ + }{{{\left[ {{{a}_{1}}{{a}_{2}}\delta {{U}_{3}}} \right]}}_{{\left( {\xi = + h} \right)}}} - q_{{33}}^{ - }{{{\left[ {{{a}_{1}}{{a}_{2}}\delta {{U}_{3}}} \right]}}_{{\left( {\xi = - h} \right)}}}} \right\}{{A}_{1}}{{A}_{2}}{{a}_{1}}{{a}_{2}}dxd\varphi = 0,$
где ${{G}_{i}}$, $i = \overline {1,3} $ – объемные силы. Поставляя выражения (2) в (3), после преобразований получим систему уравнений

$\frac{{\partial ({{A}_{2}}M_{1}^{{(k)}})}}{{\partial x}} + \frac{{\partial ({{A}_{1}}M_{{12}}^{{(k)}})}}{{\partial \varphi }} - \frac{{\partial {{A}_{2}}}}{{\partial x}}M_{2}^{{(k)}} + \frac{{\partial {{A}_{1}}}}{{\partial \varphi }}M_{{21}}^{{(k)}} + {{A}_{1}}{{A}_{2}}\left( {\frac{{Q_{1}^{{(k)}}}}{{{{R}_{1}}}} - T_{1}^{{(k)}} + P_{1}^{{(k)}} + X_{1}^{{(k)}}} \right) = 0,$
$k = \overline {0,3} ;$
(4)
$\frac{{\partial ({{A}_{1}}M_{2}^{{(k)}})}}{{\partial \varphi }} + \frac{{\partial ({{A}_{2}}M_{{21}}^{{(k)}})}}{{\partial x}} - \frac{{\partial {{A}_{1}}}}{{\partial \varphi }}M_{1}^{{(k)}} + \frac{{\partial {{A}_{2}}}}{{\partial x}}M_{{12}}^{{(k)}} + {{A}_{1}}{{A}_{2}}\left( {\frac{{Q_{2}^{{(k)}}}}{{{{R}_{2}}}} - T_{2}^{{(k)}} + P_{2}^{{(k)}} + X_{2}^{{(k)}}} \right) = 0,$
$k = \overline {0,3} ;$
$\frac{{\partial ({{A}_{2}}Q_{1}^{{(k)}})}}{{\partial x}} + \frac{{\partial ({{A}_{1}}Q_{2}^{{(k)}})}}{{\partial \varphi }} - {{A}_{1}}{{A}_{2}}\left( {\frac{{M_{1}^{{(k)}}}}{{{{R}_{1}}}} + \frac{{M_{2}^{{(k)}}}}{{{{R}_{2}}}} + T_{3}^{{(k)}} - P_{3}^{{(k)}} - X_{3}^{{(k)}}} \right) = 0,\quad k = \overline {0,2} .$

