Проблемы машиностроения и надежности машин, 2021, № 1, стр. 64-71
Напряженное состояние в краевой зоне конической оболочки по уточненной теории
В. В. Фирсанов 1, В. Т. Фам 1, *
1 Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), МАИ
Москва, Россия
* E-mail: pvthien88@gmail.com
Поступила в редакцию 03.12.2019
Принята к публикации 22.10.2020
Аннотация
В статье исследуется напряженное состояние типа “погранслой” конической оболочки на основе уточненной теории. Искомые перемещения оболочки аппроксимируются полиномами по нормальной к срединной поверхности координате на две степени выше по отношению к классической теории. На основании уравнений трехмерной теории упругости и вариационного принципа Лагранжа получена система дифференциальных уравнений равновесия в перемещениях с переменными коэффициентами. Решение сформулированной краевой задачи осуществляется применением методов конечных разностей и матричной прогонки. Результаты можно использовать при оценке прочности и долговечности оболочечных конструкций.
В настоящее время конические оболочки широко применяются в самолетостроении, ракетостроении, судостроении, автомобилестроении и строительстве. Инженерные расчеты конических оболочек базируются на классической теории типа Кирхгофа–Лява. Принятые в этой теории гипотезы не позволяют учитывать поперечные деформации, что приводит к погрешностям при определении напряженного состояния пластин и оболочек, особенно в зонах вблизи соединений, локального нагружения, а также быстро изменяющихся нагрузок.
При построении приближенной теории оболочек, свободной от гипотез Кирхгофа–Лява, получил распространение метод прямого асимптотического интегрирования дифференциальных уравнений трехмерной теории упругости. Задача определения напряженно-деформированного состояния (НДС) пластинок и оболочек сводилась к построению трех НДС, соответствующих в первом приближении внутреннему НДС, определяемому по классической теории, и двум дополнительным состояниям типа “погранслой” [2]. Имеется библиография работ по асимптотическому интегрированию уравнений теории упругости для тонкостенных систем [1]. В работе [3] с помощью вариационно-асимптотического метода и специально построенной аппроксимирующей полиномиальной функции была решена задача о дополнительном по отношению к классической теории НДС вблизи защемленного края для пластин.
С помощью модифицированного полуобратного метода Сен-Венана Е.М. Зверяевым [6–8] получено приближенное решение пространственной задачи теории упругости. Построены двумерные разрешающие уравнения для определения основого НДС, совпадающие с уравнениями равновесия классической теории, а также дополнительные уравнения для расчета НДС типа “погранслой”, учитывающие сдвиговые поправки.
Другой подход к построению уточненной теории основан на аппроксимации искомых перемещений оболочки полиномами по нормальной к срединной поверхности координате [4]. В рамках этого подхода в работе [5] построена уточненная теория расчета НДС для цилиндрических оболочек, согласно которой имеют место значительные дополнительные локальные напряжения.
В настоящей статье в рамках подхода, представленного в [4, 5] исследуется НДС конической оболочки под действием осесиметричной нагрузки. Искомые перемещения разлагаются по нормальной к срединой плоскости оболочки координате в полиномы на две степени выше, чем в классической теории типа Кирхгофа–Лява.