Здесь используются следующие обозначения обобщенных усилий

$M_{1}^{{(k)}} = \int\limits_{ - h}^{ + h} {{{a}_{2}}} {{\sigma }_{{11}}}\frac{{{{\xi }^{k}}}}{{k!}}d\xi ,\quad M_{2}^{{(k)}} = \int\limits_{ - h}^{ + h} {{{a}_{1}}} {{\sigma }_{{22}}}\frac{{{{\xi }^{k}}}}{{k!}}d\xi ,\quad M_{{12}}^{{(k)}} = \int\limits_{ - h}^{ + h} {{{a}_{1}}} {{\sigma }_{{12}}}\frac{{{{\xi }^{k}}}}{{k!}}d\xi ,$
$M_{{21}}^{{(k)}} = \int\limits_{ - h}^{ + h} {{{a}_{2}}} {{\sigma }_{{12}}}\frac{{{{\xi }^{k}}}}{{k!}}d\xi ,\quad T_{1}^{{(k)}} = \int\limits_{ - h}^{ + h} {{{a}_{1}}{{a}_{2}}} {{\sigma }_{{13}}}\frac{{{{\xi }^{{k - 1}}}}}{{(k - 1)!}}d\xi ,\quad T_{2}^{{(k)}} = \int\limits_{ - h}^{ + h} {{{a}_{1}}{{a}_{2}}} {{\sigma }_{{23}}}\frac{{{{\xi }^{{k - 1}}}}}{{(k - 1)!}}d\xi ,$
$T_{3}^{{(k)}} = \int\limits_{ - h}^{ + h} {{{a}_{1}}{{a}_{2}}} {{\sigma }_{{33}}}\frac{{{{\xi }^{{k - 1}}}}}{{(k - 1)!}}d\xi ,\quad Q_{1}^{{(k)}} = \int\limits_{ - h}^{ + h} {{{a}_{2}}} {{\sigma }_{{13}}}\frac{{{{\xi }^{k}}}}{{k!}}d\xi ,\quad Q_{2}^{{(k)}} = \int\limits_{ - h}^{ + h} {{{a}_{2}}} {{\sigma }_{{23}}}\frac{{{{\xi }^{k}}}}{{k!}}d\xi ,$
(5)
$X_{1}^{{(k)}} = \int\limits_{ - h}^{ + h} {{{G}_{1}}{{a}_{1}}{{a}_{2}}} \frac{{{{\xi }^{k}}}}{{k!}}d\xi ,\quad X_{2}^{{(k)}} = \int\limits_{ - h}^{ + h} {{{G}_{2}}{{a}_{1}}{{a}_{2}}} \frac{{{{\xi }^{k}}}}{{k!}}d\xi ,\quad X_{3}^{{(k)}} = \int\limits_{ - h}^{ + h} {{{G}_{3}}{{a}_{1}}{{a}_{2}}} \frac{{{{\xi }^{k}}}}{{k!}}d\xi ,$
$P_{1}^{{(k)}} = q_{{13}}^{ + }{{\left[ {{{a}_{1}}{{a}_{2}}\frac{{{{\xi }^{k}}}}{{k!}}} \right]}_{{\left( {\xi = + h} \right)}}} - q_{{13}}^{ - }{{\left[ {{{a}_{1}}{{a}_{2}}\frac{{{{\xi }^{k}}}}{{k!}}} \right]}_{{\left( {\xi = - h} \right)}}},$
$P_{2}^{{(k)}} = q_{{23}}^{ + }{{\left[ {{{a}_{1}}{{a}_{2}}\frac{{{{\xi }^{k}}}}{{k!}}} \right]}_{{\left( {\xi = + h} \right)}}} - q_{{23}}^{ - }{{\left[ {{{a}_{1}}{{a}_{2}}\frac{{{{\xi }^{k}}}}{{k!}}} \right]}_{{\left( {\xi = - h} \right)}}},$
$P_{3}^{{(k)}} = q_{{33}}^{ + }{{\left[ {{{a}_{1}}{{a}_{2}}\frac{{{{\xi }^{k}}}}{{k!}}} \right]}_{{\left( {\xi = + h} \right)}}} - q_{{33}}^{ - }{{\left[ {{{a}_{1}}{{a}_{2}}\frac{{{{\xi }^{k}}}}{{k!}}} \right]}_{{\left( {\xi = - h} \right)}}}.$

Из физических уравнений на основании разложений (1) находим напряжения, подставляя которые последовательно в (5) и (4) и преобразуя полученные уравнения с учетом соотношений (2), имеем следующую систему дифференциальных уравнений равновесия в перемещениях

$\sum\limits_{m = 0}^3 {\left( {Ki_{0}^{{{{u}_{m}}}} + Ki_{1}^{{{{u}_{m}}}}\frac{\partial }{{\partial x}} + Ki_{{11}}^{{{{u}_{m}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{x}^{2}}}} + Ki_{{22}}^{{{{u}_{m}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{\varphi }^{2}}}}} \right)} {{u}_{m}} + \sum\limits_{k = 0}^3 {\left( {Ki_{2}^{{{{{v}}_{k}}}}\frac{\partial }{{\partial \varphi }} + Ki_{{12}}^{{{{{v}}_{k}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial x\partial \varphi }}} \right)} {{{v}}_{k}} + $
$ + \;\sum\limits_{n = 0}^2 {\left( {Ki_{0}^{{{{w}_{n}}}} + Ki_{1}^{{{{w}_{n}}}}\frac{\partial }{{\partial x}}} \right){{w}_{n}}} = K{{i}^{{q_{{13}}^{ + }}}}q_{{13}}^{ + } - K{{i}^{{q_{{13}}^{ - }}}}q_{{13}}^{ - },\quad i = \overline {1,4} ;$
$\sum\limits_{m = 0}^3 {\left( {Ki_{2}^{{{{u}_{m}}}}\frac{\partial }{{\partial \varphi }} + Ki_{{12}}^{{{{u}_{m}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial x\partial \varphi }}} \right)} {{u}_{m}} + \sum\limits_{k = 0}^3 {\left( {Ki_{0}^{{{{{v}}_{k}}}} + Ki_{1}^{{{{{v}}_{k}}}}\frac{\partial }{{\partial x}} + Ki_{{11}}^{{{{{v}}_{k}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{x}^{2}}}} + Ki_{{22}}^{{{{{v}}_{k}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{\varphi }^{2}}}}} \right)} {{{v}}_{k}} + $
(6)
$ + \;\sum\limits_{n = 0}^2 {Ki_{2}^{{{{w}_{n}}}}\frac{{\partial {{w}_{n}}}}{{\partial \varphi }}} = K{{i}^{{q_{{23}}^{ + }}}}q_{{23}}^{ + } - K{{i}^{{q_{{23}}^{ - }}}}q_{{23}}^{ - },\quad i = \overline {5,8} ;$
$\sum\limits_{m = 0}^3 {\left( {Ki_{0}^{{{{u}_{m}}}} + Ki_{1}^{{{{u}_{m}}}}\frac{\partial }{{\partial x}}} \right)} {{u}_{m}} + \sum\limits_{k = 0}^3 {Ki_{2}^{{{{{v}}_{k}}}}\frac{{\partial {{{v}}_{k}}}}{{\partial \varphi }}} + $
$ + \;\sum\limits_{n = 0}^2 {\left( {Ki_{0}^{{{{w}_{n}}}} + Ki_{1}^{{{{w}_{n}}}}\frac{\partial }{{\partial x}} + Ki_{{11}}^{{{{w}_{n}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{x}^{2}}}} + Ki_{{22}}^{{{{w}_{n}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{\varphi }^{2}}}}} \right)} {{w}_{n}} = K{{i}^{{q_{{33}}^{ + }}}}q_{{33}}^{ + } - K{{i}^{{q_{{33}}^{ - }}}}q_{{33}}^{ - },$
$i = \overline {9,11} .$

Здесь $Ki$ представляют собой переменные коэффициенты, зависящие от геометрических параметров, упругих постоянных материала оболочки и координаты $x$, а ${{u}_{m}}$, ${{{v}}_{k}}$, ${{w}_{n}}$ – коэффициенты разложений искомых перемещений в выражениях (1).

Расчет конической оболочки под действием осесимметричной нагрузки. В этом случае все компоненты НДС оболочки не зависят от угла $\varphi $ и перемещения в окружном направлении ${{{v}}_{k}}$, $k = \overline {0,3} $ обращаются в нуль. Тогда система дифференциальных уравнений в перемещениях (6) принимает вид

(7)
$\begin{gathered} \sum\limits_{m = 0}^3 {\left( {Ki_{0}^{{{{u}_{m}}}} + Ki_{1}^{{{{u}_{m}}}}\frac{d}{{dx}} + Ki_{{11}}^{{{{u}_{m}}}}\frac{{{{d}^{2}}}}{{d{{x}^{2}}}}} \right)\,} {{u}_{m}} + \sum\limits_{n = 0}^2 {\left( {Ki_{0}^{{{{w}_{n}}}} + Ki_{1}^{{{{w}_{n}}}}\frac{d}{{dx}}} \right){{w}_{n}}} = 0,\quad i = \overline {1,4} ; \\ \sum\limits_{m = 0}^3 {\left( {Ki_{0}^{{{{u}_{m}}}} + Ki_{1}^{{{{u}_{m}}}}\frac{d}{{dx}}} \right)} \,{{u}_{m}} + \sum\limits_{n = 0}^2 {\left( {Ki_{0}^{{{{w}_{n}}}} + Ki_{1}^{{{{w}_{n}}}}\frac{d}{{dx}} + Ki_{{11}}^{{{{w}_{n}}}}\frac{{{{d}^{2}}}}{{d{{x}^{2}}}}} \right)} {{w}_{n}} = K{{i}^{{q_{{33}}^{ + }}}}q_{{33}}^{ + } - K{{i}^{{q_{{33}}^{ - }}}}q_{{33}}^{ - }, \\ i = \overline {9,11} . \\ \end{gathered} $

Граничные условия на жестко защемленных краях оболочки представляются в форме

(8)
${{u}_{m}} = 0,\quad (m = \overline {0,3} );\quad {{w}_{n}} = 0,\quad (n = \overline {0,2} )\quad {\text{при}}\quad x = {{x}_{1}},\quad x = {{x}_{2}}.$

Система уравнений (7) решается конечно-разностным методом. Производные 1-го и 2-го порядков аппроксимируются центральными разностями второго порядка точности

$\frac{{d{{y}_{j}}}}{{dx}} = \frac{{{{y}_{{j + 1}}} - {{y}_{{j - 1}}}}}{{2s}};\quad \frac{{{{d}^{2}}{{y}_{j}}}}{{d{{x}^{2}}}} = \frac{{{{y}_{{j + 1}}} - 2{{y}_{j}} + {{y}_{{j - 1}}}}}{{{{s}^{2}}}}.$