Основные уравнения конической оболочки. Рассматривается коническая оболочка постоянной толщины 2h из изотропного материала, отнесенная к системе координат $x$, $\varphi $, $\xi $ (рис. 1). Коэффициенты Ламе определяются формулами
Считаем, что на боковой и торцевых поверхностях оболочки заданы следующие граничные условия:
Представим искомые упругие перемещения в виде
(1)
$\begin{gathered} {{U}_{1}}(x,\varphi ,\xi ) = {{u}_{0}}(x,\varphi ) + {{u}_{1}}(x,\varphi )\xi + {{u}_{2}}(x,\varphi )\frac{{{{\xi }^{2}}}}{{2!}} + {{u}_{3}}(x,\varphi )\frac{{{{\xi }^{3}}}}{{3!}}, \\ {{U}_{2}}(x,\varphi ,\xi ) = {{{v}}_{0}}(x,\varphi ) + {{{v}}_{1}}(x,\varphi )\xi + {{{v}}_{2}}(x,\varphi )\frac{{{{\xi }^{2}}}}{{2!}} + {{{v}}_{3}}(x,\varphi )\frac{{{{\xi }^{3}}}}{{3!}}, \\ {{U}_{3}}(x,\varphi ,\xi ) = {{w}_{0}}(x,\varphi ) + {{w}_{1}}(x,\varphi )\xi + {{w}_{2}}(x,\varphi )\frac{{{{\xi }^{2}}}}{{2!}}. \\ \end{gathered} $Подставляя разложения (1) в геометрические уравнения трехмерной теории упругости, получим выражения для деформаций оболочки
(2)
${{e}_{{12}}} = \sum\limits_{k = 0}^3 {\frac{1}{{{{A}_{2}}{{a}_{2}}}}\left( {\frac{{\partial {{u}_{k}}}}{{\partial \varphi }} - \frac{1}{{{{A}_{1}}}}\frac{{\partial {{A}_{2}}}}{{\partial x}}{{{v}}_{k}}} \right)\frac{{{{\xi }^{k}}}}{{k!}}} + \sum\limits_{k = 0}^3 {\frac{1}{{{{A}_{1}}{{a}_{1}}}}\left( {\frac{{\partial {{{v}}_{k}}}}{{\partial x}} - \frac{1}{{{{A}_{2}}}}\frac{{\partial {{A}_{1}}}}{{\partial \varphi }}{{u}_{k}}} \right)\frac{{{{\xi }^{k}}}}{{k!}}} ,$Уравнения равновесия для конической оболочки находим из условия минимума энергетического функционала Лагранжа
(3)
$ - \;\iint {\left( {{{q}_{{21}}}\delta {{U}_{1}} + {{q}_{{22}}}\delta {{U}_{2}} + {{q}_{{23}}}\delta {{U}_{3}}} \right){{A}_{1}}{{a}_{1}}dxd\xi } - $(4)
$\frac{{\partial ({{A}_{1}}M_{2}^{{(k)}})}}{{\partial \varphi }} + \frac{{\partial ({{A}_{2}}M_{{21}}^{{(k)}})}}{{\partial x}} - \frac{{\partial {{A}_{1}}}}{{\partial \varphi }}M_{1}^{{(k)}} + \frac{{\partial {{A}_{2}}}}{{\partial x}}M_{{12}}^{{(k)}} + {{A}_{1}}{{A}_{2}}\left( {\frac{{Q_{2}^{{(k)}}}}{{{{R}_{2}}}} - T_{2}^{{(k)}} + P_{2}^{{(k)}} + X_{2}^{{(k)}}} \right) = 0,$Здесь используются следующие обозначения обобщенных усилий
(5)
$X_{1}^{{(k)}} = \int\limits_{ - h}^{ + h} {{{G}_{1}}{{a}_{1}}{{a}_{2}}} \frac{{{{\xi }^{k}}}}{{k!}}d\xi ,\quad X_{2}^{{(k)}} = \int\limits_{ - h}^{ + h} {{{G}_{2}}{{a}_{1}}{{a}_{2}}} \frac{{{{\xi }^{k}}}}{{k!}}d\xi ,\quad X_{3}^{{(k)}} = \int\limits_{ - h}^{ + h} {{{G}_{3}}{{a}_{1}}{{a}_{2}}} \frac{{{{\xi }^{k}}}}{{k!}}d\xi ,$Из физических уравнений на основании разложений (1) находим напряжения, подставляя которые последовательно в (5) и (4) и преобразуя полученные уравнения с учетом соотношений (2), имеем следующую систему дифференциальных уравнений равновесия в перемещениях
(6)
$ + \;\sum\limits_{n = 0}^2 {Ki_{2}^{{{{w}_{n}}}}\frac{{\partial {{w}_{n}}}}{{\partial \varphi }}} = K{{i}^{{q_{{23}}^{ + }}}}q_{{23}}^{ + } - K{{i}^{{q_{{23}}^{ - }}}}q_{{23}}^{ - },\quad i = \overline {5,8} ;$Здесь $Ki$ представляют собой переменные коэффициенты, зависящие от геометрических параметров, упругих постоянных материала оболочки и координаты $x$, а ${{u}_{m}}$, ${{{v}}_{k}}$, ${{w}_{n}}$ – коэффициенты разложений искомых перемещений в выражениях (1).