На основании системы (7) с учетом граничных условий (8) получим следующую конечно-разностную систему

$\sum\limits_{m = 0}^3 {\left( {\left( {\frac{{Ki_{{11}}^{{{{u}_{m}}}}}}{{{{s}^{2}}}} - \frac{{Ki_{1}^{{{{u}_{m}}}}}}{{2s}}} \right)u_{m}^{{j - 1}} + \left( {\frac{{ - 2Ki_{{11}}^{{{{u}_{m}}}}}}{{{{s}^{2}}}} + Ki_{0}^{{{{u}_{m}}}}} \right)u_{m}^{j} + \left( {\frac{{Ki_{{11}}^{{{{u}_{m}}}}}}{{{{s}^{2}}}} + \frac{{Ki_{1}^{{{{u}_{m}}}}}}{{2s}}} \right)u_{m}^{{j + 1}}} \right)} + $
$ + \;\sum\limits_{n = 0}^2 {\left( {\frac{{ - Ki_{1}^{{{{w}_{n}}}}}}{{2s}}w_{n}^{{j - 1}} + Ki_{0}^{{{{w}_{n}}}}w_{n}^{j} + \frac{{Ki_{1}^{{{{w}_{n}}}}}}{{2s}}w_{n}^{{j + 1}}} \right)} = 0,$
$i = \overline {1,4} ;$
(9)
$\begin{gathered} \sum\limits_{m = 0}^3 {\left( {\frac{{ - Ki_{1}^{{{{u}_{m}}}}}}{{2s}}u_{m}^{{j - 1}} + Ki_{0}^{{{{u}_{m}}}}u_{m}^{j} + \frac{{Ki_{1}^{{{{u}_{m}}}}}}{{2s}}u_{m}^{{j + 1}}} \right)} + \\ + \;\sum\limits_{n = 0}^2 {\left( {\left( {\frac{{Ki_{{11}}^{{{{w}_{n}}}}}}{{{{s}^{2}}}} - \frac{{Ki_{1}^{{{{w}_{n}}}}}}{{2s}}} \right)w_{n}^{{j - 1}} + \left( {\frac{{ - 2Ki_{{11}}^{{{{w}_{n}}}}}}{{{{s}^{2}}}} + Ki_{0}^{{{{w}_{n}}}}} \right)w_{n}^{j} + \left( {\frac{{Ki_{{11}}^{{{{w}_{n}}}}}}{{{{s}^{2}}}} + \frac{{Ki_{1}^{{{{w}_{n}}}}}}{{2s}}} \right)w_{n}^{{j + 1}}} \right)} = \\ \end{gathered} $
$ = K{{i}^{{q_{{33}}^{ + }}}}q_{{33}}^{ + } - K{{i}^{{q_{{33}}^{ - }}}}q_{{33}}^{ - };$
$i = \overline {9,11} ;\quad j = \overline {1,N - 1} ;$
$u_{m}^{0} = u_{m}^{N} = w_{n}^{0} = w_{n}^{N} = 0;\quad m = \overline {0,3} ;\quad n = \overline {0,2} ,$
где s, (N + 1) – соответственно шаг конечно-разностной схемы и число узлов.

Система (9) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений, решается методом матричной прогонки с помощью программы для ЭВМ. Определив перемещения, тангенциальные напряжения находятся из соотношений закона Гука. Поперечные напряжения получаются непосредственным интегрированием уравнений равновесия трехмерной теории упругости

$\begin{gathered} {{\sigma }_{{13}}} = - \frac{1}{{a_{1}^{2}{{a}_{2}}}}\int\limits_{ - h}^\xi {\left[ {\left. {\frac{{{{a}_{1}}{{a}_{2}}}}{{{{A}_{1}}}}\frac{{\partial {{\sigma }_{{11}}}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {{A}_{2}}}}{{\partial x}}\frac{1}{{{{A}_{1}}{{A}_{2}}}}a_{1}^{2}\left( {{{\sigma }_{{11}}} - {{\sigma }_{{22}}}} \right)} \right]} \right.} {\kern 1pt} {\kern 1pt} d\xi {\kern 1pt} , \\ {{\sigma }_{{33}}} = - \frac{1}{{{{a}_{1}}{{a}_{2}}}}\int\limits_{ - h}^\xi {\left[ {\left. {\frac{{{{a}_{2}}}}{{{{A}_{1}}}}\frac{{\partial {{\sigma }_{{13}}}}}{{\partial x}} - \frac{{{{a}_{2}}}}{{{{R}_{1}}}}{{\sigma }_{{11}}} - \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{R}_{2}}}}{{\sigma }_{{22}}} + \frac{{\partial {{A}_{2}}}}{{\partial x}}\frac{1}{{{{A}_{1}}{{A}_{2}}}}{{a}_{1}}{{\sigma }_{{13}}}} \right]d\xi + } \right.} \frac{{{{{\left( {{{a}_{1}}{{a}_{2}}} \right)}}_{{\xi = - h}}}}}{{{{a}_{1}}{{a}_{2}}}}q_{{33}}^{ - }. \\ \end{gathered} $