Расчет конической оболочки под действием осесимметричной нагрузки. В этом случае все компоненты НДС оболочки не зависят от угла $\varphi $ и перемещения в окружном направлении ${{{v}}_{k}}$, $k = \overline {0,3} $ обращаются в нуль. Тогда система дифференциальных уравнений в перемещениях (6) принимает вид
(7)
$\begin{gathered} \sum\limits_{m = 0}^3 {\left( {Ki_{0}^{{{{u}_{m}}}} + Ki_{1}^{{{{u}_{m}}}}\frac{d}{{dx}} + Ki_{{11}}^{{{{u}_{m}}}}\frac{{{{d}^{2}}}}{{d{{x}^{2}}}}} \right)\,} {{u}_{m}} + \sum\limits_{n = 0}^2 {\left( {Ki_{0}^{{{{w}_{n}}}} + Ki_{1}^{{{{w}_{n}}}}\frac{d}{{dx}}} \right){{w}_{n}}} = 0,\quad i = \overline {1,4} ; \\ \sum\limits_{m = 0}^3 {\left( {Ki_{0}^{{{{u}_{m}}}} + Ki_{1}^{{{{u}_{m}}}}\frac{d}{{dx}}} \right)} \,{{u}_{m}} + \sum\limits_{n = 0}^2 {\left( {Ki_{0}^{{{{w}_{n}}}} + Ki_{1}^{{{{w}_{n}}}}\frac{d}{{dx}} + Ki_{{11}}^{{{{w}_{n}}}}\frac{{{{d}^{2}}}}{{d{{x}^{2}}}}} \right)} {{w}_{n}} = K{{i}^{{q_{{33}}^{ + }}}}q_{{33}}^{ + } - K{{i}^{{q_{{33}}^{ - }}}}q_{{33}}^{ - }, \\ i = \overline {9,11} . \\ \end{gathered} $Граничные условия на жестко защемленных краях оболочки представляются в форме
(8)
${{u}_{m}} = 0,\quad (m = \overline {0,3} );\quad {{w}_{n}} = 0,\quad (n = \overline {0,2} )\quad {\text{при}}\quad x = {{x}_{1}},\quad x = {{x}_{2}}.$Система уравнений (7) решается конечно-разностным методом. Производные 1-го и 2-го порядков аппроксимируются центральными разностями второго порядка точности
На основании системы (7) с учетом граничных условий (8) получим следующую конечно-разностную систему
(9)
$\begin{gathered} \sum\limits_{m = 0}^3 {\left( {\frac{{ - Ki_{1}^{{{{u}_{m}}}}}}{{2s}}u_{m}^{{j - 1}} + Ki_{0}^{{{{u}_{m}}}}u_{m}^{j} + \frac{{Ki_{1}^{{{{u}_{m}}}}}}{{2s}}u_{m}^{{j + 1}}} \right)} + \\ + \;\sum\limits_{n = 0}^2 {\left( {\left( {\frac{{Ki_{{11}}^{{{{w}_{n}}}}}}{{{{s}^{2}}}} - \frac{{Ki_{1}^{{{{w}_{n}}}}}}{{2s}}} \right)w_{n}^{{j - 1}} + \left( {\frac{{ - 2Ki_{{11}}^{{{{w}_{n}}}}}}{{{{s}^{2}}}} + Ki_{0}^{{{{w}_{n}}}}} \right)w_{n}^{j} + \left( {\frac{{Ki_{{11}}^{{{{w}_{n}}}}}}{{{{s}^{2}}}} + \frac{{Ki_{1}^{{{{w}_{n}}}}}}{{2s}}} \right)w_{n}^{{j + 1}}} \right)} = \\ \end{gathered} $Система (9) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений, решается методом матричной прогонки с помощью программы для ЭВМ. Определив перемещения, тангенциальные напряжения находятся из соотношений закона Гука. Поперечные напряжения получаются непосредственным интегрированием уравнений равновесия трехмерной теории упругости
Пример расчета. В качестве примера расчета рассматривается коническая оболочка, жестко защемленная на двух краях, со следующими параметрами: угол конусности $\theta = \frac{\pi }{4}$, начало и конец оболочки вдоль оси ${{x}_{1}} = 1$ м, ${{x}_{2}} = 3$ м, полутолщина оболочки $h = 2$ см, коэффициент Пуассона $\mu = 0.3$, модуль Юнга ${\text{E}} = 2 \times {{10}^{5}}$ МПа. Оболочка находится под действием нагрузки, равномерно распределенной на внутренней поверхности. Графики рис. 2–5 иллюстрируют изменения нормальных и касательных напряжений в краевой зоне оболочки. Отметим, что аббревиатура “кл” соответствует результатам расчета по классической теории.