Пример расчета. В качестве примера расчета рассматривается коническая оболочка, жестко защемленная на двух краях, со следующими параметрами: угол конусности $\theta = \frac{\pi }{4}$, начало и конец оболочки вдоль оси ${{x}_{1}} = 1$ м, ${{x}_{2}} = 3$ м, полутолщина оболочки $h = 2$ см, коэффициент Пуассона $\mu = 0.3$, модуль Юнга ${\text{E}} = 2 \times {{10}^{5}}$ МПа. Оболочка находится под действием нагрузки, равномерно распределенной на внутренней поверхности. Графики рис. 2–5 иллюстрируют изменения нормальных и касательных напряжений в краевой зоне оболочки. Отметим, что аббревиатура “кл” соответствует результатам расчета по классической теории.

Рис. 2.

Изменение ${{\sigma }_{{11}}}$ по толщине на краю $x = {{x}_{2}}$.

Рис. 3.

Изменение ${{\sigma }_{{22}}}$ по толщине на краю $x = {{x}_{2}}$.

Рис. 4.

Изменение ${{\sigma }_{{11}}}$ в краевой зоне.

Рис. 5.

Изменение ${{\sigma }_{{33}}}$ в краевой зоне.

Анализируя графики на рис. 2–5 можно установить, что напряжения в зоне жестко защемленного края существенно уточняются: максимальное нормальное напряжение ${{\sigma }_{{11}}}$ – на 35% (рис. 2, 4) и ${{\sigma }_{{22}}}$ – 36% (рис. 3). Максимальное поперечное нормальное напряжение ${{\sigma }_{{33}}}$ составляет 42.5% от основного изгибного напряжения ${{\sigma }_{{11}}}$ (рис. 5).

Выводы. На основе трехмерных уравнений теории упругости с помощью вариационного принципа Лагранжа построены дифференциальные уравнения равновесия конических оболочек в перемещениях, позволяющие учитывать поперечный сдвиг оболочки.

Приведены результаты расчета напряженного состояния типа “погранслой” по уточненной теории конической оболочки под действием осесимметричной нагрузки и дано их сравнение с данными классической теории. Установлено, что в зоне жестко защемленного края оболочки нормальные тангенциальные напряжения существенно уточняются.

Поперечные нормальные, которыми в классической теории пренебрегают, в краевой зоне оказываются одного порядка с максимальными значениями напряжений, соответствующих классической теории. Такие высокие уровни дополнительных напряжений необходимо учитывать при оценке прочности и долговечности элементов конструкций в объектах машиностроения, в том числе авиационной и ракетной техники.

Список литературы

  1. Агаловян Л.А. О возможностях асимптотического метода в вопросах теории пластин и оболочек // Проблемы механики деформируемого твердого тела. Сб. статей, посвященный 90-летию академика НАН Армении С.А. Амбарцумяна. Ереван: Гитутюн, 2012. С. 33.

  2. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976. 512 с.

  3. Firsanov Val.V. Study of stress-deformed state of rectangular plates based on nonclassical theory // Journal of machinery, manufacture and reliabitity. 2016. V. 45. № 6. P. 515.

  4. Васильев В.В., Лурье С.А. К проблеме уточнения теории пологих оболочек // Изв. АН. МТТ. 1990. № 6. С. 139.

  5. Doan T.N., Van Thom D., Thanh N.T., Van Chuong P., Tho N.C., Ta N.T., Nguyen H.N. Analysis of stress concentration phenomenon of cylinder laminated shells using higher-order shear deformation Quasi-3D theory // Composite Structures. 2020. V. 232. P. 111526. https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2019.111526

  6. Зверяев Е.М. Метод Сен-Венана–Пикара–Банаха интегрирования уравнений в частных производных с малым параметром // Препринты ИПМ имени М.В. Келдыша. 2018. № 83. 19 с.

  7. Зверяев Е.М. Конструктивная теория тонких упругих оболочек // Препринты ИПМ имени М.В. Келдыша. 2016. № 33. 25 с.

  8. Зверяев Е.М. Непротиворечивая теория тонких упругих оболочек. ПММ. 2016. Т. 80. № 5. С. 580.

Дополнительные материалы отсутствуют.