Анализируя графики на рис. 2–5 можно установить, что напряжения в зоне жестко защемленного края существенно уточняются: максимальное нормальное напряжение ${{\sigma }_{{11}}}$ – на 35% (рис. 2, 4) и ${{\sigma }_{{22}}}$ – 36% (рис. 3). Максимальное поперечное нормальное напряжение ${{\sigma }_{{33}}}$ составляет 42.5% от основного изгибного напряжения ${{\sigma }_{{11}}}$ (рис. 5).
Выводы. На основе трехмерных уравнений теории упругости с помощью вариационного принципа Лагранжа построены дифференциальные уравнения равновесия конических оболочек в перемещениях, позволяющие учитывать поперечный сдвиг оболочки.
Приведены результаты расчета напряженного состояния типа “погранслой” по уточненной теории конической оболочки под действием осесимметричной нагрузки и дано их сравнение с данными классической теории. Установлено, что в зоне жестко защемленного края оболочки нормальные тангенциальные напряжения существенно уточняются.
Поперечные нормальные, которыми в классической теории пренебрегают, в краевой зоне оказываются одного порядка с максимальными значениями напряжений, соответствующих классической теории. Такие высокие уровни дополнительных напряжений необходимо учитывать при оценке прочности и долговечности элементов конструкций в объектах машиностроения, в том числе авиационной и ракетной техники.
Список литературы
Агаловян Л.А. О возможностях асимптотического метода в вопросах теории пластин и оболочек // Проблемы механики деформируемого твердого тела. Сб. статей, посвященный 90-летию академика НАН Армении С.А. Амбарцумяна. Ереван: Гитутюн, 2012. С. 33.
Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976. 512 с.
Firsanov Val.V. Study of stress-deformed state of rectangular plates based on nonclassical theory // Journal of machinery, manufacture and reliabitity. 2016. V. 45. № 6. P. 515.
Васильев В.В., Лурье С.А. К проблеме уточнения теории пологих оболочек // Изв. АН. МТТ. 1990. № 6. С. 139.
Doan T.N., Van Thom D., Thanh N.T., Van Chuong P., Tho N.C., Ta N.T., Nguyen H.N. Analysis of stress concentration phenomenon of cylinder laminated shells using higher-order shear deformation Quasi-3D theory // Composite Structures. 2020. V. 232. P. 111526. https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2019.111526
Зверяев Е.М. Метод Сен-Венана–Пикара–Банаха интегрирования уравнений в частных производных с малым параметром // Препринты ИПМ имени М.В. Келдыша. 2018. № 83. 19 с.
Зверяев Е.М. Конструктивная теория тонких упругих оболочек // Препринты ИПМ имени М.В. Келдыша. 2016. № 33. 25 с.
Зверяев Е.М. Непротиворечивая теория тонких упругих оболочек. ПММ. 2016. Т. 80. № 5. С. 580.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Проблемы машиностроения и надежности машин